三角函数的概念及同角三角函数的关系式和诱导公式
三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式
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三角函数的概念、同角三角函数的基本关系式和诱导公式
【教学目标】
复习与巩固角的概念与弧度制、三角函数的定义、同角的基本函数关系式与诱导公式.
【教学重难点】
教学重点：掌握象限角的表示以及诱导公式的简化作用，熟悉二倍角、同角三角函数的基本关系
教学难点：利用诱导公式解决二倍角、同角三角函数的基本关系式应用的基本题型
【教学过程】
一、知识点精讲
1．⑴角度制与弧度制的互化：弧度180，1801弧度，1弧度)180('1857
⑵弧长公式：Rl；扇形面积公式：RlRS21212。
2．象限角：角的终边落在第几象限，就说它是第几象限角；若落在坐标轴上，则它不属于任意一个象限.
3三角函数定义：角中边上任意一点P为),(yx，设rOP||则：
,cos,sinrxryxytan
4．三角函数符号规律：一全正，二正弦，三两切，四余弦；定义域2:tan:cos:sinkyRyRy
5．诱导公式记忆规律：“奇变偶不变，符号看象限”
公式一： 设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sinα=）α+2k（sin ；cos=）+2k（cos ；tanα=）α+2kπ（tan 。
公式二： 设α为任意角，α+π的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
-sinα=）α+π（sin ；-cosα=）α+π（cos ；tanα=）α+π（tan
公式三： 任意角α与的三角α-函数值之间的关系：
α-sin )sin(-α ；cosα=)α-(cos ；tanα-=)α(-tan
公式四： 利用公式二和公式三可以得到α-π与α的三角函数值之间的关系：
αsin =)α-π(sin ；α cos-)α-π(cos ；α-tan =)α-π(tan
同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系与诱导公式
授课教师：王明章 执行班级：189班
一、教学目标、重难点
学习目标：能推导、理解正弦、余弦、正切的诱导公式。理解同角三角函数的基本关系。
重点难点：同角三角函数的基本关系及诱导公式及应用
二、知识梳理
1．同角公式：
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1
(2)商数关系：tanα＝ 。
2．三角函数的诱导公式（巧记口诀：奇变偶不变，符号看象限）．．．．．．．．．．．．
公式一：
2k - 2
正弦 sin －sin －sin －sin －sin
余弦 cos cos －cos －cos cos
公式二：
2 2 32 32
正弦 cos cos －cos —cos
余弦 sin －sin －sin sin
注：诱导公式：将角“()2kkZ”的三角函数值化为的三角函数值的公式。口诀为：奇变偶不变，符号看象限，其中“奇、偶”是指_________________________；“符号看象限”是把任意角当成锐角，看________所在的象限，从而定出原函数值的符号。
三、例题讲解
考点一： 同角三角函数的基本关系的应用
例1. 已知1sin,cos,tan3xxx求的值。
变式：已知13tan,sin22且（，），则
（ ）
A.55 B. 55 C. 255 D. 255
考点二 ：诱导公式的应用
例2.化简：（1）cos(180)sin(360)sin(180)cos(180)
变式： 2sin()cos()cos(3)sin(5)sin(6)
例3．已知1sin1sin2tan1sin1sin，试确定使等式成立的角的集合。
基础夯实：三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式
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基础夯实：三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式
作者：高彦军
来源：《数学金刊·高考版》2013年第10期
三角函数的概念及公式是三角函数整章的基础，是三角函数图象和恒等变换的最终着落点.
重点：本部分的重点是三角函数的定义，同角三角函数的函数关系式、诱导公式，并能够灵活运用定义和公式解决有关求值和化简等问题.
难点：三角函数线及函数符号的确定，以及灵活选取诱导公式.
1. 角的分类
（1）按旋转方向分类可以分为正角、负角和零角.
（3）按照终边是否相同分类. 与α的终边相同的角的集合为{ββ=2kπ+α，k∈Z}，与α的终边共线的角的集合为{ββ=kπ+α，k∈Z}.
3. 根据三角函数的定义，求角α的三角函数值？摇
（1）已知角α的终边上一点P的坐标，则可先求此点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解.
（2）已知角α的终边所在的直线方程，需分两种情况取点：先在终边上的两条射线上分别取点，再利用三角函数的定义去求解；根据直线方程直接求出tanα，然后再根据角的终边所在的象限求出其他的三角函数值.
4. 同角三角函数关系式的用途
（1）根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值.
（2）化简同角三角函数式.
（3）证明同角的三角恒等式.
（4）注意公式的逆用和变形用，如在解决齐次分式求值问题时，经常要用到sin2α+cos2α=1，sin2α=1-cos2α，sinα=cosαtanα等形式. 龙源期刊网
5. 使用诱导公式的注意事项
（1）使用步骤：负化正，大化小，小化锐是终了.
“负化正”，即使用sin（-α）=-sinα，cos（-α）=cosα，tan（-α）=-tanα这组公式将负角转化为正角.
三角函数的概念同角三角函数基本关系式及诱导公式 专题训练
1 三角函数的概念同角三角函数基本关系式及诱导公式 专题训练
一、选择题
1.若点(4，a)在y＝x12的图象上，则tan a6π的值为( )
A.0 B.33 C.1 D.3
2.若点P在－10π3角的终边上，且P的坐标为(－1，y)，则y等于( )
A.－33 B.33 C.－3 D.3
3.若sinπ2＋α＝－35，且α∈π2，π，则sin()π－2α＝( )
A.2425 B.1225 C.－1225 D.－2425
4.已知cos α＝k，k∈R，α∈π2，π，则sin(π＋α)＝( )
A.－1－k2 B.1－k2 C.－k D.±1－k2
5.设α是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos α＝15x，则tan α＝( )
A.43 B.34 C.－34 D.－43
创新导向题
利用三角函数值的符号求参数取值范围
6.已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a的取值范围是( )
A.(－2，3] B.(－2，3) C.[－2，3) D.[－2，3]
诱导公式的应用
7.已知α满足sin α＝12，那么sinπ4＋αsinπ4－α的值为( )
A.14 B.－14 C.12 D.－12
三角函数的概念及同角三角函数的关系式和诱导公式
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三角函数的概念及同角三角函数的关系式和诱导公式
作者：
来源：《数学金刊·高中版》2012年第10期
本节内容属于三角函数的概念性和公式性内容，要求能够表示任意大小的角，能够进行同角间的化简、求值、证明，本节内容是整个三角学内容的基础，三角函数的定义域、三角函数值的符号、三角公式都是在此基础上得出的． 在高考中本节内容会以求三角函数的定义域、值域，求三角函数值，比较大小等多种形式出现，题目难度以中低档题为主．
重点：掌握任意角的三角函数的定义和弧度制处理三角式的化简、求值等问题；掌握利用同角三角函数的关系式和诱导公式进行化简、求值与证明等问题．
三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式
三角函数的概念 同角三角函数的 关系式和诱导公式 …‘ ‘西 猫’ 葶 … …髟‘・麟
重点：理解同角三角函数的基ｌ值、化简与证明． Ｉ公式时符号的正确选取 本关系式及诱导公式；并能进行求ｌ 难点：公式的恰当选用及利用Ｉ 一、角的分类 １．按旋转方向分类可以分为 正角、负角和零角． ２．按终边的位置可以分为象 限角和轴线角．终边在 轴上的角的 集合为｛ ｌ 叮Ｔ，ｋ∈ｚ｝，终边在＿ｙ轴上 ｒ Ｉ—— 、 的角的集合为｛ Ｉ ＝ １Ｔ＋—＇ １１， ∈Ｚ｝． １ Ｉ Ｚ Ｊ ３．按照终边是否相同分类．与 的终边相同的角的集合为｛卢ｌ卢＝ ２ｋ￣＋ａ．ｋ∈Ｚ｝，与Ｏｌ的终边共线的 角的集合为｛ ｌ３＝ｋｗ＋ａ， ∈ｚ｝． 二、已知角 的取值范围或所在 的象限．求 所在的象限 ２ 一般解法有直接法和几何法， 其中几何法具体操作如下：把各象 限均分２等份，再从 轴的正向的上 １ ２ 方按逆时针顺序起，依次将各区域 标上，、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则Ｏ／ 原来是第几象限的符号所表示的区 域即为兰的终边所在的区域，此结 ２ 论在三角恒等变换中经常要用到， 应该记住此结论． Ｊ 图１ 三、同角三角函数的基本关系式 １．倒数关系：ｔａｎａ・ｃｏｔａ＝１， ｓｉｎａ・ＣＳＣＯｔ－１，ＣＯＳＯｔ・ｓｅｃａ：ｌ； ２商数关系：ｔａｎａ＝ ，ｅｏｔｄ： 平方关系：ｓｉｎ２ａ＋ｃｏｓ２ａ＝ｌ， ｓｅｃ ＝１＋ｔａｎ２ｃ￣．ＣＳＣ２０Ｌ￣１＋ｃｏｔ２ｃ￣． 四、诱导公式：奇变偶不变。符 号看象限． 五、基本知识方法 １．利用平方关系时，要注意开 方后符号的选取： ２．诱导公式的作用在于将任意 ｒ 一１ 角的三角函数转化为ｌ０，— ｌ内角的 Ｌ Ｊ ｊ角函数值．其解题思路是化负角 为正角，化复杂角为简单角，运用时 应充分注意符号： ３．利用商数关系、倒数关系能 够完成切割化弦： ４．涉及ｓｉｎａ，ＣＯＳＯｔ的二次齐次式 ．－ 眦 Ｃ
同角三角函数关系及诱导公式
南京市东山外校2014届高三数学一轮复习教案
- 1 - §2 同角三角函数关系及诱导公式
一、学习目标
内容 要求
同角三角函数的基本关系与诱导公式 B
二、教学目标：（1）会用同角三角函数关系式解题（2）熟练掌握诱导公式
三、教学重难点：同上
四、知识导学
1.同角三角函数的基本关系
（1）平方关系： ；（2）商数关系： ．
2.诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kkZ 2 2
正弦
余弦
正切
口诀
五、课前自学
1．是第三象限角，12cos13，则tan
．
2． sin600=
3．1sin33，则cos6 ．
4．20202020sin1sin2sin3sin89 ．
5．化简cos2sincos23sin2= ．
6．记cos(80)k,那么tan100
7.定义在区间20,上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_____
南京市东山外校2014届高三数学一轮复习教案
- 2 - 六、合作、探究、展示
例题1. 已知cos31m，求sin239tan149的值；
．
例2．已知1
南京市东山外校2014届高三数学一轮复习教案
- 3 - 例3．已知sin2cos．求值：
（1）sin4cos5sin2cos （2）2sin． （3）sincos （4）222cossinsincos
任意角的三角函数,同角三角函数基本关系,诱导公式
源尚教育 数学
高一/周艳 非一般的进步!
1 学习内容 一、 任意角的三角函数
二、 弧度制与角度制的转换
三、 同角三角函数的基本关系
四、 诱导公式
内容一：知识清单
讲
解
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高一/周艳 非一般的进步!
2
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高一/周艳 非一般的进步!
3 【课后练习】
1．角α的终边过点P（－4k，3k）(k＜0}，则cosα的值是 （ ）
A． 3
5 B． 45 C．－ 35 D．－ 45
2．已知点P(sinα－cosα，tanα)在第一象限，则在［0，2π］内，α的取值范围是 ( )
A．( π2， 3π4)∪(π， 5π4) B．( π4， π2)∪(π， 5π4)
C．( π2 ， 3π4 )∪(5π4，3π2) D．( π4， π2 )∪(3π4 ，π)
3．若sinx= － 35，cosx =45 ，则角2x的终边位置在 ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4． sin(π4+α)sin（π4－α）的化简结果为 （ ）
A．cos2α B．12cos2α C．sin2α D． 12sin2α
三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式 2
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三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式
作者：金石
来源：《数学金刊·高考版》2014年第10期
1. 角的分类
（1）按旋转方向分类可以分为正角、负角和零角.
（2）按终边的位置可以分为象限角和轴线角. 终边在x轴上的角的集合为{αα=kπ，k∈Z}，终边在y轴上的角的集合为αα=kπ+，k∈Z？摇.
（3）按照终边是否相同分类. 与α的终边相同的角的集合为{ββ=2kπ+α，k∈Z}，与α的终边共线的角的集合为{ββ=kπ+α，k∈Z}.
2. 已知角α的取值范围或所在的象限，求所在的象限
一般有直接法和几何法两种解法，其中几何法的具体操作如下：如图1，把各象限均分为2等份，再从x轴正向的上方按逆时针的顺序起，依次将各区域标上Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并循环一周，则α原来是第几象限的符号所表示的区域即为的终边所在的区域. 这个结论在三角恒等变换中经常要用到，应该记住此结论.
3. 根据三角函数的定义，求角α的三角函数值？摇
（1）已知角α的终边上一点P的坐标，则可先求此点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解.
（2）已知角α的终边所在的直线方程，需分两种情况取点：先在终边上的两条射线上分别取点，再利用三角函数的定义去求解；根据直线方程直接求出tanα，然后再根据角的终边所在的象限求出其他的三角函数值.
4. 同角三角函数关系式的用途
（1）根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值.
（2）化简同角三角函数式.
（3）证明同角的三角恒等式. 龙源期刊网
（4）注意公式的逆用和变形用，如在解决齐次分式求值问题时，经常要用到sin2α+cos2α=1，sin2α=1-cos2α，sinα=cosαtanα等形式.
三角函数的概念、同角三角函数的关系式和诱导公式 3
三角函数的概念 同角三角函数的 关系式和诱导公式 …………………………………………………‘ 一熏 茳 泵漠 葶 ＿盾 草… …若一
纛 蕊 魏 嗣重 曩 垂 豳 …．．．一………………………一一一一、 重点：三角函数的定义、同角三 角函数的关系式、诱导公式，能够灵 活利用定义和公式解决有关求值和 化简等问题．
１．角的分类 （１）按旋转方向分类可以分为 正角、负角和零角． （２）按终边的位置可以分为象 限角和轴线角．终边在 轴上的角的 集合为｛ Ｉｏｌ＝ｋ＇ｔｒ，ｋ∈Ｚ｝，终边在Ｙ轴上 的角的集合为｛ ａ＝ｋ ＋ ，ｆ，ｋ∈Ｚ｝． Ｌｌ 上 Ｊ （３）按照终边是否相同分类．与 Ｏ／的终边相同的角的集合为｛卢ｌ卢＝ ２ １Ｔ＋ ，ｋ∈Ｚ｝，与Ｏｌ的终边共线的 角的集合为｛卢Ｊ ＝ 竹＋ ，ｋ∈ｚ｝． ２．已知角 的取值范围或所在 的象限，求 所在的象限 一般有直 接法和几何法 两种解法，其 中几何法的具 体操作如下： １ ２ Ｊ 图１ 嬲 锶 难点：三角函数线及函数符号 的确定，以及灵活选取诱导公式．
如图１，把各象限均分为２等份，再从 轴正向的上方按逆时针的顺序起． 依次将各区域标上Ｉ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ，并 循环一周，则 原来是第几象限的符 号所表示的区域即为 的终边所在 ２ 的区域．这个结论在三角恒等变换 中经常要用到，应该记住此结论． ３．根据三角函数的定义，求角 Ｏ／的三角函数值 （１）已知角 的终边上一点Ｐ的 坐标．则可先求此点Ｐ到原点的距离 ｒ．然后利用三角函数的定义求解． （２）已知角 的终边所在的直线 方程。需分两种情况取点：先在终边 上的两条射线上分别取点。再利用 三角函数的定义去求解；根据直线 方程直接求出ｔａｎａ。然后再根据角的 终边所在的象限求出其他的三角函 数值． ４．同角三角函数关系式的用途 （１）根据一个角的某一个三角函 数值，求出该角的其他三角函数值． （２）化简同角三角函数式． （３）证明同角的三角恒等式． （４）注意公式的逆用和变形用， 如在解决齐次分式求值问题时。经 常要用到ｓｉｎ￣￣＋ＣＯＳ２０￣＝１．ｓｉｎ２ａ＝１一 等形式 ５．使用诱导公式的注意事项 （１）使用步骤：负化正，大化小， 小化锐是终了． “负化正”，即使用ｓｉｎ（－－ａ）＝一ｓｉｎａ， ｃｏｓ（一Ｏ／）＝ＣＯＳＯｌ，ｔａｎ（一 ）－＿ｔａｎａ这组公 式将负角转化为正角． “大化小”是指当角较大时可以 使用ｓｉｎ（２ｋ￣ｒ＋ａ）＝ｓｉｎａ，ＣＯＳ（２ 霄＋ ）＝ ＣＯＳＯｔ，ｔａｎ（ 耵＋ ）＝ｔａｎ 这组公式将已 知角转化为０～３６０。的角．