数列求通项公式专题(完美总结)
第1页 求通项公式专题
1、作差法：
已知数列{an}的前n项和Sn，求通项公式na
例 已知数列{an}的前n项和Sn，求数列{an}的通项公式．(1)Sn＝2n－1；(2)Sn＝2n2＋n＋3.
变式训练 已知下面各数列{an}的前n项和Sn的公式，求an. (1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n－2.
2.累加法：型如)(1nfaann的数列
例 已知数列}{na满足21a，231naann，求}{na的通项公式.
变式训练 已知数列}{na满足21a，12123nnnaa，求}{na的通项公式.
第2页 3.累乘法：型如)(1nfaann的数列
例 已知数列}{na满足11a，nnanna21，求}{na的通项公式.
变式训练 已知数列}{na满足11a，12nnnaa，求}{na的通项公式.
4.构造法
4-1型如bkaann1(bk、为常数)的数列构造}{na为等比数列▲
例 已知数列}{na满足21a，321nnaa，求}{na的通项公式.
变式训练1 已知数列}{na满足11a，231nnaa，求}{na的通项公式.
第3页 变式训练2 已知数列}{na满足2171a，)2(5231naann，求}{na的通项公式.
4-2 型如001BnApaann的数列
解法：设1(1)()nnaAnBpaAnB，去括号整理对比001BnApaann解出A、B的值，构造出}{BAnan为等比数列．
理解该数列的构造原理，若出现00201CnBnApaann，方法也相同.
例 已知数列}{na满足11a，1231nnaan，求}{na的通项公式.
变式训练 已知数列}{na满足11a，1321nnaan，求}{na的通项公式.
第4页 4-3 型如nnnqmpaa1的数列
将原递推公式两边同除以1nq得qmqaqpqannnn11，设nnnabq，得qmbqpbnn1，
转化为“6-1型如bkaann1(bk、为常数)的数列构造}{na为等比数列”.
例 已知数列}{na满足11a，123nnnaa，求}{na的通项公式.
变式训练1 已知数列}{na满足21a，nnnaa2211，求}{na的通项公式.
变式训练2 已知数列na中，651a,11)21(31nnnaa，求na。
5、迭代法：形如nnnqapaa12（其中p，q均为常数）。先把原递推公式转化为)(112nnnnsaatsaa其中s，t满足qstpts
第5页 例 数列na满足23,5,21221nnaaaana=0，求数列{an}的通项公式。
变式1 已知数列{}na满足211256,1,2nnnaaaaa，求数列{}na的通项公式。
变式2 已知数列na满足*12211,3,32().nnnaaaaanN求数列na的通项公式；
6、取倒数法
型如)0(1mpmpamaannn的数列
例 已知数列}{na满足11a，121nnnaaa，求}{na的通项公式.
第6页
变式训练 已知数列}{na满足11a，221nnnaaa，求}{na的通项公式.
求数列通项公式的十种方法(例题+详解)
求数列通项公式的十种方法(例题+详解)
第 1 页 共 12 页 求数列通项公式的十种方法
一、公式法
例1 已知数列{}na满足1232nnnaa，12a，求数列{}na的通项公式。
解：1232nnnaa两边除以12n，得113222nnnnaa，则113222nnnnaa，故数列{}2nna是以1222a11为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式,得31(1)22nnan，所以数列{}na的通项公式为31()222nnan。
评注:本题解题的关键是把递推关系式1232nnnaa转化为113222nnnnaa，说明数列{}2nna是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22nnan,进而求出数列{}na的通项公式。
二、利用1(2)1(1)nnSSnSnna
例2．若nS和nT分别表示数列{}na和{}nb的前n项和，对任意正整数
2(1)nan，34nnTSn.求数列{}nb的通项公式；
解： 22(1)4231anadSnnnn
23435TSnnnnn……2分 当1,35811nTb时
当2,6262.1nbTTnbnnnnn时……4分
练习：1。 已知正项数列｛an｝，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1，a3，a15成等比数列，求数列{an}的通项an
解: ∵10Sn=an2+5an+6， ① ∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3
又10Sn－1=an－12+5an－1+6(n≥2）,②
由①－②得 10an=（an2－an－12）+6(an－an－1），即（an+an－1）（an－an－1－5）=0
∵an+an－1>0 ， ∴an－an－1=5 (n≥2）
求数列通项公式的十种方法(例题+详解) 2
求数列通项公式的十种方法
一.公式法 例1已知数列｛勺｝满足d”|=2勺+3x2", q=2,求数列｛勺｝的通项公式。
扌，故数列｛影｝是 以沪知为首项，以扌为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，畤“+心)|,
3 1
所以数列｛©｝的通项公式为an=(-n—)2\ 2 2
评注：本题解题的关键是把递推关系式。心=2©+3><2”转化为增一牛=3,说明数列 2 2 2
｛*｝是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出*=1+5—1)_,进而求出数列 2 2 2
｛qr｝的通项公式。
例2.若S”和7；分别表示数列｛©｝和0｝的前"项和，对任意正整数
an=-2(n + l), Tn-3Sn=4n.求数列｛bK｝的通项公式；
解：•/ afj = -2(n + I) /. “] = -4 cl = -2 = 一昇 一 3n
.・.坊=3»+4"=-3舁2_5加 2 分 当 ”=1 时,7j 訥=—3—5=—8
当 n>2^\,bf J =Tf J —7^2—1 =-6/2—2 ........... . ^=—6/2—2. 4 分
I
练习：1.已知正项数列｛an｝,其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a】,a3,a】5成等 比数列，求数列｛%｝的通项％.
解：T 105>訂+5/+6, ① ・：108产日「+5/+6,解之得创=2或力产3,
又 10$-产②-：+5②T+6(〃$2),②
由①—②得 10a = (a^—a„-i2) +6(a„—a„-x),即(8”+$Q (%—/一】—5) =0
T 色+/_1>0 , 二 a:—乔产5 (77^2) •
当 ai=3 时，a.\— 13* ^i5=73. EL\* 越，去不成等比数列Si^3；
当 ai—2 时» 3.\— 12 9 ai5=72,有 &3 二日15 、 二2, • • @7二5/7 —3,
三、累加法 例3已知数列｛©｝满足如=©+2几+ 1, q=l,求数列｛©｝的通项公式。
数列通项公式的求法(较全)
不同的信念，决定不同的命运 常见数列通项公式的求法
公式：
1、 定义法
若数列是等差数列或等比数列,求通公式项时,只需求出1a与d或1a与q,再代入公式dnaan11或11nnqaa中即可.
例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列nb的345,,bbb,求数列nb的的通项公式.
练习：数列na是等差数列,数列nb是等比数列,数列nc中对于任何*nN都有1234127,0,,,,6954nnncabcccc分别求出此三个数列的通项公式.
不同的信念，决定不同的命运 2、 累加法
形如nfaann11a已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式.
（1） 当fnd为常数时，na为等差数列，则11naand；
（2） 当fn为n的函数时，用累加法.
方法如下：由nfaann1得
当2n时，11nnaafn，
122nnaafn，
322aaf，
211aaf，
以上1n个等式累加得
11+221naafnfnff
1naa1+221fnfnff
（3）已知1a，nfaann1，其中fn可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项.
①若fn可以是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；
②若fn可以是关于n的二次函数，累加后可分组求和；
③若fn可以是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；
④若fn可以是关于n的分式函数，累加后可裂项求和求和.
例2、数列na中已知111,23nnaaan, 求na的通项公式.
不同的信念，决定不同的命运 练习1：已知数列na满足11322,.nnnaanaa且求
高中数学数列通项公式的求法(方法总结)
（1）主题：求数列通项na的常用方法总结
一、 形如： 1()nnfnaAa
常用方法：11AA累加法，当时；
待定系数法，当时。
特殊情况：当n+11,nnABCAaaA，常用累加法。
（1） 累加法解题步骤：
Step1:n121321()()()nnaaaaaaaa；
Step2:化简求值。
（2） 待定系数法解题步骤：
Step1:引入未知数,,,xyz构建等比数列nb；
（如1：221(1)1nnxnynzxnynzaa，
记：2nnxnynzba ）
（如2：已知11,,)0(nnnfaaa，常设：11(1)()nnnnxyfnzxyfnaaaa
Step2:代入已知关系式，求解未知数,,xyz；
Step3:求解等比数列nb的通项公式，进而求得na。
二、 形如：1()nnfnaa。常用方法：累乘法。
累乘法解题步骤：
Step1:321121nnnaaaaaaaa；
Step2: 化简求值。 三、 形如：*nnnABCDaaa.常用方法：不动点法。（不动点方程：()xfx）
情形1：1nnABaa型。设是不动点方程的根，得数列 na是以公比为A的等比数列。
情形2：1*nnnABCDaaa型。
设1和2是不动点方程*AxBxCxD的两个根；
（1）当12时，数列n12naa是以12ACAC为公比的等比数列；
（2）当12=时，数列1na是以2*CAD为公差的等差数列。
【推导过程：递推式为an+1=dcabaann（c 0,a,b,c,d为常数）型的数列
an+1－=dcabaann－=dcacadbacann))((，令＝－cadb，可得＝dcba ……（1）。（1）是an+1=dcabaann中的an，an+1都换成后的不动点方程。
求数列通项公式的方法总结(强烈推荐)
求数列{an}通项公式的方法
1．1na=na+)(nf型
累加法：
na=（na－1na）+（1na－2na）+…+（2a－1a）+1a
=)1(nf+)2(nf+…+)1(f+1a
例1.已知数列{na}满足1a=1，1na=na+n2（n∈N+），求na.
[解] na=na－1na+1na－2na+…+2a－1a+1a
=12n+22n+…+12+1
"
=2121n=n2－1
∴na=n2－1 （n∈N+） 3．1na=pna+q 型（p、q为常数）
方法：（1）1na+1pq=)1(pqapn，
再根据等比数列的相关知识求na.
（2）1na－na=)(1nnaap
再用累加法求na.
（3）11nnpa=nnpa+1npq，先用累加法求nnpa再求na.
例3.已知{na}的首项1a=a（a为常数），na=21na+1（n∈N+，n≥2），求na.
【
[解] 设na－λ=2（1na－λ），则λ=－1
∴na+1=2（1na+1）
∴{1na}为公比为2的等比数列.
∴na+1=（a+1）·12n
∴na=（a+1）·12n－1
2．)(1ngaann型
累乘法：na=1nnaa·21nnaa…12aa·1a
例2.已知数列{na}满足naann1（n∈N+），1a=1，求na.
【
[解] na=1nnaa·21nnaa…12aa·1a
=（n－1）·（n－2）…1·1=（n－1）！
∴na=（n－1）！ （n∈N+） 4．1na=pna+)(nf型（p为常数）
方法：变形得11nnpa=nnpa+1)(npnf，
则{nnpa}可用累加法求出，由此求na.
例4.已知{na}满足1a=2，1na=2na+12n.求na.
求数列通项公式方法归纳(十种方法)
求数列通项公式方法归纳(十种方法)
求数列通项公式方法归纳
一、公式法
【例1】 已知数列{an}满足，，求数列{an}的通项公式。
，则，故数列{是
2222222
aan323以1为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，
22222
31
所以数列{an}的通项公式为。
22
解：两边除以，得
an
二、累加法
【例2】 已知数列{an}满足，，求数列{an}的通项公式。 解：由得则
2
1
2
所以数列{an}的通项公式为。
【例3】在数列{an}中，
，求通项公式an.
解：原递推式可化为：
11
1
1n
则
2
,
13 1n
13
1
4，……，
1
逐项相加得：
1n
. 故
1n
.
【例4】 已知数列{an}满足，，求数列{an}的通项公式。 解：由得则 所以
【例5】已知数列{an}满足，，求数列{an}的通项公式。 解：两边除以，得则
an3
n
23
13
，
an3
n
23
13
，故
an3
n
an323
n
n
1313
n
a23
2
a13
a13
3
13
23
33
13
2
33
1
1
因此
an3
n
23
n
n
n
2n3
12
n
，
则
12
.
【例6】在数列中，且，求通项an.
2
2
【小练】：已知
{an}
满足
1
求{an}的通项公式。
*
，
已知
{an}
的首项
，
n
（）求通项公式。
an
数列求通项公式及求和的方法
数列求通项公式及求和的方法
数列是指按照一定规律排列的一组数。解决数列问题，首先需要找到数列的通项公式，然后可以利用通项公式求出数列的各项，再利用求和公式求出数列的和。
找到数列的通项公式的方法有多种，常见的方法包括等差数列的通项公式和等比数列的通项公式。
一、等差数列的通项公式及求和方法
等差数列是指数列中的每一项与它前一项的差值相等的数列。我们可以通过数列中的两项之间的关系来求出等差数列的通项公式。设等差数列的第一项为a₁，公差为d，第n项为aₙ，则等差数列的通项公式为：aₙ=a₁+(n-1)d。
求等差数列的和，我们可以利用求和公式。设等差数列的第一项为a₁，公差为d，共有n项，其中首项为a₁，末项为aₙ，求和公式为：Sn=n/2*(a₁+aₙ)。
二、等比数列的通项公式及求和方法
等比数列是指数列中的每一项与它前一项的比值相等的数列。我们可以通过数列中的两项之间的关系来求出等比数列的通项公式。设等比数列的第一项为a₁，公比为q，第n项为aₙ，则等比数列的通项公式为：aₙ=a₁*q^(n-1)。
求等比数列的和，我们可以利用求和公式。设等比数列的第一项为a₁，公比为q，共有n项，其中首项为a₁，末项为aₙ，求和公式为：Sn=a₁(q^n-1)/(q-1)。 除了等差数列和等比数列之外，还有其他种类的数列，如等差数列与等比数列交替出现的数列、斐波那契数列等。这些数列有着特定的规律，可以通过观察数列中的数字之间的关系来确定其通项公式和求和公式。
在实际应用中，数列的求通项公式和求和公式可以帮助我们计算数列的任意项和总和，进而解决与数列相关的问题。在数学、物理、经济等领域中，数列经常被运用到，掌握数列的通项公式和求和公式对于解决实际问题非常重要。
总结起来，数列问题的解决方法主要包括找到数列的通项公式和求和公式。通过运用这些公式，我们可以计算数列的任意项和总和，进而解决与数列相关的问题。而在确定通项公式和求和公式时，我们可以通过观察数列中的数字之间的关系来推导，常见的数列类型包括等差数列、等比数列等。掌握数列的求解方法可以帮助我们更好地理解数学问题，提高解决问题的能力。
史上最全的数列通项公式的求法13种
最全的数列通项公式的求法
数列是高考取的要点内容之一，每年的高考题都会观察到，小题一般较易，大题一般较难。而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中特别重要。本文给出了求数列通项公式的常用方法。 一、直接法 依据数列的特点，使用作差法等直接写出通项公式。 二、公式法 ①利用等差数列或等比数列的定义求通项
② 若 已 知 数 列 的 前 n 项 和 Sn 与 an 的 关 系 ， 求 数 列 an 的 通 项 an 可 用 公 式
an S1 n 1
Sn Sn 1 n 求解 .
2 (注意：求完后必定要考虑归并通项 )
( 1) n , n 1 ．求数列 an 的通项公式 .
例 2．①已知数列 an 的前 n 项和 Sn 知足 Sn 2an
②已知数列 an 的前 n 项和 Sn 知足 Sn n2 n 1，求数列 an 的通项公式 .
③ 已知等比数列 an 的首项 a1 1，公比 0 q 1，设数列 bn 的通项为 bn an 1 an 2 ，
求数列 bn 的通项公式。
③ 分析：由题意， bn 1 an 2 an 3 ，又 an 是等比数列，公比为 q
∴ bn 1 an 2 an 3 q，故数列 bn 是等比数列， b1 a2 a3 a1q a1q2 q(q 1) ，
bn an 1 an 2
∴ bn q(q 1) qn 1 qn (q 1)
三、概括猜想法
假如给出了数列的前几项或能求出数列的前几项，我们能够依据前几项的规律，概括猜想
出数列的通项公式，而后再用数学概括法证明之。也能够猜想出规律，而后正面证明。
四、累加（乘）法
关于形如 an 1an f ( n) 型或形如 an 1 f (n)an 型的数列，我们能够依据递推公式，写出 n
求数列通项的方法总结
求数列通项的方法总结
数列通项是指数列中任意一项与该数列的序号之间的关系。求解数列通项的方法主要有以下几种：
1. 直接法：根据数列中的一些已知条件和特点，直接推导出通项公式。例如，对于等差数列an=a1+(n-1)d，其中a1是第一项，d是公差，n是序号。如果已知数列的首项和公差，可以直接根据该式求解通项。
2. 递推法：对于一些递推数列，可以通过前一项与后一项之间的关系来推导出通项公式。例如，斐波那契数列an=an-1+an-2，其中a1=a2=1，可以通过递推法求解出通项公式。
3. 求和法：对于一些数列，可以通过对数列进行求和，从而得到通项公式。例如，等差数列和公式Sn=(a1+an)×n/2，其中Sn是数列前n项的和，a1是首项，an是最后一项。通过反过程进行推导，可以求得通项。
4. 差分法：对于一些数列，可以通过数列中相邻项的差值与序号之间的关系来推导出通项公式。例如，对于二次数列an=n^2，可以通过差分法求解出通项公式an=n^2-n+1
5. 代数法：对于一些复杂的数列，可以通过代数运算和方程求解的方法来得到通项公式。例如，对于给定的数列an=2^(n-1)，可以通过代数法将an的表达式进行推导。
总之，求解数列通项的方法因数列的性质和特点而异。不同的数列可能需要不同的方法来求解，常用的方法包括直接法、递推法、求和法、差分法和代数法等。在实际问题中，根据数列的已知条件和特点选择适当的方法可以更快地求解出数列的通项。
数列通项公式的求法(较全)【范本模板】
不同的信念，决定不同的命运 常见数列通项公式的求法
公式:
1、 定义法
若数列是等差数列或等比数列，求通公式项时,只需求出1a与d或1a与q,再代入公式dnaan11或11nnqaa中即可.
例1、成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2，5，13后成为等比数列nb的345,,bbb，求数列nb的的通项公式.
练习:数列na是等差数列，数列nb是等比数列，数列nc中对于任何*nN都有1234127,0,,,,6954nnncabcccc分别求出此三个数列的通项公式。
不同的信念，决定不同的命运 2、 累加法
形如nfaann11a已知型的的递推公式均可用累加法求通项公式.
（1） 当fnd为常数时，na为等差数列,则11naand；
（2） 当fn为n的函数时，用累加法。
方法如下：由nfaann1得
当2n时,11nnaafn,
122nnaafn,
322aaf，
211aaf，
以上1n个等式累加得
11+221naafnfnff
1naa1+221fnfnff
（3）已知1a,nfaann1，其中fn可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数,求通项。
①若fn可以是关于n的一次函数,累加后可转化为等差数列求和;
②若fn可以是关于n的二次函数，累加后可分组求和；
③若fn可以是关于n的指数函数,累加后可转化为等比数列求和；
④若fn可以是关于n的分式函数，累加后可裂项求和求和。
例2、数列na中已知111,23nnaaan， 求na的通项公式.
练习1:已知数列na满足11322,.nnnaanaa且求