2013年辽宁省大连市数学中考真题(word版含答案)

大连市2013年初中毕业升学考试数 学一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1.2-的相反数是（ ）. （A ）2- （B ）12-（C ）12（D ）2 2.如图所示的几何体是由四个完全相同的正方体组成的，这个几何体的俯视图是（ ）.3．计算()32x的结果是（ ）.（Ａ）x （B ）23x （C ）5x （D ）6x4．一个不透明的袋子中有3个红球和2个黄球，这些球除颜色外完全相同.从袋子中随机摸出一个球，它是黄球的概率为（ ）. （A ）13 （B ）25 （C ）12 （D ）355．如图，点O 在直线AB 上，射线OC 平分DOB ∠.若35COB ∠=°，则AOD ∠等于（ ）.（A ）35° （B ）70° （C ）110° （D ）145°6．若关于x 的方程240x x m -+=没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ）.（A ）4m <- （B ）4m >- （C ）4m < （D ）4m >7．在一次“爱心互助”捐款活动中，某班第一小组8名同学捐款的金额（单位：元）如下表所示：这8名同学捐款的平均金额为（ ）.（A ）3.5元 （B ）6元 （C ）6.5元 （D ）7元8．P 是AOB ∠内一点，分别作点P 关于直线OA 、OB 的对称点1P 、2P ，连接1OP 、2OP ，则下列结论正确的是（ ）.（A ）12OP OP ⊥ （B ）12OP OP = （C ）12OP OP ⊥且12OP OP = （D ）12OP OP ≠ 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9．分解因式：2x x +=_________________.10．在平面直角坐标系中，点()24-，在第________象限.11．将16 000 000用科学记数法表示为_______________.根据表中数据，估计这种幼树移植成活的概率为____________（精确到0.1）.13．化简：2211x xx x ++-+=__________.14．用一个圆心角为90°，半径为32cm 的扇形作为一个圆锥的侧面（接缝处不重叠），则这个圆锥的底面圆的半径为__________cm.15．如图，为了测量河的宽度AB ，测量人员在高21cm 的建筑物CD 的顶端D 处测得河岸B 处的俯角为45°，测得河对岸A 处的俯角为30°（A 、B 、C 在同一条直线上），则河的宽度AB 约为________m（精确到0.1m ）.1173..） 16．如图，抛物线292y x bx =++与y 轴相交于点A ，与过点A 平行于x 轴的直线相交于点B （点B 在第一象限）.抛物线的顶点C 在直线OB 上，对称轴与x 轴相交于点D .平移抛物线，使其经过点A 、D ，则平移后的抛物线的解析式为__________.三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．计算：(11115-⎛⎫+ ⎪⎝⎭18．解不等式组：()211841.x x x x ->+⎧⎪⎨+<-⎪⎩，19．如图，ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、BC 上，且AE CF =.求证：BE DF =.20．以下是根据《2012年大连市环境状况公报》中有关海水浴场环境质量和市区空气质量级别的数据制作的统计图表的一部分（2012年共366天）.根据以上信息，解答下列问题：（1）2012年7月至9月被监测的8个海水浴场环境质量最好的是________（填浴场名称），海水浴场环境质量为优的数据的众数为_________%，海水浴场环境质量为良的数据的中位数为________%；（2）2012年大连市区空气质量达到优的天数为__________天，占全年（366天）的百分比约为___________（精确到0.1%）；（3）求2012年大连市区空气质量为良的天数（按四舍五入，精确到个位）.四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）21．某超市购进A 、B 两种糖果，A 种糖果用了480元，B 种糖果用了1 260元，A 、B两种糖果的重量比是13∶，A 种糖果每千克的进价比B 种糖果每千克的进价多2元. A 、B 两种糖果各购进多少千克？22．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ax b =+的图象与反比例函数ky x=的图象相交于点()1A m ，、()1B n -，，与x 轴相交于点()20C ，，且AC =. （1）求该反比例函数和一次函数的解析式； （2）直接写出不等式kax b x+≥的解集.23．如图，AB 是O ⊙的直径，CD 与O ⊙相切于点C ，DA AB ⊥，DO 及DO 的延长线与O ⊙分别相交于点E 、F ，EB 与CF 相交于点G . （1）求证：DA DC =；（2）若O ⊙的半径为3，4DC =，求CG 的长.五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分）24．如图，一次函数443y x =-+的图象与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B .P 是射线BO 上的一个动点（点P 不与点B 重合），过点P 作PC AB ⊥，垂足为C ，在射线CA 上截取CD CP =，连接PD .设BP t =.（1）t 为何值时，点D 恰好与点A 重合？（2）设PCD △与AOB △重叠部分的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并直接写出t 的取值范围.25．将ABC △绕点B 逆时针旋转α得到DBE △，DE 的延长线与AC 相交于点F ，连接DA 、BF .（1）如图1，若ABC ∠=α=60°，BF AF =.①求证：DA BC ∥；②猜想线段DF 、AF 的数量关系，并证明你的猜想；（2）如图2，若ABC ∠<α，BF mAF =（m 为常数），求DFAF的值（用含m 、α的式子表示）.26．如图，抛物线2424455y x x =-+-与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点M .P 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点P 、M 、C 不在同一条直线上）.分别过点A 、B 作直线CP 的垂线，垂足分别为D 、E ，连接MD 、ME . （1）求点A 、B 的坐标（直接写出结果），并证明MDE △是等腰三角形；（2）MDE △能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P 的坐标，若不能，说明理由； （3）若将“P 是抛物线在x 轴上方的一个动点（点P 、M 、C 不在同一条直线上）”改为“P 是抛物线在x 轴下方的一个动点”，其他条件不变，MDE △能否为等腰直角三角形？若能，求此时点P 的坐标（直接写出结果），若不能，说明理由.大连市2013年初中毕业升学考试数学参考答案及评分标准1. D2.A3.D4.B5.C6.D7.C8.B9.()1x x + 10.四 11.71.610⨯ 12. 0.9 13.11x + 14. 8 15．15.3 16.29922y x x =-+17．解：原式=()5133+---（9分） 18．解：解不等式2x -1>x +1，得x >2.（3分） 解不等式x +8<4（x -1），得x >4.（6分） ∴不等式组的解集为x >4.（9分）19．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB=CD ，∠A =∠C .（4分） ∵AE=CF ，∴△ABE ≌△CDF .（7分） ∴BE=DF .（9分）20．（1）浴场5，30，70；（6分） （2）129，35.5%；（9分） （3）366-129-366×3.8%≈223.答：2012年大连市区空气质量为良的天数约为223天.（12分） 21．解：设A 种糖果购进x 千克，则480126023x x-=.（4分） 方程两边同乘3 x ，得1 440-6 x =1 260. 解得x =30.检验：当x =30时，3 x =90≠0，x =30是原分式方程的解.（8分） 答：A 、B 两种糖果分别购进30千克、90千克.（9分） 22．（1）解：过点A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，则AD =1.在Rt ACD △中，1CD ===， ∴点A 的坐标为（3，1）. ∴13k=，k=3. ∴反比例函数的解析式为3y x=.（3分） ∴331n ==--，即点B 的坐标为()13--，. 由题意得313a b a b +=⎧⎨-+=-⎩，． 解得12a b =⎧⎨=-⎩，．∴一次函数的解析式为2y x =-.（7分） （2）不等式kax b x+≥的解集为10x -<≤或x ≥3.（9分） 23．（1）证明：∵AB 是⊙O 的直径，DA ⊥AB ， ∴DA 是⊙O 的切线. ∵DC 是⊙O 的切线， ∴DA=DC .（2分）（2）解：连接AC 、OC ，AC 与DO 相交于点H . ∵DA=DC ，OA=OC ，DO=DO ， ∴AOD COD △≌△. ∴∠AOD=∠COD . ∴OD 是AC 的垂直平分线.∵∠AHO =∠DAO ，∠AOH =∠DOA ， ∴AOH DOA △∽△.∴OH OA AH OA OD DA ==，即3354OH AH==， ∴95OH =，125AH CH ==. 在Rt CHF △中，5CF ===.（6分）∵O 、H 分别是AB 、AC 的中点， ∴BC =2OH =185.又∵∠CFE=∠CBE=12∠COE=12∠AOE=12∠BOF=∠BEF=∠BCF，∴EFG BCG △∽△.∴651835FG EFCG BC===，即5335CG FG CG⎛⎫==-⎪⎪⎝⎭.（9分）∴CG.（10分）24．解：（1）如图1，由443y x=-+知，当x=0时，y=4；当y=0时，x=3.∴OA=3，OB=4，AB=5.∵∠PCB=∠AOB=90°，∠PBC=∠ABO，∴PCB AOB△∽△.∴PB PC BCAB AO BO==，即534t PC BC==.∴PC=35t CD=，45BC t=.当点D与点A重合时，BC+CD=BA，即435 55t t+=.∴257t=.（3分）（2）当257t<≤时（如图1），S=22113922550PC CD t t⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭·.（4分）当2547t<≤时（如图2），设PD与x轴相交于点E，作EF⊥CD，垂足为F.由（1）知AD=BC+CD-BA=43755 555t t t+-=-.∵∠EFA=∠BOA，∠EAF=∠BAO，∴AFE AOB△∽△.∴AF EFAO BO=，即4433EF AF==（FD-AD）.∵CD=CP，∠PCD=90°，∴∠PDC=∠DPC=45°=90°-∠DEF，∴∠DEF=45°=∠FDE.∴FD=EF =()4475335FD AD EF t ⎡⎤⎛⎫-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.∴EF =7455t ⎛⎫-⎪⎝⎭. ∴S =221191771875452850225025550PC CD AD EF t t t t t ⎛⎫⎛⎫-=--⨯-=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭··.（8分）当2544t <<时（如图3），设PC 与x 轴相交于点E ，则AC=AB -BC =545t -. 同理EC =4445335AC t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. ∴S =21144432165055225357533AC EC t t t t ⎛⎫⎛⎫=-⨯-=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭·. 综上，S =2229250507187272850450532165025475334t t t t t t t t ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+-<⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+<<⎪ ⎪⎝⎭⎩≤，≤，．（11分） 25．（1）①证明：如图1，由题意知，点E 在AB 上，DB =AB ，∠DBA =∠ABC =60°. ∴△DBA 是等边三角形. ∴∠DAB =60°=∠ABC . ∴DA ∥BC .（1分） ②猜想：DF =2AF .（2分）证明：在DF 上截取DG =AF ，连接BG （如图1）. 由已知得DB=AB ，∠BDG =∠BAF ， ∴△DBG ≌△ABF . ∴BG=BF ，∠DBG =∠ABF .∴∠GBF =∠GBE +∠EBF =∠GBE +∠DBG =∠DBE =60°. ∴△GBF 是等边三角形. ∴GF=BF . ∵BF=AF ， ∴GF=AF.∴DF =DG +GF=AF +AF =2AF .（4分）（2）解：在DF 上截取DG=AF ，连接BG ，作BH DF ⊥，垂足为H （如图2），由（1）知BG=BF ，∠DBG =∠ABF .∴GH=HF =12GF ， ∠HBF =12∠GBF =12（∠GBA +∠ABF ）=12（∠GBA +∠DBG ）=12∠DBA =α2.（9分） 在Rt HBF △中，HF=BF ·sin sin HBF mAF α∠=2·. ∴2sin 122AF mAF DF DG GF m AF AF AF α++α2===+·.（12分） 26．解：（1）点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（5，0）.（2分）证明：如图1，延长DM ，与EB 相交于点F .∵AD ⊥CP ，BE ⊥CP ，∴∠ADE =∠BED =90°.∴AD ∥EB .∴∠DAM =∠FBM ，∠MDA =∠MFB .由题意知AM=BM ，∴△ADM ≌△BFM .∴DM=FM =12DF . ∵∠DEF =90°，∴EM =12DF . ∴DM=EM ，即△MDE 是等腰三角形.（5分）（2）能.理由如下：如图2，若△MDE 为等腰直角三角形，则DM=EM ，∠DME =90°，∠MDE =∠MED =45°.设直线CP 与对称轴相交于点G ，则∠MEG =180°-∠MED =135°.∴∠MDA =∠ADG +∠MDE =90°+45°=135°=∠MEG .∵∠DMA =90°-∠AME =∠EMG ，∴△AMD ≌△GME .∴GM=AM =12AB =2.即点G 的坐标为（3，2）.（8分） 设直线CP 的解析式为y kx b =+，即324k b b +=⎧⎨=-⎩，．解得24.k b =⎧⎨=-⎩， ∴24y x =-.设点P 的坐标为（m ，2m -4），则242442455m m m -+-=-. 解得()10m =舍，272m =. 当72m =时，72432y =⨯-=.即点P 的坐标为732⎛⎫ ⎪⎝⎭，.（10分） （3）能.点P 的坐标为31569⎛⎫-⎪⎝⎭，.（12分）。