嵌套空间中极小子流形的两个Pinching定理
konig 定理
konig 定理
Konig定理是图论中的一个重要定理，它是由匈牙利数学家Dénes Konig在1936年首次证明的。
这个定理主要应用于二分图（bipartite graph）的研究中，二分图是一种特殊的图，其中所有的顶点都可以被分成两个互不相交的子集，并且每一条边都连接这两个子集中的一个顶点。
Konig定理的表述如下：在一个二分图中，最大匹配数等于最小点覆盖数。
换句话说，一个图中的最大匹配数等于覆盖该图中所有顶点所需的最小边数。
为了更好地理解这个定理，我们可以先了解一下什么是匹配和点覆盖。
在图论中，一个匹配是一个边的集合，其中任意两条边都不共享一个顶点。
最大匹配是指一个匹配中包含的边数最多。
点覆盖是指一个顶点的集合，该集合中的任意顶点都是边的一个端点。
最小点覆盖是指覆盖所有顶点所需的最小顶点数。
根据Konig定理，在二分图中，最大匹配数等于最小点覆盖数。
这个定理的证明过程需要使用到一些图论中的技巧和结论，例如Kőnig-Egerváry定理和Hall定理等。
这个定理的应用非常广泛，它可以用于解决一些组合优化问题，例如最大匹配问题和最小点覆盖问题等。
此外，Konig定理还可以用于证明一些其他图论中的结论，例如Kőnig-Egerváry定理和Hall定理等。
单位球面中极小子流形的c∞紧性
单位球面中极小子流形的c∞紧性
单位球面是有限维度空间中一种形式上非常平滑的多维形状，它发源于Riemannian广义平坦，在微分几何、传热学、流体力学等领域中有着广泛的应用。
由于单位球面的连续性特点，研究它的紧性性质可以帮助我们更清楚地了解单位球面的空间结构。
最近，研究者着重研究了单位球面中极小子流形的C∞紧性，这种子流形是单位球面上一类具有一般形状的极小子流形，它定义于某一点外围，可以用来描述局部且局限于一定空间领域内的流形特性。
首先，我们来了解一下单位球面上子流形的C∞紧性是什么。
当一个子流形上的每一点处都有一个相同尺度的紧性尺度时，单位球面上的子流形就具有C∞紧性。
这意味着，无论从哪一个方向看，子流形的形状都没有变化，也不会发生变形。
其次，我们要了解的是，对于C∞紧性的子流形，其紧性尺度是怎样定义的。
为了定义该紧性尺度，我们首先需要定义子流形上的每一个点，然后再定义一个空间点，用它来表示子流形上每一点处的紧性尺度，使得每一点处的紧性尺度相等。
最后，我们来看看，C∞紧性的子流形在单位球面上的应用是什么。
由于子流形的C∞紧性，可以把单位球面上的各种曲面和支撑体隔开，使得流体可以沿某一方向流动，这样可以应用于圆柱形和圆柱体等旋转流体的研究中，进而拓宽单位球面传热学中的应用范围。
综上所述，本文首先解释了单位球面中极小子流形的C∞紧性，然后介绍了定义该紧性性质时所需要的一些基本概念，最后介绍了C
∞紧性的子流形在单位球面中的应用。
由此可见，研究单位球面上极小子流形的C∞紧性，不仅可以更清楚地了解单位球面的空间结构，而且可以有助于拓宽单位球面传热学中的应用范围。
鸽巢问题原理的应用微课
鸽巢问题原理的应用微课1. 什么是鸽巢问题原理鸽巢问题原理（Pigeonhole principle）是一种数学原理，也称为抽屉原理。
它的核心思想是：如果有n+1个物体放入n个容器中，那么至少会有一个容器中放入不止一个物体。
2. 鸽巢问题原理的应用鸽巢问题原理在计算机科学和信息技术领域有广泛的应用，其中包括了以下几个方面：2.1 数据通信的错误检测与纠正在数据通信中，消息的传输可能会受到干扰或者错误，鸽巢问题原理可以应用在错误检测与纠正中。
例如，一个消息被划分为多个数据包进行传输，如果某个数据包在传输过程中发生错误，正确的应用鸽巢问题原理可以帮助我们检测出错误所在的数据包并进行纠正。
2.2 解决冲突问题在计算机科学中，冲突是指两个或多个对象试图在同一时刻访问相同的资源或空间。
鸽巢问题原理可以用来解决冲突问题。
例如，在哈希表中，不同的键值可能会映射到同一个位置上，这就是冲突。
鸽巢问题原理告诉我们要想解决冲突问题，就需要在设计哈希算法和解决冲突的策略上做出相应的调整。
2.3 任务调度在大规模计算集群中，任务的分配和调度是一个重要的问题。
鸽巢问题原理可以用来帮助解决任务调度的问题。
例如，如果有n个任务需要在m个计算节点上执行，而n>m，那么至少会有一个计算节点要执行多个任务。
通过合理地分配任务，可以提高计算效率和系统的整体性能。
2.4 破解密码在密码学中，破解密码是一项重要的工作。
鸽巢问题原理可以应用在破解密码的过程中。
例如，使用穷举法破解密码时，鸽巢问题原理告诉我们虽然尝试的密码可能有很多，但是总会有一个密码是正确的。
3. 总结鸽巢问题原理是一种重要的数学原理，在计算机科学和信息技术领域有广泛的应用。
通过应用鸽巢问题原理，我们可以解决数据通信的错误检测与纠正、解决冲突问题、进行任务调度和破解密码等相关问题。
在日常的实践中，我们可以灵活运用鸽巢问题原理，提高解决问题的效率和准确性。
以上就是关于鸽巢问题原理的应用微课的内容，希望对你有所帮助！。
局部对称空间中伪脐子流形的Pinching定理
方， 表示 Ｍ Ｍ； 在 示 的长度 ．
关
文 献 ［ —４ 分别 给 出 了常 曲率 空 间及拟 常 曲 １ ］
率 空问 中的具有 平行 平均 曲率 向量 的 紧致伪 脐 子 流形 的充分 条件 ， 文 给 出 了局 部 对 称空 间 中 具 本 有 平行 平均 曲率 向量 的 紧致伪 脐子 流形 的两 个 充
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Ｖｏ ｜ ２ Ｎｏ ５ ｌ２ ．
Ｓ ｐ ．２ ０ ｅｔ ０８
文章 编 号 ：１ ７ — ９ Ｘ（ ０ ８ ０ — ０ － ３ ６ ２ ６ １ ２ ０ ） ５０ ０１０
局 部 对 称 空 间 中伪 脐 子 流 形 的 ｉｃ ｉｇ定 理 Ｐ ｎ ｈｎ
胡有 婧
（ 宁夏 大学 数 学 与 计 算 机 学 院 ， 夏 银 川 ７ ０ ２ ） 宁 ５０ １ 摘 要 ： 究 了 ２个 嵌 套 空 间 中子 流 形 ， 于 局 部 对 称 空 间 中 的 常 曲 率 黎 曼 子 流 形 以及 常 曲 率 黎 曼 子 流 形 中具 研 对
ｌ 主要 结 果
设 Ｍ７ （） Ｍ ｃ为 是 ＋ 户＋ ｑ维 局 部 对 称 空 间 ， 中 的 ＋ｐ维 常 曲率 为 Ｃ的子
１≤ ｉＪ， … ≤ ； ＋ １≤ ａ ， ， １ ， 志， １ ｙ ， ， ２ … ≤ ＋ Ｐ＋ ｑ ２ ２＆ ｙ ， ；
， ， … ≤ 志， ＋ 户； ＋ 户 ＋ １≤ １ ａ ， ，ｌ ｙ ，
COCI20212022题解
COCI20212022题解看了下赛程，⼤概只能打 Round 1 和 Round 2 了，之后可能就退役了。
Contest #1打的时候因为有点事，⼤概只打了⼀个多⼩时。
现在终于有时间补完了。
题对于知识点完备的选⼿⽐较简单。
我显然不是这样的选⼿，做做就当学点东西了。
C、D、E 题代码可以翻 LOJ，其他三题有需要可以联系我。
A - Ljeto直接模拟即可。
B - Kamenčići博弈题。
n≤350，⽐较⼩，可以考虑⼀个⼤概不超过O(n3) 的 dp。
考虑⼀个状态有三个要素：左右端点和，以及共取了多少个红⾊⽯⼦（只需要记录⼀个⼈的，因为另⼀个以及可以据此确定）。
那么定义：f(l,r,c) 表⽰当前操作者⾯对的局⾯是，之前以及取过c个红⽯⼦，现在剩下了区间 [l,r]，是否有必胜策略。
根据必胜必败态定理得到转移：f(l,r,c)=¬f(l+1,r,c′)∨¬f(l,r,c′)。
c′是计算得到的对⽅取过的红⽯⼦数。
复杂度O(n3)。
据说可以分析性质得到O(n2) 解法，可以到 cf 看看。
C - Logičari第⼀次写基环树题！做法可能不是最简洁的。
题意简述：对基环树⿊⽩染⾊，要求每个点相邻恰好⼀个⿊点。
求最⼩可能⿊点数。
先转化为正常的树：任意找⼀条环边 (a,b) 断开，然后钦定⼀下断开的边两端的四种颜⾊组合。
不妨设a为根，每个点四个状态，记录⾃⼰和⽗亲的颜⾊选择。
然后做正常的树形 dp。
但是a,b两个点需要是特殊处理的。
对于a，可以试做它的⽗亲为b。
⽽对于b需要额外讨论⼀下……具体细节就不展开了。
复杂度O(n)。
D - Set⼀下所有数字默认减⼀（{1,2,3}→{0,1,2}）。
我们挖掘⼀下题⽬的性质：对于⼀个位的三个数字 (a,b,c)，其所有合法组合对应的数字加起来都是三的倍数，即 (a+b+c)mod3=0。
考虑到本质不同三元组个数为 3m，设f[i] 表⽰i三进制表⽰对应的m元组的个数（f[i]∈{0,1}）。
伪脐子流形的Pinching定理
Ａ（ Ｈ）一 ∑ ｒ ７ ＋ （ ： ２ ｎ ｒ ）一
＋ １≤ 口 ， ， ２ … ≤ ＋ Ｐ＋ ｑ ２ ｙ ， ．
６ ∑（
） ＋
因为 场为
Ｋ 一
为 拟常 曲率 黎曼 流形 ， 以其 曲率张 量 所
。 抖 ２ ｆＪ １ ・
∑ ∑＾△ 一 ＾ （＋Ａ ∑ ∑＾ （ Ｒ ＋＾，嘶 ） １ ） ＾ 一 Ｒ
。１ 抖 ２ ｉ Ｊ ・ ・・
时 ， ．， 于 Ｍ 而 ｅ １ … ， ｐ ｅ ｐ １ … ， ｅ ．ｅ切 ， ， ｅ＋ ， ＋ ， ＋ ＋
第 ２ ８卷
又因 ≤∑ ≤１由Ｓ ｗｒ不 得 为０ ； ， ｃ ａ 等式 ｈ ｚ
咖 一 ∑
ｒ
｛ ＋Ａｎ —Ａ （＋Ｈ ） （ ） １ Ｋ 口 一
０ ≤∑ ∑ （ ＾ ≤ ∑ ）
ａ Ｉ ， ２ 阡 ｉ Ⅲ
。１
ｃ ＋
令 Ａ－ ｐ ２ 则 有 － － ，
ａ Ａ ８Ｂ ８ ｃ Ｄ一 ８ Ｄ ｃ Ａ ８Ｂ）＋ ６（ Ｄ＋ ｃ一 ｃ一 Ａ Ｄ）， （ ） Ａ １
抖 ｐ ，｝ｐ ｒ
式 中
一 １ ｎ ｂ 均 为 流 形 Ｍ ￣ ＋ 上 的 光 滑 ； ，， ｐｑ
ａ 抖 ２ １ 抖 ２ １
∑
∑ ［（： ） ｒ 。 ） ． （ ｔ Ｈ 峨 一ｔＨ ５ ｒ （ ］ ）
２０年６ ０７ 月
Ｊｎ ２０ ｕ．０７
文 章 编 号 ： ２ ３ ２ ２ （ ０ ７ ０ － １ ７０ ０ ５ － ３ ８ ２ ０ ） ２０ １ —４
伪 脐 子 流 形 的 Ｐｎ ｈｎ 定 理 ｉｃ ｉｇ
纪 永 强
极小子流形的Pinching定理
Ｐ 升ｔ … ， 为其 法标架 ； Ｍ 上 ， 井 ， Ｐ 升 在 使得 限制
到 时 ， 一， 为其 切标 架 ，计 ”， ｅ ｅ ｅ ｐ为其
ｐ ｑ ＋
法 标架 ， Ｐ ｌ … ， ， ， ， 则 井 ， Ｐ ｐ Ｐ 升１ … Ｐ 升口 Ｍ 为 关
于Ｍ 升（） 法 ． 有 一 ∑ ｔ ￣ ＝ 的 标架 则 ｒ２ Ｈ，
∑ ∑幻△ 一 坶
ｌ １
ｌ 井 ｌ。２一
∑
ｌ
Ｉ 声 —一
， ｐ ｇ —－ ＋
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ｎ ｐ ＋ ｎｌ －ｐ － １ 井 １ １一 计 ｌ
∑ ￣（ 。 。］一 ｔＨ ｒ Ｈ）
另外 由 １ 易算得 ）
∑
ａ Ｉ ｌ
， ｒ ｝
Hale Waihona Puke ［（ ｔ ｒ１— １
在 Ｍ ｍ （２ ｃ）中的 Ｇａ ｓ 方 程和 Ｒ ｃｉ ｕｓ ｉｃ方
程分 别为 ：
， ｐ十ｑ
Ｒ 一Ｋ 卅 ＋ ∑ （ 一 ＾ ） ％ 。 垤 ，
口 计 ｌ ２
设 Ｍ （ 是 ＋Ｐ 升 ｃ） ＋ｑ 常 曲率 为Ｃ 的 常 维 ：
曲 率空 间 ， Ｍ 为 Ｍ
第 ２ ４卷 第 ｌ期 ２１ ０ ０年 １月
甘 肃 联 合 大 学 学报 （ 自然科 学 版 ）
Ｊ ｕｎ ｌ ｆＧａ ｓ ａ ｈ ｉｅ ｓｔ （ ｔｒ ｌ ｃｅ ｃｓ ｏ ｒ ａ ｎ ｕＬｉｎ ｅＵｎｖ ｒｉｙ Ｎａ ｕ ａ ｉｎ ｅ ） ｏ Ｓ
Ｖｏ ． ４ Ｎｏ １ １２ ．
的极 小 子 流 形 ， 出 了 这 种 极 小 子 流形 是 全测 地 子 流 形 的 两个 充 分 条 件 ． 给 关 键 词 ： 曲率 空 间 ； 小 子 流 形 ； 测 地 常 极 全
关于局部对称空间中常平均曲率超曲面的载面曲率的Pinching定理
（ 绍兴 文 理 学 院 数学系 ， 江 浙 绍 兴 ３ ２０ ） １００
播
要 ： 论 了局 部 对 称 空 间 中具 有 常 平 均 曲率 的紧 致 超 曲 面 ， 到 了这 类 超 曲 面有 关 截 面 曲 率 的 一 个 Ｐｎ｝ 定 理 讨 得 ｊｃ 血ｇ
关 键词 ： 部 对 称 空 间 ； 平 均 曲率 超 曲面 ； 面 曲率 局 常 截 中 国分 类 号 ： １６ １ ０ ８ ２ 文献 标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：０８ ９Ｘ（０２０ — ０９—０ １ —２３ ２０ ）１ ０ １ ０ ４
为球
１预备 知识
本 文 约 定 各 类 指 标 的取 值 范 围 为
１ ≤ Ａ， ， ， Ｂ ｃ … ≤ ｎ ＋ １ １ ≤ ｉ ， ， ， ， … ≤
选取 ＋ 的局部标 准正交 标架 场 ｅ ， ｅ＋ ， － ｌ …， １使得 限制在
上 向量场 ｅ ， 与 ＾ ｌ… 相 切 ，
维普资讯
第 ２卷 第 １ ２ 期 ２０ ０ ２年 ３月
绍
兴
文
理
Байду номын сангаас
学
院
学
报
Ｖ０ ． ２ Ｎｏ． １２ １ Ｍａ ２ ∞ ｒ． ０
Ｊ ＲＮＡＬ ＯＦ Ｓ ＯＵ ＨＡＯＸｌ ＮＧ ＵＮⅣ ＥＲ目Ｈ
关于 局部 对称 空 间中 常平 均 曲率 超 曲面 的截 面 曲率 的 Ｐｎｈ ｇ 理 ｉ ｉ 定 ｃｎ
的 Ｐｎｈｎ ｉｃｉｇ问题 ， 到 如 下 的 得 定理 设 Ｍ 是 ＋ 中常平均 曲率 的紧致无边超 曲面 ， 如果
上 任一 点的截 面 曲率 Ｒ 满 足不 等式
ｎ ５，
（ 一 槲 ＭｉＲ ≥ （ ） ＋ 槲 ＋ ５ ） ｎ １一 Ｓ
4.3Fubini定理
§4．3 Fubini 定理
教学目的 本节简单给出了乘积空间上的 Lebesgue 积分的 结果，给出了一个重要的定理—Fubini 定理． 本节要点 Fubini 定理是积分理论的基本定理之一，它是关
于二元函数的二重积分,累次积分交换积分顺序的定 理．Fubini 定理在理论推导和计算积分方面有广泛的应用． §4.2 中的极限定理解决了积分与极限交换次序问题， 下面要讲的 Fubini 定理则解决了积分与积分交换次序问题， 从这些结果可以切实体会到新积分的优势． 一．预备知识 定义 1 设 A m ， B n ，则
二．Fubini 定理 定理 1（Fubini 定理）设 A m ， B n 为可测集， f ( x, y ) 是 A B m n 上的可测函数，则 （ 1 ） 当 f ( x, y ) 在 A B 上可积时，对几乎所有的 x A ，
f ( x, y ) 作为 y 的函数在 B 上可积， 且 f ( x, y )dy 作为 x 的函数
xy 2 2 , x y 0; 2 f ( x, y ) ( x y 2 ) 2 x 2 y 2 0. 0,
容易知道 f ( x, y ) 是 E 上的可测函数，固定一个变量，
f ( x, y ) 是另一个变量的连续函数，所以积分
1
局部对称空间中子流形的pinching问题的开题报告
局部对称空间中子流形的pinching问题的开题报告题目：局部对称空间中子流形的pinching问题1. 研究背景和意义对于几何学中的pinching问题，是研究紧黎曼流形上任意子流形的某些几何量的最大值和最小值的问题。
其中，子流形包括曲面、闭曲线、点等。
在局部对称空间上的子流形的pinching问题中，我们探究的是子流形的某些几何量在局部对称空间中是否存在上确界或下确界，特别地，它是否是唯一的。
局部对称空间是拓扑学和几何学中的一个重要研究对象，其具有对称性和性质较好的局部模型。
其包括Riemannian对称空间、非紧对称空间、对称域等，其丰富的拓扑和几何性质使得对其中子流形的分析与研究具有重要的意义。
2. 研究内容和方法我们的研究主要是以Riemannian对称空间作为研究对象，探究其中子流形的pinching问题。
其中，我们将重点研究曲面、封闭曲线和点的pinching问题。
具体而言，我们将从以下几个方面展开研究：1）研究曲面的pinching问题，利用局部对称空间的性质，探究其面积等几何量与曲率之间的关系，进而得到局部对称空间上曲面的pinching定理；2）研究封闭曲线的pinching问题，运用高斯公式和张量分析的方法，探究其弯曲半径与张量之间的关系，得到局部对称空间上封闭曲线的pinching定理；3）研究点的pinching问题，引入切向量、曲率半径等概念，得到局部对称空间上点的pinching定理。
研究方法主要包括局部对称空间的几何学和拓扑学的知识和方法，并运用微积分、曲面理论、张量分析等工具进行分析和证明。
3. 预期成果我们的研究旨在解决局部对称空间中子流形的pinching问题，具体成果包括：1）局部对称空间上曲面、封闭曲线和点的pinching定理；2）对于上述子流形的几何性质的深入理解和探讨；3）推广至非Riemannian对称空间情形的可能性的探究。
以上成果将有助于拓展已有的几何学和拓扑学知识，并对相关问题的研究提供新的思路和方法。
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ｎ ＋ ＋ ＋ ｐ ， 中的第二基本形式模长的平方σ Ｍｎ 在 Ｍｎ ｃ ｂ 的关系给出 ，定理 ２ 则 ｐ 以及 Ｍ２ ｐ ｑ 上光滑函数ａ， １ （ １） ２ 与ｎ ｎ ＋ ｐ（ ） 从σ 的曲率ｃ ｃ ２ 与常曲率黎曼流形 Ｍ１ １ １ 的关系入手给出题设条件 ．
①
收稿日期 ：２ ０ １ １－０ ９－１ ２ ， 女 ， 江西吉安人 ， 硕士研究生 ， 主要从事微分几何与几何分析的研究 ． 作者简介 ： 肖玉萍 （ １ ９ ８ ７－ ）
＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ｐ ｐ ｐ ｑ ｐ ｐ ｑ 设 Ｍｎ 是 Ｍｎ 的嵌入子流形 ， 是黎曼流形 Ｍｎ 的嵌入子流形 ，称 Ｍｎ ， 是 Ｍｎ 的嵌套子 Ｍｎ Ｍｎ １ １ ２ １ ２
流形 ．嵌套子流形是对黎曼流形的嵌入子流形的推广 ，对黎曼流形的研究具 有 一 定 意 义 ．近 几 年 来 关 于 黎 ］ 曼流形中子流形的 Ｐ 研究了 ｉ ｎ ｃ ｈ ｉ ｎ １－２ ｇ定理已有不少研究 ，而对嵌套空间中子流形的研究并不多 ．文献 ［ ］从子流形的第二基本形式出发 ，考 两个嵌套空间中伪脐子流形的 Ｒ ｉ ｃ ｃ ｉ曲率的 Ｐ ｉ ｎ ｃ ｈ ｉ ｎ ３－５ ｇ 问题 ，文献 ［ 虑了子流形的第二基本形式模长平方的 Ｐ ｉ ｎ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ 问题 ． 本文限制了子流形的范围 ，给出了拟常曲率空间中常曲率黎曼子流形中的紧致极小子流形为全测地 子 流形的 ４ 个充分条件 ，得到以下 ２ 个 Ｐ ｉ ｎ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ 定理 ：
４ ４
／ ／ 西南师范大学学报 （ 自然科学版 ） ｔ ｔ ｘ ｂ ｂ ｂ ． ｓ ｗ ｕ ． ｃ ｎ ７卷 ｈ 第 ３ ｐ： ｊ
， ｉ α ｊ， １
∑ｈ
α １ ｉ ｊ
２ ２ ２ １ １ （ ） ］ ｈ ｎ ａ ｂ ｂ∑ （ ｔ ｒ Ｈα Ｈα － Δ σ σ λ １＋ １ ｊ） － ｉ ｊ ＝ ｊ ∑λｋ ＋ｎ ∑ｈｉ ∑［ １ ２
， ｉ α １
α
α
α
α
ｊ
（ ） ８
， α １α ２
２ ２ ２ ２ （ ） ］ （ ） （ ） ］ ｔ ｒ Ｈα Ｈα ｔ ｒ Ｈα Ｈα ｒ Ｈα Ｈα － ∑［ －ｔ ∑［ １ ２ １ ２ １ ２ ， α １α ２
）式 、（ ）式 、（ ）式以及 （ ）式代入 （ ）式得 将（ ３ ５ ７ ８ ６
＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ｐ ｑ ｐ ｐ ｑ 定理 １ 设 Ｍｎ 为 ｎ＋ｐ ＋ｑ 维拟常曲率黎曼流形 ， 为 Ｍｎ 中的 ｎ＋ｐ 维常曲率为ｃ Ｍｎ ｃ ２ １ （ １） ２ １ 的 ｎ ｎ ｎ ｎ ＋ ＋ ＋ ｐ ｐ ｑ 中的ｎ 维紧致极小子流形 ，其中 ｐ ≥ １．设 Ｍ 在 Ｍ２ 中的第二基本形式模长的 子流形 ， Ｍ 为 Ｍ１ （ ｃ １）
第 ６ 期 肖玉萍 ，等 ：嵌套空间中极小子流形的两个 Ｐ ｉ ｎ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ 定理
４ ３
１ 准备知识
ｎ ｎ ＋ ＋ ＋ ｐ ｑ ｐ …， 在 Ｍｎ 上选取局部 标 准 正 交 标 架 场 ｅ 时， ｅ ｅ ｅ ｅ ｃ ２ １， ｎ， ｎ １， ｎ １， ｎ １ ）上 限 制 到 Ｍ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ｐ ｐ ｑ ，使 得 在 Ｍ１ （ ｎ ｎ ｎ ＋ ＋ ｐ ｑ …， …， …， 在 Ｍｎ 上限制到 Ｍｎ 时 ， ｅ ｅ ｅ ｅ ｅ ｅ １， ｎ 为 Ｍ 的切向量 ， ｎ １， ｎ ２ １， ｎ 为 Ｍ 的切向量 ， ＋ ＋ ｐ 为 Ｍ 的法向量 ； ｎ …， …， …， 而ｅ 的法向量 ．设 ω ｅ ｅ ｅ ω ｎ １， ｎ １， ｎ １， ｎ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ｐ ｑ 为Ｍ ｐ ｑ 是 ｐ ｑ 的对偶标架 ．规定各类指标的变化范围为 ， … ≤ ｎ＋ｐ ＋ｑ； … ≤ ｎ ＋ｐ； …≤ １ ≤ｉ ｋ，… ≤ ｎ； １ ≤ Ａ， Ｂ， Ｃ， ｎ＋１ ≤α ｎ ＋１ ≤α γ γ ｊ， １， １， １， ２， ２， ２， β β
平方σ ２ 满足下列条件之一 ： ） ２ ｎ ａ １＋ｎ） ｂ－ ｂ｜ ｜ ｐ＋（ ｐ（ ） ； １ σ ２ ≤ （ ） ２ ３ ｐ －２ ） ２ ｎ ａ １＋ｎ） ｂ－ ｂ｜ ｜ ｐ＋（ ｐ（ ） ２ ． σ ２ ≤ ｎ ｐ ＋４ ｐ －２ ＋ ＋ ＋ ｐ ｐ ｑ 则 Ｍｎ 为 Ｍｎ 的全测地子流形 ．其中 ａ， 的度量决定的光滑函数 ． ｃ ｂ 是由 Ｍｎ １ （ １） ２
Ｍ
Ｍ
Ｍ
（ ） ５
α α Ｍ α Ｍ
引理 １ 若 Ｍ 为一般黎曼流形 Ｎ
［ ６］
ｎ
ｎ ＋ ｐ
的子流形 ，则
， ， ｉ ｋ， α ｊ， １β １
， ｉ α ｊ， １
∑ｈ
α １ ｉ ｊ
ｈ ＝ Δ
［ ８］
α １ ｉ ｊ
， ｉ ｋ， α ｊ， １
∑ｈ ｈ
ｎ ＋ ｐ １
α １ α １ ｉ ｋ ｉ ｊ ｋ ｊ
（ ） ４
其中
∑λ
Ａ
２ Ａ
ｎ ＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ｐ ｑ ｐ ｐ ｑ 上的光滑函数 ．由于 Ｍｎ 是 Ｍｎ 的常曲率子流形 ，则有 ｂ， ｃ λ ＝ １，且 ａ， Ａ 均为 Ｍ２ １ （ １） ２
１ １ １ Ｋα Ｋα Ｋα ｉ ｋ ＝０ ｋ ｉ ｋ ｉ ｋ ｋ ＝０ ｊ ｊ ＝０ ｊ １ １ １
α １ ， …， ｔ ｒ Ｈα ｎ＋ｐ α ＝ ０ ∑ｈ １ ＝ ｎ＋１ ｋ ｋ ｉ ｊ ＝０ １ ｋ
［ ［ ｎ ６］ ７］ 若 Ｍ２＋ｐ＋ｑ 为拟常曲率黎曼流形 ，则其曲率张量场 为
（ ） ３
Ｍ２ （ＡＣ ＫＡＢ δＢＤ －δ δＢ δ λＢ λＤ ＋δ λＡ λ δ λＢ λ δ λＡ λＤ ） ＋ｂ（ Ａ Ｄ Ｃ） Ａ Ｃ Ｂ Ｄ Ｃ － Ａ Ｄ Ｃ － Ｂ Ｃ Ｃ Ｄ ＝ａδ
α
α
ｋ
， ｉ α １
ｊ
， α １α ２
（ ） ９
２
， α １α ２
（ ｔ ｒ Ｈ ∑［
２ α １
（ ）］ （ ） （ ）］ Ｈ ） ｒ Ｈα Ｈα ｔ ｒ Ｈα Ｈβ ｒ Ｈα Ｈβ －ｔ － ∑［ －ｔ １ ２ １ １ １ １
２ α ２ ２ ， α １β １
２
２
因为 ０ ≤
∑λ
ｉ
２ ｉ
ｃ ｈ ｗ ａ ｒ ｚ不等式得 ≤ １，由 Ｓ ０≤
２ ２ ２ ２ ２ （ （ ） （ ） ］≤ ｎ ［ （ ） ］≤ ｎ ３ °）∑ ［ ｔ ｒ Ｈα Ｈβ ｒ Ｈα Ｈβ ｔ ｒ Ｈα Ｈβ －ｔ σ １； ∑ １ １ １ １ １ １ ２ ２ ， ， α α １β １ １β １
σ １ ２ （ ） ］ （ ４ °） ≤ ∑ ［ ｔ ｒ Ｈα Ｈα σ １ ２； ≤σ １ ２ ｐ ， α α １ ２
（ ５ °） ０≤
， α １α ２
２
（ ｔ ｒ Ｈ ∑［
２
α １
２ ２ ２ ２ ） （ ） ］≤σ ） ≤σ Ｈα ｒ Ｈα Ｈα ｔ ｒ Ｈα －ｔ σ σ １ ２－ １ ２． ∑（ １ １ ２ １
α １
２ 定理的证明
＋ ＋ ｐ ｐ 定 理 １的证明 要证明 Ｍｎ 是 Ｍｎ 的全测地子流形 ，只需要证明 Ｍｎ 在 Ｍｎ 中的第二基本形 ｃ ｃ １ （ １） １ （ １） ［］ ＋ ｐ ）式以及 Ｍｎ 在 Ｍｎ 式σ 中的 Ｒ ．由 （ ５ ｃ ｉ ｃ ｃ ｉ方程 ９ ，易得 １ ＝０ １ （ １）
ｎ＋ｐ ＋ｑ． ｎ ｎ ＋ ＋ ＋ ｐ ｐ ｑ 设ｈ 及 Ｍｎ 中的第二基本形式 ，则 ｃ １ 和ｈ ２ 分别表示 Ｍ 在 Ｍ１ （ １） ２ ｈ １ ＝
， ｉ α ｊ， １
∑ｈ ω
α １ ｉ ｊ ｉ
ｈ ２ ＝ ω ｊ ｅ α １
， ｉ α ｊ， ２
∑ｈ ω
２ α ２
α ２ ｉ ｊ ｉ
ω ｊ ｅ α ２
平方σ ２ 满足下列条件之一 ：
ｎ ｃ ｐ ； １ ） １ σ ２ ≤ ３ ｐ －２ ｎ ｃ １ ） ２ ． σ ２ ≤ １＋ｎ ＋ ｐ 则 Ｍｎ 为 Ｍｎ 的全测地子流形 ． ｃ １ （ １）
＋ ｐ 定 理１和定理２均得出了 Ｍｎ 为 Ｍｎ 的全测地子流形的充分条件 ．不同的是 ，定理１的题设条件由 ｃ １ （ １）
＋ ＋ ＋ ＋ ＋ ｐ ｑ ｐ ｐ ｑ 定理 ２ 设 Ｍｎ 为 ｎ＋ｐ ＋ｑ 维拟常曲率黎曼流形 ， 为 Ｍｎ 中的 ｎ＋ｐ 维常曲率为ｃ Ｍｎ ｃ ２ １ （ １） ２ １ 的 ＋ ＋ ＋ ｐ ｐ ｑ 子流形 ， 中的ｎ 维紧致极小子流形 ，其中 ｐ ≥ １．设 Ｍｎ 在 Ｍｎ 中的第二基本形式模长的 Ｍｎ 为 Ｍｎ ｃ １ （ １） ２
α
α
α
２
２
（ ） ７
［］ ＋ ＋ ｐ ｑ ）式 、（ ）式 、（ ）式可知 利用 Ｍｎ 在 Ｍｎ 中的 Ｇ ｕ ａ ｓ ｓ方程 ９ ，以及 （ ２ ３ ４ ２
， ｉ ｋ， ｍ， α ｊ， １
∑
Ｍ Ｍ ２ ２ １（ １ １ １ ｈ Ｒｍ Ｒｍ ｎ ａ ｂ ｂ∑ （ ＝ σ σ λ λ ｉ ｋ ＋ｈ ｋ ｋ） １＋ １ ｋ ＋ｎ ｊ ｊ ｊ） － ｉ ｍ ｋ ｉ ｍ ｊ ｈ ｊ ∑ ∑ｈｉ ｋ
（ ） 文章编号 ： １ ０ ０ ０－５ ４ ７ １ ２ ０ １ ２ ０ ６－０ ０ ４ ２－０ ４
嵌套空间中极小子流形的两个 Ｐ ｉ ｎ ｃ ｈ ｉ ｎ ｇ 定理
肖玉萍 ， 姚纯青
西南大学 数学与统计学院 ，重庆 ４ ０ ０ ７ １ ５
①
摘要 ： 研究了 ２ 个嵌套空间中的子流形 ，介 绍 了 拟 常 曲 率 黎 曼 流 形 中 的 常 曲 率 黎 曼 子 流 形 中 的 紧 致 极 小 子 流 形 ， 给出了这种极小子流形是全测地子流形的 ４ 个充分条件 ． 关 键 词 ：拟常曲率黎曼流形 ；极小子流形 ；全测地 中图分类号 ：Ｏ １ ８ ６ ． １ 文献标志码 ：Ａ
引理 ２ 设 Ｍ
２ １
为Ｍ