中考数学总复习《圆的综合题》集锦(含答案)

圆的综合题一 、解答题1.如图所示在中，，的平分线交于，为上一点，，以为圆心，以的长为半径画圆．求证：（1）是的切线；（2）．2.如图，在平面直角坐标系中，点M 在x 轴的正半轴上，M 交x 轴于A B 、两点，交y 轴于C D 、两点，E 是M 上 一点，AC CE =,AE 交y 轴于G 点．已知点A 的坐标为()20，,8AE =． （1）求点C 的坐标；（2）连结MG BC ，，求证:MG BC ∥3.如图，在中，直径垂直于弦，垂足为，连接，将沿翻折得到，直线与直线相交于点．若，求的长．Rt ABC ∆90B ∠=︒A ∠BC D E AB DE DC =D DB AC D ⊙AB EB AC +=EBE BO AB CD E AC ACD △ACACF △FC AB G 2OB BG ==CD4.如图是某城市一个主题雕塑的平面示意图，它由置放于地面l 上两个半径均为2米的半圆与半径为4米的构成．点分别是两个半圆的圆心，分别与两个半圆相切于点长为8米．求的长．5.已知多边形是由边长为2的等边三角形和正方形组成，一圆过三点，求该圆半径的长．6.如图，在锐角ABC △中，AC 是最短边；以AC 中点O 为圆心，AC 长为直径作O ，交BC 于E ，过O 作OD BC ∥交O 于D ，连接AE 、AD 、DC ． （1）求证：D 是的中点； （2）求证：DAO B BAD ∠=∠+∠； （3）若12CEF OCD S S =△△，且4AC =，求CF 的长．A B C 、A E F BC 、、EF CBF E A ABDEC ABC BDEC A D E 、、AE7.已知：在ABC 中，以AC 边为直径的O 交BC 于点D ，在劣弧上取一点E使EBC DEC ∠=∠，延长BE 依次交AC 于点G =，交O 于H ． （1）求证：AC BH ⊥；（2）若45ABC ∠=︒，O ⊙O 的直径等于10，BD=8，求CE 的长．8.已知AD 是O 的直径，AB AC 、是弦，且AB AC =．（1）如图1，求证：直径AD 平分BAC ∠；（2）如图2，若弦BC 经过半径OA 的中点E ，F 是CD 的中点，G 是FB 的中点，O 的半径为1，求弦长FG 的长（3）如图3，在（2）中若弦BC 经过半径OA 的中点E ，P 为劣弧AF 上一动点，连结PA PB PD PF 、、、，求证：PA PFPB PD++为定值．9.如图，在四边形ABCD 中，已知∠BAD=60°，∠ABC =90°，∠BCD =120°，对角线AC ，BD 交于点E ，且DE =2EB ，F 为AC 的中点． 求证：（1）∠FBD =30°；（2）AD =DC ．△ADADA10.如图，的半径为1，点P 是上一点，弦垂直平分线段，点是上任一点（与端点不重合），于点，以点为圆心、长为半径作，分别过点作的切线，两条切线相交于点． （1）求弦的长；（2）判断是否为定值，若是，求出的大小；否则，请说明理由； （3）记的面积为，若的周长．C OO AB OP D APB A B 、DE AB ⊥E D DE D A B 、D C AB ACB ∠ACB ∠ABC △S 2SDE =ABC △圆的综合题答案解析一 、解答题1.（1）如图所示，过点作于．∵为的切线，平分， ∴∴是的切线；（2）在和中， ∵，， ∴ ∴ 又 ∴．2.（1）连MC ，交AE 于H ，则MC AH ⊥，142AH AE ==．可以证明COM AHM ≌△△，得4OC AH ==．∴C 点坐标为()04，； （2）连AC MG AC CE AD ==，，，∴AG CG =，AGM CGM ≌△，∴12AMG AMC ∠=∠，又 12ABC AMC ∠=∠，∴AMG ABC ∠=∠，故MG BC ∥．【解析】利用三角形全等3.连接D DF AC ⊥F AB D ⊙AD BAC ∠BD DF =AC D ⊙Rt BDE ∆Rt DCF ∆BD DF =DE DC =BDE FDC ∆∆≌EB FC =AB AF =AB EB AC +=CO∵，∴．由翻折得，，． ∴，∴． ∴． ∴直线与相切． 在中，， ∴．在中，． ∵直径垂直于弦， ∴．【解析】连接，证即可．根据题意，证可得，从而，得证；根据垂径定理可求后求解．在中，根据三角函数可得．结合求，从而得解． 【点评】此题考查了切线的判定、垂径定理、解直角三角形等知识点，难度中等．4.∵分别与两个半圆相切于点、，点分别是三个圆的圆心， ∴米，米，米． 则在和中，，， ∴． 故，则（米）． 【解析】由各圆的半径可得到，．则由两边对应成比例，且夹角相等得到．故．则可求得的OA OC =12∠=∠13∠=∠90F AEC ∠=∠=︒23∠=∠OC AF ∥90OCG F ∠=∠=︒FC O Rt OCG △1cos 22OC OC COG OG OB ∠===60COG ∠=︒Rt OCE△sin 602CE OC =⋅︒==ABCD 2CD CE ==OC OC FG ⊥AF FG ⊥FAC ACO ∠=∠OC AF ∥OC FG ⊥CE Rt OCG △60COG ∠=︒2OC =CE A E F A B C 、、4AE AF ==2BE CF ==6AB AC ==AEF △ABC △EAF BAC ∠=∠4263AE AF AB AC ===AEF ABC △∽△EF AE BC AB =216833AE EF BC AB =⋅=⨯=4AE AF ==26BE CF AB AC ====，AEF ABC △∽△EF AE BC AB=EF值．【点评】本题主要考查了圆与圆的位置关系以及相似三角形的判定和性质．5.如图2，作，垂足为，并延长交于点．∵为等边三角形， ∴垂直平分， ∵四边形为正方形， ∴垂直平分正方形的边． 又是圆的弦，∴必过圆心，记圆心为点，并设的半径为． 在中， ∵， ∴．∴． 在中，． ∴．解得∴该圆的半径长为2．图一 图二【解析】作，垂足为，并延长交于点．根据其轴对称性，则圆心必定在上．设其圆心是，连接，．根据等边三角形的性质和正方形的性质，可以求得，的长，设圆的半径是．在直角三角形中，根据勾股定理列方程求解．AF BC ⊥F DE H ABC △AF BC BDEC AH DE DE AH O O r Rt ABF △30BAF ∠=︒AF2OH AF FH OA r =+--Rt ODH △222OH DH OD +=()22221r r +=2r =HAF BC ⊥F DE H AH O OD OE AH DH r BOH【点评】熟练运用等边三角形的性质、正方形的性质以及勾股定理．6.（1）∵AC是O的直径，∴AE BC⊥，∵OD BC∥，∴AE OD⊥，∴D是的中点；（2）方法一：如图，延长OD交AB于G，则OG BC∥，∴AGD B∠=∠，∵ADO BAD AGD∠=∠+∠，又∵OA OD=，∴DAO ADO∠=∠，∴DAO B BAD∠=∠+∠；方法二：如图，延长AD交BC BC于H，则ADO AHC∠=∠，∵AHC B BAD∠=∠+∠，∴ADO B BAD∠=∠+∠，又∵OA OD=，∴DAO B BAD∠=∠+∠；（3）∵AO OC=，∴12OCD ACDS S=△△，∵12CEFOCDSS=△△，∴14CEFACDSS=△△，∵ACD FCE∠=∠，90ADC FEC∠=∠=︒，∴ACD FCE△∽△，∴2CEFACDS CFS AC⎛⎫= ⎪⎝⎭△△，AE即：2144CF ⎛⎫= ⎪⎝⎭， ∴2CF =．【解析】（1）由AC 是O 的直径，即可求得OD BC ∥，又由AE OD ⊥，即可证得D 是AE 的中点；（2）首先延长OD 交AB 于G ，则OG BC ∥，可得OA OD =，根据等腰三角形的性质，即可求得DAO B BAD ∠=∠+∠； （3）由AO OC =，12OCD ACD S S =△△，即可得14CEF ACD S S =△△，又由ACD FCE △∽△，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求得CF 的长． 【点评】此题考查了垂径定理，平行线的性质以及相似三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是数形结合思想的应用．7.（1）连接AD ，∵DAC DEC EBC DEC ∠=∠∠=∠，， ∴DAC EBC ∠=∠， ∵AC 是O 的直径， ∴90ADC ∠=︒， ∴90DCA DAC ∠+∠=︒， ∴90EBC DCA ∠+∠=︒，∴()1801809090BGC EBC DCA ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒， ∴AC BH ⊥；（2）∵18090BDA ADC ∠=︒-∠=︒，45ABC ∠=︒， ∴45BAD ∠=︒， ∴BD AD =， ∵8BD =， ∴8AD =，∵9010ADC AC ∠=︒=，，∴，6DC ==∴8614BC BD DC =+=+=，∵90BGC ADC ∠=∠=︒，BCG ACD ∠=∠， ∴∠45BAD ∠=︒， ∴CG BCDC AC =， ∴14610CG =， ∴425CG =， 连接AE ， ∵AC 是直径， ∴90AEC ∠=︒， ∵EG AC ⊥， ∴CEG CAE △∽△， ∴CE CGAC CE=， ∴24210845EC AC CG =⋅=⨯=， ∴．【解析】（1）连接AD ，由圆周角定理即可得出DAC DEC ∠=∠，90ADC ∠=︒，再根据直角三角形的性质即可得出结论；（2）由18090BDA ADC ∠=︒-∠=︒，45ABC ∠=︒可求出45BAD ∠=︒，利用勾股定理即可得出DC 的长，再由相似三角形的判定定理与性质可求出CG 的长，连接AE 由圆周角定理可得出EG AC ⊥，进而得出CEG CAE △∽△，由相似三角形的性质即可得出结论．【点评】本题考查的是圆周角定理，相似三角形的判定与性质及勾股定理，根据题意作出辅助线是解答此题的关键．8.（1）过O 作OM AB ⊥于M ，ON AC ⊥于N ，则OM ON =；（2）连OB OC ，，则OA BC ⊥，又AE OE =，得AB BO OA OC ===，AOB AOC 、△△都是等边三角形，连OG ，则90GOF ∠=︒，FG =（3）取BD 的中点M ，过M 作MS PA ⊥于S ，MT PF ⊥于T ，连AM FM ，，BPM ∠=CE =30DPM ∠=︒，60APM FPM ∠=∠=︒，则MS MT AM MF ==，，Rt ASM Rt FTM ≌，△△△ Rt PMS Rt PMF ≌△△，∴12PS PM =．∴22PA PF PS PT PM +===．同理可证：PB PD +=．∴PA PF PB PD +===+为定值．【解析】（1）由30BPA DPF ∠=∠=︒，构建直角三角形 （2）构造PA PF PB PD ++、相关现线段 （3）取BD 中点H ,连PH ，联想常规命题等．9.（1）由已知得90ADC ∠=︒，从而A B C D ，，，四点共圆，AC 为直径，F 为该圆的圆心， 作FG BD ⊥于点G ，∴G 为BD 的中点，∴DF FB = ∴2120BFD BAD ∠=∠=︒， ∴60GFB ∠=︒，∴30FBD ∠=︒ （2）作FH FB ⊥于点H ，则12EH EB =．又DE =2EB ，12DG GB DB==，∴GE DE DG =-=31222BE BE BE-=EH =， ∴Rt FGE Rt FHE ≌△△， ∴30GFE HFE ∠=∠=︒，又FA FB =，所以1152FAB CFB ∠=∠=︒，故∠DAC =45°=∠DCA ， 所以AD =DC ．C【解析】（1）连接FD ，四边形ABCD 中，已知∠BAD =60°，∠ABC =90°，∠BCD =120°，根据内角和定理可求∠ADC =90°，则A 、B 、C 、D 四点共圆，对角线AC 为直径，F 点为圆心，△FBD 为等腰三角形，根据圆周角定理∠BFD =2∠BAD ，可证∠FBD =30°；（2）作EH ⊥BF 于点H ，由（1）的结论可知EH =12BE ，利用线段之间个关系证明EH =12BE =EG ，从而判断Rt FGE Rt FHE ≌△△，得出∠GFE =∠HFE =30°，由圆周角定理得∠CAB =12∠CFB ，则∠DAC =∠BAD -∠FAB =45°，又AC 为直径，故AD =DC ．10.（1）连接，取与的交点为，则有．∵弦垂直平分线段， ∴，， 在中，∵，∴． （2）是定值．理由：连接， 由（1）易知，， ∵点为的内心，∴， ∵，COA OP AB F 1OA =AB OP 1122OF OP ==AFBF =Rt OAF△AF2AB AF ==ACB ∠AD BD 、120ADB ∠=︒D ABC △22CAB DAE CBA DBA ∠=∠∠=∠，1602DAE DBA AOB ∠+∠=∠=︒∴， ∴．（3）记的周长为l ，取与的切点分别为， 连接，则有， ∴， ∵∴， ∴，∵是的切线， ∴， ∴在中，， ∴，又由切线长定理可知， ∴ 解得， ∴． 【解析】（1）连接，与的交点为，则为直角三角形，且，借助勾股定理可求得的长； （2）要判断是否为定值，只需判定的值是否是定值，由于是的内切圆，所以和分别为和的角平分线，因此只要是定值，那么就是定值，而等于所对的圆周角，这个值等于值的一半；（3）由题可知又因为120CAB CBA ∠+∠=︒60ACB ∠=︒ABC △AC BC ，D G H ，DG DC DH ，，DG DH DE DG AC DH BC ==⊥⊥，，ABD ACD BCD S S S S =++△△△111222AB DE BC DH AC DG ⋅+⋅+⋅()1122AB BC AC DE l DE =++⋅=⋅2SDE =212l DE DE⋅=l =CG CH ，D 1302GCD ACB ∠=∠=︒Rt CGD △tan30DG CG =︒CH CG =AG AE BH BE ==，l AB BC AC =++==，13DE =ABC △OA PO AB F AOF △112OA FO ==，AF ACB ∠CAB ABC ∠+∠D ABC △AD BD CAB ∠ABC ∠DAE DBA ∠+∠CAB ABC ∠+∠DAE DBA ∠+∠AB AOB ∠()12ABD ACD BCD S S S S DE AB AC BC =++=++，△△△2SDE =所以，由于，所以在中，，同理可得，又由于，，所以，可得，解得：，代入，即可求得． 【点评】本题巧妙将垂径定理、勾股定理、内切圆、切线长定理、三角形面积等知识综合在一起，需要考生从前往后按顺序解题，前面问题为后面问题的解决提供思路，是一道难度较大的综合题AB AB BC ++=DH DG DE ==Rt CDH △CH CG AG AE =BE BH =AB AC BC CG CH AG AB BH ++=++++=+=+13DE =AB AC BC ++=。