湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考(一)数学试题
湖南省长沙市长郡中学2021届高三上学期第一次月考 数学 (含答案)
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2020届长郡中学高三第1次月考试卷-理数答案
理科数学试题参考答案!长郡版"!!%
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湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考(一)数学试题
长郡中学2021届高三月考试卷（一）数学本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给田的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}22A x x =-≤≤∣，{}lg(1)B x y x ==-∣.则A B =（ ） A. {}2x x ≥-∣ B. {}12x x <<∣ C. {}12x x <≤∣ D. {}2xx ≥∣ C根据对数函数的定义域化简{}lg(1)B x y x ==-∣，再利用交集的运算求解即可. 由题意得，{}{}lg(1)1B x y x x x ==-=>∣∣， 因为{}22A xx =-≤≤∣， 所以{}12A B xx =<≤∣，故选：C. 本题主要考查对数函数的定义域以及集合交集的运算，属于基础题.2. 已知复数z 满足()3425z i -=，则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限D化简复数z ，进而可得出复数z 的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限.()()()25342534343434i z i i i i +===+--+，则34z i =-， 复数z 在复平面内对应的点是()3,4-，在第四象限，故选：D.本题考查复数对应的点所在象限的确定，考查了复数的除法法则以及共轭复数的应用，属于基础题.3. 已知a b c <<且0a b c ++=，则下列不等式恒成立的是 A. 222a b c << B. 22ab cb <C. ac bc <D. ab ac <C∵0a b c ++=且a b c <<，∴0,0a c <>． ∴ac bc <． 选C ．4. 在ABC 中，2BD DC =，AE ED =，则BE =（ ） A.1536AC AB - B. 1536AC AB -+C. 1136AC AB -+D. 1136AC AB --A根据2BD DC =，AE ED =，结合平面向量的加法和减法运算，利用平面向量的基本定理求解. 【详解】如图所示：因为AE ED =，2BD DC =， 所以()12BE BA BD =+， ()1223BA AC AB ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭， 1536AC AB =-，故选：A 5. 设函数2()log f x x x m =+-，则“函数()f x 在1,42⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点”是(1,6)m ∈的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件B由函数基本初等函数的单调判断函数()f x 的单调性，由函数()f x 在1,42⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，则102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭，(4)0f >，即可求出参数的取值范围，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可； 解：函数2()log f x x x m =+-在区间()0,∞+上单调递增，由函数()f x 在1,42⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点，则11022f m ⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，(4)60f m =->，解得162m -<<，故“函数()f x 在1,42⎛⎫⎪⎝⎭上存在零点”是“(1,6)m ∈”的必要不分条件.故选：B.本题考查函数的零点及充分条件、必要条件的判断，属于基础题.6. 已知实数a ，b ，c 满足1lg 10b a c==，则下列关系式中不可能成立的是（ ）A. a b c >>B. a c b >>C. c a b >>D. c b a >>D设1lg 10ba t c ===，分别表示出,,a b c ，构造函数，利用函数图象比较大小. 设1lg 10ba t c ===，0t >，则10t a =，lgb t =，1c t=，在同一坐标系中分别画出函数10x y =，lg y x =，1y x=的图象，如图，当3t x =时，a b c >>；当2t x =时，a c b >>；当1t x =时，c a b >>.故选:D. 本题考查利用函数的图象比较大小，构造函数，画出图象是关键. 7. 已知3sin cos 72sin 3cos αααα+=-，则函数2()sin 2tan |cos |6f x x x α=+-的最小值为（ ）A. -5B. -3C. 2-D. -1A由3sin cos 72sin 3cos αααα+=-可求出tan α值，再将()f x 化为关于cos x 的二次函数，即可根据二次函数的性质求出最小值. 由3sin cos 72sin 3cos αααα+=-，有3tan 172tan 3αα+=-，解得tan 2α=，故222()sin 2tan |cos |6cos 4|cos |5(|cos |2)1f x x x x x x α=+-=-+-=---， 故当|cos |0x =时，()f x 取最小值5-.故选：A.本题考查分式型三角函数的化简，以及关于二次型三角函数的最值问题，属于基础题.8. 设函数2()2f x x xlnx =-+，若存在区间[]1,,2a b ⎡⎫⊆+∞⎪⎢⎣⎭，使()f x 在[a ，]b 上的值域为[(2)k a +，(2)]k b +，则k 的取值范围是( ) A. 9221,4ln +⎛⎫⎪⎝⎭B. 9221,4ln +⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. 9221,10ln +⎛⎤⎥⎝⎦D. 9221,10ln +⎡⎤⎢⎥⎣⎦C判断()f x 的单调性得出()(2)f x k x =+在1[2，)+∞上有两解，作出函数图象，利用导数的意义求出k 的范围．解：()'21f x x lnx =--，1()2f x x''=-，∴当12x时，()0f x ''， ()f x ∴'在1[2，)+∞上单调递增，11()()2022f x f ln ∴''=->，()f x ∴在1[2，)+∞上单调递增，[a ，1][2b ⊆，)+∞，()f x ∴在[a ，]b 上单调递增，()f x 在[a ，]b 上的值域为[(2)k a +，(2)]k b +，∴()(2)()(2)f a k a f b k b =+⎧⎨=+⎩， ∴方程()(2)f x k x =+在1[2，)+∞上有两解a ，b ．作出()y f x =与直线(2)y k x =+的函数图象，则两图象有两交点．若直线(2)y k x =+过点1(2，912)42ln +， 则92210ln k +=， 若直线(2)y k x =+与()y f x =的图象相切，设切点为0(x ，0)y ，则002000000(2)221y k x y x x lnx x lnx k=+⎧⎪=-+⎨⎪-+=⎩，解得1k =． 922110ln k+∴<，故选：C ． 本题考查了函数的单调性，导数的几何意义，零点个数与函数图象的关系，属于中档题． 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分.部分选对的得3分. 9. （多选题）下列命题中正确的是（ ） A. ()0,x ∃∈+∞，23x x >B. ()0,1x ∃∈，23log log x x <C. ()0,x ∀∈+∞，131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭D. 10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，131log 2xx ⎛⎫< ⎪⎝⎭BD本题可通过当(0,)x ∈+∞时213x⎛⎫< ⎪⎝⎭判断出A 错误，然后通过当(0,1)x ∈时2log 0x <、3log 0x <以及223log log 31log xx =>判断出B 正确，再然后可通过取12x =判断出C 错误，最后可通过当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时1311log 2xx ⎛⎫<< ⎪⎝⎭判断出D 正确.A 项：当(0,)x ∈+∞时，22133xx x ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，即23x x<恒成立，A 错误；B 项：当(0,1)x ∈时，2log 0x <且3log 0x <，因为3322333log log 2log 1log 31log log log 2xx x x ===>，所以23log log x x <恒成立，B 正确；C 项：当12x =时，122x⎛⎫= ⎪⎝⎭，13log 1x =，此时131log 2xx ⎛⎫> ⎪⎝⎭，C 错误；D 项：由对数函数与指数函数的性质可知，当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，1311log 2xx ⎛⎫<< ⎪⎝⎭恒成立，D 正确，故选：BD.关键点点睛：本题考查全称命题和特称命题的真假判断，主要考查学生对指数函数和对数函数的性质的理解，解题时全称命题为真与存在命题为假需要证明，而全称命题为假和存在命题为真只要举一例即可，考查推理能力，是中档题.10. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1a p =，122n n S S p --=（2n ≥，p 为非零常数），则下列结论正确的是（ ） A. {}n a 是等比数列B. 当1p =时，4158S =C. 当12p =时，m n m n a a a +⋅=D. 3856a a a a +=+ABC由122(2)n n S S p n --=≥和等比数列的定义，判断出A 正确；利用等比数列的求和公式判断B 正确；利用等比数列的通项公式计算得出C 正确，D 不正确． 由122(2)n n S S p n --=≥，得22p a =. 3n ≥时，1222n n S S p ---=，相减可得120n n a a --=， 又2112a a =，数列{}n a 为首项为p ，公比为12的等比数列，故A 正确； 由A 可得1p =时，44111521812S -==-，故B 正确； 由A 可得m n m n a a a +⋅=等价为2121122m nm np p ++⋅=⋅，可得12p =，故C 正确；38271133||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭，56451112||||22128a a p p ⎛⎫+=+=⋅ ⎪⎝⎭， 则3856a a a a +>+，即D 不正确；故选：ABC. 方法点睛：由数列前n 项和求通项公式时，一般根据11,2,1n n n S S n a a n --≥⎧=⎨=⎩求解，考查学生的计算能力.11. 已知函数()f x 满足：对于定义域中任意x ，在定义域中总存在t ，使得()()f t f x =-成立.下列函数中，满足上述条件的函数是（ ） A. ()1f x x B. 4()f x x = C. 1()2f x x =+ D. ()ln(21)f x x =-ACD由题意转化条件为函数()f x 的值域关于原点对称，逐项判断即可得解. 由题意可得函数()f x 的值域关于原点对称， 对于A ，函数()1f x x 的值域为R ，关于原点对称，符合题意；对于B ，函数4y x =的值域为[0,)+∞，不关于原点对称，不符合题意； 对于C ，函数1()2f x x =+的值域为(,0)(0,)-∞+∞， 关于原点对称，符合题意； 对于D ，函数()()ln 21f x x =-的值域为R ，关于原点对称，符合题意；故选：ACD . 本题考查了常见函数值域的求解，考查了转化化归思想，属于基础题.12. 下图是函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，0||x ϕ<<）部分图象，下列结论正确的是（ ）A. 函数12y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于原点对称B. 函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称C. 函数()f x 在区间,34ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D. 方程()1f x =在区间23,1212ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的所有实根之和为83π ABD根据函数图象求出()f x 的解析式，根据正弦型函数的性质判断选项正误. 由已知，2A =，2543124T πππ=-=，因此T π=， ∴22πωπ==，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，过点2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭， 因此43232k ππϕπ+=+，k ∈Z ，又0||ϕπ<<， 所以6π=ϕ，∴()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对A ，2sin 212y f x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭图象关于原点对称，故A 正确；对B ，当12x π=-时，012f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故B 正确； 对C ，由222262k x k πππππ-≤+≤+，有36k x k ππππ-≤≤+，k ∈Z 故C 不正确；对D ，当231212x ππ-≤≤时，2[0,4]6x ππ+∈，所以1y =与函数()y f x =有4个交点令横坐标为1x ，2x ，3x ，4x ，12317822663x x x x πππ+++=⨯+⨯=，故D 正确.故选：ABD.本题考查根据正弦型函数的部分图象求函数的解析式，以及分析正弦型函数的性质，属于基础题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若向量2a =，2b =，()a b a -⊥，则向量a 与b 的夹角等于_________.4π 先利用垂直关系得到2a b ⋅=，再利用数量积求夹角的余弦值，根据范围即求得夹角. 因为向量2a =，2b =，()a b a -⊥，故2()0a b a a a b -⋅=-⋅=，即22a b a ⋅==.设向量a 与b 的夹角为θ，则[]0,θπ∈，[]cos 0,22a b a b θθπ⋅===∈⋅，故4πθ=.故答案为：4π.14. 若42log (4)log a b +=+a b 的最小值是___________.94根据对数的运算法则和对数的换底公式进行化简，结合基本不等式利用1的代换进行转化求解即可．解：424log (4)log log (4)a b ab +==，44a b ab ∴+=，4040a b ab +>⎧⎨>⎩得00a b >⎧⎨>⎩，得414a bab+=， 即1114b a+=， 则111559()()1214444444a b a a b a b b a b ab a +=++=++++=+=， 当且仅当4a bb a=，即2a b =时取等号， 即+a b 的最小值为94，故答案为：94.本题主要考查不等式的应用，结合对数的运算法则得到等式条件，结合1的代换是解决本题的关键．15. 《易经》中记载着一种几何图形一一八封图，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积如图，现测得正八边形的边长为8m ，代表阴阳太极图的圆的半径为2m ，则每块八卦田的面积为___________2m .162162π+-由图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形，顶角为45︒，设等腰三角形的腰长为a ，利用正弦定理可求出a 的值，再利用三角形的面积公式求解即可. 由图可知，正八边形分割成8个全等的等腰三角形， 顶角为360458︒=︒， 设等腰三角形的腰长为a ，由正弦定理可得8135sin 45sin2a =︒︒， 解得13582sin 2a ︒=，所以三角形的面积211351cos13582sin sin 4532216(21)222S ︒-︒⎛⎫=︒=⋅=+ ⎪⎝⎭， 则每块八卦田的面积为()22116(21)216216m 82ππ+-⨯⨯=+-.故答案为：162162π-.本题主要考查了正弦定理和三角形的面积公式.属于较易题.16. 已知数列{}n a 满足1(1)21nn n a a n ++-=-，则{}n a 前48项之和为___________.1176先写出前几项与1a 的关系，观察找规律发现相邻奇数项的和为2，偶数项中，每隔一项构成公差为8的等差数列，由等差数列的求和公式计算即可得到所求值，代入求解{}n a 前48项之和即可.由1(1)21nn n a a n ++-=-，则211a a =+，32132a a a =-=-， 431 57a a a =+=-，5417a a a =-=，65199a a a =+=+，761112a a a =-=-， 8711315a a a =+=-，…可知相邻奇数项的和为2，偶数项中，每隔一项构成公差为8的等差数列，由等差数列的求和公式计算即可得到所求值.因()()()1357451721224a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=⨯=，()()246816482610464818a a a a a a a a a a a a a ++++⋅⋅⋅++=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+， 而()()()2610461111198954012a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=++++⋅⋅⋅++=+，()()()484811117159561212a a a a a a a ++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-， 所以数列{}n a 前48项之和为()()112454012612121176a a +++-=. 故答案为：1176.本题主要考查了数列求和的问题.属于中档题.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题 ①2252b c +=；②ABC 的面积为；③26AB AB BC +⋅=-.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .在已知2b c -=，A 为钝角，sin A =（1）求边a 的长；（2）求sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值.选择条件见解析；（1）8a =；（2）1764. （1）方案一：选择条件①，结合向量数量积的性质可求bc ，进而可求b ，c ，然后结合余弦定理可求；方案二：选择条件②：由已知即可直接求出b ，c ，然后结合余弦定理可求；方案三：选择条件③，由已知结合三角形的面积公式可求bc ，进而可求b ，c ，然后结合余弦定理可求．（2）由余弦定理可求cos C ，然后结合同角平方关系及二倍角公式，和差角公式即可求解． 方案一：选择条件①（1）由22522b c b c ⎧+=⎨-=⎩，解得64b c =⎧⎨=⎩，A 为钝角，sin A =1cos 4A =-，则22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故8a =；（2）2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴sin 8C ==，∴217cos 22cos 132C C =-=，sin 22sin cos C C C ==， ∴sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1711732232264=-⨯=； 方案二：选择条件②（1）sin A =1sin 28ABC S bc A bc ===△∴24bc =， 由242bc b c =⎧⎨-=⎩，解得64b c =⎧⎨=⎩， 则22212cos 3616264644a b c b A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故8a =；（2）2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴sin 8C ==，∴217cos 22cos 132C C =-=，sin 22sin cos C C C ==，∴sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1711732232264=-⨯=； 方案三：选择条件③：（1）A 为钝角，sin A =1cos 4A =-，2()cos 6AB AB BC AB AB BC AB AC bc A +⋅=⋅+=⋅==-，24bc =， 由242bc b c =⎧⎨-=⎩，解得6b =，4c =，则22212cos 3616264644a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，故8a =；（2）2226436167cos 22868a b c C ab +-+-===⨯⨯，∴sin C ==，∴217cos 22cos 132C C =-=，sin 22sin cos 32C C C ==， ∴sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭171322=-⨯=. 本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，和差角公式、二倍角公式在求解三角形中的应用，属于中档试题． 18. 已知()x x mf x e e-=+是偶函数. （1）求实数m 的值；（2）解不等式(2)(1)f x f x ≥+；（3）记{}()ln (3)()1ln 32xg x a f x e a x -⎡⎤=--+--⎣⎦，若()0g x ≤对任意的[0,)x ∈+∞成立，求实数a 的取值范围.（1）1m =；（2）{1x x ≥∣或13x ⎫≤-⎬⎭；（3）[]1,3.（1）利用偶函数的定义求解；（2）先分析原函数的单调性，再结合奇偶性解不等式(2)(1)f x f x ≥+；（3）先写出函数()g ln (3)1ln32xx a e a x ⎡⎤=-+--⎣⎦，然后将()0g x ≤转化为ln (3)1ln32x a e a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦，即23(3)10x x ae a e +--≥恒成立，转化为二次不等式恒成立问题求解.（1）因为()x x mf x e e=+是偶函数，则()()f x f x =-对任意实数x 恒成立， 即xxx xm m e e e e --+=+， 1(1)0x x m e e ⎡⎤⎛⎫--=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦对任意实数x 恒成立，则1m =；（2）()1xxf x e e =+，1()xx f x e e '=-，当0x >时，()0f x '>，()f x 在[0,)+∞上是增函数， 又因为()f x 是偶函数，∴(2)(1)(|2|)(|1|)|2||1|f x f x f x f x x x ≥+⇔≥+⇔≥+，两边平方可得23210x x --≥，解得1≥x 或13x ≤-；故不等式的解集为{1x x ≥∣或13x ⎫≤-⎬⎭；（3）()ln (3)1ln32x g x a e a x ⎡⎤=-+--⎣⎦，问题即为ln (3)1ln32xa e a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦恒成立，显然0a >，首先(3)10x a e -+>对任意[0,)x ∈+∞成立，即130xa e a ⎧<+⎪⎨⎪>⎩，因为[0,)x ∈+∞，则1334xe <+≤，所以03a <≤， 其次，ln (3)1ln32x a e a x ⎡⎤-+≤+⎣⎦，即为ln32(3)1x a xa e e+-+≤， 即23(3)10x x ae a e +--≥成立，亦即()()3110x xe ae +-≥成立，因为310x e +>，所以10x ae -≥对于任意[0,)x ∈+∞成立，即max1x a e ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭所以1a ≥，综上，实数a 的取值范围为[]1,3.本题考查函数的单调性、奇偶性的综合运用，考查不等式的恒成立问题，其中函数与不等式的结合求参问题是难点，考查学生分析转化问题的能力.19. 已知正项等差数列{}n a 中，12a =，且12,1a a -，3a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和为112n S b ⋅=，()*122n n n S S b n N +=+∈. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设11n n n n c b a a +=+，求数列{}n c 的前n 项和n T . （1）31n a n =-；12n n b ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）711623(32)n n ⎡⎤⎛⎫-+⎢⎥ ⎪+⎝⎭⎢⎥⎣⎦.（1）根据题意，结合等差数列的通项公式，求得3d =，即可求得数列{}n a 的通项公式，再由122n n n S S b +=+，化简得到112n n b b +=，结合等比数列的定义，即可求解； （2）由（1）可得1111233132nn c n n ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，结合等比数列的求和公式和“裂项法”求得n T 即可.解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d ， 由12a =，且12,1a a -，3a 成等比数列， ∴2(1)2(22)d d +=+， 即2(1)4(1)d d +=+， 由已知0d >， ∴14d +=， ∴3d =，∴31n a n =-； 由122n n n S S b +=+得：11222n n n n S S b b ++-==， ∴()112g n n b n N b +=∈ 数列{}n b 是首项为12，公比为12的等比数列，则12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭；（2）111111112(31)(32)233132n nn n n n c b a a n n n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+- ⎪ ⎪ ⎪-+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴21111111111222325583132nn T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1112211171113232623(32)12nn n n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+-=-+⎢⎥ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-. 本题主要考查等差、等比数列的通项公式的应用、以及“裂项法”求和的应用，此类题目是数列问题中的常见题型，解答中确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，属于中档题.20. 已知函数2())2sin 1(0,0)2x f x x ωϕωϕωϕπ+⎛⎫=++-><< ⎪⎝⎭为奇函数，且相邻同对称轴间的距离为2π. （1）当,24x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求()f x 的单调递减区间；（2）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()g x 的值域. （1）单调递减区间为,24ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦；（2）[-.（1）利用三角恒等变换化简()f x 的解析式，根据条件，可求出周期T 和ω，结合奇函数性质，求出ϕ，再用整体代入法求出,24x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦内的递减区间；（2）利用函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，求出()g x 的解析式，再利用正弦函数定义域，即可求出,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时的值域.（1）())cos()2sin 6f x x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+-+=+- ⎪⎝⎭，因为相邻两对称轴间的距离为2π，所以T π=，2ω=， 因为函数为奇函数，所以6k πϕπ-=，6k πϕπ=+，k Z ∈， 因为0ϕπ<<，所以6π=ϕ，函数为()2sin 2f x x =， ,24x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22x ππ-≤≤，()f x 单调递减，需满足22x ππ-≤≤-，∴24x ππ-≤≤-，所以函数()f x 的单调递减区间为,24x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦；（2）由题意可得：()2sin 43g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∵,126x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴24333x πππ-≤-≤，∴1sin 43x π⎛⎫-≤-≤ ⎪⎝⎭，()[g x ∈-，即函数()g x 值域为[-.本题主要考查正弦函数在给定区间内的单调性和值域，包括周期性，奇偶性，单调性和最值，还涉及三角函数图像的平移伸缩和三角恒等变换中的辅助角公式.21. 倡导环保意识、生态意识，构建全社会共同参与的环境治理体系，让生态环保思想成为社会生活中的主流文化.某化工企业探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32/mg m ，首次改良后排放的废气中含有污染物数量为31.94/mg m ，设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为0r ，首次改良工艺后所排放的废气中含的污染物数量为1r ，则第n 次改良后所排放的废气中的污染物数量n r 可由函数模型()()0.5*0015,n pn r r r r p R n N +=--∈∈给出，其中n 是指改良工艺的次数.（1）试求改良后n r 的函数模型；（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08/mg m .试问：至少进行多少次改良工艺后才能使企业所排放的废气中含有污染物数量达标？（参考数据：取lg 20.3=）（1）()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N ；（2）6. （1）根据改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为32/mg m ，首次改良后排放的废气中含有污染物数量为31.94/mg m ，得到02r =，1 1.94r =，然后再令1n =求解. （2）根据所排放的废气中含有的污染物数量不能超过30.08/mg m ，得到0.50.520.0650.08n n r -=-⨯≤求解.（1）由题意得02r =，1 1.94r =， 所以当1n =时，()0.510015pr r r r +=--⋅，即()0.51.9422 1.945p+=--⋅，解得0.5p =-，所以()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N ，故改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型为()0.50.5*20.065n n r n -=-⨯∈N . （2）由题意可得，0.50.520.0650.08n n r -=-⨯≤， 整理得0505..1950..206n -≥，即0.50.5532n -≥， 两边同时取常用对数，得lg3205055.lg .n -≥， 整理得5lg 2211lg 2n ≥⨯+-， 取lg 20.3=代入，得5lg 2302115.31lg 27⨯+=+-， 又因为*n ∈N ，所以6n ≥.综上，至少进行6次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标.方法点睛：在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示．通常可以表示为y ＝N (1＋p )x (其中N 为基础数，p 为增长率，x 为时间)的形式．解题时，往往用到对数运算，要注意与已知表格中给定的值对应求解．22. 已知点,1x e P x ⎛⎫⎪⎝⎭，(,sin )Q x mx x +，O 为坐标原点，设函数()()f x OP OQ m R =⋅∈.（1）当2m =-时，判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性； （2）若0x ≥时，不等式()1f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围. （1）函数()f x 在(,0)-∞上单调递减；（2）[2,)-+∞.（1）由题意结合平面向量的数量积运算可得()2sin x f x e x x =-+，求导后可得()0f x '<，即可得解；（2）当0x =时，易得()1f x ≥恒成立；当0x >时，求导得()cos x f x e m x '=++，设()cos x g x e m x =++，求导可得()2g x m >+，按照2m ≥-、2m <-分类，结合函数()f x 的单调性、(0)1f =即可得解.（1）由已知(),1(,sin )sin x xe f x OP OQ x mx x e mx x x ⎛⎫=⋅=⋅+=++ ⎪⎝⎭，当2m =-时，()2sin x f x e x x =-+，()2cos x f x e x '=-+， 当0x <时，1x e <，又cos 1≤x ，则()2cos 0x f x e x '=-+<， 所以函数()f x 在(,0)-∞上单调递减；（2）①当0x =时，()11f x =≥，对于m R ∈，()1f x ≥恒成立； ②当0x >时，()cos x f x e m x '=++， 设()cos x g x e m x =++，则()sin x g x e x '=-， 因为e 1x >，sin 1x ≤，所以()sin 0x g x e x '=->，()g x 在(0,)+∞上单调递增， 又(0)2g m =+，所以()2g x m >+，所以()'f x 在(0,)+∞上单调递增，且()2f x m '>+， （ⅰ）当2m ≥-时，()0f x '>，()f x 在(0,)+∞上单调递增， 因为(0)1f =，所以()1f x >恒成立，符合题意； （ⅱ）当2m <-时，(0)20f m '=+<， 因为()'f x 在(0,)+∞上单调递增，又当ln(2)x m =-时，ln(2)()cos 2cos 0m f x e m x x -'=++=+>， 则存在0(0,)x ∈+∞，对于()00,x x ∈，()0f x '<恒成立， 故()f x 在()00,x 上单调递减，所以，当()00,x x ∈时，()(0)1f x f <=，不合题意. 综上，所求m 的取值范围为[2,)-+∞.本题考查了导数的应用，考查了运算求解能力及逻辑推理能力，合理转化条件是解题关键，属于中档题.。
湖南省长沙市长郡中学2020-2021学年高三上学期月考数学试题
炎德·英才大联考长郡中学2021届高三月考试卷数学一、选择题(本题共8小题，每题5分，共40分)1. 设集合{}1,2,3,4A =，{},4B a =且{}1,2,3,4A B =，则实数a 的可能取值组成的集合是（ ）A. {}1,2,3B. {}2,3,4C. {}1,3,4D. {}1,2,42. 已知()312++=+a i i bi (,a b ∈R ，i 为虚数单位)，则实数+a b 的值为（ ） A. 3B. 5C. 6D. 83. 在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点在坐标原点O ，以x 轴的正半轴为始边，其终边与单位圆交点为P ，P 的坐标是(),P x y ，若35x =-，则cos2=α（ ）A.1625B. 1625-C.725D. 725-4. 在5221⎛⎫- ⎪⎝⎭ax x 的展开式中，若含2x -项的系数为40-，则正实数a =（ ） A.12B. 2C. 3D. 45. 5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：2log 1S C W N ⎛⎫=+⎪⎝⎭.它表示：在受噪声干挠的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W 、信道内信号的平均功率S 、信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中S N 叫做信噪比.按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比SN从1000提升至2000，则C 大约增加了（ ） A. 10%B. 30%C. 50%D. 100%6. 若平面向量a ，b 满足2a b a b ==⋅=，则对于任意实数λ，()1a b λλ+-的最小值是（ ）A.B.C. 2D. 17. 为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量，最后将所有的高度差累加，得到珠峰的高度，在测量过程中，已知竖立在B 点处的测量觇标高10米，攀登者们在A 处测得到觇标底点B 和顶点C 的仰角分别为70︒，80︒，则A 、B 的高度差约为（ ）(参考数据：sin100.1736︒≈，sin700.9397︒≈，sin800.9848︒≈)A. 10米B. 9.66米C. 9.40米D. 8.66米8. 如图，过抛物线24y x =的焦点F 作直线l 交抛物线于A 、B 两点，点M 是线段AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交抛物线于P 点，记=AB FP λ，则λ的值为（ ）A. 2B. 4C. 6D. 8二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分)9. 针对当下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数的35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则调查人数中男生可能有（ ） 附表：()20P K k ≥ 0.050 0.0100k3.841 6.635附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++A. 25B. 45C. 60D. 4010. 已知1a >，01c b <<<，下列不等式成立的是（ ） A. b c a a >B.c c ab b a+>+ C. log log b c a a <D.b cb ac a>++ 11. 已知函数()()sin f x A x ωϕ=+，()0,0,0A ωϕπ>><<的部分图象如图所示，其中图象最高点和最低点的横坐标分别为12π和712π，图象在y 轴上的截距为3，给出下列四个结论，其中正确的结论是（ ）A. ()f x 的最小正周期为πB. ()f x 的最大值为2C. 14f π⎛⎫=⎪⎝⎭D. 3f x π⎛⎫+⎪⎝⎭偶函数12. 已知球O 是正三棱锥(底面为正三角形，点在底面的射影为底面中心)A BCD -的外接球，3BC =，23AB =点E 在线段BD 上，且6BD BE =，过点E 作球O 的截面，则所得截面圆的面积可能是（ ） A. πB. 2πC. 3πD. 4π三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 已知直线3y x =与双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>有两个交点，则双曲线C 的离心率的取值范围是________.14. 已知数列{}n a 的前n 项和()12+=n n n a S ，且11a=，则数列{}n a 的通项公式为________.15. 如图，大摆锤是一种大型游乐设备，常见于各大游乐园，游客坐在圆形的座舱中，面向外，通常大摆锤以压肩作为安全束缚，配以安全带作为二次保险.座舱旋转的同时，悬挂座舱的主轴在电机的驱动下做单摆运动.2020年10月1日国庆节，小明去某游乐园玩“大摆锤”，他坐在点A 处，“大摆锤”启动后，主轴OB 在平面α内绕点O 左右摆动，平面α与水平地面垂直，OB 摆动的过程中，点A 在平面β内绕点B 作圆周运动，并且始终保持OB β⊥，B β∈.已知6OB AB =，在“大摆锤”启动后，直线OA 与平面α所成角的正弦值的最大值为________.16. 设直线1l ，2l 分别是函数()ln f x x =，()1x ≠图象上点1P ，2P 处的线，1l 与2l 垂直相交于点P ，且1l ，2l 分别与y 轴相交于点A ，B ，PAB △的面积的取值范围是________.四、解答题(本题共6小题，共70分)17. 在①1c =，ABC的面积为34，②2b c =，③4A π=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求sin C 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由.问题：是否存在锐角ABC ，它的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()3cos cos 2sin a C c A b B +=， ________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18. 已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，211n n n a S S ++=+.(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设()()121213n n n a n n a b a a +=-+，求数列{}n b的前n 项和nT . 19. 在如图所示的圆柱12O O 中，AB 为圆1O 的直径，,C D 是AB 的两个三等分点，EA ，FC ，GB 都是圆柱12O O 的母线．（1）求证：1//FO 平面ADE ；（2）设BC =1，已知直线AF 与平面ACB 所成的角为30°，求二面角A —FB —C 的余弦值．20. 已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率12e =，31,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆上一点.(1)求椭圆C 的方程； (2)已知F 为椭圆C的右焦点，过点F 的直线l 交椭圆(异于椭圆顶点)于A 、B 两点，试判断11AF BF+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由. 21. 设函数()()22ln f x x a x a x =---.(1)若)∈+∞x ，()()2≥-f x a x ，求实数a 的取值范围；(2)已知函数()y f x =存在两个不同零点1x ，2x ，求满足条件的最小正整数a 的值.22. 新冠抗疫期间，某大学应用数学专业的学生希望通过将所学的知识应用新冠抗疫，决定应用数学实验的方式探索新冠的传染和防控.实验设计如下：在不透明的小盒中放有大小质地相同的8个黑球和2个红球，从中随机取一球，若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则黑球替换该红球重新放回小盒中，此模型可以解释为“安全模型”，即若发现一个新冠患者，则移出将其隔离进行诊治.(注：考虑样本容量足够大和治愈率的可能性，用黑球代替红球)(1)记在第()2n n ≥次时，刚好抽到第二个红球，试用n 表示恰好第n 次抽到第二个红球的概率； (2)数学实验的方式约定：若抽到第2个红球则停止抽球，且无论第10次是否能够抽到红球或第二个红球，当进行到第10次时，即停止抽球；记停止抽球时已抽球总次数为X ，求X 的数学期望.(精确到小数点后1位)参考数据：119294 1.80105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k ，1110294 2.05105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k ，11929410.79105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k k ，111029413.32105--=⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑k k k k .炎德·英才大联考长郡中学2021届高三月考试卷数学参考答案三、填空题13. ()2,+∞ 14. ()*n a n n =∈N15.3716.()0,1四、解答题17. 【解】因为sin sin sin a b cA B C==，)cos cos 2sin a C c A b B +=，)2sin cos sin cos 2sin A C C A B +=，()22sin A C B +=22sin B B =，又sin 0B ≠所以sin 2B =，因为ABC 是锐角三角形， 所以0,2B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得3B π=.选择条件①：因为11sin 22ABCS ac B a ===所以1a =又因为1a c ==，3B π=，所以ABC 存在且等边三角形，所以3C π=，所以sin C =选择条件②：由正弦定理sin sin b cB C=及b =得sinsin sin c c BC bπ===.选择条件③：由4A π=得512C A B ππ=--=，所以得：51sin sin sin sin cos cos sin 1264646422224C πππππππ⎛⎫==+=+=⨯+= ⎪⎝⎭. 18.【解】(1)由211n n n a S S ++=+又有21n n n a S S -=+，()2n ≥，两式相减得()22112n n n n a a a a n ++-=+≥因为0n a >，所以()112n n a a n +-=≥又11a =，22121a a a a =++，解得22a =，满足11n n a a +-=因此数列{}n a 是等差数列，首项1a 为1，公差d 为1 所以()11n a a n d n =+-= (2)()()1121213n n n b n n +=⋅-+()()113111114212134213213n n n n n n n -⎡⎤⎛⎫=-⋅=-⎢⎥ ⎪-+-⋅+⋅⎝⎭⎢⎥⎣⎦所以()()1201121111111111...41333433534213213n n n n T b b b n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅-⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1114213n n ⎡⎤=-⎢⎥+⋅⎣⎦. 19.【解】（1）连接11,O C O D ，因为C ，D 是半圆AB 的两个三等分点，所以11160AO D DO C CO B ∠=∠=∠=， 又1111O A O B O C O D ===，所以111,,AO D CO D BO C ∆∆∆均为等边三角形. 所以11O A AD DC CO ===，所以四边形1ADCO 是平行四边形，所以1//CO AD ，又因为1CO ⊄平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以1//CO 平面ADE . 因为EA ，FC 都是圆柱12O O 的母线，所以EA //FC .又因为⊄FC 平面ADE ，EA ⊂平面ADE ，所以//FC 平面ADE . 又1,CO FC ⊂平面11FCO CO FC C ⋂=，且，所以平面1//FCO 平面ADE ，又1FO ⊂平面1FCO ，所以1//FO 平面ADE .（2）连接AC ，因为FC 是圆柱12O O 的母线，所以FC ⊥圆柱12O O 的底面， 所以FAC ∠即为直线AF 与平面ACB 所成的角，即30FAC ∠= 因为AB 为圆1O 的直径，所以90ACB ∠=， 在601Rt ABC ABC BC ∆∠==中，，，所以tan 603AC BC =⋅=tan301Rt FAC FC AC ∆==中， 因为AC BC ⊥，又因为AC FC ⊥，所以AC ⊥平面FBC ， 又FB ⊂平面FBC ，所以AC FB ⊥.在FBC ∆内，作CH FB ⊥于点H ，连接AH .因为,,AC CH C AC CH ⋂=⊂平面ACH ，所以FB ⊥平面ACH ， 又AH ⊂平面ACH ，所以FB AH ⊥， 所以AHC ∠就是二面角A FB C --的平面角. 在2FC BC Rt FBC CH FB ⋅∆=中，90Rt ACH ACH ∆∠=中，，所以22142AH AC CH =+=，所以7cos CH AHC AH ∠= 所以二面角A FB C --7. 20. 【解】(1)由已知22222191412a b c e a c a b⎧+=⎪⎪⎪==⎨⎪=-⎪⎪⎩,解得231a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=(2)由(1)可知()1,0F依题意可知直线l 的斜率不为0，故可设直线l 的方程为1x my =+由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去x 整理得()2234690m y my ++-= 设()11,A x y ，()22,B x y则122634m y y m -+=+，122934y y m -=+ 不妨设10y >，20y <，11AF y y ====，同理22BF y y ==所以121111AF BF y y ⎫+=+=-⎪⎭211212y y y y -==24334m ==+ 即1143AF BF +=. 21.【解】(1)由()()2≥-f x a x 得2ln 0x a x-≥ 又)x ∈+∞ 所以1ln 02x ≥> 所以2ln x a x ≤令()2ln x g x x=所以()()()22ln 10ln x x g x x -'=≥所以函数()g x 在)+∞上单调递增所以()min 2g x ge ==所以2a e ≤，即实数a 的取值范围为(],2e -∞ (2)因为()()22ln f x x a x a x =---所以()()()()()()22221220x a x a x a x a f x x a x x x x----+'=---==> 若0a ≤，则()0f x '>，函数()f x 在()0,∞+上单调递增，函数()f x 之多一个零点 所以若函数()f x 有两个两点，则0a >当0a >时，函数()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增 得()f x 的最小值02a f ⎛⎫<⎪⎝⎭，因此函数()f x 有两个零点 则244ln02a a a a -+-< 又0a > 所以4ln 402a a +-> 令()4ln 42a h a a =+-，显然()h a 在()0,∞+上为增函数 且()220h =-<，()38134ln1ln 10216h =-=-> 所以存在()02,3a ∈，()00h a =当0a a >时，()0h a >当00a a <<时，()0h a <所以满足条件的最小正整数3a =又当3a =时，()()332ln30f =->，()10f =所以3a =时，()f x 有两个零点综上所述，满足条件的最小正整数a 的值为322.【解】(1)若第k （k n <）次是第一次取到红球，第n 次是第二次取到红球 则对应地有：114191551010k n k P ---⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 则第n 次取球时2个红球都被取出的所有可能情况的概率和为：02311419141914191551010551010551010n n k n k -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 204191551010n -⎛⎫⎛⎫+⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 利用等比数列求和公式即可得：102111141014191191419459410551010510555105159n n n n n n ------⎛⎫-⋅ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⋅⋅⋅⋅=⋅-⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-⋅ (2)由题意可知，X 的可能取值依次是2，3，…，9，10特别地，当10X =时，对应的()()()()()101239P X P X P X P X ==-=+=++= 由参考数据可得：()11 1.80.64510P X ≈-⨯≈= X 对应的数学期望为： ()2912911999444239239100.645101010555E X --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⋅+⋅++⋅-⋅+⋅++⋅⎪+⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭由参考数据可得：()110.79100.648.65E X ≈⨯+⨯≈。
2020年湖南省长郡中学高三第1次月考 理科数学(含答案)
!二"选考题#共!$分!请考生在##%#)题中任选一题作答&如果多做&则按所 做的第一题计分!
##!!本小题满分!$分"选修*(*#坐标系与参数方程 在平面直角 坐 标 系 #-& 中&曲 线 +! 的 参 数 方 程 为23#'#0槡#)=!=为 参 4&'!0! #= 数"!以坐标原点为极点&# 轴正半轴为极轴建立极坐标系&曲线+# 的极 坐标方程为'*647! !!"求曲线+! 的普通方程和+# 的直角坐标方程!#"已知点"!#&!"&曲线+! 与+# 的交点为.%1&求 ". 0 "1 的值!
!!!!! !*!已知等比数列''3(的前3 项和为03&且0)'<'!&则数列''3(的公比4 的
值为!!!!! !%!为 了 庆 祝 六 一 儿 童 节&某 食 品 厂 制 作 了 ) 种 不 同 的 精 美 卡 片&每 袋 食 品
随机装入一张卡片&集齐)种卡片可获奖&现购买该种食品%袋&能获奖 的概率为!!!!! !&!已知" 为双曲线+#'###(&*##'!!'-$&*-$"右支上一点&直线5是双曲线 + 的一条渐近线&" 在5 上的射影为$&,! 是双曲线的左焦点&若#",!# 0#"$#的最小值为)'&则双曲线+ 的离心率为!!!!! 三%解答题#本大题共<$分!解答应写出文字说明%证明过程或演算步骤!第 !<#!题为必考题&每个试题考生都必须作答!第##%#)题为选考题&考 生根据要求作答! !一"必考题#共&$分! (!<!!本小题满分!#分"
长沙市长郡中学2021届高三数学上学期月考试题一
湖南省长沙市长郡中学2021届高三数学上学期月考试题(一）本试卷共8页。
时量120分钟。
满分150分。
一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给田的四个选项中,只有一項是符合题目要求的1。
已知集合{}{}22,lg(1)A x x B x y x =-≤≤==-。
则AB =A {}2x x ≥-B {}12x x <<C {}12x x <≤ D. {}2x x ≥2已复数z 满足(34)25z i -=,则z 的共轭复数在复平面内对应的点位于A 第一象限B 。
第二象限C 第三象限 D.第四象限3.已知实数a ,b ,c 满足a <b <c ，且a +b +c =0,则下列不等式中正确的是 A222a b c << B.22ab cb < C. ac 〈 bcD 。
ab 〈ac4。
在△ABC 中， 2,BD DC AE ED ==,则BE =A 1536AC AB - B 1536AC AB -+ C 。
1136AC AB -+ D 。
1136AC AB - 5.设函数2()log xf x x m=+-，则“函数()f x 在1(,4)2上存在零点”是(1,6)m ∈的A.充分不必要条件 B 必要不充分条件C 充要条件 D.既不充分也不必要条件6。
已知实数a ,b ，c 满足1lg 10ba c==，则下列关系式中不可能成立的是A a 〉b 〉cB 。
a 〉c 〉bC 。
c 〉a >bD 。
c >b > a7.已知3sin cos 72sin 3cos αααα+=-则函数2()=sin2tan cos 6f x x x α+-的最小值为A. —5 B 。
—3 C 。
D.—18.设函数2()=ln 2f x xx x -+,若存在区间1[,][,)2a b ⊆+∞，使得()f x 在[,]a b 上的值域为[(2),(2)]k a k b ++,则是k 的取值范围是A 。
2021届湖南省长沙市长郡中学高三上学期9月第一次月考数学试题
7．已知向量 ， 满足 ，且 ，则 在 方向上的投影为（ ）
A．1B． C． D．
8．已知函数 ， 有三个不同的零点 ，且 ，则 的值为（）
A． B． C． D．不能确定
9．若a≠b，数列a，x1，x2，b和数列a，y1，y2，y3，b都是等差数列，则 ＝（）
A． B． C．1D．
A． B．
C． D．
12．已知 是球 的直径， 是球 球面上的两点，且 ，若三棱锥 的体积为 ，则球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
13．若直线 是曲线 的一条切线，则 ______．
14．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝7a1，则{an}的公比q的值为_____．
15．为了庆祝六一儿童节，某食品厂制作了3种不同的精美卡片，每袋食品随机装入一张卡片，集齐3种卡片可获奖，现购买该种食品5袋，能获奖的概率为________．
选取甲、乙两位小Байду номын сангаас友面朝同一方向并排坐下进行游戏．教师站在两位小朋友面前出示游戏卡片．游戏卡片为两张白色纸板，一张纸板正反两面都打印有相同的”左“字，另一张纸板正反两面打印有相同的“右”字．
游戏进行：
一轮游戏（一轮游戏包含多次游戏直至决出胜者）开始后，教师站在参加游戏的甲、乙两位小朋友面前出示游戏卡片并大声报出出示的卡片上的“左”或者“右”字．两位小朋友如果听到“左”的指令，或者看到教师出示写有“左”字的卡片就应当将左手放至右肩上并大声喊出“停!”．小朋友如果听到“右”的指令，或者看到教师出示写有“右”字的卡片就应当将右手放至左肩上并大声喊出“停!”．最先完成指令动作的小朋友喊出“停!”时，两位小朋友都应当停止动作，教师根据两位小朋友的动作完成情况进行评分，至此游戏完成一次．
o2020┄2021届长郡中学高三第1次月考试卷
长郡中学2021年高三月考试卷（一）化学得分:本试题卷分选择题和非选择题两部分，共8页。
时量90分钟，满分100分可能用到的相对原子质量:H~1 C~12 N~14O~16 Mg~24 Al~27一、选择题（本题有22个小题，每小题2分，共44分。
每小题只有一个选项符合題意）★1.有些科学家提出硅“21纪的能源”，这主要是由于作为半导体材料的硅在太阳能发电过程中具有重要的作用。
下列关于硅及其化合物的如说法正确的是（）Ａ．光导纤维的主要成分是SiO2Ｂ．水泥、玻璃、水晶饰物都是硅酸盐制品Ｃ．白然界中硅元素的储量丰富，并存在大量的单质硅Ｄ．高温下，可在普通玻璃试管内完成焦炭和石英砂（SiO2）制取硅的反应2.下列化学用语表示正确的是（）Ａ．S2-的结构示意图：Ｂ．乙酸的结构简式：C2H4O2Ｃ．中子数为20的氯原子：Ｄ．二氧化碳分子的比例模型：★3.下列有关物质的性质与其应用不对应的是（）Ａ．MgO、Al2O3的熔点高，可制作时高温材料Ｂ．Al具有良好的延展性和抗腐蚀性，可制成铝箔包装物品Ｃ． NaHCO3能与碱反应，在食品工业中用作焙制糕点的膨松剂Ｄ．利用钠蒸气放电发光的性质制造的高压钠灯，可发出射程远、透雾能力强的黄光4.N A代表阿伏加德罗常数的值。
下列说法正确的是（）Ａ．常温下，0.1molCl2与足量的水反应，转移的电子数为0.1N AＢ．将100mL0.1mol/ L FeCl3溶液滴入沸水中可制得Fe（OH）3胶粒0.01N A Ｃ．1 mol MnO2粉末与足量的浓盐酸共热，转移的电了数目小于2N A Ｄ．乙烯和环丙烷组成的28g混合气体中，氢原子的个数为N A★5.如果家中的食用花生油中不小心混人了大量的水，最简便的分离方法是（）6.下列各组离子在指定溶液中能大量共存的是（）①1010)()(=-+OHcHc的溶液中:K+、AlO2-、C1-、Na+②Fe与稀硫酸反应后的溶液中:NH4+、Cl-、Na+、[Fe（CN）6]3-③无色溶液中:K+、Na+、Br-、Cu2+④常温时，水电离出的c（H+）=10-10mol/L的溶液中:Al3+、C1-、SO42-、 CH3COO-⑤某澄清透明的溶液中：Fe3+、NO3-、K+、SO42-Ａ．①② Ｂ．③④ Ｃ．④⑤ Ｄ．⑤★7.下列氧化还原反应方程式中，所标电子转移方向或数目错误的是（）8.的同分异构体中，满足下列条件的共有（不考虑立体异构）（）①苯环上只有两个取代基②能发生银镜反应③遇FeCl3溶液发生显色反应Ａ．3 Ｂ．6种Ｃ．9种Ｄ．12种9.利用如图所示装置进行下列实验，能得到相应实验结论的是（）选项①②③实验结论A食盐水电石溴水乙炔可与溴单质发生加成反应B浓硫酸Cu酸性KMnO4溶液验证SO2的还原性C浓硝酸Fe NaOH溶液铁和浓硝酸反应可生成NO2 D浓氨水生石灰酚酞溶液氨气的水溶液呈碱性★10.某有机物的结构如图所示，下列关于该有机物的说法正确的是（）Ａ．与乙苯互为同系物Ｂ．分子中共直线的原子最多有4个Ｃ．甲苯互为同分异构体Ｄ．分子中共平面的碳原子最多有13个11.下列能正确表示相应反应的离子方程式是（）A.用酸性KMnO4溶液与H2O2反应，证明H2O2具有还原性：2MnO 4—+6H ++5H 2O 2=2Mn 2++5O 2↑+8H 2OＢ．向NH 4Al （SO 4）2溶液中滴加Ba （OH ）2溶液至SO 42-恰好沉淀完全； Al 3++2SO 42-+2Ba 2++4OH -=2BaSO 4↓+AlO 2-+2H 2OＣ．用铁做电极电解NaCl 溶液；--+↑+↑=+2OH Cl H 电解O 2H 2Cl 222 Ｄ．将Fe 2O 3加入HI 溶液中：Fe 2O 3+6H +=2Fe 3++3H 2O12.体积为1L 的某溶液屮含有以下离子（忽略水的电离及离子的水解）：用惰性电极电解该溶液，当电路中有6mole —通过时（忽略电解时溶液体积的变化及电极产物可能存在的溶解现象），下列说法正确的是（ ）Ａ．b=2 Ｂ．阴极析出的金属是铜与铝Ｃ．阳极生成了22.4LCl 2 Ｄ．电解后溶液中的c （H +）=2mol/L13.在一定温度下的定容密闭容器中发生反应NH 2 COONH 4（s ）⇌2NH 3（g ）+CO 2（g ），下列能说明该反应已达到平衡状态的是（） Ａ．NH 3在混合气体中的体积分数不变 Ｂ．混合气体的压强不变Ｃ．.混合气体的平均相对分子质量不变 Ｄ．各生成物的浓度之比等于化学计量数之比14.已知工业合成氨的反应为N 2（g ）+3H 2（g ）⇌2NH 3（g ）△H<0。
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长郡中学2021届高三月考试卷（一）
数学
本试卷共8页.时量120分钟.满分150分.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给田的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合{}22A x x =-≤≤∣，{}
lg(1)B x y x ==-∣.则A B =（ ）
A. {}
2x
x ≥-∣ B. {}
12x
x <<∣ C. {}
12x
x <≤∣ D. {}
2x
x ≥∣ 2. 已知复数z 满足()3425z i -=，则z 共轭复数在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 已知a b c <<且0a b c ++=，则下列不等式恒成立的是（ ） A. 222a b c <<
B. 22ab cb <
C. ac bc <
D. ab ac <
4. 在ABC 中，2BD DC =，AE ED =，则BE =（ ） A.
15
36AC AB - B. 1536
AC AB -
+ C. 1136
AC AB -
+ D.
1136AC AB - 5. 设函数2()log f x x x m =+-，则“函数()f x 在1,42
⎛⎫ ⎪⎝⎭
上存在零点”是(1,6)m ∈的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. 已知实数a ，b ，c 满足1
lg 10b
a c
==
，则下列关系式中不可能成立的是（ ） A. a b c >> B. a c b >> C. c a b >>
D. c b a >>
7. 已知3sin cos 72sin 3cos αα
αα
+=-，则函数2()sin 2tan |cos |6f x x x α=+-的最小值为（ ）
A. -5
B. -3
C.
D. -1
8. 设函数2()2f x x xlnx =-+，若存在区间[]1,,2a b ⎡⎫
⊆+∞⎪⎢⎣⎭
，使()f x 在[a ，]b 上的值域为[(2)k a +，
的
(2)]k b +，则k 的取值范围是( ) A. 9221,4ln +⎛⎫ ⎪⎝⎭
B. 9221,4ln +⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
C. 9221,10ln +⎛⎤
⎥⎝⎦
D. 9221,10ln +⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分.部分选对的得3分.
9. 下列命题中正确的是（ ） A. ()0,x ∃∈+∞，23x x >
B. ()0,1x ∃∈，23log log x x <
C. ()0,x ∀∈+∞，13
1log 2x
x ⎛⎫
> ⎪⎝⎭
D. 10,3x ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，13
1log 2x
x ⎛⎫
< ⎪⎝⎭
10. 已知数列{}n a 前n 项和为n S .且1a p =，122(2)n n S S p n --=≥（p 为非零常数）测下列结论中正确的是（ ）
A. 数列{}n a 为等比数列
B. 1p =时，415
16
S =
C. 当12
p =
时，()*,m n m n a a a m n N +⋅=∈ D. 3856a a a a +=+
11. 已知函数()f x 满足：对于定义域中任意x ，在定义域中总存在t ，使得()()f t f x =-成立.下列函数中，满足上述条件的函数是（ ） A. ()
1f x x
B. 4
()f x x =
C. 1()2
f x x =
+ D. ()ln(21)f x x =-
12. 下图是函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，0||x ϕ<<）的部分图象，下列结论正确的是（ ）
A. 函数12y f x π⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的图象关于原点对称
B. 函数()
f x 图象关于点,012π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
对称 C. 函数()f x 在区间,34ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣
⎦上单调递增 D. 方程()1f x =在区间23,1212ππ⎡⎤
-
⎢⎥⎣⎦
上的所有实根之和为83π
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量a 、b 满足2a =
，2b =，若()
a b a -⊥，则向量a 与b 的夹角为______.
14. 若42log (4)log a b +=+a b 的最小值是___________.
15. 《易经》中记载着一种几何图形一一八封图，图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，图中八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.某中学开展劳动实习，去测量当地八卦田的面积如图，现测得正八边形的边长为8m ，代表阴阳太极图的圆的半径为2m ，则每块八卦田的面积为___________2m .
16. 已知数列{}n a 满足1(1)21n
n n a a n ++-=-，则{}n a 前48项之和为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题 ①2252b c +=；②ABC
的面积为；③2
6AB AB BC +⋅=-.
在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .在已知2b c -=，A
为钝角，sin A =（1）求边a 的长； （2）求sin 26C π⎛⎫
-
⎪⎝
⎭
的值. 18. 已知()x
x
m
f x e e -=+
是偶函数. （1）求实数
m 的值；
的
（2）解不等式(2)(1)f x f x ≥+；
（3）记{}
()ln (3)()1ln 32x g x a f x e a x -⎡⎤=--+--⎣⎦，若()0g x ≤对任意的[0,)x ∈+∞成立，求实数a
的取值范围.
19. 已知正项等差数列{}n a 中，12a =，且1a ，21a -，3a 成等比数列，数列{}n b 的前n 项和为n S .11
2
b =
，122n n n S S b +=+.
（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）设1
1
n n n n c b a a +=+
，求数列{}n c 前n 项和n T 的取值范围.
20.
已知函数2
())2sin 1(0,0)2x f x x ωϕωϕωϕπ+⎛⎫
=++-><<
⎪⎝⎭
为奇函数，且相邻同对称轴间
的距离为
2
π
. （1）当,24x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时，求()f x 的单调递减区间； （2）将函数()f x 的图象向右平移
6π
个单位长度，再把横坐标缩小为原来的12
（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，当,126x ππ⎡⎤
∈-⎢⎥⎣⎦
时，求函数()g x 的值域.
21. 节约资源和保护环境是中国的基本国策．某化工企业，积极响应国家要求，探索改良工艺，使排放的废气中含有的污染物数量逐渐减少．已知改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为3
2/mg m ，首次改良后所排放的废气中含有的污染物数量为3
1.94/mg m ．设改良工艺前所排放的废气中含有的污染物数量为
0r ，首次改良工艺后所排放的废气中含有的污染物数量为1r ，则第n 次改良后所排放的废气中的污染物数
量n r ，可由函数模型0.5001()5(,*)n p n r r r r p R n N +=--∈∈给出，其中n 是指改良工艺的次数． （1）试求改良后所排放的废气中含有的污染物数量的函数模型；
（2）依据国家环保要求，企业所排放的废气中含有的污染物数量不能超过3
0.08/mg m ，试问至少进行多少次改良工艺后才能使得该企业所排放的废气中含有的污染物数量达标．（参考数据：取20.3)lg =
的
22. 已知点,1x e P x ⎛⎫
⎪⎝⎭
，(,sin )Q x mx x +，O 为坐标原点，设函数()()f x OP OQ m R =⋅∈.
（1）当2m =-时，判断函数()f x 在(),0-∞上的单调性； （2）若0x ≥时，不等式()1f x ≥恒成立，求实数m 取值范围.
的。