广东省广州市越秀区2018-2019学年高一(上)期末数学试卷(解析版)
广东省广州市越秀区2018-2019学年高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.已知集合，，则下列关系中正确的是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】解：集合，，
．
故选：A．
根据集合A中元素满足的性质，，我们可以判断出元素a与集合A的关系．
本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，其中正确理解集合元素与集合关系的实质，即元素满足集合中元素的性质，是解答本题的关键．
2.若，，则角是
A. 第一象限角
B. 第二象限角
C. 第三象限角
D. 第四象限角
【答案】D
【解析】解：由题意，根据三角函数的定义，
，
，．
在第四象限，
故选：D．
利用三角函数的定义，可确定，，进而可知在第四象限．
本题以三角函数的符号为载体，考查三角函数的定义，属于基础题．
3.已知幂函数的图象经过点，则的值为
A. 3
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】解：幂函数的图象经过点，
，
解得，，
．
故选：A．
推导出，由此能求出．
本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4.已知，则对于任意的a，，下列关系中成立的是
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】解：，a，；
．
故选：B．
根据对数的运算即可得出，从而选B．
考查对数的定义，对数的运算性质．
5.设，，，则
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：，；
．
故选：C．
容易看出．，从而得出a，b，c的大小关系．
考查对数函数的单调性，减函数的定义，指数函数的值域．
6.函数的零点所在的一个区间是
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】解：函数是连续增函数，
，
，
，
故选：C．
判断函数的单调性，由零点判定定理判断．
本题考查了函数零点的判断，属于基础题．
7.函数的最小正周期是
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】解：函数，
故它的最小正周期是，
故选：B．
由题意利用二倍角公式，余弦函数的周期性，得出结论．
本题主要考查二倍角公式，余弦函数的周期性，属于基础题．
8.已知向量，，且，则的值是
A. 3
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】解：由，，且，
得，即．
．
故选：C．
由已知求得，然后展开两角差的正切求解．
本题考查数量积的坐标运算，考查两角差的正切，是基础题．
9.为了得到函数的图象，只需将函数的图象上所有点
A. 向左平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
【答案】C
【解析】解：为了得到函数的图象，只要将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，
故选：C．
由题意利用诱导公式、函数的图象变换规律，得出结论．
本题主要考查诱导公式、函数的图象变换规律，属于基础题．
10.已知是偶函数，且在上是减函数，若，则x的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】解：根据题意，若是偶函数，且在上是减函数，
则，
解可得：，即x的取值范围为；
故选：D．
根据题意，结合函数的奇偶性与单调性可得，解可得x的取值范围，即可得答案．
本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是得到关于x的不等式，属于基础题．
11.若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为
，值域为4，的“孪生函数”共有
A. 4个
B. 5个
C. 8个
D. 9个
【答案】D
【解析】解：由题意知，则，
，则或，
，则或，
所以孪生函数的定义域分别为，，3，，3，，3，，3，，5，，5，，3，，
共有9个，
故选：D．
由分别等于0，4，16得x的取值，再选择确定定义域．
本题考查函数的三要素，属于简单题．
12.某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过800元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金
额超过800元，则超过800元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：
若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元，则此人购物实际所付金额为
A. 1500元
B. 1550元
C. 1750元
D. 1800元
【答案】A
【解析】解：设此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元
由题可知：
解得，，
故此人购物实际所付金额为1500元．
故选：A．
设此商场购物总金额为x元，可以获得的折扣金额为y元，可得到获得的折扣金额y元与购物总金额x元之间的解析式，结合，代入可得某人在此商场购物总金额，减去折扣可得答案．
本题考查的知识点是分段函数，正确理解题意，进而得到满足条件的分段函数解析式是解答的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
13.已知向量，，．
若，求实数k的值；
若向量满足，且，求向量．
【答案】解：，，，
，，
，
，
解可得，
，
，
，
，
，
或．
【解析】由，结合向量的数量积的坐标表示即可求解；
由，结合向量共线定理可表示，然后结合，及向量数量积性质的坐标表示即可求．
本题主要考查了向量平行及向量数量积的坐标表示，属于基础试题．
14.设全集，集合，．
当时，求集合；
若，求实数a的取值范围．
【答案】解：，
若，则．
则或，
则或．
若，则，满足，
当时，，
若，则，得，
当时，，
若，则，得，
即实数a的取值范围是．
【解析】当时，求出集合A，B的等价条件，解补集和交集的定义进行求解即可．讨论a的范围，根据，建立不等式关系进行求解即可
本题主要考查集合的基本运算以及集合关系的应用，根据条件转化为不等式是解决本题的关键．
15.如图，现要在一块半径为，圆心角为的扇形纸板POQ上剪出一个平行四边
形OABC，使点B在弧PQ上，点A在半径OP上，点C在半径OQ上．
求S关于的函数关系式；
求S的最大值及相应的值．
【答案】解：过点B作于M，
则，，
设平行四边形OABC的面积为S，
则
，
即，，
因为，所以，
所以所以当，即时，S的值最大为．
即S的最大值是，相应的值是．
【解析】过点B作于M，则，，，即可表示平行四边形的面积，
根据三角形的性质即可求求出面积的最值．
本题主要考查两角和差的正弦、余弦公式的应用，二倍角公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．
16.阅读下面材料：
解答下列问题：
证明：；
若函数在上有零点，求实数m的取值范围．
【答案】解：证明：
，
即．
，
令，，，，，
又，，
，，
令得，在上单调递增可用导数证明，
，
，．
【解析】仿照的公式推导；
利用，的公式化简，再换元，令，得，令得，转化为求函数值域可得．
本题考查了两角和与差的三角函数，属中档题．。
2018-2019学年广东省广州市高一上学期期末考试数学试卷及答案解析
2018-2019学年广东省广州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合U＝{x∈N|0＜x＜7}，A＝{2，5}，B＝{1，3，5}，则（∁U A）∩B＝（）A．{5}B．{1，5}C．{2，5}D．{1，3}2．下列函数中，是奇函数且在定义域内为单调函数的是（）A．y＝x2 B．y＝lnx C．y＝x3D．y＝3．某地一所中学在校初中学生人数是在校高中学生人数的2倍，教务处对在校初中和在校高中男女生的人数分别进行了统计，得到如下扇形统计图，则全校在校男生的人数是（）A．1700B．1750C．1800D．18504．已知向量＝（2，m），＝（3，1），若∥，则实数m的值为（）A．B．C．D．5．直线l1：x+ay+2＝0与l2：x+3y+a﹣2＝0平行，则a的值等于（）A．﹣1或3B．1C．3D．﹣16．现有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2，3，4”，第二组卡片上分别写有数字“3，4，5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为（）A．B．C．D．7．一个圆锥的表面积为5π，它的侧面展开图是圆心角为90°的扇形，该圆锥的母线长为（）A．B．4C．D．8．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合．若点（a，3a）（a≠0）是角α终边上一点，则＝（）A．﹣2B．C．D．29．设函数f（x）＝，则f（﹣2）+f（log212）＝（）A．3B．6C．9D．1210．将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g （x）的图象，若函数y＝g（x）为偶函数，则函数y＝f（x）在的值域为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，1]C．D．11．若⊙O1：x2+y2＝5与⊙O2：（x﹣m）2+y2＝20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是（）A．1B．2C．3D．412．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）＝f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18，若函数y＝f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．函数的定义域为．14．若向量＝（x+1，2）和向量＝（1，﹣2）垂直，则＝．15．已知P，A，B，C是球O的球面上的四个点，P A⊥平面ABC，P A＝2BC＝6，AB⊥AC，则该球的半径为．16．已知a，b，c是△ABC的三边，其面积S＝（b2+c2﹣a2），角A的大小是．三、解答题：本大题共6小题，共70分17．（10分）已知函数f（x）＝sin x+sin（x+）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若f（A）＝，求sin2A的值．18．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝a sin C﹣c cos A．（1）求A；（2）若a＝1，△ABC的面积为，求b，c．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝1，PC＝PD＝，E为PB中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求证：PD⊥平面PBC；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．20．（12分）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a（单位：万元）满足P＝3，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足Q＝，设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）求f（x）及定义域；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2＝4，M点的坐标为（3，﹣3）．（1）求过点M且与圆C相切的直线方程；（2）过点M任作一条直线l与圆C交于不同两点A，B，且圆C交x轴正半轴于点P，求证：直线P A与PB的斜率之和为定值．22．（12分）已知f（x）＝log2（4x+1）﹣kx（k∈R）为偶函数．（1）求k的值；（2）设h（x）＝log2（b•2x﹣b），若函数f（x）与h（x）的图象只有一个公共点，求实数b的取值范围．2018-2019学年广东省广州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合U＝{x∈N|0＜x＜7}，A＝{2，5}，B＝{1，3，5}，则（∁U A）∩B＝（）A．{5}B．{1，5}C．{2，5}D．{1，3}【分析】根据集合补集交集的定义进行求解即可．【解答】解：U＝{x∈N|0＜x＜7}＝{1，2，3，4，5，6}，则∁U A＝{1，3，4，6}，则（∁U A）∩B＝{1，3}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，结合补集交集的定义是解决本题的关键．比较基础．2．下列函数中，是奇函数且在定义域内为单调函数的是（）A．y＝x2 B．y＝lnx C．y＝x3D．y＝【分析】根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）的奇偶性及单调性．【解答】解：结合选项可知，y＝lnx为非奇非偶函数，不符合题意，y＝x2为偶函数，不符合题意，y＝为奇函数，但是在定义域内不是单调函数，不符合题意．故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，根据定义法是解决本题的关键．3．某地一所中学在校初中学生人数是在校高中学生人数的2倍，教务处对在校初中和在校高中男女生的人数分别进行了统计，得到如下扇形统计图，则全校在校男生的人数是（）A．1700B．1750C．1800D．1850【分析】由扇形统计图先求出高中生在校生男生数，再由扇形统计图求出初中生在校生男生数，由此能求出全校在校男生的人数．【解答】解：由题意得高中生在校生男生数为：＝600，∴初中生在校生男生数为：2（400+600）×55%＝1100，∴全校在校男生的人数是1100+600＝1700．故选：A．【点评】本题考查全校在校男生人数的求法，考查扇形统计图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知向量＝（2，m），＝（3，1），若∥，则实数m的值为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用两个向量平行的性质，两个向量坐标形式的运算法则，求得m的值．【解答】解：∵向量＝（2，m），＝（3，1），若∥，则＝，求出m＝，故选：C．【点评】本题主要考查两个向量平行的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．5．直线l1：x+ay+2＝0与l2：x+3y+a﹣2＝0平行，则a的值等于（）A．﹣1或3B．1C．3D．﹣1【分析】由a﹣3＝0，解得a．经过验证即可得出．【解答】解：由a﹣3＝0，解得a＝3．经过验证两条直线平行．故选：C．【点评】本题考查了两条直线平行与斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．现有两组卡片，第一组卡片上分别写有数字“2，3，4”，第二组卡片上分别写有数字“3，4，5”，现从每组卡片中各随机抽出一张，用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字，差为负数的概率为（）A．B．C．D．【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出差为负数的情况数，即可求出所求的概率．【解答】解：列表得：所有等可能的情况有9种，其中差为负数的情况有6种，则P＝＝．故选：D．【点评】此题考查了列表法与树状图法，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．7．一个圆锥的表面积为5π，它的侧面展开图是圆心角为90°的扇形，该圆锥的母线长为（）A．B．4C．D．【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，利用圆锥的表面积公式和侧面展开图，求出圆锥的底面圆半径和母线长．【解答】解：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，∵它的侧面展开图是圆心角为90°的扇形，∴2πr＝•2πl，∴l＝4r，又圆锥的表面积为5π，∴πr2+πr•4r＝5π，解得r＝1，∴母线长为l＝4r＝4．故选：B．【点评】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，是基础题．8．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合．若点（a，3a）（a≠0）是角α终边上一点，则＝（）A．﹣2B．C．D．2【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义求得tanα的值，再利用两角差的正切公式，求得的值．【解答】解∵：点（a，3a）（a≠0）是角α终边上一点，∴tanα＝＝3，则＝＝﹣，故选：B．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角差的正切公式，属于基础题．9．设函数f（x）＝，则f（﹣2）+f（log212）＝（）A．3B．6C．9D．12【分析】先求f（﹣2）＝1+log2（2+2）＝1+2＝3，再由对数恒等式，求得f（log212）＝6，进而得到所求和．【解答】解：函数f（x）＝，即有f（﹣2）＝1+log2（2+2）＝1+2＝3，f（log212）＝＝×＝12×＝6，则有f（﹣2）+f（log212）＝3+6＝9．故选：C．【点评】本题考查分段函数的求值，主要考查对数的运算性质，属于基础题．10．将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g （x）的图象，若函数y＝g（x）为偶函数，则函数y＝f（x）在的值域为（）A．[﹣1，2]B．[﹣1，1]C．D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律得到g（x）的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数y＝f（x）在的值域．【解答】解：将函数f（x）＝2sin（2x+φ）（0＜φ＜π）的图象向左平移个单位后得到函数y＝g（x）＝2sin（2x++φ）的图象，若函数y＝g（x）为偶函数，则+φ＝，∴φ＝，故函数f（x）＝2sin（2x+）．∵x∈，2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[﹣，1]，2sin（2x+）∈[﹣1，2]，则函数y＝f（x）在的值域为[﹣1，2]，故选：A．【点评】本题主要考查函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．11．若⊙O1：x2+y2＝5与⊙O2：（x﹣m）2+y2＝20（m∈R）相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长是（）A．1B．2C．3D．4【分析】由题意画出已知两个圆的图象，利用圆的性质可以得到两切线互相垂直时应该过对方的圆心，再利用直角三角形进行求解．【解答】解：由题意做出图形分析得：由圆的几何性质两圆在点A处的切线互相垂直，且过对方圆心O2O1．则在Rt△O2AO1中，|O1A|＝|O2A|＝，斜边上的高为半弦，用等积法易得：⇒|AB|＝4．故选：D．【点评】此题重点考查了学生对于圆及题意的理解，还考查了圆的切线性质及直角三角形的求解线段长度的等面积的方法．12．定义域为R的偶函数f（x）满足对∀x∈R，有f（x+2）＝f（x）+f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18，若函数y＝f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则a的取值范围是（）A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）【分析】由题意可得函数f（x）的周期为2，当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18，令g（x）＝log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点，画出图形，数形结合，根据g（2）＞f（2），求得a的取值范围．【解答】解：∵f（x+2）＝f（x）﹣f（1），且f（x）是定义域为R的偶函数，令x＝﹣1可得f（﹣1+2）＝f（﹣1）﹣f（1），又f（﹣1）＝f（1），可得f（1）＝0 则有，f（x+2）＝f（x），∴f（x）是周期为2的偶函数．当x∈[2，3]时，f（x）＝﹣2x2+12x﹣18＝﹣2（x﹣3）2，函数f（x）的图象为开口向下、顶点为（3，0）的抛物线．∵函数y＝f（x）﹣log a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，令g（x）＝log a（x+1），则f（x）的图象和g（x）的图象至少有3个交点．作出函数的图象，如图所示，∵f（x）≤0，∴g（x）≤0，可得0＜a＜1．要使函数y＝f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至少有三个零点，则有g（2）＞f（2），即log a（2+1）＞f（2）＝﹣2，∴log a3＞﹣2，∴3＜，解得﹣＜a＜．又a＞0，∴0＜a＜，故选：B．【点评】本题主要考查函数周期性及其应用，解题的过程中用到了数形结合的方法，这也是高考常考的热点问题，属于中档题．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．函数的定义域为[3，+∞）．【分析】根据二次根式以及对数函数的性质求出函数的定义域即可．【解答】解：由题意得：log3x﹣1≥0，解得：x≥3，故函数的定义域是[3，+∞），故答案为：[3，+∞）．【点评】本题考查了求函数的定义域问题，考查二次根式以及对数函数的性质，是一道基础题．14．若向量＝（x+1，2）和向量＝（1，﹣2）垂直，则＝5．【分析】由向量＝（x+1，2）和向量＝（1，﹣2）垂直，解得x＝3，从而＝（3，4），由此能求出|﹣|的值．【解答】解：∵向量＝（x+1，2）和向量＝（1，﹣2）垂直，∴＝x+1﹣4＝0，解得x＝3，∴＝（3，4），∴|﹣|＝＝5．故答案为：5．【点评】本题考查向量的模的求法，考查向量的运算法则、向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．已知P，A，B，C是球O的球面上的四个点，P A⊥平面ABC，P A＝2BC＝6，AB⊥AC，则该球的半径为．【分析】首先求出球心，进一步确定球的半径．【解答】解：已知P，A，B，C是球O的球面上的四个点，P A⊥平面ABC，P A＝2BC＝6，AB⊥AC，如图所示：则AD＝，OD＝，所以，解得：r＝故答案为：【点评】本题考查的知识要点：球的球心的确定，球的半径的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16．已知a，b，c是△ABC的三边，其面积S＝（b2+c2﹣a2），角A的大小是．【分析】由S＝（b2+c2﹣a2），得bc sin A＝（b2+c2﹣a2），利用余弦定理及同角三角函数的关系可求得tan A＝1，由A的范围可求A．【解答】解：∵S＝（b2+c2﹣a2），即bc sin A＝（b2+c2﹣a2）＝×2bc cos A，∴tan A＝＝，由A为三角形的内角，∴A＝，故答案为：．【点评】该题考查三角形的面积公式、余弦定理，属基础题，准确记忆公式并灵活运用是解题关键．三、解答题：本大题共6小题，共70分17．（10分）已知函数f（x）＝sin x+sin（x+）．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若f（A）＝，求sin2A的值．【分析】（1）直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出结果．（2）利用三角函数关系式的变换的应用求出结果．【解答】解：（1）函数f（x）＝sin x+sin（x+）＝sin x+cos x＝．所以函数的最小正周期为，（2）由于f（A）＝，所以sin A+cos A＝，所以，解得sin2A＝﹣1+．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18．（12分）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝a sin C﹣c cos A．（1）求A；（2）若a＝1，△ABC的面积为，求b，c．【分析】（1）由已知结合正弦定理可得sin C＝sin A sin C﹣sin C cos A，又sin C≠0，利用三角函数恒等变换的应用可得sin（A﹣）＝，结合A的范围，即可得解A的值．（2）由已知利用三角形面积公式可求bc＝1，利用余弦定理可求得b+c＝2，联立方程即可得解b，c的值．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由已知结合正弦定理可得sin C＝sin A sin C﹣sin C cos A，…（2分）∵sin C≠0，∴1＝sin A﹣cos A＝2sin（A﹣），即sin（A﹣）＝，…（4分）又∵A∈（0，π），∴A﹣∈（﹣，），∴A﹣＝，∴A＝，…（6分）（2）S＝bc sin A，即＝bc•，∴bc＝1，①…（7分）又∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝（b+c）2﹣2bc﹣2bc cos，即1＝（b+c）2﹣3，且b，c为正数，∴b+c＝2，②…（10分）由①②两式解得b＝c＝1．…（12分）【点评】本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB＝2，BC＝1，PC＝PD＝，E为PB中点．（1）求证：PD∥平面ACE；（2）求证：PD⊥平面PBC；（3）求三棱锥E﹣ABC的体积．【分析】（1）连结BD交AC于点F，连结EF，由中位线定理可得EF∥PD，故而PD∥平面ACE；（2）证明BC⊥平面PCD可得PD⊥BC，利用勾股定理可得PD⊥PC，故而PD⊥平面PBC；（3）作PM⊥CD，可证PM⊥平面ABCD，于是V E﹣ABC＝V P﹣ABC，则三棱锥E﹣ABC 的体积可求．【解答】（1）证明：连结BD交AC于点F，连结EF．∵底面ABCD是矩形，∴F为BD中点．又∵E为PB中点，∴EF∥PD．∵PD⊄平面ACE，EF⊂平面ACE，∴PD∥平面ACE；（2）证明：∵底面ABCD为矩形，∴BC⊥CD．又∵平面PCD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴BC⊥平面PCD．∵PD⊂平面PCD，∴BC⊥PD．∵PC＝PD＝，∴PC2+PD2＝CD2，即PD⊥PC．∵BC∩PC＝C，BC，PC⊂平面PBC，∴PD⊥平面PBC；（3）解：取CD的中点M，连接PM．∵PC＝PD＝，CD＝AB＝2，M是CD的中点，∴PM⊥CD，且PM＝1，∵平面PCD⊥平面ABCD，PM⊂平面PCD，平面PCD∩平面ABCD＝CD，∴PM⊥平面ABCD，∵E是PB的中点，∴V E﹣ABC＝V P﹣ABC＝×．故三棱锥E﹣ABC的体积为．【点评】本题考查了线面平行，线面垂直的判定，考查棱锥的体积计算，属于中档题．20．（12分）近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元，根据行业规定，每个城市至少要投资40万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a（单位：万元）满足P＝3，乙城市收益Q与投入a（单位：万元）满足Q＝，设甲城市的投入为x（单位：万元），两个城市的总收益为f（x）（单位：万元）．（1）求f（x）及定义域；（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？【分析】（1）由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资120﹣x万元，f（x）＝3﹣6+（120﹣x）+2，即可得出．（2）令t＝，则t∈[2，4]．y＝﹣t2+3t+26＝﹣+44．利用二次函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）由题知，甲城市投资x万元，乙城市投资120﹣x万元．∴f（x）＝3﹣6+（120﹣x）+2＝﹣x+3+26，依题意得，解得40≤x≤80．故f（x）＝﹣＝﹣x+3+26，（40≤x≤80）．（2）令t＝，则t∈[2，4]．∴y＝﹣t2+3t+26＝﹣+44．当t＝6，即x＝72万元时，y的最大值为44万元∴当甲城市投资72万元，乙城市投资48万元时，总收益最大，且最大收益为44万元．【点评】本题考查了函数模型、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为（x﹣1）2+y2＝4，M点的坐标为（3，﹣3）．（1）求过点M且与圆C相切的直线方程；（2）过点M任作一条直线l与圆C交于不同两点A，B，且圆C交x轴正半轴于点P，求证：直线P A与PB的斜率之和为定值．【分析】（1）设出直线的方程后，利用直线与圆相切等价于圆心到直线的距离等于半径可解得；（2）设直线方程与圆的方程联立消去y并整理得关于x的一元二次方程，由韦达定理及斜率公式可得斜率之和为定值．【解答】解：（1）当直线l的斜率不存在时，显然直线x＝3与圆C相切，当直线l的斜率存在时，设切线方程为：y+3＝m（x﹣3），圆心到直线的距离等于半径＝2，解得m＝﹣，切线方程为：5x+12y+21＝0，综上，过点M（3，﹣3）且与圆C相切的直线方程为：x＝3或5x+12y+21＝0．（2）圆C：（x﹣1）2+y2＝4与x轴正半轴的交点为P（3，0），依题意可得直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB：y+3＝k（x﹣3），代入圆C：（x﹣1）2+y2＝4＝整理得：（1+k2）x2﹣2（3k2+3k+1）x+9（k+1）2﹣3＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），且P（3，0），∴x1+x2＝，x1x2＝，∴直线P A和PB的斜率之和为：k P A+k PB＝+＝+＝k﹣+k﹣＝2k﹣3（+）＝2k﹣3×＝2k﹣3×＝2k﹣3×＝2k﹣3×＝2k﹣＝2k﹣2k+＝．【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，属中档题．22．（12分）已知f（x）＝log2（4x+1）﹣kx（k∈R）为偶函数．（1）求k的值；（2）设h（x）＝log2（b•2x﹣b），若函数f（x）与h（x）的图象只有一个公共点，求实数b的取值范围．【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程关系即可求k的值；（2）根据函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即可得到结论．【解答】解（1）∵函数f（x）＝log4（4x+1）+kx（k∈R））是偶函数∴f（﹣x）＝log4（4﹣x+1）﹣kx）＝log4（）﹣kx＝log4（4x+1）+kx（k∈R）恒成立∴﹣（k+1）＝k，则k＝．（2）g（x）＝log4（b•2x﹣b），函数f（x）与g（x）的图象有且只有一个公共点，即方程f（x）＝g（x）只有一个解由已知得log4（4x+1）x＝log4（b•2x﹣b），∴log4（）＝log4（b•2x﹣b），方程等价于，设2x＝t，t＞0，则（b﹣1）t2﹣﹣1＝0有一解若b﹣1＞0，设h（t）＝（b﹣1）t2﹣﹣1，∵h（0）＝﹣1＜0，∴恰好有一正解∴b＞1满足题意若b﹣1＝0，即a＝1时，h（t）＝﹣﹣1，由h（t）＝0，得t＝﹣＜0，不满足题意若b﹣1＜0，即b＜1时，由，得b＝﹣3或b＝，当b＝﹣3时，t＝满足题意当b＝时，t＝﹣2（舍去）综上所述实数a的取值范围是{b|b＞1或a＝﹣3}．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及对数的基本运算，考查学生的运算能力，综合性较强．。
2019-2020学年广东省广州市越秀区高一(上)期末数学试卷 (解析版)
15．已知集合A＝{x|（ ）x＜9}，B＝{x|log2x＜0}，则A∩B＝．
16．已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x+π）＝2f（x），且当x∈[0，π]时，f（x）＝sinx．若对任意的x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≤2，则实数m的取值范围是．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
解：当x∈[0，π]时，f（x）＝sinx；
当x∈（π，2π]时，x﹣π∈（0，π]，
当x∈（2π，5π]时，x﹣π∈（π，2π]，
当当x∈（﹣π，0]时，x+π∈（0，π]，
则f（x）＝ f（x+π）＝﹣ sinx；
函数f（x）的图象如图所示：
若对任意的x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≤2，
故答案为：（﹣∞， ]．
19．已知平面非零向量 ， 的夹角是 π．
（1）若| |＝1，| +2 |＝ ，求| |；
（2）若 ＝（2，0）， ＝（t， ），求t的值，并求与 ﹣ 共线的单位向量 的坐标．
20．如图，在扇形OAB中，∠AOB＝ ，半径OA＝2．在弧 上取一点C，向半径OA、OB分别作垂线，与线段OA、OB分别相交于D、E，得到一个四边形CDOE．
A．0B． C． D．
解：函数f（x）＝cos2x﹣sin2x＝ ，函数的图象向左平移a个单位得到g（x）＝ ，
得到的函数为奇函数，则 （k∈Z），整理得 （k∈Z），
函数的图象向右平移b个单位得到h（x）＝ ，由于得到的函数的图象为偶函数，
当k＝8时， （b＞0），
故选：A．
9．已知平面向量 、 的夹角是60°，且| |＝1，| |＝2．点C满足 ＝2 ，则 ＝（ ）
【优质文档】2018-2019学年高一(上)期末数学试卷(含答案)
18．已知向量 =（ x，﹣ 1）， =（ x﹣2 ，3）， =（ 1﹣ 2x， 6）． （ 1）若 ⊥（ 2 + ），求 | | ； （ 2）若 ? ＜ 0，求 x 的取值范围．
2
19．已知函数 f（ x）=Asinx+cosx， A＞ 0． （ 1）若 A=1，求 f （ x）的单调递增区间；
．
22. 解： Ⅰ）若 a=1，则 f（ x）=
，
函数 f （ x）的图象如下图所示：
；
（Ⅱ）若 f（ x） ≥２﹣ x 对任意 x∈[1，2] 恒成立， 即 x2﹣ 4ax+3a2≥２﹣ x 对任意 x∈[1 ，2] 恒成立， 即 x2+（ 1﹣4 a） x+（3a2﹣ 2） ≥０对任意 x∈[1 ， 2]恒成立，
（ 2）函数 f（ x）在 x=x0 处取得最大值
，求 cosx0 的值．
20．已知 f （ x）是定义在 R上的偶函数，当 x ≥０时， f（ x） =xa（ a∈R），函数 f（ x）的图象经过点（ （ 1）求函数 f （ x）的解析式； （ 2）解不等式 f （ x2）﹣ f（﹣ x2+x﹣ 1）＞ 0．
4， 2）．
3
21．已知向量 =（ sinx ，﹣ 1）， =（ cosx ， m），m∈ R．
（ 1）若 m= ，且 ∥ ，求
的值；
（ 2）已知函数 f （ x） =2（ + ） ? ﹣2m2﹣ 1，若函数 f（ x）在 [ 0， ] 上有零点，求 m 的取值范围．
22. 设函数 f （ x） =
由 y=x2+（ 1﹣ 4a） x+（ 3a2﹣ 2）的图象是开口朝上，且以直线 x=
为对称轴的抛物线，
2018-2019学年广东省广州市执信中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年广东省广州市执信中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．sin （﹣300°）的值是（ ） A ．12B ．12-C 3D ．3 【答案】C【解析】根据诱导公式()sin 2sin απα+=转化成特殊角三角函数值解之． 【详解】()()3sin 300sin 360300sin 60︒︒︒︒-=-==. 故选：C. 【点睛】本题考查诱导公式及特殊角三角函数值，可按照“负角化正角，大角化小角”的原则化简求值． 2．设a ＝30.1，b ＝lg 5﹣lg 2，3910c log =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．b ＞c ＞a B ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．a ＞b ＞c【答案】D【解析】利用指数与对数函数的单调性即可得出． 【详解】0.131a =>，50lg5lg 2lg12b <=-=<，39log 010c =<， 所以a b c >>. 故选：D. 【点睛】本题考查了指数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．3．已知函数f （x ）010sinx x x x≤⎧⎪=⎨⎪⎩，，＞，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）是周期函数B ．f （x ）是奇函数C ．f （x ）在（0，+∞）是增函数D ．f （x ）的值域为[﹣1，+∞）【答案】D【解析】根据分段函数的表达式即可判断函数的性质，注意运用定义和常见函数的性质．【详解】当0x ≤时，函数具备周期性，当0x >时，函数单调递减，函数不具备周期性，故A 错误；若()11f =，()1sin1f -=-，则()()11f f ≠--，且()()11f f ≠-，即函数()f x 为非奇非偶函数，故B 错误；当0x >时，函数单调递减，故C 错误；当0x ≤时，1sin 1x -≤≤，当0x >时，0x →时，()f x →+∞，x →+∞时，()0f x →， 综上，()1f x ≥-，即()f x 的值域为[)1,-+∞，故D 正确. 故选：D. 【点睛】本题主要考查函数的性质：奇偶性和单调性、周期性及函数的值域，属于基础题． 4．函数y ＝cos 2α﹣sinα+1的值域是（ ） A ．904⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．[0，2]C ．514⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．R【答案】A【解析】令sin t α=，则函数化成()22191124y t t t ⎛⎫=--+=-++ ⎪⎝⎭，其中[]1,1t ∈-，然后根据二次函数在闭区间上的最值，即可求出函数的值域. 【详解】设sin t α=，则22cos 1t α=-，()22219cos sin 11124y t t t αα⎛⎫∴=-+=--+=-++ ⎪⎝⎭，[]sin 1,1t α=∈-Q ，∴当12t =-时，max 94y =；当1t =时，min 0y =，因此，函数2cos sin 1y αα=-+的值域是90,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：A. 【点睛】本题给出含有三角函数式的“类二次”函数，求函数的值域，着重考查了三角函数的最值和二次函数在闭区间上的值域等知识，属于中档题． 5．已知幂函数22122()m m y m m x+-=--在(0,)+∞上单调递增，则实数m 的值为（ ）A ．1-B ．3C ．1-或3D ．1或3-【答案】B【解析】根据幂函数的定义与性质，列方程求出m 的值，再判断m 是否满足条件． 【详解】幂函数y=()22122m m m m x +---在（0，+∞）单调递增，∴m 2﹣2m ﹣2=1， 解得m=3或m=﹣1； 又m 2+m ﹣1＞0， ∴m=3时满足条件， 则实数m 的值为3． 故选B ． 【点睛】本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题． 6．函数如何平移可以得到函数图象（ ）A ．向左平移B ．向右平移C ．向左平移D ．向右平移 【答案】D 【解析】因为所以是由向右平移个单位得到的。
2018-2019学年广东省广州市天河区高一(上)期末数学试卷
2018-2019学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．（5分）设全集U＝{1，2，3，4}，集合S＝{1，3}，T＝{4}，则（∁U S）∪T等于（）A．{2，4}B．{4}C．∅D．{1，3，4} 2．（5分）已知向量＝（x，1），＝（1，﹣2），若∥，则＝（）A．（）B．（）C．（3，﹣1）D．（3，1）3．（5分）已知函数f（x）＝，则f（f（））的值是（）A．﹣B．﹣9C．D．94．（5分）设a＝（），b＝，c＝log2，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b5．（5分）函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点一定位于下列哪个区间（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（5，6）6．（5分）已知角α的终边经过点P（﹣4，3），则的值等于（）A．﹣B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象（部分）如图所示，则f（x）的解析式是（）A．f（x）＝2sin（πx+）B．f（x）＝2sin（2πx+）C．f（x）＝2sin（πx+）D．f（x）＝2sin（2πx+）8．（5分）若两个非零向量，满足||＝2||＝2，||＝3，则，的夹角是（）A．B．C．D．π9．（5分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积＝×（弦×矢+矢2），弧田（如图）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为，弧长为4π米的弧，按上述经公式计算（ 1.73），所得弧田面积约是（）A．16平方米B．18平方米C．20平方米D．25平方米10．（5分）偶函数f（x）（x∈R）满足：f（﹣5）＝f（2）＝0，且在区间[0，3]与[3，+∞）上分别递减和递增，则不等式x•f（x）＜0的解集为（）A．（﹣∞，﹣5）∪（﹣2，2）∪（5，+∞）B．（﹣∞，﹣5）∪（﹣2，0）∪（2，5）C．（﹣5．﹣2）∪（2，5）D．（﹣5，﹣2）∪（0，2）∪（5，+∞）11．（5分）已知锐角α满足cos（）＝cos2α，则tan2α＝（）A．B．C．D．12．（5分）如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为AB、AD上的点，且＝，＝，连接AC、MN交于P点，若＝λ，则λ的值为（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13．（5分）函数f（x）＝+lg（x+1）的定义域是．14．（5分）已知cos（θ+π）＝﹣，则sin（2θ+）＝．15．（5分）已知函数f（x）＝，g（x）＝f（x）+x+a，若g（x）存在2个零点，则实数a取值范围是．16．（5分）函数f（x）＝2sin（2x﹣）的图象为C，如下结论中正确的是．①图象C关于直线x＝对称；②图象C关于点（，0）对称；③函数f（x）在区间（）内是增函数；④由y＝2sin2x图象向右平移个单位长度可以得到图象C．三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知向量＝（1，0），＝（1，1）．（1）若||＝2，且⊥，求向量的坐标；（2）若＝2，＝+m，且A、B、C三点共线，求实数m的值．18．（12分）已知函数f（x）＝是定义在R上的奇函数，且f（2）＝．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在区间（0，1）上的单调性，并用定义法证明．19．（12分）已知函数f（x）＝2sin（）．（1）求函数f（x）的最小正周期及单调递减区间；（2）先列表，并用描点法作出函数f（x）在[0，4π]上的简图．20．（12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知两类产品各投资1万元时的收益分别为0.125万元和0.5万元，如图：（Ⅰ）分别写出两类产品的收益y（万元）与投资额x（万元）的函数关系；（Ⅱ）该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？21．（12分）已知＝（2cos x，1），＝（sin x+cos x，﹣1），函数f（x）＝．（1）求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值；（2）若f（x0）＝，x0∈[]，求cos2x0的值；（3）若函数y＝f（ωx）在区间（）上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．22．（12分）已知函数g（x）＝ax2﹣2ax+1+b（a＞0）在区间[﹣1，1]上有最大值4和最小值0．设f（x）＝．（1）求实数a，b的值；（2）若不等式f（x）﹣k•x≥0在x∈（0，+∞）上恒成立，求实数k的取值范围；（3）若f（|2x﹣1|）+k•﹣3k＝0有三个不同的实数解，求实数k的取值范围．2018-2019学年广东省广州市天河区高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．【解答】解：∵全集U＝{1，2，3，4}，集合S＝{l，3}，T＝{4}，∴（∁U S）∪T＝{2，4}∪{4}＝{2，4}．故选：A．2．【解答】解：∵；∴﹣2x﹣1＝0；∴；∴；∴．故选：A．3．【解答】解：∵函数f（x）＝，∴f（）＝＝﹣2，f（f（））＝f（﹣2）＝．故选：C．4．【解答】解：∵a＝（）∈（0，1），b＝＞1，c＝log2＜0，则c＜a＜b．故选：D．5．【解答】解：∵函数f（x）＝lnx+2x﹣6f（1）＝﹣4＜0，f（2）＝ln2﹣4＜0f（3）＝ln3＞ln1＝0，∴f（2）f（3）＜0，∴函数的零点在（2，3）上，故选：B．6．【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣4，3），∴tanα＝﹣，则tan（α+）＝＝＝．故选：B．7．【解答】解：∵根据图象判断：周期T＝4×（﹣）＝2，A＝2，∴ω＝＝π，∵2sin（π+φ）＝2，∴π+φ＝2kπ+，k∈z，∴φ＝2kπ+，k∈z，∵|φ|＜，∴φ＝．∴f（x）＝2sin（πx+）故选：A．8．【解答】解：根据题意，设，的夹角是θ，又由||＝2||＝2，且||＝3，则（）2＝2+4•+42＝9，即1+4（1×2cosθ）+16＝9，解可得cosθ＝﹣1，则θ＝π；故选：D．9．【解答】解：如图，由题意可得：∠AOB＝，弧长为4π米，∴OA＝＝6在Rt△AOD中，可得：∠AOD＝，∠DAO＝，OD＝AO＝×6＝3，可得：矢＝6﹣3＝3，由AD＝AO•sin＝6×＝3，可得：弦＝2AD＝2×3＝6，所以：弧田面积＝（弦×矢+矢2）＝（6×3+32）＝9+4.5≈20平方米．故选：C．10．【解答】解：根据题意，x•f（x）＜0⇒或，等价于求函数y＝f（x）的图象在第二、四象限时x的取值范围．又由偶函数f（x）（x∈R）满足f（﹣5）＝f（2）＝0，则f（5）＝f（﹣2）＝f（﹣5）＝f（2）＝0，且f（x）在区间[0，3]与[3，+∞）上分别递减与递增，其草图为：即x∈（2，5）函数图象位于第四象限，x∈（﹣∞，﹣5）∪（﹣2，0）函数图象位于第二象限．综上：x•f（x）＜0的解集为：（﹣∞，﹣5）∪（﹣2，0）∪（2，5），故选：B．11．【解答】解：∵锐角α满足cos（）＝cos2α，∴cosα+sinα＝cos2α﹣sin2α，∴cosα﹣sinα＝，平方可得1﹣sin2α＝，sin2α＝．∵cosα＞sinα，∴0＜α＜，∴2α还是锐角，故cos2α＝＝，则tan2α＝＝，故选：C．12．【解答】解：∵＝，＝，连∴＝λ＝λ（+）＝λ（+）＝λ+λ，∵三点M，N，P共线．∴λ+λ＝1，∴λ＝，故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分)13．【解答】解：由题意，可令，解得﹣1＜x≤1，∴函数f（x）＝+lg（x+1）的定义域是（﹣1，1]故答案为：（﹣1，1]．14．【解答】解：∵cos（θ+π）＝﹣，∴cosθ＝，∴sin（2θ+）＝cos2θ＝2cos2θ﹣1＝﹣1＝﹣，故答案为：﹣15．【解答】解：由g（x）＝0得f（x）＝﹣x﹣a，作出函数f（x）和y＝﹣x﹣a的图象如图：当直线y＝﹣x﹣a的截距﹣a≤1，即a≥﹣1时，两个函数的图象都有2个交点，即函数g（x）存在2个零点，故实数a的取值范围是[﹣1，+∞），故答案为：[﹣1，+∞）．16．【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x﹣），由f（）＝2sin＝﹣2，为最小值，可得图象C关于直线x＝对称，故①正确；由f（）＝2sinπ＝0，图象C关于点（，0）对称，故②正确；由x∈（），可得2x﹣∈（﹣，），即有f（x）在区间（）内是增函数，故③正确；由y＝2sin2x图象向右平移个单位长度可以得到y＝2sin2（x﹣）的图象，故④错误．故答案为：①②③．三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．【解答】解：（1）设；∵，且；∴①，x2+y2＝8②；①②联立得，，或；∴；（2），；∵A、B、C三点共线；∴；∴m+1+m＝0；∴．18．【解答】解：（1）根据题意，函数f（x）＝是定义在R上的奇函数，则f（0）＝＝0，则n＝0，又由f（2）＝，则f（2）＝＝，解可得m＝1，则f（x）＝，（2）由（1）的结论，f（x）＝在（0，1）上为增函数，证明：0＜x1＜x2＜1，则f（x1）﹣f（x2）＝﹣＝又由0＜x1＜x2＜1，则（x1﹣x2）＜0，（1﹣x1x2）＞0，则有f（x1）﹣f（x2）＜0，则函数f（x）在（0，1）上为增函数．19．【解答】（本题满分为12分）解：（1）f（x）的最小正周期为T＝＝4π；…（4分）令+2kπ≤≤+2kπ，k∈Z，解得：+4kπ≤x≤+4kπ，k∈Z，可得单调递减区间为：[+4kπ，+4kπ]，k∈Z．（2）列表如下：x﹣0π2πy020﹣2 0连线成图如下：20．【解答】解：（Ⅰ）投资债券类稳健型产品的收益满足函数：y＝kx（x＞0），由题知，当x＝1时，y＝0.125，则k＝0.125，即y＝0.125x，投资股票类风险型产品的收益满足函数：（x＞0），由题知，当x＝1时，y＝0.5，则k＝0.5，即，（Ⅱ）设投资债券类稳健型产品x万元（0≤x≤20），则投资股票类风险型产品20﹣x万元，由题知总收益（0≤x≤20），令（），则x＝20﹣t2，，当t＝2，即x＝16时，y max＝3（万元）答：投资债券类稳健型产品16万元，投资股票类风险型产品4万元，此时受益最大为3万元．21．【解答】解：∵＝（2cos x，1），＝（sin x+cos x，﹣1），∴f（x）＝＝2cos x（sin x+cos x）﹣1＝2sin x cos x+2cos2x﹣1＝＝2sin（2x+）（1）∵x∈[0，]，∴，∴﹣，∴函数f（x）在区间[0，]上的最大值2，最小值﹣1；（2）若f（x0）＝，则2sin（2x0+）＝，∴sin（2x0+）＝，∵x0∈[]，∴cos（2x0+）＝﹣，∴cos2x0＝cos[（2x0+）﹣]＝＝＝（3）∵y＝f（ωx）＝2sin（2ωx+），令﹣≤2ωx+，k∈z，可得，令k＝0可得，，∵y＝f（ωx）＝2sin（2ωx+），在区间（）上是单调递增函数，∴解可得，0＜ω≤．令k＝1可得，，∵y＝f（ωx）＝2sin（2ωx+），在区间（）上是单调递增函数，∴，此时ω不存在，经检验，k≤﹣1时，k≥2时，不符合题意，故0＜ω≤．22．【解答】解：（1）函数g（x）＝ax2﹣2ax+b+1＝a（x﹣1）2+1+b﹣a，因为a＞0，所以g（x）在区间[﹣1，1]上是减函数，故g（﹣1）＝3a+b+1＝4，g（1）＝1+b﹣a＝0，解得a＝1，b＝0；（2）由f（x）﹣k•x≥0即为x2﹣2x+1﹣kx2≥0，即为k≤（﹣1）2在x＞0恒成立，由（﹣1）2≥0，当且仅当x＝1时取得最小值0，所以k的取值范围是（﹣∞，0]；（3）方程f（|2x﹣1|）+k•﹣3k＝0可化为：|2x﹣1|2﹣（2+3k）|2x﹣1|+（1+2k）＝0，|2x﹣1|≠0，令|2x﹣1|＝t，则方程化为t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0（t≠0），∵方程f（|2k﹣1|）+k•﹣3k＝0有三个不同的实数解，∴由t＝|2x﹣1|的图象知，t2﹣（2+3k）t+（1+2k）＝0（t≠0），有两个根t1、t2，且0＜t1＜1＜t2或0＜t1＜1，t2＝1．记h（t）＝t2﹣（2+3k）t+（1+2k），则，或，∴k＞0．。
2018-2019学年广东省广州市荔湾区高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年广东省广州市荔湾区高一上学期期末数学试题一、单选题1．的值是A．B．C．D．【答案】B【解析】利用诱导公式把要求的式子化为，即，从而得到答案．【详解】，故选：B．【点睛】本题主要考查利用诱导公式化简求值，熟记诱导公式，准确计算是关键，属于基础题．2．三个数，，的大小顺序是A．B．C．D．【答案】A【解析】由指数函数和对数函数单调性得出范围，从而得出结果．【详解】，，；．故选：A．【点睛】本题考查指数函数和对数函数的单调性，熟记函数性质是解题的关键，是基础题3．设集合2，，若，则A．B．C．D．【答案】D【解析】由交集的定义可得1∈Ａ且1∈Ｂ，代入二次方程，求得m，再解二次方程可得集合B．【详解】解：集合A={1，2，4}，B={x|x2-4x+m=0}．若A∩B={1}，则1∈Ａ且1∈Ｂ，可得1-4+m=0，解得m=3，即有B={x|x2-4x+3=0}={1，3}．故选：D．【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题．4．在中，，则的值为A．B．C．D．2【答案】C【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和特殊角的三角函数的值求出结果．【详解】在中，，则，，，,故选：C．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换和特殊角三角函数的值的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．5．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看作时间的函数，其图象可能是( )【答案】A【解析】试题分析：汽车启动加速过程，随时间增加路程增加的越来越快，汉使图像是凹形，然后匀速运动，路程是均匀增加即函数图像是直线，最后减速并停止，其路程仍在增加，只是增加的越来越慢即函数图像是凸形．故选A．【考点】函数图像的特征．6．函数的图象沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能的值为A．B．C．0 D．【答案】B【解析】利用函数的图象变换可得新函数解析式，利用其为偶函数即可求得答案．【详解】令，则，为偶函数，，，，当时，．故的一个可能的值为．故选：B．【点睛】本题考查函数的图象变换，考查三角函数的奇偶性，熟记变换原则，准确计算是关键，属于中档题．7．已知，，，的夹角为，如图所示，若，，且D为BC中点，则的长度为A ．B ．C ．7D ．8【答案】A【解析】AD 为的中线，从而有，带入，根据长度进行数量积的运算便可得出的长度．【详解】根据条件：；．故选：A ．【点睛】本题考查模长公式，向量加法、减法及数乘运算，向量数量积的运算及计算公式，根据公式计算是关键，是基础题8．已知函数f(x)=若f （f （0））=4a ，则实数a 等于（）A ．B ．C ．2D ．9【答案】C 【解析】，选C.点睛：(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现的形式时，应从内到外依次求值.(2)求某条件下自变量的值，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.9．若函数,f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足xf xg x e ，则有（）A ．230f f g B ．032g f f C ．23f g f D ．23g f f 【答案】 D【解析】试题分析：函数,f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数,f x f x g x g x ，由2xf x gx得222xxxf x gxf xg xf xg x ，解方程组得2222,22xxxxf xg x，代入计算2,3,0f f g 比较大小可得023g f f 【考点】函数奇偶性及函数求解析式10．函数在单调递减，且为奇函数，若，则满足的的取值范围是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】是奇函数，故；又是增函数，，即则有，解得，故选 D.【点睛】解本题的关键是利用转化化归思想，结合奇函数的性质将问题转化为，再利用单调性继续转化为，从而求得正解. 11．已知函数，则的零点所在区间为A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据函数的零点判定定理可求．【详解】连续函数在上单调递增，，，的零点所在的区间为，故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数零点存在定理的应用，熟记定理是关键，属于基础试题．12．函数在区间上的最大值为2，则实数a 的值为A ．1或B ．C ．D ．1或【答案】A【解析】试题分析：因为，令，故，当时，在单调递减所以，此时，符合要求；当时，在单调递增，在单调递减故，解得舍去当时，在单调递增所以，解得，符合要求；综上可知或，故选 A.【考点】1.同角三角函数的基本关系式； 2.二次函数的最值问题； 3.分类讨论的思想.二、填空题13．计算______．【答案】11【解析】进行分数指数幂和对数式的运算即可．【详解】原式．故答案为：11．【点睛】本题考查对数式和分数指数幂的运算，熟记运算性质，准确计算是关键，是基础题. 14．设，，，则______．【答案】【解析】利用向量的坐标运算先求出的坐标，再利用向量的数量积公式求出的值．。
2019年广州市越秀区高一上学期期末测试
2018学年越秀区第一学期学业水平调研测试高一年级数学试卷注意事项：1．本试卷共4页，22小题，全卷满分150分，考试用时120分钟．2．所有试题答案必须写在答题卷指定区域的相应位置上，否则不给分．3．考生必须保持答题卷的整洁，考试结束后，将试卷与答题卷一并交回．一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．2．已知，，则角是（）A．第一象限B．第二象限C．第三详细D．第四象限3．已知幂函数的图象经过点，则的值为（）A．B．C．D．4．已知，则对于任意的，下列关系中成立的是（）A．B．C．D．5．设．．，．．，．．，则（）A．B．C．D．6．函数的零点所在的一个区间是（）A．B．C．D．7．函数的最小正周期是（）A．B．C．D．8．已知向量，，且，则的值是（）A．B．C．D．9．为了得到函数的图象，只需将函数的图像上所有点（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度10．已知是偶函数，且在上是减函数，若，则的取值范围是（）A．B．C．D．11．若一系列函数的解析式相同，值域相同但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么函数解析式为，值域为的“孪生函数”共有（）A．个B．个C．个D．个12．某建材商场国庆期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过元，不享受任何折扣；如果顾客购物总金额超过元，则超过元部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算：若某顾客在此商场获得的折扣金额为元，则此人购物实际所付金额为（）A．元B．元C．元D．元二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．13．已知扇形的圆心角为弧度，半径为，则该扇形的面积是__________．14．已知，则的值是__________．15．“无字证明”就是将数学命题或公式用简单、有创意而且易于理解的几何图形呈现出来．请根据右图写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：__________．16．如图，在直角梯形中，，，，．若，，则与的夹角的余弦值是__________．三、解答题：本大题共6小题，满分70分，解答须写出文字说明、证明过程和验算步骤．17．（本小题满分10分）已知向量，，．（1）若，求实数的值；（2）若向量满足，且，求向量．18．（本小题满分12分）设全集，集合，．（1）当时，求集合；（2）若，求实数的取值范围．19．（本小题满分12分）已知函数（，且）．（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性，并说明理由；（3）若，求的取值范围．20．（本小题满分12分）已知函数在上的图象上一个最高点为，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为．（1）求的解析式；（2）求的单调递减区间；（3）求在上的最小值．21．（本小题满分12分）如图，现要在一块半径为，圆心角为的扇形纸板上剪出一个平行四边形，使点在弧上，点在半径上，点在半径上．（1）求关于的函数关系式；（2）求的最大值及相应的值．22．（本小题满分12分）阅读下面材料：解答下列问题：（1）证明：；（2）若函数在上有零点，求实数的取值范围．。
2019-2020学年广东省广州市越秀区高一上学期期末考试数学试卷及答案解析
2019-2020学年广东省广州市越秀区高一上学期期末考试
数学试卷
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．已知集合A＝{x∈N|﹣1＜x＜4}，则集合A中的元素个数是（）
A．3B．4C．5D．6
2．如果点P（sinθ，cosθ）位于第四象限，那么角θ所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．若幂函数f（x）的图象过点（4，2），则f（a2）＝（）
A．a B．﹣a C．±a D．|a|
4．（）﹣2+log22等于（）
A ．B．3C．4D．5
5．（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b
6．若函数在区间（1，e）上存在零点，则常数a的取值范围为（）A．0＜a＜1B ．C ．D ．
7．函数的最小正周期为（）
A ．B．πC．2πD．4π
8．已知α∈（π，π），cosα＝﹣，则tan （﹣α）等于（）
A．7B ．C ．﹣D．﹣7
9．如图所示，函数f（x）＝sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象过点，若将f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，然后再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数为g（x），则g（0）＝（）
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2018-2019学年广东省广州市天河区高一上学期期末考试数学试题(解析版)
2018-2019学年广东省广州市天河区高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 设全集U ={1,2，3，4}，集合S ={1,3}，T ={4}，则(∁U S )∪T 等于( )A. {2,4}B. {4}C. ⌀D. {1,3，4} 【答案】A【解析】解：∵全集U ={1,2，3，4}，集合S ={l ,3}，T ={4}， ∴(∁U S )∪T ={2,4}∪{4}={2,4}． 故选：A ．利用集合的交、并、补集的混合运算求解．本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题，解题时要认真审题．2. 已知向量a =(x ,1)，b =(1,−2)，若a //b ，则a +b =( )A. (12,−1)B. (12,1)C. (3,−1)D. (3,1)【答案】A【解析】解：∵a //b； ∴−2x −1=0； ∴x =−12； ∴a =(−12,1)；∴a +b =(12,−1)．故选：A ．根据a //b 即可得出x =−12，从而得出a =(−12,1)，这样即可求出a +b 的坐标． 考查平行向量的坐标关系，以及向量坐标的加法运算． 3.已知函数f (x )= 3x ,x ≤0log 2x ,x >0，则f (f (14))的值是( )A. −19B. −9C. 19D. 9【答案】C【解析】解：∵函数f (x )= 3x ,x ≤0log 2x ,x >0， ∴f (14)=log 214=−2， f (f (14))=f (−2)=3−2=19． 故选：C ．由已知得f (14)=log 214=−2，从而f (f (14))=f (−2)，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．4. 设a=(13) 25，b=24，c=log213，则()A. b<a<cB. a<b<cC. b<c<aD. c<a<b 【答案】D【解析】解：∵a=(13) 25∈(0,1)，b=243>1，c=log213<0，则c<a<b．故选：D．利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．5. 函数f(x)=ln x+2x−6的零点一定位于下列哪个区间()A. (1,2)B. (2,3)C. (3,4)D. (5,6)【答案】B【解析】解：∵函数f(x)=ln x+2x−6f(1)=−4<0，f(2)=ln2−4<0f(3)=ln3>ln1=0，∴f(2)f(3)<0，∴函数的零点在(2,3)上，故选：B．要求函数的零点所在的区间，根据所给的函数的解析式，把区间的端点代入函数的解析式进行验算，得到函数的值同0进行比较，在判断出区间两个端点的乘积是否小于0，得到结果．本题考查函数的零点的判定定理，本题解题的关键是做出区间的两个端点的函数值，本题是一个基础题．6. 已知角α的终边经过点P(−4,3)，则tan(α+π4)的值等于()A. −17B. 17C. 37D. 47【答案】B【解析】解：∵角α的终边经过点P(−4,3)，∴tanα=−34，则tan(α+π4)=tanα+tanπ41−tanαtanπ4=−34+11+3=17．故选：B．由角α的终边经过点P(−4,3)，利用任意角的三角函数定义求出tanα的值，然后利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简所求的式子后，将tanα的值代入即可求出值．此题考查了两角和与差的正切函数公式，特殊角的三角函数值，以及任意角的三角函数定义，根据题意得出tanα的值是解本题的关键．7. 已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,φ<π2)的图象(部分)如图所示，则f(x)的解析式是()A. f(x)=2sin(πx+π6) B. f(x)=2sin(2πx+π6)C. f(x)=2sin(πx+π3) D. f(x)=2sin(2πx+π3)【答案】A【解析】解：∵根据图象判断：周期T=4×(56−13)=2，A=2，∴ω=2π2=π，∵2sin(13π+φ)=2，∴13π+φ=2kπ+π2，k∈z，∴φ=2kπ+π6，k∈z，∵φ<π2，∴φ=π6．∴f(x)=2sin(πx+π)故选：A．根据图象可得周期T=2，A=2，利用周期公式可求ω，利用2sin(13π+φ)=2及φ的范围可求φ的值，即可确定函数解析式．本题考查了三角函数的图象和性质，考查了由y=A sin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，关键是据图确定参变量的值，属于中档题．8. 若两个非零向量a，b满足b=2 a=2，a+2b=3，则a，b的夹角是()A. π6B. π3C. π2D. π【答案】D【解析】解：根据题意，设a，b的夹角是θ，又由b=2 a=2，且a+2b=3，则(a+2b)2=a2+4a⋅b+4b2=9，即1+4(1×2cosθ)+16=9，解可得cosθ=−1，则θ=π； 故选：D ．根据题意，设a ，b 的夹角是θ，由数量积的计算公式可得(a +2b )2=a 2+4a ⋅b +4b 2=9，代入数据计算可得cos θ的值，结合的范围，分析可得答案．本题考查向量数量积的计算，关键是掌握由向量的数量积求向量夹角的方法．9. 《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为：弧田面积=12×(弦×矢+矢 2)，弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有圆心角为2π3，弧长为4π米的弧，按上述经公式计算( 3≈1.73)，所得弧田面积约是( )A. 16平方米B. 18平方米C. 20平方米D. 25平方米【答案】C【解析】解：如图，由题意可得：∠AOB =2π3，弧长为4π米，∴OA =4π2π3=6在Rt △AOD 中，可得：∠AOD =π3，∠DAO =π6，OD =12AO =12×6=3， 可得：矢=6−3=3，由AD =AO ⋅sin π3=6× 32=3 3，可得：弦=2AD =2×3 3=6 3，所以：弧田面积=12(弦×矢+矢 2)=12(6 3×3+32)=9 3+4.5≈20平方米． 故选：C ．在Rt △AOD 中，由题意OA =4，∠DAO =π6，即可求得OD ，AD 的值，根据题意可求矢和弦的值，即可利用公式计算求值得解．本题考查扇形的面积公式，考查学生对题意的理解，考查学生的计算能力，属于中档题．10. 偶函数f (x )(x ∈R )满足：f (−5)=f (2)=0，且在区间[0,3]与[3,+∞)上分别递减和递增，则不等式x ⋅f (x )<0的解集为( ) A. (−∞,−5)∪(−2,2)∪(5,+∞) B. (−∞,−5)∪(−2,0)∪(2,5) C. (−5.−2)∪(2,5) D. (−5,−2)∪(0,2)∪(5,+∞) 【答案】B【解析】解：根据题意，x ⋅f (x )<0⇒ f (x )>0x <0或 f (x )<0x >0，等价于求函数y =f (x )的图象在第二、四象限时x 的取值范围．又由偶函数f (x )(x ∈R )满足f (−5)=f (2)=0， 则f (5)=f (−2)=f (−5)=f (2)=0，且f(x)在区间[0,3]与[3,+∞)上分别递减与递增，其草图为：即x∈(2,5)函数图象位于第四象限，x∈(−∞,−5)∪(−2,0)函数图象位于第二象限．综上：x⋅f(x)<0的解集为：(−∞,−5)∪(−2,0)∪(2,5)，故选：B．利用偶函数关于y轴对称的性质并结合题中给出函数的单调区间画出函数f(x)的图象，再由xf(x)<0得到x与f(x)异号得出结论本题考查函数的奇偶性与单调性的应用，关键是分析得到函数的图象草图．11. 已知锐角α满足cos(α−π4)=cos2α，则tan2α=()A. 3B. ±3C. 33D. ±33【答案】C【解析】解：∵锐角α满足cos(α−π4)=cos2α，∴22cosα+22sinα=cos2α−sin2α，∴cosα−sinα=22，平方可得1−sin2α=12，sin2α=12．∵cosα>sinα，∴0<α<π4，∴2α还是锐角，故cos2α=22α=32，则tan2α=sin2αcos2α=33，故选：C．由题意利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得cosα−sinα=22，sin2α=12，判断0<α<π4，2α还是锐角，再求得cos2α的值，可得tan2α的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．12. 如图，在平行四边形ABCD中，M、N分别为AB、AD上的点，且AM=45AB，AN=23AD，连接AC、MN交于P点，若AP=λAC，则λ的值为()A. 35B. 37C. 411D. 413【答案】C【解析】解：∵AM=45AB，AN=23AD，连∴AP=λAC=λ(AB+AD)=λ(54AM+32AN)=54λAM+32λAN，∵三点M，N，P共线．∴54λ+32λ=1，∴λ=411，故选：C ．根据向量的加减的几何意义和三点共线即可求出答案．本题考查了平面向量的线性运算，及三点共线的充要条件，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数f (x )= 1−x +lg(x +1)的定义域是______． 【答案】(−1,1]【解析】解：由题意， 可令 x +1>01−x≥0，解得−1<x ≤1，∴函数f (x )= 1−x +lg(x +1)的定义域是(−1,1] 故答案为：(−1,1]．由函数的解析式知，对数的真数大于0，偶次根号下非负，易得关于x 的不等式组，解出它的解集即可得到函数的定义域．本题考查求对数函数定义域，解题的关键是理解函数定义域的定义，找出自变量满足的不等式，解出定义域，本题中用到了对数的真数大于是，偶次根号下非负这些限制条件，属于是函数概念考查基本题．14. 已知cos(θ+π)=−13，则sin(2θ+π2)=______． 【答案】−79【解析】解：∵cos(θ+π)=−13， ∴cos θ=13，∴sin(2θ+π2)=cos2θ=2cos 2θ−1=29−1=−79， 故答案为：−79根据诱导公式和二倍角公式即可求出．本题考查了诱导公式和二倍角公式，属于基础题．15. 已知函数f (x )= ln x ,x >0e x ,x≤0，g (x )=f (x )+x +a ，若g (x )存在2个零点，则实数a 取值范围是______． 【答案】[−1,+∞)【解析】解：由g (x )=0得f (x )=−x −a ， 作出函数f (x )和y =−x −a 的图象如图： 当直线y =−x −a 的截距−a ≤1，即a ≥−1时，两个函数的图象都有2个交点， 即函数g (x )存在2个零点，故实数a 的取值范围是[−1,+∞)， 故答案为：[−1,+∞)．由g (x )=0得f (x )=−x −a ，分别作出两个函数的图象，根据图象交点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可． 本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个函数的图象的交点问题是解决本题的关键．16. 函数f (x )=2sin(2x −π3)的图象为C ，如下结论中正确的是______．①图象C 关于直线x =11π12对称；②图象C 关于点(2π3,0)对称；③函数f (x )在区间(−π12,5π12)内是增函数；④由y =2sin2x 图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ． 【答案】①②③【解析】解：函数f (x )=2sin(2x −π3)， 由f (11π12)=2sin3π2=−2，为最小值，可得图象C 关于直线x =11π12对称，故①正确；由f (2π3)=2sin π=0，图象C 关于点(2π3,0)对称，故②正确；由x ∈(−π12,5π12)，可得2x −π3∈(−π2,π2)，即有f (x )在区间(−π12,5π12)内是增函数， 故③正确；由y =2sin2x 图象向右平移π3个单位长度可以得到y =2sin2(x −π3)的图象，故④错误． 故答案为：①②③．由正弦函数的对称轴特点可判断①；由正弦函数的对称中心特点可判断②； 由正弦函数的增区间可判断③；由三角函数的图象变换特点可判断④．本题考查三角函数的图象和性质，考查函数的对称性和单调性、图象变换，考查运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知向量a =(1,0)，b =(1,1)．(1)若c =2 2，且c ⊥b ，求向量c的坐标； (2)若AB =2a −b ，BC =a +m b ，且A 、B 、C 三点共线，求实数m 的值． 【答案】解：(1)设c=(x ,y )； ∵c ⊥b ，且c=2 2； ∴c ⋅b =x +y =0①，x 2+y 2=8②；①②联立得， y =2x =−2，或y =−2x =2； ∴c =(−2,2),或(2,−2)；(2)AB =2a −b =(1,−1)，BC =a +m b =(1+m ,m )； ∵A 、B 、C 三点共线；∴AB //BC ；∴m+1+m=0；∴m=−12．【解析】(1)可设c=(x,y)，根据c⊥b及c=22即可得出x+y=0①，x2+y2=8②，①②联立即可求出x，y，即得出向量c的坐标；(2)可先求出AB=(1,−1),BC=(1+m,m)，根据A、B、C三点共线可得出AB//BC，从而得出m+1+m=0，解出m即可．考查向量平行时的坐标关系，向量垂直的充要条件，以及向量坐标的数量积运算．18. 已知函数f(x)=mx+n1+x 是定义在R上的奇函数，且f(2)=25．(1)求函数f(x)的解析式；(2)判断函数f(x)在区间(0,1)上的单调性，并用定义法证明．【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=mx+n1+x2是定义在R上的奇函数，则f(0)=n1=0，则n=0，又由f(2)=25，则f(2)=2m1+22=25，解可得m=1，则f(x)=x1+x2，(2)由(1)的结论，f(x)=x1+x在(0,1)上为增函数，证明：0<x1<x2<1，则f(x1)−f(x2)=x11+x12−x21+x22=(x1−x2)(1−x1x2)(1+x12)(1+x22)又由0<x1<x2<1，则(x1−x2)<0，(1−x1x2)>0，则有f(x1)−f(x2)<0，则函数f(x)在(0,1)上为增函数．【解析】(1)根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=n1=0，则n=0，又由f(2)=2m1+2=25，解可得m的值，将m、n的值代入函数的解析式，计算可得答案；(2)根据题意，设0<x1<x2<1，由作差法分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的性质以及应用，涉及单调性的判断，属于基础题．19. 已知函数f(x)=2sin(x2+π6).(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递减区间；(2)先列表，并用描点法作出函数f(x)在[0,4π]上的简图．【答案】(本题满分为12分)解：(1)f(x)的最小正周期为T=2π12=4π；…(4分)令π2+2kπ≤x2+π6≤3π2+2kπ，k∈Z，解得：2π3+4kπ≤x≤8π3+4kπ，k∈Z，可得单调递减区间为：[2π3+4kπ,8π3+4kπ]，k∈Z．(2)列表如下：连线成图如下：【解析】(1)利用正弦函数的图象和性质即可求出f(x)的最小正周期与单调减区间；(2)列表如下，作出它在[0,4π]上的简图即可；本题主要考查了五点法作函数y=A sin(ωx+φ)的图象，考查了正弦函数的图象和性质的应用，属于基础题．20. 某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券类稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票类风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知两类产品各投资1万元时的收益分别为0.125万元和0.5万元，如图：(Ⅰ)分别写出两类产品的收益y(万元)与投资额x(万元)的函数关系；(Ⅱ)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，最大收益是多少万元？【答案】解：(Ⅰ)投资债券类稳健型产品的收益满足函数：y=kx(x>0)，由题知，当x=1时，y=0.125，则k=0.125，即y=0.125x，投资股票类风险型产品的收益满足函数：y=k′x(x>0)，由题知，当x=1时，y=0.5，则k=0.5，即y=0.5x，(Ⅱ)设投资债券类稳健型产品x万元(0≤x≤20)，则投资股票类风险型产品20−x万元，由题知总收益y=0.125x+0.520−x(0≤x≤20)，令t=20−x(0≤t≤20)，则x=20−t2，y=0.125(20−t2)+0.5t=−18t2+12t+52=−18(t−2)2+3，当t=2，即x=16时，y max=3(万元)答：投资债券类稳健型产品16万元，投资股票类风险型产品4万元，此时受益最大为3万元．【解析】(Ⅰ)由投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比，结合函数图象，我们可以利用待定系数法来求两种产品的收益与投资的函数关系；(Ⅱ)由(Ⅰ)的结论，我们投资债券类稳健型产品x万元(0≤x≤20)，则投资股票类风险型产品20−x万元.这时可以构造出一个关于收益y的函数，然后利用求函数最大值的方法进行求解．函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑.将实际的最大(小)化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大(小)是最优化问题中，最常见的思路之一．21. 已知a=(2cos x,1)，b=(3sin x+cos x,−1)，函数f(x)=a⋅b．(1)求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值；(2)若f(x0)=85，x0∈[π4,π2]，求cos2x0的值；(3)若函数y=f(ωx)在区间(π3,2π3)上是单调递增函数，求正数ω的取值范围．【答案】解：∵a=(2cos x,1)，b=(3sin x+cos x,−1)，∴f(x)=a⋅b=2cos x(3sin x+cos x)−1=23sin x cos x+2cos2x−1=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π)(1)∵x∈[0,π2]，∴π6≤2x+π6≤7π6，∴−12≤sin(2x+π6)≤1，∴函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值2，最小值−1；(2)若f(x0)=85，则2sin(2x0+π6)=85，∴sin(2x0+π6)=45，∵x0∈[π4,π2 ]，∴cos(2x0+π6)=−35，∴cos2x0=cos[(2x0+π)−π]=3cos(2x0+π)+1sin(2x0+π)=3×(−3)+1×4=4−33(3)∵y=f(ωx)=2sin(2ωx+π6)，令−12π+2kπ≤ωx+π6≤12π+2kπ，k∈z，可得，−2π3ω+2kπω≤x≤π3ω+2kπω令k=0可得，−2π3ω≤x≤π3ω，∵y=f(ωx)=2sin(2ωx+π6)，在区间(π3,2π3)上是单调递增函数，∴π3ω≥2π3，解可得，0<ω≤12．【解析】由向量数量积的坐标表示，结合两角和的正弦公式可求f(x)=2sin(2x+π6)(1)由x∈[0,π2]，结合正弦函数的性质可求函数f(x)在区间[0,π2]上的最大值及最小值；(2)若f(x0)=85，可求2sin(2x0+π6)，结合同角平方关系可求cos(2x0+π6)，然后由cos2x0=cos[(2x0+π6)−π6]，利用两角差的余弦公式即可求解(3)由y=f(ωx)=2sin(2ωx+π6)，结合正弦函数的单调性可求单调递增区间，然后与区间(π3,2π3)进行比较可求．本题主要考查了向量的数量积的运算性质及两角和的余弦公式，正弦函数的性质的灵活应用是求解本题的关键．22. 已知函数g(x)=ax2−2ax+1+b(a>0)在区间[−1,1]上有最大值4和最小值0.设f(x)=g(x)x．(1)求实数a，b的值；(2)若不等式f(x)−k⋅x≥0在x∈(0,+∞)上恒成立，求实数的取值范围；(3)若f( 2x−1 )+k⋅22x−1−3k=0有三个不同的实数解，求实数的取值范围．【答案】解：(1)函数g(x)=ax2−2ax+b+1=a(x−1)2+1+b−a，因为a>0，所以g(x)在区间[−1,1]上是减函数，故g(−1)=3a+b+1=4，g(1)=1+b−a=0，解得a=1，b=0；(2)由f(x)−k⋅x≥0即为x2−2x+1−kx2≥0，即为k≤(1x−1)2在x>0恒成立，由(1x−1)2≥0，当且仅当x=1时取得最小值0，所以的取值范围是(−∞,0]；(3)方程f( 2x−1 )+k⋅22−1−3k=0可化为：2x−12−(2+3k) 2x−1 +(1+2k)=0，2x−1 ≠0，令2x−1 =t，则方程化为t 2−(2+3k )t +(1+2k )=0(t ≠0)，∵方程f ( 2k −1 )+k ⋅⋅22−1 −3k =0有三个不同的实数解，∴由t = 2x −1 的图象知，t 2−(2+3k )t +(1+2k )=0(t ≠0)，有两个根t 1、t 2，且0<t 1<1<t 2或0<t 1<1，t 2=1．记 (t )=t 2−(2+3k )t +(1+2k )，则 (1)=−k <0 (0)=1+2k >0，或 (0)=1+2k >0(1)=−k =00<2+3k 2<1， ∴k >0．【解析】(1)由函数g (x )=a (x −1)2+1+b −a ，a >0，所以g (x )在区间[−1,1]上是减函数，故g (−1)=4，g (1)=0，由此解得a 、b 的值；(2)不等式可化为k ≤(1x −1)2在x >0恒成立，由平方数非负可得不等式右边的最小值，从而求得的取值范围；(3)方程f ( 2x −1 )+k ⋅22−1 −3k =0⇒ 2x −12−(2+3k ) 2x −1 +(1+2k )=0，( 2x −1 ≠0)，令2x −1 =t ，则t 2−(2+3k )t +(1+2k )=0(t ≠0)，构造函数 (t )=t 2−(2+3k )t +(1+2k )，通过数形结合与等价转化的思想即可求得的范围． 本题考查二次函数在闭区间上的最值，考查函数恒成立问题问题，考查数形结合与等价转化、函数与方程思想的综合应用，属于难题．。
广东省广州市2018-2019学年高一数学上学期期末教学质量检测试题
广东省广州市2018-2019学年高一数学上学期期末教学质量检测试题一、选择题 1．复数21i- (i 为虚数单位)的共轭复数是（ ） A ．1i +B ．1i --C ．1i -+D ．1i -2．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的面积公式为S πab =，某同学需通过下面的随机模拟实验估计π的值。
过椭圆E:22195x y +=的左右焦点12,F F 分别作与x 轴垂直的直线与椭圆E 交于A,B,C,D 四点，随机在椭圆E 内撒m 粒豆子，设落入矩形ABCD 内的豆子数为n ，则圆周率π的值约为（ ）A ．9nB ．20mC ．9nD ．40m3．命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为（ ）A ．存在0x R ∈，都有200x ≥B ．对任意x R ∈，使得20x <C ．存在0x R ∈，使得200x <D ．不存在x R ∈，使得20x <4．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 5．若函数32()37f x x x x a =--+的图象与直线21y x =+相切，则a =()A.284或B.284-或C.284-或D.284--或6．的展开式中的第7项是常数,则正整数n 的值为( )A.16B.18C.20D.227．若函数，，且有三个零点，则的取值范围为（ ）A.B.C.D.8．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，()f xy e '=的图象如下图所示，则()y f x =的单调减区间是（ ）A.(),1-∞-B.(),2-∞C.()0,1D.()1,29．有4个人同乘一列有10节车厢的火车，则至少有两人在同一车厢的概率为（ ） A.63125B.62125C.63250D.3112510．已知点（x,y）满足曲线方程4{6x y θθ=+=+ （θ为参数），则yx的最小值是（ ）A.2B.32D.111．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。