中山市11-12学年高二上学期期末考试(文数)

中山市高二级2012届第一学期期末统一考试

数学试卷（文科）

本试卷满分150分. 考试用时120分钟.

注意事项：

1、答卷前，考生务必用2B 铅笔在答题卡“考生号”处填涂考生号，用黑色字迹钢笔或签字笔将自己姓名、考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2、选择题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。

3、非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上. 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案. 不准使用铅笔和涂改液. 不按以上要求作答的答案无效.

4、考生必须保持答题卡的整洁. 考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

5、不可以使用计算器。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1．抛物线2x y =的焦点坐标是

A ． )0,41(

B ． )41,0(

C ． )0,21(

D ． )2

1,0( 2．已知{}n a 是等比数列，4

1

252==a a ，，则公比q= A ．2 B ．

12 C ．14 D ．18

3．已知△ABC 的三内角A ，B ，C 成等差数列，且AB=1，BC=4，则该三角形面积为 A ．3 B ．2 C ．23 D ．43 4．若,a b R ∈，则以下命题为真的是 A ．若a b >，则

11a b < B ．若||a b >，则11a b

< C ．若a b >，则22a b > D ．若||a b >，则22

a b >

5． 函数6

7

61)(3+-

=x x f 在点（1，1）处的切线方程为 A ．230x y +-= B ．210x y --=

C ．230x y ++=

D ．210x y -+= 6．当x 在(,)-∞+∞上变化时，导函数/()f x 的符号变化如下表：

x

(,1)-∞

1 （1，4）

4 (4,)+∞

/()f x

－

+

－

则函数()f x 的图象的大致形状为

7．已知等差数列：245,4377

,

,的前n 项和为n S ，则使得n S 取得最大值的n 的值为 A ．7 B ．8 C ．7或8 D ．8或9

8．某学习小组进行课外研究性学习，为

了测量不能到达的A 、B 两地，他们 测得C 、D 两地的直线距离2km ，并 用仪器测得相关角度大小如图所示， 则A 、B 两地的距离大约等于（提供 数据：2 1.414,3 1.732≈≈，结果

保留两个有效数字）

A ．0.87km

B ．1.4km

C ．1.7km

D ．2km

9．设正数,x y 满足2

2

12

y x +=，则21x y ?+的最大值为 A ．

32 B ．322 C ．34 D ．324

10．直线l 交抛物线C ：22(0)y px p =>于11(,)A x y 、22(,)B x y 两点，则“12||AB x x p =++”是“直线l 过抛物线C 的焦点”的

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡相应横线上）

11．命题“22

0a b +=，则0a =且0b =”的逆否命题是 。

12．在等差数列{}n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则28a a +=

13．已知命题:p “0x R ?∈，使2

003

208

ax ax +-

>”，若p 是假命题，则实数a 的取值范围为

14．关于双曲线

22

1169

y x -=，有以下说法：①实轴长为6；②双曲线的离心率是54；③焦点坐标为(5,0)±；④渐近线方程是4

3

y x =±

，⑤焦点到渐近线的距离等于3。正确的说法是 .（把所有正确的说法序号都填上）

三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）

15．（本小题满分12分）在等比数列{}n a 中，已知252,16a a ==. （1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）在等差数列{}n b 中，若1582,b a b a ==，求数列{}n b 前n 项和n S .

16．（本小题满分12分）某村计划建造一个室内面积为

800m 2

的矩形蔬菜温室. 在温室内，种植蔬菜时需 要沿左、右两侧与前侧内墙各保留1m 宽的空地作 为通道，后侧内墙不留空地（如图所示），问当温 室的长是多少米时，能使蔬菜的种植面积最大？ 17．（本小题满分14分）△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对边长分别为a 、b 、c ，已知c =3，C =60°。（1）若A =75°，求b 的值；（2）若a =2 b , 求b 的值。

18．（本小题满分14分）已知函数2

()2ln f x x x a =-+（a 为实常数）。 （1）求)(x f 的单调区间；（2）求()f x 在区间1[,2]2

上的最大值与最小值.

19．（本小题满分14分）中山市某家电企业根据市场调查分析，决定调整新产品生产方案，

准备每周（按40个工时计算）生产空调机、彩电、冰箱共120台，且冰箱至少生产20台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表：

家电名称 空调机

彩电

冰箱

工时

12 13 14

产值/千元 4 3 2

问每周应生产空调机、彩电、冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少？（以千元为单位）

20．（本小题满分14分）已知椭圆C的中心在原点，焦点y在轴上，焦距为23，且过点

M

133

(,)

42

。（1）求椭圆C的方程；（2）若过点

1

(,1)

2

N的直线l交椭圆C于A、B两点，

且N恰好为AB中点，能否在椭圆C上找到点D，使△ABD的面积最大？若能，求出点D的坐标；若不能，请说明理由。

数学试卷（文科）参考答案

一、选择题

二、填空题答案：

11．若0a ≠，或0b ≠，则2

2

0a b +≠ 12．180

13．30a -≤≤ 14．②④⑤

三、解答题 15. 解：（1）由 25216,a a ==，得q =2，解得11a =，从而12n n a -=. …………5分 （2）由已知得18162,b b ==，又8181()b b d =++，解得d =-2. ………………8分

∴21111621722

()()

()n n n n n s nb d n n n

--=+=+-=-+ ………………12分

16．解：设温室的长为x m ，则宽为

800

x

m （x>0）， ………2分 所以可种植蔬菜的面积为

800()(2)(

1)S x x x =--1600

802()x x =-+. ………6分 令1600()g x x x =+，则21600

()1g x x

'=-. 由()0g x '=，得40x =.

当(0,40),()0,()x g x g x '∈<时为减函数，当(40,),(0,()x g x g x '∈+∞>时为增函数. ∴ 当40x =时，()g x 取得最小值，S （x ）取得最大值. 答：温室的长为40m 时，蔬菜的种植面积最大. ………12分

17．解：（1）由0

75A =，得00

180()45=-+=B A C …………………………2分

由正弦定理知

sin sin b c

B C

=， ……………………………………………3分 0

sin 3sin 456sin sin 60

∴===c B b C …………………………………………7分 （2）由余弦定理知222

2cos c a b ab C =++， ……………………………9分 将2a b =代入上式得

22029(2)22cos603b b b b b =+-??= ……………………………………12分

∴=±> 3,0b b

3b ∴= ……………………………………………………………………14分

18．解：（1）/

2

()2f x x x

=-

……………………………1分 函数()f x 的定义域为{|0}x x >

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

B

B

A

D

A

C

C

B

D

C

令/

()0f x >，有210

0x x ?->?>?，解之得1x > ………………3分

令/

()0f x <，有2100

x x ?-?，或01x << ………………4分

所以函数)(x f 的单调区间为(0,1)，(1,)+∞。 ………………6分

[端点1包含与否，不扣分]

（2）当x 在1[,2]2

上变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表： ………10分

由表知，函数min ()1f x a =-， ………12分

又21111

()()2ln

2ln 22224

f a a =-+=++，

2(2)22ln 242ln 2f a a =-+=-+， 1114

()(2)(2ln 2)(42ln 2)4ln 20244

f f a a -=++--+=-<， 所以()42ln 2MAX f x a =-+. ………………………14分

19．解：设该企业每周应生产空调机x 台、彩电y 台，则应生产冰箱120x y --台，产值

为432(120)2240z x y x y x y =++--=++（千元）， ………………2分 所以,x y 满足约束条件

12020111(120)402

3400x y x y x y x y --≥?

??++--≤?

??≥?

≥??

， 即100312000

x y x y x y +≥??+≤??≥??≥?…………………………………6分 可行域如右图………………………9分 联立方程组

1003120x y x y +=??

+=?，解得10

90x y =??=?

………………11分 将0:20l x y +=平移到过点(10,90)A 时，z 取最大值， max 350z =（千元）……………………13分

答：每周应生产空调机10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是

350千元。…………14分

20．解：（1）法一：依题意，设椭圆方程为22

221(0)y x a b a b

+=>>，则 …………1分

223c =，3c = …………………………………………………………………2分

因为椭圆两个焦点为12(0,3),(0,3)F F -，所以 122||||a MF MF =+=

22133()(3)42-

++22133

()(3)42

+-+-=4 ………4分 2a ∴=2221b a c ∴=-= …………………………………………………………5分 ∴椭圆C 的方程为2

214

y x += ……………………………………………………6分

法二：依题意，设椭圆方程为22

221(0)y x a b a b

+=>>，则 ………………………1分

222

2223313()()241c a b ?=???-?+=??，即2222

33131416a b a b ?-=??+=??，解之得21a b =??=? …………………5分 ∴椭圆C 的方程为2

214

y x +=…………………………………………………………6分

（2）法一：设A 、B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ， 则1

212

1,1222x x y y ++== ………………………7分 2

21114y x +=………………① 2

22214

y x +=………………② ①-②，得

22

22121204y y x x -+-= 121212

12()1

2

244AB y y x x k y y x x --+-∴====-+-…………………………………………9分

设与直线AB 平行且与椭圆相切的直线方程为:20l x y m '++=

联立方程组2

21420y x x y m ?+=???++=?

，消去y 整理得228440x mx m ++-=

由判别式

22

1632(4)0m m ?=--= 得22m =± …………………………12分 由图知，当22m =时，l '与椭圆的切点为D ，

此时△ABD 的面积最大

2

22242

D D m m x y =∴=-=-∴=-

所以D 点的坐标为2

(,2)2

-

- ………………14分 法二：设直线AB 的方程为11()2

y k x -=-，

联立方程组22 1 4

11()2

y x y k x ?+=????-=-??，消去y 整理得

222

21(4)(2)304

k x k k x k k +--+--=

设A 、B 两点的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，则2122

21,24

k k

x x k k -+==∴=-+ 所以直线AB 的方程为

1

12()

2y x -=--，即220x y +-=……………9分

（以下同法一）