拟合优度检验例题
9.4一元线性回归方程检验：拟合优度
一元线性回归模型检验实例
解
X 表示广告费用，Y 表示牙膏销售量。
利用观察数据计算得到广告费用对牙膏销售量的样本回归方程为
计算得到 Yˆi 1.649 1.043Xi
n
R2 SSR SST
(Yˆi
i 1 n
(Yi
Y )2 Y )2
10.33 13.46
0.7673
i 1
2. 反映回归直线的拟合程度 3. 取值范围在 [ 0 , 1 ] 之间
4. R 2 1，说明回归方程拟合的越好；R 20，说明回归方程拟合的
越差
5. 判定系数等于相关系数的平方，即R 2＝r 2
回归估计标准差
均方误差
n
n
(Yi Yˆi )2
ei2
MSE i1
i1
n2
n
Se MSE
(Yi Yˆi )2
i 1
3.13 0.3344
n2
30 2
一元线性回归模型检验实例
解 判定系数的实际意义是：在牙膏销售量的波动中，有76.73%可以
由牙膏销售量与广告费用之间的线性关系来解释，或者说，在牙膏销 售量的波动中，有76.73%是由广告费用所决定的。
i
i
i
Yˆ Y i
Y Y i
Y ....
.
X
X
图 因变量Y 的离差分解
判定系数
Yi Y (Yˆi Y ) (Yi Yˆi ) 两侧分别取平方求和
n
n
(Yi Y )2 ((Yˆi Y ) (Yi Yˆi ))2
i 1i ຫໍສະໝຸດ 1由于nn
(Yˆi Y )(Yi Yˆ) (ˆ0 ˆ1Xi Y )ei
第六章 拟合优度检验
该表共有2行2列，称为2×2列联表。检验 程序如下：
. .
1、提出假设H0：给药方式与治疗效果无关 联（相互独立），即口服给药与注射给药 的治疗效果没有差异 。 2、确定显著水平： a =0.05
3、在假设H0：给药方式与治疗效果无关联 （相互独立）的前提下，计算理论数：
.
.
根据独立事件的概率乘法法则：若事件 A 和事件 B 是相互独立的 , 则 P(AB)=P(A)P(B) 。
.
.
2 i 1
k
O
i
Ti 0.5 Ti
2
.
（2）当理论数小于5时，由上式计算出的2 值与2分布偏离也较大。因此，应将理论数 小于5的项与相邻项合并直到理论数≥5,合 并后的组数为k 。
1、提出假设H0：实际观测数与理论数相 符合，记为H0：O－T＝0 ， HA：不符合
. .
.
0.016 0.101 0.135 0.218 0.470
.
312.75 104.25 108 104.252 32 34.752 104.25 34.75
.
4、推断：从附表6中查出23, 0.05＝7.815， H0的拒绝域为2>7.815。由于实得2< 7.815 ， 结论是接受H0，F2代表现型符合9:3:3:1的 分离比率。 [实例2] 用正常翅的野生型果蝇与残翅果蝇 杂交， F1 代均表现为正常翅。 F1 代自交， 在F2代中有311个正常翅和81个残翅。问这 一分离比是否符合孟德尔3∶1的理论比？
.
2 i 1
k
Oi Ti
Ti
2
.
1899年统计学家K.Pearson发现上式服从自 由度df＝k-1-a的2分布，所以定义该统计 量为2。 k为类型数或组数；a为需由样本估计的参 数的个数。
拟合优度检验的例子
拟合优度检验的例子
拟合优度检验是一种统计学中重要且常用的方法，它可以用来评估模型与实测数据之间的一致性，因此可以广泛应用于不同的领域，从而为进一步的研究提供重要的统计依据。
本文将介绍拟合优度检验的基本原理，并以一个实际的拟合优度检验的例子来讨论其对实际应用的重要性。
首先，简要介绍拟合优度检验的基本原理。
拟合优度检验的目的是评估模型的拟合能力，即检验模型形式是否足够贴近实际数据变化情况，从而判断模型的合理性。
具体而言，在拟合优度检验中，模型与实际数据之间的差异会用一个拟合优度度量值来表示，该度量值越大代表模型与实际数据之间的差异越小，模型相对更加合理。
接下来，下面将以一个实际的拟合优度检验的例子来讨论其对实际应用的重要性。
假设我们现在研究一种用于预测病人的治疗效果的模型。
利用实验结果，我们可以得出一系列实测数据，这些数据可以用来衡量病人的治疗效果以及治疗方式的有效性。
在建立模型之前，我们可以先利用拟合优度检验来评估模型与真实数据之间的一致性，这样可以帮助我们判断模型的合理性，从而为研究提供一定的统计依据。
从上面的例子可以看出，拟合优度检验与实际应用紧密相关，是一种非常重要的技术手段，可以用来有效地评估模型的拟合效果，从而为模型的进一步研究提供重要的统计依据。
因此，拟合优度检验在许多领域中都得以广泛应用，有助于深入了解不同系统中现象的变化
规律，从而提升研究的准确性。
总之，拟合优度检验是一种重要且常用的统计学方法，它可以有效评估模型与实测数据之间的一致性，从而为研究工作提供重要的统计依据。
以上就是本文所要介绍的拟合优度检验的基本原理及其对实际应用的重要性，希望能够帮助读者对拟合优度检验有一个初步的了解。
基于经验似然的拟合优度检验及应用题
２ Ｓ ｈ ｏ ｏ ｔｅ ｔ ｓ＆ Ｓａｉ ｉｓ ｆＮ ｒ ｅ ｓ Ｎ ｒ ａ ｎｖ ｒ ｔ ， ｈ ｎ ｃ ｕ ３ ０ ４， ｈｎ ． ｃｏｌ ｆ Ｍａｈ ｍａ ｃ ｉ ｔ ｓ ｃ ｏｔ ａ ｔ ｏｍ ｌ ｉｅｓ ｙ Ｃ ａ ｇ ｈ ｎ１ ０ ２ Ｃ ｉａ） ｔｔ ｏ ｈ Ｕ ｉ
摘
要 ： 对 拟合 优度 检验 的 问题 ， 文 关心 的 问题 是 如 何 构 造 一 个合 适 的统 计 量 ， 检 验 在 针 本 使
控 制 第一 类错误 的情 况下尽 量 减 少第二 类错 误 的概 率 ． 经验似 然 在 拟 合优 度 上 的应 用是 利 用数 据
服从 原假 设 分布 的条件 来找估 计 方程 ， 由此 构造检 验 统计 量 ． 并 而且 经验 似 然结合 拟合 优度 检验 应
基 于 经 验 似 然 的 拟 合 优 度 检 验 及 应 用 题
周 彦 ， 王 国长
（ ． 尔 滨 理 工 大 学 应 用 科 学 学 院 ， 龙 江 哈 尔 滨 １０ ８ ； ． 北 师 范 大 学 数 学 统 计 学 院 ， 林 长 春 １０ ２ ） １哈 黑 ５００ ２东 吉 ３ ０４
对 于 这 个 问题 ， ９ ３年 ， ｏ ｇｒｖ提 出 了著 １３ Ｋ ｌ ｏｏ ｍｏ
名 的 Ｋ ｌ ｇ ｒｖ统 计 量 ；９ ９年 提 出 的 Ｆｅｍａ ｏ ｏｏ ｍｏ １７ ｒｅ ｎ— Ｔ ｒｅ 统 计 量 参 考 Ｆｅ ｂｒ ｕｋ ｙ ｉｎ ｅｇ（１７ 、Ｍｏｒ ９ ９） ｏｅ （ ９ ６ ；ｅｒｏ １８ ） Ｐ ａｓｎ提 出了 ｘ 检验 ．９ ４年 ， ｒｓ １８ Ｃｅ—
ｓ ｅ和 Ｒ ａ 提 出 了系统 的幂 偏差 统计 量 理论 ， 验 ｅｄ 经 似然 方法 是 Ａ Ｂ Ｏ ｅ （ ９ ８ １ ９ ａ －ｊ 出来 的 ． ． ｗ ｎ １ ８ ，９ ０ ） ９提
卡方-拟合优度检验
7.2.2 对二项分布的检验（P93）
下面结合实例说明适合性检验方法。
（总体参数已知 ）
【例】 在研究牛的毛色和角的有无两对相对性状分离
现象时 ，用黑色无角牛和红色有角牛杂交 ，子二代出
现黑色无角牛192头，黑色有角牛78头，红色无角牛72 头，红色有角牛18头，共360头。试 问这两对性状是否 符合孟德尔遗传规律中9∶3∶3∶1的遗传比例？
1、rc个理论次数的总和等于rc个实际次数的总和；
2、r个横行中的每一个横行理论次数总和等于该 行实际次数的总和 。 独立的行约束条件只有r-1个； 3、类似地，独立的列约束条件有c-1个。 因而在进行独立性检验时，自由度为rc-1-(r-1)-(c1)=(r-1)(c-1)，即等于（横行属性类别数-1）×（直 列属性类别数-1）。
黑色无角牛的理论次数T1：360×9/16=202.5；
黑色有角牛的理论次数T2：360×3/16=67.5； 红色无角牛的理论次数T3：360×3/16=67.5；
红色有角牛的理论次数T4：360×1/16=22.5。
或 T4=360-202.5-67.5-67.5=22.5
（四）列表计算2
表 2计算表
表
性别
动物性别实际观察次数与理论次数
实际观察 理论次 次数Oi 数Ti O i－T i （Oi－Ti）2/Ti
雌
雄 合计
428
448 876
438
438 876
-10
10 0
0.2283
0.2283 0.4563
从上表可以看到 ，实际观察次数与理论次数存在
一定的差异。 这个差异是属于抽样误差、还是其性别
（1）提出零假设：认为有效或无效与给药方式并无关联。 实际观察的结果与在两者之间并无关联的前提下，从理论 上推导出的理论数之间无差异。即H0：O－T＝0。 （ 2 ）根据概率乘法法则，若事件 A 和事件 B 是相互独立 的，或者说它们之间并无关联，这时事件A和事件B同时出 现的概率等于它们分别出现的概率乘积。
卡方拟合优度检验例题
卡方拟合优度检验例题卡方拟合优度检验（Chi-squaregoodness-of-fittest）是统计学中常用的假设检验方法，可用于比较实际观察值与理论预期值，以判断模型是否正确。
本文以一道卡方拟合优度检验例题为例，深入剖析卡方拟合优度检验的原理与方法。
一、卡方拟合优度检验的原理卡方拟合优度检验的核心原理是：通过检验拟合值与观察值之间的相关性，判断理论预期值和实际观察值之前的差异程度，来评估模型的准确性。
卡方拟合优度检验一般通过以下步骤完成：1.建立假设：设定检验假设及其备择假设。
2.确定拟合优度指标：根据检验的假设，确定卡方拟合优度检验的拟合优度指标。
3.统计观察值：收集实际观察值，并计算相应的频率。
4.计算卡方值：计算实际观察值与理论预期值的卡方值。
5.检验假设：根据计算出的卡方值，建立检验假设，并确定统计量的显著性水平，以检验拟合优度。
二、卡方拟合优度检验例题题目：一商店的经理看到商品购买者结账支付情况如下：结账支付方式：信用卡：30现金：70若这一商店的正常支付情况按照比例是20：80，则这次购物结账支付情况是否与正常情况差异显著？解答：1.建立假设：检验假设H0：这次购物结账支付情况与正常情况一致，即比例20：80，备择假设H1：这次购物结账支付情况与正常情况差异显著。
2.确定拟合优度指标：假设检验的拟合优度指标为卡方值X2，检验显著性水平为α=0.05。
3.统计观察值：实际观察值总数为100，其中信用卡支付30，现金支付70，理论预期值比例应为20：80。
4.计算卡方值：根据卡方拟合优度检验的公式，X2=(30-20)^2/20+(70-80)^2/80=2.255.检验假设：卡方拟合优度检验的拟合优度指标计算出X2=2.25，较α=0.05的显著性水平没有超过，故不能拒绝H0，即该次购物结账支付情况与正常情况一致，没有显著差异。
三、总结本文以一道卡方拟合优度检验例题为例，从原理到方法，深入剖析了卡方拟合优度检验的原理与流程，示范了具体操作步骤，同时也提示了卡方值与显著性水平的计算和比较，有助于检验拟合优度及识别模型准确性。
拟合优度检验
Hale Waihona Puke 例2：孟德尔豌豆试验中，发现黄色豌豆为25 粒, 绿色豌豆11粒，试在α=0.05下, 检验豌豆 黄绿之比为3:1。
解：定义随机变量 X
1, 豌豆为黄色， X 0, 豌豆为绿色.
计数符号，取集 合中元素的个数
(4). 计算理论频数与实际频数的偏差平方和。
2 k [fi
i1
nip (ˆ)2 ]， nip (ˆ)
( 2)
每一项n用 pi(ˆ)去除的其目的是理：论缩
频数比较大的那和些式项中在的影响力
可以证明：在 H0 成立，且n→∞时,
2k 2-1r ， -
( 3 )
即2统计量的分布由 收度 敛k为 到 r自 1
于是，拒绝原假设，即认为棉纱拉力强
度不服从正态分布。
χ 2检验的一个著名应用例子是孟德尔豌豆 实验。奥地利生物学家孟德尔在1865年发表的 论文，事实上提出了基因学说，奠定了现代遗 传学的基础。他的这项伟大发现的过程有力地 证明了统计方法在科学研究中的作用。因此， 我们有必要在这里将这一情况介绍给大家。
H0：总体X的分布函数为F(x) ； (1)
对立假设为H1：总体 X 的分布函数非F(x)。 如果F(x)形式已知，但含有未知参数θ 或参
数向量θ =(θ1, θ2,…, θr ) ，则记其为F(x,θ )。
这种检验通常称为拟合优度检验。
不妨设总体 X 是连续型分布。检验思想 与步骤如下:
(1). 将总体X的取值范围分成k个互不重叠的 小区间 I1, I2, …, Ik，
拟合优度检验
第3节拟合优度检验在实际研究中，很多统计方法（例如区间估计、假设检验等）都需要了解总体分布的信息，问题是这些信息是否正确？可以用拟合优度检验来回答上述问题例：销售员的工作业绩是否服从正态分布？某家公司随机抽取市场营销部的30名销售员，得到他们的月销售额数据（单位：万元）：(均值= 71, 标准差= 18.54)33 43 44 45 52 52 56 58 63 6464 65 66 68 70 72 73 73 74 7583 84 85 86 91 92 94 98 102 105直观的想法：比较实际观测的分布情况和正态分布函数的分布情况，看它们是否接近12 3有多种衡量这两个分布情况是否接近的途径可以用这两个分布对应的分位数的接近程度来衡量——QQ图可以比较样本频数观测值与正态分布的期望频数是否有显著差异来衡量——卡方检验4QQ 图x <-c(33,43,44,45,52,52,56,58,63,64,64,65,66,68,70,72,73,73,74,75,83,84,85,86,91,92,94,98,102,105)qqnorm(x,pch=20) #绘制正态Q-Q 图，散点设置为实心点qqline(x,col="red",lwd=2) #添加红色的对角线Normai Q-Q Plot-2-1012405060708090S a m p l e Q u a n t i l e sTheoretical Quantiles拟合优度检验检验条件H0: 销售员的月度销售额数据，服从均值为71，标准差为18.54的正态分布H a:销售员的月度销售额数据，不服从均值为71，标准差为18.54的正态分布定义“区间”经验法则：每个区间或类别中，期望频数至少为5A 本例的样本容量为30（人），所以将分布分成30/5 = 6个相等的区间B标准正态分布N（0,1）Areas=1.00/6=0.1667????> qnorm(1/6) [1] -0.9674216 > qnorm(2/6) [1] -0.4307273标准正态分布累积概率表累积概率z 表中的值给出z 值左侧曲线下方的面积。
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ˆi ni np
2
ˆi / np
≥11
0.1147 0.2672 1.4614 0.0005 1.0766 0.5343 1.4525 0.0120 7.6673 0.1658 0.1286 0.0158
17
这是现代物理学发展史上最有名
的实验数据之一，它与泊松分布
的良好拟合这一事实对物理学及
2
拒绝H0,即事故发生可能性不同，的 确与星期有关
4
例2 孟德尔豌豆试验中,发现黄色豌豆有25个， 绿色豌豆有11个，试在显著性水平α=0.05下 检验黄色豌豆与绿色豌豆数目之比为3:1这个比例. 解：定义随机变量
1，若豌豆为黄色, X 0，若豌豆为绿色.
记P{X 1} p1，P{X 0} p2，则提出如下假设
1 1 1 304 890 176 890 139 890 3 6 6 2 1 1 1 890 890 890 3 6 6
2 2 2 2 2
1 1 141 890 130 890 6 6 2 8.5542 9.488 4 0.05 1 1 890 890 6 6
2
0.13534 0.27067 0.27067 0.18045 0.09022 0.03609 0.01203 0.00453 1.0000
8.1201 16.2402 16.2402 10.8268 5.4134 2.1654 0.7218 0.2720 60
0.1147 0.2672 1.4614 0.0005 1.0766 0.5343 1.4525 0.0158 0.5595
接受H0，可以认为星期一的缺勤是其 他工作日缺勤的两倍
例4 某电话交换台一小时内接到用户呼叫次数 按照每分钟记录如下： 呼叫次数： 0 1 2 3 4 5 6 7 频数： 8 16 17 10 6 2 1 0 试问这个分布能否认为是泊松分布?(α=0.05)
解：参数为 的泊松分布列为 i P{ X i} e , i 0,1, 2 i! 的最大似然估计为
k
e
ˆi ni np ˆi np
2
12.8967 (0.05) 18.307
2 10
接受H0，认为观测数据服从 泊松分布
16
x=i
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
ni
57 203 383 525 532 408 273 139 45 27 10 6
pi
12
合计 60
2
n
j
ˆj np ˆj np
2
0.5595
12.592
2 r 1 s
0.05 0.05
2 6
接受H0,即认为观测数据服从泊松分布
13
例5 卢瑟福在2608个相等时间间隔
(7.5秒)内观测了一放射性物质放射的
粒子数X，下表中的ni是观测到i个粒子 的时间间隔数(最后一项已经合并)， 试检验观测数据是否服从泊松分布？ α=0.05
14
x=i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
≥11
ni 57 203 383 525 532 408 273 139 45 27 10 6
15
解： 参数为的泊松分布为
k! 由原始数据算得的最大似然估计为 ˆ x 3.870
2 i 1 12
P( X k )
ˆ2
10
ˆ 2代入计算p ˆ i 分别为 将
ˆi p
i ˆ
i!
e , i 0,1, 2,
ˆ
,6
ˆ7 p
i 7
i
i!
e
11
x=i 0 1 2 3 4 5 6
≥7
ni 8 16 17 10 6 2 1 0
ˆi p
ˆi np
ˆ i / np ˆi ni np
7
例3 某公司的考勤员试图证实星期 一的缺勤是其他工作日缺勤的两倍， 已经有三月的缺勤记录如下表所示? (α=0.05)
日期 星期 星期 星期 星期 星期 一 二 三 四 五
176 139 141 130
缺勤数 304
8
解：因为缺勤比例为2:1:1:1:1,因此 2 1 H 0 : P( X 1) , P( X i) , i 2, 3, 4, 5 6 6
拟合优度检验的补充例题
1
例1 交通部门统计事故与星期的关系 得到 星期：一 二 三 四 五 六 日 次数：36 23 29 31 34 60 25 问事故发生的可能性是否相同？(α=0.05) 解：P X j p j , j 1, 2,
1 H 0 : p j , j 1, 2, , 7 7 H1 : 事故的发生与星期有关
3 1 H 0 : p1 , p2 4 4
5
列表计算如下
豌豆颜色 黄色
绿色
实际频数n j
概率p j
理论频数np j
25
11
3/4
1/4
27
9
总和
36
1
36
6
2 j 1
7
n
j
np j np j
2
0.593
3.842 0.05
2 1
接受H0,即认为黄色豌豆与绿色豌豆 数目之比为3:1.
对概率论都有重要意义.
18
0.0209 0.0807 0.1562 0.2015 0.1950 0.1509 0.0973 0.0538 0.0260 0.0112 0.0043 0.0022
npi
54.5 210.5 407.4 525.5 508.6 393.5 253.8 140.3 67.8 29.2 11.2 5.7
2
,7
列表计算如下
星期 实际频数 n j 一 二 三 四 五 六 日 总和 36 23 29 31 34 60 25 238 概率 p j 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1/7 1 理论频数 np j 34 34 34 34 34 34 34 238
3
1 n n 7 j 7 2 26.941 1 j 1 n 7 2 12.592 6 0.05