数列通项公式的十种求法练习
数列通项公式的十种求法练习
例 1 已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。
例2 已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。
例3 已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。
例4已知数列{}na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan，，求{}na的通项公式。
例5 已知数列{}na满足112356nnnaaa，，求数列na的通项公式。
例6 已知数列{}na满足1135241nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。
例7 已知数列{}na满足21123451nnaanna，，求数列{}na的通项公式。
例8已知数列na前n项和2214nnnaS.（1）求1na与na的关系；（2）求通项公
式na.
例9已知数列{}na满足1132313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。
例10 已知数列{}na满足5123nnnaa，17a，求数列{}na的通项公式。
例11 已知数列{}na满足3(1)2115nnnnaaa，，求数列{}na的通项公式。
例12 已知数列{}na满足11228(1)8(21)(23)9nnnaaann，，求数列{}na的通项公式。例13 已知数列{}na满足111(14124)116nnnaaaa，，求数列{}na的通项公式。
课后习题
1:已知数列na满足211a，nnaann211，求na。
2:已知数列na满足321a，nnanna11，求na。
3:已知31a，nnanna23131 )1(n，求na。
4:已知数列na中，11a，321nnaa，求na.
5:已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na
。
6:数列na：),0(025312Nnnaaannn， baaa21,，求数列na的通项公式。
求数列通项公式的十种方法
时间：二O二一年七月二十九日
时间：二O二一年七月二十九日 1． 观察法（求出a1、a2、a3,然后找规律）之蔡仲巾千创作
时间：二O二一年七月二十九日
即归纳推理,就是观察数列特征,找出各项共同的构陈规律,然后利用数学归纳法加以证明即可.
,,若,求及数列的通项公式．
解：由题意可知：,
,
.
因此猜想.
下面用数学归纳法证明上式．
（1）当n＝1时,结论显然成立．
（2）假设当n＝k时结论成立,即.
(3)则,
即当n＝k＋1时结论也成立．
由（1）、（2）可知,对一切正整数,都有．（最后一句总结很重要）
2．界说法（已知数列为等差或者等比）
直接利用等差数列或等比数列的界说求通项的方法叫界说法,这种方法适应于已知数列类型的题目.
满足,,求的通项公式. 时间：二O二一年七月二十九日
时间：二O二一年七月二十九日 解：设等差数列的公差为.
因为,所以.
又因为,所以,故.
所以.
3．公式法
若已知数列的前n项和与的关系,求数列的通项可用公式的前项和为,已知
（Ⅰ）求数列的通项公式.
解：（Ⅰ）由
可得：那时, ,
那时,
而 ,
所以
4．累加法
当递推公式为时,通常解法是把原递推公式转化为.
满足,且（）,则数列{}的前10项和为
解：由题意得：
5．累乘法 时间：二O二一年七月二十九日
时间：二O二一年七月二十九日 当递推公式为时,通常解法是把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解.
满足,求的通项公式.
解：由条件知 ,
在上式中分别令,得个等式累乘之,
即 , 即
又
6.构造法（拼凑法）-共5种题型,第2、3种方法不用掌握
1、当递推公式为（其中均为常数,且）时,通常解法是把原递推公式转化为,其中,再利用换元法转化为等比数列求解.
例题：已知数列满足,求的通项公式.
解：由
得
又
求数列通项公式的十种方法[1]
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第 1 页 共 14 页 求数列通项公式的十种方法
一、公式法
例1 已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。
解：1232nnnaa两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列{}2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22nnan，所以数列{}na的通项公式为31()222nnan。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列{}2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan，进而求出数列{}na的通项公式。
二、利用1(2)1(1)nnSSnSnna
例2．若nS和nT分别表示数列{}na和{}nb的前n项和，对任意正整数
2(1)nan，34nnTSn.求数列{}nb的通项公式；
解： 22(1)4231anadSnnnn
23435TSnnnnn……2分 当1,35811nTb时
当2,6262.1nbTTnbnnnnn时……4分
练习：1. 已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an
解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2)，②
由①－②得 10an=(an2－an－12)+6(an－an－1)，即(an+an－1)(an－an－1－5)=0
∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2)
数列通项公式的十种求法
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数列通项公式的十种求法
作者：陈秀英
来源：《新课程·教育学术》2009年第16期
求数列的通项公式是高中数学教与学的重点和难点,它方法灵活,技巧性强,学生往往难以把握。所以我一直在探索怎样才能帮助学生更好地掌握数列通项公式的求法。由此总结出几种常见的求数列通项公式的十种方法,让同学们在具体的实例中去具体体会,去感悟如何根据问题的特征,来选择具体的解法,只有这样,才能从整体上去把握问题特征,掌握解题要领。
一、观察法(又叫猜想法、不完全归纳法)
观察数列中各项与其序号间的关系,分解各项中的变化部分与不变部分,再探索各项中变化部分与序号间的关系,从而归纳出构成规律写出通项公式。关键是找出各项与项数的关系。
注:用不完全归纳法,只是从数列的有限项通过观察而得到数列所有项的通项公式,不一定可靠。如从数列2,4,8,…可得an=2n或an=n2-n+2两个不同的通项公式(从第四项开始便不同)。
二、“归纳—猜想—论证”法
有时一个数列可以由已知条件求出数列的前几项,通过“观察法”,就可以归纳猜想出数列的通项公式,然后再用数学归纳法证明之。这种方法是可靠的。
由①②可知,对任意的n∈N+,原命题成立。
三、累加法(又叫迭加法)
一般的,对于形如an+1=an+f(n)类数列的通项公式,只要f(1)+f(2)+…+f(n)能进行求和,则宜采用此方法求解。
例3.已知数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n,求数列{an}的通项公式。
解:a2-a1=2,a3-a2=4,a4-a3=6,…an-an-1=2(n-1).
即an=n2-n+1(n∈N+)。
四、累乘法(又叫迭积法)
求解。 龙源期刊网
数列的通项公式的求法
岔路街校区高二文数专用资料（7）
生产快乐 绽放梦想 1 数列的通项公式的求法
【学习目标】
熟练掌握各种求数列的通项公式的方法
【典例精析】
一．观察法
例：写出下列数列的一个通项公式，使其前几项分别是下列各数：
（1）1，58 ，715，924，… （2）3，5，9，17，…
（3）2，6，12，20，… （4）1，11，111，1111，…
二．等差等比数列公式法
1．等差数列：dnaan)1(1，dmnaamn)(
2．等比数列：11nnqaa，mnmnqaa
三．已知nS求na 利用关系式：)2()1(11nSSnSannn
注：凡是知道nS或是已知关系式0),,(naSfnn均可利用上述关系式求解
例1：已知数列}{na的前n项和13022nnSn，求出它的通项公式na
例2：已知数列na的前n项和为nS，1(1)3nnSanN；求na
练习：（1）在数列}{na中，已知241nnaS，11a，设nnnaab21，求证：数列}{nb 是等比数列
（2）数列na的前n项和记为nS，已知11a，)(21NnSnnann，求证：数列}{nSn 是等比数列
四．应用迭加（累加）法求通项 岔路街校区高二文数专用资料（7）
生产快乐 绽放梦想 2 注：迭加法适用于形如)(1nfaann或)(1nfaann的递推关系
迭加法公式：11232211)()()()(aaaaaaaaaannnnnnn
例：已知数列na中，)2(12,211nnaaann，求数列na的通项公式；
练习：已知数列na中，21a，)2(311naannn，求数列na的通项公式；
求数列通项公式的十种方法 2
求数列通项公式的十一种方法（方法全,例子全，归纳细）
总述:一．利用递推关系式求数列通项的11种方法:
累加法、
累乘法、
待定系数法、
阶差法（逐差法）、
迭代法、
对数变换法、
倒数变换法、
换元法（目的是去递推关系式中出现的根号)、
数学归纳法、
不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式)、
特征根法
二。四种基本数列:等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘,这二种方法是求数列通项公式的最基本方法.
三 ．求数列通项的方法的基本思路是:把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。
四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法.
五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数.
一、累加法
1．适用于：1()nnaafn ---——--—--这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一.
2．若1()nnaafn(2)n，
则 21321(1)(2)
()nnaafaafaafn 两边分别相加得 111()nnkaafn
例1 已知数列{}na满足11211nnaana，,求数列{}na的通项公式。
解：由121nnaan得121nnaan则
112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1nnnnnaaaaaaaaaannnnnnnnnnn
所以数列{}na的通项公式为2nan.
例2 已知数列{}na满足112313nnnaaa，,求数列{}na的通项公式。
解法一：由1231nnnaa得1231nnnaa则11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13)2(1)313331331nnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaannnn
求数列通项公式的十种方法 3
时间：二O二一年七月二十九日
时间：二O二一年七月二十九日 1． 不雅察法（求出a1、a2、a3,然后找规律）之邯郸勺丸创作
时间：二O二一年七月二十九日
即归纳推理,就是不雅察数列特征,找出各项配合的组成规律,然后利用数学归纳法加以证明即可.
,,若,求及数列的通项公式．
解：由题意可知：,
,
.
因此猜测.
下面用数学归纳法证明上式．
（1）当n＝1时,结论显然成立．
（2）假设当n＝k时结论成立,即.
(3)则,
即当n＝k＋1时结论也成立．
由（1）、（2）可知,对于一切正整数,都有．（最后一句总结很重要）
2．定义法（已知数列为等差或者等比）
直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的办法叫定义法,这种办法适应于已知数列类型的题目.
满足,,求的通项公式. 时间：二O二一年七月二十九日
时间：二O二一年七月二十九日 解：设等差数列的公役为.
因为,所以.
又因为,所以,故.
所以.
3．公式法
若已知数列的前n项和与的关系,求数列的通项可用公式的前项和为,已知
（Ⅰ）求数列的通项公式.
解：（Ⅰ）由
可得：当时, ,
当时,
而 ,
所以
4．累加法
当递推公式为时,通常解法是把原递推公式转化为.
满足,且（）,则数列{}的前10项和为
解：由题意得：
5．累乘法 时间：二O二一年七月二十九日
时间：二O二一年七月二十九日 当递推公式为时,通常解法是把原递推公式转化为,利用累乘法(逐商相乘法)求解.
满足,求的通项公式.
解：由条件知 ,
在上式中辨别令,得个等式累乘之,
即 , 即
又
6.机关法（拼凑法）-共5种题型,第2、3种办法不必掌握
1、当递推公式为（其中均为常数,且）时,通常解法是把原递推公式转化为,其中,再利用换元法转化为等比数列求解.
例题：已知数列满足,求的通项公式.
解：由
得
又
构造法求数列的通项公式
构造法求数列的通项公式
利津二中 刘志兰
在数列求通项的有关问题中，经常遇到即非等差数列，又非等比数列的求通项问题，特别是给出的数列相邻两项是线性关系的题型，在老教材中，可以通过不完全归纳法进行归纳、猜想，然后借助于数学归纳法予以证明，但新教材中，由于删除了数学归纳法，因而我们遇到这类问题，就要避免用数学归纳法。这里我向大家介绍一种解题方法——构造等比数列或等差数列求通项公式。
构造法就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件与结论的充分剖析，有时会联想出一种适当的辅助模型，以此促成命题转换，产生新的解题方法，这种思维方法的特点就是“构造”.若已知条件给的是数列的递推公式要求出该数列的通项公式，此类题通常较难，但使用构造法往往给人耳目一新的感觉.供参考。
1、构造等差数列或等比数列
由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.
例1 设各项均为正数的数列的前n项和为Sn，对于任意正整数n，都有等式：成立，求的通项an.
解：， ∴
，∵，∴.
即是以2为公差的等差数列，且.
∴
例2 数列中前n项的和，求数列的通项公式.
解：∵
当n≥2时，
令，则，且
是以为公比的等比数列，
∴.
2、构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法就可求得这一数列的通项公式.
例3 设是首项为1的正项数列，且，（n∈N*），求数列的通项公式an.
解：由题设得.
∵，，∴.
∴
.
例4 数列中，，且，（n∈N*），求通项公式an.
解：∵
∴（n∈N*）
3、构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.
例5 数列中，，前n项的和，求.
解：
，
∴
∴
4、构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题得以解决.
数列通项公式的十种求法学生版
1 数列通项公式的十种求法
一、公式法
例1 已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。
二、累加法
例2 已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。
例3 已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。
2 例4 已知数列{}na满足1132313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。
三、累乘法
例5 已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。
例6 已知数列{}na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan，，求{}na的通项公式。
3 四、待定系数法
例7 已知数列{}na满足112356nnnaaa，，求数列na的通项公式。
例8 已知数列{}na满足1135241nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。
例9 已知数列{}na满足21123451nnaanna，，求数列{}na的通项公式。
4 五、对数变换法
例10 已知数列{}na满足5123nnnaa，17a，求数列{}na的通项公式。
六、迭代法
例11 已知数列{}na满足3(1)2115nnnnaaa，，求数列{}na的通项公式。
七、数学归纳法
例12 已知数列{}na满足11228(1)8(21)(23)9nnnaaann，，求数列{}na的通项公式。
5 八、换元法
例13 已知数列{}na满足111(14124)116nnnaaaa，，求数列{}na的通项公式。
九、不动点法
例14 已知数列{}na满足112124441nnnaaaa，，求数列{}na的通项公式。
例15 已知数列{}na满足1172223nnnaaaa，，求数列{}na的通项公式。
数列通项公式An求法小结
数列的通项公式的求法训练题
一、选择题
1、等差数列{an}中，d为公差，前n项 和为sn=-n2则 （ ）
A、an=2n-1 d=-2 B、 an=2n-1 d=2
C、 an= -2n+1 d=-2 D、 an= -2n+1 d=2
2、若数列na的前n项和为322nnSn，那么这个数列的前3项为（ ）
A、-1，1，3 B、2，1，0 C、2、1、3 D、2、1、6
3、数列{na}满足1a=1, 2a=32，且nnnaaa21111 (n≥2)，则na等于（ ）．
A、12n B、(32)n-1 C、(32)n D、22n
4、在等比数列{an}中．前n项的和为sn，且sn=2n-1则a12+a22+···+an2等于 ( )
A、 (2n-1)2 B、31(2n-1)2 C、 4n-1 D、31(4n-1)
5、已知数列{na}中，)(2,211Nnnaaann，则100a的值是（ ）
A、9900 B、9902 C、9904 D、11000
6、已知数列{an}中，,21,111nnnaaaa则这个数列的第n项na为（ ）
A、2n-1 B、2n+1 C、121n D、121n
7、已知数列{an}中，对任意的Nn满足422nnnaaa,且4,273aa，则15a的值是（ ）
A、8 B、12 C、16 D、32
数列通项公式的十种求法练习
数列通项公式的十种求法练习
例 1 已知数列{}na满足11211nnaana，，求数列{}na的通项公式。
例2 已知数列{}na满足112313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。
例3 已知数列{}na满足112(1)53nnnanaa，，求数列{}na的通项公式。
例4已知数列{}na满足11231123(1)(2)nnaaaaanan，，求{}na的通项公式。
例5 已知数列{}na满足112356nnnaaa，，求数列na的通项公式。
例6 已知数列{}na满足1135241nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。
例7 已知数列{}na满足21123451nnaanna，，求数列{}na的通项公式。
例8已知数列na前n项和2214nnnaS.（1）求1na与na的关系；（2）求通项公
式na.
例9已知数列{}na满足1132313nnnaaa，，求数列{}na的通项公式。
例10 已知数列{}na满足5123nnnaa，17a，求数列{}na的通项公式。
例11 已知数列{}na满足3(1)2115nnnnaaa，，求数列{}na的通项公式。
例12 已知数列{}na满足11228(1)8(21)(23)9nnnaaann，，求数列{}na的通项公式。例13 已知数列{}na满足111(14124)116nnnaaaa，，求数列{}na的通项公式。
课后习题
1:已知数列na满足211a，nnaann211，求na。
2:已知数列na满足321a，nnanna11，求na。
3:已知31a，nnanna23131 )1(n，求na。
4:已知数列na中，11a，321nnaa，求na.