崇文区2009-2010学年度第二学期统一练习(理)题

崇文区2009－2010学年度第二学期统一练习（一）
高三数学（理科） 2010.4
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）
注意事项：
1．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

2．答题前考生务必用黑色字迹的签字笔在答题卡上填写姓名、准考证号，然后再用2B 铅笔将与准考证号对应的信息点涂黑。

3．答题卡上第Ⅰ卷必须用2B 铅笔作答，将选中项涂满涂黑，黑度以遮住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。

第Ⅱ卷必须用黑色字迹的签字笔按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目
要求的一项．
（1）已知全集U =R ，集合{}|12A x x =->，{}2|680B x x x =-+<，则集合
()U
A B ⋂=ð
（A ）{}|14x x -≤≤ （B ）{}|14x x -<< （C ）{}|23x x ≤< （D ） {}|23x x <≤
（2）一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人. 为
了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽出一个容量为25的样本，应抽取不超过45岁的职工人数为
(A) 5 (B) 10 （C ）15 （D ）50 （3）已知P A 是 O 的切线，切点为A ，2PA =，A C 是 的直径，P C 交 O 于点B ，30PAB ∠=
，则 O 半径为
（A ）1 （B
）2 （C
（D ）
（4）已知等比数列{}n a 为递增数列，且373a a +=，282a a ⋅=，则
117
a a =
（A ）2 （B ）
43
（C ）
32
（D ）
12
（5）已知,m n 是两条不同直线，,,αβγ是三个不同平面，下列命题中正确的为
（A ）若,,αγβγ⊥⊥则αβ （B ）若,,m n αα⊥⊥则m n （C ）若,m n αα ，则m n （D ）若,,m m αβ 则αβ （6
）设33,,2
x
y
x y
M N P ++=
==0x y <<）， 则,,M N P 大小关系为
（A ）M N P << （B ）N P M << （C ）P M N << （D ）P N M << （7）2位男生和3位女生共5位同学站成一排．若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两
位女生相邻，则不同排法的种数为
（A ）36 （B ）42 （C ） 48 （D ） 60 （8）设定义在R 上的函数1,(1),
1
()1,(1)x x f x x ⎧≠⎪
-=⎨⎪=⎩
．
若关于x 的方程
2
()()0f x bf x c ++=有3个不同的实数解1x ，2x ，3x ，则123x x x ++等于
（A ） 3 （B ）2 （C ）1b -- （D ）c
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高三数学（理科） 2010.4
第Ⅱ卷（共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）如果复数()()2i 1i m m ++（其中i 是虚数单位）是实数，则实数m =___________． （10）若12
)a x
的展开式中的常数项为220-，则实数a =___________．
（11）将参数方程12cos ,
2sin ,x y θθ=+⎧⎨=⎩
（θ为参数）化成普通方程为 ．
（12）某程序框图如图所示，该程序运行后输出,M N 的值分别为 ．
（13）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则11,
(1),,(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩．
若数列{}n b 的前n 项积为n T ，类比上述结果，则n b =_________；
此时，若2()n T n n *
=∈N ，则n b =___________．
（14）定义在R 上的函数满足1(0)0,()(1)1,(()5
2
x f f x f x f f x =+-==
，
且当1201x x ≤<≤时，12()()f x f x ≤，则1(
)2010
f =_________________．
10 15 20 25 30 35
产品数量
0 0.02
0.03 0.04
0.05 0.06
1
1
C
A 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题共12分）
在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，
满足sin 2
5
A =
，且ABC ∆的面积
为2．
（Ⅰ）求bc 的值；
（Ⅱ）若6=+c b ，求a 的值．
（16）（本小题共13分）
为了调查某厂2000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m 位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[)10,15，[)15,20，[)20,25,[)25,30，[30,35],频率分布直方图如图所示．已知生产的产品数量在[)20,25之间的工人有6位． （Ⅰ）求m ；
（Ⅱ）工厂规定从各组中任选1人进行再培训，则选取5人的概率是多少？
（17）（本小题共14分）
三棱柱111C B A ABC -中，侧棱与底面垂直，
90=∠ABC ，12AB BC BB ===，
,M N 分别是AB ，1A C 的中点．
（Ⅰ）求证：MN 平面11B BCC ； （Ⅱ）求证：⊥MN 平面C B A 11； （Ⅲ）求二面角11A C B M --的余弦值．
（18）(本小题共14分）
已知322()69f x x ax a x =-+（a ∈R ）． （Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间；
（Ⅱ）当0a >时，若对[]0,3x ∀∈有()4f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围．
（19）（本小题共14分）
已知抛物线24y x =，点(1,0)M 关于y 轴的对称点为N ，直线l 过点M 交抛物线于
,A B 两点．
（Ⅰ）证明：直线,NA NB 的斜率互为相反数； （Ⅱ）求A N B ∆面积的最小值；
（Ⅲ）当点M 的坐标为(,0)(0m m >，且1)m ≠．根据（Ⅰ）（Ⅱ）推测并回答下列问题
（不必说明理由）：
① 直线,NA NB 的斜率是否互为相反数？ ② A N B ∆面积的最小值是多少？
（20）(本小题共13分)
已知数列{}n a 中，11a =，21(0a a a =-≠且1)a ≠，其前n 项和为n S ，且当2
n ≥时，
1
111n
n
n S a a +=-
．
（Ⅰ）求证：数列{}n S 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅲ）若4a =，令19(3)(3)
n
n n n a b a a +=
++，记数列{}n b 的前n 项和为n T ．设λ是整数，
问是否存在正整数n ，使等式1
3758
n n T a λ
++=成立？若存在，求出n 和相应的λ值；
若不存在，请说明理由．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）。