函数的最大最小值
函数的最大值和最小值
例1、求下列函数的最值： 、求下列函数的最值：
(1) y = x
2
− 2 x − 3, x ∈ R − 2 x − 3, x ∈ [ −1, 4]
( 2) y = x
2
( 3) y = x
2
− 2 x − 3, x ∈ [ −2, 0] − 2 x − 3, x ∈ [ 0, 4]
( 4) y = x
2
x2、函数的最ຫໍສະໝຸດ 值 、设函数y = f ( x) 在x0处的函数值是f ( x0 )
如果不等式f ( x) ≤ f ( x0 ) 对于定义域内任意x都成立， 记作ymax = f ( x0 ) 那么f ( x0 )叫做函数y = f ( x)的最大值。
y
f(x0) x 0 a x0 b
3、求函数的最值或值域的常见方法： 、求函数的最值或值域的常见方法： （1）利用一元二次函数的性质 ） （2）利用基本不等式 ） （3）利用函数的单调性 ） （4）利用一元二次方程有实根， ）利用一元二次方程有实根， 也称“△” 即△≥0也称“△”法。 也称“△”法 （5）利用“耐克”线 ）利用“耐克”
2
练习：求下列函数的最值： 练习：求下列函数的最值：
1 (1) y = 8 + 2 x − x , x ∈ −1, 2
2
( 2) y = 8 + 2x − x
2
, x ∈ ( −2, 2]
( 3) y = 8 + 2 x − x
2
,x ≤0
例2、求y = 8 + 2 x − x 的最值。
1 ( 5) y = x − ( x ≥ 2 ) x 2x +1 ( 6) y = ( x > 1) x −1
初三数学函数的最大值与最小值知识精讲
初三数学函数的最大值与最小值知识精讲函数的最大值与最小值在经济生活中常常遇到在一定条件下怎样使运费最省、利润最多、容积最大、材料耗费最少等效益问题，这类问题的解决往往归结为求某个函数在自变量允许取值范围内的最大值或最小值，这类问题涉及的知识面广，综合性强，解法灵活，因而对于培养学生的数学能力具有重要作用。
1. 一次函数的最大值与最小值一次函数y kx b =+在其定义域（全体实数）内是没有最大值和最小值的，但是如果对自变量x 的取值范围有所限制时，一次函数就可能有最大值和最小值了。
2. 二次函数的最大值与最小值。
①对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。
②求二次函数的最值时，应注意自变量的取值范围。
例（1999天津）已知关于x 的方程x x k 220-+=有实数根x x 12,，且y x x =+1323，试问：y 值是否有最大值或最小值，若有试求出其值，若没有请说明理由。
分析：利用根与系数的关系，将y 变形为用k 的代数式来表示并注意有实根时，其判别式为非负。
解： x x k 220-+=有实数根[]∴-≥∴≤+==∴=+=++-=-=-∴==24012324386122121213231212212k k x x x x ky x x x x x x x x k k y k y k k y ,()()()是关于的一次函数且值随值的增大而减少。
当时，。
最小例（1997陕西）如图所示的抛物线是把y x =-2经过平移而得到的，这时抛物线过原点O 和x 轴正向上一点A ，顶点为P 。
（1）当∠=OPA 90 时，求抛物线的顶点P 的坐标及解析表达式。
（2）求如图所示的抛物线对应的二次函数在1232≤<x 时的最大值和最小值。
yPx O A解：（1） ∆OPA 是等腰直角三角形∴=--+∴-+===∴=--+=-+点的横、纵坐标相等设点的坐标是（），所求解析式为在抛物线上，解得（舍）抛物线的解析式为（）P P a a y x a aO a a a a P y x x x ,()(,)(,)22220000111112（2）当时，最大x y ==-+⨯=112112当时，函数值随的增大而增大。
函数的最大值和最小值
函数的最大值和最小值函数的最大值和最小值是数学中重要的概念，它们可以提供函数的极限性质和图像的关键信息。
在本文中，我们将探讨函数的最大值和最小值的定义、计算方法以及在实际问题中的应用。
一、定义设函数$f(x)$在区间$I$上有定义，$x_0$是$I$的内点，则称$f(x_0)$是$f(x)$在$I$上的最大值（或极大值），如果对于任意$x\in I$，都有$f(x)\leq f(x_0)$成立；同样，$f(x_0)$是$f(x)$在$I$上的最小值（或极小值），如果对于任意$x\in I$，都有$f(x)\geq f(x_0)$成立。
二、计算方法1. 首先，我们需要找到函数$f(x)$的极值点（即导数为0或不存在的点）以及区间$I$的端点。
2. 然后，我们需要比较这些点和端点对应的函数值，找到函数在这些点上的最大值和最小值。
3. 最后，我们需要比较上述最大值和最小值，找到函数在整个区间$I$上的最大值和最小值。
需要注意的是，如果函数在某一点处没有导数或者导数不存在，那么这个点也可能是函数的最大值或最小值。
此时，我们需要通过其他方法（例如使用左极限和右极限）来判断函数在该点上的极值性质。
三、应用函数的最大值和最小值在很多实际问题中都有重要的应用。
以下是几个例子：1. 生产问题：假设一家工厂生产某种产品，每天可生产$x$件。
设$C(x)$是当天生产$x$件产品的总成本（包括生产和运输成本）。
如果我们希望生产最少的产品来达到最低成本，那么需要找到$C(x)$的最小值点，以及在该点处的最小成本。
2. 经济问题：有一种商品的需求量$D(p)$与它的价格$p$相关。
如果我们希望在某一价格范围内销售最大量的商品，那么需要找到$D(p)$的最大值点，以及在该点处的最大需求量。
3. 地理问题：假设一辆汽车可以在不加油的情况下行驶$D$公里。
设$v(x)$是汽车在速度为$x$千米/小时时的油耗。
如果我们希望以最少的油耗行驶最远的距离，那么需要找到$v(x)$的最小值点，以及在该点处汽车的最大行驶距离。
函数的最大值与最小值
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各 函数在其定义域上的最大值与最小值至多各 有一个,而函数的极值则可能不止一个 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有 有一个 而函数的极值则可能不止一个 也可能没有 极值,并且极大值 极小值)不一定就是最大值 最小 极值 并且极大值(极小值 不一定就是最大值(最小 并且极大值 极小值 不一定就是最大值 但除端点外在区间内部的最大值(或最小值 值),但除端点外在区间内部的最大值 或最小值 则 但除端点外在区间内部的最大值 或最小值),则 一定是极大值(或极小值 或极小值). 一定是极大值 或极小值 (4)如果函数不在闭区间 如果函数不在闭区间[a,b]上可导 则在确定函 上可导,则在确定函 如果函数不在闭区间 上可导 数的最值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端 数的最值时 不仅比较该函数各导数为零的点与端 点处的值,还要比较函数在定义域内各不可导的点 点处的值 还要比较函数在定义域内各不可导的点 处的值. 处的值 (5)在解决实际应用问题中 如果函数在区间内只 在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只 在解决实际应用问题中 有一个极值点(这样的函数称为单峰函数 这样的函数称为单峰函数),那么要根 有一个极值点 这样的函数称为单峰函数 那么要根 据实际意义判定是最大值还是最小值即可,不必再 据实际意义判定是最大值还是最小值即可 不必再 与端点的函数值进行比较. 与端点的函数值进行比较
函数的最大值与最 小值与导数
1.当函数 当函数f(x)在x0处连续时,判别 0)是极大 小)值的 在 处连续时 判别f(x 是极大(小 值的 当函数 判别 是极大 方法是: 方法是 如果在x 右侧f ①如果在 0附近的左侧 f/（x）>0 ,右侧 /(x)<0 ,那 ） 右侧 那 是极大值; 么,f(x0)是极大值 是极大值 如果在x 右侧f ②如果在 0附近的左侧 f/(x)<0, 右侧 /(x)>0 ,那 那 是极小值. 么,f(x0) 是极小值 2.导数为零的点是该点为极值点的必要条件 而不是充 导数为零的点是该点为极值点的必要条件,而不是充 导数为零的点是该点为极值点的必要条件 分条件.极值只能在函数的 极值只能在函数的导数为零且在其附近左右 分条件 极值只能在函数的导数为零且在其附近左右 时取到. 两侧的导数异号时取到 两侧的导数异号时取到 3.在某些问题中 往往关心的是函数在一个定义区间上 在某些问题中,往往关心的是函数在一个定义区间上 在某些问题中 往往关心的是函数在一个定义区间上, 哪个值最大,哪个值最小 而不是极值. 哪个值最小,而不是极值 哪个值最大 哪个值最小 而不是极值
函数的最大值与最小值
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且 极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点 外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值 (或极小值).
(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最 值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值, 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值. (5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个 极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际 意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的 函数值进行比较.
练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最 大值. 2 p1 解: f ( x) p x(1 x) [2 (2 p) x].
2 . 令 f ( x ) 0,解得 x1 0, x2 1, x3 2 p 2 p 2 p ) 4( ) , 在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0, f ( 2 p 2 p p 2 p 故所求最大值是4( ) . 2 p
75 2 75 2 , f (1 2 ) . 相应的函数值为: f (1 2 ) 2 2 又f(x)在区间端点的函数值为:f(-1)=6,f(3)=0 75 2 ; 比较得, f(x)在点 x1 1 2 处取得最大值 2 75 2 . 在点 x2 1 2 处取得最小值 2
二、新课——函数的最值y源自观察右边一 个定义在区间 [a,b]上的函数 a x1 o X X b x y=f(x)的图象. f(x2) f(x1)、f(x3) 是极小值，_________ 发现图中____________ 是极 f(b) ，最小值 大值，在区间上的函数的最大值是______ f(x3) 。 是_______
求函数最大值最小值的方法
求函数最大值最小值的方法
求函数的最大值和最小值可以通过7种方法：1、配方法；2、判别式法；
3、利用函数的单调性；
4、利用均值不等式；
5、换元法；
6、数形结合法；
7、利用导数求函数最值。
1、配方法：形如的函数，根据二次函数的极值点或边界点的取值确定函数的最值。
2、判别式法：形如的分式函数，将其化成系数含有y的关于x的二次方程。
由于，所以≥0，求出y的最值，此种方法易产生增根，因而要对取得最值时对应的x值是否有解检验。
3、利用函数的单调性：首先明确函数的定义域和单调性，再求最值。
4、利用均值不等式，形如的函数，注意正、定等的应用条件，即：a，b均为正数，是定值，a=b的等号是否成立。
5、换元法：形如的函数，令，反解出x，代入上式，得出关于t的函数，注意t的定义域范围，再求关于t的函数的最值。
还有三角换元法，参数换元法。
6、数形结合法：形如将式子左边看成一个函数，右边看成一个函数，
在同一坐标系作出它们的图象，观察其位置关系，利用解析几何知识求最值。
求利用直线的斜率公式求形如的最值。
7、利用导数求函数最值。
函数的最大值最小值
最小值．
x 1
解：设x1,x2是区间[2,6]上的任意两个实数，且x1<x2,
则
f (x1)
f
(x2 )
2 x1 1
2 x2 1
2[(x2 1) (x1 1)] (x2 1)(x1 1)
2(x2 x1) (x2 1)(x1 1)
由于2<x1<x2<6,得x2- x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是
结论：闭区间上的单调函数的最值在区间 的端点处取得。
利用函数单调性判断函数的最大(小)值的方法
1.利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大(小)值
2. 利用图象求函数的最大(小)值
3.利用函数单调性的判断函数的最大(小)值
如果函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递增，则函 数y=f(x)在x=a处有最小值f(a),在x=b处有最大值 f(b如) 果；函数y=f(x)在区间[a，b]上单调递减，在区 间[b，c]上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值 f(b)；
课堂练习
1、函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，
则a的取值范围是( ) D
A、a≥3
B、a≤3
C、a≥-3
D、a≤-3
2、在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上 递减，在[-2,+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的 值域__[2_1_,_3_9_] _____.
例3、“菊花”烟花是最壮 观的烟花之一.制造时一般是 期望在它达到最高点时爆裂. 如果在距地面高度h m与时 间t s之间的
关系为:
h(t)= -4.9t2+14.7t+18 ，
函数的最大值与最小值
(3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且 极大值(极小值)不一定就是最大值(最小值),但除端点 外在区间内部的最大值(或最小值),则一定是极大值 (或极小值).
(4)如果函数不在闭区间[a,b]上可导,则在确定函数的最 值时,不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值, 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值. (5)在解决实际应用问题中,如果函数在区间内只有一个 极值点(这样的函数称为单峰函数),那么要根据实际 意义判定是最大值还是最小值即可,不必再与端点的 函数值进行比较.
练习2:求函数f(x)=p2x2(1-x)p(p是正数)在[0,1]上的最 大值. 2 p1 解: f ( x) p x(1 x) [2 (2 p) x].
2 . 令 f ( x ) 0,解得 x1 0, x2 1, x3 2 p 2 p 2 p ) 4( ) , 在[0,1]上,有f(0)=0,f(1)=0, f ( 2 p 2 p p 2 p 故所求最大值是4( ) . 2 p
x1 (0,2), 所以当 x 2 时, S ( x )max 3 2 3 32 3 ,0) 时,矩形的最大面积是 . 因此当点B为( 2 2 9
2 3
3 32 3 . 9
3
例2:已知x,y为正实数,且x2-2x+4y2=0,求xy的最大值. 解:由x2-2x+4y2=0得:(x-1)2+4y2=1.
1 1 2 2 例3:证明不等式: ln x ( x 1) 1 (1 x )3 ( x 0). x 2 3 1 1 2 2 3 f ( x ) ln x ( x 1 ) ( x 1 ) ( x 0). 证 :设 x 2 3 1 1 2 3 2x 1 则 f ( x ) 2 ( x 1) 2( x 1) ( x 1) 2 , x x x
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∞，4]上单调递减，因此1－a≥4，即a≤－3.故填a≤－3. [错因分析] 导致上述错解的原因是把“单调区间”误认为是“在区
间上单调”．
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第三章 函数的概念与性质
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第2课时 函数的最大(小)值
第三章 函数的概念与性质
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知识点
基础知识 函数的最大值和最小值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M(或m)满足
条件 结论
(1)∀x∈I，都有f(x)≤M；
(3)∀x∈I，都有f(x)≥m；
(2)__∃_x_0∈__I_，__使__得__f_(x_0_)＝__M_________ (4)∃x0∈I，使得f(x0)＝m
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第三章 函数的概念与性质பைடு நூலகம்
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【对点练习】❸ 求函数f(x)＝x2－2x＋2在区间[t，t＋1]上的最小值
g(t)．
[解析] f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[t，t＋1]，t∈R，对称轴
为直线x＝1.
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第三章 函数的概念与性质
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第三章 函数的概念与性质
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关键能力·攻重难
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第三章 函数的概念与性质
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题型一 利用图象求最值
题型探究
例 1 已知函数 f(x)＝1x0<x<1 ，求函数 f(x)的最值． x1≤x≤2
[分析] 可作出分段函数的图象，利用图象法求函数最值．
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第三章 函数的概念与性质
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3 ． 若定 义在 区 间 (0,3]上 的函 数 y ＝f(x) 是 减函 数 ，则 它 的最 大值
( D) A．是f(0)
B．是f(3)
C．是0
D．不存在
[解析] ∵y＝f(x)在区间(0,3]上是减函数， ∴当x＝3时，f(x)取最小值f(3)，f(x)无最大值．故选D．
当t＋1<1，即t<0时，函数图象如图1所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上
为减函数，所以最小值为g(t)＝f(t＋1)＝t2＋1； 当t≤1≤t＋1，即0≤t≤1时，函数图象如图2所示，最小值为g(t)＝
f(1)＝1；当t>1时，函数图象如图3所示，函数f(x)在区间[t，t＋1]上为增
函数．
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第三章 函数的概念与性质
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[归纳提升] 1.利用函数单调性求最值的一般步骤： (1)判断函数的单调性．(2)利用单调性写出最值． 2．利用单调性求最值的三个常用结论
(1)如果函数f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则f(x)在区间[a，b]的
左、右端点处分别取得最小(大)值和最大(小)值． (2)如果函数f(x)在区间(a，b]上是增函数，在区间[b，c)上是减函数，
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第三章 函数的概念与性质
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[分析] (1)由于 f(x·y)＝f(x)＋f(y)对任意 x，y∈(0，＋∞)都成立，故 可给 x、y 赋值产生 f(1)．
(2)欲证 f(x)在(0，＋∞)上为增函数，需证对任意 x1，x2∈(0，＋∞) 且 x1<x2，有 f(x1)－f(x2)<0.结合已知条件 x>1 时， f(x)>0，这里xx12>1.∴ f(xx12)>0，即 f(x2·x11)＝f(x2)＋f(x11)>0，于是在 f(x·y)＝f(x)＋f(y)中令 y＝1x可得 f(x)＋f(1x)＝0，从而 f(1x)＝－f(x)．从而有 f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(x11)＝f(xx21)>0， 即可沟通条件与结论．
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第三章 函数的概念与性质
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(1)当x∈R时，f(x)＝3(x－2)2－7≥－7，当x＝2时，等号成立． 故当x∈R时，函数f(x)的最小值为－7，无最大值． (2)由图可知，在[0,3]上，函数f(x)在x＝0处取得最大值，最大值为 5； 故x＝2处取得最小值，最小值为－7. (3)由图可知，函数f(x)在[－1,1]上是减函数，在x＝－1处取得最大 值，最大值为20；在x＝1处取得最小值，最小值为－4.
[正解] 因为函数的单调递减区间为(－∞，4]，所以1－a＝4，即a＝ －3.故实数a的取值集合是{－3}．
[方法点拨] 单调区间是一个整体概念，比如说函数的单调递减区间 是I，指的是函数递减的最大范围为区间I，而函数在某一区间上单调，则 指此区间是相应单调区间的子区间．所以我们在解决函数的单调性问题 时，不能混淆在区间D上单调和区间D上是单调函数这两个不同的概念．
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第三章 函数的概念与性质
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题型三 二次函数的最值
例 3 已知函数f(x)＝3x2－12x＋5，当自变量x 在下列范围内取值时，求函数的最大值和最小值．
(1)R；(2)[0,3]；(3)[－1,1]． [解析] f(x)＝3x2－12x＋5＝3(x－2)2－7，作出函 数y＝f(x)的图象，如图所示．
以函数 f(x)的图象应为图中的实线部分．解方程 x＋2＝10－x，得 x＝4，
此时 y＝6，故两图象交点为(4,6)．观察图象知，两图象的交点即为 f(x)
的图象的最高点，即 f(x)的最大值为 6.
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第三章 函数的概念与性质
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题型二 利用单调性求最值 例 2 已知函数 f(x)＝xx－ ＋12.
所以最小值为g(t)＝f(t)＝t2－2t＋2.
t2＋1，t<0，
综上可得，g(t)＝1，0≤t≤1， t2－2t＋2，t>1.
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第三章 函数的概念与性质
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误区警示
混淆“单调区间”和“区间上单调” 例 4 若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2的单调递减区间是(－∞，4]，
M为函数y＝f(x)的最大值
m为函数y＝f(x)的最小值
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第三章 函数的概念与性质
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思考：函数的最值与值域有怎样的关系？ 提示：联系：函数的最值和值域反映的是函数的整体性质，针对的 是整个定义域． 区别：(1)函数的值域一定存在，函数的最值不一定存在． (2)若函数的最值存在，则最值一定是值域中的元素． (3)若函数的值域是开区间，则函数无最值；若函数的值域是闭区 间，则闭区间的端点值就是函数的最值．
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第三章 函数的概念与性质
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2．函数y＝－|x|在R上( A ) A．有最大值0，无最小值 B．无最大值，有最小值0 C．既无最大值，又无最小值 D．以上都不对 [解析] 函数y＝－|x|在(－∞，0]上递增，在(0，＋∞)上递减，∴当x ＝0时，y取最大值0，无最小值．
(1)求证：f(x)在[3,5]上为增函数； (2)求 f(x)在[3,5]上的最大值和最小值．
[分析] 利用函数单调性来求函数最值，即先判断函数的单调性，再 求最值．
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第三章 函数的概念与性质
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[解析] (1)证明：任取 x1，x2∈[3,5]且 x1<x2，则 f(x1)－f(x2)＝xx11＋－21－xx22＋－21 ＝x1－1x2x＋1＋22－x2x＋2－21 x1＋2 ＝x1x2＋2x1－xx21－＋22－xx21＋x2－2 2x2＋x1＋2 ＝x13＋x21－xx2＋2 2
则函数f(x)在区间(a，c)上有最大值f(b)． (3)如果函数f(x)在区间(a，b]上是减函数，在区间[b，c)上是增函数，
则函数f(x)在区间(a，c)上有最小值f(b)．
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第三章 函数的概念与性质
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【对点练习】❷ 已知函数 f(x)＝x＋2x1，x∈[－3，－2]，求函数的最 大值和最小值．
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第三章 函数的概念与性质
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(3)利用(2)和条件 f(31)＝－1 可得 f(3)，求得 f(m)＝2，将不等式 f(x)－
f(x－2)≥2 化为 f(x)≥f(x－2)＋f(m)的形式结合条件即可得 f(x)≥f[m(x－
2)]，再利用单调性脱去符号“f”即可求解．莫忘定义域的限制．
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第三章 函数的概念与性质
[解析] 作出f(x)的图象如图：
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由图象可知，当x＝1时，f(x)取最小值1，无最大值．
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第三章 函数的概念与性质
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[归纳提升] 利用图象法求函数最值的一般步骤是：
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第三章 函数的概念与性质
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第三章 函数的概念与性质
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学科素养
逻辑推理——抽象函数 例 5 已知函数 f(x)的定义域是(0，＋∞)，f(x·y)＝f(x)＋f(y)，对任
意 x，y∈(0，＋∞)都成立．当 x>1 时， f(x)>0. (1)求 f(1)； (2)求证：f(x)在定义域上是增函数； (3)如果 f(13)＝－1，求满足不等式 f(x)－f(x－2)≥2 的 x 的取值范围．