几何定值问题-第6讲几何中的学生版

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立体几何第六讲面面垂直练习题(含答案)

第六节面面关系(一)平行 (二)垂直1．如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=12AA 1，D 是棱AA 1的中点(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.2．【2012高考江西文19】（本小题满分12分）如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E ，F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB=12，AD=5，BC=42△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合与点G ，得到多面体CDEFG .（1）求证：平面DEG ⊥平面CFG ；（2）求多面体CDEFG 的体积。

3.如图，已知空间四边形中，,BC AC AD BD ==，E是AB 的中点。

求证：（1）⊥AB 平面CDE;（2）平面CDE ⊥平面ABC 。

4.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是1AA 的中点. （1）求证：1//A C 平面BDE ；B 1C BADC 1A 1AEDBCA AC⊥平面BDE.（2）求证：平面15.已知四棱锥P—ABCD，底面ABCD是菱形，∠PDDAB,60平面ABCD，PD=AD，=⊥︒点E为AB中点，点F为PD中点.（1）证明平面PED⊥平面PAB；（2）求二面角P—AB—F的平面角的余弦值第六节面面关系答案（一）平行（二）垂直1.【命题意图】本题主要考查空间线线、线面、面面垂直的判定与性质及几何体的体积计算，考查空间想象能力、逻辑推理能力，是简单题.【解析】（Ⅰ）由题设知BC ⊥1CC ,BC ⊥AC ，1CC AC C ⋂=,∴BC ⊥面11ACC A , 又∵1DC ⊂面11ACC A ，∴1DC BC ⊥,由题设知01145A DC ADC ∠=∠=,∴1CDC ∠=090,即1DC DC ⊥,又∵DC BC C ⋂=, ∴1DC ⊥面BDC , ∵1DC ⊂面1BDC ， ∴面BDC ⊥面1BDC ；（Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132+⨯⨯⨯=12，由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1，∴11():V V V -=1:1， ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1.2.【解析】（1）由已知可得AE=3，BF=4，则折叠完后EG=3，GF=4，又因为EF=5，所以可得EG GF ⊥又因为CF EGF ⊥底面,可得CF EG ⊥，即EG CFG ⊥面所以平面DEG ⊥平面CFG . （2）过G 作GO 垂直于EF ，GO 即为四棱锥G-EFCD 的高，所以所求体积为11125520335DECF S GO ⋅=⨯⨯⨯=正方形3.证明：（1）BC AC CE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭同理，AD BD DE AB AE BE =⎫⇒⊥⎬=⎭又∵CE DE E ⋂= ∴AB ⊥平面CDE （2）由（1）有AB ⊥平面CDE又∵AB ⊆平面ABC ， ∴平面CDE ⊥平面ABC 4.证明：（1）设AC BD O ⋂=，∵E 、O 分别是1AA 、AC 的中点，∴1A C ∥EO又1AC ⊄平面BDE ，EO ⊂平面BDE ，∴1A C ∥平面BDE （2）∵1AA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，1AA BD ⊥ 又BD AC ⊥，1AC AA A⋂=，∴BD ⊥平面1A AC ，BD ⊂平面BDE ，∴平面BDE ⊥平面1A AC5.（1）证明：连接BD.ADB DAB AD AB ∆∴︒=∠=,60, 为等边三角形.E 是AB 中点，.DE AB ⊥∴⊥PD 面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，.PD AB ⊥∴⊂DE 面PED ，PD ⊂面PED ，⊥∴=AB D PD DE , 面PED. ⊂AB 面PAB ，⊥∴PED 面面PAB.（2）解：⊥AB 平面PED ，PE ⊂面PED ，.PE AB ⊥∴ 连接EF ，⊂EF PED ，.EF AB ⊥∴PEF ∠∴为二面角P —AB —F 的平面角. 设AD=2，那么PF=FD=1，DE=3. 在,1,2,7,===∆PF EF PE PEF 中,147572212)7(cos 22=⨯-+=∠∴PEF 即二面角P —AB —F 的平面角的余弦值为.1475立体几何练习题1.设α、β、γ为两两不重合的平面，l 、m 、n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β；③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β；④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，l ∥γ，则m ∥n ．其中真命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，BD 1与平面ABCD 所成角的余弦值为（） A ．B ．CD ．3.三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AA 1=2且AA 1⊥平面ABC ，△ABC 是边长为的正三角形，该三棱柱的六个顶点都在一个球面上，则这个球的体积为（） A ． 8πB ．C ．D ． 8π4.三个平面两两垂直，它们的三条交线交于点O ，空间一点P 到三个平面的距离分别为3、4、5，则OP 长为（）A ． 5B ． 2C ． 3D ． 55.如图，四棱锥S ﹣ABCD 的底面为正方形，SD ⊥底面ABCD ，则下列结论中不正确的是（） A ． AC⊥SB B ．AB∥平面SCDC ． SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角 D ． AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角6.如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD ，PD=AD=1，设点CG 到平面PAB 的距离为d 1，点B 到平面PAC 的距离为d 2，则有（） A ． 1＜d 1＜d 2 B ． d 1＜d 2＜1C ． d 1＜1＜d 2D ． d 2＜d 1＜17.在锐角的二面角βα--EF ，A EF ∈，AG α⊂， 45=∠GAE ，若AG 与β所成角为 30，则二面角βα--EF 为__________. 8.给出下列四个命题：(1)若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则βα//； (2)两条异面直线在同一平面内的射影可能是两条平行直线；(3)两条异面直线中的一条平行于平面α，则另一条必定不平行于平面α； (4)b ,a 为异面直线，则过a 且与b 平行的平面有且仅有一个．其中正确命题的序号是_______________________9.已知正方体 1111ABCD A B C D -中，点E 是棱 11A B 的中点，则直线AE 与平而 11BDD B 所成角的正弦值是_________.EFA Gαβ10.已知直三棱柱111ABC A B C -中，090ABC ∠=，122AC AA ==，2AB =，M 为1BB 的中点，则1B 与平面ACM 的距离为______11.边长分别为a 、b 的矩形，按图中所示虚线剪裁后，可将两个小矩形拼接成一个正四棱锥的底面，其余恰好拼接成该正四棱锥的4个侧面，则ba的取值范围是． 12.已知矩形ABCD 的长4AB =，宽3AD =，将其沿对角线BD 折起，得到四面体A BCD -，如图所示，给出下列结论：①四面体A BCD -体积的最大值为725； ②四面体A BCD -外接球的表面积恒为定值；③若E F 、分别为棱AC BD 、的中点，则恒有EF AC ⊥且EF BD ⊥； ④当二面角A BD C --为直二面角时，直线AB CD 、所成角的余弦值为1625； ⑤当二面角A BD C --的大小为60︒时，棱AC 的长为145．其中正确的结论有 (请写出所有正确结论的序号)． 13.如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BAC=90°，AB=BB 1，直线B 1C 与平面ABC 成30°角．（I ）求证：平面B 1AC⊥平面ABB 1A 1；（II ）求直线A 1C 与平面B 1AC 所成角的正弦值．14.如图，在三棱锥P ﹣ABC 中，D ，E ，F 分别为棱PC ，AC ，AB 的中点．已知PA⊥AC，PA=AB=6，BC=8，DF=5．（1）若PB⊥BC，证明平面BDE⊥平面ABC ．（2）求直线BD 与平面ABC 所成角的正切值．15.如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=1，AA 1=2，点P 为DD 1的中点．（1）求证：直线BD 1∥平面PAC ；4343AB CD4334DCBA（2）求证：平面PAC⊥平面BDD1B1；（3）求CP与平面BDD1B1所成的角大小．16.如图，四棱锥P﹣ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，点E在棱PB上（1）求证：AC⊥平面PDB（2）当PD=AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小．17.在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC=45°，AD=AC=1，O为AC中点，PO⊥平面ABCD，PO=2，M为PD中点．（Ⅰ）求证：PB∥平面ACM；（Ⅱ）求证：AD⊥平面PAC；（Ⅲ）求二面角M﹣AC﹣D的正切值．18.如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．（1）证明：BD⊥平面PAC；（2）若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．19.如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA⊥CB，AA1=AC=CB=2，D是AB的中点．（1）求证：BC1∥平面A1CD；（2）求证：A1C⊥AB1；（3）若点E在线段BB1上，且二面角E﹣CD﹣B的正切值是，求此时三棱锥C﹣A1DE的体积．20.如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．（1）求证：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P﹣AC﹣D的大小；（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．试卷答案1.B：解：若α⊥γ，β⊥γ，则α与β可能平行也可能相交，故①错误；由于m，n不一定相交，故α∥β不一定成立，故②错误；由面面平行的性质定理，易得③正确；由线面平行的性质定理，我们易得④正确；故选B2.D考点：棱柱的结构特征．专题：空间角．分析：找出BD1与平面ABCD所成的角，计算余弦值．解答：解：连接BD，；∵DD1⊥平面ABCD，∴BD是BD1在平面ABCD的射影，∴∠DBD1是BD1与平面ABCD所成的角；设AB=1，则BD=，BD1=，∴cos∠DBD1===；故选：D．点评：本题以正方体为载体考查了直线与平面所成的角，是基础题．3.C考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据题意，正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，求出球的半径即可求出球的体积．解答：解：由题意可知：正三棱柱的底面中心的连线的中点就是外接球的球心，因为△ABC是边长为的正三角形，所以底面中心到顶点的距离为：1；因为AA1=2且AA1⊥平面ABC，所以外接球的半径为：r==．所以外接球的体积为：V=πr3=π×（）3=．故选：C．点评：本题给出正三棱柱有一个外接球，在已知底面边长的情况下求球的体积．着重考查了正三棱柱的性质、正三角形的计算和球的体积公式等知识，属于中档题．4.D考点：平面与平面垂直的性质．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：构造棱长分别为a，b，c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，OP为长方体的对角线，求出OP即可．解答：构造棱长分别为a，b，c的长方体，P到三个平面的距离即为长方体的共顶点的三条棱的长，则a2+b2+c2=32+42+52=50因为OP为长方体的对角线．所以OP=5．故选：D．点评：本题考查点、线、面间的距离计算，考查计算能力，是基础题．5.D考点：直线与平面垂直的性质．专题：综合题；探究型．分析：根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理易证AB∥平面SCD，根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠CSO是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．解答：解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；∵AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，∴AB∥平面SCD，故B正确；∵SD⊥底面ABCD，∠ASO是SA与平面SBD所成的角，∠DSO是SC与平面SBD所成的，而△SAO≌△CSO，∴∠ASO=∠CSO，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，而这两个角显然不相等，故D不正确；故选D．点评：此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，以及直线与平面所成的角，异面直线所成的角等问题，综合性强．6.D考点：点、线、面间的距离计算．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：过C做平面PAB的垂线，垂足为E，连接BE，则三角形CEB为直角三角形，根据斜边大于直角边，再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角，能够推导出d2＜d1＜1．解答：解：过C做平面PAB的垂线，垂足为E，连接BE，则三角形CEB为直角三角形，其中∠CEB=90°，根据斜边大于直角边，得CE＜CB，即d2＜1．同理，d1＜1．再根据面PAC和面PAB与底面所成的二面角可知，前者大于后者，所以d2＜d1．所以d2＜d1＜1．故选D．点评：本题考查空间距离的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意空间角的灵活运用．7.48.(2)(4)10.111.1 (,) 212.②③④13.考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：证明题．分析：（I）欲证平面B1AC⊥平面ABB1A1，关键是寻找线面垂直，而AC⊥平面ABB1A1，又AC⊂平面B1AC，满足面面垂直的判定定理；（II）过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，然后在三角形A1CM 中求出此角的正弦值即可．解答：解：（I）证明：由直三棱柱性质，B1B⊥平面ABC，∴B1B⊥AC，又BA⊥AC，B1B∩BA=B，∴AC⊥平面ABB1A1，又AC⊂平面B1AC，∴平面B1AC⊥平面ABB1A1．（II）解：过A1做A1M⊥B1A1，垂足为M，连接CM，∵平面B1AC⊥平面ABB1A，且平面B1AC∩平面ABB1A1=B1A，∴A1M⊥平面B1AC．∴∠A1CM为直线A1C与平面B1AC所成的角，∵直线B1C与平面ABC成30°角，∴∠B1CB=30°．设AB=BB1=a，可得B1C=2a，BC=，∴直线A1C与平面B1AC所成角的正弦值为点评：本题主要考查了平面与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．14.考点：直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由已知得DE⊥AC，DE2+EF2=DF2，从而DE⊥平面ABC，由此能证明平面BDE⊥平面ABC．（2）由DE⊥平面ABC，得∠DBE是直线BD与平面ABC所成的角，由此能求出直线BD与平面ABC所成角的正切值．解答：（1）证明：∵在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点．PA⊥AC，PA=AB=6，BC=8，DF=5，∴DE⊥AC，DE=3，EF=4，DF=5，∴DE2+EF2=DF2，∴DE⊥EF，又EF∩AC=F，∴DE⊥平面ABC，又DE⊂平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．（2）∵DE⊥平面ABC，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∵PB⊥BC，∴AB⊥BC，∴AC==10，∴，由DE⊥平面ABC，得∠DBE是直线BD与平面ABC所成的角，tan∠DBE==．∴直线BD与平面ABC所成角的正切值为．点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面所成角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．15.考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．专题：证明题．分析：（1）设AC和BD交于点O，由三角形的中位线的性质可得PO∥BD1，从而证明直线BD1∥平面PAC．（2）证明AC⊥BD，DD1⊥AC，可证AC⊥面BDD1B1，进而证得平面PAC⊥平面BDD1B1 ．（3）CP在平面BDD1B1内的射影为OP，故∠CPO是CP与平面BDD1B1所成的角，在Rt△CPO中，利用边角关系求得∠CPO的大小．解答：（1）证明：设AC和BD交于点O，连PO，由P，O分别是DD1，BD的中点，故PO∥BD1，∵PO⊂平面PAC，BD1⊄平面PAC，所以，直线BD1∥平面PAC．（2）长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=AD=1，底面ABCD是正方形，则AC⊥BD，又DD1⊥面ABCD，则DD1⊥AC．∵BD⊂平面BDD1B1，D1D⊂平面BDD1B1，BD∩D1D=D，∴AC⊥面BDD1B1．∵AC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面BDD1B1 ．（3）由（2）已证：AC⊥面BDD1B1，∴CP在平面BDD1B1内的射影为OP，∴∠CPO是CP与平面BDD1B1所成的角．依题意得，，在Rt△CPO中，，∴∠CPO=30°∴CP与平面BDD1B1所成的角为30°．点评：本题考查证明线面平行、面面垂直的方法，求直线和平面所称的角的大小，找出直线和平面所成的角是解题的难点，属于中档题．16.考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）根据题意证明AC⊥BD，PD⊥AC，可得AC⊥平面PDB；（2）设AC∩BD=O，连接OE，根据线面所成角的定义可知∠AEO为AE与平面PDB所的角，在Rt△AOE中求出此角即可．解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AC，又BD∩PD=D∴AC⊥平面PDB，（3分）（2）设AC∩BD=O，连接OE，由（1）知AC⊥平面PDB于O，∴∠AEO为AE与平面PDB所的角，（5分）又O，E分别为DB、PB的中点，∴OE∥PD，OE=PD，在Rt△AOE中，OE=PD=AB=AO，∴∠AEO=45°，（7分）即AE与平面PDB所成的角的大小为45°．（8分）点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于中档题．17.考点：与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．专题：计算题．分析：（Ⅰ）连接OM，BD，由M，O分别为PD和AC中点，知OM∥PB，由此能够证明PB∥平面ACM．（Ⅱ）由PO⊥平面ABCD，知PO⊥AD，由∠ADC=45°，AD=AC=1，知AC⊥AD，由此能够证明AD⊥平面PAC．（Ⅲ）取DO中点N，连接MN，由MN∥PO，知MN⊥平面ABCD．过点N作NE⊥AC于E，由E为AO中点，连接ME，由三垂线定理知∠MEN即为所求，由此能求出二面角M﹣AC﹣D的正切值．解答：（Ⅰ）证明：连接OM，BD，∵M，O分别为PD和AC中点，∴OM∥PB，∵OM⊂平面ACM，PB⊄ACM平面，∴PB∥平面ACM…．（4分）（Ⅱ）证明：由已知得PO⊥平面ABCD∴PO⊥AD，∵∠ADC=45°，AD=AC=1，∴AC⊥AD，∵AC∩PO=O，AC，PO⊂平面PAC，∴AD⊥平面PAC．…..（8分）（Ⅲ）解：取DO中点N，连接MN，则MN∥PO，∴MN⊥平面ABCD过点N作NE⊥AC于E，则E为AO中点，连接ME，由三垂线定理可知∠MEN即为二面角M﹣AC﹣D的平面角，∵MN=1，NE=∴tan∠MEN=2…..（13分）点评：本题考查直线与平面平行、直线现平面垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意三垂直线定理的合理运用．18.考点：二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）由题设条件及图知，可先由线面垂直的性质证出PA⊥BD与PC⊥BD，再由线面垂直的判定定理证明线面垂直即可；（2）由图可令AC与BD的交点为O，连接OE，证明出∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角，然后在其所在的三角形中解三角形即可求出二面角的正切值．解答：（1）∵PA⊥平面ABCD∴PA⊥BD∵PC⊥平面BDE∴PC⊥BD，又PA∩PC=P∴BD⊥平面PAC（2）设AC与BD交点为O，连OE∵PC⊥平面BDE∴PC⊥平面BOE∴PC⊥BE∴∠BEO为二面角B﹣PC﹣A的平面角∵BD⊥平面PAC∴BD⊥AC∴四边形ABCD为正方形，又PA=1，AD=2，可得BD=AC=2，PC=3∴OC=在△PAC∽△OEC中，又BD⊥OE，∴∴二面角B﹣PC﹣A的平面角的正切值为3点评：本题考查二面角的平面角的求法及线面垂直的判定定理与性质定理，属于立体几何中的基本题型，二面角的平面角的求法过程，作，证，求三步是求二面角的通用步骤，要熟练掌握19.考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）连接AC1交A1C于点F，由三角形中位线定理得BC1∥DF，由此能证明BC1∥平面A1CD．（2）利用线面垂直的判定定理证明A1C⊥平面AB1C1，即可证明A1C⊥AB1；（3）证明∠BDE为二面角E﹣CD﹣B的平面角，点E为BB1的中点，确定DE⊥A1D，再求三棱锥C﹣A1DE 的体积．解答：（1）证明：连结AC1，交A1C于点F，则F为AC1中点，又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF，因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．…（3分）（2）证明：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，因为AA1=AC，所以AC1⊥A1C…（4分）因为CA⊥CB，B1C1∥BC，所以B1C1⊥平面ACC1A1，所以B1C1⊥A1C…（6分）因为B1C1∩AC1=C1，所以A1C⊥平面AB1C1所以A1C⊥AB1…（8分）（3）在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥CD，因为AC=CB，D为AB的中点，所以CD⊥AB，CD⊥平面ABB1A1．所以CD⊥DE，CD⊥DB，所以∠BDE为二面角E﹣CD﹣B的平面角．在Rt△DEB中，．由AA1=AC=CB=2，CA⊥CB，所以，．所以，得BE=1．所以点E为BB1的中点．…（11分）又因为，，，A1E=3，故，故有DE⊥A1D所以…（14分）点评：本题主要考查直线与平面平行、垂直等位置关系，考查线面平行、二面角的概念、求法、三棱锥C﹣A1DE的体积等知识，考查空间想象能力和逻辑推理能力，是中档题．20.考点：直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；与二面角有关的立体几何综合题．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O﹣xyz，设底面边长为a，求出高SO，从而得到点S与点C 和D的坐标，求出向量与，计算它们的数量积，从而证明出OC⊥SD，则AC⊥SD；（2）根据题意先求出平面PAC的一个法向量和平面DAC的一个法向量，设所求二面角为θ，则，从而求出二面角的大小；（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC，根据（Ⅱ）知是平面PAC的一个法向量，设，求出，根据可求出t的值，从而即当SE：EC=2：1时，，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC解答：证明：（1）连BD，设AC交于BD于O，由题意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O﹣xyz如图．设底面边长为a，则高．于是，，，，故OC⊥SD从而AC⊥SD（2）由题设知，平面PAC的一个法向量，平面DAC的一个法向量．设所求二面角为θ，则，所求二面角的大小为30°．（3）在棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC．由（Ⅱ）知是平面PAC的一个法向量，且设，则而即当SE：EC=2：1时，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及空间两直线的位置关系的判定和二面角的求法，涉及到的知识点比较多，知识性技巧性都很强．。

第06讲定点问题(解析几何)(原卷版)

第06讲定点问题知识与方法定点与定值是高考解析几何考查的热点问题，此类问题往往定中有动，动中有定．直线过定点问题，通法是设出直线方程，通过韦达定理和已知条件找出k 和m 的关系式，代入直线方程，将问题转化为过定点的直线系、曲线系或恒成立问题来求解．即可得到定点．求解定值问题的关键是引进参数表示直线方程、点坐标、数量积或斜率关系等，先引入变量，再进行消元，最后得到不受参数影响的量，就是定值．1．对直线过定点的理解如：①直线2(1)y k x -=-恒过定点(1,2)；②对于直线:l y kx m =+，若2m k =-，则直线方程为(2)y k x =-，显然l 过定点(2,0)； ③无论k 取任何实数，直线(23)(1)(41)0k x k y k ++--+=必经过一个定点，则这个定点的坐标为_____．【解析】直线(23)(1)(41)0k x k y k ++--+=可化为(24)(31)0k x y x y +-+--=，令24013102x y x x y y ⎧+-==⎧⎪⇒⎨⎨--==⎪⎩⎩，故定点坐标为(1,2)． 2．直线过定点问题的基本解法方法1：设线法，用两个参数表示直线方程，一般步骤为：①设直线方程为y kx m =+(或x ny t =+)，联立直线与圆锥曲线方程，得出根与系数的关系； ②结合韦达定理和已知条件，得到k b 、或m t 、的关系，或者解出b t 、的值；③将②的结果代入y kx m =+(或x ny t =+)，得到定点坐标．方法2：解点法，用一个参数表示直线方程，一般步骤为：①引进参数，根据已知条件，求出直线上两个点,A B 的坐标(含参)；②特殊位置入手，找到定点P (有时可考虑对称性)；③证明,,A B P 三点共线，从而直线AB 过定点P ．(其中一个方法是证明PA PB )3．定点问题的常见类型①由斜率关系求定点；②由倾斜角关系求定点；③切点弦过定点；④相交弦过定点；⑤圆过定点．典型例题类型1：由斜率关系求定点相关结论如下：定理1：()00,P x y 为椭圆2222:1(0,0)x y a b a bΓ+=>>上一定点，过点P 作斜率为12,k k 的两条直线分别与椭圆交于,M N 两点．(1)若12(0)k k λλ+=≠，则直线MN 过定点20000222,y b x x y a λλ⎛⎫--- ⎪⎝⎭；(2)若2122b k k a λλ⎛⎫⋅=≠ ⎪⎝⎭，则直线MN 过定点2222002222,a b a b x y a b a b λλλλ⎛⎫++- ⎪--⎝⎭．定理2：设()00,P x y 是直角坐标平面内不同于原点的一定点，过P 作两条直线,AB CD 交椭圆2222:1(0,0)x y a b a bΓ+=>>于A B C D 、、、，直线,AB CD 的斜率分别为12,k k ，弦,AB CD 的中点记为,M N ． (1)若12(0)k k λλ+=≠，则直线MN 过定点20002,y b x x a λλ⎛⎫-- ⎪⎝⎭； (2)若2122b k k a λλ⎛⎫⋅=≠ ⎪⎝⎭，则直线MN 过定点220002222,a x b y x a b a b λλλ⎛⎫ ⎪--⎝⎭．定理3：过抛物线22(0)y px p =>上任一点()00,P x y 引两条弦,PA PB ，直线,PA PB 斜率存在，分别记为12,k k ，即12(0)k k λλ+=≠，则直线AB 经过定点00022,y p x y λλ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【注】以上结论都可以利用坐标平移齐次化的方法进行证明，齐次化方法请参考《2.4齐次化巧解双斜率问题》一章，证明过程此处略过．上面的结论不提倡记忆，重要的是掌握其证明方法，熟识这些模型，在解题中会事半功倍．斜率之和为定值，第三边过定点【例1】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，四点123(1,1),(0,1),P P P ⎛- ⎝⎭， 4P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上．(1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过2P 点且与C 相交于,A B 两点．若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明： l 过定点．斜率之积为定值，第三边过定点【例2】已知椭圆的中心在原点，一个长轴的端点为(0,2)P -，离心率为e =，过点P 作斜率为1k ， 2k 的直线,PA PB ，分别交椭圆于点,A B ．(1)求椭圆的方程；(2)若122k k ⋅=，证明直线AB 过定点，并求出该定点．【例3】过椭圆22:143x y C +=上一定点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭作两条互相垂直的直线,PA PB 与C 分别交于点,A B ，求证：直线AB 过定点．【例4】已知12(1,0),(1,0)F F -是椭圆22143x y +=的左右焦点．过2F 作两条互相垂直的直线1l 与2l (均不与x 轴重合)分别与椭圆交于A B C D 、、、四点．线段,AB CD 的中点分别是,M N ，求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标．斜率之比为定值，第三边过定点【例5】如图所示，抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为(1,0)F ．(1)求抛物线C 的标准方程；(2)过F 的两条直线分别与抛物线C 交于点1,A A 与1,B B (点1,B A 在x 轴的上方)．①若2AF FA =，求直线1AA 的斜率；②设直线11A B 的斜率为1k ，直线AB 的斜率为2k ，若122k k =，求证：直线AB 过定点．类型2：由倾斜角关系求定点【例6】已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，其左、右焦点分别为12,F F ，点P 为坐标平面内的一点，且1233||,,24OF PF PF O =⋅=-为坐标原点． (1)求椭圆C 的方程；(2)设M 为椭圆C 的左顶点，,A B 是椭圆C 上两个不同的点，直线,MA MB 的倾斜角分别为,αβ，且2παβ+=，证明：直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标．类型3：切点弦过定点【例7】已知圆22:4C x y +=，点P 为直线290x y +-=上一动点，过点P 向圆引两条切线,,,PA PB A B 为切点，求证：直线AB 经过定点．【例8】已知抛物线2:2C x py =的焦点与椭圆22143y x +=的上焦点重合，点A 是直线280x y --=上任意一点，过A 作抛物线C 的两条切线，切点分别为,M N ．(1)求抛物线C 的方程；(2)证明直线MN 过定点，并求出定点坐标．类型4：相交弦过定点【例9】已知,A B 分别为椭圆222:1(1)x E y a a+=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8,AG GB P ⋅=为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为,C PB 与E 的另一交点为D ．(1)求E 的方程；(2)证明：直线CD 过定点．类型 5：圆过定点【10】设平面直角坐标系 xoy 中，设二次函数 2()2()f x x x b x R =++∈ 的图象与两坐标轴有三个交点, 经过这三个交点的圆记为 C .(1) 求实数 b 的取值范围;(2) 求圆 C 的方程;(3) 问圆 C 是否经过某定点（其坐标与 b 无关）? 请证明你的结论.。

九年级奥数：几何定值

九年级奥数：几何定值阅读理解所谓几何定值，是指在一定条件下构成的几何图形，某些几何元素的几何量在变动的图形中保持不变，或几何元素间的某些位置关系或某些几何性质不变．解几何定值问题时，首先，应分清图形中固定元素和变动元素；其次，通过特殊位置或极端位置，探寻那些隐含的、在运动变化中没有改变的元素，这就是我们要探求的定值；最后，在一般情况下给出证明．问题解决例1 如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A 、B 两点）上移动时，点P （）．A ．到CD 的距离保持不变B ．位置不变C ．等分．D ．随C 点的移动而移动例2 如图1，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别为边BC 、CD 的中点，AF 、DE 相交于点G ，则可得结论：①AF =DE ；②AF ⊥DE ．（不需要证明）（1）如图2，若点E 、F 不是正方形ABCD 的边BC 、CD 中点，但满足CE =DF ，则上面的结论①、②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”）（2）如图3，若点E 、F 分别在正方形ABCD 的边CB 的延长线和DC 的延长线上，且CE =DF ，此时上面的结论①、②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）如图4，在（2）的基础上，连接AE 和EF ，若点M 、N 、P 、Q 分别为AE 、EF 、FD 、AD 的中点，请判断四边形MNPQ 是“矩形、菱形、正方形、等腰梯形”中的哪一种？并写出证明过程．例3 把两块全等的直角三角板ABC 和DEF 叠放在一起，使三角板DEF 的锐角顶点D 与三角板ABC 的斜边中点O 重合，其中∠ABC =∠DEF =90°，∠C =∠F =45°，AB =DE =4，把三角板ABC 固定不动，让三角板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点P ，射线DF 与线段BC 相交于点Q ．（1）如图1，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证△APD ∽△CDQ ．此时，DBAP ·CQ =___________．（2）将三角板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为，其中0°<<90°，问AP ·CQ 的值是否改变？说明你的理由．（3）在（2）的条件下，设CQ =x ，两块三角板重叠部分的面积为y ，求y 与x 的函数关系式（图2、图3供解题用）．例4 如图1，在平面直角坐标系xOy 中，点M 在x 轴的正半轴上，⊙M 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于C 、D 两点，且C 为的中点，AE 交y 轴于G 点，若点A 的坐标为（-2，0），AE =8．（1）求点C 的坐标；（2）连结MG 、BC ，求证：MG ∥BC ；（3）如图2，过点D 作⊙M 的切线，交x 轴于点P ．动点F 在⊙M 的圆周上运动时，的比值是否发生变化？若不变，求出比值；若变化，说明变化规律．数学冲浪1．如图，已知△ABC 中，AB =AC ，∠BAC =90°，O 是BC 的中点，如果点M 、N 分别在AC 、AB 上移动，在移动中保持AM =BN ，试探求△OMN 的形状是否发生变化？并证明你的结论．2．如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，现有两点E 、F 分别从点B 、点A 同时出发，点E 沿线段BA 以1cm ／秒的速度向点A 运动，点F 沿折线A —D —C 以2cm ／秒的速度向点C 运动，设点E 离开点B 的时间为t 秒，当1≤t <2时，设EF 和AC 交于点P ，试探求P 点的位置是否发生改变？ ααAE OF PF3．如图1，在直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x轴的正半轴上一动点（OC>1），连结BC，以BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E．（1）试问△OBC与△ABD全等吗？并证明你的结论．（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由．4．已知半径为R的⊙O′经过半径为r的⊙O的圆心，⊙O与⊙O′交于E、F两点．（1）如图1，连结⊙O′交⊙O于点C，并延长交⊙O′于点D，过点C作⊙O的切线交⊙O′于A、B两点，求OA·OB的值；（2）若点C为⊙O上一动点，①当点C运动到⊙O′内时，如图2，过点C作⊙O的切线交⊙O′于A、B两点，则OA·OB 的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由．②当点C运动到⊙O′外时，过点C作⊙O的切线，若能交⊙O′于A、B两点，如图3，则OA·OB的值与（1）中的结论相比较有无变化？请说明理由．5．如图，在直角坐标系中，点E从点O出发，以1个单位／秒的速度沿x轴正方向运动，F从O点出发，以2个单位／秒的速度沿y轴正方向运动，点B坐标为（4，2），以BE为直径作⊙O1，⊙O1与x轴的另外一个交点为A．（1）如图1，若点E、F同时出发，设线段EF与线段OB交于G，试判断EF与OB的位置关系，并证明你的结论；（2）如图2，若点E提前2秒出发，点F再出发，当点F出发后，E点在A点左侧时，设BA⊥x轴于A点，连结AF交⊙O1于点P，试问AP·AF的值是否发生变化？若不变，请说明理由，并求其值；若变化，请求其值的变化范围．6．将正方形ABCD折叠，使顶点A与CD边上的点M重合，折痕交AD于E，交BC于F，边AB折叠后与BC边交于点G（如图）．（1）如果M为CD边的中点，求证：DE：DM：EM=3：4：5；（2）如果M为CD边上的任意一点，设AB=2a，问△CMG的周长是否与点M的位置有关系？若有关，请把△CMG的周长用含DM的长x的代数式表示；若无关，请说明理由．7．问题背景某课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：①如图1，在正三角形ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=60°，则BM=CN；②如图2，在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=90°，则BM=CN．然后运用类比的思想提出了如下命题：③如图3，在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°，则BM=CN．任务要求（1）请你从①，②，③三个命题中选择一个进行证明；（2）请你继续完成下面的探索：①如图4，在正n（n≥3）边形ABCDEF 中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，问当∠BON等于多少度时，结论BM=CN成立？（不要求证明）②如图5，在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON=108°时，请问结论BM=CN是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．。

中学竞赛辅导：几何定值问题

几何定值问题知识要点：几何中的定值问题，是指变动的图形中某些几何元素的几何量保持不变，或几何元素间的某些几何性质或位置关系不变的一类问题，解几何定值问题的基本方法是：分清问题的定量及变量，运用特殊位置、极端位置，直接计算等方法，先探求出定值，再给出证明．几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有： 1．特殊位置与极端位置法； 2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．注：几何中的定值与最值近年广泛出现于中考竞赛中，由冷点变为热点．这是由于这类问题具有很强的探索性(目标不明确)，解题时需要运用动态思维、数形结合、特殊与一般相结合、逻辑推理与合情想象相结合等思想方法。

典型例题：一、定量问题： 1、定积：例1 如图，已知等边ABC ∆和点P ，设点P 到ABC ∆三边AB 、AC 、BC （或其延长线）的距离分别为h 1、h 2、h 3，ABC ∆的高为h 。

在图（1）中，点P 是边BC 的中点，此时h 3=0，可得结论：h 1 +h 2+h 3 =h 。

在图（2）~（5）中，点P 分别在线段MC 上、MC 延长线上，ABC ∆内、ABC ∆外。

（1）请探究：图（2）~（5）中，h 1、h 2、h 3、h 之间的关系；（直接写出结论）（2）证明图（2）所的结论；（3）证明图（4）所的结论；(1)C(2)CB(3)(4)C变式练习如图，若四边形RBCS是等腰梯形，B∠=C∠=60°，RS=n，BC=m，点P在梯形内，且点P到四边BR、RS、SC、CB的距离分别是h1、h2、h3、h4，梯形的高为h，则h1、h2、h3、h4、h之间的关系为；上题图（4）与右图中等式有何关系？例2 如图，已知菱形ABCD外切于⊙O，MN是与AD、CD 分别交于M、N的任意一条切线。

求证：AM·CN为定值。

第六讲蝴蝶定理

S 3S 1S 4S 2abO ACBD五年级秋季第六讲——蝴蝶模型——学而思范基程老师【知识点总结】一、来源：蝴蝶模型是几何图形中非常重要的模型之一，分为任意四边形与梯形中的蝴蝶模型，因形似蝴蝶而得名。

二、模型： 1、任意四边形中的蝴蝶定理：① S 1：S 2=S 4：S 3或者S 1×S 3=S 2×S 4②AO:OC =(S 1+S 2):(S 3+S 4) {DO:BO =(S 1+S 4):(S 2+S 3)}2、梯形中的蝴蝶定理：如果AD:BC=:① S 1：S 3=：② S 2= S 4 ③S 1 : S 3: S 2: S 4=::④ 梯形面积所对应的份数为：3、总结：无论是在任意四边形还是梯形当中的蝴蝶模型，都为我们提供了一种解决四边形或梯形面积的新的方法。

任意四边形当中，将不规则四边形的面积与四边形内的三角形结合了起来；而梯形当中，我们只需要知道梯形上下底之间的比例，就可以得出被对角线所分成的四个三角形的面积之间的比例关系，进而知道每个三角形的面积所对应的份数。

258OACDBF E【例题精讲】（2007年“数学解题能力展示”读者评选高年级组初赛）如图，长方形ABCD 被CE 、DF 分成四块，已知其中三块的面积分别为2、5、8平方厘米，那么余下的四边形OFBC 的面积为_________平方厘米。

【解析】连结DE 、CF 。

（1）在梯形EFCD 中，根据蝴蝶模型，有三角形EOF 与三角形DOC 的面积比为2:8，所以得到DF ：DC=1:2。

那么，三角形EOF 与三角形EOD 的面积比为1:1×2=1:2，所以三角形EOD 的面积为4（平方厘米），三角形COF 的面积也为4（平方厘米）。

因为四边形OEAD 的面积为5（平方厘米），所以，三角形ADE 的面积为1（平方厘米）。

（2）在长方形ABCD 中，三角形ECD 的面积是长方形ABCD 面积的一半，是8+4=12（平方厘米）那么剩下的部分（三角形ADE 与三角形BCE 的面积和也是12），又因为三角形ECF 的面积为2+4=6（平方厘米），所以三角形BCF 的面积为12-1-6=5（平方厘米）。

初中平面几何中的定值问题讲课讲稿

平面几何中的定值问题开场白：同学们，动态几何类问题是近几年中考命题的热点，题目灵活、多变，能够全面考查同学们的综合分析和解决问题的能力。

这类问题中就有一类是定值问题，下面我们来看几道题：【问题1】已知一等腰直角三角形的两直角边AB=AC=1，P 是斜边BC 上的一动点，过P 作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则PE+PF= 。

方法1：特殊值法：把P 点放在特殊的B 点或C 点或BC 中点。

此种方法只适合小题。

方法2：等量转化法：这是绝大部分同学能够想到的方法，PF=AE,PE=BE,所以PE+PF=BE+AE 。

方法3：等面积法：连接AP ，ABC ABP APC S S S AB AC AB PE AC PF ∆∆∆=+⇒⋅=⋅+⋅AB PE PF ⇒=+总结语：这虽然是一道动态几何问题，难吗？不难，在解决过程中（方法2抓住了边长AB的不变性和PE,PF 与BE,AE 的不变关系；方法3抓住了面积的不变性），使得问题迎刃而解。

设计：大部分学生都能想到方法2，若其他两种方法学生没有想到，也不要深究，更不要自己讲掉。

此题可叫差生或中等偏下的学生回答（赛比艳，艾科）（设计意图：由简到难，让程度最差的同学也有在课堂上展示自我的机会。

）过渡：这道题太简单了，因为等腰直角三角形太特殊了，我若把等腰直角三角形换成一般的等腰三角形，问题有没有变化，又该如何解决？请看：【变式1】若把问题1中的等腰直角三角形改为等腰三角形，且两腰AB=AC=5，底边BC=6，过P 作PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，则PE+PF 还是定值吗？若是，是多少？若不是，为什么?方法1：三角形相似进行量的转化ABM PBE PCF∆∆∆,AM PE PF AM PB AM PCPE PF AB PB PC AB AB⋅⋅⇒==⇒==()462455AM PB PC AM BC PE PF AB AB +⋅⋅⇒+====（板书）（M 为BC 中点）（解题要点：等腰三角形中，底边上的中线是常作的辅助线，抓住这条线的长度是不变量这个特点，建立PE,PF 与AM 之间的联系，化动为静）方法2：等面积法：ABC ABP APC S S S BC AM AB PE AC PF ∆∆∆=+⇒⋅=⋅+⋅642455BC AM PE PF AB ⋅⋅⇒+===（M 为BC 中点）（板书）（解题要点：抓住三角形面积是个不变量，用等面积法求解，这是在三角形中求解与垂线段有关的量的常用方法。

第6讲立体几何中的交线问题(解析版)

第6讲立体几何中的交线问题一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习（理））已知正方体ABCD A B C D ''''-的棱长为4，E ，F 分别为BB '，C D ''的中点，点P 在平面ABB A ''中，=PF N 在线段AE 上，则下列结论正确的个数是（）①点P 的轨迹长度为2π；①线段FP 的轨迹与平面A B CD ''的交线为圆弧；①NP ；①过A 、E 、F 作正方体的截面，则该截面的周长为103A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D【解析】【分析】对于①，根据圆的定义得到轨迹，并且①中要注意点P 在平面''ABB A 上，而非正方形''ABB A 上；对于①，圆锥的斜截面与侧面的交线不是圆的一部分就可以判断；对于①，实质是要计算①中的圆心到直线AE 的距离；对于①，要先作出截面，然后再计算周长.【详解】设''A B 的中点为O ，则点P 的轨迹是平面''ABB A 上以O 为圆心，以2为半径的圆，所以点P 的轨迹长度为4π，故①错误；连接FO ，易知线段FP 的轨迹是圆锥FO 的侧面，而平面''A B CD 与轴FO 不垂直，所以线段FP 的轨迹与平面''A B CD 的交线不是圆弧，故①错误；以''A B 的中点O 为原点，分别以''A B 水平向右、垂直平分''A B 为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，则AE 所在的直线方程为260x y --=，则点O 到直线260x y --=的距离为d ==，所以NP 2=①正确；如下图，过,,A E F 作正方体的截面，为五边形AEMFG ，其中M 为''B C 的靠近'C 的三等分点，G 为'DD 的靠近'D 的四等分点.可计算得5,AG GF AE ===10,3ME FM ===，所以该截面的周长为1025533+=+①错误.故选：D.【点睛】关键点睛：本题一是要注意点P 在平面''ABB A 上，而非正方形''ABB A 上，二是要正确的作出过,,A E F 的截面.2．（2022·全国·高三专题练习）在正四棱锥P ABCD -中，已知2PA AB ==，O 为底面ABCD的中心，以点O 则该球的球面与侧面PCD 的交线长度为（）A B C D 【答案】A【解析】【分析】取CD 的中点为E ，可得OE CD ⊥，PE CD ⊥，2PA AB ==，可得1OE =，PE =故OP =PCD 为正三角形，球心O 在平面PCD 上的投影M 即为PCD 的中心，分别求出球的半径和截面圆的半径，最后根据该球的球面与侧面PCD 的交线长度为截面圆周长的一半求解即可.【详解】如图，取CD 的中点为E ，则有OE CD ⊥，PE CD ⊥，2PA AB ==，可得1OE =，PE =OP PCD 为正三角形，球心O 在平面PCD 上的投影M 即为PCD 的中心，OP OE OM PE ⋅==OF =，在Rt OMF 中，则截面圆半径MF =，在正三角形PCD 中，以点M 的圆，圆与三角形截得的三部分，圆心角都为90︒，故该球的球面与侧面PCD 的交线长度为截面圆周长的14，即为124MF π⨯⨯=. 故选：A .【点睛】关键点睛：本题为空间几何体交线问题，找到球面与正四棱锥的表面相交所得到的曲线是解决问题的关键，属于中档题.3．（2022·全国·高三专题练习）已知正四面体的中心与球心O 重合，正四面体的棱长为则正四面体表面与球面的交线的总长度为A ．4πB ．C ．D ．12π【答案】A【解析】【分析】首先考查一个面的交线长度，然后求解所有交线的长度即可.【详解】考查正四面体的一个平面与球相交的截面如图所示，由题意结合几何关系可知：122sin 60MN OD =⨯=球心到截面的距离：1d ==，则2OA =，4DAO π∠=，据此可得截面对应的弧长为：2322πππ-⨯=，则四面体的一个面截球面的弧长为：()222OA ππππ⨯⨯=，则正四面体表面与球面的交线的总长度为44ππ⨯=.故选A .【点睛】本题主要考查正四面体的外接球，四面体与球的几何关系，空间想象能力等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4．（2022·四川成都·模拟预测（理））如图，△ABC 为等腰直角三角形，斜边上的中线AD ＝3，E 为线段BD 中点，将△ABC 沿AD 折成大小为2π的二面角，连接BC ，形成四面体C －ABD ，若P 是该四面体表面或内部一点，则下列说法错误的是（）A ．点P 落在三棱锥E －ABC 内部的概率为12B ．若直线PE 与平面ABC 没有交点，则点P 的轨迹与平面ADC C ．若点P 在平面ACD 上，且满足P A ＝2PD ，则点P 的轨迹长度为23πD ．若点P 在平面ACD 上，且满足P A ＝2PD ，则线段PB 长度为定值【答案】D【解析】【分析】对于A,求出三棱锥E ABC -和三棱锥A BCD -的体积之间的关系，根据几何概型的概率公式即可判断；对于B ，根据面面平行的相关知识确定轨迹，即可求得其长度；对于C,建立平面直角坐标系，求出点P 的轨迹方程，确定在面ADC 内的轨迹，即可求得轨迹长度；对于D ，结合题意以及C 的分析，可知DP不是定值，从而PB 定值，即可判断.【详解】如图所示，由题意可知AD ⊥底面BCD,由于E 为线段BD 中点，故11113322E ABC A EBC EBC DBC A BDC V V S AD S AD V ---==⋅=⨯⋅= , 故P 落在三棱锥E ABC -内部的概率为12E ABC A BDC V P V --== ,故A 正确；若直线PE 与平面ABC 没有交点，则P 点在过点E 和平面ABC 平行的平面上，如图所示，设CD 的中点为F ,AD 的中点为G ,连接EF ,FG,EG,则平面EFG ∥平面 ABC ,则点P 的轨迹与平面ADC 的交线即为GF ,由于①ABC 为等腰直角三角形，斜边上的中线AD =3，故AC =,则12GF AC ==,故B 正确；若点P 在平面ACD 上，且满足2PA PD =，以D 为原点，DC,DA 为x,y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(0,3),(3,0)A C ,设(,)P x y ，则2222(3)4()x y x y +-=+ ，即22(1)4x y ++=，故P 点在平面ADC 上的轨迹即为该圆被平面ADC 截得的圆弧NT （如图示），由22(1)4x y ++=可得(0,1),(0,1),M T N -，则π3TMN ∠=, 则点P 的轨迹长度为2π3,故C 正确；由题意可知,BD AD BD DC ⊥⊥ ,故BD ⊥平面ADC ,故PB ,由于P 在圆弧NT 上，圆心为M ,故PD 的长不是定值，如上图，当P 位于N 点时，PD =,当P 位于T 点时，1PD =,故线段PB 长度不是定值，D 错误，故选：D5．（2022·江苏徐州·高二期中）如图1，在正方形ABCD 中，点E 为线段BC 上的动点（不含端点），将ABE △沿AE 翻折，使得二面角B AE D --为直二面角，得到图2所示的四棱锥B AECD -，点F 为线段BD 上的动点（不含端点），则在四棱锥B AECD -中，下列说法正确的是（）A ．B ､E ､C ､F 四点一定共面B ．存在点F ，使得CF ∥平面BAEC ．侧面BEC 与侧面BAD 的交线与直线AD 相交D ．三棱锥B ADC -的体积为定值【答案】B【解析】【分析】A. 用反证法判断；B.在AD 上取点G ，使得AG =EC ，当DF DG FB AG=判断； C.利用线面平行的判定定理和性质定理判断； D.根据二面角B AE D --为直二面角，由点E 移动时，影响点B 到AE 的距离判断.【详解】A. 假设B ､E ､C ､F 四点共面，则直线EC 与BF 共面，若EC 与BF 平行，又EC 与AD 平行，则AD 与BF 平行，这与AD 与BF 相交矛盾；若EC 与BF 相交，设交点为Q ，则Q 即在平面BAD 内，又在平面AECD 内，则点Q 在交线AD 上，这与EC 与AD 平行矛盾，所以假设不成立，所以B 、E 、C 、F 不共面，故错误；B.如图所示：在AD 上取点G ，使得AG =EC ，当DF DG FB AG=时，//FG AB ，又FG ⊄平面BAE ，AB 平面BAE ，所以//FG 平面BAE ，同理//CG 平面BAE ，又FG CG G =，所以平面//CFG 平面BAE ，则CF ∥平面BAE ，故存在点F ，使得CF ∥平面BAE ，故正确；C.设侧面BEC 与侧面BAD 的交线为l ，因为//EC AD ，且EC ⊄面BAD ，AD ⊂面BAD ，所以//EC 面BAD ，则//EC l ，所以AD //l ，故错误；D.因为二面角B AE D --为直二面角，当点E 移动时，点B 到AE 的距离即三棱锥-B ADC 的高变化，而ADC S △是定值，故三棱锥-B ADC 的体积不是定值，故错误；故选：B6．（2022·河南·模拟预测（理））已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长是2，E ，F 分别是棱11B C 和1CC 的中点，点P 在正方形11BCC B （包括边界）内，当//AP 平面1A EF 时，AP 长度的最大值为a ．以A 为球心，a 为半径的球面与底面1111D C B A 的交线长为（）A ．2πB ．πC D【答案】A【解析】【分析】分别取1,BB BC 的中点M ，N ，连接MN ，AM ，AN ，易证平面AMN //平面1A EF ，从而得到点P 的轨迹是线段MN ，则AP ，然后在平面1111D C B A 内取一点P ，使得11A P =，即以1A 为圆心，以1为半径的圆弧求解.【详解】解：如图所示：分别取1,BB BC 的中点M ，N ，连接MN ，AM ，AN ，所以//EF MN ，又MN ⊄平面1A EF ，EF ⊂平面1A EF ，所以//MN 平面1A EF ，同理 //AN 平面1A EF ，又ANMN N =，所以平面AMN //平面1A EF ，因为点P 在正方形11BCC B （包括边界）内，且//AP 平面1A EF ，所以点P 的轨迹是线段MN ，所以AP ，在平面1111D C B A 内取一点P ，使得11A P =，则AP =所以以A 为球心1111D C B A 的交线为以1A 为圆心，以1为半径的圆弧RPQ ，其长度为12142ππ⨯⨯=，故选：A二、多选题7．（2022·湖南·临澧县第一中学高二阶段练习）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，122CC AB ==，E 为1CC 的中点，P 为棱1AA 上的动点，平面α过B ，E ，P 三点，则（） A ．平面α⊥平面11A B EB ．平面α与正四棱柱表面的交线围成的图形一定是四边形C ．当P 与A 重合时，α截此四棱柱的外接球所得的截面面积为11π8D ．存在点P ，使得AD 与平面α所成角的大小为π3 【答案】AC【解析】【分析】A 选项，证明1B E BE ⊥，11A B BE ⊥从而证明出BE ⊥平面11A B E ，进而证明面面垂直；B 选项，当1PA PA >时，画出平面α与正四棱柱表面的交线围成的图形是五边形；C 选项，作出P 与A 重合时的平面α，求出外接球半径，得到截面面积；D 选项，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解线面角的大小.【详解】因为122CC AB ==，E 为1CC 的中点，底面ABCD 为正方形，所以1B E BE ⊥，又因为11A B ⊥平面11BCC B ，BE ⊂平面11BCC B ，所以11A B BE ⊥，因为1111B E A B B ⋂=，所以BE ⊥平面11A B E ，因为BE ⊂平面α，所以平面α⊥平面11A B E ，即A 正确；当1PA PA >时，画出平面α与正四棱柱表面的交线围成的图形如下图：其中F 在线段11A D 上，G 在11D C 上，BP ①EG ，BE ①PF ，可知交线围成的图形为五边形，即B 错误；如图，以A 为坐标原点，AD ，AB 1AA 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 11,,122O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0,0,0A ，()0,1,0B ，()1,1,1E ，设平面ABEF 的法向量为(),,n x y z =，则有00n BE x z n AB y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，令1x =，则1z =-，则()1,0,1n =-球心O 到平面ABE 的距离24OA nd n ⋅==，此正四棱柱的外接球半径为12AC R ==，所以截面半径r ==211ππ8S r ==，即C 正确；设()0,0,P m ，02m ≤≤，则平面α的法向量为()1111,,n x y z =，则11111100n BE x z n BP y mz ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令11z =，则111,x y m =-=，所以()11,,1n m =-，设AD 与平面α所成角为θ，则111sin cos ,1n AD n AD n ADθ⋅====≤⋅+，因为sin y x =在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以π0,4θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以不存在点P ，使得AD 与平面α所成角的大小为π3，即D 错误.故选：AC 【点睛】求解直线与平面夹角的取值范围或平面之间夹角的取值范围问题，建立空间直角坐标系可以很好的将抽象的立体几何问题转化为运算问题进行解决.8．（2022·江苏·南京师大附中模拟预测）如图，圆柱的底面半径和高均为1，线段AB 是圆柱下底面的直径，点O 是下底面的圆心.线段EF 是圆柱的一条母线，且EO AB ⊥.已知平面α经过A ，B ，F 三点，将平面α截这个圆柱所得到的较小部分称为“马蹄体”.记平面α与圆柱侧面的交线为曲线C .则（）A ．曲线C 是椭圆的一部分B ．曲线C 是抛物线的一部分C ．二面角F AB E --的大小为4πD ．马蹄体的体积为V 满足134V π<<【答案】AC 【解析】【分析】将相同的圆柱按如图方式拼接在一起，将两个球放入圆柱内，通过切线相等即可判断A 、B选项；由二面角的定义即可判断C 选项；马蹄体的体积为V 为圆柱体的14即可判断D 选项.【详解】将相同的圆柱按如图方式拼接在一起，将两个球放入圆柱内，使每一个球既与圆柱相切，又与曲线C 所在平面相切，球与曲线C 的切点为,Q R ，取曲线C 上一点P ，过P 点的圆柱母线与两球交于,M N 两点，由于,PM PR 同是下面球的切线，,PN PQ 同是上面球的切线，可得PM PR =，PN PQ =，则PR PQ PM PN MN QR +=+=>，由椭圆定义知：曲线C 是椭圆的一部分，A 正确；B 错误；连接OF ，由EO AB ⊥，EF AB ⊥，知AB ⊥面EOF ，故OF AB ⊥，则FOE ∠为二面角F AB E --的平面角，又1OE EF ==，则4FOE π∠=，C 正确；由补成的几何体知马蹄体的体积为V 为圆柱体的14，即为4π，D 错误.故选：AC.9．（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）如图，正方形ABCD -A 1B 1C 1D 1边长为1，P 是1A D 上的一个动点，下列结论中正确的是（）A ．BPB ．PA PC + C ．当P 在直线1AD 上运动时，三棱锥1A B PC - 的体积不变D ．以点B 为球心，2为半径的球面与面1AB C 【答案】ACD 【解析】【分析】当1BP A D ⊥时，BP 最小,结合正三角形性质，求得B 到直线1A D 的距离，判断A;建立空间直角坐标系，利用空间向量，设11A P A D λ=求得点()1,,1P λλ-，结合两点间的距离公式，求得P A +PC 的最小值，判断B;根据当P 在直线A 1D 1A D 上运动时，三棱锥1A B PC -的底面积以及高的变化情况，可确定体积不变没判断C;根据题意确定以点B 为球心，2为半径的球面与面1AB C 的交线即为1AB C 的内切圆，即可求得交线长，判断D. 【详解】对于A ，当1BP A D ⊥时，BP 最小，由于11A B BD A D B ==到直线1A D 的距离A d ==对．对于B,以B 为坐标原点建系，以1,,BA BC BB 分别为x,y,z 轴建立空间直角坐标系，则()()1,0,0,0,1,0A C ,设()11,1,,1A P A D P λλλ=∴-,PA PC +==,()11,0,,22M N λ⎛⎫ ⎪⎝⎭之间的距离，(),0,1,M Q λ⎛ ⎝⎭之间的距离，min ()PA PC ∴+==错；对于C,11A D B C ,1A D ⊄平面1AB C ，1//A D ∴平面1,AB C P ∴到平面1AB C 的距离为定值, 1BB C S △为定值，则1P AB C V -为定值，C 对．对于D ，由于1BD ⊥平面1AB C ，设1BD 与平面1AB C 交于Q 点，113BQ BD ∴==B 1ABC 交线上任一点为G ，BG QG G ∴=∴==∴在以M1AB C 13= ，故此圆恰好为1AB C 的内切圆，完全落在面1AB C 内，∴交线长为2π,D =正确．故选：ACD 【点睛】本题考查了空间几何中的距离以及距离和的最值问题，以及三棱锥体积和几何体中的轨迹问题，综合性强，要求充分发挥空间想象能力，解答时要能借助于几何体的直观图，明确空间的点线面的位置关系，灵活应用空间向量以及相关相关知识解决问题.10．（2022·全国·高三专题练习）已知正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边为1，侧棱长为a ，M 是1CC 的中点，则（） A ．任意0a >，1A M BD ⊥B ．存在0a >，直线11AC 与直线BM 相交C ．平面1A BM 与底面1111D C B AD ．当2a =时，三棱锥11B A BM -外接球表面积为3π 【答案】AC 【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理可判断A 对；利用异面直线的判定可知B 错；确定平面1A BM 与底面1111D C B A 交线为1A P ，可求得1A P 为定值，从而得C 正确；由球截面所得圆半径最大为球半径，可判断D 错误. 【详解】对于选项A ，BD AC ⊥，1BD AA ⊥，1AA AC ⋂，1AA ，AC ⊂平面11ACC A ， ①BD ⊥平面11ACC A ，1A M ⊂平面11ACC A ，①1BD A M ⊥，A 对；对于选项B ，B ∈平面11A BC ，M ∉平面11A BC ，①BM ⊄平面11A BC ①BM 与11A C 异面不相交，B 错；对于选项C ，延长BM ，11B C 交于N 点，M 为1CC 中点，1NC M BCM ≌△△，①1C N BC =，①12B N =，111A B =，①1A N 平面1A BM平面11111A B C D A N =，平面1A BM 与底面1111D C B A 交线为1A P ，其中P 为11C D 中点，1A P =，C 对；对于选项D ，2a =，1AB B 是直角三角形，外接圆是以1A B 为直径的圆，半径12=A B 11B A BM -外接球的半径≥R 可知外接球表面积应大于等于53ππ≠，可知D 错；故选：AC.11．（2022·福建·厦门一中高二期中）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA =.若点E ，F ，G 分别为棱AB ，AD ，PC 的中点，则（） A ．AG ⊥平面PBDB ．直线FG 和直线AB 所成的角为4πC ．当点T 在平面PBD 内，且2TA TG +=时，点T 的轨迹为一个椭圆D ．过点E ，F ，G 的平面与四棱锥P ABCD -表面交线的周长为【答案】ABD 【解析】【分析】将该四棱锥补成正方体后可判断AB 的正误，结合椭圆的定义可判断C 的正误，结合空间中垂直关系的转化可判断D 的正误. 【详解】将该四棱锥补成正方体，可知AG 位于其体对角线上，则AG ⊥平面PBD ，即A 正确；设PB 中点为H ，则FG AH ∥，且4HAB π∠=，即B 正确；因为2TA TG +=，故T 在空间中的轨迹为椭圆绕其长轴旋转形成的椭球，又平面PBD 与其长轴垂直，所以截面为圆，即C 错误；设平面EFG 与PB ，PD 交于点M ，N ，连接,,,,,,,PE EC PF FC EM MG GN NF ，因为,,PA BC AE BE PAE CBE ==∠=∠，故PAE CBE ≅，所以PE CE =，而PG GC =，故EG PC ⊥，同理FG PC ⊥，而FGEG G =，故PC ⊥平面EFG ，而EM ⊂平面EFG ，则PC EM ⊥，因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，故PA BC ⊥，而BC AB ⊥，PA AB A =，故BC ⊥平面PAB ，而EM ⊂平面PAB ，故BC EM ⊥，因BC PC C ⋂=，则EM ⊥平面PBC ，而PB ⊂平面PBC ，则EM PB ⊥，所以BM EM ===FN DN ==又PG =PM ==GM GN ==而12EF BD ==所以交线长为EF EM MG GN FN ++++=D 正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：空间中动点的轨迹，一般可根据平面曲线的定义结合旋转来处理，而截面问题则需结合位置关系的判定与性质或平面的性质来处理.12．（2022·江苏·高三专题练习）已知在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，以点E Γ，则下列结论正确的是（）A ．Γ与面11ABB AB ．直线1BD 被ΓC ．若点H 为Γ上的一个动点，则1HD 的最小值为8-D ．Γ与截面11BDD B 【答案】ABD 【解析】根据BE ⊥平面11ABB A ，求出平面11ABB A 截Γ所得小圆的半径即可得出弦长，可判断A ；求出E 到直线1BD 的距离可判断B ；由点1D 在该球外，求出1HD 的最小值可判断C ；过E作1EO BD ⊥于1O ，连接11O B ，再连接ED ，在BD 上取DF 11BDD B 的交线长可判断D. 【详解】因为BE ⊥平面11ABB A ，所以平面11ABB A 截Γ所得小圆的半径r ==圆心为点B ，所以Γ与面11ABB A 的交线长为2πA 项正确；点E 到直线1BD 的距离为点C 到直线1BD 的距离的12，设点C 到直线1BD 的距离为h ，由111122BD h BC CD ⨯⨯=⨯⨯，即11422h ⨯=⨯⨯h =即E 到直线1BD 12=所以直线1BD 被Γ截得的线段长为B 项正确；因为16D E 1D 在该球外，所以1HD 的最小值为6C 项错误；过E 作1EO BD ⊥于1O ，连接11O B ，则2BE =，1O E =1O B =11BO =连接ED ，在BD 上取DF EF ==，所以点F 在该球上，在1BB 上取BG =则1GO ==GE G 在该球上，所以以点E 11BDD B 的交点为F ，G ，又因为1112O B GO =，所以160GO B ∠=︒，1120FO G ∠=︒，所以该交线的长为23π⨯，故D 项正确.故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题考查了球的性质、正方体的性质以及截面问题，解题的关键是利用球以及正方体的对称性，确定弦的位置，考查了空间想象能力、运算求解能力.13．（2022·山东省平邑县第一中学高一阶段练习）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1B C 上一动点，则（）A ．直线1BD ⊥平面11AC DB ．异面直线1BC 与11A C 所成角为45︒ C ．三棱锥11P A DC -的体积为定值D ．平面11AC D 与底面ABCD 的交线平行于11A C 【答案】ACD 【解析】【分析】利用线面垂直判定定理判断直线1BD 与平面11AC D 是否垂直；求得异面直线1B C 与11A C 所成角判断选项B ；求得三棱锥11P A DC -的体积判断选项C ；判定出平面11AC D 与底面ABCD 的交线与直线11A C 的位置关系判断选项D. 【详解】选项A ：连接11B D ，1AD在正方体1111ABCD A B C D -中， 111DD AC ⊥，1111B D A C ⊥，1111B D DD D =，则11A C ⊥平面11B D D又1BD ⊂平面11B D D ，则11A C ⊥1BD 1AB A D ⊥，11AD A D ⊥，1ABAD A =，则1A D ⊥平面1ABD又1BD ⊂平面1ABD ，则1A D ⊥1BD又1111AC A D A ⋂=，则直线1BD ⊥平面11AC D .判断正确；选项B ：在正方体1111ABCD A B C D -中，11A B CD =，11//A B CD 则四边形11A B CD 为平行四边形，则11//B C A D 则11DAC ∠为异面直线1B C 与11A C 所成角或其补角,又①11DA C 为等边三角形，则1160DA C ∠= 则异面直线1B C 与11A C 所成角为60︒.判断错误；选项C ：点P 为线段1B C 上一动点，设正方体1111ABCD A B C D -棱长为a 由11//B C A D ，可得11111111311326P A DC B A DC D A B C a V V V a a a ---===⨯⨯⨯⨯=则三棱锥11P A DC -的体积为定值.判断正确；选项D ：连接AC正方体1111ABCD A B C D -中，11//AC A C ，又AC ⊂平面ABCD ，11A C ⊄平面ABCD ，则11//A C 平面ABCD 设平面11AC D 与底面ABCD 的交线为l ，则11//A C l 即平面11AC D 与底面ABCD 的交线平行于11A C .判断正确.故选：ACD14．（2022·广东深圳·高三阶段练习）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 为棱AD 上的动点，平面α过点E 且与平面11A DC 平行，则（）A ．11B E CD ⊥B ．三棱锥111E BCD -的体积为定值 C ．1DE 与平面11A DC 所成的角可以是3πD ．平面α与底面ABCD 和侧面11CDD C 的交线长之和为【答案】AB 【解析】【分析】由11CD C D ⊥、111B C CD ⊥可证得1CD ⊥平面11AB C D ，由线面垂直的性质可证得A 正确；由线面平行的判定可知//AD 平面111B C D ，知点E 到平面111B C D 的距离为1，由棱锥体积公式可知B 正确；以D 为坐标原点可建立空间直角坐标系，假设线面角为3π，利用线面角的向量求法可构造方程，由方程无解知C 错误；将底面ABCD 和侧面11CDD C 展开到同一平面，可得交线的轨迹，由平行关系可知EG AC ==D 错误. 【详解】对于A ，四边形11CDD C 为正方形，11CD C D ∴⊥； 11B C ⊥平面11CDD C ，1CD ⊂平面11CDD C ，111B C CD ∴⊥，又1111B C C D C =，111,B C C D ⊂平面11AB C D ，1CD ∴⊥平面11AB C D ；1B E ⊂平面11AB C D ，11B E CD ∴⊥，A 正确；对于B ，1111////AD A D B C ，AD ⊄平面111B C D ，11B C ⊂平面111B C D ，//AD ∴平面111B C D ，又E AD ∈，∴点E 到平面111B C D 的距离即为11AA =，111111111111113326E B C D B C D V SAA -∴=⋅=⨯⨯⨯⨯=，B 正确；对于C ，以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 正方向为,,x y z 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则()11,0,1A ，()0,0,0D ，()10,1,1C ，()10,0,1D ，则()11,0,1DA =，()10,1,1DC =，设平面11A DC 的法向量(),,n x y z =，则1100DA n x z DC n y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =，解得：1y =，1z =-，()1,1,1n ∴=-；设()(),0,001E λλ≤≤，则()1,0,1D E λ=-，111cos ,3D E n D E n D E nλλ⋅∴<>==⋅若1D E 与平面11A DC 所成的角为3π，则11cos ,2D E n <>==，方程无解，1D E ∴与平面11A DC 所成的角不能为3π，C 错误；对于D ，设平面α与底面ABCD 和侧面11CDD C 的交线分别为,EF FG ，则//EFAC ，1//FG C D ，将底面ABCD 和侧面11CDD C 沿CD 展开到同一平面，则,,E F G 三点共线且//EG AC ，EG AC ∴=D 错误.故选：AB.15．（2022·福建三明·高一期中）《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳖膈”．如图在堑堵ABC −A 1B 1C 1中，AC ①BC ，且AA 1═AB ═2．下列说法正确的是（）A ．四棱锥11B A ACC -为“阳马”、四面体11A C CB 为“鳖膈”．B ．若平面1A BC 与平面111A B C 的交线为l ，且1A B 与11A B 的中点分别为M 、N ，则直线CM 、1C N 、l 相交于一点．C ．四棱锥11B A ACC -体积的最大值为23．D ．若F 是线段1A C 上一动点，则AF 与1A B 所成角的最大值为90︒．【答案】ABD 【解析】【分析】由堑堵、阳马、鳖膈的定义判断A ，由平面的基本性质判断B ，由棱柱与棱锥的体积公式判断C ，由线面垂直的的性质定理，结合异面直线所成角的定义判断D ．【详解】堑堵ABC −A 1B 1C 1是直棱柱，平面111A B C ⊥平面11BCC B ，平面111A B C 平面11BCC B 11B C =，由AC BC ⊥得1111A C B C ⊥，11A C ⊂平面111A B C ，所以11A C ⊥平面11BCC B ，四棱锥11B A ACC -为“阳马”，同理BC ⊥平面11ACC A ，1AC ⊂平面11ACC A ，则1BC A C ⊥，1AA 与,AC AB 垂直易得，四面体11A C CB 为“鳖膈”， A 正确；1A B 与11A B 的中点分别为M 、N ，则11////MN BB CC ，所以1,MN CC 共面，又1112MN BB CC =≠，所以1,CM C N 相交，设1CM C N P =，则1,P CM P C N ∈∈，而CM ⊂平面1A BC ，1C N ⊂平面111A B C ，所以P 是平面1A BC 与平面111A B C 的一个公共点，必在其交线l 上，B 正确；11122211112()22222ABC A B C ABC V SAA AC BC AC BC -=⋅=⋅⋅≤+=⨯=，当且仅当AC BC =时，等号成立，所以111111111111111124333B A ACC ABC A C B A ABC ABC A C B ABC A C B ABC A C B V V V V V V ------=-=-=≤，即四棱锥11B A ACC -体积的最大值为43，C 错；由A 选项推理知BC ⊥平面11ACC A ，AF ⊂平面11ACC A ，则BC AF ⊥，当1AF A C ⊥时，1AC BC C =，1,A C BC ⊂平面1A BC ，所以AF ⊥平面1A BC ，又1A B ⊂平面1A BC ，所以1AF A B ⊥，此时AF 与1A B 所成角为90︒，是最大值．D 正确．故选：ABD ．16．（2022·福建省福州格致中学模拟预测）中国古代数学著作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2，1AA ，1BB ，1CC ，1DD 均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为1和2，对应的圆心角为90°，则以下命题正确的是（）A ．1AB 与1CD 成角的余弦值为45B ．1A ，B ，C ，1D 四点不共面C ．弧11AD 上存在一点E ，使得1BE CD ∥D ．以C 23π【答案】AD 【解析】【分析】建立空间坐标系，用向量计算异面直线的夹角，做辅助图计算判断相关问题. 【详解】圆弧的圆心的原点，CD 为x 轴，BA 为y 轴过圆心O 垂直于底面的直线为z 轴，建立空间直角坐标系如下图：则()()()()110,2,0,0,1,2,1,0,0,2,0,2A B C D ，故()()110,1,2,1,0,2AB CD =-= ，所以1111114cos ,55AB CD AB CD AB CD ⋅===⋅ ，A 正确；对于B ，连接11,,A D AD BC ，则有11//,//,A D AD AD BC 则11//A D BC ， ①11A D 与BC 共面，即11,,,A D B C 四点共面，故B 错误；对于C ，设在圆弧11A D 存在一点()2cos ,2sin ,2E αα 0,2πα⎛⎫⎡⎤∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ ，使得1//BE CD ，则有()()12cos ,2sin 1,21,0,2BE CD ααλλ=-== ，2cos 2sin 1022αλαλ=⎧⎪-=⎨⎪=⎩，此方程组无解，即E 点不存在，故C 错误；对于D ，做如下俯视图：AC =，即以C A 点是球面与底面ABCD 唯一的交点，因为1CD =1(2,0,2)D 在球面上，设与圆弧11B C 的交点为()cos ,sin ,2E αα，则CE ，解得1cos ,sin 2αα== ，故122E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，球面与上底面的交线是以1C 为圆心，半径为1的圆弧1ED ，则1ED =圆心角111cos 2EC D ∠==-，由图知：110EC D π<∠<，得1123EC D π∠=. 122133ED ππ∴=⨯= ，故D 正确；故选：AD. 三、双空题17．（2022·山东临沂·三模）如图，AB 是圆锥底面圆O 的直径，圆锥的母线4PA AB ==，则此圆锥外接球的表面积为______；E 是其母线PB 的中点，若平面α过点E ，且PB ⊥平面α，则平面α与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，此时该抛物线的焦点F到底面圆心O 的距离为________．【答案】 16π 【解析】【分析】空1：结合图形可得2PO =，圆锥外接球的球心为O ，半径为2，代入球的表面积公式计算；OE PB ⊥，则MN 过点O ，结合平面图形理解抛物线2:2C y px =过点)2M，代入计算．【详解】如图1所示，连接PO ，则222PO OB PB +=，解得2PO =即2PO OB ==，此圆锥外接球的球心为O ，半径为2，表面积为24π216πS =⨯= 连接,OE MN ，则可得OE PB ⊥，则MN 过点O①2OE OM ==在平面图形中，以焦点在x 轴正半轴为例，如图2，抛物线2:2C y px =过点)2M即222p =p =①抛物线C 的焦点F ⎫⎪⎪⎝⎭，则2FO =故答案为：16π四、填空题18．（2022·湖北·华中师大一附中高一期中）如图正四棱柱ABCD A B C D ''''-中，AB =2AA '=，以D 为球心，DC '为半径的球与侧面BCC B ''的交线为C E '，点P 为交线C E '上一动点，则P 从C '运动到E 时，DP 所形成的曲面面积为____________.【解析】【分析】由题意可知交线C E '是一段圆弧，即平面BCC B ''截球所得的截面圆上的一段弧，P 从C '运动到E 时，DP 所形成的曲面是1Rt DCC 绕DC 旋转形成的圆锥的侧面的一部分，确定该圆锥的底面半径以及母线长，以及圆锥底面圆上的π3ECC'∠=，即可求得答案.【详解】由题意可知，以D为球心，DC'=BCC B''的交线为C E'，那么交线C E'是一段圆弧，即平面BCC B''截球所得的截面圆上的一段弧，由于DC⊥平面BCC B'',该截面圆的圆心是点C，截面圆的半径等于12CC=，故P从C'运动到E时，DP所形成的曲面是1Rt DCC绕DC旋转形成的圆锥的侧面的一部分，该圆锥的母线长等于DC'=由于DB,DC DE'====,1BE=,所以2CE C E'===, 而2CC'=,故CEC'△是正三角形，则π3 ECC'∠=,所以DP所形成的曲面面积为1π26⨯⨯=，19．（2022·河南平顶山·模拟预测（理））如图，在四面体ABCD中，DA，DB，DC两两垂直，DA DB DC===D为球心，1为半径作球，则该球的球面与四面体ABCD各面交线的长度和为___．【解析】【分析】先求出D 到平面ABC 的距离，判断球体与各个面的相交情况，再计算求解即可. 【详解】因为2AB BC AC ====，所以ABC 是边长为2的等边三角形，所以边长为2=122ABC S △=⨯设D 到平面ABC 的距离为d ，12BCD S △=，所以A BCD D ABC V V --=，所以11=33BCD ABC AD S d S △△⨯⨯⨯⨯，解得3d =，则1d =，所以以D 为球心，1为半径的球与平面ABD ，平面ACD ，平面BCD 的交线为14个半径为1的圆的弧线，与面ABC =，所以交线总长度为：121324ππ⨯⨯⨯+=.. 20．（2022·山东威海·高三期末）在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AC CB ⊥，4===PA AC BC ．以A 为球心，表面积为36π的球面与侧面PBC 的交线长为______．【答案】π 【解析】【分析】利用线面垂直的性质定理及判定定理证得AH ⊥平面PBC ，进而知球面与侧面PBC 的交线为以H 为圆心，半径为1的半圆弧，利用弧长公式求解. 【详解】设以A 为球心的球的半径为R ，则2436R ππ=，解得3R = 如图，取PC 中点H ，由PA AC =，AH PC ∴⊥ 又PA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，PA BC ∴⊥ 又AC CB ⊥，AC PA A ⋂=，所以BC ⊥平面P AC ，又AH ⊂平面P AC ，BC AH ∴⊥，又BC PC C ⋂=，AH ∴⊥平面PBC ，又4===PA AC BC ，AH ∴=PB =又1r ==，作HE PB ⊥，则PEH PCB ，EH PHCB PB∴=，1PH CB EH PB ⋅∴==> 所以球面与侧面PBC 的交线为以H 为圆心，半径为1的半圆弧，故所求长为1ππ⨯= 故答案为：π21．（2022·全国·高三专题练习）在正三棱锥P ABC ﹣中，侧棱PA 且侧棱PA PB PC 、、两两互相垂直，以A 为球心，2为半径的球面与正三棱锥的表面相交，则交线的长度之和为___________.【答案】32π【解析】【分析】设以顶点A 为球心，2为半径作一个球，球面与正三棱锥的表面相交得到一条封闭的曲线是EFNM ，如图所示，正确分析与各面的交线结合弧长公式即可求出答案．【详解】。

几何定值问题-第6讲几何中的教师版

第六讲几何中的定值问题一、基础知识定值问题一般包括两类：一类是定量问题(如定长、定角、定和、定差、定积、定比、平方和或倒数和为定值等)；一类是定形问题（如定点、定线、定圆或弧、定方向等）；求解此类问题主要是抓住数学问题中的动与静、变与不变、特殊与一般间的相互关系，从中寻找不变的量来联立求解.二、例题部分第一部分隐含的定值问题例1. 如图36-2，△ABC 是⊙0的内接正三角形，弦PQ 同时平分AB 、AC ，则PQ BC等于 ( ) A ．45B ．62C ．312+D ．52解答：D ．设BC=a,则AM=BM=12a ． ∵PM·MQ =AM·BM，PM(MN+NQ)=12a ·12a ，易证PM=QN ．∴PM(12a +PM)=142a ．解之，得PM=514- a ∴PQ=2PM+MN=2×514-a+12a=52a ． ∴PQ BC =52例2. 如图36-3，OA 、OB 为任意两条半径，从B 作BE ⊥OA 于E ，过E 作EP ⊥AB 于P ，若⊙O 的半径为R ，则2OP +2EP 等于 ( )A ．2RB ．2RC ．42RD ．142R解答：B ．过0 作OC ⊥AB ，则2OP =2OC +2PC ＝2R -142AB +2PC =2R -142AB + 212AB PA ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝2R -AB ·PA+2PA 在Rt△AEP 中，2EP =2EA 一2PA ．∴2OP +2EP =2R +2EA 一 AB·PA．又2EA = AB·PA，∴2OP +2EP =2R ．例3. 如图36-5，AB 是⊙0的直径，C 为圆上一点，过C 点作CD ⊥AB 于D ，且∠COB=θ，则AD BD ·2tan 2θ＝．解答1．连结AC 、CB ．则∠CAD ＝∠BCD=12θ．在Rt△ACD ,tan 2θ=CD AD．在Rt△BCD 中, tan 2θ=BD CD ∴AD BD ·2tan 2θ＝AD BD ·CD AD ·BD CD＝1. 例4. 如图36-6，⊙O 的半径为2，A 、B 两点在⊙O 上，切线AQ 与BQ 相交于Q ，P 是AB 的延长线上任意一点，QS ⊥OP 于S ，则OP·OS= ．解答：2.连结OA、OQ，设OQ交AB于M，则OA⊥AQ，OQ⊥AB.∵∠QMP＝∠QSP＝90，∴S、P、Q、M四点共圆.∴OS·OP＝OM·OQ.∵OM·OQ＝2OA＝2∴OS·OP＝2例5. 如图36-8，⊙0与⊙O'内切于点A，以大⊙0上一点P向小⊙O'引切线PT，连结PA与小⊙O'交于点B，若⊙0与⊙O'的半径分别为R和r，则22PTPA＝．解答：R rR-．连结OP、O B'、OO'，并延长OO'，则OO'必过切点A．∵△O AB'与△OAP均为等腰三角形，∴∠1=∠2，O B'∥OP．∴PBPA＝OOOA'＝OA O AOA'-＝R rR-.（1）又PT为⊙O'的切线，PA为⊙O'的割线，∴2PT=PB·PA． (2)由（1），得PB＝()PA R rR-(3)(3)代入(2)，得2PT＝PA·()PA R rR-＝R rR-·2PA∴22PTPA＝R rR-.第二部分变化量定值问题例6. 如图36-1，在△A BC中，AB=AC，若P为BC边上任意一点，则点P到两边AB、AC距离之和为( )A．随点 P的变化而变化 B．12(AB+AC)C．定值 D．12(AB+BC)解答：C ．提示：等于一腰上的高，过B 作BD ⊥AC ，过P 作PE ⊥BD 可证．例7. △A BC 是边长固定的正三角形。

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第六讲几何中的定值问题
一、基础知识
定值问题一般包括两类：一类是定量问题(如定长、定角、定和、定差、定积、定比、平方和或倒数
和为定值等)；
一类是定形问题（如定点、定线、定圆或弧、定方向等）；
求解此类问题主要是抓住数学问题中的动与静、变与不变、特殊与一般间的相互关系，从中寻找不变
的量来联立求解.
二、例题部分
第一部分隐含的定值问题
例1. 如图，△ABC 是⊙0的内接正三角形，弦PQ 同时平分AB 、AC ，则PQ BC 等于 ( ) A ．
45
B ．62
C ．312+
D ．52
例2. 如图，OA 、OB 为任意两条半径，从B 作BE ⊥OA 于E ，过E 作EP ⊥AB 于P ，若⊙O 的半径为R ，则2OP +2EP
等于 ( )
A ．2R
B ．2R
C ．42R
D ．14
2R
例3. 如图，AB 是⊙0的直径，C 为圆上一点，过C 点作CD ⊥AB 于D ，且∠COB=θ，则
AD BD ·2tan 2
θ＝．
例4. 如图，⊙O 的半径为2，A 、B 两点在⊙O 上，切线AQ 与BQ 相交于Q ，P 是AB 的延长线上任意一点，
QS ⊥OP 于S ，则OP·OS= ．
例5. 如图，⊙0与⊙O '内切于点A ，以大⊙0上一点P 向小⊙O '引切线PT ，连结PA 与小⊙O '交于点B ，
若⊙0与⊙O '的半径分别为R 和r ，则2
2PT PA
＝．
第二部分变化量定值问题
例6. 如图，在△A BC 中，AB=AC ，若P 为BC 边上任意一点，则点P 到两边AB 、AC 距离之和为
( )
A ．随点 P 的变化而变化
B ．
12
(AB+AC) C ．定值 D ．12(AB+BC)
例7. △A BC 是边长固定的正三角形。

D 为BC 边上的动点，1O 和2O 分别为△ABD 和△ACD 的外心，1O 1E ⊥
BC 于1E ，2O 2E ⊥BC 于2E .则1O 2E +2O 2E 的值为．
例8. (2000年，湖北省初赛试题)已知等边△AB C 内接于圆，在劣弧AB 上取异于A 、B 的点M ，设直线AC
与BM 相交于点K ，直线CB 与AM 相交于点 N ．证明：线段AK 和BN 的积与M 点的选择无关．
例9. 如图36-11，A 、B 为两定点，0为一动点，在AB 所在平面上异于0点的一侧取A '点及B '点，使
∠OAA '=∠OBB '=90，且BB '=OB ，AA '=OA ．设A 'B '的中点的O '．
(1)试问当0点在线段AB 的一侧移动时，A 'B '的中点O '的位置将怎样变化?
(2)请证明你的猜想．
例10. (1997年，北京市竞赛试题)如图，大小两个同心圆，0是圆心，作小圆的三条切线，分别交于A 、
B 、
C 三点，记△ABC 的面积为S ，以A 、B 、C 为顶点的三个阴影部分面积分别为1S 、2S 、3S ．试证：
1S +2S +3S -S 为定值．
三、课后练习
1. (1997年，全国联赛试题)从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线段的长分别为1，3，5，则这个等边三角形的面积是．
2. (1999年，济南市中考试题)如图，AB 为⊙0的一固定直径，它把⊙0分成上、下两半圆，自上半圆上一
点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在半圆(不包括A 、B 两点)上移动时，点P
( )
A ．到CD 的距离保持不变
B ．位置不变
C ．等分DB
D ．随C 点的移动而移动
3. 如图，已知AB ，CD 是半径为5的⊙0中的互相垂直的弦，垂足为P ，E 为AB 的中
点，PD=AB ，若OE ＝3，则CP+CE= ．
4. 如图，定长的弦ST 在一个以AB 为直径的半圆上滑动，M 是ST 的中点，P 是S 对AB 作垂线的垂足．求
证：不管ST 滑到什么位置．∠SPM 是一定角．
5. 设H 是等腰三角形ABC 的垂心，在底边BC 保持不变的情况下让顶点A 至底边BC 的距离变小，这时乘积
ABC S
·HBC S 的值变小，变大，还是不变?证明你的结论．。