大学物理作业(1-5)

1—4 一质点的运动学方程为2t x =，()21-=t y (S1)。

试求： (1)质点的轨迹方程：(2)在2=t s 时，质点的速度和加速度。

[解] (1) 由质点的运动方程 2t x = (1)()21-=t y (2)消去参数t ，可得质点的轨迹方程21)y =(2) 由(1)、(2)对时间t 求一阶导数和二阶导数可得任一时刻质点的速度和加速度 t dt dx v x 2==()12-==t dtdyv y 所以 ()221x y v v t t =+=+-v i j i j (3)222==dt xd a x 222==dty d a y所以 22=+a i j (4)把t =2s 代入式(3)、(4)，可得该时刻质点的速度和加速度。

42=+v i j 22=+a i j1—6 质点的运动学方程为()222t t =++r i j (S1)，试求：(1)质点的轨道方程；(2)t＝2s 时质点的速度和加速度。

[解] (1) 由质点的运动方程，可得22,2x t y t ==+消去参数t ，可得轨道方程2124y x =+(2) 由速度、加速度定义式，有d /d 22t t ==+v r i j 22d /d 2t ==a r j将t=2s 代入上两式，得24=+v i j ， 2=a j1—10 在重力和空气阻力的作用下，某物体下落的加速度为Bv g a -=，g 为重力加速度，B 为与物体的质量、形状及媒质有关的常数。

设t =0时物体的初速度为零。

(1)试求物体的速度随时间变化的关系式；(2)当加速度为零时的速度(称为收尾速度)值为多大?[解] (1) 由dt dv a /=得dt Bvg dv=-两边积分，得vt dvdt g Bv =-⎰⎰)1(Bt e Bgv --=(2) 当a=0时 有 a=g-Bv=0 由此得收尾速率 v=g/B1—12 一艘正以速率0v 匀速行驶的舰艇，在发动机关闭之后匀减速行驶。

其加速度的大小与速度的平方成正比，即2kv a -=， k 为正常数。

试求舰艇在关闭发动机后行驶了x 距离时速度的大小。

[解] dx dv v dt dx dx dv dt dv a ===dv avdx =对上式两边积分⎰⎰⎰-==v v vv x kvdv dv a vdx 0化简得 0ln 1v vk x -=所以 kx e v v -=01—17 火车在曲率半径R ＝400m 的圆弧轨道上行驶。

已知火车的切向加速度2.0a t =2m ，求火车的瞬时速率为s m 10时的法向加速度和加速度。

[解] 火车的法向加速度 222s m 25.040010===R v a n 方向指向曲率中心火车的总加速度 ()22222m 32.02.025.0=-+=+=t n a a a设加速度a 与速度v 之间的夹角为θ，则041282.025.0arctg arctg0'=-==t n a a θ 1—18一质点沿半径为0.10m 的圆周运动，其角位置342t +=θ。

(1)在t =2s 时，它的法向加速度和切向加速度各是多少?(2)切向加速度的大小恰是总加速度大小的一半时，θ值为多少?(3)何时切向加速度与法向加速度大小相等?[解] 质点的角速度 212d /d t t ==θω质点的线速度 222.11210.0t t R v =⨯==ω质点的法向加速度a n ，切向加速度a t 为42224.1410.0)12(t t R a n =⨯==ω (1)t dt dv a t 4.2/== (2) (1)把t=2s 代入(1)式和(2)式，得此时)m/s (8.424.2)m/s (103.224.142224=⨯=⨯=⨯=t n a a(2)质点的总加速度 2/1622)136(4.2+=+=t t a a a t n由 a a t 21=得 1364.25.04.26+⨯=t t t解得 3t =，t=0.66s 所以 )r a d (15.3423=+=t θ(3) 当t n a a =即 t t 4.24.144=时 有 316t =， t=0.55(s)附加题目：湖中一小船，岸边的人用跨过高处的定滑轮的绳子拉船靠岸(如图所示)。

当收绳速度为v 时，试问：(1)船的运动速度u 比v 大还是小?(2)若v ＝常量。

船能否作匀速运动?如果不能，其加速度为何值?[解] (1) 由图知 222h s L +=两边对t 求导数，并注意到h 为常数，得 dtds s dt dL L22= 又dt ds u dt dL v /,/-=-=所以 Lv=su (1)即 u/v=L/s>1因此船的速率u 大于收绳速率v 。

(2) 将(1)式两边对t 求导，并考虑到v 是常量 dt dusdt ds u dt dL v+= 所以 sa v u =-22即 32222//)(s v h s v u a =-=2—3 质量为m 的子弹以速率0v 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小与速度成正比，比例系数为k ，忽略子弹的重力，求：(1)子弹射入沙土后，速度大小随时间的变化关系； (2)子弹射入沙土的最大深度。

[解] 设任意时刻子弹的速度为v ，子弹进入沙土的最大深度为s ，由题意知，子弹所受的阻力 f = - kv(1) 由牛顿第二定律 t v m ma f d d == 即 : tv m kv d d ==- 所以t m kv v d d -= 对等式两边积分 ⎰⎰-=tv v t m k v v 0d d 0得 t mkv v -=0ln因此 t mkev v -=0(2) 由牛顿第二定律 x v mv t x x v m t v mma f d d d d d d d d ==== 即 x vmv kv d d =-所以 v x mkd d =-对上式两边积分 ⎰⎰=-00d d v sv x m k得到 0v s mk-=-即 kmvs 0=2—3 质量为m 的小球，在水中受到的浮力为F ，当它从静止开始沉降时，受到水的粘滞阻力为f ＝kv (k 为常数)。

若从沉降开始计时，试证明小球在水中竖直沉降的速率v 与时间的关系为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-m kt e k F mg v 1 [证明] 任意时刻t 小球的受力如图所示，取向下为y 轴的正方向，开始沉降处为坐标原点由牛顿第二定律 t v mma f F mg d d ==-- 即 tvm ma kv F mg d d ==--整理得mtkv F mg v d d =--对上式两边积分⎰⎰=--t vmt kv F mg v00d d得 mktF mg kv F mg -=---ln即 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-m kt e k F mg v 1 2—5 跳伞运动员与装备的质量共为m ，从伞塔上跳出后立即张伞，受空气的阻力与速率的平方成正比，即2kv F =。

求跳伞员的运动速率v 随时间t 变化的规律和极限速率T v 。

[解] 设运动员在任一时刻的速率为v ， 有牛顿第二定律 tvm kv mg d d 2=- 整理得mtkv mg v d d 2=-对上式两边积分200d d vtvt mmg kv =-⎰⎰ 得 mtvk mg v k mg =+-ln整理得 T kgm t kg m tkgm t kg m tv eek mg ee v 11112222+-=+-=设极限速率为T v ，当运动员受的空气阻力等于运动员及装备的重力时，速率达到极限。

此时 2T kv mg =即 kmgv T =3—6 一质量为1m 与另一质量为2m 的质点间有万有引力作用。

试求使两质点间的距离由1x 增加到d x x +=1时所需要作的功。

[解] 万有引力122ˆm m Gr=-F r 两质点间的距离由x 增加到d x x +=1时，万有引力所作的功为1111121221111x dx dx x m m A d Gdr Gm m r x d x ++⎛⎫=⋅=-=- ⎪+⎝⎭⎰⎰F r故外力所作的功：121111A A Gm m x x d ⎛⎫'=-=- ⎪+⎝⎭3—7 设两粒子之间的相互作用力为排斥力，其变化规律为3f k r =，k 为常数。

若取无穷远处为零势能参考位置，试求两粒子相距为r 时的势能。

[解]由势能的定义知r 处的势能E p 为:⎰⎰⎰∞∞∞==⋅=r r rp dr r k fdr r d f E 3 22221r krk r=-=∞3—8 设地球的质量为M ，万有引力恒量为0G ，一质量为m 的宇宙飞船返回地球时，可认为它是在地球引力场中运动(此时飞船的发动机已关闭)。

求它从距地心1R 下降到2R 处时所增加的动能。

[解] 由动能定理(或者根据机械能守恒定律)，宇宙飞船动能的增量等于万有引力对飞船所作的功，即：21022112012()[()]()R k R MmMm MmE A G dr G G R R r Mm R R G R R ∆==-=-----=⎰4-5．如图所示，质量为M ＝1.5 kg 的物体，用一根长为l ＝1.25 m 的细绳悬挂在天花板上．今有一质量为m ＝10 g 的子弹以v 0＝500 m/s 的水平速度射穿物体，刚穿出物体时子弹的速度大小v ＝30 m/s ，设穿透时间极短．求： (1) 子弹刚穿出时绳中张力的大小；(2) 子弹在穿透过程中所受的冲量．解 （1） 由于穿透时间极短,可认为穿透过程在瞬间完成。

此过程系统在水平方向满足动量守恒。

0m v M Vm v =+ 30()1010(50030)3.13/1.5m v v V m s M --⨯-=== 对M 进行受力分析有223.131.59.8 1.526.51.25V T Mg M N l =+=⨯+⨯= (2) 子弹在穿透过程中所受的冲量：301010(30500) 4.7I p mv mv Ns -=∆=-=⨯-=-上式中负号表示冲量方向与0v方向相反。

4-8 如图所示，砂子从h ＝0.8m 处下落到以=0v 3m 的速率沿水平向右运动的传输带上，若每秒钟落下100kg 的砂子，求传输带对砂子作用力的大小和方向。

[解] 如图所示，设t ∆时间内落下的砂子的质量为m ∆，则m ∆的动量改变水平方向：0x x F t p mv ∆=∆=∆0300x mF v N t∆==∆ 竖直方向：()0y y x F mg t p mv -∆∆=∆=-∆=-∆0y y x F t p mv ∆=∆=-∆=-∆396y F N ==-或者 400(10)y F N g ==-= 300396F i j =- 497F N =方法二：()01m ∆=∆-p v v显然有 gh v 21=()()2212021v v m mv mv p +∆=∆+∆=∆ 根据动量定理 t ∆=∆F p 所以220212v gh tm v v t m t p F +∆∆=+∆∆=∆∆=N 49738.08.921002=+⨯⨯⨯=4—14 6月22日，地球处于远日点，到太阳的距离为111052.1⨯m ，轨道速度为s m 1093.24⨯。