广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考届高考数学三模试卷文(含解析)【含答案】

广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，则复数=( )A．2+i B．2﹣i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i2．已知集合P={0，1，2}，Q={y|y=3x}，则P∩Q=( )A．{0，1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．∅3．已知=（1，k），=（k，4），那么“k=﹣2”是“，共线”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．非充分非必要条件 D．充要条件4．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为( )A．B．C．D．5．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．48 B．C．16 D．327．已知偶函数f（x），当x∈，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人．（1）求该组织的人数；（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，用列举法求出第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．18．如图，三棱锥C﹣ABD中，AB=AD=BD=BC=CD=2，O为BD的中点，∠AOC=120°，P为AC上一点，Q为AO上一点，且．（Ⅰ）求证：PQ∥平面BCD；（Ⅱ）求证：PO⊥平面ABD；（Ⅲ）求四面体ABCD的体积．19．已知{a n}是等差数列，公差为d，首项a1=3，前n项和为S n．令，{c n}的前20项和T20=330．数列{b n}满足b n=2（a﹣2）d n﹣2+2n﹣1，a∈R．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n+1≤b n，n∈N*，求a的取值范围．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F1与抛物线y2=4x的焦点重合，原点到过点A（a，0），B（0，﹣b）的直线的距离是．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，过F1作PF1的垂直于直线l交于点Q，求证：点Q在定直线上，并求出定直线的方程．21．已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax（a∈R）（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）当a≥2时，求函数y=|f（x）|在0≤x≤1上的最大值．广东省揭阳一中、潮州市金山中学联考2015届高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，则复数=( )A．2+i B．2﹣i C．﹣1﹣2i D．﹣1+2i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．解答：解：=，故选：C．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算考查了复数的基本概念，是基础题．2．已知集合P={0，1，2}，Q={y|y=3x}，则P∩Q=( )A．{0，1} B．{1，2} C．{0，1，2} D．∅考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：Q={y|y=3x}={y|y＞0}，则P∩Q={1，2}，故选：B点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．3．已知=（1，k），=（k，4），那么“k=﹣2”是“，共线”的( )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．非充分非必要条件 D．充要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据向量共线的等价条件，利用充分条件和必要条件的定义进行判定即可．解答：解：若k=﹣2，则=（1，﹣2），=（﹣2，4），满足=﹣2，即，共线，充分性成立，若，共线，则k2=4，即k=±2，即必要性不成立，故“k=﹣2”是“，共线”的充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判定，利用向量共线的等价条件是解决本题的关键，比较基础．4．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，则两次朝上的点数之积为奇数的概率为( ) A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：根据题意得出基本事件为（x，y），总共有6×6=36，列举两次朝上的点数之积为奇数事件求解个数，运用古典概率公式求解即可．解答：解：骰子的点数为：1，2，3，4，5，6，先后抛掷两颗质地均匀的骰子，基本事件为（x，y），总共有6×6=36，两次朝上的点数之积为奇数事件为：A有（1，1），（1，3），（1，5），（3，1），（3，3），（3，5），（5，1），（5，3），（5，5），共有9个结果，∴两次朝上的点数之积为奇数的概率为P（A）==故选：C点评：本题考查了古典概率的求解，关键是求解基本事件的个数，运用列举的方法求解符合题意的事件的个数，属于中档题．5．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是( )A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定考点：余弦定理的应用；三角形的形状判断．专题：解三角形．分析：由sin2A+sin2B＜sin2C，结合正弦定理可得，a2+b2＜c2，由余弦定理可得CosC=可判断C的取值范围解答：解：∵sin2A+sin2B＜sin2C，由正弦定理可得，a2+b2＜c2由余弦定理可得cosC=∴∴△ABC是钝角三角形故选C点评：本题主要考查了正弦定理、余弦定理的综合应用在三角形的形状判断中的应用，属于基础试题6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．48 B．C．16 D．32考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；作图题；空间位置关系与距离．分析：由题意作出其直观图，从而由三视图中的数据代入求体积．解答：解：该几何体为四棱柱，如图，其底面是直角梯形，其面积S=×（3+5）×2=8，其高为4；故其体积V=8×4=32；故选：D．点评：本题考查了学生的空间想象力与计算能力，属于基础题．7．已知偶函数f（x），当x∈A．B．1 C．3 D．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）为偶函数，可得f（﹣）=f（）再将其代入f（x）=2sinx，进行求解，再根据x∈曲线=1（k＜9）表示焦点在x轴上，长轴长为2，短轴长为2，离心率为，焦距为16．对照选项，则D正确．故选D．点评：本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题．9．指数函数y=（）x与二次函数y=ax2+2bx（a∈R，b∈R）在同一坐标系中的图象可能的是( )A．B．C．D．考点：函数的图象；二次函数的性质．分析：根据二次函数的对称轴首先排除B选项，再根据与1关系，结合二次函数和指数函数的性质逐个检验即可得出答案解答：解：根据指数函数的解析式为y=（）x，∴＞0，∴﹣＜0，故二次函数y=ax2+bx的对称轴x=﹣位于y轴的左侧，故排除B．对于选项A，由二次函数的图象可得a＞0，故二次函数y=ax2+bx的对称轴x=﹣＞﹣1，∴＜1，则指数函数应该单调递减，故A不正确．对于选项C，由二次函数的图象可得a＜0，故二次函数y=ax2+bx的对称轴x=﹣＜﹣1，∴＞1，则指数函数应该单调递增，故C正确．对于选项C，由二次函数的图象可得a＞0，故二次函数y=ax2+bx的对称轴x=﹣＜﹣1，∴＞1，则指数函数应该单调递增，故D不正确故选：C点评：本题考查了同一坐标系中指数函数图象与二次函数图象的关系，根据指数函数图象确定出a、b的正负情况是求解的关键，属于基础题10．对于集合A，如果定义了一种运算“⊕”，使得集合A中的元素间满足下列4个条件：（Ⅰ）∀a，b∈A，都有a⊕b∈A（Ⅱ）∃e∈A，使得对∀a∈A，都有e⊕a=a⊕e=a；（Ⅲ）∀a∈A，∃a′∈A，使得a⊕a′=a′⊕a=e；（Ⅳ）∀a，b，c∈A，都有（a⊕b）⊕c=a⊕（b⊕c），则称集合A对于运算“⊕”构成“对称集”．下面给出三个集合及相应的运算“⊕”：①A={整数}，运算“⊕”为普通加法；②A={复数}，运算“⊕”为普通减法；③A={正实数}，运算“⊕”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有( )A．①② B．①③ C．②③ D．①②③考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题；集合．分析：根据新定义，对所给集合进行判断，即可得出结论．解答：解：①A={整数}，运算“⊕”为普通加法，根据加法运算可知满足4个条件，其中e=0，a、a′互为相反数；②A={复数}，运算“⊕”为普通减法，不满足4个条件；③A={正实数}，运算“⊕”为普通乘法，根据乘法运算可知满足4个条件，其中e=1，a、a′互为倒数．故选：B．点评：本题考查新定义，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．二、填空题：本大题共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分．（一）必做题（11～13题）11．已知函数f（x）=，则在点（2，f（2））处的切线方程为y=﹣2x+8．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：求出原函数的导函数，得到f′（0）=2，再求出f（0），由直线方程的点斜式得答案．解答：解：∵f（x）=，∴，∴f′（2）=﹣2，又f（2）=4，∴函数f（x）=在点（2，f（2））处的切线方程为y﹣4=﹣2（x﹣2），即y=﹣2x+8．故答案为：y=﹣2x+8．点评：本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．12．设z=kx+y，其中实数x，y满足，若z的最大值为12，则实数k=2．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出可行域，得到角点坐标．再对k进行分类讨论，通过平移直线z=kx+y得到最大值点A，即可得到答案．解答：解：可行域如图：由得：A（4，4），同样地，得B（0，2），z=kx+y，即y=﹣kx+z，分k＞0，k＜0两种情况．当k＞0时，目标函数z=kx+y在A点取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，即12=4k+4，得k=2；当k＜0时，①当k＞﹣时，目标函数z=kx+y在A点（4，4）时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，此时，12=4k+4，故k=2．②当k时，目标函数z=kx+y在B点（0，2）时取最大值，即直线z=kx+y在y轴上的截距z最大，此时，12=0×k+2，故k不存在．综上，k=2．故答案为：2．点评：本题主要考查简单线性规划．解决此类问题的关键是正确画出不等式组表示的可行域，将目标函数赋予几何意义．13．在各项均为正项的等比数列{a n}中，已知a1+a2+a3+a4+a5=31，=，则a3=4．考点：等比数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：设出等比数列的首项和公比，由题意列式，整体运算得到，则a3可求．解答：解：设等比数列a n的公比为q，则{}也是等比数列，且公比为，依题意得：，两式作比得：，即，∵a n＞0，∴a3=4．故答案为：4．点评：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的前n项和，是基础的计算题．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）【几何证明选讲选做题】14．在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=5，点E、F分别在AB、CD上，且EF∥AD，若，则EF的长为．考点：平行线分线段成比例定理．专题：计算题．分析：先设EF交AC与点H，利用平行线分线段成比例定理求出EH以及HF，即可求得EF的长．解答：解：设EF交AC与点H，因为EF∥AD，且，所以有==，故EH=×5=，同理=，得HF=2=．所以：EF==．故答案为：．点评：本题主要考查平行线分线段成比例定理．解决本题的关键在于把EF的长转化为EH以及HF．【坐标系与参数方程选做题】15．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，已知直线l与曲线C的参数方程分别为l：（s为参数）和C：（t为参数），若l与C相交于A、B两点，则|AB|=．考点：直线的参数方程；抛物线的参数方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把直线l的参数方程化为直角坐标方程，把曲线C的参数方程化为直角坐标方程，联立方程组求出交点坐标，再利用两点间的距离公式求出结果．解答：解：把直线l：（s为参数）消去参数，化为直角坐标方程为 x+y﹣2=0．把曲线C：（t为参数）消去参数，化为直角坐标方程为 y=（x﹣2）2．把直线方程和曲线C的方程联立方程组解得，或．故|AB|==，故答案为．点评：本题主要考查把参数方程化为普通方程的方法，求直线和曲线的交点坐标，两点间的距离公式，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．已知函数．（1）求f（x）的最大值和最小正周期；（2）若f（）=，α是第二象限的角，求sin2α．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（1）利用两角和的正弦公式对解析式化简，由正弦函数的最值和三角函数的周期公式求出函数的最大值和周期；（2）将x=代入由（1）求出的解析式，化简后求出正弦值，再由角的范围和平方关系求出余弦值，再代入二倍角的正弦公式求值即可．解答：解（1）由题意得，=2sin（2x+），∴f（x）的最大值为2，且函数的最小正周期为T==π，（2）由（1）知，，∵，∴，即sinα=，又∵α是第二象限的角，∴cosα=﹣=﹣，∴sin2α=2sinαcosα=2××（﹣）=﹣．点评：本题考查了倍角公式和两角和的正弦公式，以及正弦函数的性质综合应用，考查了的知识点较多，需要熟练掌握．17．近年来，我国许多省市雾霾天气频发，为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召n 名义务宣传志愿者，成立环境保护宣传组织．现把该组织的成员按年龄分成5组：第1组，得到的频率分布直方图如图所示，已知第2组有35人．（1）求该组织的人数；（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加某社区的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该组织决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，用列举法求出第3组至少有一名志愿者被抽中的概率．考点：古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）根据频数=频率×样本容量，频率=对应矩形面积，构造关于n的方程，解方程可得该组织的人数；（2）先计算出第3，4，5组中每组的人数，进而根据比例，可得到应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者；（3）选求出这6名志愿者中随机抽取2名志愿者的基本事件总数和第3组至少有一名志愿者被抽中的基本事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得答案．解答：解：（1）由题意：第2组的人数：35=5×0.07•n，得到：n=100，故该组织有100人．…（2）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10．∵第3，4，5组共有60名志愿者，∴利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组：；第4组：；第5组：．∴应从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人．…（3）记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者为B1B2，第5组的1名志愿者为C1．则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），（B1，B2），（B1，C1），（B2，C1），共有15种．其中第3组的3名志愿者A1，A2，A3，至少有一名志愿者被抽中的有：（A1，A2），（A1，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A1，C1），（A2，A3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，C1），（A3，B1），（A3，B2），（A3，C1），共有12种，则第3组至少有一名志愿者被抽中的概率为．…点评：本题考查的知识点是古典概型概率计算公式，其中熟练掌握利用古典概型概率计算公式求概率的步骤，是解答的关键．18．如图，三棱锥C﹣ABD中，AB=AD=BD=BC=CD=2，O为BD的中点，∠AOC=120°，P为AC上一点，Q为AO上一点，且．（Ⅰ）求证：PQ∥平面BCD；（Ⅱ）求证：PO⊥平面ABD；（Ⅲ）求四面体ABCD的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）证明：PQ∥CO，利用线面平行的判定定理证明PQ∥平面BCD；（Ⅱ）证明BD⊥PO，OP⊥OA，即可证明：PO⊥平面ABD；（Ⅲ）求出P﹣ABD的体积，即可求四面体ABCD的体积．解答：（Ⅰ）证明：∵，∴PQ∥CO又∵PQ⊄平面BCD，CO⊂平面BCD，∴PQ∥平面BCD…（Ⅱ）证明：由等边△ABD，等边△BCD，O为BD的中点得：BD⊥AO，BD⊥OC，AO∩OC=O，∴BD⊥平面AOC．又∵PO⊂平面AOC，∴BD⊥PO在△AOC中，∠AOC=120°，，∴∠OAC=30°，…∴AP=2在△AOP中，由余弦定理得：OP=1…∴OP⊥OA…又OA∩BD=O，∴PO⊥平面ABD…（Ⅲ）解：∵P O⊥平面ABD，∵∴…点评：本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查体积的计算，正确运用线面平行、线面垂直的判定定理是关键．19．已知{a n}是等差数列，公差为d，首项a1=3，前n项和为S n．令，{c n}的前20项和T20=330．数列{b n}满足b n=2（a﹣2）d n﹣2+2n﹣1，a∈R．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若b n+1≤b n，n∈N*，求a的取值范围．考点：数列递推式；等差数列的性质．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用T20=330，求出公差，即可求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）先求出b n，再根据b n+1≤b n，n∈N*，结合函数的单调性，即可求a的取值范围．解答：解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，因为，所以T20=﹣S1+S2﹣S3+S4+…+S20=330，则a2+a4+a6+…+a20=330…则解得d=3所以a n=3+3（n﹣1）=3n…（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n=2（a﹣2）3n﹣2+2n﹣1b n+1﹣b n=2（a﹣2）3n﹣1+2n﹣=4（a﹣2）3n﹣2+2n﹣1=由b n+1≤b n⇔…因为随着n的增大而增大，所以n=1时，最小值为，所以…点评：本题考查数列的通项，考查数列与不等式的联系，考查学生的计算能力，属于中档题．20．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点F1与抛物线y2=4x的焦点重合，原点到过点A（a，0），B（0，﹣b）的直线的距离是．（1）求椭圆C的方程；（2）设动直线l：y=kx+m与椭圆C有且只有一个公共点P，过F1作PF1的垂直于直线l交于点Q，求证：点Q在定直线上，并求出定直线的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由已恬条件得a2=b2+1，，由此能求出椭圆C的方程．（2）由，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由直线与椭圆相切，得4k2﹣m2+3=0，由此能证明点Q在定直线x=4上．解答：（1）解：由于抛物线的y2=4x的焦点坐标为（1，0），∴c=1，∴a2=b2+1，∵顶点到直线AB：的距离d=，∴a2=4，b2=3，∴椭圆C的方程为．（2）证明：由，得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0（*）由直线与椭圆相切得m≠0，且△=64k2m2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）=0，整理，得4k2﹣m2+3=0，将4k2+3=m2，m2﹣3=4k2代入（*）式得m2x2+8kmx+16k2=0，即（mx+4k）2=0，解得x=﹣，∴P（﹣，），又F 1（1，0），∴==﹣，∴=，∴直线F 1Q的方程为：y=，联立，得x=4，∴点Q在定直线x=4上．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查点在定直线上的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．21．已知函数f（x）=x3﹣3x2+ax（a∈R）（1）求函数y=f（x）的单调区间；（2）当a≥2时，求函数y=|f（x）|在0≤x≤1上的最大值．考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：（1）求出函数的导数，讨论判别式小于或等于0，和大于0，令导数大于0，得增区间；令导数小于0，得减区间；（2）由（1）讨论当a≥3时，当2≤a＜3时，求得函数的单调区间，通过函数值的符号，去绝对值符号，即可得到最大值．解答：解：（1）函数f（x）=x3﹣3x2+ax的导数为f′（x）=3x2﹣6x+a，判别式△=36﹣12a，当△≤0时，即a≥3，f′（x）≥0恒成立，f（x）为增函数；当a＜3时，即△＞0，3x2﹣6x+a=0有两个实根，x1=1﹣，x2=1+，f′（x）＞0，可得x＞x2或x＜x1；f′（x）＜0，可得x1＜x＜x2．综上可得，a≥3时，f（x）的增区间为R；a＜3时，f（x）的增区间为（﹣∞，1﹣），（1+，+∞），减区间为（1﹣，1+）．（2）由于y=|f（x）|的图象经过原点，当a≥3时，由（1）可得y=|f（x）|=f（x）在递增，即有x=1处取得最大值，且为a﹣2；当2≤a＜3时，由（1）可得f（x）在递减，则f（x）在x=1﹣处取得最大值，且大于0，又f（0）=0，f（1）=a﹣2≥0，则y=|f（x）|=f（x）（0≤x≤1）的最大值即为f（1﹣）．综上可得，当a≥3时，函数y的最大值为a﹣2；当2≤a＜3时，函数y的最大值为f（1﹣）．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，主要考查分类讨论的思想方法和函数的单调性的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．。