随机过程的统计特性和平稳随机过程

相似均值和方差的随机过程
•协方差函数
KX (t1,t2 ) E{[ X (t1) mX (t1)][ X (t2 ) mX (t2 )]}
如果 K X (t1,t2 ) 0，则称 X (t1 )和 X (t2 )是不相关的。如果 RX (t1, t2 ) 0 ，则称 X (t1 ) 和 X (t2 ) 是相互正交的。如果 f X (x1, x2 ,t1,t2 ) f X (x1,t1 ) f X (x2 ,t2 ) ，则称随机过程在 t1 和 t2 时刻的状态是相互独立的。
X
(t)
mX
(t)]2}
E{X 2 (t)} mX2 (t)
•均值与方差的物理意义：
E{X
2
(t )}
2 X
(t )
m
2 X
(t )
表示消耗在单位 电阻上的总的平
均功率。
•相关函数(correlation function)
RX (t1, t2 ) E{X (t1 ) X (t2 )} x1x2 f (x1, x2 , t1, t2 )dx1dx2
离散随机过程数字特征
N
mX (t) xi (t) pi (t) i 1
N
2 X
(t
)
[xi (t) mX (t)]2 pi (t)
i 1
NN
RX (t1,t2 ) E{X (t1) X (t2 )}
xi (t1)x j (t2 ) pij (t1, t2 )
i1 j1
NN
K X (t1,t2 )
[xi (t1) mX (t1)][ x j (t2 ) mX (t2 )] pij (t1, t2 )
i1 j1
和
例3、设随机振幅信号为
X (t) V sin0t 其中 0 为常数，V是标准正态随机变量。
求该随机信号的均值、方差、相关函数和协方差函数。
三、随机过程的特征函数
X (,t) E{e jX (t)}
在实际中还有一类过程，它是按照确定的数学公式产 生的时间序列，它是一个确定性的时间序列，但它的变化 过程表现出随机序列的特征，我们把它称为伪随机序列， 伪随机序列可以用来模拟自然界实际的随机过程 。
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
50
100
150
200
伪随机序列
一、随机过程的概率分布
1、一维概率分布
自然界变化的过程可以分为确知过程和随机过程两大类
确过知程
随机 过程
每次观测所得结果都相同，都是时间t的 一个确定的函数，具有确定的变化规律。
每次观测所得结果都不同，都是时间t的 不同函数，观测前又不能预知观测结果， 没有确定的变化规律。
实际过程
正弦信号
调制信号
周期性脉冲信号
雷达接收机的噪声
定义2：设有一个过程 X (t)，若对于每一个固定的时刻 t j ( j 1, 2,...)，X (t j )是一个随机变量，则 X (t) 称为随机过程。
随机过程是随机变量的集合
随机过程X(t,e)四种不同情况下的意义：
•当t固定，e固定时， X(t) 是一个确定值； •当t固定，e可变时， X(t) 是一个随机变量； •当t可变，e固定时， X(t) 是一个确定的时间函数； •当t可变，e可变时， X(t) 是一个随机过程；
30 20
2、二维概率分布
FX (x1, x2,t1,t2 ) P{X (t1) x1, X (t2 ) x2}
fX
(x1,
x2,t1,t2 )
2 FX
(x1, x2,t1,t2 x1x2
)
注意：X(t1)及X(t2)为同一随机过程上的随机变量。
x 1(n) x2 (n)
例2、设随机相位信号
X (n) cos(n /10 )
其中 {0, / 2) ，且取值概率各为1/2, 求
时的n1一维0 和二n2维概10率分布。
1
1
0
0
-1 -1
0
20
40
0
20
40
60
，
60
二、随机过程的数字特征
•均值
mX (t) E{X (t)} xf X (x,t)dx
•方差
2 X
(t)
E{[
鸟叫声
爆破信号
2.1 随机过程的基本概念及定义 2.2 随机过程的统计描述 2.3 平稳随机过程 2.4 随机过程的联合分布和互相关函数 2.5 随机过程的功率谱密度 2.6 典型的随机过程
1
0
-1
10
10
20
30
40
50
60
70
80
0
-1
10
10
20
30
40
50
60
70
80
0
-1
10
10
20
30
0
-1
0
5
10
15
20
25
时间-秒(假定T=1秒）
半随机二元传输信号
随机游动 设X(n)表示质点在t=n时刻与原点的距离，如果X(n-1)=k，那么，
k 1 质点正向移动一个距离单元 X (n) k 1 质点反向移动一个距离单元
x
q 0 p
X (n)
n
01 2 3 4 5 6 7
质点沿x轴作随机游动
2、随机过程分类
连续型随机过程 连续随机序列 离散型随机过程 离散随机序列
状态 连续 连续 离散 离散
时刻 连续 离散 连续 离散
半二元传输信号
用无数次投掷硬币的随机试验来定义一个随机过程X(t)，
-1 第n次投出正面
X
(t
)
1
第n次投出反面
X(t)称为半二元传输信号。
(n-1)T t<T
1
f
40
50
60
70
80
0
-1
0
10
20
30
Acos(0n )
xi (n,i ) A cos(0n i )
随机相位信号
5
0
-5
0
50
100
150
200
5
0
-5
0
50
100
150
200
5
0
-5
0
50
100
150
200
5
0
-5
0
50
t1 100
150
200
接收机噪声
1、随机过程(Stochastic Process)定义
定义1：设随机试验E的样本空间为S={e}，对其每一个元素
ei (i 1, 2,...)都以某种法则确定一个样本函数x(t, ei ),由全部元
素{e}所确定的一族样本函数X (t, e) 称为随机过程,简记为X (t)。
随机过程是样本函数的集合
FX (x,t) P{X (t) x}
连续随机过程：
f
X
( x, t )
FX (x, x
t)
随机序列：
FX (x, n) P{X (n) x}
fX
(x,
n)
FX (x, x
n)
例1、 设随机振幅信号
X (t) Y cos0t
其中0 是常数，Y是均值为零，方差为1的正态随机 变量，求 t 0, 2 , 时的概率密度。