第2讲 不等式(组)的解法
第2讲 方程（组）与不等式（组）（解析）
第2讲 方程（组）与不等式（组）知识点1 一元一次方程1．等式及其性质 ⑴ 等式：用等号“=”来表示等量关系的式子叫等式.⑵ 性质：① 如果，那么b ±c ；② 如果，那么bc ；如果，那么b c2. 方程、一元一次方程的解、概念(1) 方程：含有未知数的等式叫做方程；使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解；求方程解的过程叫做解方程. 方程的解与解方程不同.(2) 一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程；它的一般形式为ax+b=0. 3. 解一元一次方程的步骤：①去分母；②去；③移；④合并；⑤系数化为1. 4. 一元一次方程的应用：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数． （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．b a ==±c a b a ==ac ba =()0≠c =c a ()0≠a（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．【典例】例1如果3m＝3n，那么下列等式不一定成立的是（）A．m﹣3＝n﹣3B．2m+3＝3n+2C．5+m＝5+n D．m−3=n −3【解答】解：A、由3m＝3n得m＝n，两边都减去3得m﹣3＝n﹣3，原变形正确，故此选项不符合题意；B、3m＝3n两边都加上2得3m+2＝3n+2，原变形错误，故此选项符合题意；C、由3m＝3n得m＝n，两边都加上5得5+m＝5+n，原变形正确，故此选项不符合题意；D、由3m＝3n得m＝n，两边都除以﹣3得m−3=n−3，原变形正确，故此选项不符合题意；故选：B．【方法总结】本题考查了等式的性质，解题的关键是掌握等式的性质：性质1：等式两边同时加上（或减去）同一个代数式，所得结果仍是等式；性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以一个不为0的数），所得结果仍是等式．例2解方程：（1）2﹣3（x﹣1）＝2（x﹣2）；（2）．【解答】解：（1）2﹣3（x﹣1）＝2（x﹣2），去括号，得2﹣3x+3＝2x﹣4，移项，得﹣3x﹣2x＝﹣4﹣2﹣3，合并同类项，得﹣5x＝﹣9，系数化为1，得x＝；（2），去分母，得3（3x+2）＝15﹣5（2x﹣1），去括号，得9x+6＝15﹣10x+5，移项，得9x+10x＝15+5﹣6，合并同类项，得19x＝24，系数化为1，得x＝．【方法总结】本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的基本步骤是解答本题的关键．例3若方程12﹣3（x+1）＝7﹣x的解与关于x的方程6﹣2k＝2（x+3）的解相同，求k的值．【解答】解：∵12﹣3（x+1）＝7﹣x，∴12﹣3x﹣3＝7﹣x，∴2＝2x，∴x＝1，把x＝1代入6﹣2k＝2（x+3）得6﹣2k＝8，∴k＝﹣1．【方法总结】本题考查了同解方程：如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程．例4若方程2（2x﹣1）＝3x+1与关于x的方程2ax＝（a+1）x﹣6的解互为倒数，求a的值．【解答】解：解方程①得，x＝3，方程②的解为x＝，代入得，解得a＝﹣17．【方法总结】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．例5我市某区为鼓励毕业大学生自主创业，经过调研决定：在2021年对60名自主创业的大学生进行奖励，共计奖励50万元．奖励标准是：大学生自主创业连续经营一年以上的给予5000元奖励；自主创业且解决3人以上失业人员稳定就业的，再给予1万元奖励．问：该区自主创业大学生中连续经营一年以上的和自主创业且解决3人以上失业人员稳定就业的大学生分别有多少人？【解答】解：50万＝500000元，设自主创业且连续经营一年以上的大学生有x人，自主创业且解决3人以上失业人员稳定就业的大学生有（60﹣x）人，根据题意得：5000x +10000（60﹣x ）＝500000， 解得：x ＝20，则60﹣x ＝60﹣20＝40（人），答：自主创业且连续经营一年以上的大学生有20人，自主创业且解决3人以上失业人员稳定就业的大学生有40人．【方法总结】本题考查一元一次方程的应用，关键是找到等量关系列出方程．例6两辆汽车从相距80km 的两地同时出发相向而行，甲车的速度比乙车的速度快20km /h ，半小时后两车相遇？ （1）两车的速度各是多少？ （2）两车出发几小时后相距20km ？【解答】解：（1）设乙车的速度为xkm /h ，则甲车速度为（x +20）km /h ， 根据题意得：（x +x +20）×12=80， 解得：x ＝70， ∴x +20＝70+20＝90，则甲车速度为90km /h ，乙车速度为70m /h ； （2）设两车出发y 小时相距20km ， 当两车没有相遇时相距20km ， 根据题意得：（70+90）y +20＝80， 解得：y =38；当两车相遇后相距20km ， 根据题意得：（70+90）y ＝80+20， 解得：y =58，综上，两车出发38小时或58小时后相距20km ．【方法总结】此题考查了一元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键．【随堂练习】1．在下列方程的变形中，正确的是（ ） A ．由2x +1＝3x ，得2x +3x ＝1 B ．由25x =34，得x =34×52C ．由2x =34，得x =32D ．由−x+13=2，得﹣x +1＝6 【解答】解：A 、由2x +1＝3x 得2x ﹣3x ＝﹣1，原变形错误，故此选项不符合题意； B 、由25x =34得x =34×52，原变形正确，故此选项符合题意；C 、由2x =34得x =38，原变形错误，故此选项不符合题意； D 、由−x+13=2得﹣x ﹣1＝6，原变形错误，故此选项不符合题意； 故选：B ． 2．解方程：（1）3x +2＝4（2x +3）； （2）﹣1．【解答】解：（1）去括号得：3x +2＝8x +12， 移项得：3x ﹣8x ＝12﹣2， 合并得：﹣5x ＝10， 解得：x ＝﹣2；（2）去分母得：2（5y ﹣9）＝3（3y ﹣1）﹣6， 去括号得：10y ﹣18＝9y ﹣3﹣6， 移项得：10y ﹣9y ＝﹣3﹣6+18， 合并得：y ＝9． 3．某同学在解关于y 的方程﹣＝1去分母时，忘记将方程右边的1乘以12，从而求得方程的解为y ＝10． （1）求a 的值； （2）求方程正确的解．【解答】解：（1）该同学去分母时方程右边的1忘记乘12， 则原方程变为3（3y ﹣a ）﹣2（5y ﹣7a ）＝1， ∵方程的解为y ＝10，代入得3（30﹣a ）﹣2（50﹣7a ）＝1．解得a＝1．（2）将a＝1代入方程﹣＝1，得﹣＝1，解得y＝﹣1，即原方程的解为y＝﹣1．4．已知关于x的方程2（x﹣1）＝3m﹣1与3x﹣2＝﹣4的解相同，求m的值．【解答】解：因为关于x的方程2（x﹣1）＝3m﹣1与3x﹣2＝﹣4的解相同，所以解方程3x﹣2＝﹣4，得x=−2 3，把x=−23代入2（x﹣1）＝3m﹣1，得2（−23−1）＝3m﹣1，解得m=−7 9．5．为加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的．该市自来水收费价格如表：每月用水量单价（元）不超过23立方米的部分m超过23立方米的部分m+1.1（1）某用户4月份用水10立方米，共交费26元，求m的值；（2）在（1）的前提下，该用户5月份交水费82元，请问该用户5月份用水多少立方米？【解答】解：（1）依题意得：10m＝26，∴m＝2.6，答：m的值为2.6；（2）∵23×2.6＝59.8＜82，∴该用户5月份用水超过23立方米，设该用户5月份用水x立方米，根据题意得：23×2.6+（2.6+1.1）•（x﹣23）＝82，解得x＝29，答：该用户5月份用水为29立方米．知识点2 一元二次方程1．一元二次方程：在整式方程中，只含一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是)0(02≠=++a c bx ax .其中2ax 叫做二次项，bx 叫做一次项，c 叫做常数项；a 叫做二次项的系数，b 叫做一次项的系数. 2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：①化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；②移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，③配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，④化原方程为的形式，⑤如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n ＜0，则原方程无解.（3）公式法：一元二次方程的求根公式 .（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：①将方程的右边化为0；②将方程的左边化成两个一次因式的乘积；③令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解. 3. 一元二次方程根的判别式：关于x 的一元二次方程的根的判别式为=∆. （1）>0一元二次方程有两个不相等的实数根，即242ab b ac -±-.（2）=0一元二次方程有两个相等的实数根，即2ba-. )0(2≥=a a x )0()(2≥=-a a b x ()02≠=++a o c bx ax 2()x m n +=0n ≥20(0)ax bx c a ++=≠221,2440)b b ac x b ac -±-=-≥()002≠=++a c bx ax ac b 42-ac b 42-⇔()002≠=++a c bx ax =2,1x ac b 42-⇔==21x x（3）<0一元二次方程没有实数根.4． 一元二次方程根与系数的关系关于x 的一元二次方程有两根分别为，，那么 a b -，c a. 【典例】例1若关于x 的方程（m +1）x |m |+1+x ﹣3＝0是一元二次方程，求m 的值． 【解答】解：∵关于x 的方程（m +1）x |m |+1+x ﹣3＝0是一元二次方程， ∴，解得m ＝1．【方法总结】本题主要考查一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式是：ax 2+bx +c ＝0（a ，b ，c 是常数且a ≠0），特别要注意a ≠0的条件． 例2解方程：9（x ﹣1）2＝16（x +2）2．【解答】解：两边直接开平方，得：3（x ﹣1）＝±4（x +2）， 即3x ﹣3＝4x +8或3x ﹣3＝﹣4x ﹣8， 解得：x ＝﹣11或x ＝﹣．【方法总结】考查了解一元二次方程﹣直接开平方法．解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2＝a （a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解．（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2＝a （a ≥0）；ax 2＝b （a ，b 同号且a ≠0）；（x +a ）2＝b （b ≥0）；a （x +b ）2＝c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”． （2）运用整体思想，会把被开方数看成整体．（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点． 例3用配方法解方程：x 2﹣8x +13＝0．ac b 42-⇔()002≠=++a c bx ax 20(0)ax bx c a ++=≠1x 2x =+21x x =⋅21x x移项，得：x2﹣8x＝﹣13，配方，得：x2﹣8x+16＝﹣13+16，即（x﹣4）2＝3，开方，得：x﹣4＝±，∴x1＝+4，x2＝﹣+4．【方法总结】本题考查解一元二次方程—配方法，解答本题的关键是会用配方法解方程．例4若关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有实数根，求k的取值范围．【解答】解：根据题意得k≠0且△＝（﹣6）2﹣4k×9≥0，解得k≤1且k≠0．【方法总结】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程无实数根．例5岳池县是电子商务百强县，某商店积极利用网络优势销售当地特产—西板豆豉．已知每瓶西板豆豉的成本价为16元，当销售单价定为20元时，每天可售出80瓶．为了回馈广大顾客，该商店现决定降价销售（销售单价不低于成本价）．经市场调查反映：若销售单价每降低0.5元，则每天可多售出20瓶．（1）当销售单价降低1元时，每天的销售利润为360元；（2）为尽可能让利于顾客，若该商店销售西板豆豉每天的实际利润为350元，求西板豆豉的销售单价．【解答】解：（1）（20﹣16﹣1）×[80+20×（1÷0.5）]＝360（元）．答：如果销售单价降低1元，那么每天的销售利润为360元．故答案为：360；（2）设销售单价降低x元，则每瓶的销售利润为20﹣16﹣x＝（4﹣x）元，每天的销售量为80+20×＝（80+40x）瓶，依题意，得：（4﹣x）（80+40x）＝350，解得：x1＝1.5，x2＝0.5，又∵为尽快减少库存，∴x＝1.5，∴20﹣x＝18.5，答：西板豆豉的销售单价为18.5元．【方法总结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系：每天的销售利润＝每瓶的销售利润×日销售量是解决问题的关键．例6在学校劳动基地里有一块长40米、宽20米的矩形试验田，为了管理方便，准备沿平行于两边的方向纵、横开辟三条等宽的小道，如图．已知这块矩形试验田中种植的面积为741平方米，小道的宽为多少米？【解答】解：设小道的宽为x米，则剩余部分可合成长（40﹣x）米，宽（20﹣x）米的矩形，依题意得：（40﹣x）（20﹣x）＝741，整理得：x2﹣60x+59＝0，解得：x1＝1，x2＝59．又∵20﹣x＞0，∴x＜20，∴x＝1．答：小道的宽为1米．【方法总结】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【随堂练习】1．解方程：（1）（x﹣1）2﹣＝0；（2）2x2+8x﹣1＝0．【解答】解：（1）（x﹣1）2﹣＝0，（x﹣1）2＝，∴x﹣1＝或x﹣1＝﹣，解得x1＝，x2＝﹣；（2）2x2+8x﹣1＝0，x2+4x＝，x2+4x+4＝+4，即（x+2）2＝，则x+2＝±，∴x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．2．已知关于x的方程x2+kx﹣2＝0．（1）求证：不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为2，求它的另一个根．【解答】解：（1）∵a＝1，b＝k，c＝﹣2，∴b2﹣4ac＝k2+8，∵不论k取何实数，k2≥0，∴k2+8＞0，即b2﹣4ac＞0，∴不论k取何实数，该方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为β，∴2β＝﹣2，∴β＝﹣1，∴另一个根为﹣1．3．惠友超市于今年年初以25元/件的进价购进一批商品．当商品售价为40元/件时，一月份销售了256件．二、三月份该商品十分畅销，销售量持续走高．在售价不变的基础上，三月份的销售量达到了400件．（1）求二、三月份销售量的月平均增长率．（2）从四月份起，商场决定采用降价促销的方式回馈顾客，经调查发现，该商品每件每降价1元，销售量增加5件．当每件商品降价多少元时，商场获利4250元？【解答】解：（1）设二、三这两个月的月平均增长率为x，则256（1+x）2＝400，解得：x1＝25%，x2＝﹣2.25（不合题意，舍去），答：二、三月份销售量的月平均增长率是25%；（2）设降价y元，（40﹣y﹣25）（400+5y）＝4250，整理得：y2+65y﹣350＝0，解得：y1＝5，y2＝﹣70（不合题意，舍去），答：当商品降价5元时，商场当月获利4250元．4．如图是一张长20cm、宽13cm的矩形纸板，将纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，然后将四周突出部分折起，可制成一个无盖纸盒．（1）这个无盖纸盒的长为（20﹣2x）cm，宽为（13﹣2x）cm；（用含x的式子表示）（2）若要制成一个底面积是144cm2的无盖长方体纸盒，求x的值．【解答】解：（1）∵纸板是长为20cm，宽为13cm的矩形，且纸板四个角各剪去一个边长为xcm的正方形，∴无盖纸盒的长为（20﹣2x）cm，宽为（13﹣2x）cm．故答案为：（20﹣2x）；（13﹣2x）．（2）依题意，得：（20﹣2x）（13﹣2x）＝144，整理，得：2x2﹣33x+58＝0，解得：x1＝2，x2＝14.5（不合题意，舍去）．答：x的值为2．知识点3 分式方程1．分式方程:分母中含有未知数的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入最简公分母中，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：① 设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；② 解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③ 把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④ 检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解，是否是所列分式方程的解；（2）检验所求的解，是否为增根.【典例】例1解方程：（1）＝﹣2．（2）＝．【解答】解：（1）＝﹣2，原方程化为：＝﹣2，方程两边都乘2（x﹣1），得2x＝3﹣4（x﹣1），解得：，检验：当时，2（x﹣1）≠0，所以x＝是原分式方程的根，即原分式方程的解是x＝；（2）＝，原方程化为：＝，方程两边都乘（2x+1）（2x﹣1），得2（2x+1）＝4，解得：，检验：当时，2x﹣1＝0，所以x＝是原方程的增根，即原方程无解．【方法总结】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．例2用换元法解方程(xx+1)2+5(x x+1)+6=0时，若设xx+1=t，则原方程可化为关于t的一元二次方程是t2+5t+6＝0．【解答】解：把xx+1=t代入方程(x x+1)2+5(x x+1)+6=0，得t2+5t+6＝0．故答案为：t2+5t+6＝0．【方法总结】此题考查了换元法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．例3定义一种新运算“⊗”，规则如下：a⊗b＝，（a≠b2），这里等式右边是实数运算，例如：1⊗3＝＝﹣．求x⊗（﹣2）＝1中x的值．【解答】解：根据题中的新定义化简得：＝1，即＝1，去分母得：x﹣4＝1，解得：x＝5，检验：把x＝5代入得：x﹣4≠0，∴分式方程的解为x＝5．此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验，弄清题中的新定义是解本题的关键．例4疫情过后，为做好复工复产，某工厂用A 、B 两种型号机器人搬运原料．已知A 型机器人每小时搬运的原料比B 型机器人每小时搬运的原料的一半多50千克，且B 型机器人搬运2400千克所用时间与A 型机器人搬运2000千克所用时间相等，求这两种机器人每小时分别搬运多少千克原料．【解答】解：设B 型机器人每小时搬运xkg 原料，则A 型机器人每小时搬运（12x +50）kg原料， 依题意，得：2400x=200012x+50， 解得：x ＝150，经检验，x ＝150是原方程的解，且符合题意， ∴12x +50＝125．答：A 型机器人每小时搬运125kg 原料，B 型机器人每小时搬运150kg 原料．【方法总结】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 例5 2020年春节寒假期间，小伟同学完成数学寒假作业的情况是这样的：原计划每天都做相同页数的数学作业，做了5天后，由于新冠疫情加重，当地加强了防控措施，对外出进行限制，小伟有更多的时间待在家里，做作业的效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前6天完成了数学寒假作业，已知数学寒假作业本共有34页，求小伟原计划每天做多少页数学寒假作业？【解答】解：设小伟原计划每天做x 页数学寒假作业，则做作业的效率提高后每天做2x 页的数学寒假作业， 依题意，得：﹣（5+）＝6，解得：x ＝2，经检验，x ＝2是原方程的解，且符合题意． 答：小伟原计划每天做2页数学寒假作业．本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 例6要在规定天数内修筑一段公路，若让甲队单独修筑，则正好在规定天数内按期完成；若让乙队单独修筑，则要比规定天数多8天才完成．现在由乙队单独修筑其中一小段，用去了规定时间的一半，然后甲队接着单独修筑2天，这段公路还有一半未修筑．若让两队共同再修筑2天，能否完成任务？【解答】解：设甲队x 天完成任务，则乙队（x +8）天完成任务， 由题意得：×+＝，解得：x ＝8，检验得：x ＝8是原方程的根，则2×（+）＝＜，答：若让两队再共同修筑2天，不能完成任务．【方法总结】此题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．【随堂练习】1．用换元法解方程x−1x=3x x−1−2时，设x−1x=y ，换元后化成关于y 的一元二次方程的一般形式为 y 2+2y ﹣3＝0 ． 【解答】解：x−1x=3x x−1−2时，设x−1x=y ，则原方程化为：y =3y −2， y 2＝3﹣2y ， y 2+2y ﹣3＝0，故答案为：y 2+2y ﹣3＝0． 2．解方程： （1）＝；（2）﹣3．【解答】解：（1）去分母得：x +2（x ﹣2）＝x +2，去括号得：x+2x﹣4＝x+2，解得：x＝3，检验：把x＝3代入得：（x+2）（x﹣2）≠0，∴分式方程的解为x＝3；（2）去分母得：1＝x﹣1﹣3（x﹣2），去括号得：1＝x﹣1﹣3x+6，解得：x＝2，检验：把x＝2代入得：x﹣2＝0，∴x＝2是增根，分式方程无解．3．若关于x的方程有增根，则增根是多少？并求方程产生增根时m的值．【解答】解：去分母，得：m+2（x﹣3）＝x+3，由分式方程有增根，得到x﹣3＝0或x+3＝0，即x＝±3，把x＝3代入整式方程，可得：m＝6，把x＝﹣3代入整式方程，可得：m＝12，综上，可得：方程的增根是x＝±3，方程产生增根时m＝6或12．4．虎林西苑社区在扎实开展党史学习教育期间，开展“我为群众办实事”活动，为某小区铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度．【解答】解：设原计划每天铺设管道x米．由题意，得：﹣＝2，解得x＝60．经检验，x＝60是原方程的解．且符合题意．答：原计划每天铺设管道60米．5．某所学校有A、B两班师生前往一个农庄参加植树活动．已知A班每天植树量是B班每天植树量的1.5倍，A班植树300棵所用的天数比B班植树240棵所用的天数少2天，求A、B两班每天各植树多少棵？【解答】解：设B班每天植树x棵，那么A班每天植树1.5x棵，依题意，得3001.5x =240x−2，解之得x＝20，经检验，x＝20是原方程的解则当x＝20时，1.5x＝30．答：A班每天植树30棵，B班每天植树20棵．知识点4 方程组(1)二元一次方程：含有两个未知数（元）并且未知数的次数是2的整式方程.(2) 二元一次方程组：由2个或2个以上的含有相同未知数的二元一次方程组成的方程组叫二元一次方程组.(3)二元一次方程的解：适合一个二元一次方程的两个未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解，一个二元一次方程有无数个解.(4)二元一次方程组的解：使二元一次方程组成立的未知数的值，叫做二元一次方程组的解.(5)①代入消元法、②加减消元法.【典例】例1下列方程中，是二元一次方程的是（）A．xy＝2B．3x＝4y C．x+1y=2D．x2+2y＝4【解答】解：A、是二元二次方程，故本选项不符合题意；B、是二元一次方程，故本选项符合题意；C、不是整式方程，故本选项不符合题意；D、是二元二次方程，故本选项不符合题意；故选：B．【方法总结】本题主要考查二元一次方程的定义，二元一次方程需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．不符合上述任何一个条件的都不叫二元一次方程．例2解方程组：（1）；（2）．【解答】解：（1），①+②×2，得11x＝﹣11，解得x＝﹣1，把x＝﹣1代入②，得y＝2，故方程组的解为；（2）方程组整理，得，②×2﹣①，得5x＝10，解得x＝2，把x＝2代入②，得6﹣2y＝6，解得y＝0，故方程组的解为．【方法总结】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．例3已知方程组与有相同的解，求m和n值．【解答】解：由已知可得，解得，把代入剩下的两个方程组成的方程组，得，解得m＝﹣1，n＝﹣4．【方法总结】解答此题的关键是熟知方程组有公共解得含义，考查了学生对题意的理解能力． 例4糖葫芦一般是用竹签串上山楂，再蘸以冰糖制作而成．现将一些山楂分别串在若干根竹签上．如果每根竹签串5个山楂，还剩余4个山楂；如果每根竹签串8个山楂，还剩余7根竹签．这些竹签有多少根？山楂有多少个？【解答】解：设竹签有x 根，山楂有y 个， 由题意得：{5x +4=y 8(x −7)=y ，解得：{x =20y =104，答：竹签有20根，山楂有104个．【方法总结】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程组的解法；根据题意列出方程组是解题的关键．例5中药是我国的传统医药，其独特的疗效体现了我们祖先的智慧，并且在抗击新冠疫情中，中医药发挥了重要的作用．现某种药材种植基地欲将一批150吨的重要中药材运往某药品生产厂，现有甲、乙两种车型供运输选择，每辆车的运载能力（假设每辆车均满载）和运费如下表所示：车型 甲 乙 运载量（吨/辆） 10 12 运费（元/辆）700720若全部中药材用甲、乙两种车型一次性运完，需支付运费9900元，问甲、乙两种车型各需多少辆？【解答】解：设甲种车型需x 辆，乙种车型需y 辆， 根据题意得：，解得：，答：甲种车型需9辆，乙种车型需5辆．【方法总结】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．【随堂练习】1．如果3x 3m﹣2n﹣4y n﹣m+12＝0是关于x 、y 的二元一次方程，那么m 、n 的值分别为（ ） A ．m ＝2，n ＝3 B ．m ＝2，n ＝1C ．m ＝﹣1，n ＝2D ．m ＝3，n ＝4【解答】解：∵3x 3m ﹣2n﹣4y n﹣m+12＝0是关于x 、y 的二元一次方程，∴{3m −2n =1n −m =1， 解得：{m =3n =4，故选：D ．2．如果方程组{ax −by =134x −5y =41与{ax +by =32x +3y =−7有相同的解，则a ，b 的值是（ ）A ．{a =2b =1B ．{a =2b =−3C ．{a =52b =1D ．{a =4b =−5【解答】解：由已知得方程组{4x −5y =412x +3y =−7，解得{x =4y =−5，代入{ax −by =13ax +by =3，得到{4a +5b =134a −5b =3，解得{a =2b =1．故选：A ．3．解方程组：．【解答】解：，①+②×2得：13x ＝26，即x ＝2， 把x ＝2代入②得：y ＝4， 则方程组的解为．4．列二元一次方程组解应用题：小颖家离学校1880米，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路．她跑步去学校共用了16分钟，已知小颖在上坡路上的平均速度是80米/分钟，在下坡路上的平均速度是200米/分钟．求小颖上坡、下坡各用了多长时间？【解答】解：设小颖上坡用了x 分钟，下坡用了y 分钟， 依题意得：{x +y =1680x +200y =1880，解得：{x =11y =5．答：小颖上坡用了11分钟，下坡用了5分钟．5．某市要在A ，B 两景区安装爱心休闲椅，它有长条椅和弧形椅两种类型，其中每条长条椅可以同时供3人使用，每条弧形椅可以同时供5人使用．（列二元一次方程组解答） （1）市政府现在要为B 景区购买长条椅120条，弧形椅80条，若购买一条长条椅和一条弧形椅的价格共360元，为B 景区购买共花费了32800元，求长条椅和弧形椅的单价分别为多少元？（2）现决定从某公司为A 景区采购两种爱心休闲椅共400条，且正好可让1400名游客同时使用，求A 景区采购的长条椅和弧形椅分别为多少条？ 【解答】解：（1）设长条椅的单价为x 元，弧形椅的单价为y 元， 依题意得：，解得：．答：长条椅的单价为100元，弧形椅的单价为260元． （2）设A 景区采购长条椅m 条，弧形椅n 条， 依题意得：，解得：．答：A 景区采购长条椅300条，弧形椅100条．知识点5不等式（组）1. 用不等号连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解；一些使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解集.求一个不等式的解的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式.2．不等式的基本性质：（1）若＜，则+＜； （2）若＞，＞0则＞ （或＞ ）； （3）若＞，＜0则 ＜ （或＜ ）. 3．一元一次不等式：只含有一个未知数，且未知数的次数是一次且系数不等于0的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为ax ＞b 或；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、去括号 、移项、合并同类项、系数化为1.4．一元一次不等式组：几个含有相同未知数的一元一次不等式合在一起就组成一个一元一次不等式组.一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知）的解集是，即“小小取小”；的解集是，即“大大取大”；的解集是，即“大小小大中间找”；的解集是空集，即“大大小小取不了”. 6．求不等式（组）的特殊解：不等式（组）的解一般有无数多个，但其特殊解在某些范围内是有限的，如整数解，非负整数解，求这些特殊解应先确定不等式（组）的解集，然后再找到相应答案.7．列不等式（组）解应用题的一般步骤：①审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系；②找：找出能够表示应用题全部含义的一个不等关系；③设：设未知数（一般求什么，就设什么为；④a b a c c b +a b c ac bc c a c b a b c ac bc c a cbax b <a b <x a x b <⎧⎨<⎩x a <x ax b >⎧⎨>⎩x b >x ax b>⎧⎨<⎩a x b <<x ax b <⎧⎨>⎩x。
第2讲 一元二次不等式的解法
第2讲 一元二次不等式的解法[学生用书P107]1．三个“二次”间的关系(x －a )(x －b )>0或(x －a )(x －b )<0型不等式的解法判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为(x 1，x 2)，则必有a >0.( )(2)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( )(3)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为R .( ) (4)不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在R 上恒成立的条件是a <0且Δ＝b 2－4ac ≤0.( ) (5)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，则不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集一定不是空集．( )答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)× (5)√(教材习题改编)不等式(x ＋1)(x ＋2)<0的解集为( )A ．{x |－2<x <－1} B.{x |－1<x <2} C ．{x |x <－2或x >1} D ．{x |x <－1或x >2}答案：A(教材习题改编)不等式－2x 2＋x <－3的解集为( )A .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－32<x <1 B .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－1<x <32 C .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－32或x >1 D .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－1或x >32 解析：选D .－2x 2＋x <－3， 即为2x 2－x －3>0，Δ＝25>0，方程2x 2－x －3＝0的两实根为x 1＝－1，x 2＝32，所以2x 2－x －3>0的解集为 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－1或x >32.(教材习题改编)关于x 的不等式－12x 2＋mx ＋n >0的解集为{x |－1<x <2}，则m ＋n 的值为( )A ．－12B.－32C .12D ．32解析：选D .－12x 2＋mx ＋n >0，即为x 2－2mx －2n <0.由题意知，x 2－2mx －2n <0的解集为{x |－1<x <2}．所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝2m ，－1×2＝－2n .所以m ＝12，n ＝1.所以m ＋n ＝32，故选D .不等式x 2＋ax ＋4≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得Δ＝a 2－16≥0， 即a 2≥16，所以a 的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞) 不等式2x ＋1<1的解集是________．解析：2x ＋1<1⇒2－（x ＋1）x ＋1<0⇒x －1x ＋1>0⇒x >1或x <－1. 答案：{x |x >1或x <－1}一元二次不等式的解法(高频考点) [学生用书P108]一元二次不等式的解法是每年高考的重点，虽然考查的机会较少，但常与集合、分段函数、导数等内容综合考查，主要命题角度有：(1)不含参数的一元二次不等式； (2)含参数的一元二次不等式．[典例引领]角度一 不含参数的一元二次不等式求不等式－x 2＋8x －3>0的解集．【解】 因为Δ＝82－4×(－1)×(－3)＝52>0，所以方程－x 2＋8x －3＝0有两个不相等的实根x 1＝4－13，x 2＝4＋13.又二次函数y ＝－x 2＋8x －3的图象开口向下，所以原不等式的解集为{x |4－13<x <4＋13}．角度二 含参数的一元二次不等式解关于x 的不等式：x 2－(a ＋1)x ＋a <0. 【解】 由x 2－(a ＋1)x ＋a ＝0， 得(x －a )(x －1)＝0， 所以x 1＝a ，x 2＝1.①当a >1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |1<x <a }； ②当a ＝1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为∅； ③当a <1时，x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集为{x |a <x <1}．将本例中的不等式改为ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，如何求解？ 解：若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1. 若a <0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)>0， 解得x <1a或x >1.若a >0，原不等式等价于⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. ①当a ＝1时，1a ＝1，⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0无解； ②当a >1时，1a <1，解⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0， 得1a<x <1； ③当0<a <1时，1a >1，解⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0， 得1<x <1a.综上所述，当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <1a 或x >1； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}； 当0<a <1时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1<x <1a ； 当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1a<x <1.一元二次不等式的解法(1)对于常系数一元二次不等式，可以用分解因式法或判别式法求解，题目简单，情况单一．(2)含有参数的不等式的求解，往往需要对参数进行分类讨论．①若二次项系数为常数，需先将二次项系数化为正数，再考虑分解因式，对参数进行分类讨论，若不易分解因式，则可依据判别式符号进行分类讨论．②若二次项系数为参数，则应先考虑二次项系数是否为零，以确定不等式是一次不等式还是二次不等式，再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式．③对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．(3)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰对应相应的一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．[注意] 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于0的情况．[通关练习]1．设实数a ∈(1，2)，关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)＜0的解集为( )A ．(3a ，a 2＋2) B.(a 2＋2，3a ) C ．(3，4)D ．(3，6)解析：选B .由x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)＜0，得(x －3a )·(x －a 2－2)＜0，因为a ∈(1，2)，所以3a ＞a 2＋2，所以关于x 的一元二次不等式x 2－(a 2＋3a ＋2)x ＋3a (a 2＋2)＜0的解集为(a 2＋2，3a )．故选B .2．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )的解集． 解：因为12x 2－ax >a 2， 所以12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0， 令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 得x 1＝－a 4，x 2＝a 3.当a >0时，－a 4<a3，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－a 4或x >a 3； 当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a <0时，－a 4>a3，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <a 3或x >－a 4. 综上所述，当a >0时，不等式的解集为 ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－a 4或x >a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <a 3或x >－a 4.一元二次不等式恒成立问题(高频考点)[学生用书P109]一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．主要命题角度有：(1)在R 上的恒成立问题； (2)在给定区间上的恒成立问题； (3)给定参数范围的恒成立问题．[典例引领]角度一 在R 上的恒成立问题(1)若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3，0) B.[－3，0) C ．[－3，0]D ．(－3，0](2)设a 为常数，对于∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则a 的取值范围是( ) A ．(0，4) B.[0，4) C ．(0，＋∞)D ．(－∞，4)【解析】 (1)当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3，0]．(2)对于∀x ∈R ，ax 2＋ax ＋1>0，则必有⎩⎨⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0或a ＝0，所以0≤a <4. 【答案】 (1)D (2)B角度二 在给定区间上的恒成立问题设函数f (x )＝mx 2－mx －1.若对于x ∈[1，3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．【解】 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1，3]上恒成立， 即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6<0在x ∈[1，3]上恒成立． 有以下两种方法：法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1，3]． 当m >0时，g (x )在[1，3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6<0， 所以m <67，所以0<m <67；当m ＝0时，－6<0恒成立；当m <0时，g (x )在[1，3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6<0， 所以m <6， 所以m <0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧m ⎪⎪⎭⎬⎫m <67. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6<0，所以m <6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1，3]上的最小值为67， 所以只需m <67即可．所以，m 的取值范围是⎩⎨⎧m ⎪⎪⎭⎬⎫m <67.角度三 给定参数范围的恒成立问题对任意m ∈[－1，1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．【解】 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4， 令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4.由题意知在m ∈[－1，1]上，g (m )的值恒大于零，所以⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）＝（x －2）×（－1）＋x 2－4x ＋4>0，g （1）＝（x －2）＋x 2－4x ＋4>0.解得x <1或x >3.故当x 的取值范围为(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1，1]，函数f (x )的值恒大于零．形如f (x )≥0(f (x )≤0)恒成立问题的求解思路(1)x ∈R 的不等式确定参数的范围时，结合二次函数的图象，利用判别式来求解． (2)x ∈[a ，b ]的不等式确定参数范围时，①根据函数的单调性，求其最值，让最值大于等于或小于等于0，从而求出参数的范围；②数形结合，利用二次函数在端点a ，b 处的取值特点确定不等式求参数的取值范围．(3)已知参数m ∈[a ，b ]的不等式确定x 的范围，要注意变换主元，一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．[注意] 解决恒成立问题一定要搞清楚谁是主元，谁是参数．[通关练习]1．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________．解析：作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎪⎨⎪⎧f （m ）<0，f （m ＋1）<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m 2－1<0，（m ＋1）2＋m （m ＋1）－1<0，解得－22<m <0. 答案：⎝⎛⎭⎫－22，0 2．已知不等式mx 2－2x －m ＋1<0，是否存在实数m 对所有的实数x ，使不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．解：不等式mx 2－2x －m ＋1<0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方． 当m ＝0时，1－2x <0， 则x >12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数． 需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎨⎧m <0，Δ＝4－4m （1－m ）<0，不等式组的解集为空集，即m 无解． 综上可知，不存在这样的m .一元二次不等式的应用[学生用书P110][典例引领]某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价．(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域． (2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围． 【解】 (1)由题意得y ＝100⎝⎛⎭⎫1－x 10·100⎝⎛⎭⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝⎛⎭⎫1－x10－80≥0，得x ≤2.所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0，2]．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤12，2.求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系．(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型．(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义． (4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果．[通关练习]汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速为40 km/h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s 甲＝0.1x ＋0.01x 2，s 乙＝0.05x ＋0.005x 2，问：甲、乙两车有无超速现象？解：由题意知，对于甲车，有0.1x ＋0.01x 2>12， 即x 2＋10x －1 200>0，解得x >30或x <－40(不合实际意义，舍去)， 这表明甲车的车速超过30 km/h .但根据题意刹车距离略超过12 m.由此估计甲车车速不会超过限速40 km/h.对于乙车，有0.05x＋0.005x2>10，即x2＋10x－2 000>0，解得x>40或x<－50(不合实际意义，舍去)，这表明乙车的车速超过40 km/h，超过规定限速.一元二次不等式的求解策略(1)化：把不等式化为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．一元二次型不等式恒成立问题的3大破解方法[学生用书P291(单独成册)]1．不等式(x －2)(2x －3)<0的解集是( ) A .⎝⎛⎭⎫－∞，32∪(2，＋∞) B.R C .⎝⎛⎭⎫32，2D ．∅解析：选C .因为不等式(x －2)(2x －3)<0， 解得32<x <2，所以不等式的解集是⎝⎛⎭⎫32，2. 2．不等式1－x 2＋x ≥1的解集为( )A .⎣⎡⎦⎤－2，－12 B .⎝⎛⎦⎤－2，－12 C ．(－∞，－2)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ D ．(－∞，－2]∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ 解析：选B .1－x 2＋x ≥1⇔1－x 2＋x －1≥0⇔1－x －2－x2＋x ≥0⇔－2x －12＋x ≥0⇔2x ＋1x ＋2≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧（2x ＋1）（x ＋2）≤0x ＋2≠0⇔－2<x ≤－12.故选B . 3．已知不等式ax 2－5x ＋b >0的解集为{x |－3<x <2}，则不等式bx 2－5x ＋a >0的解集是( )A .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－13<x <12B .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫－12<x <13C .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－13或x >12 D .⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <－12或x >13 解析：选C .由题意得方程ax 2－5x ＋b ＝0的两根分别为－3，2，于是 ⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝－－5a ，－3×2＝b a ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝30. 则不等式bx 2－5x ＋a >0， 即为30x 2－5x －5>0， 即(3x ＋1)(2x －1)>0， ⇒x <－13或x >12.故选C .4．规定符号“⊙”表示一种运算，定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，若1⊙k 2<3，则k 的取值范围是( )A ．(－1，1) B.(0，1) C ．(－1，0)D ．(0，2)解析：选A .因为定义a ⊙b ＝ab ＋a ＋b (a ，b 为非负实数)，1⊙k 2<3，所以k 2＋1＋k 2<3， 化为(|k |＋2)(|k |－1)<0，所以|k |<1， 所以－1<k <1.5．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4，3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4，1] B.[－4，3] C ．[1，3]D ．[－1，3]解析：选B .原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a ，1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.6．若关于x 的不等式ax >b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a >0的解集为________．解析：由已知ax >b 的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，15，可知a <0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a >0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45<0，即x 2＋15x －45<0，即5x 2＋x －4<0，解得－1<x <45，故所求解集为⎝⎛⎭⎫－1，45. 答案：⎝⎛⎭⎫－1，45 7．若关于x 的不等式x 2－ax ＋1≤0的解集中只有一个整数，且该整数为1，则a 的取值范围为________．解析：令f (x )＝x 2－ax ＋1，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧f （1）≤0f （2）＞0，解得2≤a ＜52.答案：[2，52)8．当且仅当a ∈(m ，n )时，2－ax ＋x 21－x ＋x 2<3对x ∈R 恒成立，则m ＋n ＝________．解析：因为1－x ＋x 2>0恒成立，所以原不等式等价于2－ax ＋x 2<3(1－x ＋x 2)， 即2x 2＋(a －3)x ＋1>0恒成立．所以Δ＝(a －3)2－8<0，3－22<a <3＋22. 依题意有m ＝3－22，n ＝3＋22，所以m ＋n ＝6. 答案：69．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab ，当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0，当x ∈(－3，2)时，f (x )>0.(1)求f (x )在[0，1]内的值域；(2)若ax 2＋bx ＋c ≤0的解集为R ，求实数c 的取值范围． 解：(1)因为当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0， 当x ∈(－3，2)时，f (x )>0.所以－3，2是方程ax 2＋(b －8)x －a －ab ＝0的两根， 所以⎩⎪⎨⎪⎧－3＋2＝8－ba ，－3×2＝－a －aba ，所以a ＝－3，b ＝5. 所以f (x )＝－3x 2－3x ＋18 ＝－3⎝⎛⎭⎫x ＋122＋754.因为函数图象关于x ＝－12对称且抛物线开口向下，所以f (x )在[0，1]上为减函数， 所以f (x )max ＝f (0)＝18，f (x )min ＝f (1)＝12，故f (x )在[0，1]内的值域为[12，18]．(2)由(1)知不等式ax 2＋bx ＋c ≤0可化为－3x 2＋5x ＋c ≤0，要使－3x 2＋5x ＋c ≤0的解集为R ，只需⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3<0，Δ＝b 2－4ac ≤0，即25＋12c ≤0，所以c ≤－2512，所以实数c 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－2512. 10．解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2<0(a ∈R )． 解：原不等式可化为(ax －1)(x －2)<0.(1)当a >0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a <0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －1a <0. 因为方程(x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0<a <12时，2<1a ，则原不等式的解集是⎩⎨⎧x⎪⎪⎭⎬⎫2<x <1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅； 当a >12时，1a <2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1a <x <2. (2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)<0， 解得x >2，即原不等式的解集是{x |x >2}． (3)当a <0时，原不等式可以化为 a (x －2)⎝⎛⎭⎫x －1a <0， 根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎫x －1a >0， 由于1a<2，故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <1a或x >2. 综上所述，当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <1a 或x >2； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x >2}； 当0<a <12时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫2<x <1a ； 当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a >12时，不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫1a <x <2.1．若关于x 的不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4)内有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B.(－2，＋∞) C ．(－6，＋∞)D ．(－∞，－6)解析：选A .不等式x 2－4x －2－a >0在区间(1，4) 内有解等价于a <(x 2－4x －2)max . 令g (x )＝x 2－4x －2，x ∈(1，4)， 所以g (x )<g (4)＝－2， 所以a <－2，故选A .2．在关于x 的不等式x 2－(a ＋1)x ＋a <0的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是( ) A ．(3，4) B.(－2，－1)∪(3，4) C ．(3，4]D ．[－2，－1)∪(3，4]解析：选D .由题意得，原不等式化为 (x －1)(x －a )<0.当a >1时，解得1<x <a ，此时解集中的整数为2，3， 则3<a ≤4；当a <1时， 解得a <x <1，此时解集中的整数为0，－1， 则－2≤a <－1.故a ∈[－2，－1)∪(3，4]，故选D .3．在R 上定义运算：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，若不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 a －2a ＋1 x ≥1对x ∈R 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析：原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1， 即x 2－x －1≥(a －2)(a ＋1)对x ∈R 恒成立， 因为x 2－x －1＝⎝⎛⎭⎫x －122－54≥－54， 所以(a －2)(a ＋1)≤－54，解得－12≤a ≤32，所以a max ＝32.答案：324．函数f (x )＝x 2＋2x ＋ax 对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．解析：因为x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝x 2＋2x ＋ax >0恒成立，即x 2＋2x ＋a >0恒成立．即当x ≥1时，a >－(x 2＋2x )恒成立． 设g (x )＝－(x 2＋2x )，而g (x )＝－(x 2＋2x )＝－(x ＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，所以g (x )max ＝g (1)＝－3，故a >－3.所以，实数a 的取值范围是(－3，＋∞)． 答案：(－3，＋∞)5．求使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立的x 的取值范围． 解：将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0. 令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9. 因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以 (1)若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去． (2)若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>0，f （1）>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.所以x 的取值范围是{x |x <2或x >4}．6．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m <n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )>0的解集； (2)若a >0，且0<x <m <n <1a ，比较f (x )与m 的大小．解：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )(x －n )．当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )>0， 即a (x ＋1)(x －2)>0.当a >0时，不等式F (x )>0的解集为{x |x <－1或x >2}； 当a <0时，不等式F (x )>0的解集为{x |－1<x <2}．(2)f (x )－m ＝F (x )＋x －m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， 因为a >0，且0<x <m <n <1a ，所以x －m <0，1－an ＋ax >0. 所以f (x )－m <0，即f (x )<m .。
中考数学复习第二章方程组与不等式组讲义
第二章 方程（组）与不等式（组）第一节 一次方程与一次方程组【考点1】一元一次方程定义：只含有 未知数，并且未知数的次数都是 。
（系数不为0）的整式方程。
形式：一般形式ax+b=0 ； 最简形式 ax=b (a ≠0) 解 ：abx（a ≠0） 【提示】判断一个方程是否为一元一次方程，一定要先把方程化简以后再用定义进行判别。
解一元一次方程的一般步骤：去分母；去括号；移项（移项要变号）；合并同类项；化系数为1【考点2】二元一次方程组 1.二元一次方程定义：含有 个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 的整式方程。
一般形式: ax+by=c ，有无数组解。
2. 二元一次方程组的解法⑴代入消元法：多适用于方程组中有一个未知数的系数是 或 的情形。
⑵ ：多适用于方程组的两个方程中相同未知数的系数 或互为 的情形。
【考点3】一次方程（组）的应用 1.列方程组解应用题的一般步骤：⑴审：即审清题意，分清题中的已知量、未知量； ⑵设：即设关键未知数；⑶列：即找出适当等量关系，列出方程（组）； ⑷解：即解方程（组）；⑸验：即检验所解答案是否正确或是否符合题意； ⑹答：即规范作答，注意单位名称。
2.列一元一次方程常见的应用题类型及关系式 ⑴ 利润率问题：利润=售价-进价 ；利润率=进价利润×100﹪ （先确定售价、进价、再计算利润率，其中打折、降价的词义应清楚）⑵ 利息问题：利息=本金×利率×期数 ；本息和=本金+利息 ；利息税=利息×税率 ； 贷款利息=贷款数额×利率×期数⑶ 工程问题：工作量=工作效率× （把全部工作量看作单位1，各部分工作量之和=1）⑷ 浓度问题：浓度=溶液质量溶质质量×100﹪⑸ 行程问题：路程=速度×时间 ① 追击问题（追击过程时间相等）② 相遇问题 （甲走的路程 乙走的路程=A 、B 两地间的路程）③ 航行问题：顺水（风）速度= +静水（风）；逆水（风）速度=船速-【中考试题精编】1.练习本比水性笔的单价少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好花去14元，如果设水性笔的单价为x 元，那么下列方程正确的是（ ）A. 5(x-2)+3x=14B. 5(x+2)+3x=14C. 5x+3(x+2)=14D. 5x+3(x-2)=142.某班在学校组织的某场篮球比赛中，小杨和小方一共投进篮球21个，小杨比小方多投进5个。
第二讲方程与不等式-PPT
解得:m≤2
所以 3－m≠0
3m-1 (m+3)
又 ∵方程 △＝ (1)2 4 (3 m)＝m1－2 4
当m=2 时 △＝0, ∴方程有两个相等得就是实数根;
当m<2时 △<0, ∴方程无实数根。
例5、 已知关于x得方程mx2 14x 7 0 有两个
x x 实数根 1与 2,关于y 得方程 y2 2(n 1) y n2 2n 0
3
2
这时原方程转换成关于k得一元一次方程, 解得:k＝1。故选 (B)
例2、方程 x2 4x 2 得正根为
()
Ａ、2 6 Ｂ、 2 6 Ｃ、2 6 Ｄ、 2 6
解析:利用配方法或公式法求解得正根 x= －2＋ 6、
故选(D)
例3、 (2008江苏省苏州市)解不等式组:
x 3 0， 2(x 1) 3≥3x.
2
所以m= 4 2 (6) (4)2 =－8, 42
∵当n=0时,m=－6; 当n＝4时,m＝10、 ∴m得取值范围就是－8≤m<10、
例6、 (2007江苏扬州课改)为了加强公民得节水意识,合理利 用水资源,某市采用价格调控手段达到节水得目得、该市自 来水收费价格见价目表、
若某户居民月份用水 8m3,
第二讲方程与不等式
在求解方程时应灵活选用,值得注意得就是分式方程求解,验 根。
对于一元一次不等式(组)得求解,要熟练地掌握不等 式得基本性质,它就是不等式求解得基础,在解不等式(组) 时,若不等式两边同时乘以或除以同一个负数时不等号方向 要改变。而不等式组得解就是每个不等式解得公共部分,它常 通过数轴这一步骤来得到不等式解得。
价目表
则应收水费:
2 6 4 (8 6) 2元0、
中考数学专题复习 第五章 方程与不等式 第2讲 不等式(组)课件
变式运用►3.[2017·常州中考]某校计划购买一批篮球和足球(zúqiú) ，已知购买2个篮球和1个足球(zúqiú)共需320元，购买3个篮球和2个 足球(zúqiú)共需540元．
(1)求每个篮球和每个足球的售价； (2)如果学校计划购买这两种球共50个，总费用不超过5500元，那么 最多可购买多少个足球？
(1)甲种商品与乙种商品的销售单价各多少元？
(2)若甲，乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，则至少销售甲种商品多 少万件？
【思路分析】(1)可设甲种商品的销售单价(dānjià)为x元，乙种商品 的销售单价(dānjià)为y元，根据等量关系：①2件甲种商品与3件乙种 商品的销售收入相同，②3件甲种商品比2件乙种商品的销售收入多 1500元，列出方程组求解即可；(2)可设销售甲种商品a万件，根据甲 、乙两种商品的销售总收入不低于5400万元，列出不等式求解即可．
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4．[2012·泰安，6，3分]将不等式组
的解集在数轴上表示(biǎoshì)出来，正确的是( C )
得分(dé fēn)要领►求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取大， 同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了．
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命题点2 确定不等式组中字母(zìmǔ)的取值范围
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类型(lèixíng)3 不等式的应用
【例3】[2017·宁波中考]2017年5月14日至15日，“一带一路”国际合作 (hézuò)高峰论坛在北京举行，本届论坛期间，中国同30多个国家签署经贸合作 (hézuò)协议，某厂准备生产甲、乙两种商品共8万件销往“一带一路”沿线国 家和地区．已知2件甲种商品与3件乙种商品的销售收入相同，3件甲种商品比 2件乙种商品的销售收入多1500元．
第一章第2讲简单不等式的解法
第2讲 简单不等式的解法, [学生用书P5])1．一元一次不等式ax >b (a ≠0)的解集(1)当a >0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x >b a ； (2)当a <0时，解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x <b a ． 2．一元二次不等式的解集若a >0，则不等式|x |<a 的解集为{x |－a <x <a }；不等式|x |>a 的解集为{x |x >a 或x <－a }．1．辨明三个易误点(1)对于不等式ax 2＋bx ＋c >0，求解时不要忘记讨论a ＝0时的情形． (2)当Δ<0时，ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)的解集是R 还是∅，要注意区别． (3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述． 2．把握分式不等式的四个等价转化 (1)f （x ）φ（x ）>0⇔f (x )·φ(x )>0； (2)f （x ）φ（x ）≥0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）·φ（x ）≥0φ（x ）≠0；(3)f （x ）φ（x ）<0⇔f (x )·φ(x )<0； (4)f （x ）φ（x ）≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧f （x ）·φ（x ）≤0φ（x ）≠0.1.教材习题改编 不等式x 2－3x ＋2<0的解集为( ) A ．(－∞，－2)∪(－1，＋∞) B ．(－2，－1)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞)D ．(1，2)D [解析] 将x 2－3x ＋2<0化为(x －1)(x －2)<0，解得1<x <2.2．函数f (x )＝1－xx ＋2的定义域为( ) A ．[－2，1] B ．(－2，1] C ．[－2，1) D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)B [解析] 要使函数f (x )＝1－xx ＋2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧（1－x ）（x ＋2）≥0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1，即函数的定义域为(－2，1]．3.教材习题改编 不等式|x －1|≥2的解集为( ) A ．{x |x ≤－1或x ≥3} B ．{x |－1≤x ≤3} C ．{x |x ≤－3或x ≥1} D ．{x |－3≤x ≤1}A [解析] 由|x －1|≥2得x －1≤－2或x －1≥2，即x ≤－1或x ≥3.故选A.4.教材习题改编 关于x 的不等式－12x 2＋mx ＋n >0的解集为{x |－1<x <2}，则m ＋n 的值为( )A ．－12B ．－32C ．12D ．32D [解析] －12x 2＋mx ＋n >0，即为x 2－2mx －2n <0.由题意知，x 2－2mx －2n <0的解集为{x |－1<x <2}．所以⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2＝2m ，－1×2＝－2n .所以m ＝12，n ＝1.所以m ＋n ＝32，故选D.5.教材习题改编 若关于x 的一元二次方程x 2－(m ＋1)x －m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是________．[解析] 由题意知：Δ＝(m ＋1)2＋4m >0. 即m 2＋6m ＋1>0，解得：m >－3＋22或m <－3－2 2.[答案] (－∞，－3－22)∪(－3＋22，＋∞)一元二次不等式的解法(高频考点)[学生用书P6]一元二次不等式的解法是高考的常考内容，且多与集合问题交汇考查，题型多为选择题或填空题，属容易题．高考对一元二次不等式解法的考查主要有以下两个命题角度： (1)解一元二次不等式； (2)已知一元二次不等式的解集求参数．[典例引领](1)(2016·高考全国卷乙)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2x －3＞0}，则A ∩B＝( )A ．⎝⎛⎭⎫－3，－32B ．⎝⎛⎭⎫－3，32C ．⎝⎛⎭⎫1，32D ．⎝⎛⎭⎫32，3 (2)求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R )的解集．【解】 (1)选D.由题意得，A ＝{x |1＜x ＜3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞32，则A ∩B ＝⎝⎛⎭⎫32，3.选D. (2)因为12x 2－ax >a 2，所以12x 2－ax －a 2>0，即(4x ＋a )(3x －a )>0.令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3.①当a >0时，－a 4<a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－a 4，或x >a 3； ②当a ＝0时，x 2>0，解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；③当a <0时，－a 4>a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <a 3，或x >－a 4. 综上所述：当a >0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <－a 4，或x >a 3； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}；当a <0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <a 3，或x >－a 4.[题点通关]角度一 解一元二次不等式1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，－2x 2＋7x －6<0的解集是( ) A ．(2，3) B ．⎝⎛⎭⎫1，32∪(2，3) C ．⎝⎛⎭⎫－∞，32∪(3，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)B [解析] 因为x 2－4x ＋3<0，所以1<x <3.又因为－2x 2＋7x －6<0， 所以(x －2)(2x －3)>0，所以x <32或x >2，所以原不等式组的解集为⎝⎛⎭⎫1，32∪(2，3)．角度二 已知一元二次不等式的解集求参数2．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝⎛⎭⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．[解析] 依题意知，⎩⎨⎧－13＋12＝－2a ，－13×12＝c a ，所以解得a ＝－12，c ＝2， 所以不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0， 解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2，3)． [答案] (－2，3)简单的分式不等式的解法[学生用书P6][典例引领](1)不等式x －12x ＋1≤0的解集为( )A ．⎝⎛⎦⎤－12，1 B ．⎣⎡⎦⎤－12，1 C ．⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪[1，＋∞) D ．⎝⎛⎦⎤－∞，－12∪[1，＋∞) (2)不等式x －2x ＋3≥2的解集为________．【解析】 (1)由不等式x －12x ＋1≤0可得⎩⎪⎨⎪⎧（x －1）（2x ＋1）≤0，2x ＋1≠0，解得－12<x ≤1，所以不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－12，1. (2)原式变形为x －2x ＋3－2≥0，x －2－2（x ＋3）x ＋3≥0，即－x －8x ＋3≥0，x ＋8x ＋3≤0， 等价变形为⎩⎪⎨⎪⎧（x ＋8）（x ＋3）≤0x ＋3≠0，所以原不等式的解集为[－8，－3)． 【答案】 (1)A (2)[－8，－3)解不等式－1<3x －1x ＋2<2.[解] 由－1<3x －1x ＋2<2，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －1x ＋2>－1，3x －1x ＋2<2.由3x －1x ＋2>－1，得3x －1x ＋2＋1>0，即4x ＋1x ＋2>0， 解得x >－14或x <－2.①由3x －1x ＋2<2， 得3x －1x ＋2－2<0，即x －5x ＋2<0， 解得－2<x <5.②由①②得：不等式－1<3x －1x ＋2<2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－14<x <5.简单的绝对值不等式的解法[学生用书P7][典例引领]设函数f (x )＝|2x －3|－1. (1)解不等式f (x )<0；(2)若方程f (x )＝a 无实数根，求a 的范围． 【解】 (1)f (x )<0即为|2x －3|<1. 即－1<2x －3<1.所以1<x <2.所以不等式f (x )<0的解集为{x |1<x <2}． (2)法一：方程f (x )＝a 无实数根， 即|2x －3|＝a ＋1无实数根， 因为|2x －3|≥0，所以a ＋1<0，即a <－1.所以当a <－1时，方程f (x )＝a 无实数根． 法二：方程f (x )＝a 无实数根，即函数f (x )＝|2x －3|－1与y ＝a 的图象无交点(如图)．所以a 的范围为a <－1.解绝对值不等式的基本方法(1)利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符的普通不等式；(2)当不等式两端均为正时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符的普通不等式；(3)利用绝对值的几何意义，数形结合求解．[通关练习]1．不等式|2x －1|>3的解集为( ) A ．{x |x <－2或x >1} B ．{x |－2<x <1} C ．{x |x <－1或x >2} D ．{x |－1<x <2}C [解析] 由|2x －1|>3得2x －1<－3或2x －1>3，即x <－1或x >2，故选C. 2．不等式|2x －3|<3x ＋1的解集为________．[解析] 由|2x －3|<3x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1>0，－（3x ＋1）<2x －3<3x ＋1，解得⎩⎨⎧x >－13，x >25，即x >25.故不等式|2x －3|<3x ＋1的解集为{x |x >25}．[答案] {x |x >25}, [学生用书P299(独立成册)])1．不等式(x －1)(3－x )<0的解集是( ) A ．(1，3) B ．[1，3] C ．(－∞，1)∪(3，＋∞) D ．{x |x ≠1且x ≠3} C [解析] 根据题意，(x －1)(3－x )<0，得(x －1)(x －3)>0，所以其解集为(－∞，1)∪(3，＋∞)．故选C.2．已知关于x 的不等式(ax －1)(x ＋1)<0的解集是(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞，则a ＝( )A ．2B ．－2C ．－12D ．12B [解析] 根据不等式与对应方程的关系知－1，－12是一元二次方程ax 2＋x (a －1)－1＝0的两个根，所以－1×⎝⎛⎭⎫－12＝－1a，所以a ＝－2，故选B. 3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x （x ＋2）>0，|x |<1的解集为( )A ．{x |－2<x <－1}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |0<x <1}D ．{x |x >1}C [解析] 解x (x ＋2)>0，得x <－2或x >0；解|x |<1，得－1<x <1.因为不等式组的解集为两个不等式解集的交集，即解集为{x |0<x <1}．4．(2017·广东省联合体联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|3x －4|，x ≤2，2x －1，x >2，则使f (x )≥1的x 的取值范围为( )A ．⎣⎡⎦⎤1，53 B ．⎣⎡⎦⎤53，3C ．(－∞，1)∪⎣⎡⎭⎫53，＋∞D ．(－∞，1]∪⎣⎡⎦⎤53，3D [解析] 不等式f (x )≥1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，|3x －4|≥1，解之得x ≤1或53≤x ≤3，所以不等式的解集为(－∞，1]∪⎣⎡⎦⎤53，3，故选D.5．若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3，0)B ．[－3，0)C ．[－3，0]D ．(－3，0]D [解析] 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3，0]．6．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4，3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4，1] B ．[－4，3] C ．[1，3] D ．[－1，3]B [解析] 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a ，1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.7．不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集是________．[解析] 不等式|x (x －2)|>x (x －2)的解集即x (x －2)<0的解集，解得0<x <2. [答案] {x |0<x <2}8．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是________． [解析] 原不等式即(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，所以a <x <1a. [答案] ⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫a <x <1a 9．定义符函数sgn(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0则不等式(x ＋1)sgn(x )>2的解集是________．[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x ＋1>2，解得x >1；由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，0>2，解得x ∈∅；由⎩⎪⎨⎪⎧x <0，－（x ＋1）>2，解得x <－3，所以原不等式的解集是(－∞，－3)∪(1，＋∞)．[答案] (－∞，－3)∪(1，＋∞) 10．(2017·大连模拟)若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1，5]上有解，则a 的取值范围是________．[解析] 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负， 所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)>0，解得a >－235，故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－235，＋∞. [答案] ⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ 11．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值． [解] (1)因为f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6，所以f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， 所以原不等式可化为a 2－6a －3<0， 解得3－23<a <3＋2 3.所以原不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}．(2)f (x )>b 的解集为(－1，3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，等价于⎩⎨⎧－1＋3＝a （6－a ）3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.12．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3>0}，B ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}，若A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3，4]，则有( )A ．a ＝3，b ＝4B ．a ＝3，b ＝－4C ．a ＝－3，b ＝4D ．a ＝－3，b ＝－4D [解析] 法一：由题意得集合A ＝{x |x <－1或x >3}，又A ∪B ＝R ，A ∩B ＝(3，4]，所以集合B 为{x |－1≤x ≤4}，由一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得a ＝－3，b ＝－4.法二：易知A ＝{x |x <－1或x >3}，又A ∩B ＝(3，4]，可得4为方程x 2＋ax ＋b ＝0的一个根，则有16＋4a ＋b ＝0，经验证可知选项D 正确．13．解下列不等式： (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0<x 2－x －2≤4；(3)ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a >0)．[解] (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0，即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2>0，x 2－x －6≤0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）（x ＋1）>0，（x －3）（x ＋2）≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x >2或x <－1，－2≤x ≤3. 借助于数轴，如图所示， 原不等式的解集为{x |－2≤x <－1或2<x ≤3}． (3)原不等式变为(ax －1)(x －1)<0，因为a >0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)<0. 所以当a >1时，解为1a<x <1；当a ＝1时，解集为∅；当0<a <1时，解为1<x <1a.综上，当0<a <1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1<x <1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a >1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <1. 14．已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．[解] 法一：f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增， f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3. 要使f (x )≥a 恒成立， 只需f (x )min ≥a ， 即2a ＋3≥a ， 解得－3≤a <－1；②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围是[－3，1]．法二：令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知，得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ>0，a <－1，g （－1）≥0.解得－3≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－3，1]．。
高考复习 第7篇 第2讲 一元二次不等式及其解法知识点+例题+练习 含答案
第2讲 一元二次不等式及其解法 考点一 一元二次不等式的解法【例1】 (2014·大连模拟)已知函数f (x )＝(ax －1)(x ＋b )，如果不等式f (x )＞0的解集是(－1,3)，则不等式f (－2x )＜0的解集是________．解析 由f (x )＞0，得ax 2＋(ab －1)x －b ＞0，又其解集是(－1,3)，∴a ＜0.且⎩⎪⎨⎪⎧1－ab a ＝2，－ba ＝－3，解得a ＝－1或13，∴a ＝－1，b ＝－3.∴f (x )＝－x 2＋2x ＋3， ∴f (－2x )＝－4x 2－4x ＋3，由－4x 2－4x ＋3＜0，得4x 2＋4x －3＞0， 解得x ＞12或x ＜－32.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞规律方法 解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．【训练1】 (2013·江西卷改编)使不等式x <1x <x 2成立的x 的取值范围是________． 解析 当x >0时，原不等式可化为x 2＜1＜x 3，解得x ∈∅，当x ＜0时，原不等式可化为⎩⎨⎧x 2＞1，x 3＜1，解得x ＜－1.答案 (－∞，－1)考点二 含参数的一元二次不等式的解法【例2】 (2013·烟台期末)解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a ∈R )． 解 原不等式可化为ax 2＋(a －2)x －2≥0.①当a ＝0时，原不等式化为x ＋1≤0，解得x ≤－1.②当a ＞0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≥0，解得x ≥2a 或x ≤－1.③当a ＜0时，原不等式化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a (x ＋1)≤0.当2a ＞－1，即a ＜－2时，解得－1≤x ≤2a ； 当2a ＝－1，即a ＝－2时，解得x ＝－1满足题意； 当2a ＜－1，即a ＞－2，解得2a ≤x ≤－1.综上所述，当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ≤－1}；当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥2a ，或x ≤－1；当－2＜a ＜0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，不等式的解集为{x |x ＝－1}；当a ＜－2时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤2a . 【训练2】 (1)(2013·重庆卷改编)关于x 的不等式x 2－2ax －8a 2<0(a >0)的解集为(x 1，x 2)，且x 2－x 1＝15，则a 等于________． (2)解关于x 的不等式(1－ax )2＜1.(1)解析 法一 ∵不等式x 2－2ax －8a 2＜0的解集为(x 1，x 2)，∴x 1，x 2是方程x 2－2ax －8a 2＝0的两根．由根与系数的关系知⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2a ，x 1x 2＝－8a 2， ∴x 2－x 1＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(2a )2－4(－8a 2)＝15，又∵a ＞0，∴a ＝52.法二 由x 2－2ax －8a 2<0，得(x ＋2a )(x －4a )<0， ∵a ＞0，∴不等式x 2－2ax －8a 2＜0的解集为(－2a,4a )， 又∵不等式x 2－2ax －8a 2＜0的解集为(x 1，x 2)， ∴x 1＝－2a ，x 2＝4a .∵x 2－x 1＝15， ∴4a －(－2a )＝15，解得a ＝52. 答案 52(2)解 由(1－ax )2＜1，得a 2x 2－2ax ＜0， 即ax (ax －2)＜0，当a ＝0时，x ∈∅.当a ＞0时，由ax (ax －2)＜0，得a 2x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ＜0，即0＜x ＜2a .当a ＜0时，2a ＜x ＜0.综上所述：当a ＝0时，不等式解集为空集；当a ＞0时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪0＜x ＜2a ；当a ＜0时，不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a＜x ＜0.考点三 一元二次不等式恒成立问题【例3】 已知函数f (x )＝mx 2－mx －1.(1)若对于x ∈R ，f (x )＜0恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若对于x ∈[1,3]，f (x )＜5－m 恒成立，求实数m 的取值范围．解 (1)由题意可得m ＝0或⎩⎨⎧m ＜0，Δ＝m 2＋4m ＜0⇔m ＝0或－4＜m ＜0⇔－4＜m ≤0.故m 的取值范围是(－4,0]．(2)法一 要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，即m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．令g (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]．当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)⇒7m －6＜0， 所以m ＜67，则0＜m ＜67； 当m ＝0时，－6＜0恒成立； 当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数， 所以g (x )max ＝g (1)⇒m －6＜0， 所以m ＜6，所以m ＜0. 综上所述：m的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫m ⎪⎪⎪m ＜67. 法二 ∵f (x )＜－m ＋5⇔m (x 2－x ＋1)＜6， ∵x 2－x ＋1＞0，∴m ＜6x 2－x ＋1对于x ∈[1,3]恒成立，只需求6x 2－x ＋1的最小值，记g (x )＝6x 2－x ＋1，x ∈[1,3]，记h (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34，h (x )在x ∈[1,3]上为增函数．则g (x )在[1,3]上为减函数， ∴[g (x )]min ＝g (3)＝67，∴m ＜67. 所以m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，67.【训练3】 (1)若关于x 的不等式ax 2＋2x ＋2＞0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________．(2)(2014·淄博模拟)若不等式(a －a 2)(x 2＋1)＋x ≤0对一切x ∈(0,2]恒成立，则a 的取值范围是________．解析 (1)当a ＝0时，原不等式可化为2x ＋2＞0，其解集不为R ，故a ＝0不满足题意，舍去；当a ≠0时，要使原不等式的解集为R ， 只需⎩⎨⎧a ＞0，Δ＝22－4×2a ＜0，解得a ＞12.综上，所求实数a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.(2)∵x ∈(0,2]， ∴a 2－a ≥x x 2＋1＝1x ＋1x.要使a 2－a ≥1x ＋1x 在x ∈(0,2]时恒成立，则a 2－a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ，由基本不等式得x ＋1x ≥2，当且仅当x ＝1时，等号成立，即⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1x ＋1x max ＝12. 故a 2－a ≥12，解得a ≤1－32或a ≥1＋32.答案 (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ (2)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，1－32∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫1＋32，＋∞1．解不等式的基本思路是等价转化，分式不等式整式化，使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决．2．当判别式Δ＜0时，ax 2＋bx ＋c ＞0(a ＞0)解集为R ；ax 2＋bx ＋c ＜0(a ＞0)解集为∅.二者不要混为一谈．3．含参数的不等式的求解，注意选好分类标准，避免盲目讨论． 4．对于恒成立问题，常用到以下两个结论： (1)a ≥f (x )恒成立⇔a ≥f (x )max ；(2)a ≤f (x )恒成立⇔a ≤f (x )min .思想方法6——数形结合思想在“三个二次”间关系的应用【典例】 (2012·福建卷)对于实数a 和b ，定义运算“*”；a *b ＝⎩⎨⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a ＞b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．解析 由定义可知：f (x )＝(2x －1)*(x －1)＝⎩⎨⎧(2x －1)2－(2x －1)(x －1)，x ≤0，(x －1)2－(2x －1)(x －1)，x ＞0，∴f (x )＝⎩⎨⎧(2x －1)x ，x ≤0，－(x －1)x ，x ＞0.作出函数f (x )的图象，如图所示．由图可知，当0＜m ＜14时，f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3. 不妨设x 1＜x 2＜x 3，易知x 2＞0，且x 2＋x 3＝2×12＝1， ∴0＜x 2x 3＜⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋x 322，即0＜x 2x 3＜14. 令⎩⎪⎨⎪⎧(2x －1)x ＝14，x ＜0，解得x ＝1－34或1＋34(舍去)．∴1－34＞x 1＞0，∴3－14＞－x 1＞0， ∴0＜－x 1x 2x 3＜3－116， ∴1－316＜x 1x 2x 3＜0. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－316，0【自主体验】1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≥0，1，x ＜0，则满足不等式f (1－x 2)＞f (2x )的x 的取值范围是________．解析 由函数f (x )的图象可知(如下图)，满足f (1－x 2)＞f (2x )分两种情况：①⎩⎨⎧1－x 2≥0，x ≥0，1－x 2＞2x⇒0≤x ＜2－1；②⎩⎨⎧1－x 2＞0，x ＜0⇒－1＜x ＜0. 综上可知：－1＜x ＜2－1.答案 (－1，2－1)2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析 画出f (x )＝⎩⎨⎧2x －1，x ＞0－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图．由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0,1)． 答案 (0,1)基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1．(2014·长春调研)已知集合P ＝{x |x 2－x －2≤0}，Q ＝{x |log 2(x －1)≤1}，则(∁R P )∩Q ＝________.解析 依题意，得P ＝{x |－1≤x ≤2}，Q ＝{x |1＜x ≤3}，则(∁R P )∩Q ＝(2,3]． 答案 (2,3]2．(2014·沈阳质检)不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析 不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16＞0，∴a ＜－4或a ＞4.答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞)3．(2013·南通二模)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≥0，－x 2＋3x ，x <0，则不等式f (x )<f (4)的解集为________．解析 f (4)＝42＝2，不等式即为f (x )<2.当x ≥0时，由x2<2，得0≤x <4；当x <0时，由－x 2＋3x <2，得x <1或x >2，因此x <0. 综上，f (x )<f (4)的解集为{x |x <4}． 答案 {x |x <4}4．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是________．解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a .解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)． 答案 (2,3)5．(2014·南京二模)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为________．解析 根据给出的定义得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)＜0，则(x ＋2)·(x －1)＜0，故这个不等式的解集是(－2,1)． 答案 (－2,1)6．已知关于x 的不等式ax －1x ＋1＜0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，则a ＝________. 解析 由于不等式ax －1x ＋1＜0的解集是(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞，故－12应是ax－1＝0的根，∴a ＝－2. 答案 －27．(2013·重庆卷)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则a 的取值范围是________．解析 不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0恒成立，所以Δ≤0，即Δ＝(8sin α)2－4×8×cos 2α≤0，整理得2sin 2 α－cos 2α≤0，即4sin 2 α≤1，所以sin 2 α≤14，即－12≤sin α≤12，因为0≤α≤π，所以0≤α≤π6或5π6≤α≤π，即α的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 8．(2014·福州期末)若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是________.解析 原不等式即(x －a )(x －1)≤0，当a ＜1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a ＜1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a ＞1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1＜a ≤3.综上可得－4≤a ≤3. 答案 [－4,3] 二、解答题9．求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集． 解 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0， 得：x 1＝－a 4，x 2＝a3.①a ＞0时，－a 4＜a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3； ②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；③a ＜0时，－a 4＞a3，解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4. 综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜－a 4或x ＞a 3；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＜a 3或x ＞－a 4. 10．(2014·长沙质检)已知f (x )＝x 2－2ax ＋2(a ∈R )，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，求a 的取值范围．解 法一 f (x )＝(x －a )2＋2－a 2，此二次函数图象的对称轴为x ＝a . ①当a ∈(－∞，－1)时，f (x )在[－1，＋∞)上单调递增， f (x )min ＝f (－1)＝2a ＋3.要使f (x )≥a 恒成立，只需f (x )min ≥a ，即2a ＋3≥a ，解得－3≤a ＜－1； ②当a ∈[－1，＋∞)时，f (x )min ＝f (a )＝2－a 2， 由2－a 2≥a ，解得－1≤a ≤1.综上所述，所求a 的取值范围是[－3,1]． 法二 令g (x )＝x 2－2ax ＋2－a ，由已知， 得x 2－2ax ＋2－a ≥0在[－1，＋∞)上恒成立， 即Δ＝4a 2－4(2－a )≤0或⎩⎨⎧Δ＞0，a ＜－1，g (－1)≥0.解得－3≤a ≤1.所求a 的取值范围是[－3,1]．能力提升题组 (建议用时：25分钟)一、填空题1．(2013·新课标全国Ⅱ卷改编)若存在正数x 使2x (x －a )＜1成立，则a 的取值范围是________．解析 不等式2x(x －a )＜1可变形为x －a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝x －a 与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，由题意，在(0，＋∞)上，直线有一部分在曲线的下方．观察可知，有－a ＜1，所以a ＞－1. 答案 (－1，＋∞)2．(2013·西安二模)在R 上定义运算：⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd ＝ad －bc .若不等式⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －1 a －2a ＋1 x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为________．解析 原不等式等价于x (x －1)－(a －2)(a ＋1)≥1，即x 2－x －1≥(a ＋1)(a －2)对任意x 恒成立，x 2－x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－54≥－54，所以－54≥a 2－a －2，－12≤a ≤32.答案 323．(2014·铜陵一模)已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )＞0的解集为(1,2)，若f (x )的最大值小于1，则a 的取值范围是________．解析 由题意知a ＜0，可设f (x )＝a (x －1)(x －2)＝ax 2－3ax ＋2a ，∴f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－a 4＜1，∴a ＞－4，故－4＜a ＜0.答案 (－4,0)二、解答题4．已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1,3)．(1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的解析式；(2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围．解 (1)∵f (x )＋2x >0的解集为(1,3)，f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0，因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .①由方程f (x )＋6a ＝0，得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.②因为方程②有两个相等的根，所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0，即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15.由于a <0，舍去a ＝1，将a ＝－15代入①，得f (x )＝－15x 2－65x －35.(2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a 及a <0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a. 由⎩⎪⎨⎪⎧ －a 2＋4a ＋1a >0，a <0，解得a <－2－3或－2＋3<a <0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a的取值范围是(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0).。
初二-第02讲-一元一次不等式与一元一次不等式组(培优)-学案
学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(下)课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第02讲-一元一次不等式与一元一次不等式组授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①了解不等式的概念；②掌握一元一次不等式的概念、解法及应用；③掌握一元一次不等式组的解法及应用。
授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理1、不等式的定义：一般的，用符号“<”（或“≤”）“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。
2、不等式的基本性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。
不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
体系搭建不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
3、不等式的其他性质（1）对称性，也叫互逆性：若a b > ，则b a < 。
（2）传递性：若a b >，b c > ，则a c > 。
（3）若0ab > ，则,a b 同号，反之，若,a b 同号，则0ab > ；若0ab < ，则,a b 异号，反之，若,a b 异号，则0ab <。
（4）若0a b -> ，则a b >，反之，若a b >，则0a b ->；若0a b -< ，则a b < ，反之，若a b <，则0a b -<。
4、不等式的解集（1）能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
（2）一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
（3）不等式的解与不等式的解集的区别：不等式的解是指满足这个不等式的未知数的某个值，而不等式的解集是指满足这个不等式的未知数的所有值。
5、不等式解集的两种表示方法：（1）用不等式表示；（2）用数轴表示。
6、一元一次不等式的概念：左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。
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第2讲不等式（组）的解法考点1、不等式基本性质1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。
2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。
②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立；4、求不等式组的解集的方法：若a＜b，当时，x＞b；（同大取大）当时，x＜a；（同小取小）当时，a＜x＜b；（大小小大取中间）当时无解，（大大小小无解）不等式的应用用若干辆载重为8吨的汽车运一批货物，若每辆汽车只装5吨，则剩下10吨货物，若每辆车装满8吨，则最后一辆汽车不空也不满，请问有多少辆汽车？题型二：不等式与方程的综和题例关于x的不等式２x－ａ≤－１的解集如图，求ａ的取值范围。
不等式组{1591+++xxmx的解集是x＞２，则ｍ的取值范围是？若关于x、y的二元一次方程组{3135=+=-+yxpyx的解是正整数，求整数Ｐ的值。
题型三确定方程或不等式中的字母取值范围例ｋ为何值时方程５x－６＝３（x＋ｋ）的值是非正数已知关于x的方程3k－5x＝－9的解是非负数，求k的取值范围已知在不等式３x－ａ≤０的正整数解是１，２，３，求ａ的取值范围。
若方程组{kyxyx=-=+34532的解中x>y，求K的范围。
如果关于x的方程x+2m-3=3x+7的解为不大于2的非负数，求m的范围。
若|2a+3|＞2a+3,求a的范围。
若（a+1）x＞a+1的解是x＜1,求a的范围。
若{148-+xxax的解集为x＞３，求ａ的取值范围。
如果{98≥--axbx 的整数解为１、２、３，求整数ａ、ｂ的值。
题型五求最小值问题X除以2的商加上2，至多为5。
A与b两数和的平方不可能大于3。
例x取何值时，２（ｘ－２）－（ｘ－３）－６的值是非负数？题型七解不定方程例求方程４x＋y－２０＝０的正整数解。
已知{axax>--<-223无解，求ａ的取值范围。
题型八比较两个代数式值的大小例已知Ａ＝ａ＋２，Ｂ＝ａ２－ａ＋５，Ｃ＝ａ２＋５ａ－１９，求Ｂ与Ａ，Ｃ与Ａ的大小关系题型九不等式组解的分类讨论例解关于x的不等式组{axaxxaxa38..44)1(2..2)2(--+--+题型九利用一次函数解不等式20．观察下列图像，可以得出不等式组⎩⎨⎧>+->+015.0013x x 的解集（ ）（A ） 31<x （B ） 031<<-x （C ） 20<<x （D ） 231<<-x题型十一次函数的应用某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共100件，学校计划租用甲乙两种型号的汽车共8辆，经了解，甲种汽车每辆最多载40人和10件行李；乙种汽车每辆最多载30人和20件行李。
（1）设租用甲种汽车x 辆，请你帮助学校设计所有可能的方案（2）如果甲乙两种汽车每辆的租车费分别为2000，1800元，请你选择最省钱的一种租车方案。
例4、某商贩去菜摊买黄瓜，他上午买了30斤，价格为每斤x 元；下午，他又买了20斤，价格为每斤y 元。
后来他以每斤2x y+元的价格卖完后，结果发现自己赔了钱，其原因是（ ）。
A. x y < B. x y > C. x y ≤ D. x y ≥分析：由生活实际知，赔钱原因应是总售价低于总进价，列不等式可找到原因。
解：根据题意得()()3020302002x yx y +⨯+-+<， 解得x y >，选B 。
例5、陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还余418元。
”王老师算了一下，说：“你肯定搞错了。
”⑴王老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；⑵陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本，但笔记本的单价已模糊不清，只能辨认出应为小于10元的整数，笔记本的单价可能为多少元？解：⑴设单价为8.0元的课外书为x 本，得：()8121051500418x x +-=-。
解之得：44.5x =（不符合题意）。
所以王老师肯定搞错了。
⑵设另外一个笔记本的单价为b 元，依题意得：()0150081210541810x x <-+-+<⎡⎤⎣⎦解之得：0417810x <-<，即：44.547x <<。
x ∴应为45本或46本。
当45x =本时，()150084512105454182b =-⨯+-+=⎡⎤⎣⎦， 当46x =本时，()150084612105464186b =-⨯+-+=⎡⎤⎣⎦。
另外一个笔记本的单价可能2元或6元。
针对训练 一、解不等式（1）x x x 4)34(2)4(7<--- （2）1257232-≥--y y y（3）12351<-≤-x（4）3)2(4)1(3--<-x x （5）4118)1(3--≤+x x （6）2212410-≥+-x x （7）2.04.015.02.0xx +>-- （8）)6(2)1(5)52(3-->---x x x x （9）025.161)53(5.0312>++----x x x （10）1565583604165243+--+≤---x x x x（11）612131-≥--+x x x （12）4138)1(32--<++y y （13）282.0)1.02.0(3-<-x x （14）61221131-+-<++y y y二、 解一元一次不等式组（1） ⎩⎨⎧-≤+>+145321x x xx （2）314,2 2.x x x ->⎧⎨<+⎩（3）512,324.x x x x ->+⎧⎨+<⎩ （4）21,24 1.x x x x >-⎧⎨+<-⎩（5）230320x x -<⎧⎨+>⎩（6）23182x x x >-⎧⎨-≤-⎩（7）251,3311.48x x x x ⎧+>-⎪⎪⎨⎪-<-⎪⎩（8）()324,12 1.3x x x x --≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩（9）253(2)123x x x x +≤+⎧⎪-⎨<⎪⎩ （10）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-<-+<-.3212112)2(31x x x x（11）0≤523x-≤1 （12）－1＜213-x ≤4三、根据方程组解的关系列不等式组 1、关于x ，y 的方程组⎩⎨⎧=++=-my x m y x 523的解满足x>y>0，则m的取值范围是（ ）.(A) m>2 (B)m>－3 (C)－3<m<2 (D)m<3或m>2分析: 解决本题可先解方程组,然后根据x>y>0列出关于m 的不等式组,即可求到m 的范围.解: 解方程组,得⎩⎨⎧x=2m+1y=m-2由x>y>0,得⎩⎨⎧2m+1>m-2m-2>0解这个不等式组,得m>2.故选(A).四、根据不等式组解的范围列方程组2、 如果不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2+a ≥22x-b<3的解集是0≤x<1,那么a+b 的值为________.分析: 解决本题可先解不等式组,求出不等式组的解集,然后与已知的解集进行比较,列出关于a , 到a ,b 的值.解: 解不等式组,得⎩⎪⎨⎪⎧x≥4-2ax<b+32 ,因为不等式组的解集为0≤x<1, 所以⎩⎪⎨⎪⎧4-2a =0b+32=1解这个方程组,得a =2,b=－1,所以a +b=2+(－1)=2.五：综合应用类 3、设“○”、“□”、“△”分别表示三种不同的物体。
用天平比较它们质量的大小，两次情况如图1、图2所示，那么每个“○”、“□”、“△”这样的物体，按质量从大到小的顺序排列为（ ）。
图 1图 2A. ○□△B. ○△□C. □○△D. □△○分析：观察图1知○>□，观察图2知□=△＋△，所以○>□>△。
选A 。
4、 已知2310a x -+=，32160b x --=，且4a b ≤<，求x 的取值范围。
分析：本题可考虑用含x 的代数式把a ，b 表示出来，再根据4a b ≤<，列不等式组解答。
解：由2310a x -+=，32160b x --=，可得312x a -=，2163x b +=。
4a b ≤<，314,2x -≤ ⑴ ∴2164.3x +> ⑵ 由⑴，得3x ≤。
由⑵，得2x >-。
∴x 的取值范围是23x -<≤。