北师大版数学高一(北师大)必修1试题 2.4.1二次函数的图像 (3)
2016-2017学年高中数学必修一(北师大版)4.1 二次函数的图像作业Word版含答案
1．将函数y ＝x 2的图像向右平移2个单位，再向下平移1个单位后所得函数解析式为( )A ．y ＝(x ＋2)2＋1B ．y ＝(x －2)2＋1C ．y ＝(x －2)2－1D ．y ＝(x ＋2)2－1解析：由图像的平移规则可知C 正确．答案：C2．一次函数y ＝ax ＋b 与二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 在同一坐标系中的图像大致是( )解析：选项A ，y ＝ax ＋b 中，a >0而y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向下，矛盾；选项B ，y ＝ax ＋b 中，a >0，b >0，而y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像的对称轴x ＝－b 2a>0，矛盾；选项D ， y ＝ax ＋b 中，a <0，b <0，但y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向上，矛盾．答案：C3．函数y ＝x 2－|x |－12的图像与x 轴两个交点间的距离为( )A ．1B ．6C ．7D ．8 解析：由y ＝x 2－|x |－12＝0得|x |＝4，∴x ＝±4，∴两交点间的距离为8.答案：D4．设b ＞0，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－1的图像为下列之一，则a 的值为 ( )A ．1B ．－1 C.－1－52D.－1＋52 解析：由第一个图像与第二个图像中与x 轴的两个交点为对称点，则两根之和为0.又已知x 1＋x 2＝－b a≠0，故可排除．由第三个图与第四个图知，一根为0，另一根为正数，即x 1＋x 2＝－b a ＞0，又b ＞0，故a ＜0，图像开口向下，应为第三个图．由图像过原点(0,0)，即a 2－1＝0，解得a ＝－1或a ＝1(舍)．答案：B5．函数y ＝x 2＋m 的图像向下平移2个单位，得函数y ＝x 2－1的图像，则实数m ＝________.解析：y ＝x 2－1的图像向上平移2个单位，得函数y ＝x 2＋1的图像，则m ＝1. 答案：16．设函数f (x )＝x 2＋bx ＋c ，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )＝________. 解析：∵f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－4)2－4b ＋c ＝c ，(－2)2－2b ＋c ＝－2.解得b ＝4，c ＝2. ∴f (x )＝x 2＋4x ＋2.答案：x 2＋4x ＋27．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)，B (x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到的？ 解：由题意可设所求抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x － 3＋k .由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k 3， ∵x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269， 即4－2(3－k )3＝269.解得k ＝43. ∴该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y ＝ －3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53. 8．已知抛物线y ＝ax 2＋6x －8与直线y ＝－3x 相交于点A (1，m )．(1)求抛物线的解析式；(2)请问(1)中的抛物线经过怎样的平移就可以得到y＝ax2的图像？解：(1)点A(1，m)在直线y＝－3x上，∴m＝－3×1＝－3.把x＝1，y＝－3代入y＝ax2＋6x－8，得a＋6－8＝－3，求得a＝－1.∴抛物线的解析式是y＝－x2＋6x－8；(2)∵y＝－x2＋6x－8＝－(x－3)2＋1，∴顶点坐标为(3,1)．∴把抛物线y＝－x2＋6x－8向左平移3个单位后得到y＝－x2＋1的图像，再把y＝－x2＋1的图像向下平移1个单位得到y＝－x2的图像．。
北师大版数学高一必修1课后训练 二次函数的图像
课时训练10 二次函数的图像1．将函数y ＝x 2图像上各点的纵坐标扩大为原来的2倍后(横坐标不变)，所得图像对应的函数解析式为( )．A ．y ＝2x 2B ．y ＝4x 2C ．212y x =D ．214y x = 2．已知抛物线经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则抛物线的解析式是( )．A ．y ＝－x 2－4x －1B ．y ＝x 2－4x －1C ．y ＝x 2＋4x －1D ．y ＝－x 2－4x ＋13．由函数212y x =的图像得到函数21(1)+22y x =-的图像，其平移过程为( )． A ．向左平移1个单位长度，向上平移2个单位长度B ．向右平移1个单位长度，向上平移2个单位长度C ．向左平移1个单位长度，向下平移2个单位长度D ．向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度4．已知抛物线过点(－1,0)，(2,7)，(1,4)，则其解析式为( )．A ．215233y x x =-+ B ．215233y x x =++ C ．215233y x x =+- D ．215233y x x =-- 5．已知a ≠0，b ＜0，一次函数是y ＝ax ＋b ，二次函数是y ＝ax 2，则下列图像中，可以成立的是( )．6．二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像如图所示，有下列结论：①a ＋b ＋c ＞0；②a －b ＋c ＞0；③ab ＞0；④b ＝2a .其中正确结论的个数为( )．A ．1B ．2C ．3D ．47．二次函数213()+22f x x x =-的图像的顶点坐标为__________． 8．已知二次函数的图像经过点(1,4)，且与x 轴的交点为(－1，0)和(3,0)，则该函数的解析式是__________．9．把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图像的解析式为y ＝x 2－2x ＋1，则b ＝__________，c ＝__________.10．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，试判断点2,4ab ac b ac b ⎛⎫ ⎪-⎝⎭所在的象限．参考答案1答案：A2答案：A 解析：设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)2＋3.将点(－3,2)代入，得2＝a (－3＋2)2＋3，即a ＝－1.所以y ＝－(x ＋2)2＋3＝－x 2－4x －1.3答案：B4答案：B 解析：设所求抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则根据题意得0,427,4,a b c a b c a b c -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得1,32,5.3a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩所以215233y x x =++，故选B. 5答案：C 解析：由b ＜0，排除B ，D ；A 中抛物线开口向下，a ＜0，而直线体现了a ＞0，从而排除A.6答案：C 解析：由图像可知f (1)＝a ＋b ＋c ＞0，故①正确．f (－1)＝a －b ＋c ＜0，故②错误．∵开口向上，∴a ＞0. 对称轴为=12b x a=--， ∴b ＝2a ＞0，故③④正确．7答案：(1,1) 解析：2221311()+(23)=(1)+12222f x x x x x x =-=-+-，所以其顶点坐标为(1,1)．8答案：f (x )＝－x 2＋2x ＋3 解析：设函数的解析式为f (x )＝a (x ＋1)(x －3)(a ≠0)， 将点(1,4)代入，得a ＝－1.则f (x )＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3.9答案：－6 6 解析：由题意知y ＝x 2＋bx ＋c 的图像可由y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，即y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x －3)2－3＝x 2－6x ＋6.所以b ＝－6，c ＝6.10答案：解：由抛物线开口向上知a ＞0，∵抛物线与y 轴的交点(0，c )在y 轴负半轴，∴c ＜0.又∵对称轴2b x a =-在y 轴左边， ∴02b a -<.∴0b a>. ∴a ，b 同号．∵a ＞0，∴b ＞0.又∵抛物线与x 轴有两个交点，∴b 2－4ac ＞0. ∴204a b b ac +>-，<0ac b. ∴点2,4ab ac b ac b ⎛⎫ ⎪-⎝⎭在第四象限．。
2020-2021学年高中数学北师大版必修1学案：2.4.1 二次函数的图像
§4二次函数性质的再研究4．1二次函数的图像知识点二次函数的图像[填一填]1．二次函数函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫作二次函数．它的定义域是R.如果b＝c＝0，则函数变为y＝ax2.我们知道，它的图像是一条顶点为原点的抛物线．a>0时，抛物线开口向上，a<0时，抛物线开口向下．2．二次函数的图像变换(1)二次函数y＝ax2(a≠0)的图像可由y＝x2的图像横坐标不变，纵坐标伸长为原来的a倍得到；(2)二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像可由y＝ax2的图像向左(h>0)(或向右(h<0))平移|h|个单位，再向上(k>0)(或向下(k<0))平移|k|个单位得到；(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像，可把它先配方，再由y＝ax2的图像平移得到；(4)函数y＝f(x＋a)的图像可由y＝f(x)的图像向左(a>0)(或向右(a<0))平移|a|个单位得到；(5)函数y＝f(x)＋k的图像可由y＝f(x)的图像向上(k>0)(或向下(k<0))平移|k|个单位得到．[答一答]1．函数y＝ax2和y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像之间有怎样的关系？提示：函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像可以由函数y＝ax2(a≠0)的图像向左(h>0)或向右(h<0)平移|h|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得到．h决定了二次函数图像的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图像的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．可简记为“左加右减，上加下减”．由于只进行了图像的平移变换，所以函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图像与函数y＝ax2(a≠0)的图像形状相同，只是位置不同．2．函数y＝ax2和y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像之间有怎样的关系？提示：二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)通过配方可以得到其恒等形式y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)，从而可以知道，由y＝ax2的图像如何平移就得到y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像．在二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，即y＝a(x＋)2＋(a≠0)中，二次项系数a决定着函数图像的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小；b和a共同决定抛物线对称轴的位置，抛物线的对称轴是直线x＝－，它是一条平行于y轴或与y轴重合的直线；a，b，c共同决定抛物线顶点(－，)的位置，c的大小决定抛物线y＝ax2＋bx＋c与y轴交点的位置，当c＝0时，抛物线经过坐标原点，当c>0时，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，当c<0时，交点在y轴的负半轴．作二次函数图像一般用描点作图法和平移变换法．(1)描点作图法：①先找出顶点坐标，画出对称轴；②找出抛物线上关于对称轴对称的四个点；③把上述五点按从左到右的顺序用平滑的曲线连接起来．如果题中涉及二次函数及其图像，那么只需画出图像，截取需要的部分即可．(2)平移变换法：任意抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可转化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并且都可由y＝ax2的图像经过适当的平移得到，具体平移方法如图所示．①a决定抛物线开口方向：a>0，开口向上；a<0，开口向下．②c是抛物线与y轴交点的纵坐标，即抛物线过点(0，c)，在画抛物线简图时常常用到．③对称轴：直线x＝－.在对称轴的两侧，二次函数的单调性相反．④顶点坐标：(－，)．当a>0时，是二次函数的最小值；当a<0时，是二次函数的最大值．⑤画二次函数的简图：求出顶点坐标，画出点(0，c)．注意开口方向及其对称轴，画出抛物线的简图，如图所示．类型一二次函数的定义【例1】当m为何值时，函数y＝(m－3)xm2－9m＋20是二次函数．【思路探究】根据定义y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．【解】由题意得，解得m＝6或m＝3且m≠3，∴m＝6，∴当m＝6时，函数y＝(m－3)xm2－9m＋20是二次函数．规律方法不要忽略条件m－3≠0.已知函数y＝(4a＋3)x4a2－a－1＋x－1是一个二次函数，求满足条件的a的值．解：由题意可得，即，∴a＝1.即a的值为1时，函数为二次函数．类型二二次函数的平移变换【例2】将抛物线y＝－x2＋2x＋5先向下平移1个单位长度，再向左平移4个单位长度，求平移后的抛物线的解析式．【思路探究】方法1：依据抛物线y＝ax2与y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的关系，求出经过两次平移后的抛物线所对应的函数解析式．方法2：由于抛物线的平移，其形状、开口方向不变，即a 相同，只是顶点的位置发生了改变，故先求抛物线y＝－x2＋2x＋5的顶点坐标，再求平移后抛物线的顶点坐标，从而得到函数解析式．【解】方法1：抛物线y＝－x2＋2x＋5＝－(x－1)2＋6，向下平移1个单位长度，得抛物线y＝－(x－1)2＋6－1，再向左平移4个单位长度，得抛物线y＝－(x－1＋4)2＋5.整理得y＝－x2－6x －4.方法2：∵抛物线y＝－x2＋2x＋5＝－(x－1)2＋6，∴它的顶点坐标是(1,6)，向下平移1个单位长度，再向左平移4个单位长度后的抛物线的顶点坐标是(－3,5)，故新的抛物线的解析式为y＝－(x＋3)2＋5＝－x2－6x－4.规律方法一般地，求经过平移后的抛物线的解析式，运用顶点式要简单些．若将二次函数f(x)＝x2＋x的图像向右平移a(a>0)个单位长度，得到二次函数f(x)＝x2－3x＋2的图像，则a的值为(B) A．1B．2C．3 D．4解析：函数f(x)＝x2＋x通过配方可得f(x)＝2－，将它的图像向右平移a(a>0)个单位长度后，对应的函数解析式为f(x－a)＝2－.函数f(x)＝x2－3x＋2通过配方可得f(x)＝2－，由题意得－a＝－，解得a＝2.故选B.类型三二次函数的形状和位置【例3】将二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向左平移2个单位，再向上平移3个单位，便得到函数y＝x2－2x＋1的图像，求b与c.【思路探究】要求b与c，需先求函数y＝x2＋bx＋c的解析式，要求解析式，应先求抛物线的顶点坐标，根据两条抛物线的平移情况可以确定其顶点坐标．【解】∵函数y＝x2－2x＋1可变形为y＝(x－1)2，∴抛物线y＝x2－2x＋1的顶点坐标为(1,0)．根据题意把此抛物线反向平移，得到抛物线y＝x2＋bx＋c的图像，即把抛物线y＝x2－2x＋1的图像向下平移3个单位，再向右平移2个单位就可得到抛物线y＝x2＋bx＋c的图像，此时顶点B(1,0)平移至点A(3，－3)处．∴抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点是(3，－3)．即y＝(x－3)2－3＝x2－6x＋6，对照y＝x2＋bx＋c，得b＝－6，c＝6.规律方法抛物线y＝a(x＋h)2＋k在平移时，a不变，只是h 或k发生变化，故抛物线的平移问题，关键在于准确求出顶点的坐标，掌握顶点位置的变化情况．阅读下面文字后解答问题．有这样一道题目：“已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像经过点A(0，a)，B(1，－2)，c＝1(答案不唯一)，求证：这个二次函数图像的对称轴是直线x＝2”．题目中的横线部分是一段被墨水污染而无法辨认的文字，请你根据已有的信息，在原题中的横线上，添加一个适当的条件，把原题补充完整．解析：根据条件得解得∴二次函数的解析式为y＝x2－4x＋1.根据求出的二次函数解析式再任意写出一个要求补充的条件即可．例如c＝1或b＝－4；经过点(－1,6)或(4,1)或(2，－3)等等即可．类型四二次函数图像的应用【例4】如图是一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB 时宽20m，水位上升3m就达到警戒线CD，这时水面宽度为10m.(1)在如图的坐标系中，求抛物线的解析式；(2)若洪水到来时，水位以0.2m/h的速度上升，从警戒线开始，再持续多长时间才能到拱桥顶．【思路探究】(1)从图形可知抛物线为y＝ax2的形式，且点D、B在抛物线上，AB＝20m，BE＝10m，DF＝CD＝5m，EF＝3m.∵点B在点D下方，∴设点D的坐标为(5，y)，则点B的坐标为(10，y－3)，把D、B两点坐标代入抛物线y＝ax2中，可求出抛物线的解析式．(2)从(1)中可求出点D的纵坐标，即从警戒线到拱桥顶的距离可知．又知水位以0.2m/h的速度上升，就可求出再持续多长时间才能到拱桥顶．【解】(1)∵CD＝10，∴DF＝CD＝5.∵AB＝20，∴BE＝AB＝10.设抛物线方程为y＝ax2，点D的坐标为(5，y)．∴点B的坐标为(10，y－3)．又∵点D、B在抛物线y＝ax2上，∴解得∴抛物线的解析式为y＝－x2.(2)由(1)可得点D的坐标为(5，－1)，∴从警戒线到拱桥顶的距离为1m，∴＝5(h)．∴若洪水到来时，水位以0.2m/h的速度上升，再持续5h，才能到拱桥顶．规律方法把实际问题转化为数学问题，即转化为点的坐标及函数的解析式，应该注意点所在的象限，也就是点的坐标的符号．如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图像的一部分，图像过点A(－3,0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的是(B)A．②④B．①④C．②③D．①③解析：因为图像与x轴交于两点，所以b2－4ac>0，即b2>4ac，①正确；对称轴为x＝－1，即－＝－1,2a－b＝0，②错误；结合图像，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；由对称轴为x＝－1知，b＝2a.又函数图像开口向下，所以a<0，所以5a<2a，即5a<b，④正确．——规范解答——二次函数图像的应用【例5】作出函数y＝G(x)＝x|x－2|，x∈R的图像，利用图像分别求G(x)＝1，G(x)≥1的解集．【自主解答】G(x)＝x|x－2|＝＝利用描点法作出图像，如图所示．在图像上作出y＝1.可知：当x＝1或x＝1＋时，G(x)＝1；当x≥1＋时，G(x)≥1.所以G(x)＝1的解集为{x|x＝1，或x＝1＋}，G(x)≥1的解集为{x|x≥1＋，或x＝1}．【点评】 1.函数图像的应用技巧(1)要熟悉一些常见的函数图像对称性的判定方法，如奇函数的图像、偶函数的图像等．(2)方程f(x)＝g(x)的解的个数可以转化为函数y＝f(x)与y＝g(x)的图像的交点个数．(3)不等式f(x)>g(x)的解集为f(x)的图像位于g(x)的图像上方的那部分点的横坐标的取值范围．2．两种常见图像的交换技巧(1)y＝|f(x)|的图像是保留y＝f(x)的图像中位于x轴上半平面内的部分及与x轴的交点，将y＝f(x)的图像中位于下半平面内的部分以x轴为对称轴翻折到上半平面中去而得到．(2)y＝f(|x|)的图像是保留y＝f(x)的图像中位于右半平面内的部分及与y轴的交点，去掉左半平面内的部分而利用偶函数的性质，将右半平面内的部分以y轴为对称轴翻转到左半平面中去而得到．若【例5】条件不变，要使方程x|x－2|＝a有三个不同的实数解，求实数a的取值范围．解：要使方程x|x－2|＝a有三个不同的实数解，即函数y＝G(x)＝x|x－2|与y＝a有三个不同的交点，G(x)＝x|x－2|＝＝利用描点法作出图像，如图所示．在图像上作出y＝a.可知0<a<1时，方程x|x－2|＝a有三个不同的实数解．一、选择题1．已知一次函数y＝ax＋c与二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，它们在同一坐标系中的大致图像是图中的(D)解析：排除法，A图中一次函数a>0，二次函数a<0，故排除A；同理排除C；在B图中由直线知c>0，而二次函数中c<0故排除B.选D.2．将二次函数y＝3x2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图像的解析式为(C)A．y＝3(x＋2)2＋1B．y＝3(x－2)2－1C．y＝3(x－2)2＋1 D．y＝3(x＋2)2－1解析：将二次函数y＝3x2向右平移2个单位长度得到y＝3(x－2)2的图像，再向上平移1个单位长度可得y＝(x－2)2＋1的图像，故选C.3．抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－1,0)、(3,0)，其形状与抛物线y＝－2x2相同，则y＝ax2＋bx＋c的解析式为(D) A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4x＋5C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋6解析：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的交点为(－1,0)、(3,0)，其形状与抛物线y＝－2x2相同，∴a＝－2，∴y＝－2x2＋bx＋c，将点(－1,0)、(3,0)代入y＝－2x2＋bx＋c，得，解得b＝4，c＝6，∴y＝－2x2＋4x＋6.二、填空题4．抛物线y＝ax2－4x＋c的顶点是(－1,2)，则a＝－2，c＝0.解析：由题意，得，解得.5．二次函数y＝x2＋3x＋的图像是由函数y＝x2的图像先向左(左、右)平移3个单位，再向下(上、下)平移2个单位得到．解析：∵y＝x2＋3x＋＝(x＋3)2－2，∴将y＝x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位即可得到y＝x2＋3x＋的图像．三、解答题6．画出函数y＝2x2－4x－6的草图．解：y＝2x2－4x－6＝2(x2－2x)－6＝2(x2－2x＋1－1)－6＝2[(x －1)2－1]－6＝2(x－1)2－8.函数图像的开口向上，顶点坐标为(1，－8)，对称轴为直线x＝1.令y＝0得2x2－4x－6＝0，即x2－2x－3＝0，∴x＝－1或x＝3，令x＝0得y＝2－8＝－6，故函数图像与x轴的交点坐标为(－1,0)，(3,0)，与y轴的交点坐标为(0，－6)．画法步骤：(1)描点画线：在平面直角坐标系中，描出点(1，－8)、(－1,0)、(3,0)、(0，－6)，画出直线x＝1；(2)连线：用光滑的曲线连点(1，－8)、(－1,0)、(3,0)、(0，－6)，在连线的过程中，要保持关于直线x＝1对称，即得函数y＝2x2－4x－6的草图，如图所示．。
2020_2021学年高中数学第二章函数2.4.1二次函数的图像作业课件北师大版必修1
所以 a＝12，b＝2，c＝32或 a＝－12，b＝－2，c＝－32. (2)由(1)知 y＝12x2＋2x＋32或 y＝－12x2－2x－32， 配方，得 y＝12(x＋2)2－12或 y＝－12(x＋2)2＋12，
——能力提升—— 14．(5 分)二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)图像如图所示，有 下列结论： ①a＋b＋c<0； ②a－b＋c>0； ③abc>0； ④b＝2a. 其中正确结论的个数是( D ) A．1 B．2 C．3 D．4
第二章 函数
§4 二次函数性质的再研究 第13课时 二次函数的图像
课时作业基设础训计练（45分钟）
——作业目标—— 1．掌握二次函数中参数对其图像的影响； 2．掌握二次函数图像间的变换规律及应用．
——基础巩固—— 一、选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分) 1．将函数 y＝x2 的图像向右平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度后所得函数解析式为( C ) A．y＝(x＋2)2＋1 B．y＝(x－2)2＋1 C．y＝(x－2)2－1 D．y＝(x＋2)2－1
(1)由图像知 x2－2x－3＝0 的根为 x＝－1 或 x＝3. (2)当 y>0 时，就是图中在 x 轴上方的部分，这时 x>3 或 x<－1； 当 y<0 时，即抛物线在 x 轴下方的部分，这时－1<x<3.
13．(13 分)已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的开口大小与抛物 线 y＝12x2＋1 的相同，它的对称轴是 x＝－2，它与 x 轴的两个交点 之间的距离为 2.
解析：由题图可得 f(1)＝a＋b＋c<0， f(－1)＝a－b＋c>0，顶点的横坐标为－2ba＝－1， 所以 b＝2a，ab>0， 又 f(0)＝c>0，所以 abc>0.故选 D.
高中数学 第二章 函数 2.4.1 二次函数的图像学业分层测评 北师大版必修1
2.4.1 二次函数的图像(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．二次函数y ＝2x 2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的二次函数是( )A ．y ＝x 2B ．y ＝2x 2＋2 C ．y ＝4x 2D ．y ＝2x 2－2【解析】 将二次函数y ＝2x 2的图像上各点的纵坐标变为原来的2倍，得到的新图像的解析式为y ＝4x 2.【答案】 C2．将二次函数y ＝－12x 2向左、向下各平移1个单位，得到的图像的解析式为( )A ．y ＝－12(x －1)2－1B ．y ＝－12(x －1)2＋1C ．y ＝－12(x ＋1)2＋1D ．y ＝－12(x ＋1)2－1【解析】 将二次函数y ＝－12x 2向左、向下各平移1个单位，得到的图像的解析式为y＝－12(x ＋1)2－1.【答案】 D3. 若一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图像只可能是( )【解析】 因为一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第二、三、四象限，所以知a ＜0，b ＜0，所以二次函数的图像开口向下，对称轴方程x ＝－b2a＜0，只有选项C 适合．【答案】 C4. 二次函数y ＝－x 2＋4x ＋t 图像的顶点在x 轴上，则t 的值是( ) A ．－4 B ．4 C ．－2D ．2【解析】 二次函数的图像顶点在x 轴上，故Δ＝0，可得t ＝－4. 【答案】 A5. 已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，则此二次函数的解析式为( )A ．f (x )＝4x 2＋4x ＋7 B ．f (x )＝4x 2－4x －7 C ．f (x )＝－4x 2－4x ＋7D ．f (x )＝－4x 2＋4x ＋7【解析】 ∵f (2)＝－1，f (－1)＝－1， ∴对称轴为x ＝2－12＝12，∵f (x )max ＝8，∴令f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8，∴f (2)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8，＝94a ＋8＝－1， ∴a ＝－4，∴f (x )＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.【答案】 D 二、填空题6. 二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，则这个二次函数的解析式为________．【解析】 设f (x )＝a (x －2)2＋3，则f (3)＝a (3－2)2＋3＝a ＋3＝1，∴a ＝－2，∴f (x )＝－2(x －2)2＋3.【答案】 f (x )＝－2(x －2)2＋37. 若(x ＋3)(x ＋n )＝x 2＋mx －15，则m 等于________． 【解析】 ∵(x ＋3)(x ＋n )＝x 2＋mx －15， ∴x 2＋(3＋n )x ＋3n ＝x 2＋mx －15，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＋n ＝m ，3n ＝－15，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝－5.【答案】 －28. 若将二次函数f (x )＝x 2＋x 的图像向右平移a (a >0)个单位长度，得到二次函数g (x )＝x 2－3x ＋2的图像，则a 的值为________．【解析】 法一：将函数f (x )＝x 2＋x 的图像向右平移a (a >0)个单位长度后，对应的函数解析式为f (x －a )＝(x －a )2＋(x －a )＝x 2－(2a －1)x ＋a 2－a ，由题意得x 2－(2a －1)x ＋a 2－a ＝x 2－3x ＋2，故2a －1＝3，a 2－a ＝2，解得a ＝2.法二：f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14，g (x )＝x 2－3x ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－14，则12－a ＝－32，a ＝2.【答案】 2 三、解答题9. 将二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像向上平移3个单位，再向右平移1个单位，得到函数y ＝2x 2－4x －6的图像，求a ，b ，c .【解】 ∵y ＝2x 2－4x －6＝2(x －1)2－8， ∴顶点为(1，－8)．由题意，将顶点(1，－8)向左平移1个单位，向下平移3个单位得二次函数f (x )的顶点坐标为(0，－11)，∴f (x )＝2x 2－11.对照y ＝ax 2＋bx ＋c 得a ＝2，b ＝0，c ＝－11.10. 已知二次函数当x ＝4时有最小值－3，且它的图像与x 轴两交点间的距离为6，求这个二次函数的解析式. 【导学号：04100029】【解】 法一：设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由已知条件，可得抛物线的顶点为(4，－3)，且过(1,0)与(7,0)两点，将三个点的坐标代入，得：⎩⎪⎨⎪⎧－3＝16a ＋4b ＋c ，0＝a ＋b ＋c ，0＝49a ＋7b ＋c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝－83，c ＝73，∴所求二次函数解析式为y ＝13x 2－83x ＋73.法二：∵抛物线与x 轴的两个交点坐标是(1,0)与(7,0)，∴设二次函数的解析式为y ＝a (x －1)(x －7)，把顶点(4，－3)代入，得－3＝a (4－1)(4－7)，解得a ＝13，∴二次函数解析式为y ＝13(x －1)(x －7)，即y ＝13x 2－83x ＋73.法三：∵抛物线的顶点为(4，－3)，且过点(1,0)， ∴设二次函数解析式为y ＝a (x －4)2－3. 将(1,0)代入，得0＝a (1－4)2－3， 解得a ＝13，∴二次函数的解析式为y ＝13(x －4)2－3，即y ＝13x 2－83x ＋73.[能力提升]1. 已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图像可能是( )【解析】 ∵a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0， ∴a ＞0，c ＜0. 【答案】 D2. 已知二次函数f (x )满足f (0)＝－8，f (4)＝f (－2)＝0.若f (x －2)＝x 2－12，则x 的值为( )A ．－9B ．0C ．2D ．－8【解析】 ∵f (4)＝f (－2)＝0， ∴设f (x )＝a (x －4)(x ＋2)， ∴f (0)＝－8a ＝－8，∴a ＝1， ∴f (x )＝(x －4)(x ＋2)＝x 2－2x －8， ∴f (x －2)＝(x －2)2－2(x －2)－8＝x 2－6x ， 由x 2－6x ＝x 2－12，－6x ＝－12得x ＝2. 【答案】 C3. 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0，x 2＋bx ＋c ， x ≤0，若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则f (x )的解析式为________，关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为________．【解析】 ∵f (－4)＝f (0)，∴当x ≤0时，f (x )＝x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝－2，∴－b2＝－2，∴b ＝4，∴f (x )＝x 2＋4x ＋c ，又f (－2)＝4－8＋c ＝－4＋c ＝－2， ∴c ＝2，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0，x 2＋4x ＋2， x ≤0，当x >0时，由f (2)＝2，得x ＝2；当x ≤0时，由f (x )＝x 2＋4x ＋2＝x ，得x ＝－1或x ＝－2， ∴x ＝±2或－1，故方程f (x )＝x 的解的个数为3.【答案】 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2， x >0，x 2＋4x ＋2， x ≤034. 已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)，B (x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到的？ 【解】 由题意可设所求抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x －3＋k .由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k3， ∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269， 即4－－k 3＝269， 解得k ＝43.∴该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y ＝－3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53.。
2019-2020学年高中数学北师大版必修1练习：2.4.1 二次函数的图像 Word版含解析
4.1二次函数的图像课后篇巩固提升1.将函数y=x2-2x的图像向右平移2个单位,再向下平移1个单位后所得图像的解析式为()A.y=(x+1)2-2B.y=(x-3)2C.y=(x-3)2-2D.y=(x-3)2+2解析:函数y=x2-2x=(x-1)2-1的图像函数y=(x-3)2-1的图像函数y=(x-3)2-2的图像.故选C.答案:C2.已知二次函数y=x2+bx+c图像的顶点是(-1,-3),则b与c的值是()A.b=2,c=2B.b=2,c=-2C.b=-2,c=2D.b=-2,c=-2解析:顶点横坐标x=-=-1,得b=2.纵坐标y=-=-3,得c=-2.答案:B3.已知y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示,则点M(a,bc)在()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限解析:由题图可知a>0,->0,c<0,∴b<0,∴bc>0.故点M(a,bc)在第一象限.答案:A4.已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),它们在同一坐标系中的大致图像是()解析:若a>0,则y=ax+c为增函数,y=ax2+bx+c的图像开口向上,故排除A;若a<0,则排除C;若c>0,可知B中图像相矛盾;D中图像相吻合.综上知,D中图像是正确的.答案:D5.导学号85104037二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示,下列结论:①a+b+c<0;②a-b+c>0;③abc>0;④b=2a,其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.1解析:由图像可得,当x=1时,y=a+b+c<0,当x=-1时,y=a-b+c>0.∵-=-1,∴b=2a.由b=2a可知,a,b同号,∴ab>0.又∵f(0)=c>0,∴abc>0.答案:A6.函数y=x2,y=x2,y=2x2的图像大致如右图所示,则图中从里向外的三条抛物线对应的函数依次是.解析:根据“二次项的系数的绝对值越大,抛物线开口越小,抛物线就越接近y轴;二次项系数的绝对值越小,抛物线的开口就越大,抛物线就越远离y轴”这一规律来判定,易知对应的函数由里向外依次是y=2x2,y=x2,y=x2.答案:y=2x2,y=x2,y=x27.已知二次函数y=(m+5)x2+2(m+1)x+m的图像全部在x轴上方,则m的取值范围是.解析:要使函数图像全部在x轴上方,则m需满足-解不等式组得m>.答案:m>8.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为实数,a≠0,x∈R),若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),则f(-8)=.解析:因为f(-1)=0,所以a-b+1=0.因为f(x)的值域为[0,+∞),所以-所以b2-4(b-1)=0.解得b=2,a=1.所以f(x)=(x+1)2,所以f(-8)=(-8+1)2=49.答案:499.已知二次函数的图像如图,求其解析式及顶点M的坐标.解:设二次函数y=ax2+bx+c(a≠0).由图像过点A(-1,0),B(-3,0),C(0,-3),得---解得---所以二次函数的解析式为y=-x2-4x-3,其顶点为M(-2,1).10.导学号85104038(拓展探究)抛物线经过点(2,-3),它与x轴交点的横坐标是-1和3.(1)求出抛物线的解析式;(2)用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标;(3)画出草图;(4)观察图像,x取何值时,函数值y小于零?x取何值时,y随x的增大而减小?解:(1)设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),把(2,-3)代入,得-3=a(2+1)(2-3),∴a=1.∴抛物线的解析式为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.(2)y=x2-2x-3=(x-1)2-4.由此可知抛物线的对称轴为x=1,顶点坐标为(1,-4).(3)抛物线的草图如图所示.(4)由图像可知,当x∈(-1,3)时,函数值y小于零;当x∈(-∞,1]时,y随x的增大而减小.。
高中数学北师大版必修1习题第二章函数2.4.1含解析
§4二次函数性质的再研究4.1二次函数的图像课时过关·能力提升1已知二次函数f(x)的图像与x轴交于A(-1,0),B(1,0)两点,并经过点M(0,1),则f(x)的解析式为()A.f(x)=x2-1B.f(x)=-x2+1C.f(x)=x2+1D.f(x)=-x2-1答案:B2如何平移二次函数y=2x2的图像可得到二次函数y=2(x-4)2-1的图像()A.向左平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度B.向左平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度C.向右平移4个单位长度,再向上平移1个单位长度D.向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度解析:要得到y=2(x-4)2-1的图像,只需将y=2x2的图像向右平移4个单位长度,再向下平移1个单位长度.答案:D3二次函数y=ax2+bx+c的图像如图,有下列结论:①a+b+c<0;②a-b+c>0;③abc>0;④b=2a,其中正确结论的个数是()A.4B.3C.2D.1解析:由题图可得f(1)=a+b+c<0;f(-1)=a-b+c>0;∵-b2a=-1,∴b=2a;∵由b=2a可知,a,b同号,∴ab>0,又f(0)=c>0,∴abc>0.答案:A4设b>0,二次函数y=ax2+bx+a2-1的图像为下列图像中的一个,则a的值为()A.1B.-1C.-1-√52D.-1+√52解析:从左数,由第一个图像与第二个图像,知函数图像与x 轴的两个交点为对称点,则两根之和为0.又已知x 1+x 2=-b a ≠0,故可排除.由第三个图像与第四个图像,知一个根为0,另一个根为正数,即x 1+x 2=-b a>0,又b>0,故a<0,图像开口向下,应为第三个图像.由图像过原点(0,0),得a 2-1=0,解得a=-1,或a=1(舍去).答案:B5二次函数y=ax 2+bx+c 满足f (4)=f (1),那么( )A.f (2)>f (3)B.f (2)<f (3)C.f (2)=f (3)D.f (2)与f (3)的大小关系不能确定解析:由已知f (4)=f (1)可得,该函数的对称轴为x=52,根据二次函数的对称性可得f (2)=f (3).答案:C6函数y=x 2-|x|-12的图像与x 轴两个交点间的距离为( )A.1B.6C.7D.8 解析:由y=x 2-|x|-12=0,得|x|=4,∴x=±4,∴两交点间的距离为8.答案:D7将函数y=x 2+m 的图像向下平移2个单位长度,得函数y=x 2-1的图像,则实数m= .解析:将y=x 2-1的图像向上平移2个单位长度,得函数y=x 2+1的图像,则m=1.答案:18将二次函数y=-2x 2的顶点移到点(-3,2)后,得到的函数的解析式为 .解析:∵二次函数y=-2x 2的顶点为(0,0),∴要将其顶点移到(-3,2),只要把图像向左平移3个单位长度,向上平移2个单位长度即可,∴平移后的函数解析式为y=-2(x+3)2+2.答案:y=-2(x+3)2+29当m 在区间 上时,函数f (x )=(m-2)x 2-3-2m 的图像总在x 轴下方.解析:①当m-2=0,即m=2时,f (x )=-7,符合题意.②当m-2≠0时,f (x )为二次函数.方法一:函数f (x )=(m-2)x 2-3-2m 的图像总在x 轴下方,则函数图像开口向下,且最高点(顶点)在x 轴下方,有{m -2<0,-3-2m <0,解得-32<m<2.综合①②知m ∈(-32,2].方法二:函数f (x )=(m-2)x 2-3-2m 的图像总在x 轴下方,则函数图像开口向下,且图像与x 轴无交点,有{m -2<0,Δ=0-4(m -2)(-3-2m )<0,解得-32<m<2,综合①②知m ∈(-32,2].答案:(-32,2]10已知二次函数f (x )在x=4时取最小值-3,且它的图像与x 轴的两个交点间的距离为6,求这个二次函数的解析式.分析:因为二次函数f (x )在x=4时取最小值-3,所以顶点坐标为(4,-3),对称轴为直线x=4,抛物线开口向上.由于图像与x 轴的两个交点间的距离为6,根据图像的对称性就可以得到图像与x 轴的两个交点的坐标是(1,0)与(7,0),如图.解:方法一:设二次函数f (x )的解析式为f (x )=ax 2+bx+c (a ≠0),由已知条件,可得其图像的顶点为(4,-3),且过(1,0)与(7,0)两点,将三个点的坐标代入,得{-3=16a +4b +c ,0=a +b +c ,0=49a +7b +c ,解得{ a =13,b =-83,c =73. 故所求二次函数的解析式为f (x )=13x 2-83x+73.方法二:∵由已知可得,这个函数的图像与x 轴的两个交点的坐标是(1,0)与(7,0), ∴设这个函数的解析式为f (x )=a (x-1)·(x-7)(a ≠0),把顶点(4,-3)的坐标代入,得-3=a (4-1)(4-7),解得a=13. ∴这个二次函数的解析式为f (x )=13(x-1)·(x-7),即f (x )=13x 2-83x+73. 方法三:∵由已知条件得,这个函数图像的顶点坐标为(4,-3),且过点(1,0),∴设二次函数的解析式为f (x )=a (x-4)2-3(a ≠0).将点(1,0)的坐标代入,得0=a (1-4)2-3,解得a=13.∴二次函数的解析式为f (x )=13(x-4)2-3,即f (x )=13x 2-83x+73.11已知二次函数y=x 2-2(m-1)x+m 2-2m-3,其中m 为实数.(1)求证:无论m 取何实数,这个二次函数的图像与x 轴必有两个交点;(2)设这个二次函数的图像与x 轴交于点A (x 1,0),B (x 2,0),且x 1,x 2的倒数和为23,求这个二次函数的解析式.(1)证明:与这个二次函数对应的一元二次方程是x 2-2(m-1)x+m 2-2m-3=0. ∵Δ=4(m-1)2-4(m 2-2m-3)=4m 2-8m+4-4m 2+8m+12=16>0,∴方程x 2-2(m-1)x+m 2-2m-3=0必有两个不相等的实数根,∴无论m 取何实数,这个二次函数的图像与x 轴必有两个交点.(2)解:由题意可知,x1,x2是方程x2-2(m-1)x+m2-2m-3=0的两个不同的实数根,∴x1+x2=2(m-1),x1·x2=m2-2m-3.∵1x1+1x2=23,即x1+x2x1x2=23,∴2(m-1)m2-2m-3=23, ①解得m=0或m=5,经检验m=0,m=5都是方程①的解.∴二次函数的解析式为y=x2+2x-3或y=x2-8x+12.。
北师大版高中数学必修一2-4-1二次函数的图像
2-4-1二次函数的图像基础巩固一、选择题1．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则下列结论正确的是( )A．a>0，b<0，c>0B．a<0，b<0，c>0C．a<0，b>0，c<0D．a<0，b>0，c>0[答案] D[解析] ∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线的对称轴在y轴右侧，∴－b2a>0，∴b>0，∵抛物线与y轴交于x轴上方，∴c>0.2．y＝ax2＋bx与y＝ax＋b(ab≠0)的图像只可能是图中的( )[答案] D[解析] 在A、B中，对于y＝ax＋b有a>0，b>0，∴－b2a<0，不符．在C、D中，y＝ax＋b，有a<0，b>0，对于y ＝ax2＋bx＝x(ax＋b)和y＝ax＋b与x轴有公共交点，故选D.3．不论m取何值，二次函数y＝x2＋(2－m)x＋m的图像总过的点是( )A．(1,3) B．(1,0)C．(－1,3) D．(－1,0)[答案] A[解析] 由题意知x 2＋2x －y ＋m (1－x )＝0恒成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －y ＝01－x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝3，∴图像总过点(1,3)．4．已知f (x )＝2(x －1)2和g (x )＝12(x －1)2，h (x )＝(x －1)2的图像都是开口向上的抛物线，在同一坐标系中，哪个开口最开阔( )A ．g (x )B ．f (x )C ．h (x )D ．不确定 [答案] A[解析] 因二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的|a |越小，则二次函数开口越开阔．5．二次函数y ＝f (x )满足f (3＋x )＝f (3－x )，且f (x )＝0有两个实根x 1，x 2，则x 1＋x 2等于( )A ．0B ．3C ．6D ．不能确定 [答案] C[解析] 由f (3＋x )＝f (3－x )知函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝3对称，应有x 1＋x 22＝3⇒x 1＋x 2＝6.6．(2010·安徽文)设abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图像可能是( )[答案] D[解析] 该题考查二次函数的图像和性质，采用排除法．对A：a<0.∵abc>0，∴bc<0.又∵轴－b2a<0.∴b<0，∴c>0，排除A；对B：a<0.∵abc>0，∴bc<0.又∵轴－b2a>0.∴b>0，∴c<0，排除B；对C：a>0.∵abc>0，∴bc>0.又∵轴－b2a<0.∴b>0，∴c>0，排除C；对D：a>0.∵abc>0，∴bc>0.又∵轴－b2a>0.∴b<0，∴c<0，故选D.二、填空题7．抛物线y＝－x2－2x＋3与x轴的两交点为A、B，顶点为C，则△ABC的面积是________．[答案]8[解析] y ＝－x 2－2x ＋3＝(－x ＋1)(x ＋3)＝－(x ＋1)2＋4， 由题意得A (－3,0)，B (1,0),C (－1,4)，∴S △ABC ＝12×4×4＝8.8．如果一条抛物线的形状与y ＝13x 2＋2的形状相同，且顶点是(4，－2)，则它的解析式是______________．[答案] y ＝13x 2－83x ＋103或y ＝－13x 2＋83x －223[解析] ∵顶点是(4，－2)，∴可设抛物线解析式为y ＝a (x －4)2－2. 又∵与y ＝13x 2＋2的形状相同，∴a ＝13或－13.∴y ＝13(x －4)2－2或y ＝－13(x －4)2－2.三、解答题9．已知二次函数f (x )＝－x 2＋bx ＋c 对于任意x 都满足f (1－x )＝f (1＋x )．(1)求实数b 的值；(2)比较f (－m 2－m －1)与f (14)的大小．[解析] (1)由于f (1－x )＝f (1＋x )，所以二次函数f (x )＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为x ＝1，所以x ＝－b2×(－1)＝1，解得b ＝2.(2)因为－m 2－m －1＝－(m ＋12)2－34≤－34<14.又因为f (x )的对称轴为x ＝1，且开口向下，∴f (－m 2－m －1)<f (14).能力提升一、选择题1．如图所示的是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像，则|OA |·|OB |等于( )A.c a B ．－c aC ．±c aD ．以上都不对[答案] B[解析] ∵f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， ∴f (0)＝c >0，a <0，设ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2，则x 1·x 2＝ca，∴|OA |＝－x 1，|OB |＝x 2，∴|OA |·|OB |＝－ca.故正确答案为B.2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c满足a>b>c，且a＋b＋c＝0，那么它的图像是下图中的( )[答案] A[解析] 因为a>b>c且a＋b＋c＝0，所以a>0，c<0.故排除B、C，又因为当x＝1时，y＝a＋b＋c＝0，只有A正确．二、填空题3．若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图像关于直线x ＝1对称，则b ＝____________.[答案] 6[解析] 解法一：二次函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3的图像关于直线x ＝1对称，说明二次函数的对称轴为直线x ＝1，则－a ＋22＝1，∴a＝－4.而该函数是定义在[a ，b ]上的，即a 、b 关于x ＝1也是对称的，则有a 到对称轴的距离与b 到对称轴的距离相等，∴1－a ＝b －1，∴b ＝6.解法二：∵二次函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3的图像的对称轴为直线x ＝1，∴该函数可表示为y ＝(x －1)2＋c ，与原二次函数的表达式比较同类项系数，可得a ＋2＝－2，∴a ＝－4.求b 同解法一．4．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的两个交点的横坐标分别为－1、3，与y 轴交点的纵坐标为－32，则抛物线的解析式为________．[答案] y ＝12x 2－x －32[解析] 可设y ＝a (x ＋1)(x －3)，再把点(0，－32)代入上式可求得a ＝12，则y ＝12x 2－x －32.三、解答题5．已知二次函数满足f (x －2)＝f (－x －2)，且其图像在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为22，求f (x )的表达式．[解析] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x －2)＝f (－x －2)得对称轴为x ＝－b2a＝－2，∴b ＝4a .∵图像在y 轴上的截距为1，∴c ＝1，又|x 1－x 2|＝b 2－4ac|a |＝22，∴b ＝2或b ＝0(舍去)，a ＝12，∴f (x )＝12x 2＋2x ＋1.6．已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值为8，试确定此二次函数的表达式．[解析] 解法一：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (2)＝f (－1)＝－1，f (x )最大值是8，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7. 解法二：设f (x )＝a (x －m )2＋n . ∵f (2)＝f (－1)＝－1，∴对称轴为x ＝2＋(－1)2＝12，∴m ＝12.又∵函数有最大值为8，∴n ＝8.∴f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋8.∵f (2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解之得a ＝－4.∴f (x )＝－4⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x 2＋4x ＋7.解法三：由已知f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1， 故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)， 即f (x )＝ax 2－ax －2a －1. 且a ≠0，又函数有最大值8，∴4a (－2a －1)－a 24a ＝8，解之得a ＝－4，∴所求二次函数的表达式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.7．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)、B (x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到？[解析] 由题意可设所求抛物线的解析式为y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x －3＋k ，由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k3，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269，得4－2(3－k )3＝269，解得k ＝43.所以，该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y ＝－3(x －1)2＋43，-------------------------------------------------------------------奋斗没有终点任何时候都是一个起点-----------------------------------------------------信达 即y ＝－3x 2＋6x －53.。
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2.4.1二次函数的图像一、选择题1．已知抛物线经过点(－3,2)，顶点是(－2,3)，则抛物线的解析式是( ) A ．y ＝－x 2－4x －1 B ．y ＝x 2－4x －1 C ．y ＝x 2＋4x －1 D ．y ＝－x 2－4x ＋1[答案] A[解析] 设抛物线的解析式为y ＝a (x ＋2)2＋3.将点(－3,2)代入，得2＝a (－3＋2)2＋3， 即a ＝－1.所以y ＝－(x ＋2)2＋3＝－x 2－4x －1.2．将函数y ＝x 2图像上各点的纵坐标扩大为原来的2倍后，(横坐标不变)，所得图像对应的函数解析式为( )A ．y ＝2x 2B ．y ＝4x 2C ．y ＝12x 2D ．y ＝14x 2[答案] A[解析] 由图像变换可知选A.3．已知抛物线过点(－1,0)，(2,7)，(1,4)，则其解析式为( ) A ．y ＝13x 2－2x ＋53B ．y ＝13x 2＋2x ＋53C ．y ＝13x 2＋2x －53D ．y ＝13x 2－2x －53[答案] B[解析] 设所求抛物线的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 则根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝0，4a ＋2b ＋c ＝7，a ＋b ＋c ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝13，b ＝2，c ＝53.所以y ＝13x 2＋2x ＋53，故选B.4．已知a ≠0，b <0，一次函数是y ＝ax ＋b ，二次函数是y ＝ax 2，则下列图像中，可以成立的是( )[答案] C[解析] 由b <0，排除B ，D ；A 是抛物线开口向下，a <0，而直线体现了a >0，从而排除A.5．将函数y ＝2(x ＋1)2－3的图像向左平移1个单位长度，再向上平移3个单调长度所得图像对应的函数解析式为( )A ．y ＝2x 2B ．y ＝2(x ＋2)2－6C ．y ＝2x 2－6D ．y ＝2(x ＋2)2[答案] D[解析] 将y ＝2(x ＋1)2－3的图像向左平移1个单位后，得到y ＝2(x ＋2)2－3的图像，再将它向上平移3个单位长度得到y ＝2(x ＋2)2的图像，故选D.6．已知f (x )＝2(x －1)2和g (x )＝12(x －1)2，h (x )＝(x －1)2的图像都是开口向上的抛物线，在同一坐标系中，哪个开口最开阔( )A ．g (x )B ．f (x )C ．h (x )D ．不确定[答案] A[解析] 因二次函数y ＝a (x －h )2＋k 的|a |越小，则二次函数开口越开阔． 二、填空题7．二次函数f (x )＝12x 2－x ＋32的图像的顶点坐标为________．[答案] (1,1)[解析] f (x )＝12x 2－x ＋32＝12(x 2－2x ＋3)＝12(x －1)2＋1，所以其顶点坐标为(1,1)．8．已知二次函数的图像经过点(1,4)，且与x 轴的交点为(－1,0)和(3,0)，则该函数的解析式是________．[答案] f (x )＝－x 2＋2x ＋3[解析] 设函数的解析式为f (x )＝a (x ＋1)(x －3)(a ≠0)， 将点(1,4)代入，得a ＝－1.则f (x )＝－(x ＋1)(x －3)＝－x 2＋2x ＋3. 三、解答题9．已知二次函数的图像的顶点坐标是(1，－3)，且经过点P (2,0)，求这个函数的解析式．[解析] 解法1：设所求函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝－3，4a ＋2b ＋c ＝0，－b 2a ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－6，c ＝0.∴函数的解析式为y ＝3x 2－6x .解法2：设所求函数的解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎨⎧4a ＋2b ＋c ＝0，－b 2a＝1，4ac －b24a ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－6，c ＝0.∴函数的解析式为y ＝3x 2－6x .解法3：设所求函数的解析式为y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，则顶点坐标为(－h ，k )， 已知顶点为(1，－3)，∴h ＝－1，k ＝－3， 即所求的二次函数y ＝a (x －1)2－3. 又∵图像经过点P (2,0)， ∴0＝a ×(2－1)2－3，∴a ＝3，∴函数的解析式为y ＝3(x －1)2－3，即y ＝3x 2－6x . 解法4：设解析式为y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)， 其中x 1，x 2是抛物线与x 轴的两交点的横坐标， 已知抛物线与x 轴的一个交点P (2,0)，对称轴是x ＝1， ∴抛物线与x 轴的另一个交点为(0,0)， ∴x 1＝0，x 2＝2，∴所求的解析式为y ＝a (x －0)(x －2)，又∵顶点为(1，－3)，∴－3＝a ×1×(1－2)，∴a ＝3， ∴所求函数的解析式为y ＝3x 2－6x .10．已知二次函数满足f (x －2)＝f (－x －2)，且其图像在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为22，求f (x )的表达式．[解析] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x －2)＝f (－x －2)得对称轴为x ＝－b2a ＝－2，∴b ＝4a .∵图像在y 轴上的截距为1，∴c ＝1， 又|x 1－x 2|＝b 2－4ac|a |＝22，∴b ＝2或b ＝0(舍去)，a ＝12，∴f (x )＝12x 2＋2x ＋1.一、选择题1．如图所示的是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像，则|OA |·|OB |等于( ) A.c a B ．－c aC ．±c aD ．以上都不对[答案] B[解析] ∵f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， ∴f (0)＝c >0，a <0，设ax 2＋bx ＋c ＝0的两根为x 1，x 2，则x 1·x 2＝ca ，∴|OA |＝－x 1，|OB |＝x 2， ∴|OA |·|OB |＝－ca.故正确答案为B.2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 满足a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，那么它的图像是下图中的( )[答案] A[解析] 因为a >b >c 且a ＋b ＋c ＝0，所以a >0，c <0.故排除B 、C ，又因为当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＝0，只有A 正确．二、填空题3．若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图像关于直线x ＝1对称，则b ＝____________.[答案] 6[解析] 解法1：二次函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3的图像关于直线x ＝1对称，说明二次函数的对称轴为直线x ＝1，则－a ＋22＝1，∴a ＝－4.而该函数是定义在[a ，b ]上的，即a 、b 关于x ＝1也是对称的，则有a 到对称轴的距离与b 到对称轴的距离相等，∴1－a ＝b －1，∴b ＝6.解法2：∵二次函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3的图像的对称轴为直线x ＝1，∴该函数可表示为y ＝(x －1)2＋c ，与原二次函数的表达式比较同类项系数，可得a ＋2＝－2，∴a ＝－4.求b 同解法1.4．把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，所得图像的解析式为y ＝x 2－2x ＋1，则b ＝________，c ＝________.[答案] －6 6[解析] 由题意知y ＝x 2＋bx ＋c 的图像可由y ＝x 2－2x ＋1＝(x －1)2先向下平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度得到，即y ＝x 2＋bx ＋c ＝(x －3)2－3＝x 2－6x ＋6.所以b ＝－6，c ＝6.三、解答题5．已知二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，图像过原点，求g (x )的解析式． [解析] 由题意设g (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， ∵g (1)＝1，g (－1)＝5，且图像过原点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝1，a －b ＋c ＝5，c ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝－2，c ＝0.∴g (x )＝3x 2－2x .6．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，试判断点(a ＋b b 2－4ac ，acb)所在的象限．[解析] 由抛物线开口向上知a >0， ∵抛物线与y 轴的交点(0，c )在y 轴负半轴， ∴c <0.又∵对称轴x ＝－b2a 在y 轴左边，∴－b 2a <0.∴b a >0.∴a ，b 同号． ∵a >0，∴b >0.又∵抛物线与x 轴有两个交点， ∴b 2－4ac >0. ∴a ＋b b 2－4ac>0，acb <0.∴点(a ＋b b 2－4ac ，acb)在第四象限．7．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)与x 轴有两个不同的交点A (x 1,0)、B (x 2,0)且x 21＋x 22＝269，试问该抛物线由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移几个单位得到？ [解析] 由题意可设所求抛物线的解析式为 y ＝－3(x －1)2＋k ，展开得y ＝－3x 2＋6x －3＋k ， 由题意得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝3－k3，所以x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝269，得 4－2(3－k )3＝269，解得k ＝43.所以，该抛物线是由y ＝－3(x －1)2的图像向上平移43个单位得到的，它的解析式为y ＝－3(x －1)2＋43，即y ＝－3x 2＋6x －53.。