2021年广东省珠海市高考数学第一次质量监测试卷(一模)
2021年全国新高考Ⅰ卷高考数学中真题试卷及答案解析【完整版】
2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（）A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4} 2．已知z＝2﹣i，则z（+i）＝（）A．6﹣2i B．4﹣2i C．6+2i D．4+2i3．已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A．2B．2C．4D．44．下列区间中，函数f（x）＝7sin（x﹣）单调递增的区间是（）A．（0，）B．（，π）C．（π，）D．（，2π）5．已知F1，F2是椭圆C：+＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|•|MF2|的最大值为（）A．13B．12C．9D．66．若tanθ＝﹣2，则＝（）A．﹣B．﹣C．D．7．若过点（a，b）可以作曲线y＝e x的两条切线，则（）A．e b＜a B．e a＜b C．0＜a＜e b D．0＜b＜e a8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A．甲与丙相互独立B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立D．丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．有一组样本数据x1，x2，…，x n，由这组数据得到新样本数据y1，y2，…，y n，其中y i＝x i+c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（）A．两组样本数据的样本平均数相同B．两组样本数据的样本中位数相同C．两组样本数据的样本标准差相同D．两组样本数据的样本极差相同10．已知O为坐标原点，点P1（cosα，sinα），P2（cosβ，﹣sinβ），P3（cos（α+β），sin （α+β）），A（1，0），则（）A．||＝||B．||＝||C．•＝•D．•＝•11．已知点P在圆（x﹣5）2+（y﹣5）2＝16上，点A（4，0），B（0，2），则（）A．点P到直线AB的距离小于10B．点P到直线AB的距离大于2C．当∠PBA最小时，|PB|＝3D．当∠PBA最大时，|PB|＝312．在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AA1＝1，点P满足＝λ+μ，其中λ∈[0，1]，μ∈[0，1]，则（）A．当λ＝1时，△AB1P的周长为定值B．当μ＝1时，三棱锥P﹣A1BC的体积为定值C．当λ＝时，有且仅有一个点P，使得A1P⊥BPD．当μ＝时，有且仅有一个点P，使得A1B⊥平面AB1P三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年广东省珠海市高考数学第一次质量监测试卷(一模)
2021年广东省珠海市高考数学第一次质量监测试卷（一模）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合A ＝{x|1x +<2}，集合B ＝{y|y ＝（13）x ，x ∈R}，则A ∩B ＝（ ）A.(−1, 3)B.(0, 3)C.[0, 3)D.[−1, 3)2.设i 是虚数单位，复数z 1＝i 2021，复数z 2＝4343ii-+，则z 1+z 2在复平面上对应的点在（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知α＝2ln3，β＝13e -，γ＝ln 13，则α，β，γ的大小关系是（ ）A.α<β<γB.β<α<γC.γ<β<αD.β<γ<α4.如图，为一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积是（ ） A.5π+2 B.(51)π++4 C.(51)π++2 D.5π+4 5.已知α，β是两个不同的平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，下列条件中，可以得到l ⊥α的是（ ） A.l ⊥m ，l ⊥n ，m ⊂α，n ⊂α B.l ⊥m ，m // α C.α⊥β，l // βD.l // m ，m ⊥α6.变量x ，y 满足约束条件30040x y x y x y a +-≥⎧⎪-≥⎨⎪-+≤⎩，若目标函数z ＝x +2y 的最大值为12，则实数a ＝（ ）A.12B.−12C.4D.−47.下列四个叙述中，错误的是（ ） A.“p ∨q 为真”是“p ∧q 为真”的必要不充分条件 B.命题p ：“∀x ∈R 且x ≠0，x +1x的值域是(−∞, −2]∪[2, +∞)”，则￢p ：“∃x 0∈R 且x 0≠0，使得001(2,2)x x +∈-” C.已知a ，b ∈R 且ab >0，原命题“若a >b ，则1a <1b ”的逆命题是“若1a <1b，则a >b ”D.已知函数f(x)＝x 2，函数g(x)＝（12）x−m ，若对任意x 1∈[−1, 3]，存在x 2∈[0, 1]，使得f(x 1)≥g(x 2)成立，则m 的范围是[1, +∞)8.已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第i 行第j 列的数记为a i,j ，如a 3,1＝7，a 4,3＝15，则a i,j ＝2021时，110(3)j --log 2(i +19)＝（ ）A.54B.18C.9D.6二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021-2022学年广东省珠海市高一上学期期末考试数学试卷含详解
C
【分析】根据奇偶性的定义判断即可；
【详解】解：因为函数 是偶函数，函数 是奇函数，所以 、 ，
对于A：令 ，则 ，故 是非奇非偶函数，故A错误；
对于B：令 ，则 ，故 为奇函数，故B错误；对于C：令 ，则 ，故 为偶函数，故C正确；
对于D：令 ，则 ，故 为偶函数，故D错误；
（2）求出 整体的范围，再结合正弦函数的单调性求解单调区间和值域.
【小问1详解】
；
函数 的最小正周期为 ，
函数 的对称轴方程为 ；
【小问2详解】 ，
，
时，函数 单调递减，即 时，函数 在 上单调递减；
时，函数 在单调递增，即 时，函数 在 上单调递增.
，
函数 的值域为 .
21.果园A占地约3000亩，拟选用果树B进行种植，在相同种植条件下，果树B每亩最多可种植40棵，种植成本 （万元）与果树数量 （百棵）之间的关系如下表所示.
【小问1详解】
，
.【小问2详解】
，
.
，
.
.
20.已知函数 .
（1）求函数 的最小正周期及函数 的对称轴方程；
（2）若 ，求函数 的单调区间和值域.
（1）最小正周期为 ，对称轴方程为
（2）函数 在 上单调递减，在 上单调递增；值域为
【分析】（1）先通过降幂公式化简成 ，再按照周期和对称轴方程进行求解；
1.已知集合 ，下列选项正确的是（）
A. B. C. D.
B
【分析】由已知集合，判断选项中的集合或元素与集合A的关系即可.
【详解】由题设， 且 ，
所以B正确，A、C、D错误.
故选：B
2.已知集合 ， 或 ，则 （）
2021年高考数学模拟试卷(带解析)
2021年高考数学模拟联考试卷一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）)1. 设集合A＝{x|x2+x−2<0}，B＝{x|0<x<3}，则A∪B＝（）A.{x|−2<x<3}B.{x|0<x<1}C.{x|−1<x<3}D.{x|0<x<2}2. 已知i是虚数单位，z是复数，若(1+3i)z＝2−i，则复数z的虚部为（）A. B. C. D.3. 在△ABC中，“sin A＝cos B”是“C＝”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4. 函数f(x)＝ln(√x2+1+kx)的图象不可能是（）A. B.C. D.5. 已知圆x2+y2−4x+4y+a＝0截直线x+y−4＝0所得弦的长度小于6，则实数a 的取值范围为（）A. B.C.(−9, +∞)D.(−9, 8)6. 的展开式中的常数项是（）A.−5B.15C.20D.−257. 已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为16，左焦点为F，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF，O为坐标原点，若S△OMF=16，则双曲线C的离心率为（）A.√52B.√5 C.√3 D.3√328. 已知函数f(x)＝+x+2，若不等式f(m⋅4x+1)+f(m−2x)≥5对任意的x>0恒成立，则实数m的最小值为（）A.-B.−1C.D.1−二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）)9. 设a，b，c为实数，且a>b>0，则下列不等式中正确的是（）A. B.ac2>bc2 C.D.lg a2>lg(ab)10. 函数f(x)＝A cos(ωx+φ)的部分图象如图所示，且满足，现将图象沿x轴向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象．下列说法正确的是（）A.g(x)在上是增函数B.g(x)的图象关于对称C.g(x)是奇函数D.g(x)在区间上的值域是11. 已知四棱锥P−ABCD，底面ABCD为矩形，侧面PCD⊥平面ABCD，BC=2√3，CD=PC=PD=2√6．若点M为PC的中点，则下列说法正确的为（）A.BM⊥平面PCDB.PA // 面MBDC.四棱锥M−ABCD外接球的表面积为36πD.四棱锥M−ABCD的体积为612. 设S n为等比数列{a n}的前n项和，满足a1＝3，且a1，−2a2，4a3成等差数列，则下列结论正确的是（）A.B.3S n＝6+a nC.若数列{a n}中存在两项a p，a s使得，则的最小值为D.若恒成立，则m−t的最小值为三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）)13. 已知||＝2，||＝1，+＝(2，-），则|+2|＝________．14. 若cos（−α)−sinα＝，则sin(2α+）＝________．15. 已知直线y＝2x−2与抛物线y2＝8x交于A，B两点，抛物线的焦点为F，则•的值为________．16. 已知函数，，若函数有3个不同的零点x1，x2，x3，且x1<x2<x3，则f(x1)+ f(x2)+2f(x3)的取值范围是________．四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）)17. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=90∘，AD//BC，AD，E是线段AB的中AD⊥侧面PAB，△PAB是等边三角形，DA=AB=2，BC=12点．(1)求证：PE⊥CD；(2)求PC与平面PDE所成角的正弦值．18. 在①b sin A+a sin B＝4c sin A sin B，②cos2C−2＝2，③，这三个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并解决该问题．已知△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，sin A sin B＝，c＝2，______，求角C及△ABC的面积S．19. 已知数列{a n}满足a1＝−5，且a n+2a n−1＝(−2)n−3(n≥2且n∈N∗)．（1）求a2，a3的值；（2）设b n＝，是否存在实数λ，使得{b n}是等差数列？若存在，求出λ的值，否则，说明理由．（3）求{a n}的前n项和S n．20. 为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量．某地车牌竞价的基本规则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与当期竞拍的总人数；②竞价时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额．某人拟参加2018年4月份的车牌竞拍，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（如表）：（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y（万人）与月份编号t之间的相关关系．请用最小二乘法求y关于t的线性回归方程：y=b t+a，并预测2018年4月份参与竞拍的人数；（2）某市场调研机构对200位拟参加2018年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个抽样调查，得到如表一份频数表：(i)求这200位竞拍人员报价X的平均值x¯和样本方差s2（同一区间的报价可用该价格区间的中点值代替）；(ii)假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布N(μ, σ2)，且μ与σ2可分别由(i)中所求的样本平均数x ¯及s 2估值．若2018年4月份实际发放车牌数量为3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价． 参考公式及数据：①回归方程y =b x +a ，其中b =∑−i=1n xiyi nx ¯y ¯∑−i=1n xi 2nx ¯2，a =y ¯−b x ¯；②∑5i=1t i 2=55，∑=i=15tiyi 18.8，√1.7≈1.3；③若随机变量Z 服从正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<Z <μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<Z <μ+3σ)=0.9974．21. 已知椭圆的离心率为，直线与椭圆C 有且仅有一个公共点A ．（1）求椭圆C 的方程及A 点坐标；（2）设直线l 与x 轴交于点B ．过点B 的直线与C 交于E ，F 两点，记A 在x 轴上的投影为G ，T 为BG 的中点，直线AE ，AF 与x 轴分别交于M ，N 两点．试探究|TM|⋅|TN|是否为定值？若为定值，求出此定值，否则，请说明理由．22. 已知函数f(x)＝x 2−2mx +2ln x(m >0)． （1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若x 1，x 2为函数f(x)的两个极值点，且x 1，x 2为函数ℎ(x)＝ln x −cx 2−bx 的两个零点，x 1<x 2．求证：当时，．参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．）1.【答案】A【解析】此题暂无解析2.【答案】B【解析】此题暂无解析3.【答案】B【解析】此题暂无解析4.【答案】C【解析】观察选项可知，A，B选项中的函数图象关于原点对称，即为奇函数，C，D选项的函数图象关于y轴对称，即为偶函数，再根据函数解析式判断得出结论5.【答案】D【解析】此题暂无解析6.【答案】D【解析】求出展开式的通项公式，分别令x的指数为0，−2，求出对应的r值，从而计算得解．7.【答案】A【解析】x，运用点到直线的距离公式，结合勾股定理和求得双曲线C一条渐近线方程为y=ba三角形的面积公式，化简整理解方程可得c=4 √5，进而得到双曲线的离心率．8.【答案】C【解析】此题暂无解析二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．）9.【答案】A,C,D【解析】此题暂无解析10.【答案】B,C,D【解析】此题暂无解析11.【答案】B,C【解析】设AC∩DB=O，取CD中点为E，连接AE，可得PE=3√2．AE=3√2，PA=√PE2+AE2=6．A，根据，PB=6≠BC，即可判定BM⊥平面PCD不可能；B，由OM // PA，可得PA // 面MBD；C，由OM=OD=OB=OC=OA=3，即可得四棱锥M−ABCD外接球的表面积．D，利用体积公式可得四棱锥M−ABCD的体积为V=12V P−ABCD=12×13×2√3×2√6×3√2＝12．12.【答案】A,B,D【解析】此题暂无解析三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.【答案】2【解析】此题暂无解析14.【答案】【解析】 此题暂无解析 15.【答案】 −11【解析】 此题暂无解析 16. 【答案】【解析】 此题暂无解析四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17.【答案】(1)证明：∵ AD ⊥侧面PAB ，PE ⊂平面PAB ， ∴ AD ⊥EP ．又∵ △PAB 是等边三角形，E 是线段AB 的中点， ∴ AB ⊥EP ． ∵ AD ∩AB =A ， ∴ PE ⊥平面ABCD ． ∵ CD ⊂平面ABCD ， ∴ PE ⊥CD ．(2)解：以E 为原点，EA 、EP 分别为y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则E(0, 0, 0)，C(1, −1, 0)，D(2, 1, 0)，P(0, 0, √3)． ED →=(2, 1, 0)，EP →=(0, 0, √3)，PC →=(1, −1, −√3)． 设n →=(x, y, z)为平面PDE 的一个法向量． 由 {n →⋅ED →=2x +y =0，n →⋅EP →=√3z =0，令x ＝1，可得n →=(1, −2, 0)． 设PC 与平面PDE 所成的角为θ，得sin θ=|cos <PC →⋅n →>|=|PC →⋅n →||PC →|⋅|n →|=35，所以PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35．【解析】（I ）根据线面垂直的性质和正三角形性质，得AD ⊥EP 且AB ⊥EP ，从而得到 PE ⊥平面ABCD ．再结合线面垂直的性质定理，可得PE ⊥CD ；(II)以E 为原点，EA 、EP 分别为y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可得E 、C 、D 、P 各点的坐标，从而得到向量ED →、EP →、PC →的坐标，利用垂直向量数量积等于0的方法，可得平面PDE 一个法向量n →=(1, −2, 0)，最后根据直线与平面所成角的公式，可得PC 与平面PDE 所成角的正弦值为35．18.【答案】若选①b sin A +a sin B ＝4c sin A sin B ， 因为b sin A +a sin B ＝4c sin A sin B ，所以由正弦定理得sin B sin A +sin A sin B ＝7sin C sin A sin B ，即2sin B sin A ＝4sin C sin A sin B ，所以，因为C ∈(0, π)，或，若，由，而，，从而，矛盾．故，接下来求△ABC 的面积S ．法一：设△ABC 外接圆的半径为R ，则由正弦定理，得，∴ a ＝2R sin A ＝5sin A ，b ＝2R sin B ＝4sin B ， ∴，∴，法二：由题意可得cos C＝，即，∵，∴，∴，∵，∴或，当时，又，∴，，由正弦定理，得，∴，当时，同理可得，故△ABC的面积为．选②，因为，所以，即，，所以或（舍），因为C∈(0, π)，以下同解法同①．选③，由，及正弦定理得，即，由余弦定理得，∵0<C<π，∴，以下解法同①．【解析】若选①由正弦定理，三角函数恒等变换的应用化简已知等式可得，结合范围C∈(0, π)，可求C的值，接下来求△ABC的面积S，法一：设△ABC外接圆的半径为R，则由正弦定理可求ab的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．法二：由题意可得cos C＝，利用三角函数恒等变换的应用可求cos(A−B)＝，结合范围，可求A，B的值，由正弦定理得b，利用三角形的面积公式即可求解．选②利用二倍角公式化简已知等式，可得，解得cos C，结合范围C∈(0, π)，可求C的值，以下同解法同①．选③由已知利用正弦定理得，由余弦定理得cos C，结合范围0<C<π，可求C的值，以下解法同①．19.【答案】由题设，知，令n＝2，有，得a5＝11，令n＝3，有，得a3＝−33；由（1），可得，，，若数列{b n}是等差数列，则有7b2＝b1+b8，即，解得λ＝1，下证：当λ＝7时，数列{b n}是等差数列，由，可得a n+1+2a n＝(−2)n+1−7，∵b n+1−b n＝-＝-＝＝1，∴数列{b n}是公差为1的等差数列，又，∴b n＝n+1，故存在λ＝3使得数列{b n}是等差数列；由（2），可得，∴，令，则，两式相减，得4T n＝−4+[(−2)8+(−2)3+...+(−7)n]−(n+1)⋅(−2)n+3＝−4+−(n +1)⋅(−2)n+1＝-，∴ T n ＝-，∴．【解析】 此题暂无解析 20. 【答案】由题意求出t ¯=3， y ¯=1.04．由∑5i=1t i 2=55，∑=i=15tiyi 18.8， b =∑−i=1n xiyi nx ¯y ¯∑−i=1n xi 2nx ¯2=18.8−5×3×1.0455−5×32=3.210=0.32那么a =y ¯−b x ¯=1.04−0.32×3=0.08 从而得到回归直线方程为y =0.32x +0.08．当t =6时，可得y =0.32×6+0.08=2（万）(i)根据表中数据求解平均值x ¯=20200×1.5+60200×2.5+60200×3.5+30200×4.5+20200×5.5+10200×6.5=3.5．样本方差s 2=(−2)2×20200+(−12)×60200+0+12×30200+22×20200+32×10200=1.7． (ii)P =317420000=0.1587．正态分布N(μ, σ2)，可得(3.5, 1.72) ∴ P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826， 即3.5−1.7<Z <5.2． P(Z >5.2)=1−6.8262=0.1587，∴ 2018年4月份竞拍的最低成交价为5.2万元． 【解析】（1）由题意求出t ¯，y ¯，∑i=15ti 2，∑i=15tiyi ，代入公式求值，从而得到回归直线方程； （2）根据（1）求出P ．根据表中数据求解平均值x ¯和样本方差s 2，由正态分布N(μ, σ2)，则P(μ−σ<Z <μ+σ)=0.6826，由此可得3.5−1.7<Z <5.2．P(Z >5.2)=1−6.8262=0.1587，从而预测竞拍的最低成交价．21.【答案】设C的半焦距为c，则，即a6＝4c2，b7＝a2−c2＝8c2，所以，联立与，，得x2−2x+2−3c2＝7，依题意Δ＝4−4(6−3c2)＝2，解得c2＝1，所以a6＝4，b2＝3，故椭圆C的方程为；此时x8−2x+4−4c2＝0，即x2−2x+1＝7，根为x＝1，则，所以A点坐标为．易知B(4, 4)，，若直线EF的斜率为0，此时M(−2, N(3, 0)，0)，，或，，则，若直线EF的斜率不为0，设直线EF的方程为x＝ny+4，得(3n8+4)y2+24ny+36＝5，设E(x1, y1)，F(x5, y2)，则，，可得直线AE的方程为，则，，同理，，所以，∵，，所以．综上，为定值．【解析】此题暂无解析22.【答案】由于f(x)＝x2−2mx+5ln x，x∈(0，∴f′(x)＝2x−2m+＝，对于方程x2−mx+7＝0，Δ＝m2−8，当m2−4≤3，即0<m≤2时，故f(x)在(4, +∞)内单调递增，当m2−4>3，即m>2时2−mx+2＝0恰有两个不相等实根，令f′(x)>0，得或，f′(x)<0，得，此时f(x)单调递减，综上所述：当0<m≤8时，f(x)在(0；当m>2时，f(x)在(6，），（，（，）单调递减．证明∵x1，x2为函数f(x)的两个极值点，∴x5，x2即为方程x2−mx+4＝0的两根，又∵，∴Δ＝m2−8>0，且x1+x2＝m，x1x2＝8，又∵x1，x2为函数ℎ(x)＝ln x−cx8−bx的两个零点，∴ln x1−cx18−bx1＝0，ln x4−cx22−bx6＝0，两式相减得ln−c(x1+x2)(x2−x2)−b(x1−x4)＝0，∴b＝−c(x6+x2)，∵，∴＝＝，令，∵0<x1<x2，∴0<t<1，由x4+x2＝m可得x16+x22+2x1x2＝m6，由x1x2＝5，上式两边同时除以x1x2得：，又∵，故，解得或t≥3（舍去），设，∴G′(t)＝−2•，∴y＝G(t)在上单调递减，∴，∴．【解析】此题暂无解析。
2021年广州市普通高中毕业班综合测试(一)数学试题及参考答案
2021年广东省广州市高考数学综合测试试卷（3月份）（一模）一、选择题（共8小题）.1．复数z＝在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则∁R A＝（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≤﹣2或x≥1}D．{x|x≤﹣1或x ≥2}3．2020年11月10日，我国“奋斗者”号载人深潜器在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达到惊人的10909m，创造了我国载人深潜的新记录．当“奋斗者”号下潜至某一深度时，处于其正上方海面处的科考船用声呐装置向“奋斗者”号发射声波．已知声波在海水中传播的平均速度约为1450m/s，若从发出至回收到声波所用时间为6s，则“奋斗者”号的实际下潜深度约为（）A．2900m B．4350m C．5800m D．8700m4．a＞b+1是2a＞2b的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．函数f（x）＝x3﹣sin x在[﹣1，1]上的图像大致为（）A．B．C．D．6．如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为（）A．30B．40C．44D．707．已知A（﹣1，0），B（0，2），直线l：2x﹣2ay+3+a＝0上存在点P，满足|PA|+|PB|＝，则l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．8．已知e≈2.71828是自然对数的底数，设a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣ln2，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b二、选择题（共4小题）.9．已知点O为坐标原点，直线y＝x﹣1与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则（）A．|AB|＝8B．OA⊥OBC．△AOB的面积为2D．线段AB的中点到直线x＝0的距离为2 10．已知函数f（x）＝sin2x+2cos2x，则（）A．f（x）的最大值为3B．f（x）的图像关于直线x＝对称C．f（x）的图像关于点（﹣，1）对称D．f（x）在[﹣，]上单调递增11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝1，点Q 是棱A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则下面结论中正确的是（）A．PQ与EF一定不垂直B．二面角P﹣EF﹣Q的正弦值是C．△PEF的面积是2D．点P到平面QEF的距离是常量12．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2，…；第n（n∈N*）次得到数列1，x1，x2，x3，…，x k，2；…．记a n＝1+x1+x2+…+x k+2，数列{a n}的前n项为S n，则（）A．k+1＝2n B．a n+1＝3a n﹣3C．a n ＝（n2+3n）D．S n ＝（3n+1+2n﹣3）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设向量＝（1，m ），＝（2，1），且•（2+）＝7，则m ＝．14．某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，这5次试验的数据如表：零件数x（个）102030405062a758189加工时间y（min）若用最小二乘法求得回归直线方程为＝0.67x+54.9，则a的值为．15．已知圆（x﹣1）2+y2＝4与双曲线C：＝1的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次记为M，N，P，Q，且|MN|＝2|PQ|，则C的离心率为．16．已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是边长为6的等边三角形，PA＝PB＝PC＝，先在三棱锥P﹣ABC内放入一个内切球O1，然后再放入一个球O2，使得球O2与球O1及三棱锥P﹣ABC的三个侧面都相切，则球O1的体积为，球O2的表面积为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，cos2B＝cos（A+C），a sin A+c sin C＝6sin B．（1）求B；（2）求△ABC的周长．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，a2是a1，a5的等比中项，S5＝25．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n+b n+1＝S n，求b2﹣b20．19．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E是边AB的中点（如图1），将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置，连接A1B，A1C，得到四棱锥A1﹣BCDE（如图2）．（1）证明：平面A1BE⊥平面BCDE；（2）若A1E⊥BE，连接CE，求直线CE与平面A1CD所成角的正弦值．20．某中学举行篮球趣味投篮比赛，比赛规则如下：每位选手各投5个球，每一个球可以选择在A区投篮也可以选择在B区投篮，在A区每投进一球得2分，投不进球得0分；在B区每投进一球得3分，投不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A区和B区每次投篮进球的概率分别为和，且各次投篮的结果互不影响．（1）若甲投篮得分的期望值不低于7分，则甲选择在A区投篮的球数最多是多少个？（2）若甲在A区投3个球且在B区投2个球，求甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率．21．已知点A（1，0），点B是圆O1：（x+1）2+y2＝16上的动点，线段AB的垂直平分线与BO1相交于点C，点C的轨迹为曲线E．（1）求E的方程；（2）过点O1作倾斜角互补的两条直线l1，l2，若直线l1与曲线E交于M，N两点，直线l2与圆O1交于P，Q两点，当M，N，P，Q四点构成四边形，且四边形MPNQ的面积为8时，求直线l1的方程．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2+x（a∈R）．（1）证明：曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线l恒过定点；（2）若f（x）有两个零点x1，x2，且x2＞2x1，证明：．参考答案一、选择题（共8小题）.1．复数z＝在复平面内对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：∵＝，∴复数在复平面内对应的点的坐标为（），位于第一象限．故选：A．2．已知集合A＝{x|（x﹣1）（x+2）＜0}，则∁R A＝（）A．{x|﹣2＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜2}C．{x|x≤﹣2或x≥1}D．{x|x≤﹣1或x ≥2}解：因为集合A＝{x|（x﹣1）（x+2）＜0}＝{x|﹣2＜x＜1}，由补集的定义可知，∁R A＝{x|x≤﹣2或x≥1}．故选：C．3．2020年11月10日，我国“奋斗者”号载人深潜器在马里亚纳海沟成功坐底，下潜深度达到惊人的10909m，创造了我国载人深潜的新记录．当“奋斗者”号下潜至某一深度时，处于其正上方海面处的科考船用声呐装置向“奋斗者”号发射声波．已知声波在海水中传播的平均速度约为1450m/s，若从发出至回收到声波所用时间为6s，则“奋斗者”号的实际下潜深度约为（）A．2900m B．4350m C．5800m D．8700m解：由题意可得“奋斗者”号的实际下潜深度约为：S＝vt＝1450×3＝4350m，故选：B．4．a＞b+1是2a＞2b的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：由a＞b+1能够推出2a＞2b，由2a＞2b能推出a＞b，不能推出a＞b+1，故a＞b+1是2a＞2b的充分不必要条件，故选：A．5．函数f（x）＝x3﹣sin x在[﹣1，1]上的图像大致为（）A．B．C．D．解：∵f（1）＝1﹣sin1＞0，∴排除选项A和D，又f（）＝（）3﹣sin＝（）3﹣＜0，∴排除选项B，故选：C．6．如图，洛书（古称龟书），是阴阳五行术数之源．在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．若从四个阴数和五个阳数中随机选取3个数，则选取的3个数之和为奇数的方法数为（）A．30B．40C．44D．70解：根据题意，四个阴数即4个偶数：2、4、6、8，五个阳数即5即奇数：1、3、5、7、9，从中任选3个，使选出的3个数和为奇数，有2种情况，①选出的3个数都是奇数，有C53＝10种选法，②选出的3个数是2个偶数和1个奇数，有C42C51＝30种选法，一共有30+10＝40种选法，故选：B．7．已知A（﹣1，0），B（0，2），直线l：2x﹣2ay+3+a＝0上存在点P，满足|PA|+|PB|＝，则l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．解：将点A，B代入直线l的方程，可知点A，B均不在直线l上，设P（x，y），则，又|AB|＝，且|PA|+|PB|＝，所以点P的轨迹为线段AB，因为线段AB的方程为，即y＝2x+2，x∈[﹣1，0]，联立方程组，解得，直线l的斜率为k＝，设l的倾斜角为α，则，因为﹣1≤x≤0，所以，即﹣1≤tanα≤1，α∈（0，π），解得α∈．故选：D．8．已知e≈2.71828是自然对数的底数，设a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣ln2，则（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b解：已知e≈2.71828是自然对数的底数，a＝﹣，b＝﹣，c＝﹣ln2，设f（x）＝﹣，则f′（x）＝﹣，当0≤x≤时，f′（x）＞0，函数f（x）在0≤x≤上是增函数，当x＞时，f′（x）＜0，函数f（x）在x＞上是减函数，a＝f（3），b＝f（2），而＜2＜3，所以b＞a，又因为e x＞x+1，x≠1，为常用不等式，可得，令g（x）＝﹣lnx，g′（x）＝﹣，当x＜e时，g′（x）＜0，函数g（x）在x＜e上是减函数，故g（2）＞g（e）＝0，则＞ln2，即﹣＜﹣ln2，则c＞b，故：a＜b＜c故选：A．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．已知点O为坐标原点，直线y＝x﹣1与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，则（）A．|AB|＝8B．OA⊥OBC．△AOB的面积为2D．线段AB的中点到直线x＝0的距离为2解：设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得y2﹣4y﹣4＝0，所以y1+y2＝4，y1y2＝﹣4，x1+x2＝y1+1+y2+1＝6，x1x2＝（y1+1）（y2+1）＝y1y2﹣（y1+y2）+1＝﹣4﹣4+1＝﹣7，对于A：|AB|＝＝＝8，故A正确；对于B：•＝（x1，y1）（x2，y2）＝x1x2+y1y2＝﹣7+（﹣4）＝﹣11≠0，故B不正确；对于C：点O到直线AB的距离d＝＝，所以S△AOB＝•|AB|•d＝•8•＝2，故C正确；对于D：线段AB的中点坐标为（，），即（3，2），所以线段AB的中点到直线x＝0的距离为2，故D正确．故选：AC．10．已知函数f（x）＝sin2x+2cos2x，则（）A．f（x）的最大值为3B．f（x）的图像关于直线x＝对称C．f（x）的图像关于点（﹣，1）对称D．f（x）在[﹣，]上单调递增解：f（x）＝sin2x+2×＝sin2x+cos2x+1＝（sin2x+cos2x）+1＝sin（2x+）+1，A：∵sin（2x+）∈[﹣1，1]，∴f（x）的最大值为+1，∴A不正确．B：当x＝时，f（）＝sin+1＝+1，∴f（x）的图象关于直线x＝对称，∴B正确．C：当x＝﹣时，f（﹣）＝sin0+1＝1，∴f（x）的图象关于点（﹣，1）对称，∴C正确．D：∵x∈[﹣，]，∴2x+∈[﹣，]，∴f（x）在区间[﹣，]上先增后减，∴D不正确．故选：BC．11．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且EF＝1，点Q 是棱A1D1的中点，点P是棱C1D1上的动点，则下面结论中正确的是（）A．PQ与EF一定不垂直B．二面角P﹣EF﹣Q的正弦值是C．△PEF的面积是2D．点P到平面QEF的距离是常量解：对于A，当P与点D1重合时，PQ⊥EF，故选项A错误；对于B，由于点P是棱C1D1上的动点，EF是棱AB上的一条线段，所以平面PEF即平面ABC1D1，建立如图所示的空间直角坐标系，则Q（2，0，4），A（4，0，0），B（4，4，0），所以，平面QEF即平面QAB，设平面QAB的法向量为，则，即，令z＝1，则，同理可求得平面ABC1D1的法向量为，设二面角P﹣EF﹣Q为θ，所以，故，故选项B正确；对于C，由于AB⊥平面BB1CC1，又BC1⊂平面BB1CC1，所以AB⊥BC1，所以BC1⊥EF，所以BC1是△PEF的高，所以，故选项C正确；对于D，由于C1D1∥EF，且C1D1⊄平面QEF，EF⊂平面QEF，所以C1D1∥平面QEF，又点P在C1D1上，所以点P到平面QEF的距离为常量，故选项D正确．故选：BCD．12．在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列，将数列1，2进行构造，第1次得到数列1，3，2；第2次得到数列1，4，3，5，2，…；第n（n∈N*）次得到数列1，x1，x2，x3，…，x k，2；…．记a n＝1+x1+x2+…+x k+2，数列{a n}的前n项为S n，则（）A．k+1＝2n B．a n+1＝3a n﹣3C．a n＝（n2+3n）D．S n＝（3n+1+2n﹣3）解：由a1＝3+3，a2＝3+3+9，a3＝3+3+9+27，a4＝3+3+9+27+81，，…，a n＝3+31+32+33+…+3n＝3+＝，由a1有3项，a2有5项，a3有9项，a5有17项，…，故a n有2n+1项．故C错误；所以k+2＝2n+1，即k+1＝2n，故A正确；由a n ＝，可得a n+1＝＝3a n﹣3，故B正确；由S n＝a1+a2+…+a n ＝（32+33+34+…+3n+1）+＝•+＝（3n+1+2n﹣3），故D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．设向量＝（1，m ），＝（2，1），且•（2+）＝7，则m ＝﹣1．解：∵向量＝（1，m ），＝（2，1）．m 实数，∴2+＝（4，2m+1），∵•（2+）＝7，∴•（2+）＝8+2m+1＝7，解得m＝﹣1．故答案为：﹣1．14．某车间为了提高工作效率，需要测试加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，这5次试验的数据如表：零件数x（个）102030405062a758189加工时间y（min）若用最小二乘法求得回归直线方程为＝0.67x+54.9，则a的值为68．解：由题意可知：＝＝30，＝＝，回归直线方程为＝0.67x+54.9经过样本中心，所以＝0.67×30+54.9，解得a＝68．故答案为：68．15．已知圆（x﹣1）2+y2＝4与双曲线C：＝1的两条渐近线相交于四个点，按顺时针排列依次记为M，N，P，Q，且|MN|＝2|PQ|，则C的离心率为．解：双曲线C的渐近线的方程为y＝±x，由题意可知MN⊥x轴，PQ⊥x轴，设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1），Q（x2，﹣y2），联立，k＝，得（1+k2）x2﹣2x﹣3＝0，所以x1+x2＝，x1x2＝，又因为|MN|＝2|PQ|，所以△MON∽△POQ，相似比为2：1，所以|x1|＝2|x2|，即x1＝﹣2x2，所以x1+x2＝﹣x2＝，x1x2＝﹣2x22＝，所以﹣2（）2＝，解得k2＝，所以e＝＝＝＝．故答案为：．16．已知三棱锥P﹣ABC的底面ABC是边长为6的等边三角形，PA＝PB＝PC＝，先在三棱锥P﹣ABC内放入一个内切球O1，然后再放入一个球O2，使得球O2与球O1及三棱锥P﹣ABC的三个侧面都相切，则球O1的体积为，球O2的表面积为．解：设O为△ABC外接圆的圆心，因为ABC是边长为6的等边三角形，所以，因为OP2+OA2＝PA2，解得OP＝3，设球O1的半径为r，球O2的半径为R，由等体积法可得，＝＝＝，所以＝1，所以球O1的体积为；作截面图如图所示，可知O1O＝O1N＝1，则PN＝1，PO1＝2，PO2＝1﹣R，因为△PO2E∽△PO1F，则，即，解得，所以球O2的表面积为＝．故答案为：；．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b＝3，cos2B＝cos（A+C），a sin A+c sin C＝6sin B．（1）求B；（2）求△ABC的周长．解：（1）因为cos2B＝cos（A+C），所以2cos2B﹣1＝﹣cos B，解得，cos B＝或cos B＝﹣1（舍），由B为三角形内角得B＝，（2）因为a sin A+c sin C＝6sin B，由正弦定理得，a2+c2＝6b＝18，因为cos B＝＝＝，故ac＝9，所以（a+c）2＝a2+c2+2ac＝18+18＝36，故a+c＝6，所以△ABC的周长a+b+c＝9．18．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，a2是a1，a5的等比中项，S5＝25．（1）求{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足b n+b n+1＝S n，求b2﹣b20．解：（1）由a2是a1，a5的等比中项，可得a22＝a1a5，即为（a1+d）2＝a1（a1+4d），化为d＝2a1，由S5＝25，可得5a1+10d＝25，即a1+2d＝5，解得a1＝1，d＝2，则a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）S n＝n（1+2n﹣1）＝n2，b n+b n+1＝S n＝n2，①可得b n+1+b n+2＝（n+1）2，②②﹣①可得b n+2﹣b n＝2n+1，则b20＝b2+（b4﹣b2）+（b6﹣b4）+…+（b20﹣b18）＝b2+5+9+…+37＝b2+×9×（5+37）＝b2+189，所以b2﹣b20＝﹣189．19．在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，点E是边AB的中点（如图1），将△ADE 沿DE折起到△A1DE的位置，连接A1B，A1C，得到四棱锥A1﹣BCDE（如图2）．（1）证明：平面A1BE⊥平面BCDE；（2）若A1E⊥BE，连接CE，求直线CE与平面A1CD所成角的正弦值．【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，且∠BAD＝60°，∴△ABD为等边三角形，∵E为AB的中点，∴DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥A1E，又BE∩A1E＝E，BE、A1E⊂平面A1BE，∴DE⊥平面A1BE，∵DE⊂平面BCDE，∴平面A1BE⊥平面BCDE．（2）解：由（1）知，平面A1BE⊥平面BCDE，∵A1E⊥BE，平面A1BE∩平面BCDE＝BE，∴A1E⊥平面BCDE，以E为原点，ED，EB，EA1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，1），C（，2，0），D（，0，0），E（0，0，0），∴＝（，2，0），＝（，0，﹣1），＝（0，﹣2，0），设平面A1CD的法向量为＝（x，y，z），则，即，令x＝1，则y＝0，z＝，∴＝（1，0，），设直线CE与平面A1CD所成角为θ，则sinθ＝|cos＜，＞|＝||＝||＝，故直线CE与平面A1CD所成角的正弦值为．20．某中学举行篮球趣味投篮比赛，比赛规则如下：每位选手各投5个球，每一个球可以选择在A区投篮也可以选择在B区投篮，在A区每投进一球得2分，投不进球得0分；在B区每投进一球得3分，投不进球得0分，得分高的选手胜出．已知参赛选手甲在A区和B区每次投篮进球的概率分别为和，且各次投篮的结果互不影响．（1）若甲投篮得分的期望值不低于7分，则甲选择在A区投篮的球数最多是多少个？（2）若甲在A区投3个球且在B区投2个球，求甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率．解：（1）甲在A区每次投篮得分的期望为2×＝，在B区每次投篮得分的期望为3×＝，设甲选择在A区投篮的球数为x个，则x+（5﹣x）≥7，解得x≤3，所以甲选择在A区投篮的球数最多是3个．（2）甲在B区投中0个，在A区投中1，2，3个的概率为[1﹣]×＝，甲在B区投中1个，在A区投中2个或3个的概率（×××+××）×＝，甲在B区投中2个得6分，此时在A区投篮得分不可能高于B区，故甲在A区投篮得分高于在B区投篮得分的概率为+＝．21．已知点A（1，0），点B是圆O1：（x+1）2+y2＝16上的动点，线段AB的垂直平分线与BO1相交于点C，点C的轨迹为曲线E．（1）求E的方程；（2）过点O1作倾斜角互补的两条直线l1，l2，若直线l1与曲线E交于M，N两点，直线l2与圆O1交于P，Q两点，当M，N，P，Q四点构成四边形，且四边形MPNQ的面积为8时，求直线l1的方程．解：（1）由已知得，圆O1的圆心为O1（﹣1，0），半径r＝|BO1|＝4，点A（1，0），因为线段AB的垂直平分线与BO1相交于点C，所以|CA|＝|CB|，所以|CA|+|CO1|＝|CB|+|CO1|＝|BO1|＝4＞|O1A|，所以点C的轨迹是以O1，A为焦点，长轴长为4的椭圆，设曲线E的方程为+＝1（a＞b＞0），则2a＝4，c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆E的方程为+＝1．（2）由题意可得直线l1，l2的斜率都存在且不为0，设直线l1的方程为y＝k（x+1），M（x1，y1），N（x2，y2），由得（3+4k2）x2+8k2x+4k2﹣12＝0，△＝（8k2）2﹣4（3+4k2）（4k2﹣12）＝144（1+k2）＞0，所以x1+x2＝﹣，x1x2＝，所以|MN|＝|x1﹣x2|＝＝＝•＝，由于直线l2过圆O1的圆心，则|PO1|＝|QO1|＝4，且P，Q两点到直线MN的距离相等，设直线l2的倾斜角为θ，则tan（π﹣θ）＝k，即tanθ＝﹣k，又点P到直线MN的距离d＝|PO1||sin2θ|＝4||＝4×＝，则四边形MPNQ的面积S＝2S△PMN＝d×|MN|＝，由于四边形MPNQ的面积为8，则＝8，解得k＝±，所以直线l1的方程为y＝±（x+1）．22．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2+x（a∈R）．（1）证明：曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线l恒过定点；（2）若f（x）有两个零点x1，x2，且x2＞2x1，证明：．【解答】证明：（1）f′（x）＝xlnx﹣ax2+x＝lnx+1﹣2ax+1＝lnx﹣2ax+2，f′（1）＝2﹣2a，又f（1）＝1﹣a，∴曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣（1﹣a）＝（2﹣2a）（x﹣1），即y＝2（1﹣a）（x﹣），当x＝时，y＝0，故直线l过定点（，0）；（2）∵x1，x2是f（x）的两个零点，且x2＞2x1，∴，可得，∴＝＝，令t＝（t＞2），∴lnx1x2+2＝＝，构造函数g（t）＝，g′（t）＝，令h（t）＝t﹣，则h′（t）＝＞0，则h（t）在（2，+∞）上单调递增，而h（2）＝2﹣＝＞0，∴g′（t）＞0，则g（t）在（2，+∞）上单调递增，∴g（t）＞g（2）＝3ln2，可得ln（x1x2）+2＞3ln2，则ln（x1x2）＞，即x1x2＞，则＞＞．。
2021年高考数学真题逐题解析与以例及类(新高考)第6题 利用同角三角函数基本关系式求值(含解析)
2021年高考数学真题逐题解析与以例及类（新高考）第6题利用同角三角函数基本关系式求值一、原题呈现【原题】若tan 2θ=-,则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A.65-B.25-C.25D.65【答案】C 【解析】解法一：()()()2sin 1sin 2sin sin cos sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选C ．解法二：因为sin tan 2cos θθθ==-,所以sin 2cos θθ=-,所以()sin 1sin 2sin cos θθθθ++=()()()222sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθ+=++()()()2222cos 2cos cos 2cos cos 4cos cos θθθθθθθ--+=-++332cos 5cos θθ-=-25=．故选C ．【就题论题】本题主要考查利用同角三角函数基本关系式求值,常规求解思路是把所给式子化为关于sin ,cos θθ的齐次分数,再进一步转化为关于tan θ的分式,然后代入求值,本题解法思路容易,但运算量稍大,也有一定的技巧,难度较前几题有所增加.二、考题揭秘【命题意图】本题考查同角三角函数关系式在求值中的应用,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易.【考情分析】三角函数与解三角形在新高考全国卷中一般有2道客观题,1道解答题,解答题一般考查解三角形,客观题考查热点是三角变换及三角函数的图象与性质,难度一般为容易或中等偏易.【得分秘籍】利用同角三角函数关系式求值主要有以下4种类型：已知一个角的一种三角函数值,求该角的其他三角函数值；关于sin ,cos αα的齐次分式求值；利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±求值；利用方程思想求值.(1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值时,要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系,再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时,其正负号是由角α所在象限来决定,切不可不加分析,凭想象乱写公式．已知tan α求()sin cos αα可利用222sin tan cos ααα=来求.(2)关于sin α、cos α的齐次式,可以通过分子、分母同除以分式中cos α的最高次幂转化为关于tan α的式子后再求值．注意有时为了拼凑分子分母齐次,需要灵活地进行“1”的代换,由1＝sin 2α＋cos 2α代换后,再构造出关于tan α的代数式．(3)对于sin α＋cos α,sin αcos α,sin α－cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α,可以知一求二．(4)求某个式子的值,有时可已知条件构造关于该式子的方程,再通过解方程求值,如已知tan cos θθ=,求sin θ,可通过切化弦转化为sin cos cos θθθ=,再转化为关于sin θ的一元二次方程求值.【易错警示】(1)利用sin α=或cos α=,要注意根号前面的正负号的取舍(2)如果已知三角函数值,但没有指定角在哪个象限,或所给的三角函数值是由字母给出的,且没有确定角在哪个象限,那么就需要进行讨论．(3)等式两边同时约去一个式子,要判断该式子的值是否可能为零,若有可能为零,要分2种情况讨论三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）单选题1．（2021广东省广州市高三下学期二模）已知第二象限角θ的终边上有两点()1,A a -,(),2B b ,且cos 3sin 0θθ+=,则3a b -=（）A ．7-B ．5-C ．5D ．72．（2021湖南省高三下学期5月三轮联考）已知()tan 2x π+=,则sin cos 2sin cos x xx x+=-（）A ．1B ．15C ．14-D ．15-3．（2021福建省厦门市高三5月二模）已知7cos 25θ=-,(,0)θπ∈-,则sin cos 22θθ+=（）A ．75-B ．15-C ．15D ．754．（2021福建省漳州市高三下学期第一次质量检测）已知3sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 2tan θθ=（）A ．23B ．43C ．3D ．35．（2021广东省汕头市高三一模）已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则sin 2α的值是（）A ．B ．7C ．-D ．7-6．（2021河北省张家口市、沧州市高三下学期二模）若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2sin cos 5αα+=,则tan α=（）A ．2-B ．2C ．211D ．211-7．（2021河北省邯郸市高三一模）已知()2sin 3sin 2ππαα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,则221sin sin 2cos 2ααα--=（）A ．513B ．113-C ．513-D ．1138．（2021江苏省连云港市高三下学期高考考前一模）已知ππ(,22α∈-,且3cos 28sin 5αα-=,则cos α的值为（）A ．13-B ．13C ．3D ．239．（2021江苏省扬州中学2021届高三下学期最后一模）已知3cos 5θ=,tan 0θ<,则sin(2)πθ-=（）A ．2425-B ．1225-C ．45-D ．242510．（2021江苏省泰州中学高三下学期四模）在ABC 中,若31,5,sin 5AB AC A ===,则AB AC ⋅=（）A ．3B ．3±C ．4D ．4±11．（2021江苏省南通市高三上学期期末）若()1sin cos ,0,3αααπ+=∈,则1tan 1tan αα+=-（）A ．17B ．1717-C ．15D ．1515-二、多选题12．（2021湖北省十一校考试联盟高三联考）在数学史上,为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性,曾经出现过下列两种三角函数：定义1cos θ-为角θ的正矢,记作sin ver θ,定义1sin θ-为角θ的余矢,记作cov sin er θ,则下列命题中正确的是（）A ．函数cov sin sin y er x ver x =-在,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数B ．若cov sin 12sin 1er x ver x -=-,则7cov sin 2sin 25er x ver x -=-C ．函数()sin 2020cov sin 202036f x ver x er x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()f x 的最大值2+D ．sin cov sin 2ver er πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭三、填空题13．（2021福建省厦门外国语学校高三1月阶段性检测）已知(0,)απ∈,且有12sin 2cos 2αα-=,则cos α=___________.14．（2021广东省高州市高三二模）已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且2cos 2sin 1αα=-,则tan α=_________________．15．（2021北省邯郸市高三二模）当04x π<<时,函数22cos ()sin cos sin xf x x x x=-的最大值为______．第6题利用同角三角函数基本关系式求值一、原题呈现【原题】若tan 2θ=-,则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+（）A.65-B.25-C.25D.65【答案】C 【解析】解法一：()()()2sin 1sin 2sin sin cos sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθ++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++．故选C ．解法二：因为sin tan 2cos θθθ==-,所以sin 2cos θθ=-,所以()sin 1sin 2sin cos θθθθ++=()()()222sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθ+=++()()()2222cos 2cos cos 2cos cos 4cos cos θθθθθθθ--+=-++332cos 5cos θθ-=-25=．故选C ．【就题论题】本题主要考查利用同角三角函数基本关系式求值,常规求解思路是把所给式子化为关于sin ,cos θθ的齐次分数,再进一步转化为关于tan θ的分式,然后代入求值,本题解法思路容易,但运算量稍大,也有一定的技巧,难度较前几题有所增加.二、考题揭秘【命题意图】本题考查同角三角函数关系式在求值中的应用,考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易.【考情分析】三角函数与解三角形在新高考全国卷中一般有2道客观题,1道解答题,解答题一般考查解三角形,客观题考查热点是三角变换及三角函数的图象与性质,难度一般为容易或中等偏易.【得分秘籍】利用同角三角函数关系式求值主要有以下4种类型：已知一个角的一种三角函数值,求该角的其他三角函数值；关于sin ,cos αα的齐次分式求值；利用()2sin cos 12sin cos αααα±=±求值；利用方程思想求值.(1)已知角α的某一种三角函数值,求角α的其余三角函数值时,要注意公式的合理选择．一般是先选用平方关系,再用商数关系．在应用平方关系求sin α或cos α时,其正负号是由角α所在象限来决定,切不可不加分析,凭想象乱写公式．已知tan α求()sin cos αα可利用222sin tan cos ααα=来求.(2)关于sin α、cos α的齐次式,可以通过分子、分母同除以分式中cos α的最高次幂转化为关于tan α的式子后再求值．注意有时为了拼凑分子分母齐次,需要灵活地进行“1”的代换,由1＝sin 2α＋cos 2α代换后,再构造出关于tan α的代数式．(3)对于sin α＋cos α,sin αcos α,sin α－cos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α,可以知一求二．(4)求某个式子的值,有时可已知条件构造关于该式子的方程,再通过解方程求值,如已知tan cos θθ=,求sin θ,可通过切化弦转化为sin cos cos θθθ=,再转化为关于sin θ的一元二次方程求值.【易错警示】(1)利用sin α=或cos α=,要注意根号前面的正负号的取舍(2)如果已知三角函数值,但没有指定角在哪个象限,或所给的三角函数值是由字母给出的,且没有确定角在哪个象限,那么就需要进行讨论．(3)等式两边同时约去一个式子,要判断该式子的值是否可能为零,若有可能为零,要分2种情况讨论三、以例及类（以下所选试题均来自新高考Ⅰ卷地区2020年1-6月模拟试卷）单选题1．（2021广东省广州市高三下学期二模）已知第二象限角θ的终边上有两点()1,A a -,(),2B b ,且cos 3sin 0θθ+=,则3a b -=（）A ．7-B ．5-C ．5D ．7【答案】D【解析】由cos 3sin 0θθ+=得：sin 1tan cos 3θθθ==-,由三角函数定义知：21tan 3a b θ=-==-,解得：13a =,6b =-,3167a b -=+=∴.故选D.2．（2021湖南省高三下学期5月三轮联考）已知()tan 2x π+=,则sin cos 2sin cos x xx x+=-（）A ．1B ．15C ．14-D ．15-【答案】A【解析】()tan tan 2π+==x x ,所以sin cos tan 12112sin cos 2tan 1221+++===--⨯-x x x x x x .故选A.3．（2021福建省厦门市高三5月二模）已知7cos 25θ=-,(,0)θπ∈-,则sin cos 22θθ+=（）A ．75-B ．15-C ．15D ．75【答案】B【解析】因为7cos 25θ=-,且(),0θπ∈-,所以24sin 25θ=-,,022θπ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,7cos cos sin cos sin 0222225θθθθθ⎛⎫⎛⎫=+-=-< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,其中cos sin 022θθ->,所以cossin 022θθ+<,两边平方得2411sin 12525θ+=-=,所以1cos sin 225θθ+=-.故选B.4．（2021福建省漳州市高三下学期第一次质量检测）已知3sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 2tan θθ=（）A ．23B ．43C ．3D ．3【答案】B【解析】由33sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭得cos 3θ=,则22sin cos sin sin 2tan 2sin cos θθθθθθθ==()221cos 142133θ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭=-,故选B .5．（2021广东省汕头市高三一模）已知sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则sin 2α的值是（）A．B．7C．-D．7-【答案】D【解析】sin 3cos 36ππαα⎛⎫⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,即1331sin 3sin 2222a a a a 琪-=-+琪桫,整理得2sin αα=,tan 2α∴=-,因此,22223222sin cos 2tan sin 22sin cos sin cos tan 171ααααααααα⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭=====-++⎛+ ⎝⎭.故选D.6．（2021河北省张家口市、沧州市高三下学期二模）若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,2sin cos 5αα+=,则tan α=（）A ．2-B ．2C ．211D ．211-【答案】A【解析】22222224sin cos 4sin cos (2sin cos )4sin cos 4sin cos sin cos αααααααααααα+++=++==+224tan 14tan 9tan 15ααα++=+,所以211tan 20tan 40αα+-=,解得tan 2α=-或2tan 11α=,又,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以tan 2α=-.故选A7．（2021河北省邯郸市高三一模）已知()2sin 3sin 2ππαα⎛⎫-=+⎪⎝⎭,则221sin sin 2cos 2ααα--=（）A ．513B ．113-C ．513-D ．113【答案】B【解析】由2sin()3sin 2ππαα⎛⎫-=+⎪⎝⎭,得2sin 3cos αα=,所以3tan 2α=从而222222221sin sin cos cos tan tan 11sin sin 2cos 2sin cos tan 113αααααααααααα------===-++．故选B8．（2021江苏省连云港市高三下学期高考考前一模）已知ππ(,22α∈-,且3cos 28sin 5αα-=,则cos α的值为（）A ．13-B ．13C ．223D ．23【答案】C【解析】由3cos 28sin 5αα-=,可得23sin 4sin 10αα++=,解得1sin 3α=-或sin 1α=-,因为ππ(,22α∈-,所以1sin 3α=-,可得cos 3α==.故选C.9．（2021江苏省扬州中学2021届高三下学期最后一模）已知3cos 5θ=,tan 0θ<,则sin(2)πθ-=（）A ．2425-B ．1225-C ．45-D ．2425【答案】A【解析】由3cos 5θ=,tan 0θ<,则4sin 5θ==-,所以24sin(2)sin 22sin cos 25πθθθθ-===-.故选A10．（2021江苏省泰州中学高三下学期四模）在ABC 中,若31,5,sin 5AB AC A ===,则AB AC ⋅=（）A ．3B ．3±C ．4D ．4±【答案】D【解析】由于3sin 5A =,所以4cos 5A ==±,所以cos 4AB AC AB AC A ⋅=⋅⋅=± .故选D11．（2021江苏省南通市高三上学期期末）若()1sin cos ,0,3αααπ+=∈,则1tan 1tan αα+=-（）A ．1717B ．1717-C ．1515D ．1515-【答案】B【解析】由1sin cos 3αα+=,可得21(sin cos )12sin cos 9αααα+=+=,解得82sin cos 09αα=-<,即sin α与cos α异号,又因为()0,απ∈,所以sin 0,cos 0αα><,又由217(sin cos )12sin cos 9αααα-=-=,所以sin cos 3αα-=,又因为sin 111tan sin cos cos 3sin 1tan cos sin 111c 377os αααααααααα+++====----.故选B.二、多选题12．（2021湖北省十一校考试联盟高三联考）在数学史上,为了三角计算的简便并且更加追求计算的精确性,曾经出现过下列两种三角函数：定义1cos θ-为角θ的正矢,记作sin ver θ,定义1sin θ-为角θ的余矢,记作cov sin er θ,则下列命题中正确的是（）A ．函数cov sin sin y er x ver x =-在,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数B ．若cov sin 12sin 1er x ver x -=-,则7cov sin 2sin 25er x ver x -=-C ．函数()sin 2020cov sin 202036f x ver x er x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()f x的最大值2+D ．sin cov sin 2ver er πθθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭【答案】BD【解析】由正矢和余矢的定义可得：对于选项A ：()()cov sin sin 1sin 1cos y er x ver x x x =-=---cos sin 4x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭所以在区间3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减,故选项A 错误；对于选项B ：因为cov sin 11sin 1tan 2sin 11cos 1er x x x ver x x ---===---,则2222cos sin 2sin cos cov sin 2sin 2cos 2sin 2cos sin x x x xer x ver x x x x x ---=-=+22221tan 2tan 122271tan 125x x x ----⨯==-++,所以B 正确；对于选项C ：()sin 2020cov sin 202036f x ver x er x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2020sin 202036x x ππ⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2cos 2020sin 202022sin 20206266x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+--+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦所以则()f x 的最大值4,故选项C 不正确,对于选项D ：sin 1cos 1sin cov sin 22ver er ππθθθθ⎛⎫⎛⎫-=--=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选项D 正确；故选BD 三、填空题13．（2021福建省厦门外国语学校高三1月阶段性检测）已知(0,)απ∈,且有12sin 2cos 2αα-=,则cos α=___________.【答案】5【解析】2212sin 2cos214sin cos 12sin sin 2sin cos αααααααα-=⇒-=-⇒=,因为(0,)απ∈,所以sin 0α≠,因此由2sin 2sin cos sin 2cos tan 2(0,)2πααααααα=⇒=⇒=⇒∈,而22sin cos 1(1)αα+=,把sin 2cos αα=代入(1)得：22214cos cos 1cos cos 55αααα+=⇒=⇒=±,而(0,)2πα∈,因此cos 5α=.14．（2021广东省高州市高三二模）已知,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,且2cos 2sin 1αα=-,则tan α=_________________．【答案】7-【解析】由2cos 2sin 1αα=-得224sin sin 1αα-=-,∴24sin sin 30αα+-=,,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,解得3sin 4α=,∴cos 4α==,即tan 7α=-．15．（2021北省邯郸市高三二模）当04x π<<时,函数22cos ()sin cos sin x f x x x x=-的最大值为______．【答案】-4【解析】由题意得22222cos cos ()sin cos sin cos cos xx f x x x x x x=-所以21()tan tan f x x x =-,当04x π<<时,0tan 1x <<,设tan ,(0,1)t x t =∈所以2211()=11()24g t t t t =---,所以当12t =时,函数()g t 取最大值4-.所以()f x 的最大值为-4．。
2021年全国统一高考数学试卷(新高考Ⅰ卷)(含详细解析)
2021年全国统一高考数学试卷（新高考Ⅰ卷）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
（共8题；共40分）1. ( 5分) 设集合A= {x|-2<x<4}. B = {2,3,4,5},则A∩B=（）A. {2}B. {2,3}C. {3,4,}D. {2,3,4}2. ( 5分) 已知z=2-i，则( =（）A. 6-2iB. 4-2iC. 6+2iD. 4+2i3. ( 5分) 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A. 2B. 2C. 4D. 44. ( 5分) 下列区间中，函数f(x)=7sin( )单调递增的区间是（）A. (0, )B. ( , )C. ( , )D. ( , )5. ( 5分) 已知F1,F2是椭圆C：的两个焦点，点M在C 上，则|MF1|·|MF2|的最大值为（）A. 13B. 12C. 9D. 66. ( 5分) 若tan =-2,则 =（）A. B. C. D.7. ( 5分) 若过点（a,b)可以作曲线y=e x的两条切线，则（）A. e b<aB. e a<bC. 0<a<e bD. 0<b<e a8. ( 5分) 有6个相同的球，分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回的随机取两次,每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（）A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立二、选择题：本题共4小题。
2021珠海一模(理数)含答案--全WORD--精心排版
2021珠海一模（理数）含答案--全WORD--精心排版珠海市2021--2021学年度第一学期期末学生学业质量监测高三理科数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请在答题卡上填涂相应选项.x1．已知全集U?R，集合A?yy?2,x?R，则CUA＝（）??A．? B．(0，＋∞) C． (－∞，0] D．R 2．已知a,b是实数，则“??a?2”是“a?b?5”的（）?b?3A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．若某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（） A．4 B．5 C．6 D．7 4. 已知直线l,m和平面?，则下列命题正确的是（）A．若l//m,m??，则l//? B．若l//?,m??，则l//m C．若l?m,l??，则m//? D．若l??,m??，则l?m 5．已知是虚数单位，复数i＝（） 3?i13131313A．?i B．??i C．??i D．??i8810101010886．函数y?sin?2x? A．向左平移?????的图象可由函数y?sin2x的图象（）4?ππ个单位长度而得到 B．向右平移个单位长度而得到88ππ C．向左平移个单位长度而得到 D．向右平移个单位长度而得到44?x?y?5?0?7．若实数x,y满足不等式组?x?y?0 则2x?4y的最小值是（）?x?3?A．6 B．4 C．?2 D．?68．对于直角坐标平面内的任意两点A(x1,y1)、B(x2,y2)，定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=x1?x2?y1?y2，给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖>‖AB‖. 其中真命题的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D.3二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．其中14～15题是选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题得分．请将答案填在答题卡相应位置. （一）必做题（9-13题）19．函数y?sinx的导函数y?? ． x10．在递增等比数列?an?中，a2?2,a4?a3?4，则公比q＝．11．某学校三个社团的人员分布如下表（每名同学只参加一个社团）：合唱社粤曲社武术社a 45 30 高一15 10 20 高二学校要对这三个社团的活动效果进行抽样调查，按分层抽样的方法从社团成员中抽取30人，结果合唱社被抽出12人，则这三个社团人数共有_______________. 12．在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，已知C＝?3，b?3，若△ABC的面积为33 ，则c= ． 2x2y213．如图，F1，F2是双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?的左、右焦点，过F1ab的直线与C的左、右两支分别交于A，B两点．若| AB | : | BF2 | : | AF2 |＝3 : 4 : 5，则双曲线的离心率为 . （二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xoy中，已知曲线C1：??x?t?2(t为参数）与曲线C2：?y?1?2t?x?3cos?（?为参数）相交于两个点A、B，则线段AB的长为 . ?y?3sin??15．（几何证明选讲选做题）如图，PAB、PCD为⊙O的两条割线，若PA=5， AB=7，CD=11，AC=2，则BD等于 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．??16．（本小题满分12分）设向量a??2,sin??,b??1,cos??，?为锐角．??13b?，求sin??cos?的值；（1）若a?6?????（2）若a//b，求sin?2???的值．3??17．（本小题满分12分）某中学校本课程共开设了A，B，C，D共4门选修课，每个学生必须且只能选修1门选修课，现有该校的甲、乙、丙3名学生：（1）求这3名学生选修课所有选法的总数；（2）求恰有2门选修课没有被这3名学生选择的概率；（3）求A选修课被这3名学生选择的人数的数学期望.18．（本小题满分14分）已知某几何体的直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形.（1）求证：BC//平面C1B1N；2（2）求证：BN?平面C1B1N；（3）设M为AB中点，在BC边上找一点P，使MP//平面CNB1，并求BP的值. PCx2y219．(本题满分14分) 已知椭圆C：2?2?1(a?b?0)，左、右两个焦点分别为F1、F2，上顶点A(0,b)，ab?AF1F2为正三角形且周长为6.（1）求椭圆C的标准方程及离心率；（2）O为坐标原点，P是直线F1A上的一个动点，求|PF2|?|PO|的最小值，并求出此时点P的坐标．12ax?2x，g(x)?lnx. 2（1）如果函数y?f(x)在[1,??)上是单调减函数，求a的取值范围；g(x)1（2）是否存在实数a?0，使得方程?f?(x)?(2a?1)在区间(,e)内有且只有两个不相等的实数根？若xe存在，请求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．20．(本小题满分14分)已知函数f(x)?21．（本题满分14分）已知正项数列?an?的前n项和为Sn，且Sn?（1）求a1的值及数列?an?的通项公式；an(an?2)* (n?N). 411115(n?N*)； ??????3333a1a2a3an32?an?11111（3）是否存在非零整数?，使不等式?(1?)(1?)???(1?)cos对一切n?N*都成立？?a1a2an2an?1（2）求证：若存在，求出?的值；若不存在，说明理由.珠海市2021~2021学年第一学期普通高中学生学业质量监测高三理科数学试题参考答案及评分标准一、选择题：CABD AADB 二、填空题：9、三、解答题：xcosx?sinx 10、2 11、150 12、x27 13、13 14、 4 15、 63??131b?2?sin?cos??，?sin?cos??…………… 3分 16．解：（1）因为?a?66??sin??cos???1?2sin?cos??2423，又??为锐角，?sin??cos??．………… 6分33??2sin?cos?2tan?4??（2）解法一：?a//b，?tan??2…… 8分，?sin2??2sin?cos??，sin2??cos2?tan2??15cos2??sin2?1?tan2?3cos2??cos??sin?????………… 10分sin2??cos2?tan2??1522??13143?3?4?33? (12)分 ?sin?2????sin2??cos2?????????3?22252?5?10???255解法二：?a//b，?tan??2 (8)分，?sin??， ,cos??55?sin2??2sin?cos??4322，cos2??cos??sin???…………… 10分55??13143?3?4?33?………… 12分 ?sin?2????sin2??cos2?????????3?22252?5?10?17. 解：(Ⅰ)每个学生有四个不同选择，根据乘法法则，选法总数N=4?4?4?64 …… 3分222C4C3A22?3?3?29??………… 7分(Ⅱ) 恰有2门选修课这3名学生都没选择的概率为P2?4?4?41643(Ⅲ) 设A选修课被这3名学生选择的人数为?，则?＝0,1,2,3113C3?32273?C3C3332791P(?＝0)＝3?，P(?＝1)＝，P(＝2)＝，P(＝3)＝ (9)分 ?????464436443644364?的分布列是2727913?1??2??3?? ………… 12分 64646464418. 解：（1）证明：E??0? 4?该几何体的正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，?BA,BC,BB1两两互相垂直。
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2021年广东省珠海市高考数学第一次质量监测试卷（一模）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合{|12}A x x =+<，集合1{|()3xB y y ==，}x R ∈，则(AB =)A ．(1,3)-B ．(0,3)C ．[0，3)D ．[1-，3)2．（5分）设i 是虚数单位，复数20211z i =，复数2|43|43i z i-=+，则12z z +在复平面上对应的点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）已知32ln α=，13e β-=，13ln γ=，则α，β，γ的大小关系是( )A ．αβγ<<B ．βαγ<<C ．γβα<<D ．βγα<<4．（5分）如图，为一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积是( )A 52π+ B (51)4π++ C (51)2π++ D 54π+ 5．（5分）已知α，β是两个不同的平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，下列条件中，可以得到l α⊥的是()A ．l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n α⊂B ．l m ⊥，//m αC ．αβ⊥，//l βD ．//l m ，m α⊥6．（5分）变量x，y满足约束条件3040x yx yx y a+-⎧⎪-⎨⎪-+⎩，若目标函数2z x y=+的最大值为12，则实数(a=)A．12B．12-C．4D．4-7．（5分）下列四个叙述中，错误的是()A．“p q∨为真”是“p q∧为真”的必要不充分条件B．命题p：“x R∀∈且0x≠，1xx+的值域是(-∞，2][2-，)+∞”，则p⌝：“0x R∃∈且x≠，使得1(2,2)xx+∈-”C．已知a，b R∈且0ab>，原命题“若a b>，则11a b<”的逆命题是“若11a b<，则a b>”D．已知函数2()f x x=，函数1()()2xg x m=-，若对任意1[1x∈-，3]，存在2[0x∈，1]，使得12()()f xg x成立，则m的范围是[1，)+∞8．（5分）已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第i行第j列的数记为,i ja，如3,17a=，4,315a=，则,2021i ja=时，1102(3)log(19)(ji--+=)A．54B．18C．9D．6二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．（5分）已知三棱柱111ABC A B C-的底面是边长为3的等边三角形，侧棱与底面垂直，其外接球的表面积为16π，下列说法正确的是()A ．三棱柱111ABC ABC -B ．三棱柱111ABC A B C -的表面积是18C ．直线1AB 与直线11A CD ．点A 到平面1A BC 的距离是10．（5分）ABC ∆中，D 为AC 上一点且满足13AD DC =，若P 为BD 上一点，且满足AP AB AC λμ=+，λ，μ为正实数，则下列结论正确的是()A ．λμ的最小值为16B ．λμ的最大值为116C ．114λμ+的最大值为16 D ．114λμ+的最小值为4 11．（5分）已知由样本数据1(x ，1)(1y i =，2，3，⋯，8)组成的一个样本，得到回归直线方程为ˆ20.4yx =-且2x =，去除两个歧义点(2,7)-和(2,7)-后，得到新的回归直线的斜率为3．则下列说法正确的是()A ．相关变量x ，y 具有正相关关系B ．去除歧义点后的回归直线方程为ˆ3 3.2yx =-C ．去除歧义点后，随x 值增加相关变量y 值增加速度变小D ．去除歧义点后，样本(4,8.9)的残差为0.1（附11:)i e y y =- 12．（5分）已知函数()3|sin |4|cos |f x x x =+，则( )A ．π-是函数()f x 的一个周期B ．直线()2k x k Z π=∈为函数()f x 的对称轴方程C ．函数()f x 的最大值是5D ．()4f x = 在[0，]π有三个解三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）二项式8(x -展开式中的常数项是 （用数字作答）．14．（5分）若方程222450x y xy kx y k λλ++++++=表示圆，则k 的取值范围为 ．15．（5分）ABC ∆中，内角A ，B ，C 对的边长分别为a ，b ，c ，且满足2cos cos (tan tan )cos tan cos tan B C B C B B C C +=+，则cos A 的最小值是 ．16．（5分）若以函数()y f x =的图像上任意一点1(P x ，1)y 为切点作切线，()y f x =图像上总存在异于P 点的点2(Q x ，2)y ，使得以Q 为切点的直线1l 与21平行，则称函数()f x 为“美函数”，下面四个函数中是“美函数”的是 ． ①32y x x =-； ②13y x x=+； ③cos y x =；④2(2)y x lnx =-+．四、解答题：本题共6小题，共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在①1236a a a =+，②41232a a a a =++，③3242(2)a a a +=+这三个条件中任选一个，补充在下面问题的题设条件中．问题：正项等比数列{}n a 的公比为q ，满足1n n a a +<，23428a a a ++=，_____？ （1）求数列{}n a 的通项公式：（2）若2log n n n b a a =-，n S 为数列{}n b 前n 项和，若对任意正整数n 恒有1()0n n S n m a +++>成立，求m 的取值范围．18．（12分）已知函数()4sin()cos()3f x x x ππ=-- （1）求()f x 的对称中心坐标：（2）若()320f x m -+有解，求m 的最小值．19．（12分）如图，三棱锥P ABC -中，PA AB ⊥，AB AC ⊥，AB AC ==PB PC ==，点M 是PA 的中点，点D 是AC 的中点，点N 在PB 上且2PN NB =． （1）证明：//BD 平面CMN ；（2）求直线CN 与平面ABC 所成角的正切值．20．（12分）为了调查高中生的数学成绩与学生自主学习时间之间的相关关系，某中学数学教师对新入学的180名学生进行了跟踪调查，其中每周自主做数学题的时间不少于12小时的有76人，统计成绩后，得到如下的22⨯列联表：学生本学期检测数学标准分数大于等于120分学生本学期检测数学标准分数不足120分合计周做题时间不少于12小时6076周做题时间不足12小时64合计180（1）请完成上面的22⨯列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“高中生的数学成绩与学生自主学习时间有关”；（2）)（ⅰ）若将频率视为概率，从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取12人，求这些人中周自主做数学题时间不少于12小时的人数的期望．（ⅱ）通过调查问卷发现，从全校本学期检测数学标准分数大于等于120分的学生中随机抽取12人，这12人周自主做数学题时间的情况分三类，A类：周自主做数学题时间大于等于16小时的有4人：B类：周自主做数学题时间大于等于12小时小于16小时的有5人：C类：周自主做数学题时间不足12小时的有3人．若从这随机抽出的12人中再随机抽取3人进一步了解情况，记X为抽取的这3名同学中A类人数和C类人数差的绝对值，求X的数学期望．附：参考公式和数据：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=+++++，n a b c d++++．附表：分）已知椭圆，1(F ，0)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设点0(P x ，000)(0)y x y ≠，点P 在椭圆C 上，过点P 作椭圆C 的切线l ，斜率为0k ，1PF ，2PF 的斜率分别为1k ，2k ，则12012k k k k k +是否是定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．（3）设点0(P x ，00)(0)y y ≠，点P 在椭圆C 上，点(,0)Q t 在12F PF ∠的角分线上，求t 的取值范围．22．（12分）已知函数2()f x lnx tx =+，函数()(21)g x t x =+，t R ∈．（1）1t =-时，讨论函数()f x 的单调性：（2）令()()()h x f x g x =-，若()h x 在1x =处取得极值，且在(0，]e 上的最大值为1，求t 的值．2021年广东省珠海市高考数学第一次质量监测试卷（一模）参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）设集合{2}A x =，集合1{|()3xB y y ==，}x R ∈，则(AB =)A ．(1,3)-B ．(0,3)C ．[0，3)D ．[1-，3)【解答】解：{|13}A x x =-<，{|0}B y y =>，(0,3)AB ∴=．故选：B ．2．（5分）设i 是虚数单位，复数20211z i =，复数2|43|43i z i-=+，则12z z +在复平面上对应的点在()A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：因为复数20211z ii ==，2|43|55(43)4343432555i i z i i i --====-++， 所以124255z z i +=+， 故12z z +在复平面上对应的点为42(,)55，在第一想象． 故选：A ．3．（5分）已知32ln α=，13e β-=，13ln γ=，则α，β，γ的大小关系是( )A ．αβγ<<B ．βαγ<<C ．γβα<<D ．βγα<<【解答】解：31ln lne >=，1α∴>，10301e e -<<=，01β∴<<，1103ln ln <=，0γ∴<， γβα∴<<，故选：C ．4．（5分）如图，为一个封闭几何体的三视图，则该几何体的表面积是()A ．52π+ B ．(51)4π++ C ．(51)2π++ D ．54π+ 【解答】解：由三视图知，该几何体是圆锥体的14部分，画出图形，如图所示：结合图中数据，计算该几何体的表面积是：()14AOC BOC S S S S S ∆∆=+++侧面底面圆 222111(1121)1212422ππ=⨯⨯+⨯++⨯⨯+⨯⨯ (51)2π+=+．故选：C ．5．（5分）已知α，β是两个不同的平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，下列条件中，可以得到l α⊥的是()A ．l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n α⊂B ．l m ⊥，//m αC ．αβ⊥，//l βD ．//l m ，m α⊥【解答】解：由α，β是两个不同的平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，知： 对于A ，l m ⊥，l n ⊥，m α⊂，n α⊂，则l 与α相交、平行或l α⊂，故A 错误；对于B ,l m ⊥，//m α，则l 与α相交、平行或l α⊂，故B 错误； 对于C ，αβ⊥，//l β，则l 与α相交、平行或l α⊂，故C 错误； 对于D ，//l m ，m α⊥，则由线面垂直的判定定理得l α⊥，故D 正确． 故选：D ．6．（5分）变量x ，y 满足约束条件30040x y x y x y a +-⎧⎪-⎨⎪-+⎩，若目标函数2z x y =+的最大值为12，则实数(a = )A ．12B ．12-C ．4D ．4-【解答】解：联立030x y x y -=⎧⎨+-=⎩，可得两直线交点为33(,)22，代入直线40x y a -+=，解得92a =-，若92a >-，分析可得可行域为∅． 则92a -， 由约束条件作出可行域如图，联立040x y x y a -=⎧⎨-+=⎩，解得(3a A -，)3a -，由2z x y =+，得22x z y =-+，由图可得，当直线22x zy =-+过A 时， 直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为21233a a--=，即12a =-． 故选：B ．7．（5分）下列四个叙述中，错误的是()A．“p q∨为真”是“p q∧为真”的必要不充分条件B．命题p：“x R∀∈且0x≠，1xx+的值域是(-∞，2][2-，)+∞”，则p⌝：“0x R∃∈且x≠，使得1(2,2)xx+∈-”C．已知a，b R∈且0ab>，原命题“若a b>，则11a b<”的逆命题是“若11a b<，则a b>”D．已知函数2()f x x=，函数1()()2xg x m=-，若对任意1[1x∈-，3]，存在2[0x∈，1]，使得12()()f xg x成立，则m的范围是[1，)+∞【解答】解：对于A：当“p q∧为真”时，则“p q∨为真”，但是当“p q∨为真”时“p q∧不一定为真”，故“p q∨为真”是“p q∧为真”的必要不充分条件，故A正确；对于B：命题p：“x R∀∈且0x≠，1xx+的值域是(-∞，2][2-，)+∞”，则p⌝：“0x R∃∈且x≠，使得1(2,2)xx+∈-，故B正确；对于C：已知a，b R∈且0ab>，原命题“若a b>，则11a b<”的逆命题是“若11a b<，则a b>”故C正确；对于D：已知函数2()f x x=，函数1()()2xg x m=-，若对任意1[1x∈-，3]，存在2[0x∈，1]，使得12()()f xg x成立，即1()0()2min minf xg x m==-，则m的范围是1[2，)+∞，故D错误．故选：D．8．（5分）已知从1开始的连续奇数首尾相接蛇形排列形成如图三角形数表，第i行第j列的数记为,i ja，如3,17a=，4,315a=，则,2021i ja=时，1102(3)log(19)(ji--+=)A．54B．18C．9D．6【解答】解：奇数构成的数阵，令212021n-=，解得1011n=，故2021是数阵中的第1011个数，第1行到第i 行一共有(1)1232i i i ++++⋅⋅⋅+=个奇数， 则第1行到第44行末一共有990个奇数，第1行到第45行末一共有1035个数， 所以2021位于第45行，又第45行是从左到右依次递增，且共有45个奇数， 所以2021位于第45行，从左到右第21列， 所以45i =，21j =， 则121121010222(3)log (19)(3)(4519)(3)649654j i log log ---+=-⋅+=-=⨯=．故选：A ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。