2019届湖南省长郡中学、衡阳八中等十四校高三5月大联考理科数学试题

2019届湖南省长郡中学、衡阳八中等十四校高三5月大联考试题数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共8页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题作答用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷和草稿纸上无效。

3．非选择题作答用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

答在试卷和草稿纸上无效。

考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，只需上交答题卡。

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{|2}A x x =≥，{|12}B x =<，则A B =（ ）A ．(4,)-+∞B ．[4,)-+∞C ．[2,1]--D ．[4,2]--2.复数3iz i =+（i 为虚数单位）的共轭复数为（ ） A ．131010i + B ．131010i - C ．931010i + D ．931010i -3.下列有关命题的说法中错误的是（ ）A ．设,a b R ∈，则“a b >”是“a a b b >”的充要条件B ．若p q ∨为真命题，则p ，q 中至少有一个为真命题C ．命题：“若()y f x =是幂函数，则()y f x =的图象不经过第四象限”的否命题是假命题D ．命题“*n N ∀∈，*()f n N ∈且()f n n ≤”的否定形式是“*0n N ∃∈，*0()f n N ∉且00()f n n >”4.已知不等式201x ax +<+的解集为(2,1)--，则二项式621ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的常数项是（ ） A ．15- B ．15 C ．5- D ．55.若函数())f x x πω=-5sin 2x πω⎛⎫++⎪⎝⎭，且()2f α=，()0f β=，αβ-的最小值是2π，则()f x 的单调递增区间是（ ）A ．22,233k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ B ．52,266k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ C ．5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ D ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k Z ∈ 6.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积（单位：2cm ）是（ ）A．40+．40+C．36+．36+7.甲、乙、丙、丁、戊五位同学相约去学校图书室借A 、B 、C 、D 四类课外书（每类课外书均有若干本），已知每人均只借阅一本，每类课外书均有人借阅，且甲只借阅A 类课外书，则不同的借阅方案种类为（ ） A ．48 B ．54 C ．60 D ．72 8.如图所示，圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（ ） A ．12BD9.一个算法的程序框图如下，则其输出结果是（ ）A1 B．12+ C．2D ．0 10.已知点(4,0)A ，(0,4)B ，点(,)P x y 的坐标x ，y 满足0034120x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+-≤⎩，则A P B P ⋅的最小值为（ ）A ．19625-B ．0C ．254D ．8- 11.过圆P ：221(1)4x y ++=的圆心P 的直线与抛物线C ：22y x =相交于A ，B 两点，且2PB PA =，则点A 到圆P 上任意一点的距离的最大值为（ ）A ．136 C ．73 D ．7212.设函数()f x 是定义在(,0)-∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且有22()'()f x xf x x +>，则不等式2(2018)(2018)x f x ++4(2)0f -->的解集为（ ）A ．(2020,0)-B ．(,2020)-∞-C ．(2016,0)-D ．(,2016)-∞-第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中对应题后后的横线上.13.已知向量a ，b 满足5a =，6a b -=，4a b +=，则向量b 在向量a 上的投影为 ．14.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且3log (1)1n S n +=+，则数列{}n a 的通项公式为 ．15.三棱锥P ABC -的底面ABC 是等腰三角形，120C ∠=，侧面PAB 是等边三角形且与底面ABC 垂直，2AC =，则该三棱锥的外接球表面积为 ．16.已知()f x 是以2e 为周期的R 上的奇函数，当(0,)x e ∈，()ln f x x =，若在区间[,3]e e -，关于x 的方程()f x kx =恰好有4个不同的解，则k 的取值范围是 ．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a =sin sin sin B A b cC a b--=+.（1）求角A 的大小； （2）求b c +的取值范围.18.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，已知2PA AC ==，60PAD DAC ∠=∠=，CE AD ⊥于E .（1）求证：AD PC ⊥；（2）若平面PAD ⊥平面ABCD ，且3AD =，求二面角C PD A --的余弦值.19.随着电子产品的不断更新完善，更多的电子产品逐步走入大家的世界，给大家带来了丰富多彩的生活，但也带来了一些负面的影响，某公司随即抽取1000人对某电子产品是否对日常生活有益进行了问卷调查，并对参与调查的1000人中的年龄层次以及意见进行了分类，得到的数据如下表所示：（1）根据表中的数据，能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为电子产品的态度与年龄有关系？ （2）为了答谢参与问卷调查的人员，该公司对参与本次问卷调查的人员进行抽奖活动，奖金额以及发放的概率如下：现在甲、乙两人参与了抽奖活动，记两人获得的奖金总金额为Y ，求Y 的分布列和数学期望.参与公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++临界值表：20.已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>.（1）若椭圆的离心率为12，且过右焦点垂直于长轴的弦长为3，求椭圆C 的标准方程； （2）点(,0)P m 为椭圆长轴上的一个动点，过点P 作斜率为ba的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，试判断22PA PB +是为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，说明原因.21.已知函数()ln f x x x ax =-. （1）求函数()f x 的单调区间；（2）设函数()()xg x x k e k =-+，k Z ∈， 2.71828e =⋅⋅⋅为自然对数的底数.当1a =时，若1(0,)x ∃∈+∞，2(0,)x ∀∈+∞，不等式21()5()0g x f x ->成立，求k 的最大值.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为sin cos sin 2x y θθθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），若以该直角坐标系的原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N 的极坐标方程为：sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（其中t 为常数）.（1）若曲线N 与曲线M 有两个不同的公共点，求t 的取值范围； （2）当2t =-时，求曲线M 上的点与曲线N 上点的最小距离. 23.选修4-5：不等式选讲已知函数()221f x x x =+--，x R ∈. （1）求()1f x ≤的解集；（2）若()f x x a =+有两个不同的解，求a 的取值范围.2019届湖南省长郡中学、衡阳八中等十四校高三5月大联考理科数学试题数学（理科）参考答案一、选择题1-5: DBDBA 6-10: CCDBA 11、12：AB二、填空题13. 1- 14. 8,123,2n n n a n =⎧=⎨⨯≥⎩ 15. 20π 16. 111,,3e e e ⎛⎤⎡⎫-∞- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ 三、解答题17.【解析】（1）由sin sin sin B A b cC a b--=+及正弦定理得()()()b a b a b c c -+=-， 所以222a b c bc =+-1cos 2A ⇒=，3A π=.（2）a =3A π=，所以sin sin sin a b cA B C ==2sin 3π==，2(sin sin )b c B C +=+22sin sin 3B B π⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦3B π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ABC ∆为锐角三角形，B 的范围为,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭，则,366B πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴cos 3B π⎛⎫-⎪⎝⎭的取值范围是⎤⎥⎝⎦，∴(b c +∈. 18.【解析】（1）连接PE ，∵PA AC =，PAD CAD ∠=∠，AE 是公共边， ∴PAE CAE ∆≅∆， ∴PEA CEA ∠=∠，∵CE AD ⊥，∴PE AD ⊥，又PE ⊂平面PCE ，CE ⊂平面PCE ，PE CE E =，∴AD ⊥平面PCE ， 又PC ⊂平面PCE ， ∴AD PC ⊥.（2）法一：过E 作EF PD ⊥于F ，连接CF ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，CE ⊂平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD =，CE AD ⊥，∴CE ⊥平面PAD ，又PD ⊂平面APD ， ∴CE PD ⊥，又PD EF ⊥， ∴PD ⊥平面CEF ，∴CFE ∠为二面角C PD A --的平面角，∵2PA AC ==，60PAD CAD ∠=∠=，PE AD ⊥，CE AD ⊥， ∴1AE =，PE CE ==3AD =，所以2DE =，∴PD =7EF =tan 2EFC ∠=， ∴二面角C PD A --的余弦值为11.法二：由AD ⊥平面PEC ，平面PAD ⊥平面ABCD ，所以EP ，EA ，EC 两两垂直，以E 为原点，EA ，EC ，EP 分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示.因为2PA AC ==，60PAD CAD ∠=∠=，3AD =， 所以1AE =，PE CE ==2DE =，则(0,0,0)E ，(2,0,0)D -，C，P，DP =，DC =. 设平面PCD 的法向量为(,,)n x y z =，则00n DP n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x x ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，令x =(3,2,2)n =-，又平面PAD 的一个法向量为EC =， 设二面角C PD A --所成的平面角为θ，则cos EC n EC nθ⋅=11==，显然二面角C PD A --是锐角，故二面角C PD A --.19.【解析】（1）依题意，在本次的实验中，2K 的观测值21000(400200300100)700300500500k ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯47.61910.828=>，故可以在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为对电子产品的态度与年龄有关系. （2）Y 的可能取值为0，10，20，30，40，(0)P Y =111224=⨯=，(10)P Y =1222255=⨯⨯=，(20)P Y =22111325521050=⨯+⨯⨯=， (30)P Y =212251025=⨯⨯=， (40)P Y =111=⨯=，()12E Y =.20.【解析】（1）12e =，即12c a =，2a c =， 不妨令椭圆方程为2222143x y c c+=，当x c =时，32y =，得出1c =，所以椭圆的方程为22143x y +=. （2）令直线方程为()by x m a=-与椭圆交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点， 联立方程2222()1b y x m a x y a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得222222222b x b mx b m a b -+=， 即222220x mx m a -+-=，∴12x x m +=，22122m a x x -=，∴22PA PB +22221122()()x m y x m y =-++-+2212()1b x m a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭2222()1b x m a ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭2221221[()()]b x m x m a ⎛⎫=+-+- ⎪⎝⎭2222122()a b x x a +=+ 22212122[()2]a b x x x x a+=+-22a b =+为定值. 21.【解析】（1）对函数求导得'()ln 1(0)f x x a x =+->， 令'()0f x =，得1a x e -=，当10a x e -<<时，'()0f x <，此时函数()f x 单调递减；当1a x e->时，'()0f x >，此时函数()f x 单调递增，所以函数()f x 的单调递减区间是1(0,)a e-，单调递增区间是1(,)a e -+∞.（2）当1a =时，由（1）可知1()()(1)1a f x f e f -===-，1(0,)x ∃∈+∞，2(0,)x ∀∈+∞，不等式125()()0f x g x -+>成立等价于当(0,)x ∈+∞时，5()0x x k e k +-+>恒成立，即5(1)xxxe k e +>-对(0,)x ∈+∞恒成立，因为(0,)x ∈+∞时10xe ->，所以51xx xe k e +<-对(0,)x ∈+∞恒成立，即51x x k x e +<+-对(0,)x ∈+∞恒成立， 设5()1x x h x x e +=+-，则2(6)'()(1)x x x e e x h x e --=-，令()6x F x e x =--，则'()1xF x e =-， 当(0,)x ∈+∞时，'()0F x >，所以函数()6xF x e x =--在(0,)+∞上单调递增， 而2(2)80F e =-<，3(3)90F e =->， 所以(2)(3)0F F <，所以存在唯一的0(2,3)x ∈，使得0()0F x =，即006x ex =+，当0(0,)x x ∈时，()0F x <，'()0h x <，所以函数()h x 单调递减； 当0(,)x x ∈+∞时，()0F x >，'()0h x >，所以函数()h x 单调递增， 所以当0x x =时，函数()h x 有极小值0()h x ，同时也为最小值， 因为00005()1x x h x x e +=+-01(3,4)x =+∈，又0()k h x <，且k Z ∈， 所以k 的最大整数值是3.22.【解析】（1）由已知M ：21y x =-，x ⎡∈⎣；N ：x y t +=.联立方程有两个解，可得5,14t ⎛⎤∈-⎥⎝⎦.（2）当2t =-时，直线N ：2x y +=-，设M 上的点为200(,1)x x -，0x ≤d=2013x ⎛⎫++ ⎪=8≥，当012x =-时取等号，满足0x ≤. 23.【解析】（1）3,1()31,113,1x x f x x x x x +≥⎧⎪=+-<<⎨⎪--≤-⎩，若()1f x ≤，可得{|40}x x -≤≤.（2）结合图象易得13a -<<.第21 页共21 页。