有理数的加减法及其混合运算
有理数的加减混合运算
随堂练习
计算二
1、(+16)+(-29)-(-7)-(+11)+(+9) 2、3-18-(-17)-(-29)
3、(-72)-18-(-32)-(-6)
1 1 4、 ( 0.5) ( 3 ) 2.75 ( 5 ) 4 2
5、(-4.2)-(-5.7)-7.6+10.1-5.5
挑战自我
的分数结合Байду номын сангаас加
例3（-0.5）-（-1/4）+（+2.75）-（+5.5）
解:原式 =（-0.5）+（+0.25）+（+2.75）+（-5.5） =-0.5+0.25+2.75-5.5 =（-0.5-5.5）+（0.25+2.75） =-6+3 =-3
解题小技巧：在式子中若既有分数又有小数，
例2：0-1/2- 2/3 -（-3/4）+（-5/6）
解： 原式=0-1/2-2/3+3/4-5/6
=（-1/2+3/4）+（-2/3-5/6） =（-2/4+3/4）+（-4/6-5/6） = 1/4 +（-3/2） =1/4-6/4 =-5/4
解题小技巧：分母相同或有倍数关系
把小数统一成分数或把分数统一成小数
随堂练习（1）10-24-15+26-24+18-20
解:原式 =（10+26+18）+（-24-15-24-20）
=54-83 =-29
（2）（+0.5）-1/3+（-1/4）-（+1/6）
第3讲有理数的加减法、乘除法及混合运算
第3讲有理数的加减法、乘除法及混合运算第3讲有理数的加减法、乘除法及混合运算进门测易1.﹣2019的相反数是（）A．﹣2019B．﹣C．2019D．【解答】解：因为a的相反数是﹣a，所以﹣2019的相反数是2019．故选：C．2.若实数a、b互为相反数，则下列等式中成⽴的是（）A．a﹣b＝0B．a+b＝0C．ab＝1D．ab＝﹣1【解答】解：∵实数a、b互为相反数，∴a+b＝0．故选：B．3.﹣25的绝对值是（）A．﹣25B．25C．D．【解答】解：|﹣25|＝25，故选：B．4.若a是⾮零实数，则（）A．a＞﹣a B．C．a≤|a|D．a≤a21【解答】解：当a＝﹣1时，a＜﹣a，a＝，故选项A、B错误；当a＝时，a＞a2，故选项D错误；当a时⾮0实数时，a≤|a|，故选项C正确．故选：C．5.下⾯说法：①﹣a⼀定是负数；②若|a|＝|b|，则a＝b；③⼀个有理数中不是整数就是分数；④⼀个有理数不是正数就是负数．其中正确的个数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：①﹣a⼀定是负数，说法错误，如果a＝﹣1，则﹣a＝1；②若|a|＝|b|，则a＝b，说法错误，例如|3|＝|﹣3|，但是3≠﹣3；③⼀个有理数中不是整数就是分数，说法正确；④⼀个有理数不是正数就是负数，说法错误，还有0，0既不是正数也不是负数；正确的个数有1个，故选：A．6.下列说法正确的是（）①0是绝对值最⼩的有理数②相反数⼤于本⾝的数是负数③数轴上原点两侧的数互为相反数④两个数⽐较，绝对值⼤的反⽽⼩．A．①②B．①③C．①②③D．①②③④【解答】解：0是绝对值最⼩的有理数，所以①正确；相反数⼤于本⾝的数是负数，所以②正确；数轴上在原点两侧且到原点的距离相等的数互为相反数，所以③错误；两个负数⽐较，绝对值⼤的反⽽⼩，所以④错误．故选：A．2中1.如果a与﹣3互为相反数，那么a等于（）A．﹣3B．3C．D．【解答】解：∵a与﹣3互为相反数，∴a＝3．故选：B．2.若m﹣2的相反数是5，那么﹣m的值是（）A．+7B．﹣7C．+3D．﹣3【解答】解：∵m﹣2的相反数是5，∴m﹣2=﹣5，解得：m=﹣3，故﹣m=3．故选：C．3.下列各组数中，互为相反数的⼀组是（）A．﹣和0.333B．﹣[+（﹣7）]和﹣（﹣7）C．﹣0.25和0.25D．﹣（﹣6）和6【解答】解：A、﹣和互为相反数，此选项错误；B、﹣[+（﹣7）]＝7，﹣（﹣7）＝7，则﹣[+（﹣7）]＝﹣（﹣7），此选项错误；C、﹣0.25和0.25互为相反数，此选项正确；D、﹣（﹣6）＝6，此选项错误；故选：C．34.若|﹣a|＝a，则a应满⾜的条件为．【解答】解：∵|﹣a|＝a，∴a≥0，故答案为：a≥0．5.绝对值⼩于2.5的所有整数是．【解答】解：绝对值⼩于2.5的所有整数是﹣2、﹣1、0、1、2．故答案为：﹣2、﹣1、0、1、2．难1.若a﹣5和﹣7互为相反数，求a的值．【解答】解：根据性质可知a﹣5+（﹣7）＝0，得a﹣12＝0，解得：a＝12．2.（1）已知：x和2x﹣12互为相反数，求x的值（2）已知：a是1的相反数，b的相反数是﹣3，c是最⼤的负整数，求a+b+c的值．【解答】解：（1）∵x和2x﹣12互为相反数，∴x+2x﹣12=0，解得：x=4；（2）∵a是1的相反数，∴a=﹣1，∵b的相反数是﹣3，∴b=3，4∵c是最⼤的负整数，∴c=﹣1，∴a+b+c=﹣1+3﹣1=1．3.如图，若数轴上a的绝对值是b的绝对值的3倍，则数轴的原点在点或点．（填“A”、“B”“C”或“D”）【解答】解：由图⽰知，b﹣a＝4，①当a＞0，b＞0时，由题意可得|a|＝3|b|，即a＝3b，解得a＝﹣6，b＝﹣2，舍去；②当a＜0，b＜0时，由题意可得|a|＝3|b|，即a＝3b，解得a＝﹣6，b＝﹣2，故数轴的原点在D点；③当a＜0，b＞0时，由题意可得|a|＝3|b|，即﹣a＝3b，解得a＝﹣3，b＝1，故数轴的原点在C点；综上可得，数轴的原点在C点或D点．故填C、D．4.﹣4，5，﹣7三数的和⽐这三数的绝对值的和⼩多少？【解答】解：根据题意得：|﹣4|+|5|+|﹣7|﹣（﹣4+5﹣7）=4+5+7+4﹣5+7=22，则﹣4、﹣5、+7三个数的和⽐这三个数绝对值的和⼩22．5.化简：|2x﹣3|+|3x﹣5|﹣|5x+1|【解答】解：①当x＜﹣时，原式＝3﹣2x+5﹣3x+5x+1＝9．②当﹣≤x时，原式＝3﹣2x+5﹣3x﹣5x﹣1＝﹣10x+7．③当≤x＜时，原式＝2x﹣3+5﹣3x﹣5x﹣1＝﹣6x+1．④当x≥时，原式＝2x﹣3+3x﹣5﹣5x﹣1＝﹣95有理数的加减法及混合运算知识讲解1. 有理数加法法则①同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加．②绝对值不相等的异号两数加减，取绝对值较⼤的加数的符号，并⽤较⼤的绝对值减去较⼩的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．③⼀个数同0相加仍得这个数．⽅法指引：在进⾏有理数加法运算时，⾸先判断两个加数的符号：是同号还是异号，是否有0．从⽽确定⽤哪⼀条法则．在应⽤过程中，要牢记“先符号，后绝对值”．）2. 加法运算律加法交换律：a+b=b+a；加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）．2. 有理数减法法则减去⼀个数，等于加这个数的相反数．即：a-b=a+（-b）⽅法指引：①在进⾏减法运算时，⾸先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：⼀是运算符号（减号变加号）；⼆是减数的性质符号（减数变相反数）；【注意】：在有理数减法运算时，被减数与减数的位置不能随意交换；因为减法没有交换律．减法法则不能与加法法则类⽐，0加任何数都不变，0减任何数应依法则进⾏计算．3. 有理数加减混合运算的⽅法有理数加减法统⼀成加法．⽅法指引：①在⼀个式⼦⾥，有加法也有减法，根据有理数减法法则，把减法都转化成加法，并写成省略括号的6和的形式．②转化成省略括号的代数和的形式，就可以应⽤加法的运算律，使计算简化．典型例题1.计算：（1）（+）+（﹣）（2）（﹣10.5）+（﹣1.3）（3）（﹣）+（﹣）+（﹣）+（+）（4）（+0.56）+（﹣0.9）+（+0.44）+（﹣8.1）【解答】解：（1）（+）+（﹣）＝﹣＝＝；（2）（﹣10.5）+（﹣1.3）＝﹣11.8；（3）（﹣）+（﹣）+（﹣）+（+）＝（﹣﹣）+（﹣+）7＝﹣1﹣2＝﹣3；（4）（+0.56）+（﹣0.9）+（+0.44）+（﹣8.1）＝（0.56+0.44）+（﹣0.9﹣8.1）＝﹣8．2.计算：（1）（﹣2）+3+1+3+（﹣3）+2+（﹣4）；（2）3+（﹣2）+5+（﹣8）．【解答】解：（1）（﹣2）+3+1+3+（﹣3）+2+（﹣4）＝（﹣2﹣3﹣4）+（3+1+3+2）＝﹣9+9＝0（2）3+（﹣2）+5+（﹣8）＝（3+5）﹣（2+8）＝9﹣11＝﹣2．3.﹣﹣【解答】解：﹣﹣＝（﹣）+（﹣）＝（﹣）+（﹣）＝﹣．4.计算：﹣（+9）﹣12﹣（﹣）．【解答】解：﹣（+9）﹣12﹣（﹣）=﹣（﹣）﹣9﹣12=1﹣21=﹣2085.0.47﹣4﹣（﹣1.53）﹣1．【解答】解：0.47﹣4﹣（﹣1.53）﹣1=（0.47+1.53）﹣（4+1）=2﹣6=﹣4．6.计算：（+5）﹣（﹣3）+（﹣7）﹣（+12）【解答】解：原式＝5+3﹣7﹣12，＝﹣11．7.计算：【解答】解：原式＝1+﹣＝1﹣＝1．8.计算：﹣5+（+2）+（﹣1）﹣（﹣）【解答】解：﹣5+（+2）+（﹣1）﹣（﹣）＝（﹣5﹣1）+（2+）＝﹣7+3＝﹣4．变式练习1.计算：（﹣）+（0.75）+（+）++1【解答】解：原式＝﹣++++1＝﹣++++1＝﹣++1＝．92.（﹣3）+（+15.5）+（﹣6）+（﹣5）【解答】解：原式＝（﹣3﹣6）+（15.5﹣5）＝﹣10+10＝0．3.计算（﹣3.14）+（+4.96）+（+2.14）+（﹣7.96）．【解答】解：（﹣3.14）+（+4.96）+（+2.14）+（﹣7.96）＝（﹣3.14+2.14）+（4.96﹣7.96）＝﹣1﹣3＝﹣4．4.计算（1）﹣5++（﹣1）（2）﹣++（﹣）（3）|﹣|++（﹣）【解答】解：（1）﹣5++（﹣1）＝﹣6+＝﹣；（2）﹣++（﹣）＝﹣；（3）|﹣|++（﹣）10＝+﹣＝﹣＝．5.10﹣（﹣7）【解答】解：10﹣（﹣7）＝10+7＝17．6.计算：（﹣5）﹣（+12）﹣（﹣7）．【解答】解：原式=﹣5+（﹣12）+7=﹣17+7=﹣10．7.计算：12﹣（﹣18）+（﹣5）﹣6．【解答】解：12﹣（﹣18）+（﹣5）﹣6＝12+18﹣5﹣6＝30﹣5﹣6＝19．8.计算：3+（﹣）﹣2．【解答】解：3+（﹣）﹣2＝3﹣2﹣＝1﹣＝．9.（﹣1）﹣1+（﹣2）﹣（﹣3）﹣（﹣1）+4．11【解答】解：（﹣1）﹣1+（﹣2）﹣（﹣3）﹣（﹣1）+4＝﹣﹣﹣+++4＝﹣4++4＝．有理数的乘除法及混合运算知识讲解1.（1）有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘．（2）任何数同零相乘，都得0．（3）多个有理数相乘的法则：①⼏个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正．②⼏个数相乘，有⼀个因数为0，积就为0．（4）⽅法指引：①运⽤乘法法则，先确定符号，再把绝对值相乘．②多个因数相乘，看0因数和积的符号当先，这样做使运算既准确⼜简单．2. 倒数：乘积是1的两数互为倒数．⼀般地，a?=1 （a≠0），就说a（a≠0）的倒数是．⽅法指引：①倒数是除法运算与乘法运算转化的“桥梁”和“渡船”．正像减法转化为加法与相反数⼀样，⾮常重要．倒数是伴随着除法运算⽽产⽣的．②正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，⽽0没有倒数，这与相反数不同．【规律⽅法】求相反数、倒数的⽅法求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求“-”求求12求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求求注意：0没有倒数．3.（1）有理数除法法则：除以⼀个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即：a÷b=a?（b≠0）（2）⽅法指引：①两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何⼀个不等于0的数，都得0．②有理数的除法要分情况灵活选择法则，若是整数与整数相除⼀般采⽤“同号得正，异号得负，并把绝对值相除”．如果有了分数，则采⽤“除以⼀个不等于0的数，等于乘这个数的倒数”，再约分．乘除混合运算时⼀定注意两个原则：①变除为乘，②从左到右．4. 有理数乘除混合运算的⽅法有理数乘除法统⼀成乘法．⽅法指引：①在⼀个式⼦⾥，有乘法也有除法，根据有理数除法法则，把除法都转化成乘法，然后确定积的符号，最后把各乘数的绝对值相乘求出结果．②把除法都转化成乘法后，就可以应⽤乘法的运算律，使计算简化．典型例题1.（﹣8）×（﹣）×（﹣1.25）×【解答】解：原式＝﹣8×1.25××＝﹣．2.计算：（）×24．【解答】解：原式＝×24+×24﹣×24＝3+16﹣1813＝19﹣18＝1．3.⽤简便⽅法计算：（﹣9）×18．【解答】解：原式＝（10﹣）×（﹣18）＝﹣180+＝﹣179．4.（﹣）÷（﹣）【解答】解：原式＝×＝．5.计算：6÷（﹣3）×（）．【解答】解：6÷（﹣3）×（）＝﹣2×（）＝3．6.计算：【解答】解：原式＝﹣16÷5＝﹣．7.计算：×（﹣4）÷1【解答】解：原式=．8.（﹣）×（﹣）÷（﹣2）．【解答】解：原式＝（﹣）×（﹣）×（﹣）＝﹣．14变式练习1.×（﹣）××．【解答】解：×（﹣）××＝（×）×（﹣×）＝×（﹣）＝﹣．2.（﹣3）××（﹣）×（﹣）【解答】解：（﹣3）××（﹣）×（﹣）=（﹣）×（﹣）×（﹣）=×（﹣）=﹣3.﹣99×36．【解答】解：﹣99×36＝（﹣100+）×36＝﹣100×36+×36＝﹣3600+＝﹣3599．154.计算：（1）﹣0.75×（﹣0.4 ）×1；（2）0.6×（﹣）×（﹣）×（﹣2）．【解答】解：（1）原式＝﹣0.75×（﹣0.4 ）×＝××＝；（2）原式＝0.6×（﹣）×（﹣）×（﹣2）＝﹣×××＝﹣1．5.计算：【解答】解：原式＝××＝．6.计算（1）﹣2.5÷（2）﹣4×÷（﹣）×2【解答】解：（1）原式=﹣××（﹣）=1；（2）原式=﹣4××（﹣2）×2=8．7.计算：﹣×16【解答】解：原式=﹣××=﹣．8.÷（﹣1）×．【解答】解：原式＝﹣××＝﹣．有理数的加减乘除混合运算知识讲解1. 有理数加减乘除混合运算的⽅法（1）有理数的加减乘除混合运算的顺序：先乘除，后加减，有括号的先计算括号⾥⾯的；（2）同级运算中，按照⾃左向右的顺序计算．典型例题1.（1）﹣1﹣2×|﹣|+（﹣6）×（﹣）（2）（﹣+﹣）×（﹣36）【解答】解：（1）﹣1﹣2×|﹣|+（﹣6）×（﹣）＝﹣1﹣2×+2＝﹣1﹣+2＝；（2）（﹣+﹣）×（﹣36）＝16+（﹣30）+1517＝1．2.计算：①13+（﹣5）﹣（﹣21）﹣19．②（﹣3）×6÷（﹣2）×．【解答】解：①原式＝13﹣5+21﹣19＝34﹣24＝10；②原式＝＝＝．3.计算：（﹣24）÷4+（﹣4）×（﹣）．【解答】解：原式＝﹣6+6＝0．4.计算：（﹣3）×2+（﹣24）÷4﹣（﹣3）【解答】解：（﹣3）×2+（﹣24）÷4﹣（﹣3）＝﹣6﹣6+3＝﹣9．变式练习1.计算：（1）2+3÷18（2）（3）2（4）1【解答】解：（1）2+3÷＝2+3×5＝2+15＝17；（2）＝＝4；（3）2＝2÷（）×＝2÷×＝2×＝15；（4）1＝＝÷[（）×]19。
北师大版 七年级上册 数学 有理数的加减、乘除及乘方运算 讲解及练习(无答案)
有理数的加减、乘除及乘方运算有理数的加减混合运算一、基础知识知识点1 有理数加减法统一成加法的意义1. 有理数加减混合运算，可以通过有理数减法法则将减法转化为加法，统一成只有加法运算的和式.如：(－11)－(+7)+(－4)－(－3)=(－11)+(－7)+(－4)+(3)2. 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式：如：(－11)+(－7)+(－4)+(+3)=－11－7－4+33. 和式的读法：一是按这个式子表示的意义，读作“－11，－7，－4，+3的和”二是按运算意义读作“负11，减7，减4，加3”.例1 把下列各式写成省略加号的和的形式.(1)(－26)－(－7)+(－10)－(－3)；(2)(－30)－(－8)+(－12)－(－5).分析：先统一成加法，再省略括号和加号.小结：在把加减混合运算的式子写成省略加号的和的形式时，符号容易变错，做这样的题目时，一定要注意符号的变化.知识点2 有理数的加减混合运算的加法和步骤1.运用减法法则将有理数的混合运算中的加减法变化为加法，写成省略加号，括号的代数和.2.利用加法的交换律、结合律简化运算，这里应注意的是：通常把同号(指同正、同负)的结合，整数与整数结合，同分母分数或容易通分的分数结合，互为相反数的结合，几个加数能凑整的结合在一起相加；对于特殊结构的计算题要灵活运用运算律.例2 计算：(－47111)－(－5)+(－4)－(+3)分析：加减混合运算应注意有条理按步骤进行，把同号的数相结合相加，这样可以使计算简便.二、典型题解析(一)基本概念题例1 把下列各式写成省略加号的和的形式，并说出它们的两种读法.(1)－2－(+3)－(－5)+(－4)；(2)(+8)－(－9)+(－12)+(+5).分析：先把加减法统一成加法；再省略括号和加号.小结：（1）和式中第一个加数若是正数，正号也可省略不写；（2）第一种读法中“的和”两字不要漏掉.(二)知识应用题例2 从－50起逐次加2，得到一连串数－48，－46，－41，－44，－40，…，问：(1)第50个整数是什么？(2)你能巧妙地运用规律计算这50个整数的和吗？小结：在求和时，找出互为相反数的数，再计算出其余的数的和，能用简便算法的尽量用简便算法.(三)学科综合题例3 小彬和小丽在一起玩游戏，游戏规则是：(1)每人每次抽取4张卡片，如果抽取到白色卡片，那么加上卡片上的数字；如果抽到红色卡片，那么减去卡片上的数字.(2)比较两人所抽4张卡片的计算结果，结果小的为胜者，小彬抽到了下面的4张卡片：红－13，白7，红－5，白4，小丽抽到了下面的4张卡片：白3.2，白－2.7，红－6，白－2问：获胜的是谁？(四)拓展创新题例4 埃及同中国一样，也是世界上著名的文明古国，古代埃及人处理分数与众不同，他们一般只使用分子为190个埃及分数：你能从中挑出10个，加上正负号，使他们的和等于－1吗?分析：这是一道阅读理解题，要从90个埃及分数中挑出10个，使它们的和等于－1，不能被题目所举的例子束缚了思维，必须要运用有理数的加减混合运算.(三)培优练习1.下列化简正确的是( )A.(－7)－(－3)+(－2)=－7－3－2B.(－7)－(－3)+(－2)=－7+3－2C.(－7)－(－3)+(－2)=－7－3+2D.(－7)－(－3)+(－2)=－7+3+22.下列各式中与a－b－c的值不相等的是( )A.a－(b－c)B.a－(b+c)C.(a－b)+(－c)D.(－b)+(a－c)3.负数a减去它的相反数的差的绝对值是( )A.0B.2aC.－2aD.以上都可能4.使等式|－7+x|=|－7|+|x|成立的有理数x是( )A.任意一个正数B.任意一个非正数C.小于1的有理数D.任意一个有理数5.在数轴上，点x表示到原点的距离小于3的那些点，那么|x－3|+|x+3|等于( )A.6B.－2xC.－6 D2x6.填空题(1)小于5而大于－4的所有偶数之和是________；(2)－14的绝对值的相反数与5的相反数的差是________；(3)若|x－3|+|y－2|=0，则x+y=________，x－y=________.7计算①(－1.5)+1.4－(－3.6)－4.3+(－5.2) ②(－1)－1+(－2)－(－3)－(－1)③－12－[10+(－8)－3] ④(－4)－(－2)－{(－5)－[(－7)+(－3)－(－8)]}⑤|－0.1|－|－0.2|+|－0.4|－|－0.2|－|+0.1|+0.48、在数1，2，3，4，……，2003，2004前添加“+”或“－”，然后求代数和，使求得的结果为最小的非负数；9.定义新运算a*b=a+b-1,如3*(-2)=3+(-2)-1=0.请你计算(-1)*(-3)*2=_________.10．定义一种运算☆，其规则为a ☆b =b a 11+，根据这个规则，计算-2☆3的值 .11.已知有理数x 、y 满足|x －2y|=－2|x －4|，求4x 2－3y 的值.12.已知|a|=6，|b|=3，|c|=5，且c ＜0，a+c ＞0，求a+b+c 的值.有理数的乘除及乘方运算一、基础知识点1.有理数的乘法法则：2.有理数的除法法则：3.乘方：4.处理好符号仍然是有理数乘法、除法及乘方运算的关键。
第2课时 有理数加减混合运算
－1.4千米
解：4.5＋(－3.2)＋1.1＋(－1.4) =(4.5＋1.1)＋[(－3.2)＋（－1.4)] =(4.5＋1.1)＋[(－3.2)＋（－1.4)] =5.6＋(－4.6)=1(千米)
答：此时飞机比起飞点高了1千米.
讲授新课
例6 动物园在检验成年麦哲伦企鹅的身 体状况时，最重要的一项工作就是称 体重.已知某动物园对6只成年麦哲伦 企鹅进行体重检测，以4kg为标准，超 过或者不足的千克数分别用正数、负 数表示，称重记录如下表所示，求这6 只企鹅的总体重.
+
1
3 4
= 2+1= 1.
讲授新课
知识点 3 加减混合运算的应用 例5 某年中国空军在南海进行了军事演习，一架飞
机作特技表演，起飞后的高度变化如下表：
高度变化 上升4.5千米 下降3.2千米 －3.2千米 +1.1千米
此时飞机比起飞点高了多少千米?
+1.75
.
错解：原式＝
3
2 3
2
3 4
1
2 3
+1.75=
6
1 3
.
错解分析：错解的原因是随意省略运算符号．应将
减法统一成加法后，再将括号及其前面
的“＋”省略．
正确解法：原式＝
3
2 3
+2
3 4
+1 2 3
+
1
3 4
=
3
2 3
+1
2 3
+2
3 4
+
1
3 4
=
3
2 3
+1
2 3
+
2
有理数的加减法及混合运算
有理数的加减法及混合运算板块一知识精讲一、考点突破本讲主要包括三个知识点：有理数的加法、有理数的减法、有理数的加减混合运算。
具体要求如下：（1）让学生能进行包括小数或分数的有理数加减及混合运算；（2）能将有理数减法正确的转化为加法，并写成代数和的形式，体现化归的思想方法；（3）体会有理数的加减法在实际生活中的简单应用；（4）进一步理解和应用加法交换律和加法结合律；（5）提高观察，分析及运算能力。
中考预测：这些知识点经常与实际问题结合，就是将实际问题转化为有理数的加减运算，另外有理数的加法与绝对值、相反数结合也是命题的热点，命题形式多样，有选择题，填空题，也有解答题（计算题）。
二、重难点提示重点：熟练掌握有理数的加减运算法则及加法运算律。
难点：在不同的情况下选择合适的运算法则并能灵活运用。
三、知识结构图四、知识点拨1. 有理数的加减，包括了负数的加减。
有理数的减法，不像小学里那样直接相减，而是先把它转换成加法，借助于加法来计算。
因此，掌握有理数的减法的关键是正确的将减法化成加法，再按照有理数的加法法则来计算。
2. 有理数的加减混合运算的方法（1）运用减法法则，将有理数加减混合运算中的减法转化为加法，然后省略加号和括号。
（2）运用加法交换律、加法结合律，使运算简便。
随堂练习：算式－3－（－5）＋（－2）写成省略加号的和的形式，正确的是（）板块二典例精析知识点1：有理数的加法例题1 小明家冰箱冷冻室的温度为－5℃，调高4℃后的温度为（）A. 4℃B. 9℃C. －1℃D. －9℃例题2 有理数a，b在数轴上的位置如图所示，则a＋b的值（）A. 大于0B. 小于0C. 等于0D. 小于a例题3 若两个数的和为正数，则这两个数（）A. 至少有一个为正数B. 只有一个是正数C. 有一个必为0D. 都是正数随堂练习：下列说法中，正确的是（）A. 如果两个数的和为零，那么这两个数一定是一正一负B. 若－2＋x是一个正数，则x一定是正数C. －a表示一个负数D. 两个有理数的和一定大于其中的每一个加数知识点2：有理数的减法例题 1 火星白天的最高温度可达28℃，而夜间温度可降到－132℃，那么火星的昼夜温度相差___________℃。
2.1.2有理数的减法(2)-加减法混合运算(教案,新教材)-七年级数学上册(人教版2024)
2.1.2有理数的减法(2)---加减法混合运算(教案，新教材)第二章有理数的运算2.1有理数的加法与减法2.1.2有理数的减法(2)---加减法混合运算【教学目标】1．能够把有理数的加、减混合运算统一成加法运算；探究数轴上两点间的距离；2. 熟练掌握有理数的加、减混合运算及其运算顺序，能运用运算律进行简化运算；3.通过对于同一个算式可以给出不同的解释，体现了数学的发散思维和转化思想.通过实例让学生感受有理数加减混合运算在实际问题中的广泛应用.【教学重点】能够把有理数的加、减混合运算统一成加法运算.【教学难点】运用运算律进行简化运算；数轴上两点间的距离.【教学过程】一、情境导入问题1：下表是某水文站记录的潮汛期某河流一周内的水位变化情况(“＋”号表示水位比前一天上升，“－”号表示水位比前一天下降，上周末的水位恰好达到警戒水位．单位：米).与上周末相比，本周末河流的水位是上升还是下降了？小组探究与上周末相比，本周末河流的水位是上升还是下降，得出以下两种计算方法：(1) 0.20＋0.81－0.35＋0.13＋0.28－0.36－0.01；(2)0.20＋（＋0.81）＋（－0.35）＋（＋0.13）＋（＋0.28）＋（－0.36）+(－0.01)；比较以上两种算法，你发现了什么？我们怎样计算？点出课题，本节课学习——2.1.2有理数的加减混合运算（板书课题）二、合作探究活动一：运用加、减法法则进行加减混合运算例1. 计算： (－20)＋(＋3)－(－5)－(＋7).学生活动：探讨上式有加，也有减法，可以先根据有理数减法法则，按顺序把减法化为加法计算.师生活动：减法变成加法后，运用加法运算律，将正数和负数分别相加. 引导学生注意：括号前是“＋”号时，将括号连同它前边的“＋”号直接去掉；括号前是“－”号时，将括号连同它前边的“－”去掉，括号内要变号．师生共同活动：(－20)＋(＋3)－(－5)－(＋7)＝(－20)＋(＋3)＋(＋5)+(-7)(减法变成加法)＝［(－20)＋(－7)］＋［(＋3)＋(＋5)］（加法运算律，正负数分别相加）＝(－27)＋(＋8)＝－19活动二： 有理数的加减混合运算统一成加法运算问题2.怎样将a b c +-，加减混合运算统一成加法运算？学生活动：讨论归纳，根据相反数意义和减法法则，统一为加法：()a b c a b c +-=++-. 问题3.上面的算式：(－20)＋(＋3)－(－5)－(＋2)，怎样改写成省略括号和加号的形式，上面的两种书写形式怎样读？学生活动：学生试着写，试着读；教师活动：教师对学生活动进行评价，要求学生再分组换数字写和读.师生活动：师生共同用简单的方式写出上面的运算(－20)＋(＋3)－(－5)－(＋7)＝－20＋3＋5－7＝－20－7＋3＋5＝－27＋8＝－19.例2. 计算： 14－25＋12－17.学生活动：统一成加法，运用加法运算律，把正负数分别相加；教师活动：提醒学生在式子中，要每两个数之间都视为有一个“＋”省略没写，运用加法运算律具有把共同特点的数放到一起加.14－25＋12－17＝14＋12－25－17＝26－42＝－16.活动三：探究数轴上两点间的距离问题4.在数轴上，点Ａ，Ｂ分别表示数,a b .对于下列各组数,a b ：2,6;0,6;2,6;2, 6.a b a b a b a b ======-=-=-（1）观察点Ａ，Ｂ在数轴上的位置，你能得出它们之间的距离吗？（2）你能用,a b 的算式表示上述各组点Ａ，Ｂ的距离吗？学生活动：小组合作，画数轴，探究结果.教师活动：再换几组数字，你能归纳Ａ，Ｂ两点间的距离与数,a b 的关系？师生共同活动：Ａ，Ｂ两点的距离与数,a b 的关系为：ＡＢ＝()a b a b ->,即ＡＢ＝a b -. 例3.如图，在数轴上，点A 、B 分别表示数a 、b ，且20a b +=．若A 、B 两点间的距离为12，则点A 表示的数为（ ）A ．4B ．4-C ．8D ．8-学生活动：由20a b +=可得2a b =-，再根据A 、B 两点间的距离为12列式求得b ，进而求得a 即可教师活动：对学生活动进行评价，分析如下：∵20a b +=，∴2a b =-；∵A 、B 两点间的距离为12，∴()212b b --=，解得：4b =，∴8a =-，点A 表示的数为8-.故选：D三、强化巩固1.解答课堂导入中的问题1.学生解答对比，教师评价.2.练习1、2抽学生板演，其余学生独立完成.3.拓展训练：如图，将一刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm ），刻度尺上的“0cm ”和“6cm ”分别对应数轴上表示2-和实数x 的两点，那么x 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6师生共同讨论，引导学生讨论解答.（参考答案：将刻度尺放在数轴上（数轴的单位长度是1cm )，刻度尺上的0cm 和6cm 分别对应数轴上表示2-和实数x 的两点，∵0到6之间是6个单位，∴(2)6x --=.∴4x =，故答选：B ）四、总结拓展学生小组合作对知识总结：1.有理数加减混合运算：一般统一为加法，再利用加法运算律，把具有某些特点的数结合在一起，再运用有理数加法法则；也可以从左向右依次按加减法法则进行.2. 数轴上Ａ，Ｂ两点的距离与数,a b 的关系为：ＡＢ＝()a b a b ->,即ＡＢ＝a b -. 学生小组合作对思想方法总结：在加减混合运算中，对于“+”“-”既可以看作性质符号（正、负），又可以看作运算符号（加、减），对于同一个算式可以给出不同的解释，体现了数学的发散思维和转化思想，感受数学的实际应用.五、作业布置必做作业： 1. 课本习题2.1第5题的2、4、6、8小题；2. 课本习题2.1第6、7、10、11题.选做作业：课本习题2.1第5题的2、4、6小题；2.课本习题第8、9、12、13题。
有理数的加减乘除混合运算
有理数的加减乘除混合运算有理数是指能够表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数、零以及分数。
在数学中，有理数的加减乘除混合运算是一个基础而重要的概念。
本文将对有理数的加减乘除混合运算进行详细介绍。
1. 加法运算有理数的加法运算是指在两个有理数之间进行相加操作。
当两个有理数的符号相同时，只需要将它们的绝对值相加，并保留相同的符号。
例如，(-3) + (-2) = -5。
当两个有理数的符号不同时，我们需要进行减法操作。
即将绝对值较大的数减去较小的数，并保留绝对值较大数的符号。
例如，(-3) + 2 = -1。
2. 减法运算有理数的减法运算是指在两个有理数之间进行相减操作。
可以将减法转化为加法，即将减数取相反数，然后进行加法运算。
例如，5 - 3可以转化为 5 + (-3)。
3. 乘法运算有理数的乘法运算是指在两个有理数之间进行相乘操作。
正数与正数相乘或负数与负数相乘，结果为正数；正数与负数相乘或负数与正数相乘，结果为负数。
即符号相同为正，符号不同为负。
例如，(-2) ×5 = -10，(-3) × (-4) = 12。
4. 除法运算有理数的除法运算是指将两个有理数进行相除操作。
除法可以通过乘法的倒数得到，即将除数的倒数与被除数相乘。
例如，(-10) ÷ 2可以转化为 (-10) × (1/2) = -5。
5. 混合运算有理数的混合运算是指在一个表达式中同时包含加减乘除这四种运算。
在进行混合运算时，需要按照运算符的优先级进行计算，并使用括号来改变运算顺序。
通常，括号中的运算先于乘除法的运算，乘除法的运算先于加减法的运算。
例如，计算表达式：(-3) + 4 × (-2) - 6 ÷ 3。
首先进行乘法和除法运算：4 × (-2) = -8；6 ÷ 3 = 2。
然后进行加法和减法运算：(-3) + (-8) - 2 = -13。
有理数加减及混合运算教案
有理数的加法(1)20米，又走了30米，能否确定他现在位于原来位置的哪个方向，相距多少米?我们知道，求两次运动的总结果，可以用加法来解答。
可是上述问题不能得到确定答案，因为问题中并未指出行走方向。
二、讲授新课：1．发现、总结：我们必须把问题说得明确些，并规定向东为正，向西为负。
(1)若两次都是向东走，很明显，一共向东走 了50米，写成算式就是： (+20)+(+30)=+50， 即这位同学位于原来位置的东方50米处。
这一运算在数轴上表示如图：(2)若两次都是向西走，则他现在位于原来位置的西方50米处， 写成算式就是： (―20)+(―30)=―50。
(3)若第一次向东走20米，第二次向西走30米，我们先在数轴上表示如图：写成算式是(+20)+(―30)=―10，即这位同学位于原来位置的西方10米处。
(4)若第一次向西走20米，第二次向东走30米，写成算式是：(―20)+(+30)=( )。
即这位同学位于原来位置的( )方( )米处。
后两种情形中两个加数符号不同(通常可称异号)，所得和的符号似乎不能确定，让我们再试几次(下式中的加数不仿仍可看作运动的方向和路程)：你能发现和与两个加数的符号和绝对值之间有什么关系吗?(+4)+(―3)=( )； (+3)+(―10)=( )； (―5)+(+7)=( )； (―6)+ 2 = ( )。
再看两种特殊情形：(5)第一次向西走了30米，第二次向东走了30米.写成算式是：(―30)+(+30)=( )。
(6)第一次向西走了30米，第二次没走.写成算式是：(―30)+ 0 =( )。
我们不难得出它们的结果。
2．概括：综合以上情形，我们得到有理数的加法法则： 1. 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；2. 绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；3. 互为相反数的两个数相加得0；4. 一个数同0相加，仍得这个数.注意：一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加法运算时，必须分别确定和的符号和绝对值.这与小学阶段学习加法运算不同。
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有理数的加减法及简便运算（时间：45min 分值：100分）一、选择题(每小题3分，共24分)1．计算5－(－6)的结果是( )A ．－1B ．11C ．1D ．－112．一个数减去2等于－3，则这个数是( )A ．－5B ．－1C ．1D ．53．遵义市2019年6月1日的最高气温是25 ℃，最低气温是15 ℃，遵义市这一天的最高气温比最低气温高( C )A ．25 ℃B ．5 ℃C ．10 ℃D ．－10 ℃4．下列运算中，正确的有( D )℃(－5)＋5＝0；℃(－10)＋(＋7)＝－3；℃0＋(－4)＝－4；℃(－3)＋2＝－1；℃(－1)＋(＋2)＝－1.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．请指出下面计算开始出错在哪一步( )1＋54－(＋32)－(－51)－(＋131) ＝541－32＋51－131℃ ＝(541＋51)－(32－131)℃ ＝2－(－32)℃ ＝2＋32＝232.℃ A ．℃ B ．℃ C ．℃ D ．℃6．已知|a|＝1，b 是2的相反数，则a ＋b 的值为( )A ．－3B ．－1C ．－1或－3D ．1或－37．定义新运算：对任意有理数a 、b ，都有a ℃b ＝a 1＋b 1.例如：2℃3＝21＋31＝65，则4℃(－3)的值是( ) A ．－127 B ．－121 C ．121 D ．127 8．有人用600元买了一只狗，又以700元的价钱卖了出去；然后，他再用800元把它买回来，最后以900元的价钱卖出．在这桩交易中，他( )A ．收支平衡B ．赚了100元C ．赚了300元D ．赚了200元二、填空题(每小题3分，共18分)9．计算：(1)5＋(－3)＝ ；(2)6－(3－5)＝ .10．大于－3且小于4的所有整数的和为 .11．规定海平面以上的高度为正，已知死海的海拔高度为－422米，天门山的海拔高度为1300米，则天门山的海拔高度比死海的海拔高度高 米．12．(2019－2020·永吉县期末)某运动员在东西走向的公路上练习跑步，跑步情况记录如下：(向东为正，单位：米)1000，－1200，1100，－800，1400，该运动员共跑的路程为 米．13.如图，乐乐将－3、－2、－1、0、1、2、3、4、5分别填入九个空格内，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等．现在a 、b 、c 分别表示其中的一个数，则a －b ＋c14．℃已知有理数－1运算结果最大，列式为 ，结果为 .三、解答题(共58分)15．(12分)计算下列各题：(1)－4＋5－11；(2)－40－28－(－19)＋(－24)；(3)－[1.4－(－3.6＋5.2)－4.3]－(－1.5)．16．(16分)计算下列各题(能简算的要简算)：(1)24－(－16)＋(－25)－15；(2)－6－8－2＋3.54－4.72＋16.46－5.28；(3)(－1.8)＋(＋0.7)＋(－0.9)＋1.3＋(－0.2)；(4)(－1.2＋261)－(－565)－|－3.4－(－1.2)|. 17．(8分)小红某星期微信收发红包的记录如下：收到22.9元，发出9.9元，收到8.3元，发出35.5元，收到2.7元，发出6.5元，收到0.8元，这时她的微信钱包里的钱数是增加了还是减少了？增加或减少了多少钱？解：由题意可得22.9－9.9＋8.3－35.5＋2.7－6.5＋0.8＝－17.2(元)．(6分) 答：她的微信钱包里的钱减少了17.2元．(8分)18．(10分)请根据图示的对话解答下列问题．求：(1)a，b的值；(2)8－a＋b－c的值．19．(12分)某出租车司机从赣东大道的汽车站出发在赣东大道(将赣东大道看作一条直线)上来回载客，假定向南行驶的路程数记为正数，向北行驶的路程数记为负数，行驶的各段路程依次为(单位：km)：＋5，－8，＋10，－6，－3，＋11，－9.(1)出租车最后是否回到出发点汽车站？解：(1)∵5－8＋10－6－3＋11－9＝0，(3分)∴出租车最后回到出发点汽车站．(4分)(2)出租车离汽车站最远是多少？(2)∵出租车离汽车站的距离依次为：5 km，|5－8|＝3(km)，|－3＋10|＝7(km)，|7－6|＝1(km)，|1－3|＝2(km)，|－2＋11|＝9(km)，|9－9|＝0(km)，∴出租车离汽车站最远是9 km.(8分)(3)在行程中，若平均每行驶4 km载到一名顾客，则出租车一共载到多少名顾客？(3)5＋8＋10＋6＋3＋11＋9＝52(km)，52÷4＝13(名)．(11分)答：出租车一共载到13名顾客．(12分)有理数的混合运算一、选择题(每小题3分，共24分)1．(2019·温州中考)计算(－3)×5的结果是( A )A ．－15B ．15C ．－2D ．22．下列运算结果为正数的是( A )A ．(－3)2B ．－3÷2C ．0×(－2017)D ．2－33．计算(－5)÷(－25)×(－52)的值为( A ) A ．－54 B ．－5 C ．－254 D ．5 4．乐乐在学习绝对值时，发现“| |”像是一个神奇的箱子：当负数钻进这个箱子以后，结果就转化为它的相反数；正数或零钻进这个箱子以后，结果没有发生变化．乐乐把－(－3)2－4放进了这个神奇的箱子，发现|－(－3)2－4|的结果是( A )A ．13B ．5C ．－13D ．105．从－3，－1，1，5，6五个数中任取两个不同的数相乘，若所得积中的最大值为a ，最小值为b ，则ba 的值为( A ) A ．－35 B ．－2 C ．－65 D ．－10 6．有理数a ，b 在数轴上的位置如图所示，则下列式子正确的是( C )A ．ab >0B ．|a |>|b |C ．a －b >0D ．a ＋b >07．若(x －2)2与|5＋y |互为相反数，则yx 的值为( D )A ．2B ．－10C ．10D ．258．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据这种规律，m 的值是( D )A ．38B ．52C ．66D ．74二、填空题（每小题3分，共24分）9.计算：－23＋21＝ ；－5－|－9|＝ . 10.某食品包装袋上标有“净含量385克±5克”，则这类食品的净含量范围是 .11.计算－3×2＋(－2)2－3的结果是 .12.小河里的水位第一天上涨了3 cm ，第二天比第一天下降了7 cm ，则与原来相比，水位的变化情况是 ，列出的算式是 .13.按照如图所示的操作步骤，若输入x 的值为2，则输出的值是 .14.将一根长1米的木棒，第一次截去一半，第二次截去剩下的一半，如此截下去，截至第五次，剩下的木棒长是 米.15.若|x |＝3，|y |＝5，且xy ＜0，则－2xy 的值为 .16.符号“H”表示一种运算，它对正整数的运算结果如下：H(1)＝－2，H(2)＝3，H(3)＝－4，H (4)＝5，……则H(7)＋H(8)＋H(9)＋…＋H(99)的结果为 . 解析：H(7)＋H(8)＋H(9)＋…＋H(99)＝(－8＋9)＋(－9＋10)＋…＋(－97＋98)－100＝46－100＝－54.故答案为－54.三、解答题(共52分)17.(16分)计算：(1)12＋(－18)－(－7)－15；解：原式＝－14.(4分)(2)(1＋32－43)×(－12)； 解：原式＝－11.(8分)(3)|－5|÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-721×0.8×241； 解：原式＝－7.(12分)(4)－23÷221⎪⎭⎫ ⎝⎛-＋9×231⎪⎭⎫ ⎝⎛-－(－1)2020. 解：原式＝－3331.(16分) 18.(6分)当温度每下降100 ℃时，某种金属丝缩短0.2 mm.把这种15 ℃时15 mm 长的金属丝冷却到零下5 ℃，那么这种金属丝在零下5 ℃时的长度是多少？ 解：15－(0.2÷100)×[15－(－5)]＝15－0.002×(15＋5)＝15－0.002×20＝15－0.04＝14.96(mm).(5分)答：这种金属丝在零下5 ℃时的长度是14.96 mm.(6分)19.(10分)有一个填写运算符号的游戏：在“1 3 6 9”中的每个 内，填入＋，－，×，÷中的某一个(可重复使用)，然后计算结果.(1)计算：1＋3－6－9；解：(1)1＋3－6－9＝4－6－9＝－2－9－11.(3分)(2)若1÷3×6 9＝－7，请推算 内的符号；1×6 9＝2 9＝－7.(2)1÷3×6 9＝1×3∵2－9＝－7，∴ 内的符号为“－”.(7分)(3)在“1 3 6－9”的 内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数.(3)这个最小数是－26.(10分)解析：∵在“1 3 6－9”的 内填入符号后，使计算所得数最小，∴1 3 6的结果是负数.∵1 3 6的最小值是1－3×6＝－17，∴1 3 6－9的最小值是－17－9＝－26.∴这个最小数是－26.20.(10分)已知有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示，|a|＝4，|c|＝1，按要求完成下列各小题：(1)求有理数a和c的值；解：(1)∵|a|＝4，|c|＝1，∴a＝±4，c＝±1.(2分)由数轴可知a＜0，c＞0，∴a＝－4，c＝1.(5分)(2)若b＋c＝－1，求b5的值.(2)∵b＋c＝－1，c＝1，∴b＋1＝－1.解得b＝－2.(8分)(－2)5＝－32.故b5的值为－32.(10分)21.(10分)2019年2月，市城区公交车施行全程免费乘坐政策，标志着我市公共交通建设迈进了一个新的时代.如图为某一条东西方向直线上的公交线路，东起职教园区站，西至富士康站，共设12个上下车站点，如图所示：某天，小王从电业局站出发，始终在该线路的公交站点做志愿者服务，到A站下车时，本次志愿者服务活动结束，如果规定向东为正，向西为负，当天的乘车站数按先后顺序依次记录如下(单位：站)：＋5，－2，＋6，－11，＋8，＋1，－3，－2，－4，＋7.(1)试通过计算说明A站是哪一站；解：(1)由题意得＋5－2＋6－11＋8＋1－3－2－4＋7＝5，在电业局东第5站是市政府，故A站是市政府站.(5分)(2)若相邻两站之间的平均距离为1.2千米，求这次小王志愿服务期间乘坐公交车行进的总路程是多少千米.(2)由题意得(|＋5|＋|－2|＋|＋6|＋|－11|＋|＋8|＋|＋1|＋|－3|＋|－2|＋|－4|＋|＋7|)×1.2＝49×1.2＝58.8(千米).(9分)答：小王志愿服务期间乘坐公交车行进的路程是58.8千米.(10分)。