2.6数列通项公式的求法
数列通项公式方法大全很经典
1,数列通项公式的十种求法：之邯郸勺丸创作（1）公式法（机关公式法）例 1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯,12a =,求数列{}n a 的通项公式.解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +,得113222n n n n a a ++=+,则113222n n n n a a ++-=,故数列{}2n n a 是以1222a 11==为首项,以23为公役的等差数列,由等差数列的通项公式,得31(1)22n n a n =+-,所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-. 评注：本题解题的关头是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=,说明数列{}2nn a 是等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-,进而求出数列{}n a 的通项公式. （2）累加法例 2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，,求数列{}n a 的通项公式.解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =.评注：本题解题的关头是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+,进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+,即得数列{}n a 的通项公式.变式：已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+⨯+=，,求数列{}n a 的通项公式.（3）累乘法例3已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，,求数列{}n a 的通项公式.解：因为112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，,所以0n a ≠,则12(1)5n n na n a +=+,故1321122112211(1)(2)21(1)12[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=⋅⋅⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯评注：本题解题的关头是把递推关系12(1)5n n n a n a +=+⨯转化为12(1)5n n n a n a +=+,进而求出13211221n n n n a aa a a a a a a ---⋅⋅⋅⋅⋅,即得数列{}n a 的通项公式.变式：已知数列{}n a 满足11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥，,求{}n a 的通项公式.（4）待定系数法例4已知数列{}n a 满足112356n n n a a a +=+⨯=，,求数列{}n a 的通项公式. 解：设1152(5)n n n n a x a x +++⨯=+⨯④将1235n n n a a +=+⨯代入④式,得12355225n n n n n a x a x ++⨯+⨯=+⨯,等式两边消去2n a ,得135525n n n x x +⋅+⋅=⋅,两边除以5n ,得352,1,x x x +==-则代入④式得1152(5)n n n n a a ++-=-⑤由1156510a -=-=≠及⑤式得50nn a -≠,则11525n n nn a a ++-=-,则数列{5}nna -是以1151a -=为首项,以2为公比的等比数列,则152n n n a --=,故125n n n a -=+.评注：本题解题的关头是把递推关系式1235n n n a a +=+⨯转化为1152(5)n n n n a a ++-=-,从而可知数列{5}n n a -是等比数列,进而求出数列{5}n n a -的通项公式,最后再求出数列{}n a 的通项公式.变式：①已知数列{}n a 满足1135241n n n a a a +=+⨯+=，,求数列{}n a 的通项公式.②已知数列{}n a 满足21123451n n a a n n a +=+++=，,求数列{}n a 的通项公式.（5）对数变换法例5已知数列{}n a 满足5123n n n a a +=⨯⨯,17a =,求数列{}n a 的通项公式.解：因为511237n n n a a a +=⨯⨯=，,所以100n n a a +>>，.在5123n n na a +=⨯⨯式两边取经常使用对数得1lg 5lg lg3lg2n n a a n +=++⑩ 设1lg (1)5(lg )n n a x n y a xn y ++++=++○11将⑩式代入○11式,得5lg lg3lg2(1)5(lg )n n a n x n y a xn y +++++=++,两边消去5lg n a 并整理,得(lg3)lg 255x n x y xn y ++++=+,则lg35lg 25x x x y y +=⎧⎨++=⎩,故lg 34lg 3lg 2164x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入○11式,得1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (1)5(lg )41644164n n a n a n +++++=+++○12 由1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg 1lg 71041644164a +⨯++=+⨯++≠及○12式, 得lg 3lg 3lg 2lg 04164n a n +++≠, 则1lg3lg3lg 2lg (1)41645lg3lg3lg 2lg 4164n n a n a n +++++=+++, 所以数列lg 3lg 3lg 2{lg }4164n a n +++是以lg 3lg 3lg 2lg 74164+++为首项,以5为公比的等比数列,则1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (lg 7)541644164n n a n -+++=+++,因此1111111116164444111111161644441111111616444455514lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (lg 7)54164464(lg 7lg 3lg 3lg 2)5lg 3lg 3lg 2[lg(7332)]5lg(332)lg(7332)5lg(332)lg(733n n n n n n n n n n n n a n ---------=+++---=+++---=⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅⋅-⋅⋅=⋅⋅1115116454151511642)lg(732)n n n n n -------⋅=⋅⋅则11541515164732n n n n n a -----=⨯⨯.评注：本题解题的关头是通过对数变换把递推关系式5123n n na a +=⨯⨯转化为1lg 3lg 3lg 2lg 3lg 3lg 2lg (1)5(lg )41644164n n a n a n +++++=+++,从而可知数列lg 3lg 3lg 2{lg }4164n a n +++是等比数列,进而求出数列lg 3lg 3lg 2{lg }4164n a n +++的通项公式,最后再求出数列{}n a 的通项公式.（6）数学归纳法例6已知数列{}n a 满足11228(1)8(21)(23)9n n n a a a n n ++=+=++，,求数列{}n a 的通项公式. 解：由1228(1)(21)(23)n n n a a n n ++=+++及189a =,得由此可猜测22(21)1(21)n n a n +-=+,往下用数学归纳法证明这个结论.（1）当1n =时,212(211)18(211)9a ⨯+-==⨯+,所以等式成立. （2）假设当n k =时等式成立,即22(21)1(21)k k a k +-=+,则当1n k =+时,由此可知,当1n k =+时等式也成立.按照（1）,（2）可知,等式对任何*n N ∈都成立.评注：本题解题的关头是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项,进而猜出数列的通项公式,最后再用数学归纳法加以证明. （7）换元法例7已知数列{}n a 满足111(14116n n a a a +=++=，,求数列{}n a 的通项公式.解：令n b 则21(1)24n n a b =- 故2111(1)24n n a b ++=-,代入11(1416n n a a +=++得 即2214(3)n n b b +=+因为0n b =≥,故10n b +=≥ 则123n n b b +=+,即11322n n b b +=+, 可化为113(3)2n n b b +-=-,所以{3}n b -是以13332b -===为首项,以21为公比的等比数列,因此121132()()22n n n b ---==,则21()32n n b -=+,即21()32n -=+,得2111()()3423n n n a =++. 评注：n b ,使得所给递推关系式转化11322n n b b +=+形式,从而可知数列{3}n b -为等比数列,进而求出数列{3}n b -的通项公式,最后再求出数列{}n a 的通项公式. （8）不动点法例8已知数列{}n a 满足112124441n n n a a a a +-==+，,求数列{}n a 的通项公式.解：令212441x x x -=+,得2420240x x -+=,则1223x x ==，是函数2124()41x f x x -=+的两个不动点.因为112124224121242(41)13262132124321243(41)92793341n n n n n n n nn n n n n n a a a a a a a a a a a a a a ++---+--+--====----+---+.所以数列23n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是以112422343a a --==--为首项,以913为公比的等比数列,故12132()39n n n a a --=-,则113132()19n n a -=+-.评注：本题解题的关头是先求出函数2124()41x f x x -=+的不动点,即方程212441x x x -=+的两个根1223x x ==，,进而可推出112213393n n n n a a a a ++--=⋅--,从而可知数列23n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭为等比数列,再求出数列23n n a a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭的通项公式,最后求出数列{}n a 的通项公式. 例9已知数列{}n a 满足1172223n n n a a a a +-==+，,求数列{}n a 的通项公式.解：令7223x x x -=+,得22420x x -+=,则1x =是函数31()47x f x x -=+的不动点.因为17255112323n nn n n a a a a a +---=-=++,所以 2111()()3423n n n a =++. 评注：n b ,使得所给递推关系式转化11322n n b b +=+形式,从而可知数列{3}n b -为等比数列,进而求出数列{3}n b -的通项公式,最后再求出数列{}n a 的通项公式. 课后习题：1，的一个通项公式是（ ） A、n a、n a =、n a =、n a =2．已知等差数列{}n a 的通项公式为32n a n =- , 则它的公役为（ ） A 、2 B 、3 C 、2-D 、3- 3．在等比数列}{n a 中,,8,1641=-=a a 则=7a （ ） A 、4-B 、4±C 、2-D 、2±4．若等比数列{}n a 的前项和为n S ,且1010=S ,3020=S ,则=30S 5．已知数列{}n a 通项公式3102+-=n n a n ,则该数列的最小的一个数是6．在数列{an}中,112a =且()11nn nna a n N n a *+=∈+-,则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前99项和等于．7．已知}{n a 是等差数列,其中131a =,公役8d =-. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）数列}{n a 从哪一项开始小于0？（3）求数列}{n a 前n 项和的最大值,并求出对应n 的值． 8．已知数列{}n a 的前项和为132++=n n S n , （1）求1a 、2a 、3a 的值； （2）求通项公式n a .9．等差数列{}n a 中,前三项辨别为45,2,-x x x ,前n 项和为n S ,且2550=k S .（1）、求x 和k 的值；（2）、求n T =nS S S S 1111321++++ ; 数列等差数列与等比数列的有关知识比较一览表求数列{an}通项公式的办法求数列{an}的前n 项和的办法,具有这样特点的数列．n a +1)[(1)a n +++-把项的次序反过来,则：)[(n d a -++-()111()()n n n n a a a a a a ++++++个1()n n a a +1()2n n a a + 2n +3n +2)n +2 （4）分组化归法此办法主要用于无法整体求和的数列写成等比、等差等我们熟悉的数列辨别进行求和1(n nx -+Sn=1+2+3+…+n = 2123n x x nx -++++3n nx +++…+n n nx x --1112n -+1122n -=- 11)24+++11)2n -+21)(2)2+-11(2)2n -+-1111(1)242n --++++1122n --+（）裂项相消法11n na a -+(1)n -+-N+)时,(57)+-+[(43)(4k +--2k n -=-1()k N +∈时22k k S a -=首项为a1,1111n na a -++1()k kk k a d a d a a d +-+11)k a +- 31)a - 11(n d a -+111111[((n d a a a --+-1111(nd a a -。
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评注：本题解题的关键是把递推关系式 an1 an 2n 1 转化为 an1 an 2n 1 ，进而 求出 (an an1) (an1 an2 ) (a3 a2 ) (a2 a1) a1 ，即得数列{an}的通项公式。
变式：已知数列{an}满足 an1 an 2 3n 1，a1 3 ，求数列{an}的通项公式。
（3）累乘法
例 3 已知数列{an}满足 an1 2(n 1)5n an，a1 3 ，求数列{an}的通项公式。
解：因为 an1
2(n 1)5n
an，a1
3 ，所以 an
0
，则
an1 an
2(n 1)5n ，故
an
an an1
an1 an2
a3 a2
a2 a1
a1
[2(n 11)5n1][2(n 2 1)5n2 ][2(2 1) 52 ][2(11) 51] 3
变式：
①已知数列{an}满足 an1 3an 5 2n 4，a1 1，求数列{an}的通项公式。
②已知数列{an}满足 an1 2an 3n2 4n 5，a1 1，求数列{an}的通项公式。
（5）对数变换法
例 5 已知数列{an}满足 an1 2 3n an5 ， a1 7 ，求数列{an}的通项公式。 解：因为 an1 2 3n an5，a1 7 ，所以 an 0，an1 0 。在 an1 2 3n an5 式两边取 常用对数得 lg an1 5 lg an n lg 3 lg 2 ⑩
an1 5n1 2(an 5n )
⑤
由 a1
51
65 1
0 及⑤式得 an
5n
0 ，则
an1 an
数列通项公式和前n项和求解方法(有针对训练)
专题一：数列通项公式的求法 一．观察法（关键是找出各项与项数n 的关系.）例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，… （2） ,52,21,32,1一、 公式法公式法1：特殊数列公式法2： 知n s 利用公式 ⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n s a n n n例2：已知数列}{n a 的前n 项和n S 的公式12-+=n n S n ，求}{n a 的通项公式.例3：已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝13(a n －1)(n ∈N *)． (1)求a 1，a 2；(2)求证：数列{a n }是等比数列．三、 累加法 【型如)(1n f a a n n +=+的递推关系】简析：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;③若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得。
例： 若在数列{}n a 中，31=a ，n n n a a 21+=+，求通项n a例4：已知数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.四、累乘法 【 形如1+n a =f (n)·n a 型】（1）当f(n)为常数，即：q a a nn =+1（其中q 是不为0的常数），此时数列为等比数列，n a =11-⋅n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法.例5：在数列｛n a ｝中，1a =1, n n a n a n ⋅=⋅++1)1( ，求n a 的表达式.五、构造特殊数列法 【形如0(,1≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型】（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{n a }为等比数列;（3）若01≠≠且d c 时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求.方法如下：设)(1λλ+=++n n a c a ,得λ)1(1-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得)0(,1≠-=c c d λ， 所以：)1(11-+=-+-c d a c c d a n n ,即⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1c d a n 构成以11-+c d a 为首项，以c 为公比的等比数列. 例6：已知数}{n a 的递推关系为121+=+n n a a ，且11=a 求通项n a .六、迭代法【一般是递推关系含有的项数较多】例7：（1）数列{n a }满足01=a ,且)1(2121-=++++-n a a a a n n ,求数列{a n }的通项公式.解析：由题得 )1(2121-=++++-n a a a a n n ①2≥n 时， )2(2121-=+++-n a a a n ②由①-②得⎩⎨⎧≥==2,21,0n n a n .（2）数列{n a }满足11=a ,且2121n a a a a n n =⋅⋅- ，求数列{n a }的通项公式。
高考数学 常见题型解法归纳反馈训练 第36讲 数列通项
第36讲 数列通项的求法一（归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法）【知识要点】一、数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项n a 和项数n 之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.即()n a f n =.不是每一个数列都有通项公式.不是每一个数列只有一个通项公式. 二、数列的通项的常见求法：通项五法1、归纳法：先通过计算数列的前几项，再观察数列中的项与系数，根据n a 与项数n 的关系，猜想数列的通项公式，最后再证明.2、公式法：若在已知数列中存在：)0(,)(11≠==-++q q a a d a a nn n n 或常数的关系，可采用求等差数列、等比数列的通项公式的求法，确定数列的通项；若在已知数列中存在：)()(n f S a f S n n n ==或的关系，可以利用项和公式11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求数列的通项.3、累加法：若在已知数列中相邻两项存在：1()(2)n n a a f n n --=≥的关系，可用“累加法”求通项.4、累乘法：若在已知数列中相邻两项存在：1()(2)nn a g n n a -=≥的关系，可用“累乘法”求通项. 5、构造法：(见下一讲) 【方法讲评】【例1】在数列{n a }中，16a =，且111n n n a a n n---=++*(,2)n N n ∈≥， （1）求234,,a a a 的值；（2）猜测数列{n a }的通项公式，并用数学归纳法证明.【点评】（1）本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n 项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明.（2）归纳法在主观题中一般用的比较少，一是因为它要给予严格的证明，二是有时数列的通项并不好猜想.如果其它方法实在不行，再考虑利用归纳法.【反馈检测1】在单调递增数列{}n a 中，11a =，22a =，且21221,,n n n a a a -+成等差数列，22122,,n n n a a a ++成等比数列，1,2,3,n =．（1）分别计算3a ，5a 和4a ，6a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式（将n a 用n 表示）；（3）设数列1{}n a 的前n 项和为n S ，证明：42n n S n <+，n *∈N ．【例2】已知数列{}n a ，n S 是其前n 项的和，且满足21=a ，对一切*∈N n 都有2321++=+n S S n n 成立，设n a b n n +=．（1）求2a ；（2）求证：数列{}n b 是等比数列； （3）求使814011121>+⋅⋅⋅++n b b b 成立的最小正整数n 的值．【点评】利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项. 【反馈检测2】已知等比数列{n a }中，164a =,公比1q ≠,234,,a a a 又分别是某等差数列的第7项，第3项，第1项.(1)求n a ；(2)设2log n n b a =,求数列{||}n b 的前n 项和n T .【例3】数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，12n n a S += ( n ∈N *),求{n a }的通项公式.【点评】（1）已知)()(n f S a f S n n n ==或，一般利用和差法.如果已知1()n n S f a +=1()n f a -或也可 以采用和差法.（2）利用此法求数列的通项时，一定要注意检验1n =是否满足，能并则并，不并则分.【例4】已知函数x x x f 63)(2+-= ，n S 是数列}{n a 的前n 项和，点(,)n n S （n N *∈）在曲线)(x f y =上.（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）若1)21(-=n n b ，6nn n b a c ∙=，且n T 是数列}{n c 的前n 项和. 试问n T 是否存在最大值？若存在，请求出n T 的最大值；若不存在，请说明理由.【解析】（Ⅰ）因为点(,)n n S 在曲线)(x f y =上，又x x x f 63)(2+-=，所以n n S n 632+-=.当1n =时，311==S a .当1n >时，221(36)[3(1)6(1)]96n n n a S S n n n n n -=-=-+---+-=-所以n a n 69-=.（Ⅱ）因为111(96)()1112(),(32)()2662n n n n n n n n b c a b n ---====- ①所以 231111(1)()(3)()(32)(),2222n n T n =+-+-++- ②234111111()(1)()(3)()(32)(),22222n n T n +=+-++-++- ③ ②－③得 132)21)(23()21)(2()21)(2()21)(2(2121+---++-+-+=n n n n T112)21)(23(211])21(1[)21()2(21+-----=-+=n n n .整理得1)21)(12(-+=n n n T ， ④ 方法一 利用差值比较法由④式得1)21)(32(11-+=++n n n T ，所以111111(23)()(21)()[(23)()(21)]()22223111[(21)]()()().2222nn n n n n nT T n n n n n n n ++-=+-+=+-+=+-+=-因为1≥n ，所以021<-n . 又0)21(>n ，所以01<-+n n T T 所以n n T T <+1，所以 >>>>>>+1321n n T T T T T . 所以T n 存在最大值11.2T =方法三 利用放缩法由①式得0)21)(21()21)](1(23[111<-=+-=+++n n n n n c ，又因为n T 是数列}{n c 的前n 项和， 所以n n n n T c T T <+<++11. 所以 >>>>>>+1321n n T T T T T 所以n T 存在最大值211=T . 【反馈检测3】已知数列{n a }的前n 项和14122333n n n S a +=-⨯+(1,2,3,4n =⋅⋅⋅)，求{n a }的通项公式.【例4】已知数列{}n a ，{}n b ，11=a ，112--+=n n n a a ，111+-+=n n n n a a a b ，n S 为数列{}n b 的前n 项和，nT 为数列{}n S 的前n 项和.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n S ；（3）求证：312->n T n . 【解析】（1）法一：112--+=n n n a a 112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=∴--- ，122121122221-=--=++++=--n nn n【点评】（1）本题11n n a a n --=-，符合累加法的使用情景1()(2)n n a a f n n --=≥，所以用累加法求数列的通项.（2）使用累加法时，注意等式的个数，是1n -个，不是n 个.【反馈检测4】已知数列{}n a 满足112313nn n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式.【例5】已知数列{}n a 满足n n n a a n n a a 求,1,3211+==+【点评】（1）由已知得,11+=+n n a a n n 符合累乘法求数列通项的情景，所以使用累乘法求该数列的通项.（2）使用累乘法求数列的通项时，只要写出1n -个等式就可以了，不必写n 个等式.【反馈检测5】 已知数列{}n a 满足112(1)53nn n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第36讲：数列通项的求法一（归纳法、定义法、公式法、累加法、累乘法）参考答案【反馈检测1答案】33a =，56a =，492a =，68a =.①当1=n 时，21111a a ⨯-==，221222a ⨯==，猜想成立； ②假设(1,*)n k k k N =≥∈时，猜想成立，即21(1)2k k k a -+=,22(1)2k k a +=，那么 []22(1)121221(1)(1)1(1)(1)22222k k k k k k k k k a a a a +-+-+++++==-=⨯-=,[][]2222212(1)2222(1)(2)(1)1(2)222(1)2k k k kk k k a k a a a k ++++++++=====+ ∴1+=k n 时，猜想也成立．由①②，根据数学归纳法原理，对任意的*n N ∈，猜想成立．∴当n 为奇数时，8)3)(1(212121++=⎪⎭⎫⎝⎛+++=n n n n a n ；当n 为偶数时，8)2(21222+=⎪⎭⎫⎝⎛+=n n a n ．即数列}{n a 的通项公式为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,8)2(,8)3)(1(2．（方法2）由（2）得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=为偶数为奇数n n n n n a n ,)2(8,)3)(1(812． 以下用数学归纳法证明24+<n nS n ，*n N ∈． ①当1=n 时，2114341111+⨯=<==a S ； 当2=n 时，222422321111212+⨯=<=+=+=a a S ．∴2,1=n 时，不等式成立．②假设)2(≥=k k n 时，不等式成立，即24+<k k S k ， 那么，当k 为奇数时， 211)3(8241+++<+=++k k k a S S k k k 22)3)(2(83)1(431)3(2243)1(4++-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-++++++=k k k k k k k k k k k 2)1()1(4+++<k k ； 当k 为偶数时， )4)(2(824111++++<+=++k k k k a S S k k k )4)(3)(2(83)1(431)4)(2(2243)1(4+++-++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-+++++++=k k k k k k k k k k k k k 2)1()1(4+++<k k ．∴1+=k n 时，不等式也成立． 综上所述：42n n S n <+ 【反馈检测2答案】（1）1164()2n n a -=⨯；(2) n T =⎪⎩⎪⎨⎧>+--≤-).7(212)6)(7(),7(2)13(n n n n n n .【反馈检测3答案】42n n n a =-【反馈检测4答案】3 1.n n a n =+-【反馈检测4详细解析】由1231n n n a a +=+⨯+得1231n n n a a +-=⨯+则11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+1221(231)(231)(231)(231)3n n --=⨯++⨯+++⨯++⨯++12212(3333)(1)3n n n --=+++++-+13(13)2(1)313n n --=+-+-3313n n =-+-+31n n =+- 所以3 1.n n a n =+- 【反馈检测5答案】(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯【反馈检测5详细解析】因为112(1)53n n n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则12(1)5n n n a n a +=+， 故13211221n n n n n a a a a a a a a a a ---=⋅⋅⋅⋅⋅ 1221[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]3n n n n --=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯1(1)(2)212[(1)32]53n n n n n --+-+++=-⋅⋅⨯⨯⨯ (1)12325!n n n n --=⨯⨯⨯所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯。
求数列通项公式的三种技巧
解题宝典数列是高中数学的一个重要内容，求数列的通项公式是一类常见的题型.一般来说，常规的等差、等比数列的通项公式问题很容易求解，本文主要探讨一下非常规的等差、等比数列的通项公式问题的求法.一、累乘法累乘法主要适用于解答递推式形如a n +1=f ()n ×a n 或a n +1a n=f ()n 的数列问题.在解题时，我们需要把n =1,2,3,…,n 时的项都写出来，然后通过累乘，将中间的部分项约分，得到a n 或a n +1的表达式，进而求得数列的通项公式.例1.已知数列{}a n 满足a n +1=2()n +15n×a n ，a 1=3，求数列{}a n 的通项公式.分析:通过观察与分析，已知递推式a n +1an=2()n +15n ,可以运用累乘法来解题，将n 个式子累乘可得a n =a n a n -1∙an -1a n -2∙⋯∙a 3a 2a 2a 1∙a 1，化简即可得到数列{}a n 的通项公式.解:显然a n ≠0，将a n +1=2()n +15n×a n 变形可得a n +1a n=2()n +15n ，又a 1=3，所以a n =a n a n -1∙a n -1a n -2∙⋯∙a 3a 2a 2a 1∙a 1=[]2()n -1+15n -1[]2()n -2+15n -2⋯[]2()2+1×52[]2()1+1×51×3=2n -1[n ()n -1⋯3×2]×5()n -1+()n -2+⋯+2+1×3=3×2n -1×5n ()n -12×n !，因此，数列{}a n 的通项公式为：a n =3×2n -1×5n ()n -12×n !.二、待定系数法待定系数法是指将一个多项式表示成另一种含有待定系数的形式，然后根据恒等式的性质，建立系数应满足的方程或方程组，通过解方程或方程组求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式.在运用待定系数法求数列的通项公式时，可根据已知递推式的结构、特点设出待定系数，构造出等差或者等比数列的通项，然后利用等差、等比数列的通项公式求得数列的通项公式.例2.在数列{}a n 中,a 1=1,a 2=2,a n +2=23a n +1+13an，求数列{}a n 的通项公式.分析:该数列的递推式中含有三项，较为复杂，需运用待定系数法来解题.通过引入待定系数，构造等比数列，将问题转化为等比数列的通项公式问题来求解.解:设a n +2-λ1a n -1=λ2()a n -1-λ1a n ，即a n +2=(λ1+λ2)a n -1-λ1λ2a n ,而a n +2=23a n +1+13a n ，∴ìíîïïλ1+λ2=23,-λ1λ2=13,解得ìíîïïλ1=1，λ2=-13，∴数列{a n +1-a n }是一个公比为-13的等比数列，∵a 1=1，a 2=2，∴a 2-a 1=1，∴a n +1-a n =æèöø-13n -1，a n =(a n -a n -1)+(a n -1-a n -2)+(a n -2-a n -3)+…+(a 3-a 2)+(a 2-a 1)+a 1=æèöø-13n -2+æèöø-13n -3+æèöø-13n -4+…+æèöø-132+æèöø-131+1=74-34æèöø-13n -1.∴数列{}a n 的通项公式是a n =74-34æèöø-13n -1.三、利用S n 与a n 的关系我们知道，S n 与a n 的关系为a n ={S n ，n =1S n -S n -1，n ≥2.对于递推式中同时含有S n 与a n 的题目，我们就可以直接利用S n 与a n 的关系来解题.首先，分别列出S n ,S n -1的表达式，然后作差，求得出a n 数列通项，再令n =1，验证首项是否满足该关系式，最终得出数列的通项公式.例3.已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，S n =n 3+n -1，求数列{}a n 的通项公式.分析：本题可直接利用S n 与a n 的关系进行求解，需分n =1和n ≥2两种情况进行讨论.解:当n ≥2时,a n =S n -S n -1=()n 3+n -1-[()n -13+]()n -1-1=3n 2-3n +2,当n =1时，a 1=S 1=1，不满足上式，所以{}a n 的通项公式是a n =ìíî1()n =1，3n 2-3n +2()n ≥2.总之，对于非常规的等差、等比数列的通项公式问题，解题的关键是观察已知递推式的结构、特点，结合已知项、前n 项和公式找出数列中各项的规律，或通过引入待定系数，将问题转化为常规的等差、等比数列，或易于求解的数列问题来求解.（作者单位：江苏省淮安市新马高级中学）林佩华39。
(完整版)数列通项公式方法大全很经典
1，数列通项公式的十种求法：（1）公式法（构造公式法）例1 已知数列{}n a 满足1232nn n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232nn n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2nna 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222nn a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232nn n a a +=+⨯转化为113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。
（2）累加法例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则112322112()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)12[(1)(2)21](1)1(1)2(1)12(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n nn n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-++-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。
高中数学必须掌握的十种数列通项公式的解题方法和典型例题
高中数学必须掌握的十种数列通项公式的解题方法和典型例题
在高考中数列部分的考查既是重点又是难点，不论是选择题或填空题中对基础知识的考查，还是压轴题中与其他章节知识的综合，抓住数列的通项公式通常是解题的关键和解决数列难题的瓶颈。
求通项公式也是学习数列时的一个难点。
由于求通项公式时渗透多种数学思想方法，因此求解过程中往往显得方法多、灵活度大、技巧性强。
通项公式普通的求法：
（1）构造等比数列：凡是出现关于后项和前项的一次递推式都可以构造等比数列求通项公式；
（2）构造等差数列：递推式不能构造等比数列时，构造等差数列；
（3）递推：即按照后项和前项的对应规律，再往前项推写对应式。
已知递推公式求通项常见方法：
①已知a1=a,a n+1=qa n+b,求a n时，利用待定系数法求解，其关键是确定待定系数λ，使a n+1+λ=q(a n+λ)进而得到λ。
②已知a1=a,a n=a n-1+f(n)(n≥2),求a n时，利用累加法求解，即
a n=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n-a n-1)的方法。
③已知a1=a,a n=f(n)a n-1(n≥2)，求a n时，利用累乘法求解。
非常实用的十大解题方法及典型例题
方法一数学归纳法
方法二 Sn 法
方法三累加法
方法四累乘法
方法五构造法一
方法六构造法二
方法七构造法三
方法八构造法四
方法九构造五
方法十构造六。
数列通项公式及数列求和的常用方
数列通项公式及数列求和的常用方法邓 飞一．通项公式求法1. 迭乘法：1()n n a a f n += 型例1 已知数列{}n a 满足112(1)53n n n a n a a +=+= ，，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为112(1)53n n n a n a a +=+= ，，所以0n a ≠，则12(1)5n n na n a +=+，故132112211221(1)1(1)(2)2112[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53325!n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n --------+-+++-=⋅⋅⋅⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ 所以数列{}n a 的通项公式为(1)12325!.n n n n a n --=⨯⨯⨯2. 迭加法：1()n n a a f n +=+ 型例2 在数列{n a }中，31=a ,)1(11++=+n n a a n n ，求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n , 则,211112-+=a a 312123-+=a a ，413134-+=a a ，……，n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=. 3. 待定系数法：1n n a pa q +=+ 型――转化为1()n n a x p a x ++=+ 型。
（等比型）例3 已知数列{}n a 满足11236n n a a a +=+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设12()n n a x a x ++=+ 比较系数得3,x = 所以 132(3)n n a a ++=+ 又13639a +=+=，则数列{3}n a +是以9为首项，2为公比的等比数列， 则1392n n a -+= ，故1923n n a -=- 。
通项公式的求法及前n项和公式的求法(强烈推荐)
数列通项公式的求法一、定义法直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目．例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =，即)8()2(1121d a a d a +=+d a d 12=⇒∵0≠d ，∴d a =1…………………………………① ∵255a S =∴211)4(2455d a d a +=⋅⨯+…………② 由①②得：531=a ，53=d∴n n a n 5353)1(53=⨯-+=】点评：利用定义法求数列通项时要注意不用错定义，设法求出首项与公差（公比）后再写出通项。
二、公式法若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-2111n S S n S a n nn 求解。
例2．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足1,)1(2≥-+=n a S n n n ．求数列{}n a 的通项公式。
解：由1121111=⇒-==a a S a当2≥n 时，有,)1(2)(211nn n n n n a a S S a -⨯+-=-=-- 1122(1),n n n a a --∴=+⨯-,)1(22221----⨯+=n n n a a ……，.2212-=a a11221122(1)2(1)2(1)n n n n n a a ----∴=+⨯-+⨯-++⨯-].)1(2[323])2(1[2)1(2)]2()2()2[()1(21211211--------+=----=-++-+--+=n n n nn n n n n经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[3212---+=n n n a 点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-211n S S n S a n nn n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．三、由递推式求数列通项法对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差数列或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列。
数列通项公式的几种常见求法
求解数列通项公式的常用方法数列是高考中的重点内容之一，每年的高考题都会考察到，小题一般较易，大题一般较难。
而作为给出数列的一种形式——通项公式，在求数列问题中尤其重要。
本文给出了求数列通项公式的常用方法。
一． 观察法例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,17164,1093,542,211 （3） ,52,21,32,1（4） ,54,43,32,21--解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……∴通项公式为：110-=nn a（2）;122++=n n n a n （3）;12+=n a n （4）1)1(1+⋅-=+n na n n . 观察各项的特点，关键是找出各项与项数n 的关系。
二、定义法例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2，a 3 = f (d +1)= d 2， ∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ，∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)= q 2，b 3 =f (q －1)=(q －2)2，∴2213)2(q q b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2， ∴b n =b ·q n －1=4·(－2)n －1当已知数列为等差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，只需求得首项及公差公比。
三、 叠加法例3：已知数列6，9，14，21，30，…求此数列的一个通项。