运筹学第11讲：整数规划(二)
运筹学中整数规划问题的近似算法
运筹学中整数规划问题的近似算法运筹学是一门研究如何在有限资源下做最优决策的学科，其中整数规划是其中一种重要的决策方法。
整数规划问题是指在线性规划问题的基础上，对决策变量的取值加以限定，限定为整数值。
整数规划问题在实际应用中非常常见，例如优化生产计划、物流配送、资源分配等。
然而，整数规划问题的解空间通常是离散的，由于整数规划问题的NP难解性质，寻找准确解的效率很低，因此近似算法成为解决整数规划问题的重要手段。
一、近似算法的概念近似算法是指在可接受的误差范围内，通过有效的计算方法得到问题的近似最优解。
在整数规划问题中，近似算法主要通过松弛约束条件、局部搜索等方法寻找问题的近似解。
二、近似算法的分类近似算法可以根据问题的特性和解决方法的不同进行分类，下面介绍几种常见的近似算法。
1. 线性松弛算法（Linear Relaxation）线性松弛算法是整数规划问题中常用的近似算法之一。
该算法的基本思想是将整数规划问题的整数约束放宽为实数约束，得到一个线性规划问题。
然后通过求解线性规划问题的松弛解，并将松弛解的整数部分作为整数规划问题的一个近似解。
2. 近似局部搜索算法（Approximate Local Search）近似局部搜索算法通过在整数规划问题的解空间中进行局部搜索，通过一系列的改进和优化策略来逐步提高解的质量。
该算法在每一步都根据某种准则选择当前最优解，并通过局部搜索来寻找局部最优解。
然后，通过重复进行局部搜索和改进操作，逐渐向全局最优解靠近。
3. 启发式算法（Heuristic Algorithm）启发式算法是一种基于经验和直觉的算法，通过在可行解空间中搜索一组近似解，并根据某种评价准则选择最优解。
在解决整数规划问题时，启发式算法通过寻找有效的近似解，来替代寻找准确解，从而节省计算资源和时间。
三、近似算法的应用案例近似算法在实际问题中有广泛的应用，下面以物流配送问题为例，介绍近似算法的应用。
假设某物流公司需要将一批货物从仓库分配到多个客户，其中仓库和客户的位置已知，货物的需求和供应量也已知。
运筹学整数规划
实验报告课程名称：___ 运筹学 ____ 项目名称：整数规划问题_ 姓名：__专业：、班级：1班学号：同组成员：_ __1注：1、实验准备部分包括实验环境准备和实验所需知识点准备。
2、若是单人单组实验，同组成员填无。
例4.5设某部队为了完成某项特殊任务，需要昼夜24小时不间断值班，但每天不同时段所需要的人数不同，具体情况如表4-4所示。
假设值班人员分别在各时间段开时上班，并连续工作8h。
现在的问题是该部队要完成这项任务至少需要配备多少名班人员？解：根据题意，假设用i x（i=1,2,3,4,5,6）分别表示第i个班次开始上班的人数，每个人都要连续值班8h，于是根据问题的要求可归结为如下的整数规划模型：目标函数：iixz61min=∑=约束条件：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=≥）且为整数（6...1,0x30>=x6+x520>=x5+x450>=x4+x360>=x3+x270>=x2+x160>=x6+x1iimodel:sets:num/1,2,3,4,5,6/:b,x;endsetsdata:b=60,70,60,50,20,30;enddata[obj]min=@sum(num(i):x(i));x(1)+x(6)>=60;x(1)+x(2)>=70;x(2)+x(3)>=60;x(3)+x(4)>=50;2注：实验过程记录要包含实验目的、实验原理、实验步骤，页码不够可自行添加。
解：目标函数：y3*2000-y2*2000-y1*5000-x3*200)-(300+x2*30)-(40+x1*280)-(400=z max约束条件：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧y3*300<=x3*2y2*300<=x2*0.5y1*300<=x1*32000<=x3*4+x2+x1*5 model :sets :num/1,2,3/:x,y;endsets[obj]max =(400-280)*x(1)+(40-30)*x(2)+(300-200)*x(3)-5000*y(1)-2000*y(2)-2000*y(3);5*x(1)+x(2)+4*x(3)<=2000;3*x(1)<=300*y(1);0.5*x(2)<=300*y(2);2*x(3)<=300*y(3);@for (num(i):x(i)>=0;@bin (y(i)););end实验报告成绩（百分制）__________ 实验指导教师签字：__________。
管理运筹学讲义整数规划
管理运筹学讲义整数规划整数规划是管理运筹学中一种重要的优化技术，它在实际问题中具有广泛的应用。
本文将介绍整数规划的基本概念、建模方法以及解决算法，并通过实例展示其在实际问题中的应用。
一、整数规划的基本概念整数规划是线性规划的一种扩展形式，其决策变量被限制为整数。
在实际问题中，往往存在某些变量只能取整数值的约束条件，这时就需要使用整数规划方法进行求解。
与线性规划相比，整数规划的求解难度更大，但可以提供更精确的结果。
二、整数规划的建模方法在进行整数规划建模时，需要确定决策变量、目标函数和约束条件。
1. 决策变量决策变量是问题中需要优化的变量，其取值决定了问题的解。
在整数规划中，决策变量通常表示为整数。
2. 目标函数目标函数是整数规划问题中需要最小化或最大化的目标。
它可以是线性函数或非线性函数，但在整数规划中，通常只考虑线性目标函数。
3. 约束条件约束条件是问题的限制条件，限制了决策变量的取值范围。
在整数规划中，约束条件可以是线性等式或线性不等式。
三、整数规划的解决算法解决整数规划问题的常见算法包括割平面法、分支定界法和动态规划法等。
这些算法通过不断对问题进行优化，逐步逼近最优解。
1. 割平面法割平面法是一种通过添加额外的约束条件来逼近最优解的方法。
它首先求解一个松弛问题，然后根据松弛问题的解加入新的约束条件，直到找到最优解。
2. 分支定界法分支定界法是一种将整数规划问题划分为多个子问题，并对每个子问题进行求解的方法。
它通过不断分支和剪枝来找到最优解。
3. 动态规划法动态规划法是一种通过将问题分解为多个子问题，并通过求解子问题的最优解来求解原始问题的方法。
它采用自底向上的求解方式，将所有可能的决策情况进行组合，得到最优解。
四、整数规划在实际问题中的应用整数规划在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一个应用整数规划解决的实际问题示例：某公司生产两种产品A和B，每天的生产时间为8小时。
产品A每单位利润为100元，产品B每单位利润为150元。
运筹学经典课件-04.整数规划(胡运权)
整数规划： 要求决策变量取整数值的规划问题。
（线性整数规划、非线性整数规划等）
纯整数规划：在整数规划中，如果所有的变量都为非负整 数，则称为纯整数规划问题； 混合整数规划：如果有一部分变量为非负整数，则称之为 混合整数规划问题。 0-1变量：在整数规划中，如果变量的取值只限于0和1，这 样的变量我们称之为0-1变量。 0-1规划：在整数规划问题中，如果所有的变量都为0-1变 量，则称之为0-1规划。
资源 金属板（吨） 小号容器 2 中号容器 4 大号容器 8
劳动力（人月）
机器设备（台月）
2
1
3
2
4
3
2013-10-30
14
解：这显然是一个整数规划的问题。
设x1，x2， x3 分别为小号容器、中号容器和大号容器的生产数量。各 种容器的固定费用只有在生产该种容器时才投入，为了说明固定费用的这 种性质，设 yi = 1(当生产第 i种容器, 即 xi ＞ 0 时) 或0（当不生产第 i种
2 x1 3x2 14
z 3x1 2 x2
2013-10-30
x1
5
§2 应用举例
一、 逻辑变量在数学模型中的应用
1、m个约束条件中只有k个起作用
设有m个约束条件
a
j 1
n
ij
bi ,
i 1,2,..., m
0 定义0-1整型变量： yi 1 M是任意大正数。
x j 0, j 1,... 6
2013-10-30
13
例3．（固定成本问题） 高压容器公司制造小、中、大三种尺寸的金属容器，所用资 源为金属板、劳动力和机器设备，制造一个容器所需的各种 资源的数量如表所示。每种容器售出一只所得的利润分别为 4万元、5万元、6万元，可使用的金属板有500吨，劳动力有 300人/月，机器有100台/月，此外不管每种容器制造的数量 是多少，都要支付一笔固定的费用：小号是l00万元，中号为 150 万元，大号为200万元。现在要制定一个生产计划，使获 得的利润为最大。
运筹学基础-整数规划(2)
【例 2 】求解 0-1 规划最优解
minZ= 4x1+3x2 +2x3 2x1 -5x2+3x3 ≤4 (1) 4x1 + x2+3x3 ≥3 (2) x2+x3 ≥1 (3) x1 , x2 , x3 =0或 1
解： 先将问题化为如下的标准问题
minZ= 4x1+3x2 +2x3 2x1 － 5x2+3x3 ≤4 (1) － 4x1 － x2 － 3x3 ≤－3 (2) (3) － x2 － x3 ≤ － 1 x1 , x2 , x3 =0或 1
0 13 aij－列min 6 (0) 0 (0) 5 0 0 1 (0) 7 0 6 9 3 2 0 (0) 0 2 15 10 4 9 14 7 8 13 14 16 11 4 15 13 9
（a）从行开始，对只有一个的零元素，打上（），用直线划去所在列 （b）再从列开始，对只有一个的零元素，打上（），用直线划去所在行
∑ ∑
指派问题的解法－－匈牙利法 指派问题的解法－－匈牙利法 －－
从时间表（效率表）出发构建效率矩阵 效率矩阵。 效率矩阵
时间表
任务 人员 甲 乙 丙 丁 E 2 10 9 7 J 15 4 14 8 G 13 14 16 11 R 4 15 13 9
2 15 10 4 9 14 7 8
13 14 16 11
分配表
任务 人员 甲 乙 丙 丁
合计
E x11 x21 x31 x41 1
i
J x12 x22 x32 x42 1
G x13 x23 x33 x43 1
ij x ij
R x14 x24 x34 x44 1
合计
1 1 1 1
运筹学教材习题答案详解
B1：2.0
3
需要量（套）
200
150
问怎样下料使得（1）用料最少；（2）余料最少．
【解】第一步：求下料方案，见下表。
方案
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
十一
十二
十三
十四
需要量
B1:2.7m
2
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
300
B2:2m
0
1
0
0
3
2
2
1
1
1
0
0
0
0
450
A1:1.7m
0
0
1
0
0
1
0
2
1
0
3
2
1
0
(2)
【解】最优解X＝（3/4，7/2）；最优值Z=－45/4
(3)
【解】最优解X＝（4，1）；最优值Z=－10
(4)
【解】最优解X＝（3/2，1/4）；最优值Z=7/4
(5) 【解】最优解X＝（3，0）；最优值Z=3
(6)
【解】无界解。
(7)
【解】无可行解。
(8)
【解】最优解X＝（2，4）；最优值Z=13
【解】设x1、x2、x3分别为产品A、B、C的产量，则数学模型为
1.3建筑公司需要用6m长的塑钢材料制作A、B两种型号的窗架．两种窗架所需材料规格及数量如表1－23所示：
表1－23窗架所需材料规格及数量
型号A
型号B
每套窗架需要材料
长度（m）
管理运筹学讲义：整数规划
这样就把相应的线性规划的可行域分成两个部分，如图所示。 x2
5 4 3
x1=3 x1=4
• • • •
1
• • •
2
2
1
• •
3
•
4
5x1 +7 x2 =35
2x1 + x2 =9
x1
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12
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第二节
分枝定界法
• 求解相应的线性规划的最优解
问题2相应的线性规划的最优解：x1=3，x2 =20/7，Z2=226/7 问题3相应的线性规划的最优解：x1=4，x2 =1，Z3=29
3
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第一节
整数规划问题
• 解：设x1为甲产品的台数，x2为乙产品的台数。
maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数
• 不考虑整数约束则是一个LP问题,称为原整数规划的松弛问题。
不考虑整数约束的最优解：x1 *=28/9， x2 * =25/9，Z * =293/9
• 舍入化整
x1 =3， x2 =3，Z =33，不满足约束条件5x1 +7 x2 ≤35，非可行解； x1 =3， x2 =2，Z =28，满足约束条件，是可行解，但不是最优解； x1 =4， x2 =1，Z =29，满足约束条件，才是最优解。
4
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17
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第二节
分枝定界法
问题9： maxZ= 6x1 +5 x2 2x1 + x2 ≤9 5x1 +7 x2 ≤35 x1 ≤3 x2 ≥3 x1≤2 x2 ≥4 x1, x2 ≥0 x1, x2取整数 x1=2 x1=3 x1=4
运筹学 整数规划( Integer Programming )
检查所有分枝的解及目标函数值，若某分枝的解是整数并且目标函数 值大于（max）等于其它分枝的目标值，则将其它分枝剪去不再计算，若 还存在非整数解并且目标值大于(max)整数解的目标值，需要继续分枝， 再检查，直到得到最优解。
割平面法的内涵:
Page 18
通过找适当的割平面,使得切割后最终得到这样的可行域( 不一定一次性得到), 它的一个有整数坐标的顶点恰好是 问题的最优解.
－Gomory割平面法
例: 求解
max z x1 x2 s.t. x1 x2 1
3x1 x2 4 x1 , x2 0, 整 数
1 x1 3/4 1 0 -1/4 1/4 0
1 x2 7/4 0 1 3/4 1/4 0
0 x5 -3 0 0 -3 -1 1
0 0 -1/2 -1/2 0
由对偶单纯形法, x5为换出变量, x3为换入变量, 得Page 29
cj CB XB b 1 x1 1 1 x2 1 0 x3 1
1 100 0 x1 x2 x3 x4 x5 1 0 0 1/3 1/12 0 1 0 0 1/4 0 0 1 -1 -1/3 0 0 0 -1/2 -1/6
收敛性很慢. 但若下其它方法(如分枝定界法)配合使用,
也是有效的.
分支定界法
Page 33
分支定界法的解题步骤：
1）求整数规划的松弛问题最优解； 若松弛问题的最优解满足整数要求，得到整数规划的最优解,否则转下
一步； 2）分支与定界：
任意选一个非整数解的变量xi，在松弛问题中加上约束： xi≤[xi] 和 xi≥[xi]+1
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第11讲：整数规划(二)
指派问题标准形式的特点
模型为min型 系数矩阵C 为方阵 系数cij≥0
运筹学
第11讲：整数规划(二)
三、匈牙利法
(以习题5-2为例)
甲、乙、丙、丁四人加工A、B、C、D四种工件所需时间如表 所示。问应指派何人加工何种工件，使总的加工时间最少？ 工件 工人 甲 乙 丙 丁 A 14 9 4 15 B 11 7 9 10 C 13 2 10 5 D 17 9 15 13
B3 7 17 12
B4 15 14 8
B5 12 10 7
B1
B2 8 8
B3 7 7
B4
B5 A1 A1 ' A2 A2 ' A3 A3 '
B1
B2
B3
B4
B5 A1 A2 A3
B5 B6 A1 A1 ' A2 A2 ' A3 A3 '
4 8 7 15 12 7 9 17 14 10 6 9 12 8 7
1
/
0
表中的元素表示4人完成3项任务的利润，“/”表示不胜任。 由于精力所限，每人只能承担一项任务，求使总利润最大 的指派方案。
作业：习题5-3，习题5-4，5.8 思考：案例7
例5 (习题5-7)
便民超市准备在城市西北郊新建的居民小区中开设若干连锁店。为方便购
物，规划任一居民小区至其中一个连锁店的距离不超过800m。下表给出了新 建的居民小区及离该居民小区半径800m内的各个小区，问该超市最少应在上
第11讲 整数规划(二)
——指派问题
浙江工业大学经贸管理学院
曹柬
运筹学
第11讲：整数规划(二)
一、指派问题的概念
例1(习题5-2)
甲、乙、丙、丁四人加工A、B、C、D四种工件所需时间如表 所示。问应指派何人加工何种工件，使总的加工时间最少？ 工件 工人 甲 A 14 B 11 C 13 D 17
乙
4
7 6 6 6
8
9 9 7 9
7
17 12 14 12
15
14 8 6 10
12
10 7 10 6
运筹学
第11讲：整数规划(二)
四、非标准形式指派问题的求解
若为max型，可用C中最大元素分别减去C中每一元素
若人数和任务数不同，即C非方阵，可添加虚拟的人或任务，
取系数为0
一个人做几项任务，可将该人化为几个人；反之亦然
一般称C=(cij )n×n为指派问题的系数矩阵。在实际问题中，
cij 可表示费用、时间、距离等。
为建立标准指派问题的数学模型，引入n2 个0-1变量：
指派第i人做第j事 1 xij 0 不指派第i人做第j事
i, j 1, 2, , n
指派问题有 n! 个可行解
运筹学
某任讲：整数规划(二)
例3
某商业公司计划开办5家新商店，公司决定由3家建筑公司分别
承建，允许每家建筑公司承建一家或二家商店。已知建筑公司 Ai 对新商店Bj 的建造费用报价如下表所示。求使总费用最小的
指派方案。
Bj
Ai
A1 A2 A3
B1 4 7 6
B2 8 9 9
运筹学
第11讲：整数规划(二)
例2
某商业公司计划开办5家新商店，为尽快建成营业，公司决定 由5家建筑公司分别承建。已知建筑公司Ai 对新商店Bj 的建造 费用报价如下表所示。问商业公司应对5家建筑公司如何分配 建造任务，使得总建造费用最小？ Bj Ai B1 B2 B3 B4 B5
A1
A2 A3 A4 A5
丙 丁
9
4 15
7
9 10
2
10 5
9
15 13
运筹学
第11讲：整数规划(二)
二、指派问题的标准形式
指派问题的标准形式(以人和事为例)是：有n 个人和n 件事，已
知第i 人做第j 事的付出为cij (i,j =1,2,…,n )，要求确定人与事之 间的一一对应的指派方案，使完成这n 件事的总付出最小。
述小区中建多少个连锁店及建于哪些小区内。
小区代号 A 该小区800m半径内的各小区 AC E G H I
B
C D E F G H I J K L
BHI
AC G H I DJ AE G FJK AC E G AB C H I AB C H I DFJKL FJKL JKL
附：Lindo语句 min xa+xb+xc+xd+xe+xf+xg+xh+xi+xj+xk+xl st xa+xc+xe+xg+xh+xi>=1 xb+xg+xi>=1 xa+xc+xg+xh+xi>=1 xd+xj>=1 xa+xe+xg>=1 xf+xg+xk>=1 xa+xc+xe+xg>=1 xa+xb+xc+xh+xi>=1 xd+xf+xj+xk+xl>=1 xf+xj+xk+xl>=1 求得：xG＝xH＝xJ＝1， xj+xk+xl>=1 其余xj＝0 end int 12
15 12 0 15 12 0 14 10 0 14 10 0 8 7 0 8 7 0
采用匈牙利法求得：
A1承建B1和B3，A2承建 B2，A3承建B4和B5，总
造价为35万元。
运筹学
第11讲：整数规划(二)
例4
A 甲 3 乙 2 丙 -2 丁 1
B
C
2
/
-2
-1
0
B1 4 4 7 7 6 6 B2 8 8 B3 7 7 B4
4 4 7 7 6 6
9 17 9 17 9 12 9 12
15 12 15 12 14 10 14 10 8 7 8 7
9 17 9 17 9 12 9 12