变化的电磁场-习题课
电磁场与电磁波课后习题及答案四章习题解答
如题图所示为一长方形截面的导体槽，槽可视为无限长，其上有一块与槽相绝缘的盖板, 槽的电位为零，上边盖板的电位为，求槽内的电位函数。
解根据题意，电位满足的边界条件为①②③根据条件①和②，电位的通解应取为题图由条件③，有两边同乘以，并从0到对积分，得到故得到槽内的电位分布两平行无限大导体平面，距离为，其间有一极薄的导体片由到。
上板和薄片保持电位，下板保持零电位，求板间电位的解。
设在薄片平面上，从到，电位线性变化，。
解应用叠加原理，设板间的电位为其中，为不存在薄片的平行无限大导体平面间（电压为）的电位，即；是两个电位为零的平行导体板间有导体薄片时的电位，其边界条件为：①②③根据条件①和②，可设的通解为由条件③有两边同乘以，并从0到对积分，得到故得到求在上题的解中，除开一项外，其他所有项对电场总储能的贡献。
并按定出边缘电容。
解在导体板（）上，相应于的电荷面密度则导体板上（沿方向单位长）相应的总电荷相应的电场储能为其边缘电容为如题图所示的导体槽，底面保持电位，其余两面电位为零，求槽内的电位的解。
解根据题意，电位满足的边界条件为①_r FL题图②③根据条件①和②，电位的通解应取为由条件③，有两边同乘以，并从o到对积分，得到故得到槽内的电位分布为一长、宽、高分别为、、的长方体表面保持零电位，体积内填充密度为的电荷。
求体积内的电位。
解在体积内，电位满足泊松方程（1）长方体表面上，电位满足边界条件。
由此设电位的通解为代入泊松方程（1），可得由此可得或（2）由式（2），可得如题图所示的一对无限大接地平行导体板，板间有一与轴平行的线电荷，其位置为。
求板间的电位函数。
解由于在处有一与轴平行的线电荷，以为界将场空间分割为和两个区域，则这两个区域中的电位和都满足拉普拉斯方程。
而在的分界面上，可利用函数将线电荷表示成电荷面密度。
电位的边界条件为①②③由条件①和②，可设电位函数的通解为由条件③，有（1）（2）由式（1），可得（3）将式（2）两边同乘以，并从到对积分，有（4）由式（3）和（4）解得故如题图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷。
变化的电磁场习题课
1 H 2
2
1 BH 2
1
B
H
2
1
Wm
V
B 2
HdV
四、几个特殊的结论
无限长螺线管的自感
L n2V
同轴电缆的自感
L l ln R2 2 R1
圆柱形空间内均匀变化的均匀磁场产生的感应电场：
r B E感 内 2 t
E感 外
R2 2r
B t
(C)只适用于一个匝数很多,且密绕的螺线管. (D)适用于自感系数 L 一定的任意线圈.
4. 在真空中一个通有电流的线圈a 所产生的磁场内有另一个线圈 b，a和b相对位置固定，若线圈b中没有电流通过，则线圈b与a间 的互感系数:
(A)一定为零 (B)一定不为零 (C)可以不为零 (D)不可确定
5、一导体棒ab在均匀磁场中沿金属导轨向右作匀加速运动，磁 场方向垂直导轨所在平面。若导轨电阻忽略不计，并设铁芯磁 导率为常数，则达到稳定后在电容器的M 极板上：
三、计算类型
1、 感应电动势的计算：
求 方法小结：
（1）法 拉 第 电 磁 感 应 定 律 （闭 合 ） ： d
dt
（2）动 生（ 一 段 ） ： ab ( 闭 合） ：
b a
(v (v
B) dl B) dl
（3）感 生（ 一 段 ） ：
d
l
H
d
l
L1
L2
(B)
H
d
l
H
d
l
L1
L2
电磁场与电磁波课后习题及答案六章习题解答
第六章时变电磁场有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场之中，如题图所示。
滑片的位置由确定，轨道终端接有电阻，试求电流i.解穿过导体回路abcda的磁通为故感应电流为一根半径为a的长圆柱形介质棒放入均匀磁场中与z轴平行。
设棒以角速度绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。
解介质棒内距轴线距离为r处的感应电场为故介质棒内的极化强度为极化电荷体密度为极化电荷面密度为则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为平行双线传输线与一矩形回路共面，如题图所示。
设、、，求回路中的感应电动势。
解由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是垂直于纸面向内的。
故回路中的感应电动势为式中故则有一个环形线圈，导线的长度为l，分别通过以直流电源供应电压U0和时变电源供应电压U（t）。
讨论这两种情况下导线内的电场强度E。
解设导线材料的电导率为，横截面积为S，则导线的电阻为而环形线圈的电感为L，故电压方程为当U=U0时，电流i也为直流，。
故此时导线内的切向电场为当U=U（t）时，，故即求解此微分方程就可得到。
一圆柱形电容器，内导体半径为a，外导体内半径为b，长为l。
设外加电压为，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。
解当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同（准静态电场），即故电容器两极板间的位移电流密度为则式中，是长为l的圆柱形电容器的电容。
流过电容器的传导电流为可见由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。
解点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程和由得据散度定理，上式即为利用球对称性，得故得点电荷的电场表示式由于，可取，则得即得泊松方程试将麦克斯方程的微分形式写成八个标量方程：（1）在直角坐标中；（2）在圆柱坐标中；（3）在球坐标中。
解（1）在直角坐标中（2）在圆柱坐标中（3）在球坐标系中已知在空气中，求和。
电磁场课后习题答案
电磁场课后习题答案电磁场课后习题答案电磁场是物理学中一个重要的概念，涉及到电荷、电流和磁场的相互作用。
在学习电磁场的过程中，我们经常会遇到一些习题，这些习题旨在帮助我们更好地理解电磁场的基本原理和应用。
本文将给出一些电磁场课后习题的答案，希望能够对大家的学习有所帮助。
1. 一个带电粒子在匀强磁场中作圆周运动，其运动半径与速度之间的关系是什么？答：带电粒子在匀强磁场中作圆周运动时，受到的洛伦兹力与向心力相等。
洛伦兹力的大小为F = qvB，向心力的大小为F = mv²/R，其中q为电荷量，v为速度，B为磁感应强度，m为质量，R为运动半径。
将这两个力相等，可以得到qvB = mv²/R，整理得到v = qBR/m。
因此，速度与运动半径之间的关系是v 与R成正比。
2. 一个长直导线中有一电流I，求其所产生的磁场强度B与距离导线距离r之间的关系。
答：根据安培定律，长直导线所产生的磁场强度与电流和距离的关系为B =μ₀I/2πr，其中B为磁场强度，I为电流，r为距离，μ₀为真空中的磁导率。
可以看出，磁场强度与距离的关系是B与1/r成反比。
3. 一个平面电磁波的电场强度和磁场强度的振幅分别为E₀和B₀，求其能量密度u与E₀和B₀之间的关系。
答：平面电磁波的能量密度与电场强度和磁场强度的关系为u = ε₀E₀²/2 +B₀²/2μ₀，其中u为能量密度，ε₀为真空中的介电常数，μ₀为真空中的磁导率。
可以看出，能量密度与电场强度的振幅的平方和磁场强度的振幅的平方之间存在关系。
4. 一个平行板电容器的电容为C，两板间的距离为d，若电容器中充满了介电常数为ε的介质，请问在电容器中存储的电能与电容、电压和介电常数之间的关系是什么？答：平行板电容器存储的电能与电容、电压和介电常数之间的关系为W =1/2CV²，其中W为存储的电能，C为电容，V为电压。
当电容器中充满了介质后，介质的存在会使电容增加为C' = εC，因此存储的电能也会增加为W' =1/2C'V² = 1/2εCV²。
大物b课后题08-第八章电磁感应电磁场
习题8-6 一根无限长直导线有交变电流0sin i I t ω=，它旁边有一与它共面的矩形线圈ABCD ，如图所示，长为l 的AB 和CD 两边与直导向平行，它们到直导线的距离分别为a 和b ，试求矩形线圈所围面积的磁通量，以及线圈中的感应电动势。
解 建立如图所示的坐标系，在矩形平面上取一矩形面元dS ldx =，载流长直导线的磁场穿过该面元的磁通量为02m id B dS ldx xμφπ=⋅=通过矩形面积CDEF 的总磁通量为0000ln ln sin 222bm ai il I l b bldx t x a aμμμφωπππ===⎰由法拉第电磁感应定律有00ln cos 2m d I l bt dt aφμωεωπ=-=- 8-7 有一无限长直螺线管，单位长度上线圈的匝数为n ，在管的中心放置一绕了N 圈，半径为r 的圆形小线圈，其轴线与螺线管的轴线平行，设螺线管内电流变化率为dI dt，球小线圈中感应的电动势。
解 无限长直螺线管内部的磁场为0B nI μ=通过N 匝圆形小线圈的磁通量为20m NBS N nI r φμπ==由法拉第电磁感应定律有20m d dIN n r dt dtφεμπ=-=- 8-8 一面积为S 的小线圈在一单位长度线圈匝数为n ，通过电流为i 的长螺线管内，并与螺线管共轴，若0sin i i t ω=，求小线圈中感生电动势的表达式。
解 通过小线圈的磁通量为0m BS niS φμ==由法拉第电磁感应定律有000cos m d dinS nSi t dt dtφεμμωω=-=-=- 8-9 如图所示，矩形线圈ABCD 放在16.010B T -=⨯的均匀磁场中，磁场方向与线圈平面的法线方向之间的夹角为60α=︒，长为0.20m 的AB 边可左右滑动。
若令AB 边以速率15.0v m s -=•向右运动，试求线圈中感应电动势的大小及感应电流的方向。
解 利用动生电动势公式0.20()50.6sin(60)0.30()2B Av B dl dl V πε=⨯•=⨯⨯-︒=⎰⎰感应电流的方向从A B →.8-10 如图所示，两段导体AB 和BC 的长度均为10cm ，它们在B 处相接成角30︒；磁场方向垂直于纸面向里，其大小为22.510B T -=⨯。
电磁场与电磁波习题+问题课(一)
1.16(P32)：已知)2()()(222xyz czx z z e by xy e axz x e E z y x -+-++++=，试确定常数a 、b 、c使E为无源场。
（知识点：无散场定义（散度为0的矢量场为无散场）；散度计算：zE y E x E E zy x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ 。
关键点：无源场就是无散场，这里的源指通量源。
相关拓展：无散场又称无源场，无旋场又称保守场，无旋无散场又称调和场。
）解：zxyz czx z z y by xy x axz x z E y E x E E z y x ∂-+-∂+∂+∂+∂+∂=∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇)2()()(222 cxz b az x xyxc z b xy az x +-+++=-+-++++=21222122若E 为无源场，即E无无散场：0=⋅∇E有2,1,201,02,02-=-==⇒=+=-=+c b a b a c因此在2,1,2-=-==c b a 时E为无源场。
)1()2()2(++-++=b z a x c1.18(P32)：（1）求矢量32222224z y x e y x e x e A zy x ++=的散度；（2）求A ⋅∇对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求A对立方体表面的积分，验证散度定理。
（知识点：散度计算zE y E x E E zy x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ ；散度定理：V E S E SVd d ⎰⎰⋅∇=⋅;体积分和面积分。
注意：“A对立方体表面的积分”只能积分求得，不能用散度定理来求。
因为题目的要求是要验证散度定理。
）解：（1）矢量A的散度：z A y A x A A z y x ∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇ zz y x y y x x x ∂∂+∂∂+∂∂=32222224 22227222z y x y x x ++=（2）A⋅∇对中心在原点的一个单位立方体的积分(3) A对立方体表面的积分241d d d )7222(d )7222(d 21212121212122222222=++=++=⋅∇⎰⎰⎰⎰⎰---zy x z y x y x x V z y x y x x V A VV241d d 21d d 21d d 21d d 21d d )2124d d )2124d d d d d d d 212121212212121212212121212221212121222121212132221212121322=--+--+--=⋅+⋅+⋅+⋅+⋅+⋅=⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰------------z y z y z x x z x x y x y x y x y x SA S A S A S A S A S A S A S S S S S S S）（）（）（）（（（后前右左下上即有V A S A SVd d ⎰⎰⋅∇=⋅，得证散度定理。
时变电磁场习题课.
0
H y t
E0 sin(t z)
Hy
E0 0
cos(t
z)
H
ey
E0 0
cos(t
z)
例3、在两导体平板（z=0和z=d）之间的空气中传播的
电磁波，已知其电场强度为
E
ey E0
sin(
d
z) cos(t
kx)
式中k为常数，求：（1）磁场强度；（2）两导体表面的面电流
密度。
解：（1）磁场强度
例2 已知在无源的自由空间中，
E exE0 cos(t z)
其中E0、β为常数，求 H。
解：无源即所研究区域内没有场源电流和电荷，J =0, ρ =0。
ex ey ez
E x
y
z
0
H t
Ex 0 0
ey
E0
sin
t
z
0
t
(ex Hx
ey
H
y
ez
Hz
)
由上式可以写出：
Hx 0, Hz 0
磁场强度和坡印廷矢量
例 1、 在无源的自由空间中，已知磁场强度
H ey 2.63105 cos(3109t 10z) (A/ m)
求位移电流密度JD 。
解：无源的自由空间中J = 0, 由
D H t JD
ex ey
ez
JD
D t
H
x
y
z
ex
H y z
0 Hy(z) 0
ex 2.63104 sin(3109 t 10z) ( A / m2 )
( E) 2E H t
H E E
t
E 0
所以，电场强度满足的波动方程为
电磁场理论课后习题1答案
电磁场理论课后习题1答案电磁场理论是物理学中的重要课程，它研究了电磁场的产生、传播和相互作用。
在学习这门课程时，课后习题是巩固知识、提高能力的重要途径。
本文将针对电磁场理论课后习题1给出详细的解答。
习题1：一个带电粒子在电磁场中运动，受到的洛伦兹力为F=q(E+v×B)，其中q是粒子的电荷量，E是电场强度，v是粒子的速度，B是磁感应强度。
请证明：洛伦兹力对粒子所做的功率为P=qv·E。
解答：根据洛伦兹力的表达式F=q(E+v×B)，我们可以将其展开为F=qE+qv×B。
其中第一项qE表示粒子在电场中受到的电力，第二项qv×B表示粒子在磁场中受到的磁力。
根据功率的定义，功率P等于力F对时间t的导数，即P=dW/dt，其中W表示对物体所做的功。
所以我们需要计算洛伦兹力对粒子所做的功。
根据力的功的定义，功W等于力F对位移的积分，即W=∫F·ds。
在这里，位移ds是粒子在运动过程中的微小位移。
将洛伦兹力F=qE+qv×B代入功的计算式中，得到W=∫(qE+qv×B)·ds。
由于电场强度E和磁感应强度B是空间中的矢量场，所以我们可以将其展开为E=E_xi+E_yj+E_zk和B=B_xi+B_yj+B_zk的形式。
对于微小位移ds，我们可以将其表示为ds=dx·i+dy·j+dz·k。
将上述表达式代入功的计算式中，得到W=∫(q(E_xi+E_yj+E_zk)+q(v_xi+v_yj+v_zk)×(B_xi+B_yj+B_zk))·(dx·i+dy·j+dz·k)。
根据矢量积的性质，可以得到v×B=(v_yB_z-v_zB_y)i-(v_xB_z-v_zB_x)j+(v_xB_y-v_yB_x)k。
将其代入功的计算式中，得到W=∫(q(E_xi+E_yj+E_zk)+q((v_yB_z-v_zB_y)i-(v_xB_z-v_zB_x)j+(v_xB_y-v_yB_x)k))·(dx·i+dy·j+dz·k)。
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LdI
dt
I
O
t
(a)
O
( A)
tO
(B)
tO
(C )
O
t
t
(D)
Ñ 2.在感应电场中电磁感应定律可写成 A感）应闭电合场曲的线电场L 上强度处Er。i处此相式等表. 明：
L
r Ei
r dl
,
式dd中Φt
为
r Ei
B）感应电场是保守力场.
C）感应电场的电力线不是闭合曲线.
D）在感应电场中不能像对静电场那样引入电势的概念.
(A)一定为零 (B)一定不为零 (C)可以不为零 (D)不可确定
5、一导体棒ab在均匀磁场中沿金属导轨向右作匀加速运动，磁 场方向垂直导轨所在平面。若导轨电阻忽略不计，并设铁芯磁 导率为常数，则达到稳定后在电容器的M 极板上：
A）带有一定量的正电荷。 B）带有一定量的负电荷。
C）带有越来越多的的正电荷。D）带有越来越多的负电荷。
(D)把线圈的角速度增大到原来的两倍.
O
8、对位移电流，有下列四种说法，请指出哪一种说法正确? A ) 位移电流是由变化的电场产生的。 B ) 位移电流是由线性变化的磁场产生的。 C ) 位移电流的热效应服从焦耳—楞次定律。 D ) 位移电流的磁效应不服从安培环路定理。
9.长为L=40cm的直导线，在均匀线圈磁场中以v=5 m/s的速度 沿垂直于磁感线的方向运动时，导线两端的电动势为0.3V， 则该磁场的磁感应强度B= 0.15 T
b a
(v (v
B) dl B) dl
（3）感 生（ 一 段 ） ：
(闭 合 ） ：
b
ab E感 dl
a
E感 dl
L
S
B
dS
t
（2） （3） 中 的 （ 一 段 ） 也 可 加辅 助 线 构 成 （ 闭 合 ） ，
再 用 （1） 式 求 。 （ 此 时 需 辅 助线 部 分 的 0 ） 。
7.一闭合正方形线圈放在均匀磁场中，绕通过其中心且与一边平行
的转轴 OO’ 转动，转轴与磁场方向垂直，转动角速度为ω，如图
所示。用下述哪种方法可以使线圈中感应电流的幅值增加到原来 的两倍(电阻不可忽略)?
(A)把线圈匝数增加到原来的两倍. (B)把线圈的面积增加到原来的两倍,而形状不变.
O
B
(C)把切割磁力线的两条边增长到原来的两倍.
二、基本规律
1、法拉第电磁感应定律
dΦ , dΨ N dΦ
dt
dt
dt
2、 楞次定律（判定感应电流和感应电动势的方向）
三、计算类型
1、 感应电动势的计算：
求 方法小结：
（1）法 拉 第 电 磁 感 应 定 律 （闭 合 ） ： d
dt
（2）动 生（ 一 段 ） ： ab ( 闭 合） ：
(1)金属棒A、B两端的电势哪一个高? A
(2)若电流反向，则又如何? B
(3)若将金属棒与导线平行放置，结
果又如何?
A、B电势相等
v
IA
B
[例1]一半径为r2，电荷线密度为λ的均匀带电圆环，里面有一 半径为r1总电阻为R的导体环，两环共面同心(r2>>r1)，当大环 以变角速度ω=ω(t) 绕垂直于环面的中心轴旋转时，求小环中 的感应电流，其方向如何?
2
2
电磁场理论
位移电流密度
D jd t
位移电流
Id
dD
dt
麦克斯韦方程组
D d S q0
S
B
L
E
dl
S
t
d
S
B d S 0
S H dl
L
S
(
j0
D
)
t
d
S
一、基本概念 1、 感应电动势
动生电动势（洛伦兹力） 感生电动势（感应电场）
2、感应电场； 3、自感； 4、互感； 5、位移电流
（4）自感电动势的计算：
L＝
L
d d
I t
（5）互感电动势的计算：
1＝
M
d I2 dt
2、自感和互感的计算：
L IΒιβλιοθήκη 2Wm I2M 21 12
I1
I2
3、 磁场能量的计算：
Wm
1 2
LI 2
Wm
1 2
L1
I
2 1
1 2
L2
I
2 2
MI 1I2
wm
1 2
B2
1 H 2
2
1 BH 2
1
B
H
2
3.用线圈的自感系数L来表示载流线圈磁场能量的公式
Wm
1 2
LI 2
(A)只适用于无限长密绕螺线管.
(B)只适用于单匝圆线圈.
(C)只适用于一个匝数很多,且密绕的螺线管. (D)适用于自感系数 L 一定的任意线圈.
4. 在真空中一个通有电流的线圈a 所产生的磁场内有另一个线圈 b，a和b相对位置固定，若线圈b中没有电流通过，则线圈b与a间 的互感系数:
第17章 变化的电磁场
电磁感应
磁通量变化
磁场能量
感应电动势
1r v
Wm
B 2
HdV
dΦ
dt
自感磁能
互感磁能
动生电动势
感生电动势
1 LI2 2
(v
L
B) dl
L
E感
dl
s
B
dS
t
自感电动势
互感电动势
M I1I2
磁场能量密度 1 B2
wm 2
L
L
dI dt
1
M
dI 2 dt
1 H 2 1 BH
10.一自感线圈中, 电流强度在0.002s内均匀地由10A增加到12A, 此过程中线圈内自感电动势为400V, 则线圈自感系数L＝ 0.4 H
11.自感系数L=0.3H的螺线管中通以I=8A的电流时，螺线管存 储的磁场能量 W= 9.6 J
12.如图,一长直导线中通有电流I，有一与长直导线共面垂直于 导线的细金属棒AB，以速度v 平行于长直导线作匀速运动,问:
a
M
v
B
N
b
铁芯
6. 如图，平板电容器(忽略边缘效应)充电时，沿环路L1的磁场强 度 H 的环流与沿环路L2 的磁场强度 H 的环流两者，必有：
(A)
H
d
l
H
d
l
L1
L2
(B)
H d
l
H d
l
L1
L2
(C)
H
d
l
H
d
l
L1
L2
(D) H d l 0
L1
H
L1
L2
解:等效电流为:
I
q T
2r2
2 (t)
(t)r2
在圆心处形成的磁场为:
B 0 I 0(t )r2 0(t )
2r2
2r2
2
r2
r1
(t)
BS
0 (t )
2
S1
0 ( t
Wm
V
1 2
B
HdV
四、几个特殊的结论
无限长螺线管的自感
L n2V
同轴电缆的自感
L l ln R2 2 R1
圆柱形空间内均匀变化的均匀磁场产生的感应电场：
r B E感 内 2 t
R2 B E感外 2r t
典型选择题:
1、 在一自感线圈中通过的电流I 随时间 t 的变化规律如图(a) 所示，若以I 的正方向作为ε的正方向，则代表线圈内自感 电动势 ε 随时间变化规律的曲线为下图中的哪一个?