第十二章 随机过程及其统计描述概率论与数理统计

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例4 设某城市的120急救电话台迟早会接到用 户的呼叫, 以X(t)表示时间间隔(0,t]内接到的 呼叫次数, 它是一个随机变量, 且对于不同的 t0, X(t)是不同的随机变量. 于是, {X(t),t0}是 一随机过程. 且它的状态空间是{0,1,2,...}.
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例5 考虑抛掷一颗骰子的试验. (i) 设Xn是第n 次(n1)抛掷的点数, 对于n=1,2,...的不同值, Xn是不同的随机变量, 因而{Xn, n1}构成一随 机过程, 称为伯努利过程或伯努利随机序列. (ii)设Xn是前n次抛掷中出现的最大点数, {Xn, n1}也是一随机过程. 它们的状态空间都是 {1,2,3,4,5,6}.
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为了描述随机过程在不同时刻状态之间的统 计联系, 一般可对任意n(n=2,3,...)个不同时刻 t1,t2,...,tnT, 引入n维随机变量(X(t1),X(t2),..., X(tn)), 它的分布函数记为 FX(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn)= P{X(t1)x1, X(t2)x2,..., X(tn)xn}, xiR, i=1,2,...,n. 对于固定的n, 称{FX(x1,x2,...,xn;t1,t2,...,tn), tiT} 为随机过程{X(t), tT}的n维分布函数族.
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X(t)
mX(t)X(t)
x1(t)
mX(t)
t
x2(t) xi(t)
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mX(t)-X(t)
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又设任意t1,t2T, 把随机变量X(t1)和X(t2)的二 阶矩原点混合矩记作 RXX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)], (2.4) 并称它为随机过程{X(t),tT}的自相关函数, 简称相关函数. RXX也简记为RX(t1,t2). X(t1)和X(t2)的二阶混合中心矩记作 CXX(t1,t2)=Cov[X(t1),X(t2)] =E{[X(t1)-mX(t1)][X(t2)-mX(t2)]}, (2.5) 并称它为随机过程{X(t),tT}的自协方差函数, 简称协方差函数. CXX(t1,t2)也常简记为CX(t1,t2).
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例1 设随机变量A~N(0,1), B~U(0,2), A,B相互 独立, 求随机过程X(t)=At+B, tT=(-,)的均 值函数mX(t)和自相关函数RX(t1,t2). 解 由题意E(A)=0, E(A2)=1, E(B)=1, E(B2)=4/3, mX(t)=E[X(t)]=E[At+B]=tE[A]+E[B]=1, RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]=E[(At1+B)(At2+B)] =t1t2E[A2]+(t1+t2)E[AB]+E[B2] =t1t2+4/3, t1,t2T.
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例3 在测量运动目标的距离时存在随机误差, 若以e(t)表示在时刻t的测量误差, 则它是一个 随机变量. 当目标随时间t按一定规律运动时, 测量误差e(t)也随时间t而变化, 换句话说, e(t) 是依赖于时间t的一族随机变量, 亦即{e(t), t0} 是一随机过程. 且它们的状态空间是(-, +).
由上面可知诸数字特征中最主要的是均值 函数和自相关函数.
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随机过程{X(t), tT}, 如果对每一个tT, 二阶 矩E[X2(t)]都存在, 则称它为二阶矩过程. 二阶矩过程的相关函数总存在. 事实上, 由于 E[X2(t1)], E[X2(t2)]存在, 根据柯西-许瓦兹不等 式有 {E[X(t1)X(t2)]}E[X2(t1)X2(t2)], t1,t2T. 即知RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]存在
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当n充分大时, n维分布函数族能够近似地描 述随机过程的统计特性. 显然, n取得越大, 则 n维分布函数族描述随机过程的特性也越趋 完善. 一般, 可以指出(科尔莫戈罗夫定律):有 限维分布函数族, 即{FX(x1,x2,...,xn, n=1,2,...,t1, t2, ...,tn), tiT}完全地确定了随机过程的统计 特性.
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随机过程的不同描述方式在本质上是一致的. 在理论分析时往往以随机变量族的描述方式 作为出发点, 而在实际测量和数据处理中往往 采用样本函数族的描述方式. 这两种描述方式 在理论和实际两方面是互为补充的. 随机过程可依其在任一时刻的状态是连续型 或离散型随机变量而分成连续型随机过程和 离散型随机过程. 热噪声电压, 例2和例3是连 续型随机过程, 例1, 例4和例5是离散型随机过 程.
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随机过程可看作多维随机变量的延伸. 随机过 程与其样本函数的关系就象数理统计中总体 与样本的关系一样. 因此, 热噪声电压的变化过程{V(t), t0}是一 随机过程, 它的状态空间是(-, +), 一次观 测到的电压-时间函数就是这个随机过程的一 个样本函数. 在以后的叙述中, 为简便起见, 常以X(t), tT 表示随机过程. 在上下文不致混淆的情况下, 一般略去记号中的参数集T.
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(二) 随机过程的数字特征 随机过程的分布函 数族能完善地刻画随机过程的统计特性. 但是 人们在实际中, 根据观察往往只能得到随机过 程的部分资料(样本), 用它来确定有限维分布 函数族是困难的, 甚至是不可能的, 因而象引 入随机变量的数字特征那样, 有必要引入随机 过程的基本的数字特征-均值函数和相关函数 等. 将会看到, 这些数字特征在一定条件下是 便于测量的.
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多次试验得到多个电压函数 v1(t) t v2(t) t vk(t) tj t
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设T是一无限实数集, 把依赖于参数tT的一 族(无限多个)随机变量称为随机过程, 记为 {X(t), tT}, 这里对每一个tT, X(t)是一随机 变量. T叫做参数集. 常把t看作为时间, 称X(t) 为时刻t时过程的状态, 而X(t1)=x(实数)说成是 t=t1时过程处于状态x, 对于一切tT, X(t)所有 可能取的一切值的全体称为随机过程的状态 空间. 对随机过程{X(t), tT}进行一次试验, 其 结果是t的函数, 记为x(t), tT, 称它为随机过 程的一个样本函数或样本曲线. 所有不同的试 验结果构成一族样本函数.
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有时为了数字化的需要, 实际中也常将连续参 数随机过程转化为随机序列处理. 例如, 我们 只在时间集T={Dt, 2Dt, ...,nDt, ...}上观察电阻 热噪声电压V(t), 这时就得到一个随机序列 {V1,V2,...,Vn,...}, 其中Vn=V(nDt), 显然, 当Dt充分小时, 这个随 机序列能够近似地描述连续时间情况下的热 噪声电压.
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在实际中, 常遇到一种特殊的二阶矩过程-正 态过程. 随机过程{X(t), tT}称为正态过程, 如 果它的每一个有限维分布都是正态分布, 亦即 对任意整数n1及任意t1,t2,...,tnT, (X(t1), X(t2),..., X(tn))服从n维正态分布. 由第四章的 结论知, 正态过程的全部统计特性完全由它的 均值函数和自协方差函数(或自相关函数)所 确定.
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参数t通常解释为时间, 但它也可以表示其它 的量, 诸如序号, 距离等. 例如, 在例5中, 我们 假定每隔一个单位时间抛掷骰子一次, 那么第 n次抛掷的骰子出现的点数Xn就相当于t=n时 骰子出现的点数.
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§2 随机过程的统计描述
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(一)随机过程的分布函数族 给定随机过程 {X(t), tT}. 对于每一个固定的tT, 随机变量 X(t)的分布函数一般与t有关, 记为 FX(x,t)=P{X(t)x}, xR, 称它为随机过程{X(t), tT}的一维分布函数, 而{FX(x,t), tT}称为一维分布函数族. 一维分布函数族刻画了随机过程在各个个别 时刻的统计特性.
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工程技术中有很多随机现象, 例如, 地震波幅, 结构物承受的风荷载, 时间间隔(0, t]内船舶甲 板"上浪"的次数, 通讯系统和自控系统中的 各种噪声和干扰, 以及生物群体的生长等等变 化过程都可用随机过程这一数学模型来描绘. 不过, 这些随机过程都不能象随机相位正弦波 那样, 很方便, 很具体地用时间和随机变量(一 个或几个)的关系式表示出来, 其主要原因是 自然界和社会产生随机因素的机理极为复杂, 甚至不可能观察到, 因此只有通过分析样本函 数才能掌握它们的规律性.
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把随机变量X(t)的二阶原点矩和二阶中心矩 分别记作 2 2 X ( t ) E[ X ( t )] ( 2.2) 和
( t ) DX ( t ) Var[ X ( t )] E{[ X ( t ) - m X ( t )] },
2 X 2
( 2.3) 并分别称它们为随机过程{X(t), tT}的均方值 函数和方差函数. 方差函数的算术平方根X(t) 称为随机过程的标准差函数, 它表示随机过程 X(t)在时刻t对于均值mX(t)的平均偏离程度.
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例2 考虑 X(t)=a cos(wt+Q), t(-, ), (1.1) 式中a和w是正常数, Q是在(0,2)上服从均匀 分布的随机变量. x(t) x2(t), q2=3/2
O
t x1(t),q1=0
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显然, 对于每一个固定的时刻t=t1, X(t1)=a cos(wt1+Q)是一个随机变量, 因而由 (1.1)式确定的X(t)是一个随机过程, 通常称它 为随机相位正弦波. 它的状态空间是[-a, a]. 在(0,2)内随机地取一数qi, 相应地即得这个 随机过程的一个样本函数 xi(t)=a cos(wt+qi), qi(0,2).
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例1 抛掷一枚硬币试验, 样本空间是S={H,T}, 现藉此定义 cos t , 当出现H , X (t ) t ( -,), 当出现T , t, x(t) x=cos t O t1
t2
t
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其中P(H)=P(T)=1/2. 对任意固定的t, X(t)是一 定义在S上的随机变量; 对不同的t, X(t)是不同 的随机变量, 所以{X(t), t(-, +)}是一族随 机变量, 即它是随机过程. 另一方面, 作一次试 验, 若出现H, 样本函数x1(t)=cos t; 若出现T, 样本函数为x2(t)=t, 所以该随机过程对应的一 族样本函数仅包含两个函数:{cos t, t}. 显然 这个随机过程的状态空间为(-, +).
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给定随机过程{X(t), tT}, 固定tT, X(t)是一 随机变量, 它的一切均值一般与t有关, 记为 mX(t)=E[X(t)], (2.1) 称mX(t)随机过程{X(t), tT}的均值函数. 注意, mX(t)是随机过程的所有样本函数在时刻 t的函数值的平均值, 通常称这种平均为集平 均或统计平均. 均值函数mX(t)表示了随机过程X(t)在各个时 刻的摆动中心.
第十章 随机过程及其统计描述
§1 随机过程的概念
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热噪声电压 电子元件或器件由于内部微观粒 子(如电子)的随机热骚动所引起的端电压称 为热噪声电压, 它在任一确定时刻t的值是一 随机变量, 记为V(t). 不同时刻对应不同的随 机变量, 当时间在某区间, 譬如[0,+)上推移 时, 热噪声电压表现为一族随机变量, 记为 (V(t), t0), 在无线电通讯技术中, 接收机在接 收信号时, 机内的热噪声电压要对信号产生持 续的干扰. 通过某种装置对元件两端的热噪声 电压进行长期测量, 并记录结果, 作为试验结 果, 得到一电压-时间函数.
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由(2.2)和(2.4)式知
(t ) RX (t , t ).
2 X
(2.6)
(2.7)
2 X
由(2.5)式展开, 得 CX(t1,t2)=RX(t1,t2)-mX(t1)mX(t2). 特别, 当t1=t2=t时, 由(2.7)式得
2 X
(t ) C X (t , t ) RX (t , t ) - m (t ). (2.8)
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随机过程还可依时间(参数)是连续或离散进 行分类. 当时间集T是有限或无限区间时, 称 {X(t), tT}为连续参数随机过程(以下如无特 别指明, "随机过程"总是指连续参数而言的). 如果T是离散集合, 例如T={0,1,2,...}, 则称 {X(t), tT}为离散参数随机过程或随机序列, 此时常记成{Xn, n=0,1,2,...}等, 如例5.