拟合优度检验
拟合优度检验公式
拟合优度检验公式
拟合优度检验公式是用来评估统计模型对观测数据的拟合程度的一种方法。
在统计学中，我们经常使用拟合优度检验来确定一个模型是否能够很好地解释数据的变异性。
拟合优度检验的公式可以用来计算观测数据与模型预测值之间的差异。
其中最常用的是R 平方值，它表示模型能够解释观测数据变异性的比例。
R平方值的取值范围为0到1，越接近1表示模型对数据的拟合越好。
除了R平方值，还有其他一些拟合优度检验公式，如调整R平方值和残差平方和。
调整R 平方值是在R平方值的基础上考虑了模型中自变量的个数，它可以避免过度拟合的问题。
残差平方和则是衡量模型预测值与观测值之间的差异的总和。
拟合优度检验公式的应用非常广泛。
在科学研究中，研究人员经常使用拟合优度检验来评估他们的模型是否能够很好地解释实验数据。
在商业领域，拟合优度检验可以用来评估市场模型的准确性。
在医学领域，拟合优度检验可以用来评估疾病模型的预测能力。
拟合优度检验公式是一种用来评估统计模型对观测数据的拟合程度的方法。
它可以帮助我们判断一个模型是否能够很好地解释数据的变异性，并在科学研究、商业分析和医学预测等领域发挥重要作用。
第六章 拟合优度检验
该表共有2行2列，称为2×2列联表。检验 程序如下：
. .
1、提出假设H0：给药方式与治疗效果无关 联（相互独立），即口服给药与注射给药 的治疗效果没有差异 。 2、确定显著水平： a =0.05
3、在假设H0：给药方式与治疗效果无关联 （相互独立）的前提下，计算理论数：
.
.
根据独立事件的概率乘法法则：若事件 A 和事件 B 是相互独立的 , 则 P(AB)=P(A)P(B) 。
.
.
2 i 1
k
O
i
Ti 0.5 Ti
2
.
（2）当理论数小于5时，由上式计算出的2 值与2分布偏离也较大。因此，应将理论数 小于5的项与相邻项合并直到理论数≥5,合 并后的组数为k 。
1、提出假设H0：实际观测数与理论数相 符合，记为H0：O－T＝0 ， HA：不符合
. .
.
0.016 0.101 0.135 0.218 0.470
.
312.75 104.25 108 104.252 32 34.752 104.25 34.75
.
4、推断：从附表6中查出23, 0.05＝7.815， H0的拒绝域为2>7.815。由于实得2< 7.815 ， 结论是接受H0，F2代表现型符合9:3:3:1的 分离比率。 [实例2] 用正常翅的野生型果蝇与残翅果蝇 杂交， F1 代均表现为正常翅。 F1 代自交， 在F2代中有311个正常翅和81个残翅。问这 一分离比是否符合孟德尔3∶1的理论比？
.
2 i 1
k
Oi Ti
Ti
2
.
1899年统计学家K.Pearson发现上式服从自 由度df＝k-1-a的2分布，所以定义该统计 量为2。 k为类型数或组数；a为需由样本估计的参 数的个数。
拟合优度检验
计算上例的χ 值并做推断。先计算各理论数Ti。
2
给药方式 口服
（B ）
有效（ A ）
O1=58 ( 98)(122 ) = 61.95 T1 = 193 O3=64 ( 95)(122 ) = 60.05 T3 = 193
无效（ A ）
总数
T2
( 98)( 71) = 36.5 =
193
O4=31 ( 95)( 71)
列联表中的数据可以用以下符号表示： a c a+c b d b+d a+b c+d N
在行总数和列总数及N都保持不变的情况下，a、b、c、d的各种组合 的概率可以由下式给出：
P=
( a + b )!( c + d )!( a + c )!( d + b )!
N !a !b !c !d !
零假设：不存在处理效应。若P > α 则接受零假设；反之则拒绝。 若a、b、c、d中的任何一个出现0时，则直接用该概率值作为判断标 准。若无，则应当将这个组合的概率以及从最接近于0的哪个观测值到 0的各种组合的概率都计入。这样才能构成一个尾区的概率。
将以上数据列成下表：
Y_R_ 实际观测数O 理论频率p 理论数T O-T (O-T) 2/ T 315 9/16 312.75 2.25 0.016
Y_rr 101 3/16 104.25 -3.25 0.101
yyR_ 108 3/16 104.25 3.75 0.135
yyrr 32 1/16 34.75 -2.75 0.218
2. 总体参数未知 例 调查到幼儿园接小孩的家长性别，以10人为一组，记录每组女性的人数，共得到
100组，列入下表的第2列中。问女性家长人数是否符合二项分布。 解：人群中男女比率各 占一半，但去接小孩的 家长中是否也是这个比 率就不一定。因此二项 分布的参数ϕ 是未知 的，需从样本数据估 计。
拟合优度检验-
的 分 离 现 象 符 合 孟 德 尔遗传规律中9∶3∶3∶1 的遗传比例。
例7.1；7.2（P93;94）
• 总体参数未知 例P95，表7-1 不同之处：要由样本估计出总体参数。
7.2.3 对正态分布的检验（P96） 7.2.4 其他类型问题的检验（P97）
表
性别
动物性别实际观察次数与理论次数
实际观察 理论次 次数Oi 数Ti O i－T i （Oi－Ti）2/Ti
雌
雄 合计
428
448 876
438
438 876
-10
10 0
0.2283
0.2283 0.4563
从上表可以看到 ，实际观察次数与理论次数存在
一定的差异。 这个差异是属于抽样误差、还是其性别
§7.3、独立性检验
7.3.1 列联表2 检验（P97）
一、独立性检验的意义
对次数资料，除进行拟合优度检验外，有时需 要分析两类因子是相互独立还是彼此相关。如研究 两类药物对实验动物某种疾病治疗效果的好坏，先 将动物分为两组，一组用第一种药物治疗，另一组 用第二种药物治疗，然后统计每种药物的治愈头数 和未治愈头数。
当自由度大于1时，原公式的2分布与连续型随机
变量2分布相近似，这时，可不作连续性矫正，但要
求各组内的理论次数不小于5。若某组的理论次数小 于5，则应把它与其相邻的一组或几组合并，直到理 论次数大 于5 为止。
• 统计量：
(Oi Ti ) Ti i 1
2 r
2
• 使用条件：
– 各理论值均大于5。 – 若自由度为1，则应作连续性矫正：
比例发生了实质性的变化?
要回答这个问题： ①首先需要确定一个统计量用以表示实际观察次数与 理论次数偏离的程度； ②然后判断这一偏离程度是否属于抽样误差，即进行 显著性检验。
拟合优度检验
拟合优度检验拟合优度检验是统计学中一项重要的统计检验方法，用于评估统计模型对观测数据的拟合程度。
在统计学中，我们经常使用模型来描述和解释现实世界中的数据。
拟合优度检验可以帮助我们确定模型是否适合描述数据，以及模型的预测能力如何。
拟合优度检验的原理基于一个统计假设：如果模型与数据完全匹配，那么模型的预测值应该与观测值完全一致。
因此，在进行拟合优度检验时，我们需要将观测值与模型预测值进行比较，并计算它们之间的差异。
最常用的拟合优度检验方法是卡方检验。
卡方检验基于计算观测值与模型预测值之间的差异，并将其转化为统计量，再根据统计量的分布进行假设检验。
在卡方检验中，我们假设原假设为模型与数据完全匹配，备择假设为模型与数据存在差异。
卡方检验的计算步骤如下：1. 假设我们有一个具体的模型，并用该模型的参数对观测值进行预测。
2. 通过计算观测值与模型预测值之间的差异来计算卡方统计量。
差异可以通过观测值减去模型预测值得到。
3. 根据卡方统计量的分布，计算拟合优度检验的P值。
P值表示在原假设为真的情况下，出现观测到的或更极端结果的概率。
4. 对P值进行显著性检验。
根据显著性水平的设定，如果P值小于显著性水平，则拒绝原假设，认为模型与数据存在差异；如果P 值大于显著性水平，则接受原假设，认为模型与数据匹配良好。
拟合优度检验的结果可以告诉我们模型对数据的拟合程度。
如果P值较大，意味着模型与数据存在较好的拟合，模型可以很好地解释数据。
如果P值较小，意味着模型与数据存在较大差异，模型的拟合程度较差，需要进行进一步调整或选择其他模型。
除了卡方检验，还有其他常用的拟合优度检验方法，如残差分析和拟合指数。
这些方法都可以用于评估模型的拟合程度，但各有特点和适用范围。
在进行拟合优度检验时，我们需要根据具体的研究目的和数据特点选择合适的方法。
总而言之，拟合优度检验是统计学中一项重要的方法，用于评估统计模型对观测数据的拟合程度。
通过计算观测值和模型预测值之间的差异，并进行统计假设检验，可以帮助研究人员判断模型的质量和适用性。
卡方-拟合优度检验
7.2.2 对二项分布的检验（P93）
下面结合实例说明适合性检验方法。
（总体参数已知 ）
【例】 在研究牛的毛色和角的有无两对相对性状分离
现象时 ，用黑色无角牛和红色有角牛杂交 ，子二代出
现黑色无角牛192头，黑色有角牛78头，红色无角牛72 头，红色有角牛18头，共360头。试 问这两对性状是否 符合孟德尔遗传规律中9∶3∶3∶1的遗传比例？
1、rc个理论次数的总和等于rc个实际次数的总和；
2、r个横行中的每一个横行理论次数总和等于该 行实际次数的总和 。 独立的行约束条件只有r-1个； 3、类似地，独立的列约束条件有c-1个。 因而在进行独立性检验时，自由度为rc-1-(r-1)-(c1)=(r-1)(c-1)，即等于（横行属性类别数-1）×（直 列属性类别数-1）。
黑色无角牛的理论次数T1：360×9/16=202.5；
黑色有角牛的理论次数T2：360×3/16=67.5； 红色无角牛的理论次数T3：360×3/16=67.5；
红色有角牛的理论次数T4：360×1/16=22.5。
或 T4=360-202.5-67.5-67.5=22.5
（四）列表计算2
表 2计算表
表
性别
动物性别实际观察次数与理论次数
实际观察 理论次 次数Oi 数Ti O i－T i （Oi－Ti）2/Ti
雌
雄 合计
428
448 876
438
438 876
-10
10 0
0.2283
0.2283 0.4563
从上表可以看到 ，实际观察次数与理论次数存在
一定的差异。 这个差异是属于抽样误差、还是其性别
（1）提出零假设：认为有效或无效与给药方式并无关联。 实际观察的结果与在两者之间并无关联的前提下，从理论 上推导出的理论数之间无差异。即H0：O－T＝0。 （ 2 ）根据概率乘法法则，若事件 A 和事件 B 是相互独立 的，或者说它们之间并无关联，这时事件A和事件B同时出 现的概率等于它们分别出现的概率乘积。
拟合优度检验
拟合优度检验引言在统计学和数据分析中，拟合优度检验是一种常用的方法，用于评估分类模型或回归模型的拟合程度。
拟合优度检验可以帮助我们确定模型是否适合我们的数据，并提供了一个衡量模型质量的指标。
拟合优度检验的基本概念拟合优度检验是通过比较观察到的数据和模型预测得到的数据之间的差异来评估模型的拟合程度。
在分类模型中，拟合优度检验通常用于验证模型的准确性和预测能力。
在回归模型中，拟合优度检验则用于衡量模型对实际数据的解释程度。
在进行拟合优度检验之前，通常会建立一个原假设和替代假设。
原假设指的是模型与数据没有显著的差异，而替代假设则指的是模型与数据存在显著的差异。
通过检验原假设的可行性，我们可以确定模型的拟合程度。
常见的拟合优度检验方法1. 卡方拟合优度检验卡方拟合优度检验用于检验观察到的数据与理论上期望的数据之间的差异。
它常用于评估分类模型中观测值与理论值之间的差异。
卡方拟合优度检验通过计算观察值与期望值之间的卡方统计量来确定模型的拟合程度。
如果卡方统计量足够小，或者p值足够大，则原假设成立。
2. 残差分析残差分析是一种常用的拟合优度检验方法，用于评估回归模型对实际数据的解释能力。
在残差分析中，我们通过计算观测值与预测值之间的差异来评估模型的拟合程度。
如果残差足够小，并且呈现出随机分布的特征，则说明模型对实际数据的解释能力较好。
3. R平方值R平方值是一种常用的回归模型拟合优度检验指标。
它可以衡量模型对因变量变异的解释程度。
R平方值的取值范围为0到1，其值越接近1，说明模型对实际数据的解释能力越强。
4. Decoding方法Decoding方法是一种用于评估分类模型拟合优度的方法。
它通过计算模型的准确率、精确率、召回率等指标来评估模型的分类性能。
较高的准确率和精确率，以及较低的误判率和漏判率，都表明模型的拟合优度较高。
拟合优度检验的应用领域拟合优度检验在各个领域都有广泛的应用。
在医学领域，拟合优度检验可以用于评估某种治疗方法对患者病情的预测能力。
第7章 拟合优度检验
§7.1拟合优度检验的一般原理 拟合优度检验的一般原理
7.1.1 什么是拟合优度检验
拟合优度检验（ 拟合优度检验（goodness of fit test） ） 是用来检验实际观测数与依照某种假设或模型 计算出来的理论数之间的一致性，以便判断该 计算出来的理论数之间的一致性， 假设或模型是否与观测数相配合。拟合优度检 假设或模型是否与观测数相配合。 验也会出现Ⅰ型错误(弃真) 验也会出现Ⅰ型错误(弃真)和Ⅱ型错误(取伪)。 型错误(取伪)
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7.2.2 对二项分布的检验 １．总体参数 ϕ 已知 纯合的黄圆豌豆与绿皱豌豆杂交，Ｆ 例7.1 纯合的黄圆豌豆与绿皱豌豆杂交，Ｆ１ 代自交，第二代分离数目如下： 代自交，第二代分离数目如下：
Y_R_ (黄圆) 黄圆) 315 Y_rr (黄皱) 黄皱) 101 yyR_ yyR_ (绿圆) 绿圆) 108 yyrr (绿皱) 绿皱) 32 556
χ2检验是对一个正态总体的标准差所作的检验。 检验是对一个正态总体的标准差所作的检验。
引例： 引例： 根据遗传学理论，动物的性别比例是1:1。 根据遗传学理论，动物的性别比例是1:1。 统计某羊场一年所产的876只羔羊中 只羔羊中， 统计某羊场一年所产的876只羔羊中，有 公羔428只 母羔448只 1:1的性别 公羔428只，母羔448只。按1:1的性别 比例计算， 母羔均应为438只 比例计算，公、母羔均应为438只。以A 表示实际观察次数， 论次数， 表示实际观察次数，T 表 示 理 论次数， 可将上述情况列成表7 可将上述情况列成表7-1。
从上述结果可以看出，矫正后的χ2比矫正前 从上述结果可以看出， 的低，若未加矫正，就已经接受Ｈ０，矫正后的χ2 的低，若未加矫正，就已经接受Ｈ 更低，不会影响结论，可以不加矫正。若未矫正 更低，不会影响结论，可以不加矫正。 时χ2＞ χ2α，一定要计算矫正的χ2。
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问题：为什么调整判断系数指标 比判断系数指标要好？
提问：
板书：TSS、ESS、RSS、R2的公式；
提问：拟合优度的概念、取值范围、与OLS 思想上的区别、多元回归系数的含义
§3 线性回归模型的拟合优度 检验
说明
回归分析是要通过样本所估计的参数来代替总体 的真实参数，或者说是用样本回归线代替总体回归 线。尽管从统计性质上已知，如果有足够多的重复 抽样，参数的估计值的期望（均值）就等于其总体 的参数真值，但在一次抽样中，估计值不一定就等 于该真值。那么，在一次抽样中，参数的估计值与 真值的差异有多大，是否显著，这就需要进一步进 行统计检验。主要包括拟合优度检验、变量的显著 性检验及参数的区间估计。
一、拟合优度检验
目的：建立度量被解释变量的变动在多大 程度上能够被所估计的回归方程所解释的指 标，直观的想法是比较估计值与实际值。即 使用Y围绕其均值的变异的平方和，作为需要 通过回归来解释其变动的度量。
1、总离差平方和的分解
已知由一组样本观测值（Xi,Yi）， i=1,2…,n得到如下样本回归直线
TSS=ESS+RSS
Y的观测值围绕其均值的总离差(total variation)可分解为两部分：一部分来自回 归线(ESS)，另一部分则来自随机势力 (RSS)。
在给定样本中，TSS不变，如果实际观测点 离样本回归线越近，则ESS在TSS中占的比重 越大，因此定义拟合优度：回归平方和ESS与 Y的总离差TSS的比值。
第二，过度依赖方程总体拟合度在评价回归模 型不同设定之间优劣时的作用；
第三，判断系数的大小依赖于解释变量的个数， 从而造成其在评价方程总体拟合度时出现偏误。
相应的处理方法：
第一，在承认回归结果以前，要从模型所隐含 的理论到数据的质量，认真考察和评估所估计方程 的每一个方面；
第二，综合运用各种统计检验和计量检验； 第二，尽量使用调整判断系数。
Yˆi ˆ0ˆ1Xi
y i Y i Y ( Y i Y ˆ i) ( Y ˆ i Y ) e i y ˆ i
如果Yi=Ŷi 即实际观测值落在样本回归“线” 上，则拟合最好。
可认为，“离差”全部来自回归线，而与 “残差”无关。
对于所有样本点，则需考虑这些点与样本均 值离差的平方和,可以证明：
可决系数的取值范围：[0，1] R2越接近1，说明实际观测点离样本线越近， 拟合优度越高。
在 实 际 计 算 可 决 系 数 时 ， 在 ˆ 1 已 经 估 计 出 后 ：
R2
ˆ12
xi2 yi2
在例2.1.1的收入－消费支出例中，
R2ˆ1 2 x yii2 2(0.74 7 )25 7794020 52 0.0 9 00 70 66
注：可决系数是一个非负的统计量。它也是 随着抽样的不同而不同。为此，对可决系数的统 计可靠性也应进行检验，这将在第3章中进行。
判断系数的含义：度量了 Y围绕其均值的变异中能够被回 归方程所解释的比例
第一，等于1； 第二，等于0； 第三，介于0到1之间。
使用判定系数时必须注意的问题：
第一，盲目的崇拜论文中展示或计算机计算出 估计结果；
记
T Sy S i2(Y i Y )2
总体平方和（Total of Squares）
Sum
E SS y ˆi2(Y ˆi Y)2回Su归m平of方Sq和ua（reEsx）plained
R SS ei2
(Y i Y ˆi)2
残差平方和（Residual Sum of Squares ）
拟合优度检验：对样本回归直线与样本观测 值之间拟合程度的检验。度量拟合优度的指标： 判定系数（可决系数）R2
问题一：采用普通最小二乘估计方法，已经 保证了模型最好地拟合了样本观测值，为什么还 要检验拟合程度？
2、可决系数R2统计量
记 R2ES S1RSS TSS TSS
称 R2 为（样本）可决系数/判定系数（coefficient of determination)。