江西省赣州市十二县(市)重点中学2014届高三上学期期中考试数学(文)试题

赣州市十二县（市）重点中学2014届高三上学期期中考试数学（文）试题命题学校：定南中学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

全卷满分150分。

考试时间120分钟第Ⅰ卷一. 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.⒈已知全集U =R ，集合{}|23A x x =-≤≤，{}|14B x x x =<->或，那么集合)(B C A U 等于（ ） A ]3,1[-B {}|34x x x 或≤≥ C ．)1,2[--D ． )4,2[-2．若i b i i a -=-)2(，其中,a b R ∈，i 是虚数单位，则22a b +=（ ） A ．0B ．2C ．25D ．53.设a ∈R ，则 “直线21y a x =+与直线1y x =-平行”是“1a =”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4．设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q = （ ）A ．3B ．4C ．5D ．65．已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，下面结论错误．．的是（ ） A ．函数)(x f 的最小正周期为π B ．函数)(x f 是偶函数 C ．函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数6．设曲线21y x =+在点(),()x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象可以为（ ）7. 若两个非零向量a ，b 满足||2||||a b a b a=-=+，则向量a b + 与a 的夹角为（ ） A ．6π B ．3πC ．32πD ．65π 8.某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是 （ ）（A ）B ）（C ）（D ）9.设1F ,2F 分别为双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左,右焦点.若在双曲线右支上存在一点P ,满足212PF F F =,且2F 到直线1PF 的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的离心率为（ ） A.35 B . 34 C.45D. 25 10．给出定义:若1122m x m -<≤+ (其中m 为整数),则m 叫做离实数x 最近的整数,记作{}x ,即{}x m =.在此基础上给出下列关于函数(){}f x x x =-的四个命题:①()y f x =的定义域是R ,值域是11(,]22-;②点(,0)k 是()y f x =的图像的对称中心,其中k Z ∈;③函数()y f x =的最小正周期为1;④ 函数()y f x =在13(,]22-上是增函数.则上述命题中真命题的序号是 （ ）A ．①④ B．①③ C ．②③ D．②④第Ⅱ卷注意事项：须用黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试卷上作答，答案无效。

二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．已知向量(1,)a m = ，(,2)b m =, 若a //b , 则实数m 等于12．在区间[]-33，上随机取一个数x ，使得函数()1f x =有意义的概率为13．运行右面框图输出的S 是254，则①应为14．实数,x y 满足不等式组00220y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪--≥⎩，则11y x -+的取值范围是 .15. 对实数a 和b ，定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a －b ≤1，b ，a －b >1.设函数f (x )＝(x 2－2)⊗(x －x 2)，x ∈R ，若函数y ＝f (x )－c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是_________三．解答题：本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16. (本小题满分12分)为了对某课题进行研究，用分层抽样方法从三所科研单位A 、B 、C 的相关人（1）确定（2）若从科研单位A 、C 抽取的人中选2人作专题发言，求这2人都来自科研单位A 的概率.17. (本小题满分12分)已知函数()sin(2)sin(2)233f x x x x m ππ=++--，若()f x 的最大值为1（1）求m 的值，并求)(x f 的单调递增区间;（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边a 、b 、c ,若()1f B =b c =+，试判断三角形的形状.18. (本小题满分12分)已知四棱锥E －ABCD 的底面为菱形，且∠ABC ＝60°，ABEC ＝2，AE ＝BE＝2，O 为AB 的中点．(1)求证：EO ⊥平面ABCD ；(2)求点D 到平面AEC 的距离．19．(本小题满分12分)已知等差数列{}n a 的公差d 大于0,且35,a a 是方程214450x x -+=的两根,数列{}n b 的前n 项和为()1,2nn n b S S n N *-=∈. (1)求数列{}{},n n a b 的通项公式;(2)记n n n c a b =⋅,求证:1n n c c +<;(3)求数列{}n c 的前n 项和n T .20． (本小题满分13分)已知抛物线21:8C y x =与双曲线22222:1(0,0)x y C a b a b-=>>有公共焦点2F ，点A 是曲线12,C C 在第一象限的交点，且25AF =．（1）求双曲线2C 的方程；（2）以双曲线2C 的另一焦点1F 为圆心的圆M 与直线y =相切，圆N ：22(2)1x y -+=．过点P 作互相垂直且分别与圆M 、圆N 相交的直线1l 和2l ，设1l 被圆M 截得的弦长为s ，2l 被圆N 截得的弦长为t ，问：st是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．21．(本小题满分14分)已知函数()ln f x x =，2()()(0,)g x a x x a a R =-≠∈，()()()h x f x g x =- （1）若1a =，求函数()h x 的极值；（2）若函数()y h x =在[1,)+∞上单调递减，求实数a 的取值范围；（3）在函数()y f x =的图象上是否存在不同的两点1122(,),(,)A x y B x y ，使线段AB 的中点的横坐标0x 与直线AB 的斜率k 之间满足0()k f x '=？若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由.2013—2014学年第一学期赣州市十二县（市）期中联考 高三文科数学答案三．解答题16.（1）依题意得，316128x y==，解得4x =，2y =. ……………………5分 （2）记从科研单位A 抽取的4人为1234,,,a a a a ，从科研单位C 抽取的2人为12,c c ，则从科研单位A 、C 抽取的6人中选2人作专题发言的基本事件有：1213141112{,},{,},{,},{,},{,},a a a a a a a c a c 23242122{,},{,},{,},{,},a a a a a c a c343132414212{,},{,},{,},{,},{,},{,},a a a c a c a c a c c c 共15种. ……………………8分 记“选中的2人都来自科研单位A ”为事件M ，则事件M 包含的基本事件有：121314232434{,},{,},{,},{,},{,},{,},a a a a a a a a a a a a 共6种. ……………………11分则62()155P M ==.所以选中的2人都来自科研单位A 的概率为25……………………12分17解：(1) f (x )=sin2x x －m18．(1)证明：连接CO .∵AE ＝EB ＝2，AB ＝2，∴△AEB 为等腰直角三角形． ……………………1分 ∵O 为AB 的中点，∴EO ⊥AB ，EO ＝1. ……………………2分 又∵四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝60°， ∴△ACB 是等边三角形，∴CO ＝ 3. ……………………3分 又EC ＝2，∴EC 2＝EO 2＋CO 2，∴EO ⊥CO . ……………………4分 又CO ⊂平面ABCD ，EO ⊄平面ABCD ，∴EO ⊥平面ABCD . ……………………6分 (2)解：设点D 到平面AEC 的距离为h .∵AE ＝2，AC ＝EC ＝2，∴S △AEC ＝72. ……………………8分∵S △ADC ＝3，E 到平面ACB 的距离EO ＝1，V D －AEC ＝V E －ADC ， …………………9分∴S △AEC ·h ＝S △ADC ·EO ，∴h ＝2217， ……………………11分∴点D 到平面AEC 的距离为2217. ……………………12分19． (1)因为35,a a 是方程214450x x -+=的两根,且数列{}n a 的公差0d>,所以355,9a a ==公差53253a a d -==- ……………………1分 所以()5521n a a n d n =+-=-. ……………………2分又当1n =时,有11112b b S -==,所以113b =. 当2n ≥时,有()1112n n n n n b S S b b --=-=-,所以()1123n n b n b -=≥. …………3分 所以数列{}n b 是首项为13,公比为13的等比数列,所以1111333n n n b -⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭. ……………………4分(2)由(1)知112121,33n n n n n n n n c a b c ++-+=⋅==, ……………………5分 所以()1114121210333n n n n n n n n c c +++-+--=-=≤, ……………………7分 所以1n n c c +≤.……………………8分(3)因为213n n n nn c a b -=⋅=, ……………………9分则123135333n T =+++ 213n n -+,① 23411353333n T =+++ 1232133n n n n +--++,② ……………………10分 由①-②,得2321223333n T =+++ 122133n n n +-+- 231131112123333n n n +-⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭+ , ……………………11分 整理,得113n n n T +=-. ……………………12分20解: （1）∵抛物线21:8C y x =的焦点为2(2,0)F ，∴双曲线2C 的焦点为1(2,0)F -、2(2,0)F ， …………………………………1分设00(,)A x y 在抛物线21:8C y x =上，且25AF =，由抛物线的定义得，025x +=，∴03x =，∴2083y =⨯，∴0y =±3分∴1||7AF ==， ………………………………………4分又∵点A 在双曲线2C 上，由双曲线定义得：2|75|2a =-=，∴1a =， ∴双曲线2C 的方程为：2213y x -=． …………………6分（2）st为定值．下面给出说明．设圆M 的方程为：222(2)x y r ++=， ∵圆M 与直线y =相切，∴圆M 的半径为r ==，故圆M ：22(2)3x y ++=． ……………7分显然当直线1l 的斜率不存在时不符合题意， ………………………………………………8分设1l 的方程为(1)y k x -=-，即0kx y k -+=，设2l 的方程为1(1)y x k=--，即10x ky +--=，∴点1F 到直线1l 的距离为1d =，点2F 到直线2l 的距离为2d = ………………………………………………10分∴直线1l 被圆M截得的弦长s ==11分 直线2l 被圆N截得的弦长t ==， ………………12分13分 分 分 分 分 5分 分 分分 分 分 分 分 分。