KS分布检验和拟合优度χ2检验
第八章 分布检验和拟合优度 检验
2
其中 n ( x) S ( x) F0 ( x) 在零假设下, W 2 ,U 2 的分布和F0 ( x)的分布无关. 注: nD2 2 和 U 2 的渐近分布一样; 4nD2 2 和 两个独立的 W 2 统计量的和的渐近分布一样.
关于正态分布的一些其他检验和相应的R程序
S ( x)
i
n
针对上面三种检验,检验统计量分别为 :
D sup x ( F0 ( x) S ( x)) D sup x F0 ( x) S ( x) D sup x ( S ( x) F0 ( x))
在零假设下,统计量D的分布对于一切连续分布F0 ( x) 是一样的
min i ni
分 时,Q趋于 (k 1)
2
例题
例8.3 某饭店想知道他的顾客用电话是否服从 Possion分布,在他们计算机上(n=908)获得一 个小时内打电话得数据:
打电话次数 相应的人数 0 1 2 3 490 334 68 16
15.04 15.36 14.57 14.53 15.57 14.69 15.37 14.66 14.52 15.41 15.34 14.28 15.01 14.76 14.38 15.87 13.66 14.97 15.29 14.95
按照设计要求，内径应该为15±0.2mm。 问题：检验一下这个数据是否来自均值为15，方差为0.04 的正态分布？
8.1 Kolmogrov-Smirnov单样本检验及一些正态性检验
设真实分布为F(x),假设问题：
F ( x) F0 ( x) H 0 : F ( x) F0 ( x) H1 : F ( x) F0 ( x) F ( x) F ( x) 0
X2拟合优度和K-S检验的比较PPT答辩
2
=0.5444+1.6333+1.6333+0.9 =4.711
3
实例
⑤查临界X2值，作出统计推断 当df=3时X20.05=7.81，因 X2<X20.05 ，P>0.05，不能否定H0,表明 实际观察次数与理论次数差异不显著， 可以认为毛色与角的有 无两对性状杂交二代的分离现象符合孟德尔遗传规律中 9∶3∶3∶1的遗传比例。 2、正态拟合
5
1
提高模型拟合优度的解决方法
增减样本量即增加数据资料(补充原有数据以外的,与建立同样模型相关的数据)或者减少
数据资料(这主要是有些情况下如初始值为奇异点时,可以通过把奇异点数据直接剔除, 使 得剩余的数据资料表现出较好的规律性); 2 更换样本部分数据或修匀样本数据;这是指对于缺省的数据资料或者表现 规律不容易确定的现有数据,通过移动平均或者对于异常的数据采用相邻 数据的平均值代替再建立相应的模型,以取得较好的效果;
解：首先，由于做正态拟合的均值、标准差未 知，因此，先计算样本均值和标准差，再做正 态拟合。通过对样本资料的计算得： x=4.85： s=0.352，分别作为ˆ 和 估计值， 建立假设： H0:样本数据服从均值为4.85，标准差为0.325 的正态分布 H1：样本数据不服从均值为4.85，标准差为 0.352的正态分布
6
总结
卡方拟合优度的和K-S检验在现实生活 中有着广泛的应用，比如对医学、生 物统计、数学模型、金融等方面的研 究提供了非常有效的方法。这使我们 在研究现实问题建立模型中，提供检 验模型的有效方法，大大的提高了我 们的研究效率。
姓名： 学号：
3
改变模型形式; 这是指如果允许用另外的模型以取得比现有模型更好的预测效果,则
KS-检验（Kolmogorov-Smirnovtest）
KS-检验（Kolmogorov-Smirnovtest）Kolmogorov-Smirnov是⽐较⼀个频率分布f(x)与理论分布g(x)或者两个观测值分布的检验⽅法。
其原假设H0:两个数据分布⼀致或者数据符合理论分布。
D=max| f(x)- g(x)|，当实际观测值D>D(n,α)则拒绝H0，否则则接受H0假设。
KS检验与t-检验之类的其他⽅法不同是KS检验不需要知道数据的分布情况，可以算是⼀种⾮参数检验⽅法。
当然这样⽅便的代价就是当检验的数据分布符合特定的分布事，KS检验的灵敏度没有相应的检验来的⾼。
在样本量⽐较⼩的时候，KS检验最为⾮参数检验在分析两组数据之间是否不同时相当常⽤。
PS：t-检验的假设是检验的数据满⾜正态分布，否则对于⼩样本不满⾜正态分布的数据⽤t-检验就会造成较⼤的偏差，虽然对于⼤样本不满⾜正态分布的数据⽽⾔t-检验还是相当精确有效的⼿段。
KS检验是如何⼯作的？1. ⾸先观察下分析数据对于以下两组数据：controlB={1.26, 0.34, 0.70, 1.75, 50.57, 1.55, 0.08, 0.42, 0.50, 3.20, 0.15, 0.49, 0.95, 0.24, 1.37, 0.17, 6.98, 0.10, 0.94, 0.38}treatmentB= {2.37, 2.16, 14.82, 1.73, 41.04, 0.23, 1.32, 2.91, 39.41, 0.11, 27.44, 4.51, 0.51, 4.50, 0.18, 14.68, 4.66, 1.30, 2.06, 1.19}对于controlB，这些数据的统计描述如下：Mean = 3.61Median = 0.60High = 50.6 Low = 0.08Standard Deviation = 11.2可以发现这组数据并不符合正态分布，否则⼤约有15%的数据会⼩于均值-标准差（3.61-11.2），⽽数据中显然没有⼩于0的数。
样本数据的分布检验方法(一)
样本数据的分布检验方法(一)样本数据的分布检验方法在统计学中，我们经常需要对样本数据进行分布检验，以确定样本数据是否符合某个特定的分布。
这有助于我们了解样本数据的性质，进而对总体做出更准确的推断。
在本文中，我将介绍几种常见的样本数据分布检验方法。
1. Kolmogorov-Smirnov检验（KS检验）KS检验是一种非参数的分布检验方法，用于比较观测数据与已知分布之间的差异。
它基于经验分布函数和理论分布函数之间的最大绝对差异，通过计算相应的统计量来判断两个分布是否一致。
若计算得到的统计量小于某个临界值，则可以认为观测数据与已知分布一致。
2. 卡方检验（Chi-square test）卡方检验是一种常用的分布检验方法，通常用于检验观测数据与理论分布之间的拟合程度。
它通过计算观测频数与理论频数之间的差异，从而判断观测数据是否与某个分布一致。
卡方检验的原理基于观测频数与理论频数之间的卡方值，若卡方值小于某个临界值，则可以认为观测数据与理论分布拟合良好。
3. Shapiro-Wilk检验Shapiro-Wilk检验是一种常见的正态分布检验方法，用于判断样本数据是否符合正态分布。
它基于线性回归模型，通过计算回归系数和残差的相关性来判断样本数据的正态性。
若检验结果的p值大于显著性水平，则可以认为样本数据符合正态分布。
4. Anderson-Darling检验Anderson-Darling检验也是一种常用的正态分布检验方法，其原理与Shapiro-Wilk检验类似，但更适用于较大样本量的情况。
该方法通过计算统计量和临界值之间的关系来判断样本数据是否符合正态分布。
若计算得到的统计量小于临界值，则可以认为样本数据服从正态分布。
5. Lilliefors检验Lilliefors检验是一种正态分布检验方法的改进版本，相比于Shapiro-Wilk检验和Anderson-Darling检验，它更适用于小样本量的情况。
卫生统计学：第八章 χ2检验
-
6（c）
54（d）
60
合计
30
90
120
配对四格表资料的χ2检验
配对设计
对子号
甲
乙
1
+
+
2
+
-
…
…
…
120
-
-
成组设计
编号 剂量组 结果
1
甲
+
2
乙
+
…
…
…
120
甲
-
甲、乙两种真菌培养基的培养结果
乙
甲
合计
(+)
(-)
(+) 24（a） 36（b） 60
(-) 6（c） 54（d） 60
合计 30
90
6
4
2
9
2.19*
0.0568*
8
7 1
3 10
3.19
0.0065
8
2
9
0
11
4.19
0.0002
* 为实际数据的四格表
d )!
！：阶乘
例8.4
表8.12 某中药制剂预防HIV垂直传播临床试验
组别
新生儿HIV阴性 新生儿HIV阳性 合计
中药制剂
6（a）
4（b）
10
对照组
2（c）
9（d）
11
合计
8
13
22
N=22<40，采用Fisher确切概率计算法 周边合计最小是8，共计可获得8+1=9种组合的四格表
Fisher’s exact probability
=2， x2 =5.99
ks检验结果解读 -回复
ks检验结果解读-回复如何解读KS检验结果及其意义1. 什么是KS检验KS检验（Kolmogorov-Smirnov test）是一种常用的非参数假设检验方法，用于判断两个样本是否来自同一个总体分布。
它通过比较两个样本的经验分布函数（ECDF）的差异，判断它们是否有显著性差异。
2. KS检验的原理KS检验的原理是比较两个样本的经验分布函数（ECDF）与其理论累积分布函数（CDF）之间的差异。
在同一总体假设下，两个样本的ECDF与CDF 应该非常接近，差异较小。
若差异大到一定程度，就可以拒绝两个样本来自同一总体分布的假设。
3. KS检验的假设在对KS检验结果进行解读前，需要明确KS检验的两个假设：- 零假设（H0）：两个样本来自同一总体分布。
- 备择假设（H1）：两个样本不来自同一总体分布。
4. KS检验结果的解读KS检验的结果通常包括两个统计量：D值和p值。
(1) D值D值是KS检验的统计量，表示两个样本ECDF与CDF的最大差异。
D值的计算公式为：D = max F1(x) - F2(x) ，其中F1(x)和F2(x)分别是两个样本的ECDF。
D值的具体含义是：两个样本的最大差异程度。
如果D值较小，则说明两个样本的分布较为相似；如果D值较大，则说明两个样本的分布有较大差异。
(2) p值p值是KS检验的显著性水平，表示在零假设成立的条件下，获得观察到的差异或更极端结果的概率。
对于KS检验而言，p值的含义是：在两个样本来自同一总体分布的假设下，观察到的差异或更极端结果的概率。
如果p值较小（通常小于0.05），则拒绝零假设，认为两个样本不来自同一总体分布；如果p值较大（通常大于0.05），则无法拒绝零假设，即不能得出两个样本有显著性差异的结论。
5. KS检验结果的意义KS检验作为一种非参数假设检验方法，具有以下几个特点和适用场景：(1) 无需假设总体分布的形式：KS检验无需知道总体分布的具体形式，只需比较两个样本的分布差异即可。
拟合优度检验
拟合优度检验引言在统计学和数据分析中，拟合优度检验是一种常用的方法，用于评估分类模型或回归模型的拟合程度。
拟合优度检验可以帮助我们确定模型是否适合我们的数据，并提供了一个衡量模型质量的指标。
拟合优度检验的基本概念拟合优度检验是通过比较观察到的数据和模型预测得到的数据之间的差异来评估模型的拟合程度。
在分类模型中，拟合优度检验通常用于验证模型的准确性和预测能力。
在回归模型中，拟合优度检验则用于衡量模型对实际数据的解释程度。
在进行拟合优度检验之前，通常会建立一个原假设和替代假设。
原假设指的是模型与数据没有显著的差异，而替代假设则指的是模型与数据存在显著的差异。
通过检验原假设的可行性，我们可以确定模型的拟合程度。
常见的拟合优度检验方法1. 卡方拟合优度检验卡方拟合优度检验用于检验观察到的数据与理论上期望的数据之间的差异。
它常用于评估分类模型中观测值与理论值之间的差异。
卡方拟合优度检验通过计算观察值与期望值之间的卡方统计量来确定模型的拟合程度。
如果卡方统计量足够小，或者p值足够大，则原假设成立。
2. 残差分析残差分析是一种常用的拟合优度检验方法，用于评估回归模型对实际数据的解释能力。
在残差分析中，我们通过计算观测值与预测值之间的差异来评估模型的拟合程度。
如果残差足够小，并且呈现出随机分布的特征，则说明模型对实际数据的解释能力较好。
3. R平方值R平方值是一种常用的回归模型拟合优度检验指标。
它可以衡量模型对因变量变异的解释程度。
R平方值的取值范围为0到1，其值越接近1，说明模型对实际数据的解释能力越强。
4. Decoding方法Decoding方法是一种用于评估分类模型拟合优度的方法。
它通过计算模型的准确率、精确率、召回率等指标来评估模型的分类性能。
较高的准确率和精确率，以及较低的误判率和漏判率，都表明模型的拟合优度较高。
拟合优度检验的应用领域拟合优度检验在各个领域都有广泛的应用。
在医学领域，拟合优度检验可以用于评估某种治疗方法对患者病情的预测能力。
ks检验结果解读 -回复
ks检验结果解读-回复KS检验结果解读及其应用：一步一步回答引言：在统计学中，KS检验（Kolmogorov-Smirnov test）是一种非参数检验方法，用于比较两个样本的分布是否相同。
KS检验可以帮助我们判断两个样本是否来自同一总体分布，或者在统计分析中找出两个样本之间的差异性。
本文将介绍KS检验的原理、应用，以及如何解读其结果。
第一步：KS检验的原理解释KS检验是通过比较两个累积分布函数（CDF）之间的最大差异来判断两个样本的分布是否相同。
假设我们有两个样本：样本1和样本2。
1. 零假设（H0）：样本1和样本2来自同一总体分布。
2. 备择假设（H1）：样本1和样本2来自不同的总体分布。
3. KS检验统计量（D）表示两个累积分布函数之间的最大差异。
更确切地说，D表示样本1的CDF与样本2的CDF之间的最大垂直距离。
第二步：KS检验的应用场景KS检验可以广泛应用于以下情况：1. 假设检验：用于判断两个样本是否来自同一总体分布。
2. 模型拟合优度检验：用于评估模型拟合数据的拟合优度。
3. 特征选择：用于选择与特定事件相关联的变量。
第三步：KS检验的假设检验过程下面以假设检验为例，详细介绍KS检验的步骤：1. 收集数据并准备工作：收集两个样本的数据，并对数据进行清洗和准备工作。
2. 计算累积分布函数（CDF）：计算样本1和样本2的累积分布函数。
3. 比较两个CDF：将样本1的CDF和样本2的CDF进行比较，并计算它们之间的最大差异（D值）。
4. 设定显著性水平：根据研究的要求，设定显著性水平（一般为0.05或0.01）。
5. 判断结果：若D值较大的话，拒绝零假设，认为两个样本来自不同的总体分布。
若D值较小的话，则无法拒绝零假设，认为两个样本来自同一总体分布。
第四步：KS检验结果的解读KS检验的结果包含了D值和p值两部分：1. D值：D值表示样本1的CDF与样本2的CDF之间的最大垂直距离。
D值越大，说明两个样本之间的差异性越大。
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❖1、基本原理：
❖这种检验主要是将理论分布下的累计频数分布与观 察到的累计频数分布相比较，找出它们间最大的差 异点，并参照抽样分布，定出这样大的差异是否处 于偶然。
KS分布检验和拟合优度χ2检 验
❖用 Fn(x)表示样本量为n的随机样本观察值的 累计分布函数，且Fn(x) =i/n（i是等于或小于x 的所有观察结果的数目K-S 单样本检验通过样本的累计分布函数Fn(x)和理 论分布函数F(x)的比较来做拟合优度检验。检 验统计量是F(x)与Fn(x)间的最大偏差Dn：
标准
X的组限
化
标准正 态概率
累 计 概 累计 率 ( 理 工人 论概率) 数
实际累 计频率
(2)-(4) 的绝 对 值
甲
乙
（1） （2） （3） （4） （5）
不足4.25 -∞～-1.70 0.045 0.045 20 0.020 0.025
4.25-4.75 -1.70～-0.28 0.345 0.390 392 0.392 0.002
个分布用相同的间隔或分类，并利用尽可能多 的间隔。
❖3、计算检验统计量D值，如是单尾检验，应 按H1的方向计算D值。
KS分布检验和拟合优度χ2检验
❖4、显著性检验：
❖⑴小样本情况下，及n1= n2=n，n≤30，用附 表12。对于单尾检验和双尾检验，该表列出 了不同显著性水平下的临界值。
❖⑵大样本情况下，n1不一定等于n2，但都小 于40的双尾检验，可用附表12续表中的公式 算出D的临界值。
D n mF a (x ) x F n (x )
❖若对每一个x值来说，Fn(x)与F(x)都十分接近，则表 明实际样本的分布函数与理论分布函数的拟合程度很 高。
KS分布检验和拟合优度χ2检验
❖1.建立假设组：
❖H0：Fn(x)=F(x) ❖H1：Fn(x)≠F(x) ❖2.计算样本累计频率与理论分布累计概率的
❖二、理论依据和方法 ❖1、理论依据： ❖与K-S单样本检验相似，K-S双样本检验是通过两个
样本的累计频数分布是否相当接近来判断Ho是否为 真。如果两个样本间的累计概率分布的离差很大，
这就意味着两样本来自不同的总体，就应拒绝Ho。
KS分布检验和拟合优度χ2 检验
❖如果令S1（x）表示第一个样本观察值 的累计概率分布函数，S2（x）表示另 一个样本观察值的累计概率分布函数， 那么K-S双样本的单尾检验统计量为：
4.75-5.25 -0.28～1.14 0.483 0.873 890 0.890 0.017
5.25-5.75 1.14～2.56 0.122 0.995 993 0.993 0.002
5.75-6.25 2.56-+∞ 0.005 1.000 1000 1.000 0.000
合 计 —— 1.000 —— - —— ——
D mS a 1 (x x ) S [2 (x )]
❖K-S双样本的双尾检验统计量为：
D ma S 1 ( x x ) S 2(x )
KS分布检验和拟合优度χ2检验
❖1、双尾检验假设：H0：S1(x)=S2(x)
❖
H1：S1(x)≠S2(x)
❖ 单尾检验假设：
❖H0：S1(x)=S2(x)或H0：S1(x)=S2(x) ❖H1：S1(x)>S2(x) H1：S1(x)<S2(x) ❖ 2、把两组样本分别排成累计频数分布（对两
KS分布检验和拟合优度χ2检验
❖根据表8-2中第(5)列数据，取最大绝对差数
Ｄ1ooo =0.025作为检验统计量。若取a=0.05， n=1000，从临界值表中查(检验表K-S)
得：
D(1000,0.05)
1.。36 0.043
1000
❖因为Ｄ1ooo＜0.043，故认为样本数据所提供的信息 无法拒绝H0，即接受H0，认为可做正态分布的拟合。
绝对差，令最大的绝对差为Dn；
D n mF a (x ) x F n (x )
❖3.用样本容量n和显著水平a在附表11中查出 临界值Dna；
❖4.通过Dn与Dna的比较做出判断，若Dn＜Dna， 则认为拟合是满意的。
KS分布检验和拟合优度χ2检 验
❖例8.1：正态拟合。
❖某织布厂工人执行的生产定额（织机每小时生产织 物的米物）情况如表8-1，试检验这些样本数据能 否作正态拟合？
x 做=4正.85态；拟s合=0。.3通52过,分对别样作本为资Û料和的的计估算计得值：，
建立假设：
❖H0：样本数据服从均值为4.85，标准差为 0.352的正态分布
❖H1：样本数据不服从均值为4.85，标准差为 0.352的正态分布
❖计算资料列如表8-2：
KS分布检验和拟合优度χ2检验
❖表8-2 正态拟合计算表
KS分布检验和拟合优度χ2检验
KS分布检验和拟合优度χ2检验
1 Kolmogorov-Smirnov 单样本检验及一些正态性检验
2 Kolmogorov-Smirnov 两样本分布检验
3
Pearson χ2 拟合优度检验
5
KS分布检验和拟合优度χ2检验
❖一、适用范围
❖Kolmogorov-Smirnov检验常译为柯尔莫哥洛夫-斯 米尔诺夫检验，简写为K-S检验，亦称D检验法，也 是一种拟合优度检验法。K-S单样本检验主要用来检 验一组样本数据的实际分布是否与某一指定的理论 分布相符合。
❖Ｋ－Ｓ检验法是一种精确分布的方法，不受观察次 数多少的限制。这个方法可应用于分组或不分组的 情形。检验量Dn也可用于检验随机样本是否抽自某 特定的总体的问题。
KS分布检验和拟合优度χ2检验
❖一、适用范围 ❖K-S双样本检验主要用来检验两个独立样本是否来自
同一总体（或两样本的总体分布是否相同）。其单 尾检验主要用来检验某一样本的总体值是否随机地 大于（或小于）另一样本的总体值。
❖表8-1 工人执行生产定额情况分组表
按定额执行情况分组
3.75～4.25 4.25～4.75 4.75～5.25 5.25～5.75 5.75～6.25
工人数 20 372 498 103 7
1000
KS分布检验和拟合优度χ2检验
❖解：首先，由于做正态拟合的均值、标准差 未知，因此，先计算样本均值和标准差，再