隐零点的解题策略

f (x)的单调增区间是(ln a, )，减区间为(, ln a)。 综合①②可知：当a 0时，函数f (x)的增区间为(, ),
当a 0时，f (x)的增区间是(ln a, )，减区间为(, ln a)。
(2)若a 1,x 0时，f (x) ex 1,
不等式 k x f (x) 1可等价转化为k x 1 x 恒成立
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隐零点问题的解题策略2
高三数学 林丽华
导函数的零点分为两类： 一类是导函数的零点能精确求出； 另一类是导函数零点无法求出确切值，只能判断其存 在，我们通常称其为隐零点。
隐零点问题解题策略： 1.求导，估断导函数隐零点的存在（一般需要极限思想估计） 2.虚设零点，确定隐零点的存在区间（零点存在定理）
解：(1) f (x) 的定义域为 R ， f (x) ex a ① 当a 0时，f (x) ex a 0 f (x)在(-, )上单调递增.
② 当a 0时，令f (x) ex a 0, 得x ln a
当x (,ln a)时,f (x) 0, 当x (ln a, )时,f (x) 0,
由零点存在性定理知：x0
即x0
ln x0 =0,ex0
1 x0
(1 ,1), e
使得 ( x0 )=0.
0
1 x0 1 e
当x (0, x0)时,(x) 0,即g(x) 0, g(x)在(0, x0)单调递增，
当x (x0, )时,(x) 0,即g(x) 0, f (x)在(x0, )单调递减.
巩固练习：已知函数 f (x) ex ax 2.
(1)求f (x)的单调区间. (2)若a 1时, k为整数且当x 0时,不等式 k x f (x) 1恒成立
x 1 ( f (x)为f (x)的导数)，求k的最大值.
巩固练习：已知函数f (x) ex ax 2.(1)求f (x)的单调区间.
解:(1) f (x) a(x 1)ex, 当x=1时, f (1) 2ega 2e, a 1
(2)Q x 0，不等式f (x) x ln x 1恒成立，
即axgex
x
ln
x 1恒成立，又Q
xgex
0
a
x ln x 1恒成立， xgex
令g ( x)
x
ln x xgex
1(x
0),
g(x)max
g(x0 )
x0
ln x0 x0 gex0
实数a的取值范围为
1 x0
1，+ 。
1 g1 x0
1
a 1
导函数的零点分为两类： 一类是导函数的零点能精确求出； 另一类是导函数零点无法求出确切值，只能判断其存 在，我们通常称其为隐零点。
隐零点问题解题策略： 1.求导，判断导函数隐零点的存在（一般需要极限思想估计） 2.虚设零点，确定隐零点的存在区间（零点存在定理） 3.灵活代换：f (x0) 0 巧妙变形代入，一般降次代换，用幂 函数代换指数函数、对数函数，简化函数。
h(x)在(0, )存在唯一的零点设为x0且x0 (1, 2)使得h(x0 ) ex0 x0 2 0,
h(x)在(0, )存在唯一的零点设为x0且x0 (1, 2)使得h(x0 ) ex0 x0 2 0,
当x (0, x0 )时,h(x) 0,即g(x) 0, g(x)单调递减
例2：已知函数 f (x) axgex (a R) ，
(1)若曲线y f (x)在(1, f (1))处的切线斜率为2e,求a的值。 (2)若x 0时，不等式f (x) x ln x 1恒成立，求实数a的取值范围。
恒成立（存在） 求参数范围问题
函数的 最值问题
分离参数找最值 分类讨论找最值
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隐零点问题的解题策略1
导数是研究函数非常有用的工具，用导数研究函数的单调性、 极值、最值，以及恒成立（存在）求参数范围、证明等问题， 最终都会归结于函数单调性的判断，而函数单调性的判断又与 导函数的零点密切相关。
导函数的零点分为两类： 一类是导函数的零点能精确求出； 另一类是导函数的零点无法求出确切值，只能判断其存在，我 们通常称其为隐零点。 隐零点问题要求有较高的数学抽象能力，逻辑推理能力，灵活 代换变形技巧，难度较高。这节课我们一起来探究隐零点问题 的解题策略。
隐零点
由零点存在定理知g(x)在(1,+)存在唯一零点设为x0,且x0 （1,1 a).
当x (1, x0)时,g(x) 0,即f (x) 0, f (x)在(1, x0)单调递减 ，
当x (x0, )时,g(x) 0,即f (x) 0, f (x)在(x0, )单调递增
f (x)存在唯一的极小值点x0 综上:当a 0时，函数f (x)的极值点为0个，
f (x)
cos x 1 , x 1,
1 x 2
, g(x)
sin
x
1 (1 x)2
在 1,
2
单调递减
g(0) 1 0,
g( )
2
1
1
(1
)2
0,
g(0)g( ) 0
2
故g(x)存在唯一零点，设为 2a且a 0, 使得g(a) 0
2
隐零点
当x (1, a), g(x) 0, g(x)单调递增；x (a, ), g(x) 0, g(x)单调递减
当x (x0, )时,h(x) 0,即g(x) 0, g(x)单调递增
g(x)min
g(x0 )
x0 e x0
1 1
x0 ,
0
1 x0 2
又Q h(x0 ) ex0 x0 2 0，ex0 x0 2
g(x0 )
x0 e x0
1 1
x0
1
x0 ,
由x0 (1, 2),所以g(x0 ) (2,3).
2
2
x
证明：（2）
f
(x)
的定义域为 (1,)
，
f
(x)
c os x
1 1
x
,
①当
x
1,
2
，由（1）知
f
( x)
在
(1, a)
单调递增，
(a, )
2
单调递减，
又f (0) 0,
f (a) 0
f
(
2
)
1
1
0
存在实数
b
a,
2
使得
f (b) 0
2
当x 1,0 b, , f (x) 0, x 0,b, f (x) 0
2
,
存在唯一零点；
③当 x,,ln(1 x) 1,sin x 1,1， f (x) sin x ln(1 x) 0恒成立
故f (x)在,没有零点
综上所述 f (x) 有且仅有 2 个零点.
导函数的正负决定原函数的增减（单调性）
研究函数 的极值点
研究其导函数的零点及零 点附近导数值的正负符号
x 1
ex 1
令g(x)
x ex
1 1
x, (x
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0),k
g ( x)min
g ( x)
(ex
1)gx (x 1)ex (ex 1)2
1
(ex x 2)ex (ex 1)2
,
设h(x) (ex x 2), (x 0), h(x) ex 1 0
所以h(x)在(0, )单调增,又Q h(1) e 3 0, h(2) e2 4 0
x
x
2
,
f
(
x)
cos
x
1
1
x
0
f ( ) ln(1 ) 0
-1
0
a b
2
f (x)
x
c
2
,
,
f
(c)
0
x ,, f (x) sin x ln(1 x) 0
-1
0
a b
2
x
②当
x
2
,
，
f
(
x)
cosx
1 1
x
0
，
f
(x)
单调递减，
f
(
)
ln(1
)
0
f
(
2
)
f
(
)
0
故f
(
x)在
又Q k为整数且k g(x)min g(x0 ),所以k的最大值为2.
恒成立（存在） 求参数范围问题
函数的 最值问题
分离参数找最值 分类讨论找最值
隐零点问题解题策略： 1.求导，判断导函数隐零点的存在（一般需要极限思想估计） 2.虚设零点，确定隐零点的存在区间（零点存在定理） 3.灵活代换： f (x0) 0 巧妙变形代入，一般降次代换，用幂 函数代换指数函数、对数函数，简化函数。
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2
f (x) 在 (1,0) 单调递减， 0,b单调递增，b, 单调递减 2
又 f (0) 0, f ( ) 1 ln(1 ) 0
2
2
当x
1,
2
，函数
f
(
x)仅有一个零点
x
0.
g( x)
-1
0
a
2
f (x) g(x)
f (0) 0, f ( ) 1 ln(1 ) 0
2
2
a g(x)max
(1 1)gxex (x ln x 1)(ex xex )
g(x) x
(xgex )2
(x 0),
(
x
1)ex (ln x ( xgex )2
x)
,
设(x) x ln x,易知(x)在(0, )是单调递增
又(1) 1 0, (1) 1 1 0,
ee
当x 0时,(x) 当x +时,(x) +,
2
g(x)在(-1, )存在唯一极大值点，即f (x)在(-1, )存在唯一极大值点.
2
2
g( x)
-1
0
a
2
f (x) g(x)
-1
0
a b
2
f (x)
-1
0
a b
2
x f (0) 0
f
(
2
)
1
1
0
xb
a,
2
使2f
(b)
0
f (0) 0, f ( ) 1 ln(1 ) 0
零点存 在定理
导函数的零点分为两类： 一类是导函数的零点能精确求出； 另一类是导函数零点无法求出确切值，只能判断其存 在，我们通常称其为隐零点。
隐零点问题解题策略： 1.求导，估判导函数隐零点的存在（一般需要极限思想估计） 2.虚设零点，确定隐零点 x0 的存在区间（零点存在定理）
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当a 0时，函数f (x)的极值点为1个，
巩固练习（2019 全国一卷理科 20） 已知函数 f (x) sin x ln(1 x), f (x)为f (x) 的导数，证明：
g( x)
（1）
f
(
x)
在区间
(1,
2
)
存在唯一极大值点；
（2） f (x) 有且仅有 2 个零点.
-1 0
2
解：设g(x)
例1：已知函数 f (x) ex a ln(x 1) ，其中常数e 2.718,是自然对数 的底数， 若 a R ，求函数极值点的个数；
研究函数 的极值点
研究其导函数的零点及零 点附近导数值的正负符号
解：f (x) 的定义域为 (1, ) ，f (x) ex a (x 1)ex a x 1 x 1
①当a 0时，f ( x) 0 f (x)在(1,+)上单调递增，所以f (x)无极值点。
② 当a 0时，设g(x) (x 1)ex a,
当x +时, g(x) +
Q g(x) ex (x 1)ex ex 0. g(x)在(1, )上单调递增.
g(1) a 0, g(1 a) ae1a a a(e1a 1) 0,