因式分解技巧(单墫著)1
因式分解的方法和技巧
因式分解的方法和技巧因式分解是代数中常见的一种运算，它将一个多项式表达式分解成若干个乘积的形式。
因式分解方法和技巧有很多，在这里我将为您详细介绍。
1. 提取公因式法：提取公因式法是最基本的因式分解方法，它适用于多项式的各项都含有相同的因子。
具体步骤如下：(1) 将各项中的公因式提取出来，形成公因式乘以括号内的剩余部分；(2) 讲提取出来的公因式与括号内的剩余部分相乘即得因式分解的结果。
例如，要将多项式2x + 4y分解因式，公因式为2，提取后可得：2x + 4y = 2(x + 2y)2. 完全平方式：完全平方式适用于二次多项式。
具体操作如下：(1) 将多项式进行配方，使其成为一个完全平方；(2) 对完全平方进行因式分解。
例如，要将多项式x^2 + 4x + 4分解因式，可以将其配方为(x + 2)^2，然后可以得到：x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^23. 分组分解法：分组分解法适用于多项式中含有四项且存在两项可以合并成完全平方式。
具体步骤如下：(1) 先将多项式分成两组，并在每组内部因式相同的项；(2) 对每组进行提取公因式，并根据需要进行配方等操作；(3) 将提取出来的公因式相乘，并加上适当的括号。
例如，要将多项式x^3 + x^2 + 2x + 2分解因式，可以将其分成两组(x^3 + x^2) + (2x + 2)，然后可以得到：x^3 + x^2 + 2x + 2 = x^2(x + 1) + 2(x + 1) = (x^2 + 2)(x + 1)4. 和差化积法：和差化积法适用于差分方程形式的多项式。
具体步骤如下：(1) 找到平方差公式或立方差公式，然后应用到多项式中；(2) 对多项式进行因式分解。
例如，要将多项式x^2 - y^2分解因式，可以将其应用平方差公式(x - y)(x + y)，然后可以得到：x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)5. 特殊因式分解法：特殊因式分解法适用于一些特殊的多项式形式。
因式分解的方法与技巧有哪些
因式分解的方法与技巧有哪些十字相乘法1.十字相乘法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。
其实就是运用乘法公式运算来进行因式分解。
2.用十字相乘法分解公因式的步骤：(1)把二次项系数和常数项分别分解因数;(2)尝试十字图，使经过十字交叉线相乘后所得的数的和为一次项系数;(3)确定合适的十字图并写出因式分解的结果;(4)检验。
提公因式法1.提公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
2.提取公因式法分解因式的解题步骤(1)提公因式。
把各项中相同字母或因式的最低次幂的积作为公因式提出来；当系数为整数时，还要把它们的最大公约数也提出来，作为公因式的系数；当多项式首项符号为负时，还要提出负号(2)用公因式分别去除多项式的每一项，把所得的商的代数和作为另一个因式，与公因式写成积的形式。
待定系数法1.待定系数法：待定系数法是初中数学的一个重要方法。
用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。
2.使用待定系数法解题的一般步骤是：(1)确定所求问题含待定系数的一般解析式；(2)根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
因式分解口诀两式平方符号异，因式分解你别怕。
两底和乘两底差，分解结果就是它。
两式平方符号同，底积2倍坐中央。
因式分解能与否，符号上面有文章。
同和异差先平方，还要加上正负号。
同正则正负就负，异则需添幂符号。
因式分解的三个技巧
数学篇解题指南因式分解是指将一个多项式分解成两个或者多个整式乘积的形式.它不仅可用于代数式的化简、求值以及解方程和不等式等代数问题中，而且在判定三角形或四边形的形状等几何问题中也扮演着重要角色.所以，掌握因式分解的方法和技巧是很重要的.因式分解的常用方法有公式法、提公因式法、分组分解法等.除了这些方法以外，我们还应掌握一些特殊技巧，如拆（添）项法、换元法、主元法等.同学们应根据多项式的具体结构特征，灵活选用不同的方法和技巧.一、拆、添项法因式分解是多项式乘法的逆运算，在进行多项式乘法运算时，通过对多项式的各项进行整理和化简，将几个同类项合并为一项，或者将两个仅符号相反的同类项相互抵消后，就会造成多项式的“缺项”.对这一类多项式进行因式分解时，就要先恢复那些被合并或者被抵消的项，即将多项式的某一个项拆成两项或者多项，或者在多项式当中添加两个仅符号相反的项.前者称为拆项，后者称为添项.拆项、添项的目的是在对多项式进行因式分解时，方便运用提公因式法或分组分解法.例1分解因式：x 3-3x 2+4.分析：这个多项式无法直接提取公因式，也不能运用公式法.由于多项式当中缺少一次项，所以可以灵活运用拆项法来解题.解法1：将常数4拆分为1和3.原式=(x 3+1)-(3x 2-3)=(x 3+1)-3(x 2-1)=(x +1)(x 2-x +1)-3(x +1)(x -1)=(x +1)[(x 2-x +1)-3(x -1)]=(x +1)(x 2-4x +4)=(x +1)(x -2)2.解法2：将-3x 2拆分成-4x 2和x 2.原式=x 3+x 2-4x 2+4=x 2(x +1)-4(x 2-1)=x 2(x +1)-4(x +1)(x -1)=(x +1)[x 2-4(x -1)]=(x +1)(x -2)2.解法3：将x 3拆分成4x 3-3x 3.原式=4x 3-3x 3-3x 2+4=4x 3+4-3x 2(x +1)=4(x 3+1)-3x 2(x +1)=4(x +1)(x 2-x +1)-3x 2(x +1)=(x +1)[4(x 2-x +1)-3x 2]=(x +1)(x 2-4x +4)=(x +1)(x -2)2.点评：从以上三种解法可以看出，使用拆项法进行因式分解，并没有严格规定要拆分哪一项，因此，同学们在做题的时候要仔细观察多项式中每一项的特点，通过灵活的变化来化繁为简，解答疑难问题.例2分解因式：a 4+a 2b 2+b 4.分析：观察式子的形式，和完全平方式的展开式看起来较为相似，所以在进行因式分解的时候可以进行联想，通过添项后利用平方差公式来完成因式分解.解：原式=a 4+a 2b 2+b 4+a 2b 2-a 2b 2=(a 4+2a 2b 2+b 4)-a 2b 2=(a 2+b 2)2-(ab )2=(a 2+b 2+ab )⋅(a 2+b 2-ab ).例3分解因式：bc (b +c )+ca (c -a )-ab (a +b ).分析：遇到这类题目时，要仔细分析各项的特点，并根据b +c =c -a +a +b 考虑添项.解：原式=bc (b +c +a -a )+ca (c -a )-ab (a +b )=bc [(c -a )+(a +b )]+ca (c -a )-ab (a +b )=bc (c -a )+bc (a +b )+ca (c -a )-ab (a +b )=c (c -a )(b +a )+b (a +b )(c -a )=(a +b )(c -a )(c +b ).点评：使用添项法分解因式时，关键是要根据多项式的特点进行恰当的添项，让添项后的多项式可以更好地用提取公因式法、公式法等其他常用方法来进行分解.因式分解的三个技巧江苏省靖江市滨江学校徐星19数学篇解题指南二、换元法对于比较复杂的多项式进行因式分解，可以考虑运用换元法，将其中某一部分看作一个整体，然后用一个新的辅助元来代替.将含有新元的多项式进行因式分解之后，再将新元所替换的部分代入因式分解后的多项式，就能得到原多项式因式分解的结果.换元法可减少因式的项数或降低因式的次数，使多项式简化.在具体运用换元法时，可根据情况进行部分换元、整体换元或平均换元等.例4分解因式：(x 2-3x )2-2(x 2-3x )-8.分析：这道题涉及多项式的平方，如果正常展开后分解，数据的计算量很大.在经过仔细观察之后，可以将x 2-3x 这一项看作一个整体，从而简化因式分解的过程.解法1：设a =x 2-3x ，则原式=a 2-2a -8=(a -4)(a +2).将a =x 2-3x 代入上式得：原式=(x 2-3x -4)(x 2-3x +2)=(x -4)(x +1)(x -1)(x -2).解法2：设a =x 2-3x ，则原式=a 2-2a -8=(a 2-2a +1)-9=(a -1)2-9=(a -1+3)(a -1-3)=(a +2)(a -4).将a =x 2-3x 代入上式则原式=(x 2-3x -4)(x 2-3x +2)=(x -4)(x +1)(x -1)(x -2).例5分解因式(xy -1)2+(x +y -2)(x +y -2xy )分析：在对二元因式进行分解时直接去括号非常复杂，所以可以考虑运用换元法，分别将x 和y 的和与积视为整体来进行换元.解：设x +y =m ，xy =n ，则原式=(n -1)2+(m -2)(m -2n )=(m 2-2mn +n 2)-(2m -2n )+1=(m -n )2-2(m -n )+1=(m -n -1)2点评：整体替换可以让复杂的题目变得简单.但当遇到复杂的多项式，无法用一个辅助元完成整体换元时，可根据题目中多项式具备多元性的特征，用两个辅助元分别代换原多项式中的代数式，使因式分解简单化.三、主元法对含有多个字母的代数式进行因式分解是比较复杂的一种题型.这时可以考虑运用主元法，即选择一个字母作为主元，将其他字母都看作常数，然后将整个多项式按照以主元为主的方式进行升幂或者降幂排列，最后再尝试因式分解.运用主元法解题的关键就是选择合适的主元，一般选择次数较低的字母为主元，将多项式变成熟悉的形式，这样就能让分解因式的过程变得简单.例6分解因式：x 3-ax -2ax +a 2-1.分析：式子中有两个字母，可以考虑运用主元法，其中字母a 的次数更低，所以可以选择字母a 作为主元来进行因式分解.解：原式=a 2-(x 2+2x )a +x 3-1=a 2-(x 2+2x )a +[(x 3-x 2)+(x 2-1)]=a 2-(x 2+2x )a +x 2(x -1)+(x -1)(x +1)=a 2-[(x -1)+(x 2+x +1)]a +(x -1)(x 2+x +1)=[a -(x -1)]·[a -(x 2+x +1)]=(x -a -1)(x 2+x -a +1).例7分解因式：2a 2b 2+10a 2b +12a 2-3ab 2-15ab -18a -b 2-5b -6分析：当两个字母最高同为2次幂的时候，可以随便选择一个字母作为主元，得到的结果是一样的.解：设原式中的b 为主元，则原式=2a 2b 2+10a 2b +12a 2-3ab 2-15ab -18a -b 2-5b -6=(2a 2-3a -1)b 2+5(2a 2-3a -1)b +6(2a 2-3a -1)=(2a 2-3a -1)(b 2+5b +6)=(b +2)(b +3)(2a 2-3a -1).点评：以上两道题如果不使用主元法，很难进行因式分解.在选择主元时，一般选择次数更低的作为主元，这样可以达到降幂的效数学篇数苑纵横在解答几何问题时，作辅助线可以构造新的图形，形成新的关系，使分散的条件集中，并建立起已知与未知的“桥梁”.平行四边形具有两组对边分别平行且相等，对角相等，对角线互相平分等性质.结合上述性质添加辅助线，就是在平行四边形中作出平行或垂直的线段，构成三角形的全等或相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、矩形等问题来解答.一、平移对角线，把平行四边形转化为梯形平移是一种只改变图形的位置而不改变图形大小及形状的变换.在平行四边形中求线段的长度或证明线段的不等关系时，首先考虑将要求的线段与三角形结合起来，运用三角形三边的不等关系来解答.若要求解或证明的线段与已知线段不在同一个三角形内，则可通过平移将线段集中到同一个三角形内.平移对角线可以构造一个以两对角线为边的三角形，建立待求线段与已知线段之间的关系，从而找到解题的突破口，使问题得以顺利解答.例1如图1，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，如果AC ＝12，BD ＝10，AB =m ，那么m 的取值范围是（）.A.1＜m ＜11B.2＜m ＜22C.10＜m ＜12D.5＜m ＜6图1图2解析：要求AB 的取值范围，需把AC 、BD 、AB 集中在一个三角形中.过C 作CE ∥DB 交AB 的延长线于点E ，形成梯形ADCE ，如图2，然后由图易知，四边形CDBE 为平行四边形.在△ACE 中，AC =12，CE =BD =10，AE =2AB =2m ，说明：本题通过作辅助线，利用平行四边形的性质，将两条已知线段与未知线段集中到了一个三角形中.解题主要运用了三角形的三边关系定理，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．二、过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为直角三角形作垂线即过平行四边形一边的一个或两个端点向下底作高，将平行四边形分割成矩形和直角三角形.由于直角三角形的全等判定定理比较多，且可利用勾股定理得到边长间的数量关系，所以，作垂线段可为证明直角三角形全等创造条件，同时方便我们利用直角三角形相关性质定理解题.例2如图3，已知ABCD 为平行四边形，求证：2(AB 2+AD 2)＝AC 2+BD 2．图3图4证明：作AE ⊥BC 于点E ，作DF ⊥BC 交BC 的延长线于F ，如图4，则∠AEB ＝∠DFC ＝90°．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB ＝DC ，AB ∥CD ，∴∠ABE ＝∠DCF ，在△ABE 和△DCF 中ìíîïï∠AEB =∠DFC ,∠ABE =∠DCF ,AB =DC ,∴△ABE ≌△DCF （AAS ），∴AE ＝DF ，BE ＝CF ．在Rt△ACE 和Rt△BDF 中，由勾股定理，得AC 2＝AE 2+EC 2＝AE 2+(BC -BE )2，BD 2＝DF 2+BF 2＝DF 2+(BC +CF )2=AE 2+(BC +BE )2，∴AC 2+BD 2＝2AE 2+2BC 2+2BE 2＝2(AE 2+22平行四边形中的辅助线的作法江西婺源兰萍数学篇数苑纵横∴AC 2+BD 2＝2(AB 2+BC 2)，∵ABCD 为平行四边形，且BC =AD ，即2(AB 2+AD 2)＝AC 2+BD 2.说明：本题考查了平行四边形的性质、勾股定理的运用、全等三角形的判定和性质.正确作出辅助线将平行四边形转化为两个直角三角形，并证明两个三角形全等是解题的关键.三、延长顶点与对边上一点的连线，把平行四边形转化为相似三角形证明线段的等积式或求线段的比值，常常要根据题目条件和结论的特征，巧妙地构造相似三角形.平行四边形对角相等，对边平行，连接顶点与对边上一点的连线可以为我们创造内错角相等的条件，这样就有助于找到线段所涉及的两个三角形中相等的两对角，从而证明两个三角形相似，由此便可证明线段的等积式或求得线段的比值.例3如图5，在平行四边形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、CD 上的点，BF 和DE 相交于点G ，且AB ＝kAD ，∠DAG ＝∠BAC ，求出DFBE的值（用含k 的式子表示）.图5图6解：延长AG 交DC 于M ，延长DE 交AB 的延长线于N ，如图6.设AD ＝a ，GM ＝b ，BE ＝x ，GA ＝mb ，则AB ＝ka ，CE ＝a -x ，∵∠DAG ＝∠BAC ，∠ADM ＝∠ABC ，∴△ADM ∽△ABC ，∴BC DM =AD AB =1k，即DM ＝a k ，∵DC ∥AB ，∴△FGD ∽△BGN ，△FGM ∽△BGA ，△DEC ∽△NEB ，∴FM ＝ka m，∴DF ＝a k -ka m =ma -k 2a km，∴BN ＝ma -k 2a k，∵△DEC ∽△NEB ，∴DC BN =CE BE ，即ka ma -k 2ak=a -x x ，解得，x ＝ma -k 2a m，∴DF BE =1k ．说明：求两条线段的比值就要考虑相似，因为相似三角形对应边的比相等，所以本题添加辅助线就将平行四边形中的两个线段转化到了两个相似三角形中.解题中巧妙添加辅助线，可以构造多个相等的角，这就为我们证明相似创造了条件.四、连接对角线交点与一边的中点，构造三角形中位线在涉及三角形及平行四边形的证明和计算题中，经常会用到中位线定理.若题目以线段相等或中点为条件，结合平行四边形的对角线互相平分，就可以尝试连接对角线交点与一边的中点，构造中位线.利用三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半来解题，使线段在位置上的平行关系和数量上的比例关系在推理论证中发挥作用.例4如图7，在平行四边形ABCD 中，AN =BN ，BE =13BC ，NE 交BD 于F ，求BF∶BD .图7解：连接AC 交BD 于点O ，连接ON ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以OA =OC ，OB =OD =12BD ，因为AN =BN ，所以ON ∥BC 且ON =12BC ，所以BE ON =BF FO ,因为BE =13BC ，所以BF FO =23，所以BF BO =25，所以BF :BD =1:5.说明：平行四边形的性质比较多，其边、角、对角线等都存在一定的数量关系或位置关系.如果条件中给出的中点不止一个，解题时应有意识地寻找是否存在中位线；若条件中只有一个中点，可以利用对角线互相平分得到中点进而造中位线解题.22。
因式分解的常用方法
因式分解的常用方法（例题详解）把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现将初中阶段因式分解的常用方法总结如下：一、提公因式法.如多项式),(c b a m cm bm am ++=++其中m 叫做这个多项式各项的公因式， m 既可以是一个单项式，也可以是一个多项式．二、运用公式法.运用公式法，即用))((,)(2),)((223322222b ab a b a b a b a b ab a b a b a b a +±=±±=+±-+=-写出结果．三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
解：原式=)()(bn bm an am +++=)()(n m b n m a +++ 每组之间还有公因式！=))((b a n m ++思考：此题还可以怎样分组？此类型分组的关键：分组后，每组内可以提公因式，且各组分解后，组与组之间又有公因式可以提。
例2、分解因式：bx by ay ax -+-5102解法一：第一、二项为一组； 解法二：第一、四项为一组；第三、四项为一组。
第二、三项为一组。
解：原式=)5()102(bx by ay ax -+- 原式=)510()2(by ay bx ax +-+- =)5()5(2y x b y x a --- =)2(5)2(b a y b a x ---=)2)(5(b a y x -- =)5)(2(y x b a --练习：分解因式1、bc ac ab a -+-2 2、1+--y x xy（二）分组后能直接运用公式例3、分解因式：ay ax y x ++-22分析：若将第一、三项分为一组，第二、四项分为一组，虽然可以提公因式，但提完后就能继续分解，所以只能另外分组。
11. 因式分解技巧-实数集与复数集内的分解 -单墫
11.实数集与复数集内的分解．因式分解应当分解到“底”，也就是应当把多项式分解为既约（不可约）多项式的乘积．什么是既约多项式呢？这要看在什么数集内分解．例如，2x 3-没有有理根，因而不能分解为两个有理系数的一次因式的乘积．换句话说，在有理数集内32-x 是既约多项式，但是在实数集内，因为),3)(3(32-+=-x x x 所以32-x 不是实数集内的既约多项式，到目前为止，我们的讨论都是在有理数集内进行的，本单元介绍一元多项式在实数集与复数集内的分解．11.1 求 根 公 式一次多项式永远是既约的.x 的二次三项式c bx ax ++2在复数集内的因式分解非常简单，可以用求根公式求得,242aac b b x -±-= )1( 从而 C bx ax ++2 ⋅-----+--=)24)(24(22aac b b x a ac b b x a )2( 在实数集内，当042≥-ac b 时，c bx ax ++2也可以用(2)式分解．如果,042<-ac b 那么 c bx ax ++2是实数集内的既约多项式．如果ac b 42-不是有理数的平方，那么C bx ax ++2就是有理数集内的既约多项式．如果ac b 42-是有理数的平方，那么c bx ax ++2可以用(2)分解，其实，用十字相乘更为方便：例1 分解因式：.7322--x x解 由于 ,7,3,2-=-==c b a ,065)7(24)3(422>=-⨯⨯--=-ac b65不是有理数的平方，所以在有理数集内7322--x x 是既约多项式．在实数集与复数集内可得 7322--x x⋅--+-=)4653)(4653(2x x 例2 分解因式：.7322+-x x解 由于 ,7,3,2=-==c b a,047724)3(422<-=⨯⨯--=-ac b所以在实数集内7322+-x x 是既约多项式（当然也是有理数集内的既约多项式）．在复数集内可得7322--x x),4473)(4473(2i x i x --+-= 其中i 称为虚数单位，满足等式 .12-=i例3 分解因式：⋅+-89322x x 解 由于 ,89,3,2=-==c b a ,08924)3(422=⨯⨯--=-ac b 所以在有理数集内可得.)43(2893222-=+-x x x 这也是89322+-x x 在实数集与复数集内的分解式， 例4 分解因式：.2322--x x解 由于 ,2,3,2-=-==c b a,525)2(24)3(4222==-⨯⨯--=-ac b所以2322--x x 在有理数集内可以分解．事实上，由十字相乘可得 ).2)(12(2322-+=--x x x x当然，这式子也可以用(2)来分解．11.2 代 数 基 本 定 理在复数集内，每一个x 的（不是常数的）多项式至少有一个根．即对于多项式0111)(a x a x a x a x f n n n ++++=-- （n 是正整数）．一定有复数c 使得.0)(=c f这个结论称为代数基本定理．根据代数基本定理，每个x 的次数大于1的多项式f (x)都有一次因式x-c ，因此在复数集内，只有一次多项式是既约多项式．由代数基本定理容易推出：n 次多项式f(x)恰好有n 个根，如果n x x x ,,,21 是0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 的n 个根，那么)3).(())(()(21n n x x x x x x a x f ---=每一个复数都可以写成a+bi 的形式，其中a 、b 为实数，i 是上面已经说过的虚数单位，在b≠0时，a+bi 称为虚数．虚数a+bi 与a- bi 称为共轭复数，它们的和为,2)()(a bi a bi a =-++它们的积为22222))((b a i b a bi a bi a +=-=-+（因为)12-=i即共轭复数的和与积都是实数．如果bi a x +=1与bi a x -=2是一对共轭复数，那么两个共轭的一次因式1x x -与2x x -的积为))((21x x x x --)]()][([bi a x bi a x --+-=),(2222b a ax x ++-=是实系数的多项式，对于实系数多项式f(x)，我们可以用(3)式把它分解为复数集内的一次因式的积．有一条定理告诉我们：实系数多项式的虚数根是两两共轭的．于是，对每一对共轭的复数根（例如上面所说的21x x 、)，我们把相应的两个共轭的一次因式（例如 1x x -与2x x -)乘起来，产生一个实系数的二次因式，这样就得到了f(x)在实数集内的分解．因此，在实数集内，每个多项式可以分解为一次因式与二次因式的积．换句话说，在实数集内，既约多项式一定是一次多项式或二次多项式．从理论上说，在实数集或复数集内，只要求出f(x)的根，就可以把f(x)分解，三次多项式与四次多项式虽然有求根公式，但是，公式的形状比二次多项式复杂得多．次数大于4的多项式没有求根公式，往往只能求出根的近似值．因此，对于具体问题，仍然需要用一些特殊的方法来分解．例5 分解因式：.124+-x x解 由第9单元例3，我们知道124+-x x 不能分解为两个有理系数的二次因式的积，它没有有理根（易验证±1都不是它的根），因而也没有有理系数的一次因式，所以，在有理数集内，124+-x x 是既约多项式．在实数集内，可以用拆项后配方的方法，得到 124+-x x2243)12(x x x -++=2223)1(x x -+=).13)(13(22+-++=x x x x在复数集内，还可以利用求根公式，进一步得到124+-x x)13)(13(22+-++=x x x x⋅--+--+++=)23)(23)(23)(23(i x i x i x i x 11.3 单 位 根．多项式1-n x 的根称为n 次单位根．一次单位根只有1．二次单位根有两个，即±1．由于 14-x )1)(1(22+-=x x),)()(1)(1(i x i x x x -+-+=所以四次单位根有4个，即±1，±i，前两个是实数，后两个是虚数，例6 分解因式：.13-x 解 在有理数集内，熟知),1)(1(123++-=-x x x x这也是13-x 在实数集内的分解式． 在复数集内，13++x x 还可用(2)进一步分解为),231)(231(12i x i x x x ---+--=++ 所以 ⋅+--+---=-)231)(231)(1(13i x i x x x 231i +-与231i --是两个三次（虚）单位根（1是实三次单位根），我们把231i +-记为w ，容易看出,2312i --=ω 并且 .1,1,1223ωωωωω-=+-=+= (4)一般地，在复数集内有n 个n 次单位根，它们是),,,2,1(2sin 2cosn k nk i n k =+ππ (5) 其中 .12sin 2cos =+n n i n n ππ例7 分解因式：.15-x 解 在复数集中，15-x 的根为,54sin 54cos ,52sin 52cosππππi i ++ ,1,58sin 58cos ,56sin 56cos ππππi i ++ 由(3)，得 15-x ⋅-----=)54sin 54cos )(52sin 52cos)(1(ππππi x i x x ⋅----)58sin 58cos )(56sin 56cos (ππππi x i x 因为 ,52sin 52cos 58sin 58cos ππππi i -=+ 与52sin 52cos ππi +共轭，又 ,54sin 54cos 56sin 56cos ππππi i -=+ 与54sin 54cos ππi +共轭，并且 ,1cos sin 22=+αα 所以 )52sin 52cos )(52sin 52cos (ππππi x i x +--- 22)52(sin )52cos (ππ+-=x ,1)52cos 2(2+-=x x π )54sin 54cos )(54sin 54cos (ππππi x i x +--- .1)54cos 2(2+-=x x π 所以在实数集内，可得15-x⋅+-+--=]1)54cos 2(][1)52cos 2()[1(22x x x x x ππ 在有理数集内，由第2单元例13，得),1)(1(12345++++-=-x x x x x x1234++++x x x x 在有理数集内是既约多项式，这将在第12单元中证明．在(5)中，如果k 与n 互质（最大公约数为1），那么nk i n k ππ2sin 2cos +称为本原单位根．例如，对于n-15，与15互质的是1，2，4，7，8，11，13，14，共有8个，也就是说有8个15次本原单位根，可以证明，与n 饮本原单位根对应的一次因式的积是一个整系数的多项式．它称为分圆多项式，例如34x x +12+++x x 就是一个分圆多项式．11.4 攻 玉 之 石“他山之石，可以攻玉”，三次虚单位根w 可以帮助我们在有理数集内分解因式，例8 分解因式：.2245++++x x x x解 w 是多项式2245++++x x x x 的一个根．事实上，利用(4)，可知 2245++++ωωωω222++++=ωωωω)122++=ωω（,0=于是ω-x 是2245++++x x x x 在复数集内的因式，它的共轭因式2ω-x 也是2245++++x x x x 的因式，又 ,1))((22++=--x x x x ωω从而12++x x 是2245++++x x x x 的因式．所以 2245++++x x x x)222()()(223345+++++-++=x x x x x x x x).2)(1(32+-++=x x x x这里，23+-x x 没有有理根，因此是有理数集内的既约多项式．从例1可以知道：如果实系数多项式f(x)有虚根w(即f(w ) =O ），那么f(x)就有因式.12++x x 例9 证明：在m 、n 为自然数时，多项式11323++++n m x x有因式+2x .1+x 证明 因为 11323++++n m ωω12++=ωω,0=所以，12++x x 是11323++++n n x x 的因式．例10 分解因式：.1510++x x解 12++x x 是1510++x x 的因式，所以把1510++x x 分组分解，得1510++x x)()()()(4565677898910x x x x x x x x x x x x ++-+++++-++=-+++)(345x x x)1()(223+++++x x x x x).1)(1(345782+-+-+-++=x x x x x x x x134578+-+-+-x x x x x x 是有理数集内的既约多项式，这一点将在12单元予以证明． 例11 分解因式：.115-x解 115-x1)(35-=x)1)(1(5105++-=x x x+-+-++++++-=45782234)(1)(1)(1x x x x x x x x x x x （).13+-x x )6((最后一步利用了例7及例10).如果沿另一途径分解：115-x1)(53-=x]1)()()())[(1(32333433++++-=x x x x x [根据例7]).1)(1)(1(369122++++++-=x x x x x x x )7(比较(6)、(7)，我们知道136912++++x x x x 不是有理数集内的既约多项式，它可分解为136912++++x x x x).1)(1(34578234+-+-+-++++=x x x x x x x x x x例12 分解因式：.)(444y x y x +++ 解 w 是多项式44)1(1++⋅+x x 的根．事实上，利用(4)，可得44)1(1+++ωω42)(1ωω++=21ωω++=,0=因此，12++x x 是44)1(1+++x x 的因式，22y xy x ++是x y x （++444)y +的因式（这个判断对解444)(y x y x +++)464(43223444y xy y x y x x y x ++++++=)232(2432234y xy y x y x x ++++=)]()()[(2432232232234y xy y x xy y x y x y x y x x ++++++++=.)(2222y xy x ++=小 结在复数集内，)1(≥n n 次多项式。
因式分解技巧(单墫著)1
目录0 什么是因式分解0011 提公因式002 1．1 一次提净002 1．2 视“多”为一003 1．3 切勿漏1 003 1．4 注意符号004 1．5仔细观察004 1．6化“分”为整005 习题1006 2应用公式007 2．1平方差007 2．2立方和与立方差008 2．3完全平方008 2．4完全立方009 2．5问一知三010 2．6121984 不是质数011 习题 2 012 3分组分解013 3．1三步曲013 3．2殊途同归013 3．3平均分配014 3．4瞄准公式015 3．5从零开始015 习题3017 4拆项与添项018 4．1拆开中项018 4．2皆大欢喜018 4．3旧事重提019 4．4无中生有019 4．5配成平方020 习题 4 021 5十字相乘022 5．1知己知彼022 5．2孰能生巧024 5．3再进一步025 5．4二次齐次式026 5．5系数和为零027第1页共87 页第 2 页 共 87 页习题 5 028 6 二次二次式的分解 029 6．1 欲擒故纵 029 6．2 三元齐次 031 6．3 项数不全 032 6．4 能否分解 032 习题60347 综合运用 035 7．1 善于换元 035 7．2 主次分清 037 7．3 一题两解 0387．4 展开处理 039 7．5 巧运匠心 040 习题70428 多项式的一次因式 044 8．1 余数定理 044 8．2 有理根的求法 045 8．3 首1多项式 047 8．4 字母系数 049 习题80509 待定系数法 051 9．1 二次因式 051 9．2 既约的情况 054 习题9 055 10 轮换式与对称式 056 10．1 典型方法 056 10．2 齐次与非齐次 059 10．3 ab c b a 3322-++ 061 10．4 焉用牛刀 062 10．5 整除问题 063 10．6 原来是零 065 10．7 四元多项式 067 习题1006811 实数集与复数集内的分解 071 11．1 求根公式 071 11．2 代数基本定理 073 11．3 单位根 074 11．4 攻玉之石 076 习题1107912 既约多项式 080 12．1 艾氏判别法 08012．2 奇与偶081 12．3分圆多项式083 12．4绝对不可约085 习题12 085 习题答案087第3页共87 页第 4 页 共 87 页0 什么是因式分解在小学里，我们学过整数的因数分解．由乘法，得3×4=12反过来，12可以分解：12=3×4．当然，4还可以继续分解为2×2．于是得12=3×2×2．这时12已经分解成质因数的乘积了．同样地，由整式乘法，得223(12)(1)122x x x x x ＋－＝＋－－． 反过来，23122x x x ＋－－可以分解为两个因式1+2x 与21x －的乘积，即()()232122121x x x x x -＋－－＝＋．21x -还可以继续分解为()()11x x +-．于是23122(12)(1)(1)x x x x x x ＋－－＝＋＋－，这里x 的一次多项式1+2x 、1+x 、1-x 都不能继续分解，它们是不可约多项式，也就是既约多项式，所以，23122x x x ＋－－已经分解成质因式的乘积了．把一个整式写成几个整式的乘积，称为因式分解．每一个乘式称为积的因式．在因式分解中，通常要求各个乘式（因式）都是既约多项式，这样的因式成为质因式．因式分解的方法，我们将逐一介绍．第 5 页 共 87 页1 提公因式学过因式分解的人爱说：“一提、二代、三分组．” “提”是指“提取公因式”．在因式分解时，首先应当想到的是有没有公因式可提． 几个整式都含有的因式称为它们的公因式．例如ma mb mc -、、都含有因式m ，m 就是它们的公因式． 由乘法分配律，我们知道()m a b c ma mb mc ++=+-，因此 ()ma mb mc m a b c +-=++ （1）这表明(1)式左边三项的公因式m 可以提取出来，作为整式ma mb mc +-的因式． ma mb mc +-的另一个因式a b c +-仍由三项组成，每一项等于ma mb mc +-中对应的项除以公因式m ：a ma m =÷，b mb m =÷，c mc m =÷．1．1一次提净例1 分解因式：232212615a x abx y acx ＋－． 解 232212615a x abx y acx ＋－由2312a x 、26abx y 、215acx －这三项组成，它们的数系数12、6、－15的最大公约数是3，各项都含有因式a 和2x ，所以23ax 是上述三项的公因式，可以提取出来作为232212615a x abx y acx ＋－的因式，即有 232212615a x abx y acx ＋－=23(425)ax ax by cx ＋－在例1中，如果只将因式3a 或3ax 提出，那么留下的式子仍有公因式可以提取，这增添了麻烦，不如一次提净为好．因此，应当先检查数系数，然后再一个个字母逐一检查，将各项的公因式提出来，使留下的式子没有公因式可以直接提取．还需注意原式如果由三项组成，那么提取公因式后留下的式子仍由三项组成．在例1中，这三项分别为2312a x 、26abx y 、215acx －除以公因式23ax 所得的商．初学的同学为了防止产生错误，可以采取两点措施：1．在提公因式前，先将原式的三项都写成公因式23ax 与另一个式子的积，然后再提取公因式，即232212615a x abx y acx ＋－=22234323(5)ax ax ax by ax c ⋅⋅⋅＋＋－=23(425)ax ax by c ＋－第 6 页 共 87 页在熟练之后应当省去中间过程，直接写出结果．2．用乘法分配律进行验算．由乘法得出23(425)ax ax by c ＋－=232212615a x abx y acx ＋－．1.2 视“多”为一例2 分解因式：223322()()6()()a b x y b c a b x y b c ＋＋－＋＋．解 原式由222()()a b x y b c ＋＋、3326()()a b x y b c －＋＋这两项组成，它们的数系数的最大公约数是2，两项都含有因式2a 和b ，而且都含有因式x ＋y 与b ＋c ，因此22()()a b x y b c ＋＋是它们的公因式．于是有223322()()6()()a b x y b c a b x y b c ＋＋－＋＋=2222()()()2()()3()a b x y b c x y a b x y b c ab b c ⋅⋅＋＋＋－＋＋＋ =222()()[()3()]a b x y b c x y ab b c ＋＋＋－＋ =2322()()(33)a b x y b c x y ab ab c ＋＋＋－－．在本例中，我们把多项式x ＋y 、b ＋c 分别整个看成是一个字母，这种观点在因式分解时是很有用的．1.3 切勿漏1例3 分解因式：32(2)(2)(2)x y x y x y ＋－＋＋＋解 我们把多项式2x ＋y 看成是一个字母，因此原式由3(2)x y ＋、2(2)x y －＋、2x y ＋这三项组成，2x y ＋是这三项的公因式，于是32(2)(2)(2)x y x y x y ＋－＋＋＋=2(2)(2)(2)(2)(2)1x y x y x y x y x y ⋅⋅⋅＋＋－＋＋＋＋=2(2)[(2)(2)1]x y x y x y ＋＋－＋＋请注意，中括号内的式子仍由三项组成，千万不要忽略最后一项1．在省去中间过程时，尤需加倍留心．第 7 页 共 87 页1.4 注意负号例4 分解因式：433(23)(23)(23)ab x y ac x y a x y －＋＋＋－＋ 解 433(23)(23)(23)ab x y ac x y a x y －＋＋＋－＋=32(23)(3)(23)(23)(23)(23)(1)a x y b x y a x y c x y a x y ⋅⋅⋅⋅＋－＋＋＋＋＋＋－ =32(23)[(3)(23)(23)1]a x y b x y c x y ＋－＋＋＋－注意中括号内的最后一项是－1，千万别漏掉！本例中，原式的第一项有个因数－1，它也可以作为因数提取出来，即433(23)(23)(23)ab x y ac x y a x y －＋＋＋－＋=32(23)3(23)(23)()(23)(23)1a x y b x y a x y c x y a x y ⋅⋅⋅⋅－＋＋－＋－＋－＋=32(23)[3(23)(23)1]a x y b x y c x y －＋＋－＋＋． （2） 这样做也是正确的．但必须注意各项的符号，提出因数－1后各项都应改变符号，所以(2)式的中括号内三项的符号恰与原式中相应的三项相反．1.5 仔细观察例5 分解因式：(23)(32)(23)(23)x y x y y x x y －－＋－＋解 初看起来，原式所含的第一项(23)(32)x y x y －－与第二项(23)(23)y x x y －＋没有公因式，但进一步观察便会发现 23(32)y x x y －＝－－ 因此y x 2－3是两项的公因式．于是有(23)(32)(23)(23)x y x y y x x y －－＋－＋ =(32)[(23)(23)]x y x y x y －－－＋=6(23)y x y －－ 提出公因式后，留下的式子如果可以化简，就应当化简．第 8 页 共 87 页1.6 化“分”为整例6 分解因式：322327364a b a b ab －＋ 解 这里的第三项274ab 的系数是分数，为了避免分数运算，我们把14先提取出来，这时每项都除以14(也就是乘以4)，即 322327364a b a b ab －＋=32231(122427)4a b a b ab －＋=223(489)4ab a b ab －＋ 熟练以后可以将以上两步并作一步，“一次提净”．在提出一个分数因数(它的分母是各项系数的公分母)后，我们总可以使各项系数都化成整数(这个过程实质上就是通分)．并且，还可以假定第一项系数是正整数，否则可用前面说过的方法，把－1作为公因数提出，使第一项系数成为正整数．小 结提公因式是因式分解的基本方法之一．在因式分解时，首先应该想到是否有公因式可提．在与其他方法配合时，即使开始已经提出公因式，但是经过分组或应用公式后还有可能再出现公因式．凡有公因式应立即提净．提公因式时吗，应注意各项的符号，千万不要漏掉一项．第 9 页 共 87 页习 题 1将以下各式分解因式：1 25105x y xyz xy －＋2 ()()()a x a b a x x a －＋－－－3 2(1)(1)(1)x x a x x －＋＋＋＋＋ 431213126n n b b－－＋(n 是正整数) 5 22(1)4(1)p q p －－－6 22222()()mn m n n m n ＋－＋7 (52)(23)(27)(23)a b m p a b m p －＋－－＋ 8 232()6()4()x y x y x y ＋＋＋－＋ 9 22()()()()x y b c x y b c ＋＋－＋＋10 32226(1)8(1)2(1)p x p x p x －－－－－第 10 页 共 87 页2 应用公式将乘法公式反过来写就得到因式分解中所用的公式，常见的有七个公式(1)22()()a b a b a b －＝＋－；(2) 3322()()a b a b a ab b ＋＝＋－＋ (3) 3322()()a b a b a ab b －＝－＋＋(4) 2222()a ab b a b ＋＋＝＋(5) 2222()a ab b a b －＋＝－(6) 3223333()a a b ab b a b ＋＋＋＝＋ (7) 3223333()a a b ab b a b －＋－＝－ 以上公式必须熟记，牢牢找我各自的特点．2．1 平方差七个公式中，公式(1)(即平方差公式)应用得最多．例1 分解因式：229()4()m n m n －－＋．解 原式由两项组成，这两项符号相反，并且29()m n －=2[3()]m n －， 24()m n ＋=2[2()]m n ＋，因此可以应用公式(1)，得229()4()m n m n －－＋=2[3()]m n －－2[2()]m n ＋=[3()2()][3()2()]m n m n m n m n ＋＋＋－－＋ [应用公式(1)] =(5)(5)m n m n －－ [合并同类项]例2 分解因式：6257512x y x y －．解 6257512x y x y －=2443(254)x y x y － [首先提取公因式]=222223[(5)(2)]x y x y － [熟练后这步可以省去]=222223(52)(52)x y x y x y ＋－ [应用公式(1)] 例3 分解因式：222222(35)(53)a b a b －－＋－．解 222222(35)(53)a b a b －－＋－=222222(53)(35)a b a b －－－=22222222[(53)(35)][(53)(35)]a b a b a b a b －＋－－－－[应用公式(1)]=2222(88)(22)a b a b －＋ [合并同类项]=222216()()a b a b －＋ [提公因式]=2216()()()a b a b a b ＋－＋ [应用公式(1)]例3 表明在因式分解中可能需要多次应用公式或提公因式，直到不能继续分解为止．2.2 立方和与立方差例4 分解因式：523972x x y －．解 523972x x y －=2339(8)x x y － [提公因式]=2339[(2)]x x y －=2229(2)(24)x x y x xy y －＋＋ [应用公式(3)]例5 分解因式：66a b ＋．66a b ＋=2323()()a b ＋=22222222()[()()]a b a a b b ＋－＋ [应用公式(2)]=224224()()a b a a b b ＋－＋．公式(2)、(3)中的符号极易搞错，务必引起注意．例6 分解因式：2292416x xy y －＋． 解 原式由三项组成，第一项229(3)x x ＝，第三项2216(4)y y ＝，23424x y xy ⋅⋅＝，与中间一项只差一个符号，因此可以利用公式(5)，得2292416x xy y －＋=2(34)x y －．这样的式子成为(完全)平方式．不是平方式的二次三项式，通常用十字相乘法分解，请参看第5单元．例7 分解因式：2844a a －－．解 首先把原式“理顺”，也就是将它的各项按字母a 降幂(或升幂)排列，从而有2844a a －－=2484a a －＋－=24(21)a a －－＋ [提公因式]=24(1)a －－．按某个字母降幂排列是一个简单而有用的措施(简单的往往是有用的)，值得注意．例8 分解因式：222499181212a b c bc ca ab ＋＋－－＋ 解 我们需要引入一个公式，由乘法可得2222()222a b c a b c ab bc ca ＋＋＝＋＋＋＋＋即若干项的和的平方等于各项的平方与每两项乘积的2倍的和．上面的式子可写成2222222()a b c ab bc ca a b c ＋＋＋＋＋＝＋＋ (8) 这也是一个因式分解的公式．联系到例8就有222499181212a b c bc ca ab ＋＋－－＋=222(2)(3)(3)2(3)(3)2(2)(3)2(2)(3)a b c b c a c a b ＋＋－＋－＋－＋ =2(233)a b c ＋－．显然，公式(4)是公式(8)的特殊情况，当c =0时，公式(8)就简化成公式(4)，公式(5)也是公式(8)的特殊情况．另外，在公式(4)中将b 换成－b ，公式(4)就变成公式(5)．不难看出，公式(2)与(3)，(6)与(7)也有同样的关系．例9 分解因式：33228273654x y x y xy ＋＋＋．解 33228273654x y x y xy ＋＋＋=32238365427x x y xy y ＋＋＋ [按x 降幂排列] =3223(2)3(2)(3)3(2)(3)(3)x x y x y y ＋＋＋=3(23)x y ＋ [应用公式(6)]例10 分解因式：642729243271a a a －＋－． 解 642729243271a a a －＋－=2322223(9)3(9)13(9)11a a a ⋅⋅⋅⋅－＋－=23(91)a － [应用公式(7)]=33(31)(31)a a ＋－． [应用公式(1)]在应用公式(6)、(7)时，需要判明原式是否符合条件，即它应由四项组成，有两项是立方：3a 与3b (或－3b )，另两项应当是23a b (或－23a b )与23ab 这些要求不太容易满足，因此直接应用公式(6)、(7)的情况是比较少的．但是，如果遇到了也不可失之交臂．相比之下，完全平方用得较多，人们常常用它来证明一个式子的值是非负的． 2.5 问一知三例11 分解因式：66a b －解 6a 可以看成平方：632()a a ＝，也可以看成立方：623()a a ＝，于是66a b －的分解就有两条路可走．第一条路是先应用平方差公式：66a b －=3232()()a b －=3333()()a b a b ＋－ [应用公式(1)]=2222()()()()a b a ab b a b a ab b ＋－＋－＋＋ [应用公式(2)(3)] 第二条路是从立方差公式入手：66a b －=2323()()a b －=224224()()a b a a b b －＋＋ [应用公式(3)]=4224()()()a b a b a a b b ＋－＋＋． [应用公式(1)]采用两种方法分解，获得的结果应当相同．因此比较2222()()()()a b a ab b a b a ab b ＋－＋－＋＋与4224()()()a b a b a a b b ＋－＋＋我们知道4224a a b b ＋＋不是既约多项式，并且有4224a a b b ＋＋=2222()()a ab b a ab b ＋＋－＋ (9)及66a b －=2222()()()()a b a b a ab b a ab b ＋－＋＋－＋ (10)于是，从66a b －的分解出发，不但得到(10)式，而且知道4224a a b b ＋＋不是既约多项式，导出了(9)式，可谓问一知三．在第4单元中，我们还要介绍导出(9)式的另一种方法．2．6 198421＋不是质数例12 求证198421＋不是质数．证明 为了将198421＋分解因数，我们需要知道一个新的公式，即在n 为正奇数时123221()()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b L －－－－－＋＝＋－＋－－＋． (11)(11)式不难用乘法验证，将右边的两个因式相乘便得到nn b a ＋． 现在我们有198421＋=643131(2)1＋ =646430642964(21)(2221)⨯⨯L ＋－＋－＋．6421＋是198421＋的真因数，它大于1，小于198421＋，所以198421＋不是质数．用这个方法可以证明：当n 有大于1的奇数因数时，21n＋不是质数．与(11)式类似，由乘法可以得到在n 为正整数时123221()()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b L －－－－－－＝－＋＋＋＋＋ (12)这也是一个有用的公式． 例12 分解因式：51x －．解 51x －=432(1)(1)x x x x x －＋＋＋＋．公式(3)是公式(12)的特例，公式(2)是公式(11)的特例．请注意公式(12)对一切正整数n 成立，而公式(11)的适用范围只是正奇数n ．小 结“一提、二代”中的“代”就是指“应用公式”(代公式)．在这一节介绍了公式(1)～(12)，其中(1)～(7)必须牢记，公式(1)尤为重要．做题时，应当根据具体情况选用公式．习 题 2将以下各式分解因式： 1 216(32)a b －＋2 224(2)y z x －－3 44a b －4 4448116a b c －＋5 3322045a x axy －6 222222(3)(3)a b a b －－－7 88－y x8 516x x －9 2222(523)(23)x x x x ＋－－－－10 339324a b b －11 33381a b c －12 631564x y y ＋13 222222()2()()x a b xy a b y a b ＋－－＋－ 14 22816n n n aa a ＋－＋＋15 2296261n n n a x a x ax ＋＋＋＋＋ 16 222222a b c ab ac bc ＋＋＋－－17 222946412x y z xy xz yz ＋＋－＋－18 3223()3()()3()()()p q p q p q p q p q p q ＋－＋－＋＋－－－19 222224()a b a b －＋20 44()()a x a x ＋－－3 分组分解整式ax by bx ay --+ 的四项没有公因式可以提取，也无法直接应用公式，这样的式子需要分组分解。
因式分解的方法与技巧
因式分解的方法与技巧因式分解是代数中的重要内容，它是将多项式分解成更简单的乘积形式的过程。
在代数运算中，因式分解是非常常见的操作，它不仅在解方程、化简表达式等方面有着重要的应用，而且在数学的其他领域中也有着广泛的应用。
因此，掌握因式分解的方法与技巧对于学习代数和解决实际问题都是非常重要的。
首先，我们来看一些常见的因式分解方法。
其中，最基本的方法是提取公因式。
当一个多项式中的各项都能被一个公因式整除时，我们可以通过提取公因式的方法进行因式分解。
其次，我们可以使用分组法进行因式分解。
分组法是将多项式中的各项进行适当的分组，然后进行公因式提取的方法，通过这种方法可以将复杂的多项式分解成简单的乘积形式。
此外，还有一些特殊的因式分解公式，如平方差公式、立方差公式等，这些公式在因式分解中也有着重要的应用。
除了以上的因式分解方法外，我们还需要掌握一些因式分解的技巧。
首先，要善于观察多项式的特点，有时候通过观察多项式的特点，我们可以很快地找到因式分解的方法。
其次，要善于利用代数运算的性质，如加法、乘法的结合律、分配律等，通过这些性质可以简化多项式的因式分解过程。
此外，要善于灵活运用因式分解公式，有时候可以通过灵活运用公式来简化因式分解的步骤。
最后，要注意因式分解的结果是否符合实际问题的要求，有时候因式分解的结果可能需要进一步化简或变形才能满足实际问题的需要。
在进行因式分解时，我们还需要注意一些常见的错误。
首先，要避免因式分解的步骤出错，因为一旦因式分解的步骤出错，可能会导致最终的结果也是错误的。
其次，要避免因式分解时的疏忽和粗心，因为有时候因式分解的过程可能需要一些细致的计算和观察。
此外，要避免在因式分解过程中出现代数运算的错误，如加减乘除运算的错误。
最后，要避免在因式分解过程中忽略实际问题的要求，有时候因式分解的结果可能需要进一步化简或变形才能满足实际问题的需要。
总之，因式分解是代数中非常重要的内容，掌握因式分解的方法与技巧对于学习代数和解决实际问题都是非常重要的。
分解因式的方法与技巧
分解因式的方法与技巧分解因式是代数学中的一个重要内容，它在解决多项式的因式分解、化简、求根等问题中起着至关重要的作用。
掌握好分解因式的方法与技巧，不仅可以帮助我们更好地理解代数学的知识，还可以在解决实际问题时起到很大的帮助。
下面，我们将介绍一些常见的分解因式的方法与技巧。
首先，我们来看一下一元二次多项式的因式分解方法。
对于一元二次多项式ax^2+bx+c，我们可以通过以下步骤来进行因式分解：1. 首先，我们可以使用求根公式来求出方程ax^2+bx+c=0的根，假设根分别为x1和x2。
2. 然后，我们可以利用求根公式的性质，将一元二次多项式表示为(x-x1)(x-x2)的形式，从而完成因式分解。
在实际应用中，我们还可以通过配方法、分组、公式法等多种方法来进行因式分解，这些方法在不同的情况下都能够发挥作用。
例如，对于一些特殊的多项式，我们可以利用配方法将其化简为完全平方的形式，然后再进行因式分解；对于一些高次多项式，我们可以利用分组的方法将其分解为两个部分，然后再进行因式分解；对于一些特殊的多项式，我们可以直接利用公式法来进行因式分解。
除了以上提到的方法外，我们还可以通过因式分解的技巧来简化问题。
例如，当我们遇到一个多项式无法直接进行因式分解时，我们可以尝试先对其进行化简，然后再进行因式分解；当我们遇到一个多项式中存在公因式时，我们可以先提取公因式，然后再进行因式分解；当我们遇到一个多项式中存在完全平方时，我们可以利用完全平方公式来进行因式分解。
总之，分解因式是代数学中的一个重要内容，掌握好分解因式的方法与技巧对于我们解决多项式相关的问题至关重要。
通过不断的练习和实践，我们可以逐渐掌握这些方法与技巧，并且在实际问题中灵活运用，从而更好地理解代数学的知识，提高解决问题的能力。
希望以上介绍的方法与技巧可以对大家有所帮助，谢谢大家的阅读！。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
目录0 什么是因式分解0011 提公因式002 1．1 一次提净002 1．2 视“多”为一003 1．3 切勿漏1 003 1．4 注意符号004 1．5仔细观察004 1．6化“分”为整005 习题1006 2应用公式007 2．1平方差007 2．2立方和与立方差008 2．3完全平方008 2．4完全立方009 2．5问一知三010 2．6121984 不是质数011 习题 2 012 3分组分解013 3．1三步曲013 3．2殊途同归013 3．3平均分配014 3．4瞄准公式015 3．5从零开始015 习题3017 4拆项与添项018 4．1拆开中项018 4．2皆大欢喜018 4．3旧事重提019 4．4无中生有019 4．5配成平方020 习题 4 021 5十字相乘022 5．1知己知彼022 5．2孰能生巧024 5．3再进一步025 5．4二次齐次式026 5．5系数和为零027第1页共87 页第 2 页 共 87 页习题 5 028 6 二次二次式的分解 029 6．1 欲擒故纵 029 6．2 三元齐次 031 6．3 项数不全 032 6．4 能否分解 032 习题60347 综合运用 035 7．1 善于换元 035 7．2 主次分清 037 7．3 一题两解 0387．4 展开处理 039 7．5 巧运匠心 040 习题70428 多项式的一次因式 044 8．1 余数定理 044 8．2 有理根的求法 045 8．3 首1多项式 047 8．4 字母系数 049 习题80509 待定系数法 051 9．1 二次因式 051 9．2 既约的情况 054 习题9 055 10 轮换式与对称式 056 10．1 典型方法 056 10．2 齐次与非齐次 059 10．3 ab c b a 3322-++ 061 10．4 焉用牛刀 062 10．5 整除问题 063 10．6 原来是零 065 10．7 四元多项式 067 习题1006811 实数集与复数集内的分解 071 11．1 求根公式 071 11．2 代数基本定理 073 11．3 单位根 074 11．4 攻玉之石 076 习题1107912 既约多项式 080 12．1 艾氏判别法 08012．2 奇与偶081 12．3分圆多项式083 12．4绝对不可约085 习题12 085 习题答案087第3页共87 页第 4 页 共 87 页0 什么是因式分解在小学里，我们学过整数的因数分解．由乘法，得3×4=12反过来，12可以分解：12=3×4．当然，4还可以继续分解为2×2．于是得12=3×2×2．这时12已经分解成质因数的乘积了．同样地，由整式乘法，得223(12)(1)122x x x x x ＋－＝＋－－． 反过来，23122x x x ＋－－可以分解为两个因式1+2x 与21x －的乘积，即()()232122121x x x x x -＋－－＝＋．21x -还可以继续分解为()()11x x +-．于是23122(12)(1)(1)x x x x x x ＋－－＝＋＋－，这里x 的一次多项式1+2x 、1+x 、1-x 都不能继续分解，它们是不可约多项式，也就是既约多项式，所以，23122x x x ＋－－已经分解成质因式的乘积了．把一个整式写成几个整式的乘积，称为因式分解．每一个乘式称为积的因式．在因式分解中，通常要求各个乘式（因式）都是既约多项式，这样的因式成为质因式．因式分解的方法，我们将逐一介绍．第 5 页 共 87 页1 提公因式学过因式分解的人爱说：“一提、二代、三分组．” “提”是指“提取公因式”．在因式分解时，首先应当想到的是有没有公因式可提． 几个整式都含有的因式称为它们的公因式．例如ma mb mc -、、都含有因式m ，m 就是它们的公因式． 由乘法分配律，我们知道()m a b c ma mb mc ++=+-，因此 ()ma mb mc m a b c +-=++ （1）这表明(1)式左边三项的公因式m 可以提取出来，作为整式ma mb mc +-的因式． ma mb mc +-的另一个因式a b c +-仍由三项组成，每一项等于ma mb mc +-中对应的项除以公因式m ：a ma m =÷，b mb m =÷，c mc m =÷．1．1一次提净例1 分解因式：232212615a x abx y acx ＋－． 解 232212615a x abx y acx ＋－由2312a x 、26abx y 、215acx －这三项组成，它们的数系数12、6、－15的最大公约数是3，各项都含有因式a 和2x ，所以23ax 是上述三项的公因式，可以提取出来作为232212615a x abx y acx ＋－的因式，即有 232212615a x abx y acx ＋－=23(425)ax ax by cx ＋－在例1中，如果只将因式3a 或3ax 提出，那么留下的式子仍有公因式可以提取，这增添了麻烦，不如一次提净为好．因此，应当先检查数系数，然后再一个个字母逐一检查，将各项的公因式提出来，使留下的式子没有公因式可以直接提取．还需注意原式如果由三项组成，那么提取公因式后留下的式子仍由三项组成．在例1中，这三项分别为2312a x 、26abx y 、215acx －除以公因式23ax 所得的商．初学的同学为了防止产生错误，可以采取两点措施：1．在提公因式前，先将原式的三项都写成公因式23ax 与另一个式子的积，然后再提取公因式，即232212615a x abx y acx ＋－=22234323(5)ax ax ax by ax c ⋅⋅⋅＋＋－=23(425)ax ax by c ＋－第 6 页 共 87 页在熟练之后应当省去中间过程，直接写出结果．2．用乘法分配律进行验算．由乘法得出23(425)ax ax by c ＋－=232212615a x abx y acx ＋－．1.2 视“多”为一例2 分解因式：223322()()6()()a b x y b c a b x y b c ＋＋－＋＋．解 原式由222()()a b x y b c ＋＋、3326()()a b x y b c －＋＋这两项组成，它们的数系数的最大公约数是2，两项都含有因式2a 和b ，而且都含有因式x ＋y 与b ＋c ，因此22()()a b x y b c ＋＋是它们的公因式．于是有223322()()6()()a b x y b c a b x y b c ＋＋－＋＋=2222()()()2()()3()a b x y b c x y a b x y b c ab b c ⋅⋅＋＋＋－＋＋＋ =222()()[()3()]a b x y b c x y ab b c ＋＋＋－＋ =2322()()(33)a b x y b c x y ab ab c ＋＋＋－－．在本例中，我们把多项式x ＋y 、b ＋c 分别整个看成是一个字母，这种观点在因式分解时是很有用的．1.3 切勿漏1例3 分解因式：32(2)(2)(2)x y x y x y ＋－＋＋＋解 我们把多项式2x ＋y 看成是一个字母，因此原式由3(2)x y ＋、2(2)x y －＋、2x y ＋这三项组成，2x y ＋是这三项的公因式，于是32(2)(2)(2)x y x y x y ＋－＋＋＋=2(2)(2)(2)(2)(2)1x y x y x y x y x y ⋅⋅⋅＋＋－＋＋＋＋=2(2)[(2)(2)1]x y x y x y ＋＋－＋＋请注意，中括号内的式子仍由三项组成，千万不要忽略最后一项1．在省去中间过程时，尤需加倍留心．第 7 页 共 87 页1.4 注意负号例4 分解因式：433(23)(23)(23)ab x y ac x y a x y －＋＋＋－＋ 解 433(23)(23)(23)ab x y ac x y a x y －＋＋＋－＋=32(23)(3)(23)(23)(23)(23)(1)a x y b x y a x y c x y a x y ⋅⋅⋅⋅＋－＋＋＋＋＋＋－ =32(23)[(3)(23)(23)1]a x y b x y c x y ＋－＋＋＋－注意中括号内的最后一项是－1，千万别漏掉！本例中，原式的第一项有个因数－1，它也可以作为因数提取出来，即433(23)(23)(23)ab x y ac x y a x y －＋＋＋－＋=32(23)3(23)(23)()(23)(23)1a x y b x y a x y c x y a x y ⋅⋅⋅⋅－＋＋－＋－＋－＋=32(23)[3(23)(23)1]a x y b x y c x y －＋＋－＋＋． （2） 这样做也是正确的．但必须注意各项的符号，提出因数－1后各项都应改变符号，所以(2)式的中括号内三项的符号恰与原式中相应的三项相反．1.5 仔细观察例5 分解因式：(23)(32)(23)(23)x y x y y x x y －－＋－＋解 初看起来，原式所含的第一项(23)(32)x y x y －－与第二项(23)(23)y x x y －＋没有公因式，但进一步观察便会发现 23(32)y x x y －＝－－ 因此y x 2－3是两项的公因式．于是有(23)(32)(23)(23)x y x y y x x y －－＋－＋ =(32)[(23)(23)]x y x y x y －－－＋=6(23)y x y －－ 提出公因式后，留下的式子如果可以化简，就应当化简．第 8 页 共 87 页1.6 化“分”为整例6 分解因式：322327364a b a b ab －＋解 这里的第三项274ab 的系数是分数，为了避免分数运算，我们把14先提取出来，这时每项都除以14(也就是乘以4)，即 322327364a b a b ab －＋=32231(122427)4a b a b ab －＋=223(489)4ab a b ab －＋ 熟练以后可以将以上两步并作一步，“一次提净”．在提出一个分数因数(它的分母是各项系数的公分母)后，我们总可以使各项系数都化成整数(这个过程实质上就是通分)．并且，还可以假定第一项系数是正整数，否则可用前面说过的方法，把－1作为公因数提出，使第一项系数成为正整数．小 结提公因式是因式分解的基本方法之一．在因式分解时，首先应该想到是否有公因式可提．在与其他方法配合时，即使开始已经提出公因式，但是经过分组或应用公式后还有可能再出现公因式．凡有公因式应立即提净．提公因式时吗，应注意各项的符号，千万不要漏掉一项．第 9 页 共 87 页习 题 1将以下各式分解因式：1 25105x y xyz xy －＋ 2 ()()()a x a b a x x a －＋－－－ 3 2(1)(1)(1)x x a x x －＋＋＋＋＋ 431213126n n b b －－＋(n 是正整数) 5 22(1)4(1)p q p －－－ 6 22222()()mn m n n m n ＋－＋7 (52)(23)(27)(23)a b m p a b m p －＋－－＋ 8 232()6()4()x y x y x y ＋＋＋－＋ 9 22()()()()x y b c x y b c ＋＋－＋＋10 32226(1)8(1)2(1)p x p x p x －－－－－第 10 页 共 872 应用公式将乘法公式反过来写就得到因式分解中所用的公式，常见的有七个公式 (1)22()()a b a b a b －＝＋－； (2) 3322()()a b a b a ab b ＋＝＋－＋ (3) 3322()()a b a b a ab b －＝－＋＋ (4) 2222()a ab b a b ＋＋＝＋ (5) 2222()a ab b a b －＋＝－ (6) 3223333()a a b ab b a b ＋＋＋＝＋ (7) 3223333()a a b ab b a b －＋－＝－ 以上公式必须熟记，牢牢找我各自的特点．2．1 平方差七个公式中，公式(1)(即平方差公式)应用得最多． 例1 分解因式：229()4()m n m n －－＋． 解 原式由两项组成，这两项符号相反，并且29()m n －=2[3()]m n －， 24()m n ＋=2[2()]m n ＋，因此可以应用公式(1)，得229()4()m n m n －－＋=2[3()]m n －－2[2()]m n ＋=[3()2()][3()2()]m n m n m n m n ＋＋＋－－＋ [应用公式(1)] =(5)(5)m n m n －－ [合并同类项]例2 分解因式：6257512x y x y －． 解 6257512x yx y －=2443(254)x y x y － [首先提取公因式]=222223[(5)(2)]x y x y － [熟练后这步可以省去] =222223(52)(52)x y x y x y ＋－ [应用公式(1)] 例3 分解因式：222222(35)(53)a b a b －－＋－．解 22222(35)(53)a b a b －－＋－=222222(53)(35)a b a b －－－=22222222[(53)(35)][(53)(35)]a b a b a b a b －＋－－－－[应用公式(1)]=2222(88)(22)a b a b －＋ [合并同类项] =222216()()a b a b －＋ [提公因式] =2216()()()a b a b a b ＋－＋ [应用公式(1)]例3 表明在因式分解中可能需要多次应用公式或提公因式，直到不能继续分解为止．2.2 立方和与立方差例4 分解因式：523972x x y －．解 523972x x y －=2339(8)x x y － [提公因式] =2339[(2)]x x y －=2229(2)(24)x x y x xy y －＋＋ [应用公式(3)] 例5 分解因式：66a b ＋．66a b ＋=2323()()a b ＋=22222222()[()()]a b a a b b ＋－＋ [应用公式(2)]=224224()()a b a a b b ＋－＋．公式(2)、(3)中的符号极易搞错，务必引起注意．例6 分解因式：2292416x xy y －＋．解 原式由三项组成，第一项229(3)x x ＝，第三项2216(4)y y ＝， 23424x y xy ⋅⋅＝，与中间一项只差一个符号，因此可以利用公式(5)，得2292416x xy y －＋=2(34)x y －．这样的式子成为(完全)平方式．不是平方式的二次三项式，通常用十字相乘法分解，请参看第5单元．例7 分解因式：2844a a －－．解 首先把原式“理顺”，也就是将它的各项按字母a 降幂(或升幂)排列，从而有 2844a a －－=2484a a －＋－=24(21)a a －－＋[提公因式] =24(1)a －－．按某个字母降幂排列是一个简单而有用的措施(简单的往往是有用的)，值得注意． 例8 分解因式：222499181212a b c bc ca ab ＋＋－－＋ 解 我们需要引入一个公式，由乘法可得2222()222a b c a b c ab bc ca ＋＋＝＋＋＋＋＋即若干项的和的平方等于各项的平方与每两项乘积的2倍的和．上面的式子可写成2222222()a b c ab bc ca a b c ＋＋＋＋＋＝＋＋ (8) 这也是一个因式分解的公式．联系到例8就有222499181212a b c bc ca ab ＋＋－－＋=222(2)(3)(3)2(3)(3)2(2)(3)2(2)(3)a b c b c a c a b ＋＋－＋－＋－＋ =2(233)a b c ＋－．显然，公式(4)是公式(8)的特殊情况，当c =0时，公式(8)就简化成公式(4)，公式(5)也是公式(8)的特殊情况．另外，在公式(4)中将b 换成－b ，公式(4)就变成公式(5)．不难看出，公式(2)与(3)，(6)与(7)也有同样的关系．例9 分解因式：33228273654x y x y xy ＋＋＋．解 33228273654x y x y x y ＋＋＋=32238365427x x y xy y ＋＋＋ [按x 降幂排列]=3223(2)3(2)(3)3(2)(3)(3)x x y x y y ＋＋＋=3(23)x y ＋ [应用公式(6)] 例10 分解因式：642729243271a a a －＋－．解 642729243271a a a －＋－=2322223(9)3(9)13(9)11a a a ⋅⋅⋅⋅－＋－=23(91)a － [应用公式(7)]=33(31)(31)a a ＋－． [应用公式(1)] 在应用公式(6)、(7)时，需要判明原式是否符合条件，即它应由四项组成，有两项是立方：3a 与3b (或－3b )，另两项应当是23a b (或－23a b )与23ab 这些要求不太容易满足，因此直接应用公式(6)、(7)的情况是比较少的．但是，如果遇到了也不可失之交臂．相比之下，完全平方用得较多，人们常常用它来证明一个式子的值是非负的． 2.5 问一知三例11 分解因式：66a b －解 6a 可以看成平方：632()a a ＝，也可以看成立方：623()a a ＝， 于是66a b －的分解就有两条路可走．第一条路是先应用平方差公式：66a b －=3232()()a b －=3333()()a b a b ＋－ [应用公式(1)] =2222()()()()a b a ab b a b a ab b ＋－＋－＋＋ [应用公式(2)(3)] 第二条路是从立方差公式入手： 66a b －=2323()()a b －=224224()()a b a a b b －＋＋ [应用公式(3)] =4224()()()a b a b a a b b ＋－＋＋． [应用公式(1)]采用两种方法分解，获得的结果应当相同．因此比较2222()()()()a b a ab b a b a ab b ＋－＋－＋＋与4224()()()a b a b a a b b ＋－＋＋我们知道4224a a b b ＋＋不是既约多项式，并且有4224a a b b ＋＋=2222()()a ab b a ab b ＋＋－＋ (9)及66a b －=2222()()()()a b a b a ab b a ab b ＋－＋＋－＋ (10)于是，从66a b －的分解出发，不但得到(10)式，而且知道4224a a b b ＋＋不是既约多项式，导出了(9)式，可谓问一知三．在第4单元中，我们还要介绍导出(9)式的另一种方法．2．6 198421＋不是质数例12 求证198421＋不是质数．证明 为了将198421＋分解因数，我们需要知道一个新的公式，即在n 为正奇数时123221()()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b －－－－－＋＝＋－＋－－＋． (11)(11)式不难用乘法验证，将右边的两个因式相乘便得到nnb a ＋． 现在我们有198421＋=643131(2)1＋=646430642964(21)(2221)⨯⨯＋－＋－＋．6421＋是198421＋的真因数，它大于1，小于198421＋，所以198421＋不是质数．用这个方法可以证明：当n 有大于1的奇数因数时，21n ＋不是质数．与(11)式类似，由乘法可以得到在n 为正整数时123221()()n n n n n n n a b a b a a b a b ab b －－－－－－＝－＋＋＋＋＋ (12)这也是一个有用的公式． 例12 分解因式：51x －．解 51x －=432(1)(1)x x x x x －＋＋＋＋．公式(3)是公式(12)的特例，公式(2)是公式(11)的特例．请注意公式(12)对一切正整数n 成立，而公式(11)的适用范围只是正奇数n ．小 结“一提、二代”中的“代”就是指“应用公式”(代公式)．在这一节介绍了公式(1)～(12)，其中(1)～(7)必须牢记，公式(1)尤为重要．做题时，应当根据具体情况选用公式．习 题 2将以下各式分解因式： 1 216(32)a b －＋ 2 224(2)y z x －－ 3 44a b － 4 4448116a b c －＋ 5 3322045a x axy － 6 222222(3)(3)a b a b －－－ 7 88－y x 8 516x x －9 2222(523)(23)x x x x ＋－－－－ 10 339324a b b － 11 33381a b c － 12 631564x y y ＋13 222222()2()()x a b xy a b y a b ＋－－＋－ 14 22816n n n a a a ＋－＋＋15 2296261n n n a x a x ax ＋＋＋＋＋ 16 222222a b c ab ac bc ＋＋＋－－17 222946412x y z xy xz yz ＋＋－＋－18 3223()3()()3()()()p q p q p q p q p q p q ＋－＋－＋＋－－－ 19 222224()a b a b －＋ 20 44()()a x a x ＋－－3 分组分解整式ax by bx ay 的四项没有公因式可以提取，也无法直接应用公式，这样的式子需要分组分解。