第6讲、万有引力定律和天体运动资料

ρ1＝ 地球的平均密度为ρ2＝ 所以
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对于近地卫星有
又ρ2＝
所以ρ2＝
故ρ1＝
＝
≈2.9×104 kg/m3. [答案] D
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kg/m3
[名师归纳] 天体质量的几种计算方法：
(设中心天体质量为M，环绕天体质量为m)
(1)若已知环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动的周期T和
它在距土星中心3.2×105 km处受到土星的引力为0.38 N．已知 地球半径为6.4×103 km，请估算土星质量是地球质量的多少 倍？2020/9/10
根据万有引力提供向心力，向心力公式选择涉及线 速度、周期的公式求比可得(1)、(2)两问.根据万有 引力公式及万有引力和重力的关系可得(3)问.
(1)圆轨道上的稳定运行：
若卫星所受万有引力等于做匀速圆周运动的向心力，将
保持匀速圆周运动，即
＝mrω2＝
mr( )2.
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(2)变轨运行分析：
当卫星由于某种原因速度突然改变时(开启或关闭发动机
或空气阻力作用)，万有引力就不再等于向心力，卫星将
做变轨运行．
①当v增大时，所需向心力m 增大，即万有引力不足
v＝
知运行速度将增大，但重力势能、机械能均减
少．(卫星的发射和回收就是利用了这一原理)．
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(1)卫星的a、v、ω、T是相互联系的，其中一个量发生变化，
其他各量也随之发生变化．
(2)a、v、ω、T均与卫星的质量无关，只由轨道半径r和中心
天体质量共同决定．
(3)卫星变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的
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一、万有引力定律的应用
1.基本方法 把天体(或人造卫星)的运动看成匀速
圆周运动，其所需向心力由万有引力提 供．
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2．解决天体圆周运动问题的两条思路
(1)在地面附近万有引力近似等于物体的重力，即G ＝mg，
整理得GM＝gR2.
(2)天体运动都可以近似地看成匀速圆周运动，其向心力由万
均密度为
()
A．1.8×103 kg/m3
B．5.6×103 kg/m3
C．1.1×104 kg/m3
D．2.9×104 kg/m3
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首先根据近地卫星绕地球运动的向心力由万有引力 提供，可求出地球的质量，然后根据ρ= 可求得该行星的密度.
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解析：设该星球和地球的质量、半径、体积分别是M1和 M2、R1和R2、V1和V2，则该星球的平均密度为：
＝G
从而得出GM＝gR2(通常称为黄金代换)，其中M为
该天体的质量，R为该天体的半径，g为相应天体表面的重
力加速度．
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(2009·全国卷Ⅰ)天文学家新发现了太阳系外的
一颗行星．这颗行星的体积是地球的4.7倍，质量是地球的
25倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为1.4小时，
引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由此估算该行星的平
有引力提供，即F引＝F向 一般有以下几种表述形式：
①G
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＝m
②G ＝mω2r ③G ＝m r
3．天体质量和密度的计算 (1)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R.
由于G ＝mg，故天体质量M＝ 天体密度ρ＝
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(2)利用卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和轨道半径r. ①由万有引力等于向心力，即G ＝m r，得出中
卫星的向心力和向心加速度都减小．
(2)线速度v：由
得v＝
随着轨道半径的增
20加20/，9/10卫星的线速度减小．
(3)角速度ω：由
＝mω2r得ω＝
随着轨道半 径
的增加，做匀速圆周运动的卫星的角速度减小．
(4)周期：由
得T＝2π
随着轨道半 径
的增加，卫星的周期增大．
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2．卫星的稳定运行与变轨运行分析
心天体 质量M＝ ②若已知天体的半径R，则天体的密度 ρ＝
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③若天体的卫星在天体表面附近环绕天体运动，可认为
其轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝
可见，
只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估测出中
心天体的密度．
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不考虑天体自转，对任何天体表面都可以认为mg
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半径r，根据
.
(2)若已知环绕天体绕中心天体做匀速圆周运动的线速度v和
半动的线速度v和周期T，根据
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.
1.卫星的各物理量随轨道半径的变化而变化的规律
(1)向心力和向心加速度：向心力是由万有引力充当的，即F
＝
再根据牛顿第二定律可得，随着轨道半径的增加，
(2分)
0．38＝
解得 ＝ 95 (2分)
即土星质量是地球质量的95倍． [答案] (1)
(3)95倍
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[名师归纳] 物体做匀速圆周运动时，线速度、角速度、 向心加速度、向心力和轨道半径间有一定的制约关系．例如， 只有当角速度不变时，线速度才与半径成正比；同样，当线 速度不变时，同一物体的向心力才与半径成反比，使用时不 能脱离限制条件．
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解析：岩石颗粒绕土星做匀速圆周运动，由牛顿第二定
律和万有引力定律得
(1)
所以v＝
(2分)
则岩石颗粒A和B的线速度之比为
vA∶vB＝
(2分)
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(2)
所以T＝
则岩石颗粒A和B的周期之比为
TA∶TB＝
(2分) (2分)
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(3)F万＝
＝G重
由题意可得：10＝
以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离原来的圆轨道，
轨道半径变大，但卫星一旦进入新的轨道运行，由
v＝
知其运行速度要减小，但重力势能、机械能
均增加．
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②当卫星的速度突然减小时，向心力 减小，即万有引力
大于卫星所需的向心力，因此卫星将做向心运动，同样会脱
离原来的圆轨道，轨道半径变小，进入新轨道运行时由
大小关系判断；稳定在新轨道上的运行速度变化由
v＝
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判断．
(12分)土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，
其绕土星的运动可视为圆周运动．其中有两个岩石颗粒A和B
与土星中心的距离分别为rA＝8.0×104 km和rB＝1.2×105 km.
忽略所有岩石颗粒间的相互作用．(结果可用根式表示) (1)求岩石颗粒A和B的线速度之比． (2)求岩石颗粒A和B的周期之比． (3)土星探测器上有一物体，在地球上重为10 N，推算出