2019年临沂市高考数学第一次模拟试卷(及答案)
2019年山东省临沂市高考数学一模试卷(理科)
2019年山东省临沂市高考数学一模试卷（理科）、选择题：本题共 12小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.C . 6（5分）把函数 尸乩口、的图象上各点的横坐标缩短为原来的的值为（C . 4股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，图中包含四个全等的直角三角形及一个小正方形 图，设AB : BC = 1: 3，若向弦图内随机抛掷 5000颗米粒（大小忽略不计），则落在小正 方形（阴影）内的米粒数大约为（ ）1. （5分）设 ,则z 的虚部是（2. 3.（5分）已知集合 A .(- 1 , 1)U C . (- 1 , 1)U（5分）已知向量 51M =.- |'l+x(1,2]C •- 2i■■ VI=( )B .(- 1, D . (- 1 , 2)2](2, 1), b =( 1, k ),占丄(23-b ),则 k =()再将图象向右平移(x ) 5.(x ) (x ) (x ) 7TTIT 在^上单调递增6 6的图象关于〕 ----- 对称 个单位长度得到函数 g （x ）,则下列说法正确的是（ 的最小正周期为 4 n 的图象关于y 轴对称（5分）已知x , y 满足约束条件，若r7-2< 0 ； x-y41^0 f 若-2y s+y-in^O ,的最大值为 4,则实数m--（纵坐标不变），（5分）赵爽是三国时代的数学家、天文学家，他为《周髀算经》一书作序时,介绍了 “勾 （阴影）.如① 命题 p: . - ■-., -■:■. >- ■-1-■ ICsins+2）dz 的值为 0；③若f （x ）= x 2- ax+1为偶函数，则曲线 y = f （x ）在点（1, =2x .④已知随机变量E 〜N （1, 1）,若P （- 1 v 则P （ 3）= 0.9772.其中真命题的个数是（C .（5分）执行如图所示的程序框图，输出的值为（*5=0, UI=(D7. A . 134 B . 67 C . 200 D . 250（5分）给出下列四个命题: f （1））处的切线方程是 y=0.9544,9. C .■V s （5分）在厶ABC 中，角A , B , C 所对的边分别为 a , b ,c,c = 2 ', bsinA =10. （5分）某几何体的三视图如图所示（俯视图中的虚线为半圆），则该几何体的体积为（5分）函数（X ）=—=寸- 1 T-r ： |_上不单调的一个充分不必要条件是（）A •託B .2 212. （ 5分）F 1, F 2是双曲线C:1 01 b 〉。
山东省临沂市2019-2020学年高考数学一模试卷(理科)(I)卷
山东省临沂市2019-2020学年高考数学一模试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若用列举法表示集合，则下列表示正确的是（）A . {x=3，y=0}B . {（3，0）}C . {3，0}D . {0，3}2. （2分）复数在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）等差数列{an}中，若a2+a8=15﹣a5 ，则a5的值为（）A . 3B . 4C . 5D . 64. （2分）(2018·孝义模拟) 一次考试中，某班学生的数学成绩近似服从正态分布，则该班数学成绩的及格率可估计为（成绩达到分为及格）（参考数据：）（）A .B .C .D .5. （2分）设O为坐标原点，点A(1,1)，若点满足，则取得最大值时，点B的个数是（）A . 无数个B . 1个C . 2个D . 3个6. （2分） (2015高三上·石家庄期中) 若函数f（x）=2sinωx（ω＞0）的图象在（0，2π）上恰有一个极大值和一个极小值．则ω的取值范围是（）A . （，1]B . （1， ]C . （， ]D . （， ]7. （2分） (2016高三上·贵阳模拟) 阅读右边的程序，若输出的y=3，则输入的x的值为（）A . 1B . 2C . ±2D . 1或28. （2分） (2017高二下·南阳期末) 已知函数函数，其中a＞0，若函数f（x）在区间（﹣2，0）内恰好有两个零点，则实数a的取值范围是（）A . （0，3）B . （3，+∞）C .D .9. （2分）(2017·河南模拟) 如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A . 12B . 14C . 16D . 1810. （2分）(2017·锦州模拟) 一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为2的两个全等的等腰直角三角形，俯视图是圆心角为的扇形，则该几何体的侧面积为（）A . 2B . 4+πC . 4+ πD . 4+π+ π11. （2分） (2016高二上·友谊期中) 设F1 ， F2分别为椭圆C1： =1（a＞b＞0）与双曲线C2：=1（a1＞0，b1＞0）的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，∠F1MF2=90°，若椭圆的离心率e= ，则双曲线C2的离心率e1为（）A .B .C .D .12. （2分）若函数在区间内是增函数，则实数的取值范围是A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2012·陕西理) 设函数，D是由x轴和曲线y=f（x）及该曲线在点（1，0）处的切线所围成的封闭区域，则z=x﹣2y在D上的最大值为________．14. （1分） (2020高三上·泸县期末) 在的展开式中，的系数为________．（用数字作答）15. （1分）(2017·鄂尔多斯模拟) 过抛物线C：y2=8x的焦点F作直线与C交于A、B两点，线段AB的垂直平分线交x轴于点P，则| |=________．16. （1分）已知数列{an}满足：a1=1，an+1=an2+an ，用[x]表示不超过x的最大整数，则的值等于________．三、解答题 (共7题；共55分)17. （10分） (2016高二上·乾安期中) △ABC中，BC=7，AB=3，且 = ．（1）求AC的长；（2）求∠A的大小．18. （10分）(2017·蚌埠模拟) 当今信息时代，众多中小学生也配上了手机．某机构为研究经常使用手机是否对学习成绩有影响，在某校高三年级50名理科生第人的10次数学考成绩中随机抽取一次成绩，用茎叶图表示如图：（1）根据茎叶图中的数据完成下面的2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响？及格（60及60以上）不及格合计很少使用手机经常使用手机合计（2）从50人中，选取一名很少使用手机的同学（记为甲）和一名经常使用手机的同学（记为乙）解一道函数题，甲、乙独立解决此题的概率分别为P1，P2，P2=0.4，若P1﹣P2≥0.3，则此二人适合为学习上互帮互助的“对子”，记X为两人中解决此题的人数，若E（X）=1.12，问两人是否适合结为“对子”？参考公式及数据：，其中n=a+b+c+dP（K2≥k0）0.100.050.025k0 2.706 3.841 5.02419. （10分） (2017高二下·中原期末) 如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AA1=1，E为BC中点．（1）求证：C1D⊥D1E；（2）若二面角B1﹣AE﹣D1的大小为90°，求AD的长．20. （5分）(2017·齐河模拟) 已知椭圆C：经过点，左右焦点分别为F1、F2 ，圆x2+y2=2与直线x+y+b=0相交所得弦长为2．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设Q是椭圆C上不在x轴上的一个动点，O为坐标原点，过点F2作OQ的平行线交椭圆C于M、N两个不同的点⑴试探究的值是否为一个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由．⑵记△QF2M的面积为S1 ，△OF2N的面积为S2 ，令S=S1+S2 ，求S的最大值．21. （5分） (2016高三上·德州期中) 已知函数f（x）=alnx﹣x+1（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若对任意x∈（0，+∞），都有f（x）≤0，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明（其中n∈N* ， e为自然对数的底数）．22. （5分）(2017·吴江模拟) 在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的普通方程为x﹣y﹣2=0，曲线C的参数方程为（θ为参数），设直线l与曲线C交于A，B两点．若点P在曲线C上运动，当△PAB的面积最大时，求点P的坐标及△PAB的最大面积．23. （10分）(2018·孝义模拟) 已知函数 .（1）解不等式；（2）若关于的不等式只有一个正整数解，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、23-1、23-2、。
新高考数学第一次模拟试题(及答案)
【解析】
【分析】
【详解】
设AB=2,作CO⊥面ABDE
OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C−AB−D的平面角，
CH=3√，OH=CHcos∠CHO=1，
结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，
故EM,AN所成角的余弦值 ，
18．1：8【解析】考查类比的方法所以体积比为1∶8
C． D．
二、填空题
13．设 是等差数列 的前 项和，且 ，则
14．若x，y满足约束条件 ，则 的最小值为______．
15．已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|=_________．
16． ________________.
17．等边三角形 与正方形 有一公共边 ，二面角 的余弦值为 ， 分别是 的中点，则 所成角的余弦值等于．
18．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为▲
19．若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_____________．
20．设等比数列 满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为．二、填Leabharlann 题13．25【解析】由可得所以
解析：25
【解析】
由 可得 ，所以 ．
14．-1【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域由图形求出最优解再计算目标函数的最小值【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示由图形知当目标函数过点A时取得最小值由解得代入计算所以的最小值为故答案为
解析：-1
【解析】
【分析】
【详解】
根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：
2019届高考数学模拟考试试卷及答案(文科)(四)
2019届高考数学模拟考试试卷及答案（文科）（四）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．复数21i+的虚部是（ ）．A ．2-B ．1-C ．1D ．2【答案】B 【解析】21i 1i=-+，故虚部为1-．2．已知集合{}{}2|00,1x x ax +==，则实数a 的值为（ ）．A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】A【解析】依题意，有{}{}0,0,1a -=，所以，1a =-．3．已知tan 2θ=，且π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos2θ=（ ）．A ．45B ．35C ．35-D ．45-【答案】C【解析】222222cos sin cos2cos sin cos sin θθθθθθθ-=-=+221tan 1tan θθ-=+35=-．4．阅读如图的程序框图，若输入5n =，则输出k 的值为（ ）．A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】B【解析】第1步：16n =，2k =； 第2步：49n =，3k =； 第3步：148n =，4k =； 退出循环，4k =．5．已知函数122,0,()1log ,0,x x f x x x +⎧⎪=⎨->⎪⎩≤则((3))f f =（ ）．A ．43B ．23C ．43-D ．3-【答案】A【解析】2(3)1log 3f =-，2222log 3log 324((3))223f f -===，选A ．6．已知双曲线222:14x y C a -=的一条渐近线方程为230x y +=，1F ，2F 分别是双曲线C的左，右焦点，点P 在双曲线C 上，且1||2PF =，则2||PF 等于（ ）．A ．4B ．6C ．8D ．10【答案】C【解析】依题意，有：223a=，所以，3a =，因为1||2PF =．所以，点P 在双曲线的左支，故有21||||2PF PF a -=，解得：2||8PF =．7．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时翻转自己的硬币．若硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为（ ）．A ．14B ．716C ．12D ．916【答案】B【解析】四个人抛硬币的可能结果有16种，有不相邻2人站起来的可能为：正反正反，反正反正， 只有1人站起来的可能有4种， 没有人站起来的可能有1种， 所以所求概率为：24171616P ++==． 8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为83，则该几何体的俯视图可以是（ ）．A． B． C． D．【答案】C【解析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P ABCD -，如下图所示， 该几何体的俯视图为C ．C BAD P9．设函数32()f x x ax =+，若曲线()y f x =在点00(,())P x f x 处的切线方程为0x y +=，则点P 的坐标为（ ）．A ．(0,0)B ．(1,1)-C ．(1,1)-D ．(1,1)-或(1,1)-【答案】D 【解析】2()32f x x ax '=+，依题意，有：20000320003210x ax x y y x ax ⎧+=-⎪+=⎨⎪=+⎩， 解得：0011x y =⎧⎨=-⎩或0011x y =-⎧⎨=⎩．10．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA PB ==，4AC =，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）．A ．8πB ．12πC ．20πD ．24π【答案】C【解析】该几何体可以看成是长方体中截出来的三棱锥P ABC -，如下图所示， 其外接球的直径为对角线PC，PCR =为：20π．P ABC11．已知函数()sin()cos()(0,0π)f x x x ωϕωϕωϕ=+++><<是奇函数，直线y =()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为π2，则（ ）．A ．()f x 在π0,4⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B ．()f x 在π3π,88⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C ．()f x 在π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在π3π,88⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增【答案】D【解析】π()4f x x ωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为函数为奇函数且0πϕ<<，所以，ππ4ϕ+=，即3π4ϕ=，所以，())f x x ω=，又2ππ2ω=，所以，4ω=，()f x x =，其一个单调增区间为π3π,88⎛⎫⎪⎝⎭．12．已知函数π1()cos 212x f x x x +⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭，则201612017k k f =⎛⎫⎪⎝⎭∑的值为（ ）．A ．2016B ．1008C ．504D ．0【答案】B【解析】函数化为：1()sin 212x f x x x ⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭， 11(1)sin 122x f x x x -⎛⎫-=+- ⎪-⎝⎭，有：()(1)1f x f x +-=， 所以，201612016100820172k k f =⎛⎫== ⎪⎝⎭∑．第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．已知向量(1,2)a =，(,1)b x =-，若()a a b -∥，则a b ⋅=__________． 【答案】52-【解析】(1,3)a b x -=-，因为()a a b -∥， 所以，32(1)0x +-=，解得：52x =，所以，55222a b ⋅=-=-．14．若一个圆的圆心是抛物线24x y =的焦点，且该圆与直线3y x =+相切，则该圆的标准方程是__________． 【答案】22(1)2x y +-=【解析】抛物线的焦点为(0,1)，故圆心为(0,1)， 圆的半径为R 22(1)2x y +-=．15．满足不等式组(1)(3)0,0x y x y x a-++-⎧⎨⎩≥≤≤的点(,)x y 组成的图形的面积是5，则实数a 的值为__________．【答案】3【解析】不等式组化为：(1)0(3)00x y x y x a -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≥≤≤或(1)0(3)00x y x y x a -+⎧⎪+-⎨⎪⎩≤≤≤≤，画出平面区域如下图所示，平面区域为三角形ABC 、ADE ，(1,2)A ，(,1)B a a +，(3)C a -，面积为：11(22)(1)21522S a a =--+⨯⨯=，解得：3a =．16．在ABC △中，60ACB ∠=︒，1BC >，12AC AB =+，当ABC △的周长最短时，BC 的长是__________．【答案】1+【解析】设边AB 、BC 、AC 所对边分别为c 、a 、b ，依题意，有：12160b c a C ⎧=+⎪⎪>⎨⎪=︒⎪⎩，由余弦定理，得：2222cos c a b ab C =+-， 即2221122c a c a c ⎛⎫⎛⎫=++-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简，得：211241a a c a -+=-，ABC △的周长：122a b c a c ++=++2121212a a a a -+=++- 2632(1)a aa -=-． 令1t a =-，则三角形周长为：26(1)3(1)39932222t t t t t +-+=++≥， 当332t t =，即t =1a =时ABC △的周长最短．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*22()n n S a n =-∈N ． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式． （Ⅱ）求数列{}n S 的前n 项和n T ． 【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）当1n =时，1122S a =-，即1122a a =-，解得12a =． 当2n ≥时，111(22)(22)22n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-， 即12n n a a -=，所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列． 所以1*222()n n n a n -=⨯=∈N ． （Ⅱ）因为12222n n n S a +=-=-， 所以12n n T S S S =+++2312222n n +=+++-4(12)212n n ⨯-=-- 2242n n +=--．18．（本小题满分12分）某企业生产的某种产品被检测出其中一项质量指标存在问题．该企业为了检查生产该产品的甲，乙两条流水线的生产情况，随机地从这两条流水线上生产的大量产品中各抽取50件产品作为样本，测出它们的这一项质量指标值．若该项质量指标值落在(195,210]内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲流水线样本的频数分布表，图1是乙流水线样本的频率分布直方图．表1：甲流水线样本的频数分布表图1：乙流水线样本频率分布直方图频率质量指标（Ⅰ）根据图1，估计乙流水线生产产品该质量指标值的中位数．（Ⅱ）若将频率视为概率，某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲，乙两条流水线分别生产出不合格品约多少件．（Ⅲ）根据已知条件完成下面22⨯列联表，并回答是否有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++样本容量）【解析】（Ⅰ）设乙流水线生产产品的该项质量指标值的中位数为x ，因为0.48(0.0120.0320.052)50.5(0.0120.0320.0520.076)50.86=++⨯<<+++⨯=，则(0.0120.0320.052)50.076(205)0.5x ++⨯+⨯-=， 解得390019x =．（Ⅱ）由甲，乙两条流水线各抽取的50件产品可得，甲流水线生产的不合格品有15件，则甲流水线生产的产品为不合格品的概率为1535010P ==甲，【注意有文字】乙流水线生产的产品为不合格品的概率为1(0.0120.028)55P =+⨯=乙，【注意有文字】于是，若某个月内甲，乙两条流水线均生产了5000件产品，则甲乙两条流水线生产的不合格品件数分别为35000150010⨯=，1500010005⨯=． （Ⅲ）22⨯列联表：则22100(350600)4 1.3505075253K ⨯-==≈⨯⨯⨯，因为1.3 2.072<，所以没有85%的把握认为“该企业生产的这种产品的该项质量指标值与甲，乙两条流水线的选择有关”．19．（本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，AD BC ∥，AB BC ⊥，BD DC ⊥，点E 是BC 边的中点，将ABD △沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，连接AE ，AC ，DE ，得到如图2所示的几何体．图1图2E CBAD（Ⅰ）求证：AB ⊥平面ADC ．（Ⅱ）若1AD =，AC 与其在平面ABD B到平面ADE 的距离． 【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）因为平面ABD ⊥平面BCD ，平面ABD 平面BCD BD =，又BD DC ⊥，所以DC ⊥平面ABD ． 因为AB ⊂平面ABD ，所以DC AB ⊥， 又因为折叠前后均有AD AB ⊥，DC AD D =，所以AB ⊥平面ADC ．（Ⅱ）由（Ⅰ）知DC ⊥平面ABD ，所以AC 在平面ABD 内的正投影AD ， 即CAD ∠为AC 与其在平面ABD 内的正投影所成角．依题意tan CD CAD AD∠=，因为1AD =，所以CD =设(0)AB x x =>，则BD =因为ABD BDC △∽△，所以AB DC ADBD=，即1x解得x，故ABBD 3BC =．DABCE由于AB ⊥平面ADC ，AB AC ⊥，E 为BC 的中点， 由平面几何知识得322BC AE ==，同理322BC DE ==，所以112ADES =⨯△．因为DC ⊥平面ABD，所以13A BCD ABD V CD S -=⋅△设点B 到平面ADE 的距离为d ，则1132ADE B ADE A BDE A BCD d S V V V ---⋅====，所以d =，即点B 到平面ADE20．（本小题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，且过点(2,1)A ．（Ⅰ）求椭圆C 的方程．（Ⅱ）若P ，Q 是椭圆C 上两个不同的动点，且使PAQ ∠的角平分线垂直于x 轴，试判断直线PQ 的斜率是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）因为椭圆C，且过点(2,1)A ， 所以22411a b +=，c a = 因为222a b c =+，解得28a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22182x y +=． （Ⅱ）法1：因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称．设直线PA 的斜率为k ，则直线AQ 的斜率为k -．所以直线PA 的方程为1(2)y k x -=-，直线AQ 的方程为1(2)y k x -=-．设点(,)p P P x y ，(,)Q Q Q x y ， 由221(2),1,82y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222(14)(168)161640k x k k x k k +--+--=．① 因为点(2,1)A 在椭圆C 上，所以2x =是方程①的一个根，则2216164214P k k x k--=+， 所以2288214P k k x k --=+． 同理2288214Q k k x k +-=+． 所以21614P Q k x x k -=-+． 又28(4)14P Q P Q ky y k x x k -=+-=-+．所以直线PQ 的斜率为12P QPQ P Qy y k x x -==-． 所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12． 法2：设点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则直线PA 的斜率1112PA y k x -=-，直线QA 的斜率2212QA y k x -=-．因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称．所以PA QA k k =-，即121211022y y x x --+=--，① 因为点11(,)P x y ，22(,)Q x y 在椭圆C 上， 所以2211182x y +=，② 2222182x y +=．③ 由②得2211(4)4(1)0x y -+-=，得11111224(1)y x x y -+=--+，④ 同理由③得22221224(1)y x x y -+=--+，⑤ 由①④⑤得12122204(1)4(1)x x y y +++=++， 化简得12211212()2()40x y x y x x y y ++++++=，⑥由①得12211212()2()40x y x y x x y y ++++++=，⑦⑥-⑦得12122()x x y y +=-+．②-③得22221212082x x y y --+=，得1212121214()2y y x x x x y y -+=-=-+． 所以直线PQ 的斜率为121212PQ y y k x x -==-为定值． 法3：设直线PQ 的方程为y kx b =+，点11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则11y kx b =+，22y kx b =+，直线PA 的斜率1112PA y k x -=-，直线QA 的斜率2212QA y k x -=-． 因为PAQ ∠的角平分线总垂直于x 轴，所以PA 与AQ 所在直线关于直线2x =对称．所以PA QA k k =-，即12121122y y x x --=---， 化简得12211212()2()40x y x y x x y y +-+-++=．把11y kx b =+，22y kx b =+代入上式，并化简得12122(12)()440kx x b k x x b +--+-+=．（*） 由22,1,82y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得222(41)8480k x kbx b +++-=，（**） 则122841kb x x k +=-+，21224841b x x k -=+，代入（*）得2222(48)8(12)4404141k b kb b k b k k -----+=++， 整理得(21)(21)0k b k -+-=， 所以12k =或12b k =-． 若12b k =-，可得方程（**）的一个根为2，不合题意． 若12k =时，合题意． 所以直线PQ 的斜率为定值，该值为12．21．（本小题满分12分） 已知函数()ln (0)a f x x a x=+>． （Ⅰ）若函数()f x 有零点，其实数a 的取值范围． （Ⅱ）证明：当2ea ≥时，()e x f x ->． 【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）法1：函数()ln a f x x x=+的定义域为(0,)+∞． 由()ln a f x x x =+，得221()a x a f x x x x-'=-=． 因为0a >，则(0,)x a ∈时，()0f x '<；(,)x a ∈+∞时，()0f x '>．所以函数()f x 在(0,)a 上单调递减，在(,)a +∞上单调递增．当x a =时，[]min ()ln 1f x a =+．当ln 10a +≤，即10ea <≤时，又(1)ln10f a a =+=>，则函数()f x 有零点． 所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦． 法2：函数()ln a f x x x=+的定义域为(0,)+∞． 由()ln 0a f x x x=+=，得ln a x x =-． 令()ln g x x x =-，则()(ln 1)g x x '=-+． 当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>；当1,e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<． 所以函数()g x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减． 故1e x =时，函数()g x 取得最大值1111ln e e e eg ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭．因而函数()ln a f x x x =+有零点，则10ea <≤． 所以实数a 的取值范围为10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦． （Ⅱ）要证明当2ea ≥时，()e x f x -=， 即证明当0x >，2e a ≥时，ln e x a x x-+>，即ln e x x x a x -+>． 令()ln h x x x a =+，则()ln 1h x x '=+． 当10e x <<时，()0f x '<时；当1ex >时，()0f x '>． 所以函数()h x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增． 当1e x =时，[]min 1()eh x a =-+． 于是，当2e a ≥时，11()e eh x a -+≥≥．① 令()e x x x ϕ-=，则()e e e (1)x x x x x x ϕ--'=-=-．当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．所以函数()x ϕ在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递减．当1x =时，[]min 1()ex ϕ=． 于是，当0x >时，1()ex ϕ≤．② 显然，不等式①、②中的等号不能同时成立． 故当2ea ≥时，()e x f x ->．请考生在第22~23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．（本小题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为3,1x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数）．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线π:4C ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． （Ⅰ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程．（Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值．【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）由3,1x t y t =-⎧⎨=+⎩，消去t 得40x y +-=，所以直线l 的普通方程为40x y +-=．由π4ρθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ππcos cos sin sin 44θθ⎫=+⎪⎭ 2cos 2sin θθ=+，得22cos 2sin ρρθρθ=+．将222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式， 得曲线C 的直角坐标方程为2222x y x y +=+，即22(1)(1)2x y -+-=． （Ⅱ）设曲线C上的点为(1,1)P αα， 则点P 到直线l的距离为d =当πsin 14α⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，min d = 所以曲线C 上的点到直线l的距离的最大值为23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()|1||2|f x x a x a =+-+-．（Ⅰ）若(1)3f <，求实数a 的取值范围． （Ⅱ）若1a ≥，x ∈R ，求证：()2f x ≥．【答案】见解析．【解析】（Ⅰ）因为(1)3f <，所以|||12|3a a +-<． ①当0a ≤时，得(12)3a a -+-<，解得23a >-，所以203a -<≤． ②当102a <<时，得(12)3a a +-<，解得2a >-，所以102a <<． ③当12a ≥时，得(12)3a a --<，解得43a <，所以1423a <≤． 综上所述，实数a 的取值范围是24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭． （Ⅱ）因为1a ≥，x ∈R ．所以()|1||2||(1)(2)|f x x a x a x a x a =+-+-+---≥|31|=-a=-≥．312a。
山东省临沂市2019届高三数学模拟考试试题理(含解析)
2019年普通高考模拟考试理科数学一、选择题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设集合{}ln 1A x x =<，{}2,1,0,1,2,3B =--，则A B =（ ）A. {}1B. {}1,2C. {}2101--,,, D. {}2-【答案】B 【解析】 【分析】首先求得集合A ，然后进行交集运算即可.【详解】求解对数不等式可得{}|0A x x e =<<， 结合题意和交集的定义可知：A B ={}1,2.故选：B .【点睛】本题主要考查对数不等式的解法，交集的运算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.已知复数z 满足()2z i i i -=+，则z =（ ）【答案】A 【解析】 【分析】首先求得复数z ，然后求解其共轭复数并确定模即可. 【详解】由题意可得：2211iz i i i i i+=+=-++=-，则1,z i z =+=故选：A .【点睛】本题主要考查复数的运算法则，复数的模的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3.2010-2018年之间，受益于基础设施建设对光纤产品的需求，以及个人计算机及智能手机的下一代规格升级，电动汽车及物联网等新机遇，连接器行业增长呈现加速状态．根据该折线图，下列结论正确的个数为（）①每年市场规模量逐年增加；②增长最快的一年为2013～2014；③这8年的增长率约为40％；④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】由题意观察所给的折线图考查所给的结论是否正确即可.【详解】考查所给的结论：①2011-2012年的市场规模量有所下降，该说法错误；②增长最快的一年为2013～2014，该说法正确；③这8年的增长率约为63.545.345.3-≈40％，该说法正确；④2014年至2018年每年的市场规模相对于2010年至2014年每年的市场规模，数据方差更小，变化比较平稳，该说法正确.综上可得：正确的结论有3个.故选：C.【点睛】本题主要考查折线图的识别，属于基础题.4.已知,x y 满足约束条件20,20,20,x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+ 的最大值与最小值之和为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C 【解析】 【分析】首先画出可行域，然后求得最大值和最小值，最后求解两者之和即可. 【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即：2y x z =-+，其中z 取得最大值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最大， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点()2,2B 处取得最大值， 据此可知目标函数的最大值为：max 2226z =⨯+=，其中z 取得最小值时，其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小， 据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，联立直线方程：2020y x y -=⎧⎨+-=⎩，可得点的坐标为：()0,2A ，据此可知目标函数的最小值为：min 2022z =⨯+=.综上可得：2z x y =+ 的最大值与最小值之和为8. 故选：C .【点睛】求线性目标函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值，当b ＞0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最大，在y 轴截距最小时，z 值最小；当b ＜0时，直线过可行域且在y 轴上截距最大时，z 值最小，在y 轴上截距最小时，z 值最大.5.从0，1，2，3这四个数中任取两个不同的数组成一个两位数，则这个两位数是偶数的概率为（ ） A. 27B.57C.29D.59【答案】D 【解析】 【分析】由题意列出所有可能的结果，然后结合古典概型计算公式可得概率值.【详解】能组成两位数有：10，12，13，20，21，23，30，31，32，总共有9种情况. 其中偶数有5种情况，故组成的两位数是偶数的概率为59p =. 故选：D .【点睛】本题主要考查古典概型计算公式，属于中等题.6.函数()(),f x g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，设()()()11h x f x g x =+++，则下列结论中正确的是（ ）A. ()h x 的图象关于(1,0)对称B. ()h x 的图象关于(1,0)-对称C. ()h x 的图象关于1x =对称D. ()h x 的图象关于1x =-对称【答案】D 【解析】 【分析】由题意结合函数的奇偶性和函数的平移特性即可确定后函数()h x 的性质 【详解】首先考查函数()()()H x f x g x =+，其定义域为R ，且()()()()()()f x g x f x x H x x H g =--=+=-+， 则函数()H x 为偶函数，其图像关于y 轴对称，将()H x 的图像向左平移一个单位可得函数()()()()111h x H x f x g x =+=+++的图像，据此可知()h x 的图象关于1x =-对称. 故选：D .【点睛】本题主要考查函数的奇偶性，函数图像的平移变换等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.秦九韶，中国古代数学家，对中国数学乃至世界数学的发展做出了杰出贡献．他所创立的秦几韶算法，直到今天，仍是多项式求值比较先进的算法．用秦九韶算法是将()20182017201620192018201721f x x x x x =+++⋯++化为()()()()20192018201721f x x x x x x =⋯+++⋯++再进行运算，在计算()0f x 的值时，设计了如下程序框图，则在◇和中可分别填入（ ）A. 2n ≥和0S Sx n =+B. 2n ≥和01S Sx n =+-C. 1n ≥和0S Sx n =+D. 1n ≥和01S Sx n =+-【答案】C 【解析】 【分析】由题意结合秦九韶算法和流程图确定所需填入的程序语句即可.【详解】由题意可知，当1n =时程序循环过程应该继续进行，0n =时程序跳出循环，故判断框中应填入1n ≥，由秦九韶算法的递推关系可知矩形框中应填入的递推关系式为：0S Sx n =+， 故选：C .【点睛】本题主要考查流程图问题，流程图与秦九韶算法的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.8.在ABC ∆中，45B =︒，D 是BC边上一点，AD =4AC =，3DC =，则AB 的长为（ ）A.2B.2C.D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求得cos C 的值，然后利用正弦定理解三角形即可. 【详解】由题意，在△ADC 中，由余弦定理可得：916131cos 2342C +-==⨯⨯，则sin C =，在ABC △中，由正弦定理可得：sin sin AB ACC B=2=，据此可得：AB =故选：D .【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线被圆()2222x y +-=所截得的弦长为2，则双曲线C 的离心率为（ ）B. 2D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先求得圆心到直线的距离，然后结合点到直线距离公式整理计算可得双曲线的离心率.【详解】设圆心到直线的距离为d，由弦长公式可得：2=，解得：1d =， 双曲线的渐近线方程为：0bx ay ±=，圆心坐标为()0,2，1=，即：21a c =，双曲线的离心率2ce a==. 故选：B .【点睛】本题主要考查圆的弦长公式，点到直线距离公式，双曲线离心率的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10.如图是某几何体的三视图，则过该几何体顶点的所有截面中，最大截面的面积是（ ）A. 2 C.2D. 1【答案】A【解析】【分析】首先确定几何体的空间结构特征，然后结合面积公式求解面积的最大值即可.【详解】由三视图可知其对应的几何体是一个半圆锥，且圆锥的底面半径为r=，高1h=，故俯视图是一个腰长为2，顶角为120的等腰三角形，易知过该几何体顶点的所有截面均为等腰三角形，且腰长为2，顶角的范围为(0,120⎤⎦，设顶角为θ，则截面的面积：122sin2sin2Sθθ=⨯⨯⨯=，当90θ=时，面积取得最大值2.故选：A.【点睛】本题主要考查三视图还原几何体的方法，三角形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.11.若函数()2xf x x ke =-在(0,)+∞上单调递减，则k 的取值范围为（ ）A. 8,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B. 4,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C. 2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D.1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】 【分析】将原问题进行等价转化为恒成立的问题，然后利用导数的性质可得实数k 的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得：()'2xf x x ke =-，函数在(0,)+∞上单调递减，则()'0f x ≤恒成立，即：20x x ke -≤， 据此可得：2xxk e ≥恒成立， 令()()20x xg x x e =>，则()()21'x x g x e-=， 故函数()g x 在区间()0,1上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减， 函数()g x 的最大值为()21g e =，由恒成立的结论可得：2k e≥， 表示为区间形式即2,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭.故选：C .【点睛】本题主要考查导函数研究函数的单调性，函数最值的求解，恒成立问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.12.已知函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若方程()35f x =的解为1x ，2x （120x x π<<<），则()12sin x x -=（ ）A. 35-B. 45-C. -D.【答案】B 【解析】 【分析】由题意首先确定函数的对称轴，然后结合题意和三角函数的性质、同角三角函数基本关系和诱导公式即可确定()12sin x x -的值. 【详解】函数()sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的对称轴满足：()262x k k Z πππ-=+∈， 即()23k x k Z ππ=+∈，令0k =可得函数在区间()0,π上的一条对称轴为3x π=， 结合三角函数的对称性可知1223x x π+=，则：1223x x π=-，()122222sin sin 2sin 2cos 2336x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由题意：23sin 265x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且120x x π<<<，故12712312x x πππ<<<<， 2226x πππ<-<，由同角三角函数基本关系可知：24cos 265x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.故选：B.【点睛】本题主要考查三角函数的对称性，诱导公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.二、填空题.13.已知向量a ，b 满足：3a =，4b =，41a b +=，则||a b -=_____．【答案】3 【解析】 【分析】由题意结合平行四边形的性质可得a b -的值.【详解】由平行四边形的性质结合平面向量的运算法则可得：()22222a ba b a b +=++-，即：()2222234a b +=+-，据此可得：3a b -=.【点睛】本题主要考查向量模的计算，平行四边形的性质等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.14.已知函数()()log 11a f x x =--（0a >，且1a ≠）的图象恒过点A ，若点A 在角α的终边上，则2cos 2sin αα-=__________． 【答案】25【解析】 【分析】首先确定点A 的坐标，然后由三角函数的定义求得sin ,cos αα的值，最后结合二倍角公式可得三角函数式的值.【详解】由函数的解析式可知点A 的坐标为()2,1A -， 由三角函数的定义可得：sin αα==， 故()22224112cos 2sincos sin sin 5555ααααα⎛⎫-=--=--= ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查对数函数恒过定点问题，由终边点的坐标求解三角函数值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.在621x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中，3x 项的系数为____．【答案】40 【解析】 【分析】由题意利用排列组合的性质可得3x 项的系数.【详解】由题中的多项式可知，若出现3x ，可能的组合只有：()032x x ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭和()142x x ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭，结合排列组合的性质和二项式展开式的过程可得3x 系数为：()()34330111166512112140C C C ⨯⨯⨯-+⨯⨯⨯⨯-=.【点睛】本题主要考查二项式展开式与排列组合的综合运用，属于中等题.16.已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，直线l 与C 交于A ，B 两点，AF BF ⊥，线段AB 的中点为M ，过点M 作抛物线C 的准线的垂线，垂足为N ，则AB MN的最小值为____．【解析】 【分析】由题意结合抛物线的定义和均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果. 【详解】如图所示，设抛物线的准线为l ，作AQ l ⊥于点Q ，BP l ⊥于点P ，由抛物线的定义可设：,AF AQ a BF BP b ====，由勾股定理可知：AB ==由梯形中位线的性质可得：2a bMN +=，则：22AB MN=≥=当且仅当a b =时等号成立.即AB MN. 【点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，均值不等式求最值的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列{}n a 满足111,22nn n a a a +==-+．（1）判断数列{}2nn a +是否为等差数列，并说明理由；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，求n S .【答案】（1）见解析；（2）21222n n S n n +=+-+【解析】 【分析】(1)由题意结合等差数列的定义和数列的递推关系即可确定数列为等差数列；(2)结合(1)中的结论首先确定数列{}n a 的通项公式，然后分组求和确定其前n 项和即可.【详解】（1）∵122n n n a a +=-+，∴()()11222n n n na a+++-+=，∴数列{}2nn a +为公差为2的等差数列（2）∵11a =，∴123a +=，由（1）可得：232(1)21nn a n n +=+-=+， ∴221nn a n =-+，∴()232(123)2222n n S n n =++++-+++++，.()212(1)2212nn n n -+=⨯-+- 21222n n n +=+-+【点睛】本题主要考查由递推关系式证明数列为等差数列的方法，分组求和的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.18.如图，已知矩形ABCD 中，22AB AD ==，点E 是CD 的中点，将BEC ∆沿BE 折起到BEC '∆的位置，使二面角C BE C '--是直二面角．（1）证明：BC '⊥平面AEC '； （2）求二面角C AB E '--的余弦值．【答案】（1）见证明；（2【解析】 【分析】(1)由题意利用几何关系结合线面垂直的判定定理即可证得题中的结论；(2)由几何体的空间结构特征建立空间直角坐标系，分别求得两个半平面的法向量，利用所得的法向量整理计算可得二面角的余弦值.【详解】（1）∵22AB AD ==，点E 是CD 的中点， ∴ADE ∆，BCE ∆都是等腰直角三角形， ∴90AEB =︒∠，即AE BE ⊥..又∵二面角C BE C '--是直二面角，即平面C EB '⊥平面ABE ， 平面C EB '⋂平面ABE BE =，AE ⊂平面ABE ， ∴AE ⊥平面C EB '， 又∵BC '⊂平面C BE '， ∴BC AE '⊥，又∵BC EC ''⊥，EC '⊂平面AEC '，AE EC E '⋂=， ∴BC '⊥平面AEC '.（2）如图，取BE 的中点O ，连接C O '， ∵C B C E ''=，∴C O BE '⊥，∵平面C EB '⊥平面ABE ，平面C EB '⋂平面ABE BE =，C O '⊂平面C EB '，∴C O '⊥平面ABE ，过O 点作OF AE ，交AB 于F ，∵AE EB ⊥，∴⊥OF OB ，以OF ，OB ，OC '所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示坐标系O xyz -，则(0,0,0)O ，2A ⎫-⎪⎪⎭，0,2B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，0,0,2C ⎛' ⎝⎭，∴2,22C A ⎛'=-- ⎭，0,,22C B ⎛⎫'=- ⎪ ⎪⎝⎭，2OC ⎛'= ⎝⎭，设(,,)n x y z =为平面ABC '的一个法向量，则0n C A n C B ''⎧⋅=⎨⋅⎩，即00y z y z --==，取1y z ==，则1x =，∴(1,1,1)n =， 又C O '⊥平面ABE ，∴0,0,2m OC ⎛== ⎝⎭为平面ABE 的一个法向量， 所以cos ,||||3m n m n m n ⋅<>===⋅，即二面角C AB E '--【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题：(1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算．(2)设,m n 分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与,m n 互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．19.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的离心率为2，且与抛物线2y x =交于M ，N两点，OMN ∆ （O为坐标原点）的面积为．（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，点A 为椭圆上一动点（非长轴端点）1F ，2F 为左、右焦点，2AF 的延长线与椭圆交于B 点，AO 的延长线与椭圆交于C 点，求ABC ∆面积的最大值．【答案】（1）22184x y +=（2）【解析】 【分析】(1)由题意求得a ,b ,c 的值即可确定椭圆方程；(2)分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和均值不等式即可确定三角形面积的最大值.【详解】（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>与抛物线2y x =交于M ，N 两点，可设(M x，(,N x ， ∵OMN ∆的面积为∴=2x =，∴M，(2,N ，由已知得222222421c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a =2b =，2c =，∴椭圆C 的方程为22184x y +=.（2）①当直线AB的斜率不存在时，不妨取A，(2,B，(2,C -，故142ABC ∆=⨯=；②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(2)y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，联立方程22(2)184y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简得()2222218880k x k x k +-+-=，则()()()222264421883210k k k k ∆=-+-=+>，2122821k x x k +=+，21228821k x x k -⋅=+，||AB ==22121k k +=+， 点O 到直线20kx y k--=的距离d ==，因为O 是线段AC 的中点，所以点C 到直线AB 的距离为2d =，∴1||22ABCS AB d∆=⋅2211221k k ⎛⎫+=⋅⎪+⎝⎭=∵()()()()22222222211211k k k k k k k ++=⎡⎤+++⎣⎦()()222211441k k k k +=+…，又221k k≠+，所以等号不成立.∴ABC S ∆=<综上，ABC ∆面积的最大值为.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.在中国移动的赞助下，某大学就业部从该大学2018年已就业的A 、B 两个专业的大学本科毕业生中随机抽取了200人进行月薪情况的问卷调查，经统计发现，他们的月薪收入在3000元到9000元之间，具体统计数据如下表：将月薪不低于7000元的毕业生视为“高薪收入群体”，并将样本的频率视为总体的概率，巳知该校2018届大学本科毕业生李阳参与了本次调查问卷，其月薪为3500元．（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的22⨯列联表，并通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为“高薪收入群体”与所学专业有关?（2）经统计发现，该大学2018届的大学本科毕业生月薪X （单位：百元）近似地服从正态分布(,196)N μ，其中μ近似为样本平均数x （每组数据取区间的中点值）．若X 落在区间(2,2)μσμσ-+的左侧，则可认为该大学本科生属“就业不理想”的学生，学校将联系本人，咨询月薪过低的原因，为以后的毕业生就业提供更好的指导. ①试判断李阳是否属于“就业不理想”的学生；②中国移动为这次参与调查的大学本科毕业生制定了赠送话费的活动，赠送方式为：月薪低于μ的获赠两次随机话费，月薪不低于μ的获赠一次随机话费，每次赠送的话赞Z 及对应的概率分别为：则李阳预期获得的话费为多少元? 附：()()()()()22n ad bc K a b b c c d b d -=++++，其中，n a b c d =+++．【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】(1)首先写出列联表，然后计算2K 的值给出结论即可； (2)由题意求得2μσ-的值然后判定学生就业是否理想即可；由题意首先确定Z 可能的取值，然后求得概率可得分布列，最后利用分布列计算数学期望可得其预期获得的话费.【详解】（1）列出列联表如下：22200(60203090)200 6.061 5.024150509011033K ⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下能够判断“高薪收入群体”与所学专业有关. （2）①月薪频率分布表如下：将样本的频率视为总体的概率，该大学2018届的大学本科毕业生平均工资为：350.1450.18550.22650.25750.2850.0559.2μ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，∵月薪~(,196)X N μ，∴2196σ=，14σ=， ∴259.22831.2μσ-=-=，2018届大学本科毕业生李某的月薪为3500元35=百元231.2μσ>-=百元，故李阳不属于“就业不理想”的学生；②由①知59.2μ=百元5920=元，故李阳的工资为3500元，低于μ，可获赠两次随机话费，所获得的话费Z 的取值分别为120，180，240，300，360，111(120)224P Z ==⨯=，12111(180)233P Z C ==⨯⨯=，1211115(240)332618P Z C ==⨯+⨯⨯=，12111(300)369P Z C ==⨯⨯=，111(360)6636P Z ==⨯=.故Z 的分布列为：则李阳预期获得的话费为115111201802403003602004318936EY =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（元）.【点睛】本题主要考查独立性检验的应用，离散型随机变量及其分布列的计算与期望的计算等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.已知函数()221xe f x x mx =-+．（1）若(1,1)m ∈-，求函数()f x 的单调区间；（2）若10,4m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则当[0,2m 1]x ∈+时，函数()y f x =的图象是否总在不等式y x >所表示的平面区域内，请写出判断过程． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）首先求得导函数的解析式，然后分类讨论确定函数的单调性即可；（2）将原问题进行等价转化，分别考查所构造函数的最大值和最小值即可判定题中的结果是否成立.【详解】（1）解：∵(1,1)m ∈-，∴2440m ∆=-<，∴2210y x mx =-+>恒成立， ∴函数定义域为R ,()()222e 21e (22)()21x x x mx x m f x xmx '-+--=-+()222e (22)2121x x m x m xmx ⎡⎤-+++⎣⎦=-+()22e (1)(21)21x x x m xmx ---=-+，①当0m =时，即211m +=，此时()0f x '…，()f x 在R 上单调递增， ②当01m <<时，即1213m <+<，(,1)x ∈-∞时，()0f x '>，()f x 单调递增， (1,21)x m ∈+时，()0f x '<，()f x 单调递减， (21,)x m ∈++∞时，()0f x '>，()f x 单调递增；③10m -<<时，即1211m -<+<时，(,21)x m ∈-∞+，()0f x '>，()f x 单调递增，(21,1)x m ∈+时，()0f x '<，()f x 单调递减， (1,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 单调递增，综上所述，①0m =时，()f x 在R 上递增，②01m <<时，()f x 在(,1)-∞和(21,)m ++∞上递增，在(1,21)m +上递减； ③10m -<<时，()f x 在(,21)m -∞+和(1,)+∞上递增，在(21,1)m +上递减. （2）当10,4m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，由（1）知()f x 在[0,1]递增，在[1,21]m +递减，令()g x x =，则()g x 在R 上为增函数，函数()y f x =的图象总在不等式y x >所表示的平面区域内，等价于函数()f x 图象总在()g x 图象的上方，①当[0,1]x ∈时，min ()(0)1f x f ==，max ()()1g x g x ==， 所以函数()f x 图象在()g x 图象上方； ②当[1,21]x m ∈+时，函数()f x 单调递减，所以()f x 最小值为21e(21)22m f m m ++=+，()g x 最大值为(21)21g m m +=+，所以下面判断(21)f m +与21m +的大小，即判断2122m e m ++与21m +的大小，因为10,4m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以即判断21e m +与(21)(22)m m ++的大小，令21x m =+，∵10,4m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，.∴31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，即判断e x 与(1)x x +大小，作差比较如下：令()e (1)xu x x x =-+，31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，则()21xu x e x '=--，令()()h x u x '=，则()e 2xh x '=-，因为31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以()0h x '>恒成立，()u x '在31,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上单调递增；又因为(1)e 30u '=-<，323e 402u ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，所以存在031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，使得()000210xu x e x '=--=，所以()u x 在()01,x 上单调递减，在03,2x ⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以()0()u x u x …0200e xx x =--200021x x x =+--2001x x =-++， 因为二次函数2()1v x x x =-++的图象开口向下，其对称轴为12x =， 所以2()1v x x x =-++在31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减.. 因为031,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0393*******v x v ⎛⎫>=-++=> ⎪⎝⎭， 所以()()00()0u x u x v x =>…，即(1)x e x x >+，也即(21)21f m m +>+， 所以函数()f x 的图象总在直线y x =上方，所以函数()y f x =的图象总在不等式y x >所表示的平面区域内【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 1ρθθ⎫+=⎪⎪⎝⎭．（1）求C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程； （2）射线11,63ππθθθ⎛⎫⎡⎤=∈-⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭与圆C 的交点为O ，M ，与直线l 的交点为N ，求OM ON ⋅的取值范围．【答案】（1）圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.直线l的直角坐标方程为10x y +-=.（2）[1,3] 【解析】 【分析】(1)首先化为直角坐标方程，然后转化为极坐标方程可得C 的极坐标方程，展开三角函数式可得l 的普通方程；(2)利用极坐标方程的几何意义，将原问题转化为三角函数求值域的问题，据此整理计算可得OM ON ⋅的取值范围．【详解】（1）圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式：222(cos 1)sin 1ρθρθ-+=，化简得：2cos ρθ=，所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=. 直线l的极坐标方程为cos 1ρθθ⎫+=⎪⎪⎝⎭，将cos x ρθ=，sin y ρθ=代人上式，得：10x y -=， ∴直线l的直角坐标方程为10x y -=. （2）设()11,M ρθ，因为点M 在圆:2cos C ρθ=上，则有112cos ρθ=，设()21,N ρθ，因为点N在直线:cos 1l ρθθ⎫+=⎪⎪⎝⎭，则有2ρ=，所以12||||OM ON ρρ⋅===， ∵1,63ππθ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴1tan 3θ-12tan 1233θ+剟，∴1133，即1||||3OM ON ⋅剟，故||||OM ON ⋅的范围为[1,3].【点睛】本题主要考查极坐标方程与普通方程的转化，极坐标的几何意义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.23.已知函数()()22,12f x x a x g x x =-+-=-+． （1）求不等式()5g x <的解集；（2）若对任意1x R ∈都存在2x R ∈，使得()()12f x g x =成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）{|24}x x -<<（2）(,0][8,)-∞+∞ 【解析】 【分析】(1)由题意求解绝对值不等式可得不等式的解集；(2)将原问题转化为函数值域之间的包含关系问题，然后分类讨论可得实数a 的取值范围. 【详解】（1）由()5g x <得|1|25x -+<， ∴|1|3x -<， ∴313x -<-<， ∴24x -<<， ∴不等式()5g x <解集为{|24}x x -<<.（2）设函数()f x 的值域为M ，函数()g x 的值域为N ，∵对任意1x ∈R 都存在2x ∈R ，使得()()12f x g x =成立，. ∴M N ⊆，∵()|1|2g x x =-+，∴[2,)N =+∞，①当4a =时，()3|2|f x x =-，此时[0,)M =+∞，不合题意；②当4a >时，23,2()2,2232,2a x x a f x a x x a x a x ⎧⎪+-⎪⎪=--<<⎨⎪⎪--⎪⎩……，此时2,2a M ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭，∵M N ⊆，∴2224aa ⎧-≥⎪⎨⎪>⎩，解得8a …； ③当4a <时，23,2()2,2232,2a a x x a f x x a x x a x ⎧+-⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪--⎪⎪⎩……，此时2,2a M ⎡⎫=-+∞⎪⎢⎣⎭，∵M N ⊆，∴2224aa ⎧-⎪⎨⎪<⎩…，解得0a …. 综上所述，实数a 的取值范围为(,0][8,)-∞+∞. 【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．。
2019年临沂市高三数学下期末第一次模拟试卷(及答案)
2019年临沂市高三数学下期末第一次模拟试卷(及答案)一、选择题1．ABC ∆中有：①若A B >，则sin sin A>B ；②若22sin A sin B =，则ABC ∆—定为等腰三角形；③若cos acosB b A c -=，则ABC ∆—定为直角三角形.以上结论中正确的个数有（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．数列{}n a 为等比数列，若11a =，748a a =，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则5(S = )A ．3116B ．158C ．7D ．313．()()31i 2i i --+=（ ）A ．3i +B ．3i --C ．3i -+D ．3i - 4．若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（ ）A ．6B ．8C ．26D ．425．设双曲线2222:1x y C a b-=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ⋅=u u u u v u u u u v，22MF NF =u u u u v u u u u v ，则双曲线C 的离心率为( ). A ．2B ．3C ．5D ．66．在△ABC 中，a ＝5，b ＝3，则sin A ：sin B 的值是（ ） A ．53B ．35C ．37D ．577．若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.A ．6500元B ．7000元C ．7500元D ．8000元8．设,a b R ∈，“0a =”是“复数a bi +是纯虚数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件9．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位后关于原点对称，则函数()f x 在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为（）A． B．2C ．12D ．12-10．设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是则当a 在（0，1）内增大时（ ） A ．()D X 增大 B ．()D X 减小 C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大11．已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13-B ．13C ．-3D ．312．某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 A ．13B ．12C ．23D ．34二、填空题13．已知变量,x y 满足约束条件2{41y x y x y ≤+≥-≤，则3z x y =+的最大值为____________．14．已知等比数列{}n a 满足232,1a a ==，则12231lim ()n n n a a a a a a +→+∞+++=L ________________.15．若函数3211()232f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______.16．已知点()0,1A ，抛物线()2:0C y ax a =>的焦点为F ，连接FA ，与抛物线C 相交于点M ，延长FA ，与抛物线C 的准线相交于点N ，若:1:3FM MN =，则实数a 的值为__________．17．已知双曲线1C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，第一象限内的点00(,)M x y 在双曲线1C 的渐近线上，且12MF MF ⊥，若以2F 为焦点的抛物线2C ：22(0)y px p =>经过点M ，则双曲线1C 的离心率为_______．18．已知集合P 中含有0,2,5三个元素,集合Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素为a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则集合P+Q 中元素的个数是_____. 19．函数y=232x x --的定义域是 . 20．设函数21()ln 2f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 取值范围为_______________.三、解答题21．已知数列中，，. （1）求证：是等比数列，并求的通项公式； （2）数列满足，求数列的前项和.22．已知公比为4的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且485S =． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{(1)}n n a -的前n 项和n T ． 23．已知()11f x x ax =+--.（1）当1a =时，求不等式()1f x >的解集；（2）若()0,1x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围.24．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E,F 分别是AB,BC 的中点，点M 在AD 上，且14AM AD =，将AED,DCF V V 分别沿DE,DF 折叠，使A,C 点重合于点P ，如图所示2.()1试判断PB 与平面MEF 的位置关系，并给出证明； ()2求二面角M EF D --的余弦值.25．已知(3cos ,cos )a x x =r ，(sin ,cos )b x x =r ，函数()f x a b =⋅rr .（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程； （2）当(,]x ππ∈-时，求()f x 单调递增区间.26．如图，在几何体111ABC A B C -中，平面11A ACC ⊥底面ABC ，四边形11A ACC 是正方形，1l //B C BC ，Q 是1A B 的中点，1122,3AC BC B C ACB π==∠=（I ）求证：1//QB 平面11A ACC （Ⅱ）求二面角11A BB C --的余弦值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】①根据正弦定理可得到结果；②根据A B =或,2A B π+=可得到结论不正确；③可由余弦定理推得222a b c =+，三角形为直角三角形. 【详解】①根据大角对大边得到a>b,再由正弦定理sin sin a b A B =知sinA sinB >，①正确；②22sin A sin B =，则A B =或,2A B π+=ABC ∆是直角三角形或等腰三角形；所以②错误；③由已知及余弦定理可得22222222a c b b c a a b c ac bc+-+--=，化简得222a b c =+，所以③正确. 故选C.【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据,解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.2．A解析：A 【解析】 【分析】先求等比数列通项公式，再根据等比数列求和公式求结果. 【详解】Q 数列{}n a 为等比数列，11a =，748a a =，638q q ∴=，解得2q =， 1112n n n a a q --∴==， Q 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ， 55111111131211248161612S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∴=++++==-．故选A ． 【点睛】本题考查等比数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.3．B解析：B 【解析】 【分析】先分别对分子和分母用乘法公式化简，再分子分母同时乘以分母的共轭复数，化简即得最后结果. 【详解】 由题意得，复数()()()31i 2i 13i i 13i 3i i ii i--+-+⋅-+===----⋅．故应选B【点睛】本小题主要考查复数的乘法和除法的运算，乘法的运算和实数的运算类似，只需要记住2i 1=-.除法的运算记住的是分子分母同时乘以分母的共轭复数，这一个步骤称为分母实数化，分母实数化的主要目的是将分母变为实数，然后将复数的实部和虚部求出来.属于基础题.4．D解析：D 【解析】 【分析】2a b+≤转化为指数运算即可求解。
2019年高考数学一模试卷(附答案)
的渐近线的
距离为 3 c ，则双曲线的渐近线方程为（） 2
A． y 3x
B． y 2x
C． y x
12．在如图的平面图形中，已知
D． y 2x
OM 1,ON 2, MON 120 , BM 2MA,CN 2NA, 则 BC·OM 的值为
A． 15
C． 6 二、填空题
B． 9
D．0
D． b a c
3．如果 ，那么下列不等式成立的是（ ）
4
2
A． sin cos tan
B． tan sin cos
C． cos sin tan
D． cos tan sin
4．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
2019 年高考数学一模试卷(附答案)
一、选择题
1．若 tan 3 ，则 cos2 2sin 2 （
）
4
A． 64
B． 48
C．1
25
25
2．设 a sin 5 ， b cos 2 ， c tan 2 ，则（ ）
7
7
7
A． a b c
B． a c b
C． b c a
D． 16 25
【方法点拨】三角函数求值：①“给角求值”将非特殊角向特殊角转化，通过相消或相约消
去非特殊角，进而求出三角函数值；②“给值求值”关键是目标明确，建立已知和所求之间
分成 9 组，制成了如图所示的频率分布直方图. （1）求直方图的 的值； （2）设该市有 30 万居民，估计全市居民中月均用水量不低于 3 吨的人数，说明理由； （3）估计居民月用水量的中位数.
23．如图，已知四棱锥 P ABCD 的底面为等腰梯形， AB//CD , AC BD ,垂足为 H ， PH 是四棱锥的高．
山东省临沂市第十九中学新2019届高三数学上学期第一次模拟考试试题理(含答案)
高三第一次模拟考试数学（理科）一、选择题(每题5分，共60分) 1. 点P 在曲线323+-=x x y 上移动时，过点P 的切线的倾斜角的取值范围是 A ],0[π B ),43[)2,0(πππ⋃ C 30,,224πππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦ D 30,[,)24πππ⎡⎫⋃⎪⎢⎣⎭ 2.10张奖券中只有3张有奖，5个人购买，，每人1张，至少有1人中奖的概率是（ ） A.310 B.112 C.12 D.11123. 若0)32(02=-⎰dx x x k，则k=( )A 、1B 、0C 、0或1D 、以上都不对4. 利用数学归纳法证明“*),12(312)()2)(1(N n n n n n n n∈-⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=+⋅⋅⋅++ ”时，从“k n =”变到 “1+=k n ”时，左边应增乘的因式是 A 12+k B112++k k C 1)22)(12(+++k k k D 132++k k 5.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( )6. 若C z ∈且|22|,1|22|i z i z --=-+则的最小值是 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．57. 已知离散型随机变量ξ的分布列如图所示，设32+=ξη，则（ ）A 920,31=-=ηξD EB 910,31=-=ηξD EC 920,2715==ηξD E D 947,2725==ηξD E 8. 某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有（ ） Ａ．()2142610CA 个 Ｂ．242610A A 个 Ｃ．()2142610C个 Ｄ．242610A 个9.下列关于函数2()(2)xf x x x e =-的判断：①()0f x >的解集是{|02};x x <<②(f是极小值，f 是极大值；③()f x 没有最小值，也没有最大值.其中判断正确的命题个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 10.以下关于线性回归的判断，正确的个数是( )①若散点图中所有点都在一条直线附近，则这条直线为回归直线；②散点图中的绝大多数都线性相关，个别特殊点不影响线性回归，如图中的A ，B ，C 点；③已知回归直线方程为y ^＝0.50x －0.81，则x ＝25时，y 的估计值为11.69； ④回归直线方程的意义是它反映了样本整体的变化趋势． A ．0 B ．1 C ．2 D ．311.在(1＋x )6(1＋y )4的展开式中，记x m y n项的系数为f (m ，n )，则f (3,0)＋f (2,1)＋f (1,2)＋f (0,3)＝( )A ．4B ．60C ．120D ．21012.假设每一架飞机的引擎在飞行中出现故障的概率为1－p ，且各引擎是否有故障是独立的，已知4引擎飞机中至少有3个引擎正常运行，飞机就可成功飞行；2个引擎飞机要2个引擎全部正常运行，飞机才可成功飞行．要使4个引擎飞机更安全，则p 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13二．填空题（每题5分，共20分）13.设随机变量ξ～N (1,4)，若P (ξ≥a ＋b )＝P (ξ≤a －b )，则实数a 的值为________________． 14. 已知P (A )＝14，P (B |A )＝13，P (AC )＝124，而B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝________.15. 在公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V ）与它的直径（D ）的立方成正比”，此即V=kD 3，欧几里得未给出k 的值.17世纪日本数学家们对求球的体积的方法还不了解，他们将体积公式V=kD 3中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”．类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱）、正方体也可利用公式V=kD 3求体积（在等边圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长）．假设运用此体积公式求得球（直径为a ）、等边圆柱（底面圆的直径为a ）、正方体（棱长为a ）的“玉积率”分别为k 1，k 2，k 3，那么k 1：k 2：k 3= ．16. 已知函数f (x )＝13x 3－a 2x 2+2x 在区间(－2，－1)上存在单调递减区间,则实数a 的取值范围是 .三.解答题17.已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i，求z .18.设函数()2ln f x x ax b x =++,曲线()y f x =过(1,0)p ,且在P 点处的切线斜率为2.1.求,a b 的值;2.证明: ()22f x x ≤-.19.为了研究“教学方式”对教学质量的影响，某高中老师分别用两种不同的教学方式对入学数学平均分数和优秀率都相同的甲、乙两个高一新班进行教学(勤奋程度和自觉性都一样)．以下茎叶图为甲、乙两班(每班均为20人)学生的数学期末考试成绩.甲乙0 9 0 1 5 6 87 7 3 2 8 0 1 2 5 6 6 8 9 8 4 2 2 1 0 7 1 3 5 9 8 7 7 6 6 5 7 8 9 8 8 7 7 5(1)现从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学，求成绩为87分的同学至少有一名被抽中的概率；(2)学校规定：成绩不低于75分的为优秀．请填写下面的2×2列联表，并判断有多大把握认为“成绩优秀与教学方式有关”.甲班 乙班 合计 优秀 不优秀 合计下面临界值表供参考：P (K 2≥k )0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828(参考公式：K 2＝a ＋bc ＋d a ＋cb ＋d)20.数列{a n }满足a 1＝16，前n 项和S n ＝n (n ＋1)2a n .(1)写出a 2，a 3，a 4；(2)猜出a n 的表达式，并用数学归纳法证明．21.某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是13，每次测试通过与否互相独立．规定：若前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试．(1)求该学生考上大学的概率．(2)如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求ξ的分布列及ξ的数学期望．22.设函数()()212xk f x x e x =--（其中k R ∈）． （1）求函数()f x 的单调区间；（2）当0k >时，讨论函数()f x 的零点个数．高三第一次模拟考试数学（理科）答案一．DBACD BAACD CB二．13.1 14. 12 15. ::164ππ 16. (－∞，－22)17.解 z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则z ＝a －b i.又z ·z －3i z ＝101－3i，∴a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝10(1＋3i)10，∴a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3.∴z ＝－1，或z ＝－1－3i. 18.解.答案：1. ()'12b f x ax x=++. 由已知条件得()()10{'12f f ==即10{122a ab +=++=解得1,3a b =-=.2. ()f x 的定义域为()0,+∞, 由1知()23ln f x x x x =-+.设()()()22223ln g x f x x x x x =--=--+,则()()()123312x x g x x x x-+'=--+=-. 当01x <<时, ()'0g x >;当1x >时, ()'0g x <. 所以()g x 在()0,1单调递增,在()1,+∞单调递减. 而()10g =,故当0x >时, ()0g x ≤,即()22f x x ≤-.19. (1)甲班成绩为87分的同学有2个，其他不低于80分的同学有3个“从甲班数学成绩不低于80分的同学中随机抽取两名同学”的一切可能结果组成的基本事件有C 25＝10个，“抽到至少有一个87分的同学”所组成的基本事件有C 13C 12＋C 22＝7个，所以P ＝710.(2)甲班 乙班 合计 优秀 6 14 20 不优秀 14 6 20 合计202040K 2＝－220×20×20×20＝6.4>5.024，因此，我们有97.5%的把握认为成绩优秀与教学方式有关．20.解 (1)令n ＝2，∵a 1＝16，∴S 2＝2×(2＋1)2a 2，即a 1＋a 2＝3a 2.∴a 2＝112.令n ＝3，得S 3＝3×(3＋1)2a 3，即a 1＋a 2＋a 3＝6a 3，∴a 3＝120.令n ＝4，得S 4＝4×(4＋1)2a 4，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝10a 4，∴a 4＝130.(2)猜想a n ＝1(n ＋1)(n ＋2)，下面用数学归纳法给出证明．①当n ＝1时，a 1＝16＝1(1＋1)(1＋2)，结论成立．②假设当n ＝k 时，结论成立，即a k ＝1(k ＋1)(k ＋2)，则当n ＝k ＋1时，S k ＝k (k ＋1)2a k ＝k (k ＋1)2·1(k ＋1)(k ＋2)＝k2(k ＋2)，S k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1，即S k ＋a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1.∴k 2(k ＋2)＋a k ＋1＝(k ＋1)(k ＋2)2a k ＋1.∴a k ＋1＝k2(k ＋2)(k ＋1)(k ＋2)2－1＝kk (k ＋3)(k ＋2)＝1(k ＋2)(k ＋3).当n ＝k ＋1时结论成立．由①②可知，对一切n ∈N *都有a n ＝1(n ＋1)(n ＋2).21. (1)记“该学生考上大学”为事件A ，其对立事件为A ，则P (A )＝C 14(13)(23)3(23)＋(23)4＝64243＋1681＝112243. ∴P (A )＝1－P (A )＝1－112243＝131243.(2)该生参加测试次数ξ的可能取值为2、3、4、5.P (ξ＝2)＝(13)2＝19， P (ξ＝3)＝C 12·13·23·13＝427， P (ξ＝4)＝C 13·13·(23)2·13＋(23)4＝427＋1681＝2881， P (ξ＝5)＝C 14·13·(23)3＝3281. 故ξ的分布列为ξ2 3 4 5 P1942728813281E (ξ)＝2×19＋3×427＋4×81＋5×81＝81.22.（1）函数()f x 的定义域为(),-∞+∞，()()()1x x x x f x e x e kx xe kx x e k '=+--=-=-， ①当0k ≤时，令()0f x '>，解得0x >，所以()f x 的单调递减区间是(),0-∞，单调递增区间是[)0,+∞，②当01k <<时，令()0f x '>，解得lnk x <或0x >，所以()f x 在(),ln k -∞和()0,+∞上单调递增，在[]ln ,0k 上单调递减， ③当1k =时，()0f x '≥，()f x 在(),-∞∞上单调递增，④当1k >时，令()0f x '>，解得0x <或ln x k >，所以()f x 在(),0-∞和()ln ,k +∞上单调递增，在[]0,ln k 上单调递减；（2）()01f =-，①当01k <≤时，由（1）知，当(),0x ∈-∞时，()()()()()22max ln ln 1ln ln 11022k k f x f x f k k k k k ⎡⎤≤==--=--+<⎣⎦，此时()f x 无零点，当[)0,x ∈+∞时，()222220f e k e =-≥->，又()f x 在[)0,+∞上单调递增，所以()f x 在[)0,+∞上有唯一的零点， 故函数()f x 在定义域(),-∞+∞上有唯一的零点，②当1k >时，由（1）知，当(),lnk x ∈-∞时，()()()max 010f x f x f ≤==-<，此时()f x 无零点；当[)ln ,x k ∈+∞时，()()ln 010f k f <=-<，()()()221111122k k k k k f k ke k e ++⎡⎤+++=-=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 令()21,122tg t e t t k =-=+>，则()(),1t t g t e t g t e '''=-=-，因为()()2,0,t g t g t '''>>在()2,+∞上单调递增，()()2220g t g e ''>=->，所以()g t 在()2,+∞上单调递增，得()()2220g t g e >=->，即()10f k +>，所以()f x 在[)ln ,k +∞上有唯一的零点，故函数()f x 在定义域(),-∞+∞上有唯一的零点．综全①②知，当0k >时函数()f x 在定义域(),-∞+∞上有且只有一个零点．。
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A．15B．20C．30D．35
5． 展开式中的常数项为（）
A．80B．-80C．40D．-40
6．在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．
甲：我的成绩比乙高．
乙：丙的成绩比我和甲的都高．
丙：我的成绩比乙高．
成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为
18．在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， 是锐角，且 ， ，则 的面积为______．
19．三个数成等差数列，其比为3:4:5，又最小数加上1后，三个数成等比数列，那么原三个数是
20．设 为第四象限角，且 ＝ ，则 ________.
三、解答题
21．在△ABC中，a=7，b=8，cosB= – ．
25．（选修4-4：坐标系与参数方程）
在平面直角坐标系 ，已知曲线 （ 为参数），在以 原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ．
（1）求曲线 的普通方程和பைடு நூலகம்线 的直角坐标方程；
（2）过点 且与直线 平行的直线 交 于 ， 两点，求点 到 ， 的距离之积．
26．如图所示，在四面体PABC中，PC⊥AB，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点，求证：
14．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件，为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取________件.
15．函数 的零点个数是________．
16．若 的展开式中 的系数是 ，则 ．
17．学校里有一棵树，甲同学在 地测得树尖 的仰角为 ，乙同学在 地测得树尖 的仰角为 ，量得 ，树根部为 （ 在同一水平面上），则 ______________.
9．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,其分布列为P(X),则P(X=4)的值为
A． B．
C． D．
10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为
A．72B．64C．48D．32
基本事件的总数为 ，
其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为 ,
所以乙丙两人恰好参加同一项活动的概率为 ，故选B.
【点睛】
本题主要考查了排列组合的应用，以及古典概型及其概率的计算问题，其中解答中合理应用排列、组合的知识求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，利用古典概型及其概率的计算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）求AC边上的高．
22．若不等式 的解集是 ，求不等式 的解集．
23．已知矩形ABCD的两条对角线相交于点 ，AB边所在直线的方程为 ，点 在AD边所在直线上.
（1）求AD边所在直线的方程；
（2）求矩形ABCD外接圆的方程.
24．已知函数 .
（1）当 时，求不等式 的解集；
（2）若二次函数 与函数 的图象恒有公共点，求实数 的取值范围.
2019年临沂市高考数学第一次模拟试卷(及答案)
一、选择题
1．现有甲、乙、丙、丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动,则乙、丙两人恰好参加同一项活动的概率为
A． B． C． D．
2．如图所示的圆锥的俯视图为（ ）
A． B． C． D．
3．若复数 ，其中i为虚数单位，则 =
A．1+iB．1−iC．−1+iD．−1−i
A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙
C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙
7．下列四个命题中，正确命题的个数为( )
①如果两个平面有三个公共点，那么这两个平面重合；
②两条直线一定可以确定一个平面；
③若 ， ， ，则 ；
④空间中，相交于同一点的三直线在同一平面内．
A．1B．2C．3D．4
8． 的展开式中 的系数为
A．10B．20C．40D．80
2．C
解析：C
【解析】
【分析】
找到从上往下看所得到的图形即可．
【详解】
由圆锥的放置位置，知其俯视图为三角形．故选C.
【点睛】
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图，本题容易误选B，属于基础题.
3．B
解析：B
【解析】
试题分析： ，选B.
【考点】复数的运算，复数的概念
【名师点睛】本题主要考查复数的运算及复数的概念，是一道基础题目.从历年高考题目看，复数题目往往不难，一般考查复数运算与概念或复数的几何意义，也是考生必定得分的题目之一.
4．C
解析：C
【解析】
【分析】
利用多项式乘法将式子展开,根据二项式定理展开式的通项即可求得 的系数.
【详解】
根据二项式定理展开式通项为
则 展开式的通项为
则 展开式中 的项为
则 展开式中 的系数为
故选:C
【点睛】
本题考查了二项定理展开式的应用,指定项系数的求法,属于基础题.
5．C
解析：C
【解析】
【分析】
先求出展开式的通项，然后求出常数项的值
【详解】
展开式的通项公式为: ，化简得 ，令 ，即 ，故展开式中的常数项为 .
故选：C.
【点睛】
本题主要考查二项式定理、二项展开式的应用，熟练运用公式来解题是关键.
6．A
解析：A
【解析】
【分析】
利用逐一验证的方法进行求解.
【详解】
若甲预测正确，则乙、丙预测错误，则甲比乙成绩高，丙比乙成绩低，故3人成绩由高到低依次为甲，乙，丙；若乙预测正确，则丙预测也正确，不符合题意；若丙预测正确，则甲必预测错误，丙比乙的成绩高，乙比甲成绩高，即丙比甲，乙成绩都高，即乙预测正确，不符合题意，故选A．
(1)DE∥平面BCP；
(2)四边形DEFG为矩形．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【解析】
【分析】
求得基本事件的总数为 ，其中乙丙两人恰好参加同一项活动的基本事件个数为 ,利用古典概型及其概率的计算公式，即可求解.
【详解】
由题意，现有甲乙丙丁4名学生平均分成两个志愿者小组到校外参加两项活动，
11．设 ，数列 中， ， ,则（ ）
A．当 B．当
C．当 D．当
12．在样本的频率分布直方图中，共有11个小长方形，若中间一个长方形的面积等于其他十个小长方形面积的和的 ，且样本容量是160，则中间一组的频数为（）
A．32B．0.2C．40D．0.25
二、填空题
13．曲线 在点（1，2）处的切线方程为______________．