全国中考数学真题解析120考点汇编 二次函数的几何应用
中考数学《二次函数》专题含解析考点分类汇编.doc
2019-2020 年中考数学《二次函数》专题含解析考点分类汇编一、选择题1．若二次函数 y=ax2的图象经过点 P（﹣ 2， 4），则该图象必经过点（）A．（ 2， 4）B．（﹣ 2，﹣ 4） C．（﹣ 4，2） D．（ 4，﹣ 2）．在二次函数y=﹣x2+2x+1 的图象中，若 y 随 x 的增大而增大，则 x 的取值范围是（）2A．x＜1 B．x＞1C． x＜﹣ 1 D． x＞﹣ 122x c 与 y 轴的交点为（ 0，﹣ 3），则下列说法不正确的是（）3．若抛物线 y=x ﹣+A．抛物线开口向上B．抛物线的对称轴是x=1C．当 x=1 时， y 的最大值为﹣ 4D．抛物线与 x 轴的交点为（﹣ 1，0），（ 3，0）4．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）过点（ 1，0）和点（ 0，﹣ 2），且顶点在第三象限，设 P=a﹣ b+c，则 P 的取值范围是（）A．﹣ 4＜ P＜ 0 B．﹣ 4＜ P＜﹣ 2C．﹣ 2＜P＜0D．﹣ 1＜P＜02bx c 的图象先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得图象的函5．抛物线 y=x + +数解析式为 y=（ x﹣ 1）2﹣4，则 b、c 的值为（）A．b=2， c=﹣6 B．b=2， c=0 C． b=﹣6，c=8 D．b=﹣ 6， c=2（≠）的图象与x轴的交点坐标为（﹣，），则抛物线2+bx 6．若一次函数 y=ax+b a 0 2 0 y=ax的对称轴为（）A．直线 x=1 B．直线 x=﹣2 C．直线 x=﹣1 D．直线 x=﹣47．将抛物线 y=（x﹣1）2+3 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位后所得抛物线的解析式为（）A．y=（ x﹣ 2）2 B．y=（x﹣ 2）2+6 C．y=x2+6D．y=x28．已知二次函数 y=ax2+bx+c（ a≠ 0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．ac＞ 0B．当 x＞ 1 时， y 随 x 的增大而减小C．b﹣2a=0D．x=3 是关于 x 的方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根9．对于抛物线 y=﹣（ x+1）2 +3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣ 1， 3）；④x＞1 时， y 随 x 的增大而减小，其中正确结论的个数为（）A．1B． 2C．3D．4．二次函数2+bx 的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b 的图象大致是（）10 y=axA．B．C．D．二、填空题11．已知二次函数的y=ax2+bx+c（ a≠ 0）图象如图所示，有下列5 个结论：① abc＜ 0；②b＜a+c；③ 4a+2b+c＞ 0；④ 2c＜ 3b；⑤ a+b＜ m（am+b）（ m≠1 的实数），其中正确结论的序号有．．若关于 x 的函数2+2x ﹣1 与 x 轴仅有一个公共点，则实数 k 的值为． 12 y=kx13．如图，抛物线的顶点为 P （﹣ 2， 2），与 y 轴交于点 A （0，3）．若平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动到点 P ′（ 2，﹣ 2），点 A 的对应点为 A ′，则抛物线上 PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为．．二次函数 2 +1 的图象的顶点坐标是． 14 y=x．若抛物线2+bx+c 与 x 轴只有一个交点，且过点A （ m ，n ），B （m+6，n ），则15 y=xn=．16．如图，一段抛物线： y=﹣x （x ﹣ 3）（ 0≤x ≤ 3），记为 C 1，它与 x 轴交于点 O ，A 1；将 C 1 绕点 A 1 旋转 180°得 C 2，交 x 轴于点 A 2； 将 C 2 绕点 A 2 旋转 180°得 C 3，交 x 轴于点 A 3；如此进行下去，直至得 C 13．若 P （37， m ）在第 13 段抛物线 C 13 上，则 m=．．抛物线2+1 的最小值是．17 y=x18．如图，以扇形 OAB的顶点 O 为原点，半径 OB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，点 B 的坐标为（ 2，0），若抛物线 y= x2+k 与扇形 OAB 的边界总有两个公共点，则实数 k 的取值范围是．19．请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点（ 0， 1）的抛物线的解析式， y=．三、解答题20．如图，抛物线y=a（x﹣1）2+4 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，过点 C 作 CD ∥x 轴交抛物线的对称轴于点 D，连接 BD，已知点 A 的坐标为（﹣ 1，0）（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）求梯形 COBD的面积．21．如图，抛物线与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交 C 点，点 A 的坐标为（ 2，0），点 C 的坐标为（ 0， 3）它的对称轴是直线 x= ．（1）求抛物线的解析式；（2）M 是线段 AB 上的任意一点，当△ MBC 为等腰三角形时，求 M 点的坐标．二次函数参考答案与试题解析一、选择题1．若二次函数y=ax2的图象经过点P（﹣ 2， 4），则该图象必经过点（）A．（ 2， 4）B．（﹣ 2，﹣ 4）C．（﹣ 4，2）D．（ 4，﹣ 2）【考点】二次函数图象上点的坐标特征．【分析】先确定出二次函数图象的对称轴为 y 轴，再根据二次函数的对称性解答．【解答】解：∵二次函数 y=ax2的对称轴为 y 轴，∴若图象经过点P（﹣ 2，4），则该图象必经过点（ 2，4）．故选： A．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数图象的对称性，确定出函数图象的对称轴为y 轴是解题的关键．2 2x 1 的图象中，若 y 随 x 的增大而增大，则 x 的取值范围是（）2．在二次函数 y=﹣x + +A．x＜1B．x＞1C． x＜﹣ 1D． x＞﹣ 1【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】抛物线 y=﹣x2+2x+1 中的对称轴是直线x=1，开口向下， x＜1 时，y 随 x 的增大而增大．【解答】解：∵ a=﹣1＜0，∴二次函数图象开口向下，又对称轴是直线x=1，∴当 x＜1 时，函数图象在对称轴的左边，y 随 x 的增大增大．故选 A．【点评】本题考查了二次函数y=ax2+bx+c（a≠ 0）的性质：当 a＜ 0，抛物线开口向下，对称轴为直线 x=﹣，在对称轴左边，y随x的增大而增大．3．若抛物线y=x 2﹣2x+c 与y 轴的交点为（0，﹣ 3），则下列说法不正确的是（）A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴是 x=1C ．当 x=1 时， y 的最大值为﹣ 4D ．抛物线与 x 轴的交点为（﹣ 1，0），（ 3，0）【考点】二次函数的性质．【分析】 A 根据二次函数二次项的系数的正负确定抛物线的开口方向．B 利用 x=﹣ 可以求出抛物线的对称轴．C 利用顶点坐标和抛物线的开口方向确定抛物线的最大值或最小值．D 当 y=0 时求出抛物线与 x 轴的交点坐标．【解答】解：∵抛物线过点（ 0，﹣ 3），∴抛物线的解析式为： y=x 2﹣2x ﹣3．A 、抛物线的二次项系数为 1＞ 0，抛物线的开口向上，正确．B 、根据抛物线的对称轴 x=﹣=﹣=1，正确．C 、由 A 知抛物线的开口向上，二次函数有最小值，当 x=1 时， y 的最小值为﹣ 4，而不是最大值．故本选项错误．2﹣ 2x ﹣3=0，解得：x ﹣ ，，抛物线与 x 轴的交点坐标为（﹣ ，D 、当 y=0 时，有 x1= 1 x 2=31 0），（ 3， 0）．正确． 故选 C ．【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据a 的正负确定抛物线的开口方向，利用顶点坐标公式求出抛物线的对称轴和顶点坐标，确定抛物线的最大值或最小值，当 y=0 时求出抛物线与 x 轴的交点坐标．4．如图，抛物线 y=ax 2+bx+c （a ≠0）过点（ 1，0）和点（ 0，﹣ 2），且顶点在第三象限，设 P=a ﹣ b+c ，则 P 的取值范围是（ ）A．﹣ 4＜ P＜ 0 B．﹣ 4＜ P＜﹣ 2C．﹣ 2＜P＜0D．﹣ 1＜P＜0【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】求出a＞0，b＞0，把 x=1 代入求出 a=2﹣b， b=2﹣ a，把 x=﹣1 代入得出 y=a ﹣b+c=2a﹣ 4，求出 2a﹣4 的范围即可．【解答】解：∵二次函数的图象开口向上，∴ a＞0，∵对称轴在 y 轴的左边，∴﹣＜0，∴b＞0，∵图象与 y 轴的交点坐标是（ 0，﹣ 2），过（ 1，0）点，代入得： a+b﹣ 2=0，∴a=2﹣ b， b=2﹣a，∴y=ax2+（2﹣a）x﹣2，当x=﹣1 时， y=a﹣b+c=a﹣（ 2﹣a）﹣ 2=2a﹣4，∵ b＞0，∴ b=2﹣ a＞ 0，∴a＜2，∵ a＞0，∴0＜a＜2，∴0＜2a＜4，∴﹣ 4＜ 2a﹣4＜0，∵ y=a﹣ b+c=a﹣（ 2﹣a）﹣ 2=2a﹣ 4，∴﹣ 4＜ a﹣ b+c＜0，即﹣ 4＜ P＜ 0．故选： A．【点评】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞ 0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（ 0，c）．5．抛物线y=x2+bx+c 的图象先向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位，所得图象的函数解析式为y=（ x﹣ 1）2﹣4，则b、c 的值为（）A．b=2， c=﹣6 B．b=2， c=0 C． b=﹣6，c=8 D．b=﹣ 6， c=2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】先确定出平移后的抛物线的顶点坐标，然后根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减求出平移前的抛物线的顶点坐标，然后写出平移前的抛物线的顶点式形式，然后整理成一般形式，即可得到b、 c 的值．【解答】解：函数y=（ x﹣1）2﹣4 的顶点坐标为（ 1，﹣ 4），∵是向右平移 2 个单位，再向下平移 3 个单位得到，∴1﹣2=﹣1，﹣ 4+3=﹣1，∴平移前的抛物线的顶点坐标为（﹣1，﹣ 1），∴平移前的抛物线为y=（x+1）2﹣ 1，即y=x2+2x，∴ b=2， c=0．故选： B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化确定函数解析式可以使计算更加简便．6．若一次函数 y=ax+b（ a≠0）的图象与 x 轴的交点坐标为（﹣ 2，0），则抛物线 y=ax2+bx 的对称轴为（）A．直线 x=1B．直线 x=﹣2 C．直线 x=﹣1 D．直线 x=﹣4【考点】二次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征．【分析】先将（﹣ 2， 0）代入一次函数解析式y=ax+b，得到﹣ 2a+b=0，即 b=2a，再根据抛物线 y=ax2+bx 的对称轴为直线 x=﹣即可求解．【解答】解：∵一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与 x 轴的交点坐标为（﹣ 2，0），∴﹣ 2a+b=0，即 b=2a，∴抛物线 y=ax2+bx 的对称轴为直线 x=﹣=﹣=﹣1．故选： C．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及二次函数的性质，难度适中．用到的知识点：点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式；二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线x=﹣．7．将抛物线 y=（x﹣1）2+3 向左平移 1 个单位，再向下平移 3 个单位后所得抛物线的解析式为（）A．y=（ x﹣ 2）2 B．y=（x﹣ 2）2+6 C．y=x2+6D．y=x2【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线 y=（x﹣1）2+3 向左平移 1 个单位所得直线解析式为： y=（x﹣1+1）2+3，即 y=x2+3；再向下平移 3 个单位为： y=x2+3﹣ 3，即 y=x2．故选 D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．8．已知二次函数y=ax2+bx+c（ a≠ 0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）A．ac＞ 0B．当 x＞ 1 时， y 随 x 的增大而减小C．b﹣2a=0D．x=3 是关于 x 的方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根【考点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】由函数图象可得抛物线开口向上，得到 a 大于 0，又抛物线与y 轴的交点在 y 轴负半轴，得到 c 小于 0，进而得到 a 与 c 异号，根据两数相乘积为负得到ac 小于 0，选项 A 错误；由抛物线开口向上，对称轴为直线 x=1，得到对称轴右边 y 随 x 的增大而增大，选项 B 错误；由抛物线的对称轴为x=1，利用对称轴公式得到2a+b=0，选项 C 错误；由抛物线与 x 轴的交点为（﹣ 1，0）及对称轴为 x=1，利用对称性得到抛物线与 x 轴另一个交点为（ 3，0），进而得到方程 ax2+bx+c=0 的有一个根为 3，选项 D 正确．【解答】解：由二次函数y=ax2+bx+c 的图象可得：抛物线开口向上，即a＞0，抛物线与 y 轴的交点在 y 轴负半轴，即 c＜ 0，∴ ac＜0，选项 A 错误；由函数图象可得：当 x＜1 时， y 随 x 的增大而减小；当 x＞ 1 时， y 随 x 的增大而增大，选项 B 错误；∵对称轴为直线x=1，∴﹣=1，即 2a+b=0，选项 C 错误；由图象可得抛物线与x 轴的一个交点为（﹣ 1，0），又对称轴为直线x=1，∴抛物线与 x 轴的另一个交点为（ 3， 0），则x=3 是方程 ax2+bx+c=0 的一个根，选项 D 正确．故选 D．【点评】此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及抛物线与 x 轴的交点，难度适中．二次函数 y=ax2+bx+c=0（a≠0），a 的符合由抛物线的开口方向决定， c 的符合由抛物线与y 轴交点的位置确定， b 的符号由 a 及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴决定，当抛物线开口向上时，对称轴左边y 随x 的增大而减小，对称轴右边y 随x 的增大而增大；当抛物线开口向下时，对称轴左边y 随x 的增大而增大，对称轴右边y 随x 的增大而减小．此外抛物线解析式中y=0 得到一元二次方程的解即为抛物线与x 轴交点的横坐标．9．对于抛物线 y=﹣（ x+1）2 +3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣ 1， 3）；④x＞1 时， y 随 x 的增大而减小，其中正确结论的个数为（）A．1B． 2C．3D．4【考点】二次函数的性质．【分析】根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．【解答】解：①∵ a=﹣＜ 0，∴抛物线的开口向下，正确；②对称轴为直线x=﹣1，故本小题错误；③顶点坐标为（﹣ 1， 3），正确；④∵ x＞﹣ 1 时， y 随 x 的增大而减小，∴x＞1 时， y 随 x 的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是①③④共 3 个．故选： C．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标，以及二次函数的增减性．10．二次函数 y=ax2+bx 的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b 的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】二次函数的图象；一次函数的图象．【专题】数形结合．【分析】根据二次函数图象的开口方向向下确定出a＜0，再根据对称轴确定出b＞ 0，然后根据一次函数图象解答即可．【解答】解：∵二次函数图象开口方向向下，∴a＜0，∵对称轴为直线x=﹣＞0，∴ b＞0，∴一次函数y=ax b 的图象经过第二四象限，且与y 轴的正半轴相交，+C 选项图象符合．故选： C．【点评】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，根据图形确定出a、 b 的正负情况是解题的关键．二、填空题11．已知二次函数的y=ax2+bx+c（ a≠ 0）图象如图所示，有下列 5 个结论：① abc＜ 0；②b＜a+c；③ 4a+2b+c＞ 0；④ 2c＜ 3b；⑤ a+b＜ m（am+b）（ m≠1 的实数），其中正确结论的序号有①③④ ．【考点】二次函数图象与系数的关系．【专题】压轴题．【分析】由抛物线的开口方向判断 a 的符号，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与 x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：①由图象可知： a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，故此选项正确；②当 x=﹣ 1 时， y=a﹣b+c＜ 0，即 b＞a+c，错误；③由对称知，当x=2 时，函数值大于 0，即 y=4a+2b+c＞0，故此选项正确；④当 x=3 时函数值小于 0， y=9a+3b+c＜ 0，且 x=﹣=1，即 a=﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，故此选项正确；⑤当 x=1 时， y 的值最大．此时， y=a+b+c，而当 x=m 时， y=am2+bm+c，所以 a+b+c＞ am2+bm+c，故a+b＞am2+bm，即 a+b＞m（am+b），故此选项错误．故①③④正确．故答案为：①③④．【点评】此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与x 轴交点的个数确定．2 2x﹣1 与 x 轴仅有一个公共点，则实数 k 的值为0 或﹣ 1 ．12．若关于 x 的函数 y=kx +【考点】抛物线与x 轴的交点．【分析】令y=0，则关于x 的方程kx2+2x﹣1=0 只有一个根，所以k=0 或根的判别式△=0，借助于方程可以求得实数 k 的值．【解答】解：令 y=0，则 kx2+2x﹣1=0．∵关于 x 的函数 y=kx2+2x﹣ 1 与 x 轴仅有一个公共点，∴关于 x 的方程 kx2+2x﹣1=0 只有一个根．①当 k=0 时， 2x﹣ 1=0，即 x= ，∴原方程只有一个根，∴ k=0 符合题意；②当 k≠0 时，△ =4+4k=0，解得， k=﹣ 1．综上所述， k=0 或﹣ 1．故答案为： 0 或﹣ 1．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点．解题时，需要对函数y=kx2 2x﹣1 进行分类+讨论：一次函数和二次函数时，满足条件的k 的值．13．如图，抛物线的顶点为 P（﹣ 2， 2），与 y 轴交于点 A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点 P 沿直线移动到点 P′（ 2，﹣ 2），点 A 的对应点为 A′，则抛物线上 PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为12．【考点】二次函数图象与几何变换．【分析】根据平移的性质得出四边形APP′A是′平行四边形，进而得出AD，PP′的长，求出面积即可．【解答】解：连接AP， A′P，′过点 A 作 AD⊥ PP′于点 D，由题意可得出： AP∥A′P，′AP=A′P，′∴四边形 APP′A是′平行四边形，∵抛物线的顶点为P（﹣ 2，2），与 y 轴交于点 A（0，3），平移该抛物线使其顶点P 沿直线移动到点P′（2，﹣ 2），∴ PO==2，∠ AOP=45°，又∵ AD⊥ OP，∴△ ADO 是等腰直角三角形，∴PP′=2 ×2=4 ，∴AD=DO=sin45°?OA= ×3=，∴抛物线上 PA 段扫过的区域（阴影部分）的面积为：4×=12．故答案为： 12．【点评】此题主要考查了二次函数图象与几何变换以及平行四边形面积求法和勾股定理等知识，根据已知得出 AD， PP′是解题关键．14．二次函数 y=x2 +1 的图象的顶点坐标是（0，1）．【考点】二次函数的性质．【分析】根据顶点式解析式写出顶点坐标即可．【解答】解：二次函数y=x2+1 的图象的顶点坐标是（ 0， 1）．故答案为：（ 0，1）．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握顶点式解析式是解题的关键．15．若抛物线y=x2+bx+c 与x 轴只有一个交点，且过点A（ m，n）， B（m +6，n），则n= 9．【考点】抛物线与x 轴的交点．【分析】首先，由“抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴只有一个交点”推知 x=﹣时， y=0．且 b2﹣4c=0，即 b2=4c；其次，根据抛物线对称轴的定义知点 A、B 关于对称轴对称，则 A（﹣﹣ 3，n），B（﹣+3，n）；最后，根据二次函数图象上点的坐标特征知n=（﹣﹣3）2+b（﹣﹣3）+c=﹣ b2+c+9，所以把 b2=4c 代入即可求得 n 的值．【解答】解：∵抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴只有一个交点，∴当 x=﹣时， y=0．且 b2﹣ 4c=0，即 b2=4c．又∵点 A（ m，n）， B（m+6，n），∴点 A、B 关于直线 x=﹣对称，∴ A（﹣﹣3，n），B（﹣+3， n）将 A 点坐标代入抛物线解析式，得：n=（﹣﹣3）2+b（﹣﹣3）+c=﹣b2+c+9∵b2=4c，∴n=﹣×4c+c+9=9．故答案是： 9．【点评】本题考查了抛物线与 x 轴的交点．二次函数 y=ax2+bx+c（ a， b， c 是常数， a≠0）的交点与一元二次方程 ax2+bx+c=0 根之间的关系．△=b2﹣ 4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数．△=b2﹣ 4ac＞ 0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；△=b2﹣ 4ac=0时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；△ =b2﹣ 4ac＜ 0 时，抛物线与 x 轴没有交点．16．如图，一段抛物线： y=﹣x（x﹣ 3）（ 0≤x≤ 3），记为 C1，它与 x 轴交于点 O，A1；将C 1绕点 A1旋转 180°得 C2，交 x 轴于点 A2；将C2绕点 A2旋转 180°得 C3，交 x 轴于点 A3；如此进行下去，直至得C13．若 P（37， m）在第 13 段抛物线 C13上，则 m= 2．【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】压轴题．【分析】根据图象的旋转变化规律以及二次函数的平移规律得出平移后解析式，进而求出 m 的值．【解答】解：∵一段抛物线：y=﹣ x（ x﹣ 3）（ 0≤x≤ 3），∴图象与 x 轴交点坐标为：（ 0，0），（ 3， 0），∵将 C1绕点 A1旋转 180°得 C2，交 x 轴于点 A2；将C2绕点 A2旋转 180°得 C3，交 x 轴于点 A3；如此进行下去，直至得 C13．∴ C13的解析式与 x 轴的交点坐标为（ 36，0），（ 39，0），且图象在 x 轴上方，∴C13的解析式为： y13=﹣（ x﹣36）（ x﹣ 39），当 x=37 时， y=﹣（ 37﹣36）×（ 37﹣ 39）=2．故答案为： 2．【点评】此题主要考查了二次函数的平移规律，根据已知得出二次函数旋转后解析式是解题关键．．抛物线2+1 的最小值是 1 ．17 y=x【考点】二次函数的最值．【分析】根据二次函数的最值问题解答即可．【解答】解：抛物线y=x2+1 的最小值是 1．故答案为： 1．【点评】本题考查了二次函数的最值问题，是基础题，熟练掌握利用顶点式解析式求最大（或最小）值是解题的关键．18．如图，以扇形 OAB的顶点 O 为原点，半径 OB 所在的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，点 B 的坐标为（ 2，0），若抛物线 y= x2+k 与扇形 OAB 的边界总有两个公共点，则实数 k 的取值范围是﹣2＜k＜．【考点】二次函数的性质．【专题】压轴题．【分析】根据∠ AOB=45°求出直线 OA 的解析式，然后与抛物线解析式联立求出有一个公共点时的 k 值，即为一个交点时的最大值，再求出抛物线经过点 B 时的 k 的值，即为一个交点时的最小值，然后写出 k 的取值范围即可．【解答】解：由图可知，∠ AOB=45°，∴直线OA 的解析式为y=x，联立消掉 y 得，x2﹣ 2x+2k=0，△=b2﹣ 4ac=（﹣ 2）2﹣4×1×2k=0，即 k= 时，抛物线与 OA 有一个交点，此交点的横坐标为1，∵点 B 的坐标为（ 2， 0），∴OA=2，∴点 A 的坐标为（，），∴交点在线段 AO 上；当抛物线经过点B（ 2， 0）时，× 4+k=0，解得 k=﹣ 2，∴要使抛物线 y= x2+k 与扇形 OAB的边界总有两个公共点，实数 k 的取值范围是﹣ 2＜k ＜．故答案为：﹣ 2＜k＜．【点评】本题考查了二次函数的性质，主要利用了联立两函数解析式确定交点个数的方法，根据图形求出有一个交点时的最大值与最小值是解题的关键．19．请写出一个开口向上，并且与 y 轴交于点（，）的抛物线的解析式，2+1（答0 1 y= x案不唯一）．【考点】二次函数的性质．【专题】开放型．【分析】根据二次函数的性质，开口向上，要求 a 值大于 0 即可．【解答】解：抛物线y=x2+1 开口向上，且与y 轴的交点为（ 0，1）．【点评】本题考查了二次函数的性质，开放型题目，答案不唯一，所写抛物线的a 值必须大于 0．三、解答题20．如图，抛物线y=a（x﹣1）2+4 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，过点 C 作 CD ∥x 轴交抛物线的对称轴于点 D，连接 BD，已知点 A 的坐标为（﹣ 1，0）（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）求梯形 COBD的面积．【考点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的性质；抛物线与x 轴的交点．【专题】计算题．【分析】（ 1）将 A 坐标代入抛物线解析式，求出 a 的值，即可确定出解析式；（ 2）抛物线解析式令 x=0 求出 y 的值，求出 OC的长，根据对称轴求出 CD 的长，令 y=0 求出 x 的值，确定出 OB 的长，利用梯形面积公式即可求出梯形 COBD的面积．【解答】解：（ 1）将 A（﹣ 1，0）代入 y=a（x﹣1）2+4 中，得： 0=4a+4，解得： a=﹣ 1，则抛物线解析式为y=﹣（ x﹣ 1）2+4；（2）对于抛物线解析式，令 x=0，得到 y=3，即 OC=3，∵抛物线解析式为 y=﹣（ x﹣ 1）2+4 的对称轴为直线 x=1，∴CD=1，∵ A（﹣ 1，0），∴B（3， 0），即 OB=3，则= =6．S 梯形COBD【点评】此题考查了利用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，以及二次函数与 x 轴的交点，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．21．如图，抛物线与 x 轴交于 A、 B 两点，与 y 轴交 C 点，点 A 的坐标为（ 2，0），点 C 的坐标为（ 0， 3）它的对称轴是直线 x= ．（1）求抛物线的解析式；（2）M 是线段 AB 上的任意一点，当△ MBC 为等腰三角形时，求 M 点的坐标．【考点】二次函数综合题．【专题】综合题．【分析】（ 1）根据抛物线的对称轴得到抛物线的顶点式，然后代入已知的两点理由待定系数法求解即可；（2）首先求得点 B 的坐标，然后分 CM=BM 时和 BC=BM时两种情况根据等腰三角形的性质求得点 M 的坐标即可．【解答】解：（ 1）设抛物线的解析式把 A（2，0）、 C（0，3）代入得：解得：∴即（2）由 y=0 得∴x1 =2，x2=﹣3∴B（﹣ 3，0）① CM=BM时∵BO=CO=3 即△ BOC是等腰直角三角形∴当 M 点在原点 O 时，△ MBC 是等腰三角形∴ M 点坐标（ 0，0）②如图所示：当 BC=BM时在Rt△BOC中， BO=CO=3，由勾股定理得 BC=∴ BC= ，∴ BM=∴ M 点坐标（，综上所述： M 点坐标为： M1（，M 2（0，0）．【点评】本题考查了二次函数的综合知识，第一问考查了待定系数法确定二次函数的解析式，较为简单．第二问结合二次函数的图象考查了等腰三角形的性质，综合性较强．。
全国各地2022年中考数学真题分类解析汇编：二次函数
二次函数一、选择题1. （2014•广东，第10题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，以下说法错误的选项是（）A．函数有最小值B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0考点：二次函数的性质．分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；根据图形直接判断B；根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．解答：解：A、由抛物线的开口向下，可知a＜0，函数有最小值，正确，故本选项不符合题意；B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故本选项不符合题意；C、因为a＞0，所以，当x ＜时，y随x的增大而减小，正确，故本选项不符合题意；D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故本选项符合题意．应选D．点评：此题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．2. （2014•广西贺州，第10题3分）已知二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的图象如下图，则一次函数y=cx +与反比例函数y =在同一坐标系内的大致图象是（）A．B．C．D．考二次函数的图象；一次函数的图象；反比例函数的图象．点：分析：先根据二次函数的图象得到a＞0，b＜0，c＜0，再根据一次函数图象与系数的关系和反比例函数图象与系数的关系判断它们的位置．解答：解：∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣＞0，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，∴c＜0，∴一次函数y=cx +的图象过第二、三、四象限，反比例函数y =分布在第二、四象限．应选B．点评：此题考查了二次函数的图象：二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；当a ＜0，抛物线开口向下．对称轴为直线x=﹣；与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了一次函数图象和反比例函数的图象．3．(四川资阳，第10题3分)二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，给出以下四个结论：①4ac﹣b2＜0；②4a+c＜2b；③3b+2c＜0；④m（am+b）+b＜a（m≠﹣1），其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个考点：二次函数图象与系数的关系．分析：利用二次函数图象的相关知识与函数系数的联系，需要根据图形，逐一判断．解答：解：∵抛物线和x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，∴4ac﹣b2＜0，∴①正确；∵对称轴是直线x﹣1，和x轴的一个交点在点（0，0）和点（1，0）之间，∴抛物线和x轴的另一个交点在（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴把（﹣2，0）代入抛物线得：y=4a﹣2b+c＞0，∴4a+c＞2b，∴②错误；∵把（1，0）代入抛物线得：y=a+b+c＜0，∴2a+2b+2c＜0，∵b=2a，∴3b，2c＜0，∴③正确；∵抛物线的对称轴是直线x=﹣1，∴y=a﹣b+c的值最大，即把（m，0）（m≠0）代入得：y=am2+bm+c＜a﹣b+c，∴am2+bm+b＜a，即m（am+b）+b＜a，∴④正确；即正确的有3个，应选B．点评：此题主要考查了二次函数图象与系数的关系，在解题时要注意二次函数的系数与其图象的形状，对称轴，特殊点的关系，也要掌握在图象上表现一元二次方程ax2+bx+c=0的解的方法．同时注意特殊点的运用．4．(天津市，第12 题3分)已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，且关于x的一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，有以下结论：①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③m＞2．其中，正确结论的个数是（）A． 0 B． 1 C． 2 D． 3考点：二次函数图象与系数的关系．分析：由图象可知二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，进而判断①；先根据抛物线的开口向下可知a＜0，由抛物线与y轴的交点判断c 与0的关系，根据对称轴在y轴右侧得出b与0的关系，然后根据有理数乘法法则判断②；一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，则可转化为ax2+bx+c=m，即可以理解为y=ax2+bx+c和y=m没有交点，即可求出m的取值范围，判断③即可．解答：解：①∵二次函数y=ax2+bx+c与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，故①正确；②∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∵对称轴x=﹣＞0，∴ab＜0，∵a＜0，∴b＞0，∴abc＜0，故②正确；③∵一元二次方程ax2+bx+c﹣m=0没有实数根，∴y=ax2+bx+c和y=m没有交点，由图可得，m＞2，故③正确．应选D．点评：此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．5．（2014•新疆，第6题5分）对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，以下说法正确的选项是（）点式为y =a（x﹣）2+，的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣b2a，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下．6．（2014•舟山，第10题3分）当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x ﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（）A．﹣B．或C．2或D．2或﹣或考点：二次函数的最值专题：分类讨论．分析：根据对称轴的位置，分三种情况讨论求解即可．解答：解：二次函数的对称轴为直线x=m，①m＜﹣2时，x=﹣2时二次函数有最大值，此时﹣（﹣2﹣m）2+m2+1=4，解得m=﹣，与m＜﹣2矛盾，故m值不存在；②当﹣2≤m≤1时，x=m时，二次函数有最大值，此时，m2+1=4，解得m=﹣，m =（舍去）；③当m＞1时，x=1时，二次函数有最大值，此时，﹣（1﹣m）2+m2+1=4，解得m=2，综上所述，m的值为2或﹣．应选C．此题考查了二次函数的最值问题，难点在于分情况讨论．点评：7.（2014•毕节地区，第11题3分）抛物线y=2x2，y=﹣2x2，共有的性质是（）A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y随x的增大而减小考点：二次函数的性质分析：根据二次函数的性质解题．解答：解：（1）y=2x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点；（2）y=﹣2x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点，顶点为原点；（3）y=x2开口向上，对称轴为y轴，有最低点，顶点为原点．应选B．点评：考查二次函数顶点式y=a（x﹣h）2+k的性质．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．8.（2014•孝感，第12题3分）抛物线y=ax2+bx+c的顶点为D（﹣1，2），与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，其部分图象如图，则以下结论：①b2﹣4ac＜0；②a+b+c＜0；③c﹣a=2；④方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根．其中正确结论的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点专题：数形结合．分析：由抛物线与x轴有两个交点得到b2﹣4ac＞0；有抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=﹣1，则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，所以当x=1时，y＜0，则a+b+c＜0；由抛物线的顶点为D（﹣1，2）得a﹣b+c=2，由抛物线的对称轴为直线x=﹣=1得b=2a，所以c ﹣a=2；根据二次函数的最大值问题，当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=1时，ax2+bx+c=2，所以说方程ax2+bx+c ﹣2=0有两个相等的实数根．解答：解：∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①错误；∵顶点为D（﹣1，2），∴抛物线的对称轴为直线x=﹣1，∵抛物线与x轴的一个交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间，∴当x=1时，y＜0，∴a+b+c＜0，所以②正确；∵抛物线的顶点为D（﹣1，2），∴a﹣b+c=2，∵抛物线的对称轴为直线x=﹣=1，∴b=2a，∴a﹣2a+c=2，即c﹣a=2，所以③正确；∵当x=﹣1时，二次函数有最大值为2，即只有x=1时，ax2+bx+c=2，∴方程ax2+bx+c﹣2=0有两个相等的实数根，所以④正确．应选C．点评：此题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=﹣；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b2﹣4ac ＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b2﹣4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b2﹣4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．9．（2014·台湾，第26题3分）已知a、h、k为三数，且二次函数y＝a(x﹣h)2＋k在坐标平面上的图形通过(0，5)、(10，8)两点．若a＜0，0＜h＜10，则h之值可能为以下何者？( )A．1 B．3 C．5 D．7分析：先画出抛物线的大致图象，根据顶点式得到抛物线的对称轴为直线x＝h，由于抛物线过(0，5)、(10，8)两点．若a＜0，0＜h＜10，则点(0，5)到对称轴的距离大于点(10，8)到对称轴的距离，所以h ﹣0＞10﹣h，然后解不等式后进行判断．解：∵抛物线的对称轴为直线x＝h，而(0，5)、(10，8)两点在抛物线上，∴h﹣0＞10﹣h，解得h＞5．应选D．点评：此题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y＝ax2＋bx ＋c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时(即ab＞0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时(即ab＜0)，对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于(0，c)；抛物线与x轴交点个数由△决定，△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．10．（2014·浙江金华，第9题4分）如图是二次函数2=-++的y x2x4图象，使y1≤成立的x的取值范围是【】A．1x3≤-C．x1≥-≤≤B．x1D．x1≤-或x3≥【答案】D．【解析】试题分析：由图象可知，当y1≤时，x1≤-或x3≥. 应选D．11．（2014•浙江宁波，第12题4分）已知点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，则点A关于抛物线对称轴的对称点坐标为（）A．（﹣3，7）B．（﹣1，7）C．（﹣4，10）D．（0，10）考点：二次函数图象上点的坐标特征；坐标与图形变更－对称．分析：把点A坐标代入二次函数解析式并利用完全平方公式整理，然后根据非负数的性质列式求出a、b，再求出点A的坐标，然后求出抛物线的对称轴，再根据对称性求解即可．解答：解：∵点A（a﹣2b，2﹣4ab）在抛物线y=x2+4x+10上，∴（a﹣2b）2+4×（a﹣2b）+10=2﹣4ab，a2﹣4ab+4b2+4a﹣8ab+10=2﹣4ab，（a+2）2+4（b﹣1）2=0，∴a+2=0，b﹣1=0，解得a=﹣2，b=1，∴a﹣2b=﹣2﹣2×1=﹣4，2﹣4ab=2﹣4×（﹣2）×1=10，∴点A的坐标为（﹣4，10），∵对称轴为直线x=﹣=﹣2，∴点A关于对称轴的对称点的坐标为（0，10）．应选D．点评：此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，坐标与图形的变更﹣对称，把点的坐标代入抛物线解析式并整理成非负数的形式是解题的关键．12.（2014•菏泽第8题3分）如图，Rt△ABC中，AC=BC=2，正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上，C、D两点不重合，设CD的长度为x，△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y，则以下图象中能表现y与x之间的函数关系的是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：数形结合．分析：分类讨论：当0＜x≤1时，根据正方形的面积公式得到y=x2；当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y=x2﹣2（x﹣1）2，配方得到y=﹣（x﹣2）2+2，然后根据二次函数的性质对各选项进行判断．解答：解：当0＜x≤1时，y=x2，当1＜x≤2时，ED交AB于M，EF交AB于N，如图，CD=x，则AD=2﹣x，∵Rt△ABC中，AC=BC=2，∴△ADM为等腰直角三角形，∴DM=2﹣x，∴EM=x﹣（2﹣x）=2x﹣2，∴S△ENM=（2x﹣2）2=2（x﹣1）2，∴y=x2﹣2（x﹣1）2=﹣x2+4x﹣2=﹣（x﹣2）2+2，∴y=，应选A．13.（2014•济宁，第8题3分）“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m ＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b考点：抛物线与x轴的交点．分析：依题意画出函数y=（x﹣a）（x﹣b）图象草图，根据二次函数的增减性求解．解答：解：依题意，画出函数y=（x﹣a）（x﹣b）的图象，如下图．函数图象为抛物线，开口向上，与x轴两个交点的横坐标分别为a，b（a＜b）．方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0转化为（x﹣a）（x﹣b）=1，方程的两根是抛物线y=（x﹣a）（x﹣b）与直线y=1的两个交点．由m＜n，可知对称轴左侧交点横坐标为m，右侧为n．由抛物线开口向上，则在对称轴左侧，y随x增大而减少，则有m＜a；在对称轴右侧，y随x增大而增大，则有b＜n．综上所述，可知m＜a＜b＜n．应选A．点评：此题考查了二次函数与一元二次方程的关系，考查了数形结合的数学思想．解题时，画出函数草图，由函数图象直观形象地得出结论，防止了繁琐复杂的计算．14．（山东泰安，第17题3分）已知函数y=（x﹣m）（x﹣n）（其中m ＜n）的图象如下图，则一次函数y=mx+n与反比例函数y =的图象可能是（）A．B C D．分析：根据二次函数图象判断出m＜﹣1，n=1，然后求出m+n＜0，再根据一次函数与反比例函数图象的性质判断即可．解：由图可知，m＜﹣1，n=1，所以，m+n＜0，所以，一次函数y=mx+n经过第二四象限，且与y轴相交于点（0，1），反比例函数y=的图象位于第二四象限，纵观各选项，只有C选项图形符合．应选C．点评：此题考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，观察二次函数图象判断出m、n的取值是解题的关键．15.（山东泰安，第20题3分）二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表：X﹣1 0 1 3y﹣1 3 5 3以下结论：（1）ac＜0；（2）当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．（3）3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；（4）当﹣1＜x＜3时，ax2+（b﹣1）x+c＞0．其中正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个分析：根据表格数据求出二次函数的对称轴为直线x=1.5，然后根据二次函数的性质对各小题分析判断即可得解．解：由图表中数据可得出：x=1时，y=5值最大，所以二次函数y=ax2+bx+c开口向下，a＜0；又x=0时，y=3，所以c=3＞0，所以ac＜0，故（1）正确；∵二次函数y=ax2+bx+c开口向下，且对称轴为x==1.5，∴当x ＞1.5时，y的值随x值的增大而减小，故（2）错误；∵x=3时，y=3，∴9a+3b+c=3，∵c=3，∴9a+3b+3=3，∴9a+3b=0，∴3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根，故（3）正确；∵x=﹣1时，ax2+bx+c=﹣1，∴x=﹣1时，ax2+（b﹣1）x+c=0，∵x=3时，ax2+（b﹣1）x+c=0，且函数有最大值，∴当﹣1＜x＜3时，ax2=（b﹣1）x+c＞0，故（4）正确．应选B．点评：此题考查了二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与x轴的交点，二次函数与不等式，有一定难度．熟练掌握二次函数图象的性质是解题的关键．16.（2014•滨州，第9题3分）以下函数中，图象经过原点的是（）A．y=3x B．y=1﹣2x C．y=D．y=x2﹣1考点：二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点的坐标特征分析：将点（0，0）依次代入以下选项的函数解析式进行一一验证即可．解答：解：∵函数的图象经过原点，∴点（0，0）满足函数的关系式；A、当x=0时，y=3×0=0，即y=0，∴点（0，0）满足函数的关系式y=3x；故本选项正确；B、当x=0时，y=1﹣2×0=1，即y=1，∴点（0，0）不满足函数的关系式y=1﹣2x；故本选项错误；C、y=的图象是双曲线，不经过原点；故本选项错误；D、当x=0时，y=02﹣1=﹣1，即y=﹣1，∴点（0，0）不满足函数的关系式y=x2﹣1；故本选项错误；应选A．点评：此题综合考查了二次函数、一次函数、反比例图象上的点的坐标特征．经过函数图象上的某点，该点一定满足该函数的解析式．1. （2014•安徽省,第12题5分）某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y（元）关于x的函数关系式为y= a（1+x）2．考点：根据实际问题列二次函数关系式．分析：由一月份新产品的研发资金为a元，根据题意可以得到2月份研发资金为a×（1+x），而三月份在2月份的基础上又增长了x，那么三月份的研发资金也可以用x表现出来，由此即可确定函数关系式．解答：解：∵一月份新产品的研发资金为a元，2月份起，每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，∴2月份研发资金为a×（1+x），∴三月份的研发资金为y=a×（1+x）×（1+x）=a（1+x）2．故填空答案：a（1+x）2．点评：此题主要考查了根据实际问题二次函数列解析式，此题是平均增长率的问题，可以用公式a（1±x）2=b来解题．2．(云南，第16题3分)抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是．考点：二次函数的性质．专题：计算题．分析：已知抛物线的解析式是一般式，用配方法转化为顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．解答：解：∵y=x2﹣2x+3=x2﹣2x+1﹣1+3=（x﹣1）2+2，∴抛物线y=x2﹣2x+3的顶点坐标是（1，2）．点评：此题考查了二次函数的性质，二次函数y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h，此题还考查了配方法求顶点式．3．（2014•浙江湖州，第16题4分）已知当x1=a，x2=b，x3=c时，二次函数y=x2+mx对应的函数值分别为y1，y2，y3，若正整数a，b，c 恰好是一个三角形的三边长，且当a＜b＜c时，都有y1＜y2＜y3，则实数m的取值范围是．分析：根据三角形的任意两边之和大于第三边判断出a最小为2，再根据二次函数的增减性和对称性判断出对称轴在2、3之间偏向2，即不大于2.5，然后列出不等式求解即可．解：∵正整数a，b，c恰好是一个三角形的三边长，且a＜b＜c，∴a最小是2，∵y1＜y2＜y3，∴﹣＜2.5，解得m＞﹣．故答案为：m＞﹣．点评：此题考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的三边关系，判断出a最小可以取2以及对称轴的位置是解题的关键．4. （2014•株洲，第16题，3分）如果函数y=（a﹣1）x2+3x +的图象经过平面直角坐标系的四个象限，那么a的取值范围是a＜﹣5 ．考点：抛物线与x轴的交点分析：函数图象经过四个象限，需满足3个条件：（I）函数是二次函数；（II）二次函数与x轴有两个交点；（III）二次函数与y轴的正半轴相交．解答：解：函数图象经过四个象限，需满足3个条件：（I）函数是二次函数．因此a﹣1≠0，即a≠1①（II）二次函数与x轴有两个交点．因此△=9﹣4（a﹣1）=﹣4a﹣11＞0，解得a＜﹣②（III）二次函数与y轴的正半轴相交．因此＞0，解得a＞1或a＜﹣5③综合①②③式，可得：a＜﹣5．故答案为：a＜﹣5．点评：此题考查二次函数的图象与性质、二次函数与x轴的交点、二次函数与y轴交点等知识点，解题关键是确定“函数图象经过四个象限”所满足的条件．5. （江苏南京，第16题，2分）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如表：x…﹣1 0 1 2 3 …y…10 5 2 1 2 …则当y＜5时，x的取值范围是．考点：二次函数与不等式分析：根据表格数据，利用二次函数的对称性判断出x=4时，y=5，然后写出y＜5时，x的取值范围即可．解答：由表可知，二次函数的对称轴为直线x=2，所以，x=4时，y=5，所以，y＜5时，x的取值范围为0＜x＜4．故答案为：0＜x＜4．点评：此题考查了二次函数与不等式，观察图表得到y=5的另一个x的值是解题的关键．6. （2014•扬州，第16题，3分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为0 ．（第3题图）考抛物线与x轴的交点点：分析：依据抛物线的对称性求得与x轴的另一个交点，代入解析式即可．解答：解：设抛物线与x轴的另一个交点是Q，∵抛物线的对称轴是过点（1，0），与x轴的一个交点是P（4，0），∴与x轴的另一个交点Q（﹣2，0），把（﹣2，0）代入解析式得：0=4a﹣2b+c，∴4a﹣2b+c=0，故答案为：0．点评：此题考查了抛物线的对称性，知道与x轴的一个交点和对称轴，能够表现出与x轴的另一个交点，求得另一个交点坐标是此题的关键．7．（2014•菏泽，第12题3分）如图，平行于x轴的直线AC分别交抛物线y1=x2（x≥0）与y 2=（x≥0）于B、C两点，过点C作y轴的平行线交y1于点D，直线DE∥AC，交y2于点E ，则= _______．考点：二次函数综合题．专题：代数几何综合题；压轴题．分析：设A点坐标为（0，a），利用两个函数解析式求出点B、C 的坐标，然后求出AB的长度，再根据CD∥y轴，利用y1的解析式求出D点的坐标，然后利用y2求出点E的坐标，从而得到DE的长度，然后求出比值即可得解．解答：解：设设A点坐标为（0，a），（a＞0），则x2=a，解得x=，∴点B（，a），=a，则x=，∴点C（，a），∵CD∥y轴，∴点D的横坐标与点C的横坐标相同，为，∴y1=2=3a，∴点D的坐标为（，3a），∵DE∥AC，∴点E的纵坐标为3a，∴=3a，∴x=3，∴点E的坐标为（3，3a），∴DE=3﹣，==3﹣．故答案为：3﹣．点评：此题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，根据平行与x轴的点的纵坐标相同，平行于y轴的点的横坐标相同，求出用点A的纵坐标表现出各点的坐标是解题的关键．8. （2014•珠海，第9题4分）如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于（1，0），（3，0）两点，則它的对称轴为直线x=2 ．考点：二次函数的性质分析：点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，这两点一定关于对称轴对称，那么利用两点的横坐标可求对称轴．解答：解：∵点（1，0），（3，0）的纵坐标相同，∴这两点一定关于对称轴对称，∴对称轴是：x ==2．故答案为：直线x=2．点评：此题主要考查了抛物线的对称性，图象上两点的纵坐标相同，则这两点一定关于对称轴对称．1. （2014•安徽省,第22题12分）若两个二次函数图象的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；（2）已知关于x的二次函数y1=2x2﹣4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+5，其中y1的图象经过点A（1，1），若y1+y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表白式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．考点：二次函数的性质；二次函数的最值．专题：新定义．分析：（1）只需任选一个点作为顶点，同号两数作为二次项的系数，用顶点式表现两个为“同簇二次函数”的函数表白式即可．（2）由y1的图象经过点A（1，1）可以求出m的值，然后根据y1+y2与y1为“同簇二次函数”就可以求出函数y2的表白式，然后将函数y2的表白式转化为顶点式，在利用二次函数的性质就可以解决问题．解答：解：（1）设顶点为（h，k）的二次函数的关系式为y=a（x ﹣h）2+k，当a=2，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=2（x﹣3）2+4．∵2＞0，∴该二次函数图象的开口向上．当a=3，h=3，k=4时，二次函数的关系式为y=3（x﹣3）2+4．∵3＞0，∴该二次函数图象的开口向上．∵两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4顶点相同，开口都向上，∴两个函数y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4是“同簇二次函数”．∴符合要求的两个“同簇二次函数”可以为：y=2（x﹣3）2+4与y=3（x﹣3）2+4．（2）∵y1的图象经过点A（1，1），∴2×12﹣4×m×1+2m2+1=1．整理得：m2﹣2m+1=0．解得：m1=m2=1．∴y1=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1．∴y1+y2=2x2﹣4x+3+ax2+bx+5=（a+2）x2+（b﹣4）x+8∵y1+y2与y1为“同簇二次函数”，∴y1+y2=（a+2）（x﹣1）2+1=（a+2）x2﹣2（a+2）x+（a+2）+1．其中a+2＞0，即a＞﹣2．∴．解得：．∴函数y2的表白式为：y2=5x2﹣10x+5．∴y2=5x2﹣10x+5=5（x﹣1）2．∴函数y2的图象的对称轴为x=1．∵5＞0，∴函数y2的图象开口向上．①当0≤x≤1时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而减小．∴当x=0时，y2取最大值，最大值为5（0﹣1）2=5．②当1＜x≤3时，∵函数y2的图象开口向上，∴y2随x的增大而增大．∴当x=3时，y2取最大值，最大值为5（3﹣1）2=20．综上所述：当0≤x≤3时，y2的最大值为20．点评：此题考查了求二次函数表白式以及二次函数一般式与顶点式之间相互转化，考查了二次函数的性质（开口方向、增减性），考查了分类讨论的思想，考查了阅读理解能力．而对新定义的正确理解和分类讨论是解决第二小题的关键．2. （2014•福建泉州，第22题9分）如图，已知二次函数y=a（x ﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．（1）写出该函数图象的对称轴；（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？考点：二次函数的性质；坐标与图形变更－旋转．分析：（1）由于抛物线过点O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；（2）作A′B⊥x轴与B，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=2，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB =OA′=1，A′B =OB =，则A′点的坐标为（1，），根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．解答：解：（1）∵二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．∴抛物线的对称轴为直线x=1；（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下：如图，作A′B⊥x轴于点B，∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，∴OA′=OA=2，∠A′OA=2，在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，∴OB =OA′=1，∴A′B =OB =，∴A′点的坐标为（1，），∴点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．点评：此题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x ＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质．3. （2014•福建泉州，第25题12分）如图，在锐角三角形纸片ABC 中，AC＞BC，点D，E，F分别在边AB，BC，CA上．（1）已知：DE∥AC，DF∥BC．①判断四边形DECF一定是什么形状？②裁剪当AC=24cm，BC=20cm，∠ACB=45°时，请你探索：如何剪四边形DECF，能使它的面积最大，并证明你的结论；（2）折叠请你只用两次折叠，确定四边形的顶点D，E，C，F，使它恰好为菱形，并说明你的折法和理由．考点：四边形综合题分析：（1）①根据有两组对边互相平行的四边形是平行四边形即可求得，②根据△ADF∽△ABC推出对应边的相似比，然后进行转换，即可得出h与x之间的函数关系式，根据平行四边形的面积公式，很容易得出面积S关于h的二次函数表白式，求出顶点坐标，就可得出面积s最大时h的值．（2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1．解答：解：（1）①∵DE∥AC，DF∥BC，∴四边形DECF是平行四边形．②作AG⊥BC，交BC于G，交DF于H，∵∠ACB=45°，AC=24cm∴AG ==12，设DF=EC=x，平行四边形的高为h，则AH =12h，∵DF∥BC，∴=，∵BC=20cm，即：=∴x =×20，∵S=xh=x •×20=20h ﹣h2．∴﹣=﹣=6，∵AH =12，∴AF=FC，∴在AC中点处剪四边形DECF，能使它的面积最大．（2）第一步，沿∠ABC的对角线对折，使C与C1重合，得到三角形ABB1，第二步，沿B1对折，使DA1⊥BB1．理由：对角线互相垂直平分的四边形是菱形．点评：此题考查了相似三角形的判定及性质、菱形的判定、二次函数的最值．关键在于根据相似三角形及已知条件求出相关线段的表白式，求出二次函数表白式，即可求出结论．4. （2014•广东，第25题9分）如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥AB 于点D，BC=10cm，AD=8cm．点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm 的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C时，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）当t=2时，连接DE、DF，求证：四边形AEDF为菱形；（2）在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF 的面积最大时，求线段BP的长；（3）是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．考点：相似形综合题．分析：（1）如答图1所示，利用菱形的定义证明；（2）如答图2所示，首先求出△PEF的面积的表白式，然后利用二次函数的性质求解；（3）如答图3所示，分三种情形，需要分类讨论，分别求解．解答：（1）证明：当t=2时，DH=AH=2，则H为AD的中点，如答图1所示．又∵EF⊥AD，∴EF为AD的垂直平分线，∴AE=DE，AF=DF．∵AB=AC，AD⊥AB于点D，∴AD⊥BC，∠B=∠C．∴EF∥BC，∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF，∴AE=AF=DE=DF，即四边形AEDF为菱形．。
二次函数的图象与性质大题(五大题型)—2024年中考数学(全国通用)解析版
二次函数的图象与性质大题（五大题型）通用的解题思路：题型一．二次函数的性质二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c （a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．③抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可由抛物线y＝ax2的图象向右或向左平移|﹣|个单位，再向上或向下平移||个单位得到的．题型二．二次函数图象与系数的关系二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；|a|还可以决定开口大小，|a|越大开口就越小．②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左侧；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右侧．（简称：左同右异）③．常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于（0，c）．④抛物线与x轴交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac ＜0时，抛物线与x轴没有交点．题型三．待定系数法求二次函数解析式（1）二次函数的解析式有三种常见形式：①一般式：y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；②顶点式：y＝a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标；③交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0）；（2）用待定系数法求二次函数的解析式．在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．题型四．抛物线与x轴的交点求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x 的一元二次方程即可求得交点横坐标．（1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系．△＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．（2）二次函数的交点式：y＝a（x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）．题型五．二次函数综合题（1）二次函数图象与其他函数图象相结合问题解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．（2）二次函数与方程、几何知识的综合应用将函数知识与方程、几何知识有机地结合在一起．这类试题一般难度较大．解这类问题关键是善于将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识，并注意挖掘题目中的一些隐含条件．（3）二次函数在实际生活中的应用题从实际问题中分析变量之间的关系，建立二次函数模型．关键在于观察、分析、创建，建立直角坐标系下的二次函数图象，然后数形结合解决问题，需要我们注意的是自变量及函数的取值范围要使实际问题有意义．题型一．二次函数的性质（共3小题）1．（2024•石景山区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2(0)y x bx b =−+≠上任意两点，设抛物线的对称轴为直线x h =． （1）若抛物线经过点(2,0)，求h 的值；（2）若对于11x h =−，22x h =，都有12y y >，求h 的取值范围；（3）若对于121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，直接写出h 的取值范围． 【分析】（1）根据对称轴2bx a=−进行计算，得2b h =，再把(2,0)代入2(0)y x bx b =−+≠，即可作答．（2）因为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线2(0)y x bx b =−+≠上的点，所以把11x h =−，22x h =分别代入，得出对应的1y ，2y ，再根据12y y >联立式子化简，计算即可作答；（3）根据121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，得出当221h −<−<−或者211h −<+<−，即可作答． 【解答】解：（1）抛物线的对称轴为直线x h =， 22b bh ∴=−=−， 即2b h =，∴抛物线22y x hx =−+，把(2,0)代入22y x hx =−+， 得0422h =−+⨯， 解得1h =；（2）由（1）知抛物线22y x hx =−+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线22y x hx =−+上任意两点，221(1)2(1)1y h h h h ∴=−−+−=−，22(2)220y h h h =−+⨯=，对于11x h =−，22x h =，都有12y y >， 210h ∴−>，解得1h >或1h <−；（3）1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 是抛物线22y x hx =−+上任意两点，对于121h x h −+……，221x −−……，存在12y y <，且1(2,)h y −关于直线x h =的对称点为1(2,)h y +，1(1,)h y +关于直线x h =的对称点为1(1,)h y −，∴当221h −<−<−时，存在12y y <，解得01h <<，当221h −<+<−时，存在12y y <， 解得43h −<<−，当211h −<+<−时，存在12y y <， 解得32h −<<−，当211h −<−<−时，存在12y y <， 解得10h −<<，综上，满足h 的取值范围为41h −<<且0h ≠．【点评】本题考查了二次函数的图象性质、增减性，熟练掌握二次函数的图象和性质是解决本题的关键． 2．（2024•鹿城区校级一模）已知二次函数223y x tx =−++． （1）若它的图象经过点(1,3)，求该函数的对称轴． （2）若04x ……时，y 的最小值为1，求出t 的值．（3）如果(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上，直线2y mx a =+与该二次函数交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点，则12x x +是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．【分析】（1）把(1,3)代入解析式求出12t =，再根据对称轴公式求出对称轴； （2）根据抛物线开口向下，以及0x =时3y =，由函数的性质可知，当4x =时，y 的最小值为1，然后求t 即可；（3）(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上，有对称轴公式得出1m t −=，再令2232x tx mx a −++=+，并转化为一般式，然后由根与系数的关系求出122x x +=−．【解答】解：（1）将(1,3)代入二次函数223y x tx =−++，得3123t =−++， 解得12t =， ∴对称轴直线为21122t x t =−==−⨯； （2）当0x =时，3y =，抛物线开口向下，对称轴为直线x t =， ∴当x t =时，y 有最大值，04x ……时，y 的最小值为1，∴当4x =时，16831y t =−++=，解得74t =； （3）12x x +是定值，理由：(2,)A m n −，(,)C m n 两点都在这个二次函数的图象上， 212m mx t m −+∴===−， 1m t ∴−=，令2232x tx mx a −++=+， 整理得：22()30x m t x a +−+−=，直线2y mx a =+与该二次函数交于1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 两点， 1x ∴，2x 是方程22()30x m t x a +−+−=的两个根，122()2()21m t x x m t −∴+=−=−−=−是定值． 【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征等知识，关键是掌握二次函数的性质． 3．（2024•拱墅区一模）在平面直角坐标系中，抛物线2(2)2y ax a x =−++经过点(2,)A t −，(,)B m p ． （1）若0t =，①求此抛物线的对称轴；②当p t <时，直接写出m 的取值范围；（2）若0t <，点(,)C n q 在该抛物线上，m n <且5513m n +<−，请比较p ，q 的大小，并说明理由． 【分析】（1）①当0t =时，点A 的坐标为(2,0)−，将其代入函数解析式中解得1a =−，则函数解析式为抛物线的解析式为22y x x =−−+，再根据求对称轴的公式2bx a=−即可求解； ②令0y =，求出抛物线与x 轴交于(2,0)−和(1,0)，由题意可得0p <，则点B 在x 轴的下方，以此即可解答； （2）将点A 坐标代入函数解析式，通过0t <可得a 的取值范围，从而可得抛物线开口方向及对称轴，根据点B ，C 到对称轴的距离大小关系求解．【解答】解：（1）①当0t =时，点A 的坐标为(2,0)−，抛物线2(2)2y ax a x =−++经过点(2,0)A −， 42(2)20a a ∴+++=，1a ∴=−，∴抛物线的解析式为22y x x =−−+， ∴抛物线的对称轴为直线112(1)2x −=−=−⨯−；②令0y =，则220x x −−+=， 解得：11x =，22x =−，∴抛物线与x 轴交于(2,0)−和(1,0)，点(2,0)A −，(,)B m p ，且0p <， ∴点(,)B m p 在x 轴的下方，2m ∴<−或1m >．（2）p q <，理由如下：将(2,)t −代入2(2)2y ax a x =−++得42(2)266t a a a =+++=+，0t <， 660a ∴+<， 1a ∴<−，∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线(2)1122a x a a −+=−=+， 1a <−，110a∴−<<， 1111222a ∴−<+<， m n <且5513m n +<−，∴1312102m n +<−<−， ∴点(,)B m p 到对称轴的距离大于点(,)C n q 到对称轴的距离，p q ∴<．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．题型二．二次函数图象与系数的关系（共8小题）4．（2023•南京）已知二次函数223(y ax ax a =−+为常数，0)a ≠． （1）若0a <，求证：该函数的图象与x 轴有两个公共点． （2）若1a =−，求证：当10x −<<时，0y >．（3）若该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x −<<<，则a 的取值范围是 ．【分析】（1）证明240b ac −>即可解决问题． （2）将1a =−代入函数解析式，进行证明即可． （3）对0a >和0a <进行分类讨论即可．【解答】证明：（1）因为22(2)43412a a a a −−⨯⨯=−， 又因为0a <，所以40a <，30a −<， 所以24124(3)0a a a a −=−>，所以该函数的图象与x 轴有两个公共点． （2）将1a =−代入函数解析式得，2223(1)4y x x x =−++=−−+，所以抛物线的对称轴为直线1x =，开口向下． 则当10x −<<时，y 随x 的增大而增大， 又因为当1x =−时，0y =， 所以0y >．（3）因为抛物线的对称轴为直线212ax a−=−=，且过定点(0,3)， 又因为该函数的图象与x 轴有两个公共点1(x ，0)，2(x ，0)，且1214x x −<<<， 所以当0a >时，230a a −+<， 解得3a >， 故3a >．当0a <时，230a a ++<，解得1a <−， 故1a <−．综上所述，3a >或1a <−． 故答案为：3a >或1a <−．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．5．（2024•南京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点1(1,)y ，2(3,)y 在抛物线222y x mx m =−+上． （1）求抛物线的顶点(,0)m ； （2）若12y y <，求m 的取值范围；（3）若点0(x ，0)y 在抛物线上，若存在010x −<<，使102y y y <<成立，求m 的取值范围． 【分析】（1）利用配方法将已知抛物线解析式转化为顶点式，可直接得到答案； （2）由12y y <，得到221296m m m m −+<−+，解不等式即可； （3）由题意可知012032m m +⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩或112132m m −+⎧<⎪⎪⎨−+⎪>⎪⎩，解不等式组即可．【解答】解：（1）抛物线222()y x mx m x m =−+=−． ∴抛物线的顶点坐标为(,0)m ．故答案为：(,0)m ；（2）点1(1,)y ，2(3,)y 在抛物线222y x mx m =−+上，且12y y <， 221296m m m m ∴−+<−+，2m ∴<；（3）点0(x ，0)y 在抛物线上，存在010x −<<，使102y y y <<成立， ∴012032m m +⎧<⎪⎪⎨+⎪>⎪⎩或112132m m −+⎧<⎪⎪⎨−+⎪>⎪⎩，解得302m <<． 【点评】本题考查了二次函数与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．6．（2024•北京一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线23y ax bx =++经过点(2,3)a −． （1）求该抛物线的对称轴（用含有a 的代数式表示）；（2）点(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −为该抛物线上的三个点，若存在实数t ，使得m n p >>，求a 的取值范围．【分析】（1）将点(2,3)a −代入抛物线23y ax bx =++中，然后根据二次函数的对称轴公式代入数值，即可得出答案；（2）分类讨论当0a >和0a <，利用数形结合以及二次函数的性质就可以得出a 的取值范围． 【解答】解（1）抛物线23y ax bx =++经过点(2,3)a −， ∴把(2,3)a −代入23y ax bx =++得2(2)233a a ab ⨯−−+=，22b a ∴=，2223y ax a x ∴=++，∴抛物线的对称轴222a x a a=−=−，答：抛物线的对称轴为：x a =−；（2）①当0a >时，抛物线开口方向向上，对称轴0x a =−<，在x 轴的负半轴上，所以越靠近对称轴函数值越小， ∴当0t <时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+，∴此时p m n >>与题干m n p >>相矛盾，故舍去， ∴当0t >时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+，∴此时m n <与题干m n p >>相矛盾，故舍去；②当0a <时，抛物线开口方向向下，对称轴0x a =−>，在x 轴的正半轴上，所以越靠近对称轴函数值越大， ∴当0t >时，点M 、N 分别在对称轴同侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t ∴−<+， .m n p >>，∴此时02a t <−<−，即20t a −<<，2t ∴>，∴当0t >时，点M 、N 分别在对称轴两侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，p m n ∴>>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，∴当0t <时，且点M 、N 分别在对称轴两侧时，(2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，n m ∴>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，当0t <时，且点M 、N 分别在对称轴同侧时， (2,)M t m −，(2,)N t n +，(,)P t p −在抛物线上，22t t t ∴−<<+，n m ∴>与题干m n p >>相矛盾，故舍去，答：a 的取值范围为20(2)t a t −<<>．7．（2024•张家口一模）某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式2y x bx c =++，通过输入不同的b ，c 的值，在几何画板的展示区内得到对应的图象．（1）若输入2b =，3c =−，得到如图①所示的图象，求顶点C 的坐标及抛物线与x 轴的交点A ，B 的坐标； （2）已知点(1,10)P −，(4,0)Q ．①若输入b ，c 的值后，得到如图②的图象恰好经过P ，Q 两点，求出b ，c 的值；②淇淇输入b ，嘉嘉输入1c =−，若得到二次函数的图象与线段PQ 有公共点，求淇淇输入b 的取值范围．【分析】（1）将2b =，3c =−，代入函数解析式，进行求解即可； （2）①待定系数法进行求解即可；②将1c =−代入解析式，得到抛物线必过点(0,1)−，求出1x =−和4x =的函数值，根据抛物线与线段PQ 有公共点，列出不等式进行求解即可． 【解答】解：（1）2y x bx c =++，解：当2b =，3c =−时，2223(1)4y x x x =+−=+−， ∴顶点C 的坐标为：(1,4)−−；当0y =时，2230x x +−=，即(3)(1)0x x +−=， 解得：13x =−，21x =， (3,0)A ∴−，(1,0)B ；（2）①抛物线恰好经过P ，Q则：1101640b c b c −+=⎧⎨++=⎩，解得：54b c =−⎧⎨=⎩；②当1c =−时，21y x bx =+−， 当0x =时，1y =−， ∴抛物线过(0,1)−，当1x =−时，11y b b =−−=−，当点(1,)b −−在点P 上方，或与点P 重合时，抛物线与线段PQ 有公共点，即：10b −…， 解得：10b −…；当4x =时，1641415y b b =+−=+，当点(4,154)b +在点Q 上方，或与点Q 重合时，抛物线与线段PQ 有公共点，即：1540b +…，154b ≥−； 综上：10b −…或154b ≥−． 【点评】本题考查二次函数的综合应用．正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．8．（2024•浙江模拟）设二次函数24(y ax ax c a =−+，c 均为常数，0)a ≠，已知函数值y 和自变量x 的部分对应取值如下表所示：（1）判断m ，n 的大小关系，并说明理由； （2）若328m n −=，求p 的值；（3）若在m ，n ，p 这三个数中，只有一个数是负数，求a 的取值范围．【分析】（1）根据所给函数解析式，可得出抛物线的对称轴为直线2x =，据此可解决问题． （2）根据（1）中发现的关系，可求出m 的值，据此即可解决问题． （3）根据m 和n 相等，所以三个数中的负数只能为p ，据此可解决问题． 【解答】解：（1）m n =．因为二次函数的解析式为24y ax c =+， 所以抛物线的对称轴为直线422ax a−=−=， 又因为1522−+=， 所以点(1,)m −与(5,)n 关于抛物线的对称轴对称， 故m n =．（2）因为m n =，328m n −=， 所以8m =．将(0,3)和(1,8)−代入函数解析式得：348c a a c =⎧⎨++=⎩，解得13a c =⎧⎨=⎩所以二次函数的解析式为243y x x =−+．将2x =代入函数解析式得，224231p =−⨯+=−．（3）由（1）知，m n =， 所以m ，n ，p 中只能p 为负数． 将(0,3)代入函数解析式得，3c =， 所以二次函数解析式为243y ax ax =−+． 将1x =−代入函数解析式得，53m a =+． 将2x =代入函数解析式得，43p a =−+．则430530a a −+<⎧⎨+≥⎩，解得34a >，所以a 的取值范围是34a >． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象和性质是解题的关键．9．（2024•北京模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(26)1y x m x =+−+经过点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +．（1）若13y y =，求抛物线的对称轴； （2）若231y y y <<，求m 的取值范围． 【分析】（1）利用对称轴意义即可求解；（2m 的不等式组，解不等式组即可．【解答】解：（1）抛物线2(26)1y x m x =+−+经过点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +，13y y =， ∴该抛物线的对称轴为：直线22m m x −++=，即直线1x =； （2）当0m >时，可知点1(,)m y −，2(,)m y ，3(2,)m y +从左至右分布， 231y y y <<，∴232232m m m m m m ++⎧−<⎪⎪⎨−++⎪−>⎪⎩，解得12m <<； 当0m <时，3m m m ∴<−<−+，21y y ∴>，不合题意，综上，m 的取值范围是12m <<．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．10．（2024•浙江模拟）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(y ax bx c a =++，b ，c 为常数，且0)a ≠经过(2,4)A −−和(3,1)B 两点．（1）求b 和c 的值（用含a 的代数式表示）；（2）若该抛物线开口向下，且经过(23,)C m n −，(72,)D m n −两点，当33k x k −<<+时，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围；（3）已知点(6,5)M −，(2,5)N ，若该抛物线与线段MN 恰有一个公共点时，结合函数图象，求a 的取值范围．【分析】（1）把(2,4)A −−和(3,1)B 代入2y ax bx c =++，即可求解；（2）先求出对称轴为：直线2x =，结合开口方向和增减性列出不等式即可求解； （3）分0a >时，0a <时，结合图象即可求解．【解答】解：（1）把(2,4)A −−和(3,1)B 代入2y ax bx c =++，得：424931a b c a b c −+=−⎧⎨++=⎩，解得：162b a c a =−⎧⎨=−−⎩；（2）抛物线经过(23,)C m n −，2,)m n −两点， ∴抛物线的对称轴为：直线237222m mx −+−==，抛物线开口向下，当33k x k −<<+时，y 随x 的增大而减小，32k ∴−…，即5k …； （3）①当0a >时，6x =−，5y …，即2(6)(1)(6)625a a a ⨯−+−⨯−−−…， 解得：1336a …，抛物线不经过点N ，如图①，抛物线与线段MN 只有一个交点，结合图象可知：1336a …；②当0a <时，若抛物线的顶点在线段MN 上时，则2244(62)(1)544ac b a a a a a−−−−−==，解得：11a =−，2125a =−， 当11a =−时，111112222(1)a −=−=⨯−， 此时，定点横坐标满足116222a−−……，符合题意； 当11a =−时，如图②，抛物线与线段MN 只有一个交点，如图③，当2125a =−时，11111312222()25a −=−=⨯−，此时顶点横坐标不满足116222a−−……，不符合题意，舍去； 若抛物线与线段MN 有两个交点，且其中一个交点恰好为点N 时，把(2,5)N 代入2(1)62y ax a x a =+−−−，得：252(1)262a a a =⨯+−⨯−−， 解得：54a =−，当54a =−时，如图④，抛物线和线段MN 有两个交点，且其中一个交点恰好为点N ，结合图象可知：54a <−时，抛物线与线段MN 有一个交点，综上所述：a 的取值范围为：1336a …或1a =−或54a <−．【点评】本题考查二次函数的性质和图象，根据题意画出图象，分类讨论是解题的关键．11．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)，1(6,)y 在抛物线2(0)y ax bx c a =++≠上． （1）当13y =时，求抛物线的对称轴；（2）若抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点(1,1)−−，当自变量x 的值满足12x −……时，y 随x 的增大而增大，求a 的取值范围；（3）当0a >时，点2(4,)m y −，2(,)m y 在抛物线2y ax bx c =++上．若21y y c <<，请直接写出m 的取值范围．【分析】（1）当13y =时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点，根据对称性求出对称轴；（2）把(0,3)，(1,1)−−代入抛物线解析式得出a ，b 的关系，然后求出对称轴，再分0a >和0a <，由函数的增减性求出a 的取值范围；（3）先画出函数图象，再根据21y y c <<确定m 的取值范围． 【解答】解：（1）当13y =时，(0,3)，(6,3)为抛物线上的对称点， 0632x +∴==， ∴抛物线的对称轴为直线3x =；（2）2(0)y ax bx c a =++≠过(0,3)，(1,1)−−，3c ∴=，31a b −+=−， 4b a =+，∴对称轴为直线422b a x a a+=−=−，①当0a >时，12x −……时，y 随x 的增大而增大，∴412a a+−−…， 解得4a …，04a ∴<…；②当0a <时，12x −……时，y 随x 的增大而增大，∴422a a+−…， 解得45a −…， ∴405a −<…，综上：a 的取值范围是405a −<… 或04a <…；（3）点(0,3)在抛物线2y ax bx c =++上，3c ∴=，点2(4,)m y −，2(,)m y 在抛物线2y ax bx c =++上， ∴对称轴为直线422m mx m −+==−， ①如图所示：21y y c <<，6m ∴<且06232m +−>=， 56m ∴<<；②如图所示：21y y c <<，46m ∴−>， 10m ∴>，综上所述，m 的取值范围为56m <<或10m >．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，关键是利用数形结合和分类讨论的思想进行解答．题型三．待定系数法求二次函数解析式（共3小题）12．（2024•保山一模）如图，抛物线2y ax bx c =++过(2,0)A −，(3,0)B ，(0,6)C 三点；点P 是第一象限内抛物线上的动点，点P 的横坐标是m ，且132m <<． （1）试求抛物线的表达式；（2）过点P 作PN x ⊥轴并交BC 于点N ，作PM y ⊥轴并交抛物线的对称轴于点M ，若12PM PN =，求m 的值．【分析】（1）将A ，B ，C 三点坐标代入函数解析式即可解决问题． （2）用m 表示出PM 和PN ，建立关于m 的方程即可解决问题． 【解答】解：（1）由题知，将A ，B ，C 三点坐标代入函数解析式得，4209306a b c a b c c −+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得116a b c =−⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以抛物线的表达式为26y x x =−++．（2）将x m =代入抛物线得表达式得，26y m m =−++， 所以点P 的坐标为2(,6)m m m −++． 令直线BC 的函数解析式为y px q =+，则306p q q +=⎧⎨=⎩，解得26p q =−⎧⎨=⎩，所以直线BC 的函数解析式为26y x =−+． 因为132m <<，且抛物线的对称轴为直线12x =，所以12PM m =−． 又因为点N 坐标为(,26)m m −+，所以226(26)3PN m m m m m =−++−−+=−+． 因为12PM PN =， 所以211(3)22m m m −=−+，解得m =， 又因为132m <<，所以m =． 【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数的图象和性质，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．13．（2024•东营区校级一模）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线28y x =−+与抛物线2y x bx c =−++交于A ，B 两点，点B 在x 轴上，点A 在y 轴上． （1）求抛物线的函数表达式；（2）点C 是直线AB 上方抛物线上一点，过点C 分别作x 轴，y 轴的平行线，交直线AB 于点D ，E ．当38DE AB =时，求点C 的坐标．【分析】（1）根据一次函数解析式求出A ，B 两点坐标，再将A ，B 两点坐标代入二次函数解析式即可解决问题．（2）根据AOB ECD ∆∆∽得到CD 与OB 的关系，建立方程即可解决问题． 【解答】解：（1）令0x =得，8y =， 所以点A 的坐标为(0,8)； 令0y =得，4x =， 所以点B 的坐标为(4,0)；将A ，B 两点坐标代入二次函数解析式得，81640c b c =⎧⎨−++=⎩，解得28b c =⎧⎨=⎩，所以抛物线的函数表达式为228y x x =−++． （2）因为//CD x 轴，//CE y 轴， 所以AOB ECD ∆∆∽， 则CD DEOB AB=． 因为38DE AB =，4OB =， 所以32CD =． 令点C 坐标为2(,28)m m m −++， 则点D 坐标为21(2m m −，228)m m −++所以2211()222CD m m m m m =−−=−+，则213222m m −+=，解得1m =或3．当1m =时，2289m m −++=； 当3m =时，2285m m −++=； 所以点C 的坐标为(1,9)或(3,5)．【点评】本题考查待定系数法求二次函数解析式及二次函数图象上点的坐标特征，熟知待定系数法及二次函数的图象和性质是解题的关键．14．（2024•南关区校级二模）已知二次函数2y x bx c =++的图象经过点(0,3)A −，(3,0)B ．点P 在抛物线2y x bx c =++上，其横坐标为m ．（1）求抛物线的解析式；（2）当23x −<<时，求y 的取值范围；（3）当抛物线2y x bx c =++上P 、A 两点之间部分的最大值与最小值的差为34时，求m 的值； （4）点M 在抛物线2y x bx c =++上，其横坐标为1m −．过点P 作PQ y ⊥轴于点Q ，过点M 作MN x ⊥轴于点N ，分别连结PM ，PN ，QM ，当PQM ∆与PNM ∆的面积相等时，直接写出m 的值． 【分析】（1）依据题意，将A 、B 两点代入解析式求出b ，c 即可得解；（2）依据题意，结合（1）所求解析式，再配方可得抛物线的最值，进而由23x −<<可以判断得解； （3）依据题意，分类讨论计算可以得解；（4）分别写出P 、Q 、M 、N 的坐标，PQM ∆与PNM ∆的面积相等，所以Q 到PM 的距离等于N 到PM 的距离，可得m 的值．【解答】解：（1）由题意，将(0,3)A −，(3,0)B 代入解析式2y x bx c =++得，3c =−，930b c ++=，2b ∴=−，3c =−，∴抛物线的解析式为223y x x =−−；（2）由题意，抛物线2223(1)4y x x x =−−=−−，∴抛物线223y x x =−−开口向上，当1x =时，y 有最小值为4−，当2x =−时，5y =；当3x =时，0y =， ∴当23x −<<时，45y −<…；（3）由题意得，2(,23)P m m m −−，(0,3)A −，①当0m <时，P 、A 两点之间部分的最大值为223m m −−，最小值为3−， 2323(3)4m m ∴−−−−=，解得：1m =−②当02m ……时，P 、A 两点之间部分的最大值为3−，最小值为223m m −−或4−， 显然最小值是4−时不合题意， ∴最小值为223m m −−， 233(23)4m m ∴−−−−=， 解得：32m =或12m =， 32m =时，P 、A 两点之间部分的最小值为4−，故舍去， ③当2m <时，P 、A 两点之间部分的最大值为223m m −−，最小值为4−， 2323(4)4m m ∴−−−−=，解得：1m =+，12+<，故舍去，综上，满足题意得m 的值为：1或12； （4）由题意得，2(1,4)M m m −−，(1,0)N m −，2(0,23)Q m m −−， 设PM y kx b =+，代入P 、M 两点， 2223(1)4mk b m m m k b m ⎧+=−−⎨−+=−⎩， 解得：1k =−，23b m m =−−，23PM y x m m =−+−−，PQM ∆与PNM ∆的面积相等，Q ∴到23PM y x m m =−+−−的距离与N 到23PM y x m m =−+−−的距离相等，Q 到23PM y x m m =−+−−的距离=，N 到23PMy x m m =−+−−的距离=， 2|||4|m m ∴−=−+，当2m <−时，24m m −=−，解得：m =，当20m −……时，24m m −=−，解得：m =，当02m <…时，24m m =−，解得：m =当2m <时，24m m =−，解得：m =综上，满足题意得m ． 【点评】本题考查了二次函数，关键是注意分类讨论． 题型四．抛物线与x 轴的交点（共14小题）15．（2024•秦淮区校级模拟）已知函数2(2)2(y mx m x m =−−−为常数）． （1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）不论m ． （3）在22x −……的范围中，y 的最大值是2，直接写出m 的值． 【分析】（1）分两种情况讨论，利用判别式证明即可；（2）当1x =时，0y =，当0x =时，2y =−，即可得到定点坐标；（3）利用抛物线过两个定点，得到函数y 随x 增大而增大，代入解析式求出m 值即可． 【解答】解：（1）①当0m =时，函数解析式为22y x =−，此一次函数与x 轴有交点； ②当0m ≠时，函数解析式为2(2)2y mx m x =−−−，令0y =，则有2(2)20mx m x −−−=，△2222(2)4(2)44844(2)0m m m m m m m m =−−⨯−=−++=++=+…． ∴不论m 为何值，该函数的图象与x 轴总有公共点．（2）222(2)222()22y mx m x mx mx x m x x x =−−−=−+−=−+−， 当1x =时，0y =， 当0x =时，2y =−，∴不论m 为何值，该函数的图象经过的定点坐标是(1,0)．(0,2)−故答案为：(1,0)，(0,2)−，（3）若0m =，函数22y x =−，y 随x 增大而增大，当2x =时，2y =，与题干条件符； 当0m ≠时，函数2(2)2y mx m x =−−−是二次函数，①当0m >时，抛物线过(1,0)，(0,2)−两点，当22x −……的范围中时，y 随x 的增大而增大， ∴当2x =时，2y =，即242(2)2m m =−−−，解得0m =（舍去）．②当0m <时，抛物线过(1,0)，(0,2)−两点，其增减性依旧是y 随x 的增大而增大和①相同．综上分析，0m =．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．16．（2024•柳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于A ，B 两点，B 点的坐标为(3,0)，与y 轴交于点(0,3)C −，点D 为抛物线的顶点． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求ABD ∆的面积【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出点A 和点D 坐标，再根据||2D ABD AB y S ∆⋅=解析求解即可．【解答】解：（1）将(3,0)B ，(0,3)C −代入2y x bx c =++得0933b c c =++⎧⎨=−⎩，解得23b c =−⎧⎨=−⎩，∴二次函数的解析式为：223y x x =−−；（2）将223y x x =−−配方得顶点式2(1)4y x =−−， ∴顶点(1,4)D −，在223y x x =−−中，当2230y x x =−−=时， 解得1x =−或3x =， (1,0)A ∴−，4AB ∴=， ∴||44822D ABD AB y S ∆⋅⨯===． 【点评】本题主要考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．17．（2024•安阳模拟）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++与抛物线21y x x =−+−的形状相同，且与x 轴交于点(1,0)−和(4,0)．直线2y kx =+分别与x 轴、y 轴交于点A ，B ，交抛物线2y ax bx c =++于点C ，D （点C 在点D 的左侧）． （1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线2y kx =+上方抛物线上的任意一点，当2k =时，求PCD ∆面积的最大值； （3）若抛物线2y ax bx c =++与线段AB 有公共点，结合函数图象请直接写出k 的取值范围．【分析】（1）根据题意直接求出二次函数解析式即可；（2）求出直线与抛物线的交点C ，D 坐标，过点P 作y 轴的平行线交CD 于点H ，交x 轴于点G ，设点P坐标为(m ，234)(12)m m m −++−<<，则点(,22)H m m +，求出PH ，由三角形的面积公式求出关于m 的函数解析式，再根据函数的性质求最值； （3）分0k >和0k <两种情况讨论即可．【解答】解：（1）抛物线2y ax bx c =++与抛物线21y x x =−+−的形状相同，1a ∴=−，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)−和(4,0)， ∴抛物线的解析式为2(1)(4)34y x x x x =−+−=−++；（2）当2k =时，联立方程组22234y x y x x =+⎧⎨=−++⎩，解得10x y =−⎧⎨=⎩或26x y =⎧⎨=⎩， (1,0)C ∴−，(2,6)D ，过点P 作y 轴的平行线交CD 于点H ，交x 轴于点G ，如图，设点P 坐标为(m ，234)(12)m m m −++−<<， ∴点(,22)H m m +，2234(22)2PH m m m m m ∴=−++−+=−++，221331273(2)()22228PCD S PH m m m ∆∴=⨯=−++=−−+， 302−<，12m −<<， ∴当12m =时，S 有最大值，最大值为278． PCD ∴∆面积的最大值为278； （3）令0x =，则2y =， ∴点B 坐标为(0,2)，令0y =，则20kx +=， 解得2x k=−，∴点A 坐标为2(k−，0)， 若抛物线2y ax bx c =++与线段AB 有公共点， 当0k >时，如图所示，则21k−<−， 解得02k <<； 当0k <时，如图所示：则24k−>， 解得102k −<<；综上所述，k 的取值范围为02k <<或102k −<<．【点评】本题考查抛物线与x 轴的交点，待定系数法求函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值等知识，关键是对这些知识的掌握和运用．18．（2024•西湖区校级模拟）已知21()y ax a b x b =+++和22()(y bx a b x a a b =+++≠且0)ab ≠是同一直角坐标系中的两条抛物线．（1）当1a =，3b =−时，求抛物线21()y ax a b x b =+++的顶点坐标； （2）判断这两条抛物线与x 轴的交点的总个数，并说明理由；（3）如果对于抛物线21()y ax a b x b =+++上的任意一点(,)P m n 均有22n a b +…．当20y …时，求自变量x 的取值范围．【分析】（1）把a ，b 的值代入配方找顶点即可解题；（2）分别令10y =，20y =，解方程求出方程的解，然后根据条件确定交点的个数即可解题；（3）现根据题意得到0a <，且24()224ab a b a b a−+=+，然后得到30b a =−>，借助图象求出不等式的解集即可．【解答】解：（1）当1a =，3b =−时，2221()23(1)4y ax a b x b x x x =+++=−−=−−， ∴顶点坐标为(1,4)−；（2）3个，理由为：令10y =，则2()0ax a b x b +++=， 即()(1)0ax b x ++=， 解得：1bx a=−，21x =−， 令20y =，则2()0bx a b x a +++=， 即()(1)0bx a x ++=， 解得：1ax b=−，21x =−， 又a b ≠且0ab ≠，∴两条抛物线与x 轴的交点总个数为3个；（3）抛物线21()y ax a b x b =+++上的任意一点(,)P m n 均有22n a b +…，0a ∴<，且24()224ab a b a b a−+=+，整理得：30b a =−>，∴22()y bx a b x a =+++的开口向上，且抛物线与x 轴交点的横坐标为113x =，21x =−， 如图所示，借助图象可知当13x …或1x −…时，20y …．【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握配方法求顶点坐标，二次函数和一元二次方程的关系是解题的关键．19．（2024•三元区一模）抛物线23y ax bx =++与x 轴相交于点(1,0)A ，(3,0)B ，与y 轴正半轴相交于点C ． （1）求抛物线的解析式；（2）点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y 是抛物线上不同的两点． ①当1x ，2x 满足什么数量关系时，12y y =； ②若12122()x x x x +=−，求12y y −的最小值． 【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①若12y y =，则M 、N 关于抛物线对称轴对称，即可求解；②22121122121212(43)(43)()()4()y y x x x x x x x x x x −=−+−−+=+−+−，而12122()x x x x +=−，得到12y y −的函数表达式，进而求解．【解答】解：（1）设抛物线的表达式为：12()()y a x x x x =−−， 即2(1)(3)(43)y a x x a x x =−−=−+， 即33a =， 解得：1a =，故抛物线的表达式为：243y x x =−+；（2）如图，。
全国中考数学二次函数的综合中考真题分类汇总附答案解析
一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知二次函数的图象以A（﹣1，4）为顶点，且过点B（2，﹣5）（1）求该函数的关系式；（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B两点随图象移至A′、B′，求△O A′B′的面积．【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将B 点坐标代入，即可求出二次函数的解析式；（2）根据函数解析式，令x=0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y=0，可求得抛物线与x轴交点坐标；（3）由（2）可知：抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出△OA′B′的面积．【详解】（1）设抛物线顶点式y=a（x+1）2+4，将B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；（2）令x=0，得y=3，因此抛物线与y轴的交点为：（0，3），令y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，即抛物线与x轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；（3）设抛物线与x轴的交点为M、N（M在N的左侧），由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），当函数图象向右平移经过原点时，M与O重合，因此抛物线向右平移了3个单位，故A'（2，4），B'（5，﹣5），∴S△OA′B′=12×（2+5）×9﹣12×2×4﹣12×5×5=15．【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.2．如图，关于x 的二次函数y=x 2+bx+c 的图象与x 轴交于点A （1，0）和点B 与y 轴交于点C （0，3），抛物线的对称轴与x 轴交于点D ．（1）求二次函数的表达式；（2）在y 轴上是否存在一点P ，使△PBC 为等腰三角形？若存在．请求出点P 的坐标； （3）有一个点M 从点A 出发，以每秒1个单位的速度在AB 上向点B 运动，另一个点N 从点D 与点M 同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M 到达点B 时，点M 、N 同时停止运动，问点M 、N 运动到何处时，△MNB 面积最大，试求出最大面积．【答案】（1）二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）点P 的坐标为：（0，2（0，3﹣2）或（0，-3）或（0，0）；（3）当点M 出发1秒到达D 点时，△MNB 面积最大，最大面积是1．此时点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【解析】【分析】（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c 得方程组，解方程组即可得二次函数的表达式；（2）先求出点B 的坐标，再根据勾股定理求得BC 的长，当△PBC 为等腰三角形时分三种情况进行讨论：①CP=CB ；②BP=BC ；③PB=PC ；分别根据这三种情况求出点P 的坐标； （3）设AM=t 则DN=2t ，由AB=2，得BM=2﹣t ，S △MNB=12×（2﹣t ）×2t=﹣t 2+2t ，把解析式化为顶点式，根据二次函数的性质即可得△MNB 最大面积；此时点M 在D 点，点N 在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N 在对称轴上x 轴下方2个单位处．【详解】解：（1）把A （1，0）和C （0，3）代入y=x 2+bx+c ，103b c c ++=⎧⎨=⎩解得：b=﹣4，c=3，∴二次函数的表达式为：y=x 2﹣4x+3；（2）令y=0，则x 2﹣4x+3=0，解得：x=1或x=3，∴B（3，0），∴BC=32，点P在y轴上，当△PBC为等腰三角形时分三种情况进行讨论：如图1，①当CP=CB时，PC=32，∴OP=OC+PC=3+32或OP=PC﹣OC=32﹣3∴P1（0，3+32），P2（0，3﹣32）；②当PB=PC时，OP=OB=3，∴P3（0，-3）；③当BP=BC时，∵OC=OB=3∴此时P与O重合，∴P4（0，0）；综上所述，点P的坐标为：（0，3+32）或（0，3﹣32）或（﹣3，0）或（0，0）；（3）如图2，设AM=t，由AB=2，得BM=2﹣t，则DN=2t，∴S△MNB=1×（2﹣t）×2t=﹣t2+2t=﹣（t﹣1）2+1，2当点M出发1秒到达D点时，△MNB面积最大，最大面积是1．此时点N在对称轴上x 轴上方2个单位处或点N在对称轴上x轴下方2个单位处．3．如图，在平面直角坐标系中，∠ACB=90°，OC=2OB ，tan ∠ABC=2，点B 的坐标为（1，0）．抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 是直线AB 上方抛物线上的一点，过点P 作PD 垂直x 轴于点D ，交线段AB 于点E ，使PE=12DE ． ①求点P 的坐标；②在直线PD 上是否存在点M ，使△ABM 为直角三角形？若存在，求出符合条件的所有点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x 2﹣3x+4；（2）①P （﹣1，6），②存在，M （﹣1，11）或（﹣1，311）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）． 【解析】【分析】（1）先根据已知求点A 的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）①先得AB 的解析式为：y=-2x+2，根据PD ⊥x 轴，设P （x ，-x 2-3x+4），则E （x ，-2x+2），根据PE=12DE ，列方程可得P 的坐标； ②先设点M 的坐标，根据两点距离公式可得AB ，AM ，BM 的长，分三种情况：△ABM 为直角三角形时，分别以A 、B 、M 为直角顶点时，利用勾股定理列方程可得点M 的坐标．【详解】解：（1）∵B （1，0），∴OB=1，∵OC=2OB=2，∴C （﹣2，0），Rt △ABC 中，tan ∠ABC=2，∴AC 2BC =， ∴AC 23=， ∴AC=6， ∴A （﹣2，6）， 把A （﹣2，6）和B （1，0）代入y=﹣x 2+bx+c 得：42610b c b c --+=⎧⎨-++=⎩， 解得：34b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为：y=﹣x 2﹣3x+4；（2）①∵A（﹣2，6），B（1，0），∴AB的解析式为：y=﹣2x+2，设P（x，﹣x2﹣3x+4），则E（x，﹣2x+2），∵PE=12DE，∴﹣x2﹣3x+4﹣（﹣2x+2）=12（﹣2x+2），∴x=-1或1（舍），∴P（﹣1，6）；②∵M在直线PD上，且P（﹣1，6），设M（﹣1，y），∵B（1，0），A（﹣2，6）∴AM2=（﹣1+2）2+（y﹣6）2=1+（y﹣6）2，BM2=（1+1）2+y2=4+y2，AB2=（1+2）2+62=45，分三种情况：i）当∠AMB=90°时，有AM2+BM2=AB2，∴1+（y﹣6）2+4+y2=45，解得：y=311，∴M（﹣1，11）或（﹣1，311ii）当∠ABM=90°时，有AB2+BM2=AM2，∴45+4+y2=1+（y﹣6）2，∴y=﹣1，∴M（﹣1，﹣1），iii）当∠BAM=90°时，有AM2+AB2=BM2，∴1+（y﹣6）2+45=4+y2，∴y=132，∴M（﹣1，132）；综上所述，点M的坐标为：∴M（﹣1，11）或（﹣1，311）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，132）．【点睛】此题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数的解析式，铅直高度和勾股定理的运用，直角三角形的判定等知识．此题难度适中，解题的关键是注意方程思想与分类讨论思想的应用．4．已知抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-.（1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；（3）设抛物线2(5)6y x m x m =-+-+-与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.【答案】（1）证明见解析；（2）1?<?m?3<；（3）56m m ==或【解析】【分析】（1）本题需先根据判别式解出无论m 为任何实数都不小于零，再判断出物线与x 轴总有交点．（2）根据公式法解方程，利用已有的条件，就能确定出m 的取值范围，即可得到结果． （3）根据抛物线y=-x 2+（5-m ）x+6-m ，求出与y 轴的交点M 的坐标，再确定抛物线与x 轴的两个交点关于直线y=-x 的对称点的坐标，列方程可得结论．【详解】（1）证明：∵()()()222454670b ac m m m ∆=-=-+-=-≥∴抛物线与x 轴总有交点.（2）解：由（1）()27m ∆=-，根据求根公式可知，方程的两根为：x = 即1216x x m =-=-+， 由题意，有 3<-m 6<5+1<?m 3∴<(3)解：令 x = 0， y =6m -+∴ M （0，6m -+）由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1，0）和（6m -+，0），它们关于直线y x =-的对称点分别为（0 ， 1）和（0， 6m -），由题意，可得：6166m m m 或-+=-+=-56m m ∴==或【点睛】本题考查对抛物线与x 轴的交点，解一元一次方程，解一元一次不等式，根的判别式，对称等，解题关键是熟练理解和掌握以上性质，并能综合运用这些性质进行计算．5．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．【解析】【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣12t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，解得：a=﹣12，所以抛物线解析式为y=﹣12（x﹣6）（x+2）=﹣12x2+2x+6；（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB 解析式为y=kx+b ，将点A （0，6）、B （6，0）代入，得：660b k b =⎧⎨+=⎩， 解得：16k b =-⎧⎨=⎩， 则直线AB 解析式为y=﹣x+6，设P （t ，﹣12t 2+2t+6）其中0＜t ＜6， 则N （t ，﹣t+6）， ∴PN=PM ﹣MN=﹣12t 2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t 2+2t+6+t ﹣6=﹣12t 2+3t ， ∴S △PAB =S △PAN +S △PBN=12PN•AG+12PN•BM =12PN•（AG+BM ） =12PN•OB =12×（﹣12t 2+3t ）×6 =﹣32t 2+9t =﹣32（t ﹣3）2+272， ∴当t=3时，△PAB 的面积有最大值；（3）如图2，∵PH⊥OB于H，∴∠DHB=∠AOB=90°，∴DH∥AO，∵OA=OB=6，∴∠BDH=∠BAO=45°，∵PE∥x轴、PD⊥x轴，∴∠DPE=90°，若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，则当y=6时，﹣1 2x2+2x+6=6，解得：x=0（舍）或x=4，即点P（4，6）．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.6．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c=++过点(1,0)A-，(3,0)B，与y轴交于点C，连接AC，BC，将OBC沿BC所在的直线翻折，得到DBC△，连接OD．（1）用含a的代数式表示点C的坐标．（2）如图1，若点D落在抛物线的对称轴上，且在x轴上方，求抛物线的解析式．（3）设OBD的面积为S1，OAC的面积为S2，若1223SS=，求a的值．【答案】（1）(0,3)C a-；(2) 抛物线的表达式为：252535y x=++；(3) 22a=-22a=【解析】【分析】（1）根据待定系数法，得到抛物线的表达式为：()2(1)(3)23y a x x a x x =+-=--，即可求解；（2）根据相似三角形的判定证明CPD DQB ∽，再根据相似三角形的性质得到CP PD CD DQ BQ BD ==，即可求解；（3）连接OD 交BC 于点H ，过点H 、D 分别作x 轴的垂线交于点N 、M ，由三角形的面积公式得到1223S S =，29m DM =，11299m HN DM OC ===，而22899m HN ON BN ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，即可求解． 【详解】（1）抛物线的表达式为：()2(1)(3)23y a x x a x x =+-=--，即3c a =-，则点(0,3)C a -；（2）过点B 作y 轴的平行线BQ ，过点D 作x 轴的平行线交y 轴于点P 、交BQ 于点Q ， ∵90CDP PDC ︒∠+∠=，90PDC QDB ︒∠+∠=，∴QDB DCP ∠=∠，设：(1,)D n ，点(0,3)C a -，90CPD BQD ︒∠=∠=，∴CPD DQB ∽，∴CP PD CD DQ BQ BD==， 其中：3CP n a =+，312DQ =-=，1PD =，BQ n =，3CD a =-，3BD =， 将以上数值代入比例式并解得：5a =， ∵0a <，故55a =-， 故抛物线的表达式为：252535555y x x =++；（3）如图2，当点C 在x 轴上方时，连接OD 交BC 于点H ，则DO BC ⊥， 过点H 、D 分别作x 轴的垂线交于点N 、M ，设：3OC m a ==-，11322OBD S S OB DM DM ∆==⨯⨯=， 2112OACS S m ∆==⨯⨯，而1223S S =，则29m DM =，11299m HN DM OC ===， ∴1193BN BO ==，则18333ON =-=，则DO BC ⊥，HN OB ⊥，则BHN HON ∠=∠，则tan tan BHN HON ∠=∠，则22899m HN ON BN ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，解得：62m =±（舍去负值），|3|62CO a =-=，解得：22a =-故：22a =-C 在x 轴下方时，同理可得：22a =22a =-22a =【点睛】本题考查的是二次函数综合运用、一次函数、三角形相似、图形的面积计算，其中（3）用几何方法得出：22899m HN ON BN ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，是本题解题的关键．7．已知函数()()22,1,222x nx n x n y n nx x x n ⎧-++≥⎪=⎨-++<⎪⎩（n 为常数） （1）当5n =，①点()4,P b 在此函数图象上，求b 的值；②求此函数的最大值．（2）已知线段AB 的两个端点坐标分别为()()2,24,2A B 、，当此函数的图象与线段AB 只有一个交点时，直接写出n 的取值范围．（3）当此函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4，求n 的取值范围．【答案】（1）①92b =②458；（2）1845n <≤，823n ≤<时，图象与线段AB 只有一个交点；（3）函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，8n >或3142n ≤<． 【解析】 【分析】（1）①将()4,P b 代入2155222y x x =-++；②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5；当5x <时，当52x =时有最大值为458；故函数的最大值为458； （2）将点()4,2代入2y x nx n =-++中，得到185n =，所以1845n <≤时，图象与线段AB 只有一个交点；将点()2,2）代入2y x nx n =-++和21222n ny x x =-++中，得到82,3n n ==， 所以823n ≤<时图象与线段AB 只有一个交点； （3）当xn =时，42n >，得到8n >；当2n x =时，1482n +≤，得到312n ≥，当x n=时，22y n n n n =-++=，4n <． 【详解】解：（1）当5n =时，()()225551555222x x x y x x x ⎧-++≥⎪=⎨-++<⎪⎩， ①将()4,P b 代入2155222y x x =-++， ∴92b =； ②当5x ≥时，当5x =时有最大值为5； 当5x <时，当52x =时有最大值为458； ∴函数的最大值为458；（2）将点()4,2代入2y x nx n =-++中， ∴185n =， ∴1845n <≤时，图象与线段AB 只有一个交点； 将点()2,2代入2y x nx n =-++中， ∴2n =， 将点()2,2代入21222n ny x x =-++中， ∴83n =， ∴823n ≤<时图象与线段AB 只有一个交点； 综上所述：1845n <≤，823n ≤<时，图象与线段AB 只有一个交点； （3）当xn =时，22112222n n y n n =-++=，42n>，∴8n >； 当2n x =时，182n y =+， 1482n +≤，∴312n ≥， 当xn =时，22y n n n n =-++=，4n <；∴函数图象上有4个点到x 轴的距离等于4时，8n >或3142n ≤<． 【点睛】考核知识点：二次函数综合.数形结合分析问题是关键.8．在平面直角坐标系xOy 中，顶点为A 的抛物线与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于点D ，已知A(1，4)，B(3，0)． (1)求抛物线对应的二次函数表达式；(2)探究：如图1，连接OA ，作DE ∥OA 交BA 的延长线于点E ，连接OE 交AD 于点F ，M 是BE 的中点，则OM 是否将四边形OBAD 分成面积相等的两部分？请说明理由； (3)应用：如图2，P(m ，n)是抛物线在第四象限的图象上的点，且m+n ＝﹣1，连接PA 、PC ，在线段PC 上确定一点M ，使AN 平分四边形ADCP 的面积，求点N 的坐标．提示：若点A 、B 的坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)，则线段AB 的中点坐标为(122x x +，122y y +)．【答案】(1)y ＝﹣x 2+2x ﹣3；(2)OM 将四边形OBAD 分成面积相等的两部分，理由见解析；(3)点N(43，﹣73)． 【解析】 【分析】(1)函数表达式为：y ＝a(x ﹣1)2+4，将点B 坐标的坐标代入上式，即可求解； (2)利用同底等高的两个三角形的面积相等，即可求解；(3)由(2)知：点N 是PQ 的中点，根据C,P 点的坐标求出直线PC 的解析式，同理求出AC,DQ 的解析式，并联立方程求出Q 点的坐标，从而即可求N 点的坐标． 【详解】(1)函数表达式为：y ＝a(x ﹣1)2+4，将点B 坐标的坐标代入上式得：0＝a(3﹣1)2+4， 解得：a ＝﹣1，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x 2+2x ﹣3；(2)OM 将四边形OBAD 分成面积相等的两部分，理由： 如图1，∵DE ∥AO ，S △ODA ＝S △OEA ，S △ODA +S △AOM ＝S △OEA +S △AOM ，即：S 四边形OMAD ＝S △OBM ， ∴S △OME ＝S △OBM ， ∴S 四边形OMAD ＝S △OBM ；(3)设点P(m ，n)，n ＝﹣m 2+2m+3，而m+n ＝﹣1， 解得：m ＝﹣1或4，故点P(4，﹣5)；如图2，故点D 作QD ∥AC 交PC 的延长线于点Q ，由(2)知：点N是PQ的中点，设直线PC的解析式为y=kx+b，将点C(﹣1，0)、P(4，﹣5)的坐标代入得：45k bk b-+=⎧⎨+=-⎩，解得：11 kb=-⎧⎨=-⎩，所以直线PC的表达式为：y＝﹣x﹣1…①，同理可得直线AC的表达式为：y＝2x+2，直线DQ∥CA，且直线DQ经过点D(0，3)，同理可得直线DQ的表达式为：y＝2x+3…②，联立①②并解得：x＝﹣43，即点Q(﹣43，13)，∵点N是PQ的中点，由中点公式得：点N(43，﹣73)．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形面积的计算等，其中(3)直接利用(2)的结论，即点N是PQ的中点，是本题解题的突破点．9．如图，已知二次函数过（﹣2，4），（﹣4，4）两点．（1）求二次函数的解析式；（2）将沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线，直线y=m（m＞0）交于M、N两点，求线段MN的长度（用含m的代数式表示）；（3）在（2）的条件下，、交于A、B两点，如果直线y=m与、的图象形成的封闭曲线交于C、D两点（C在左侧），直线y=﹣m与、的图象形成的封闭曲线交于E、F两点（E在左侧），求证：四边形CEFD是平行四边形．【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析．【解析】试题分析：（1）根据待定系数法即可解决问题．（2）先求出抛物线y2的顶点坐标，再求出其解析式，利用方程组以及根与系数关系即可求出MN．（3）用类似（2）的方法，分别求出CD、EF即可解决问题．试题解析：（1）∵二次函数过（﹣2，4），（﹣4，4）两点，∴，解得：，∴二次函数的解析式．（2）∵=，∴顶点坐标（﹣3，），∵将沿x轴翻折，再向右平移2个单位，得到抛物线，∴抛物线的顶点坐标（﹣1，），∴抛物线为，由，消去y整理得到，设，是它的两个根，则MN===；（3）由，消去y整理得到，设两个根为，，则CD===，由，消去y得到，设两个根为，，则EF===，∴EF=CD，EF∥CD，∴四边形CEFD是平行四边形．考点：二次函数综合题．10．如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A、B两点，且点A在x轴上，点B的横坐标为2，连结AM、BM．（1）求抛物线的函数关系式；（2）判断△ABM的形状，并说明理由；（3）把抛物线与直线y=x的交点称为抛物线的不动点．若将（1）中抛物线平移，使其顶点为（m，2m），当m满足什么条件时，平移后的抛物线总有不动点．【答案】（1）抛物线解析式为y=x2﹣1；（2）△ABM为直角三角形．理由见解析；（3）当m≤时，平移后的抛物线总有不动点．【解析】试题分析：（1）分别写出A、B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可；根据OA＝OM＝1，AC＝BC＝3，分别得到∠MAC＝45°，∠BAC＝45°，得到∠BAM＝90°，进而得到△ABM是直角三角形；（3）根据抛物线的平以后的顶点设其解析式为，∵抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，∴，方程总有实数根，则≥0，得到m的取值范围即可试题解析：解：（1）∵点A是直线与轴的交点，∴A点为（-1，0）∵点B在直线上，且横坐标为2，∴B点为（2，3）∵过点A、B的抛物线的顶点M在轴上，故设其解析式为：∴，解得：∴抛物线的解析式为．（2）△ABM是直角三角形，且∠BAM＝90°．理由如下：作BC⊥轴于点C，∵A（-1，0）、B（2，3）∴AC＝BC＝3，∴∠BAC＝45°；点M是抛物线的顶点，∴M点为（0，-1）∴OA＝OM＝1，∵∠AOM＝90°∴∠MAC＝45°；∴∠BAM＝∠BAC＋∠MAC＝90°∴△ABM是直角三角形．（3）将抛物线的顶点平移至点（，），则其解析式为．∵抛物线的不动点是抛物线与直线的交点，∴化简得：∴＝＝当时，方程总有实数根，即平移后的抛物线总有不动点∴．考点：二次函数的综合应用（待定系数法；直角三角形的判定；一元二次方程根的判别式）。
2011全国中考数学真题解析120考点汇编二次函数的几何应用
(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编☆二次函数的几何应用一、选择题1.（2011•安顺）正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x．则y关于x的函数图象大致是（）A、B、C、D、考点：二次函数综合题。
分析：由已知得BE=CF=DG=AH=1﹣x，根据y=S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BEF﹣S△CFG﹣S△DGH，求函数关系式，判断函数图象．解答：解：依题意，得y=S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BEF﹣S△CFG﹣S△DGH=1﹣4×（1﹣x）x=2x2﹣2x+1，即y=2x2﹣2x+1（0≤x≤1），抛物线开口向上，对称轴为x=，故选C．点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意，列出函数关系式，判断图形的自变量取值范围，开口方向及对称轴．二、填空题1.（2011山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM= 2 时，四边形ABCN的面积最大．考点：二次函数的最值；正方形的性质；相似三角形的判定与性质。
专题：应用题。
分析：设BM=x ，则MC=﹣4x ，当AM⊥MN 时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN ，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN 的面积，用二次函数的性质求面积的最大值． 解答：解：设BM=x ，则MC=﹣4x ， ∵∠AMN=90°，∴∠AMB=90°﹣∠NMC=∠MNC， ∴△ABM∽△MCN，则CN BM MC AB =，即CNxx =-44， 解得CN=4)4(x x -， ∴S 四边形ABCN =21×4×[4+4)4(x x -]=﹣21x 2+2x+8，∵﹣21＜0，∴当x=)21(22-⨯-=2时，S 四边形ABCN 最大．故答案为：2．点评：本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式．三、解答题1. （2011江苏淮安，26，10分）如图，已知二次函数y= -x 2+bx +3的图象与x 轴的一个交点为A (4,0)，与y 轴交于点B .(1)求此二次函数关系式和点B 的坐标； (2)在x 轴的正半轴上是否存在点P ，使得△PAB 是以AB 为底的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.考点：二次函数综合题。
2024年中考数学真题汇编专题15 二次函数的实际应用+答案详解
2024年中考数学真题汇编专题15 二次函数的实际应用+答案详解（试题部分）一、单选题1．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是()230506h t t t =−≤≤．有下列结论：①小球从抛出到落地需要6s ； ②小球运动中的高度可以是30m ；③小球运动2s 时的高度小于运动5s 时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．32．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，12AB =，动点E ，F 同时从点A 出发，分别沿射线AB 和射线AC 的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E 停止运动时，点F 也随之停止运动，连接EF ，以EF 为边向下做正方形EFGH ，设点E 运动的路程为()012x x <<，正方形EFGH 和等腰Rt ABC △重合部分的面积为下列图像能反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，菱形EFGH 的顶点E ，G 在同一水平线上，点G 与AB 的中点重合，EF =，60E ∠=︒，现将菱形EFGH 以1cm /s的速度沿BC 方向匀速运动，当点E 运动到CD 上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH 与矩形ABCD 重叠部分的面积()2cm S 与运动时间()s t 之间的函数关系图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题4．（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P 处）的高度OP 是7m 4，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m ，高度是4m ．若实心球落地点为M ，则OM = m ．5．（2024·甘肃·中考真题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y （单位：m ）与距离停车棚支柱AO 的水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系20.020.3 1.6y x x =−++的图象，点()62.68B ，在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长4m CD =，高 1.8m DE =的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．6．（2024·四川自贡·中考真题）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙AB CD ⊥于点O （如图），其中AB 上的EO 段围墙空缺．同学们测得 6.6AE =m ， 1.4OE =m ，6OB =m ，5OC =m ，3OD =m ．班长买来可切断的围栏16m ，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该菜地最大面积是 2cm ．三、解答题7．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索1L 与缆索2L 均呈抛物线型，桥塔AO 与桥塔BC 均垂直于桥面，如图所示，以O 为原点，以直线FF '为x 轴，以桥塔AO 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知：缆索1L 所在抛物线与缆索2L 所在抛物线关于y 轴对称，桥塔AO 与桥塔BC 之间的距离100m OC =，17m AO BC ==，缆索1L 的最低点P 到FF '的距离2m PD =（桥塔的粗细忽略不计）(1)求缆索1L 所在抛物线的函数表达式；(2)点E 在缆索2L 上，EF FF '⊥，且 2.6m EF =，FO OD <，求FO 的长．8．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m ，篱笆长80m ．设垂直于墙的边AB 长为x 米，平行于墙的边BC 为y 米，围成的矩形面积为2cm S ．(1)求y 与,x s 与x 的关系式．(2)围成的矩形花圃面积能否为2750cm ，若能，求出x 的值．(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x 的值．9．（2024·河南·中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度()m h 满足关系式205h t v t =−+，其中()s t 是物体运动的时间，()0m /s v 是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．(1)小球被发射后_________s 时离地面的高度最大（用含0v 的式子表示）． (2)若小球离地面的最大高度为20m ，求小球被发射时的速度．(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s ．”已知实验楼高15m ，请判断他的说法是否正确，并说明理由．10．（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x 轴，垂直于地面的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线2y ax x =+和直线12y x b =−+．其中，当火箭运行的水平距离为9km 时，自动引发火箭的第二级．(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km ． ①直接写出a ，b 的值；②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km ，求这两个位置之间的距离． (2)直接写出a 满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km ．11．（2024·四川内江·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． (1)求这两种粽子的进价；(2)设猪肉粽每盒售价x 元()5270x ≤≤，y 表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求y 关于x 的函数表达式并求出y 的最大值．12．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值．(1)求y与x的函数表达式；(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m的值．13．（2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）14．（2024·四川遂宁·中考真题）某酒店有A B、两种客房、其中A种24间，B种20间．若全部入住，一天、两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元．营业额为7200元；若A B(1)求A B、两种客房每间定价分别是多少元？(2)酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？15．（2024·四川南充·中考真题）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A 类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元．(1)求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？(2)A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(3)在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价）16．（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务．17．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？18．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数()20y ax bx a =+<刻画，斜坡可以用一次函数14y x =刻画，小球飞行的水平距离x （米）与小球飞行的高度y （米）的变化规律如下表：(1)①m =______，n =______； ②小球的落点是A ，求点A 的坐标．(2)小球飞行高度y （米）与飞行时间t （秒）满足关系25y t vt =−+． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v 的值．19．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，()2,0A −，()6,0C ，反比例函数()0,0ky k x x=≠>的图象与AB 交于点(),4D m ，与BC 交于点E ．(1)求m ，k 的值； (2)点P 为反比例函数()0,0ky k x x=≠>图象上一动点（点P 在D ，E 之间运动，不与D ，E 重合），过点P 作PM AB ∥，交y 轴于点M ，过点P 作PN x ∥轴，交BC 于点N ，连接MN ，求PMN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标．20．（2024·青海·中考真题）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA ，从点O 处抛出一个小球，落到点33,2A ⎛⎫⎪⎝⎭处．小球在空中所经过的路线是抛物线2y x bx =−+的一部分．(1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线最高点的坐标；(3)斜坡上点B 处有一棵树，点B 是OA 的三等分点，小球恰好越过树的顶端C ，求这棵树的高度． 21．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()3,0A ，点,B C 在第一象限，且2,60OC AOC ∠==．(1)填空：如图①，点C 的坐标为______，点B 的坐标为______；(2)若P 为x 轴的正半轴上一动点，过点P 作直线l x ⊥轴，沿直线l 折叠该纸片，折叠后点O 的对应点O '落在x 轴的正半轴上，点C 的对应点为C '．设OP t =．①如图②，若直线l 与边CB 相交于点Q ，当折叠后四边形PO C Q ''与OABC 重叠部分为五边形时，O C ''与AB 相交于点E ．试用含有t 的式子表示线段BE 的长，并直接写出t 的取值范围；②设折叠后重叠部分的面积为S ，当21134t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．2024年中考数学真题汇编专题15 二次函数的实际应用+答案详解（答案详解）一、单选题1．（2024·天津·中考真题）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是()230506h t t t =−≤≤．有下列结论：①小球从抛出到落地需要6s ； ②小球运动中的高度可以是30m ；③小球运动2s 时的高度小于运动5s 时的高度． 其中，正确结论的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3令0=解方程即可判断【详解】解：令0=，则30，解得：10t =，∴小球从抛出到落地需要6∵()230553t t x =−−−∴最大高度为45m ，∴小球运动中的高度可以是2t =时，302=⨯−时，305=⨯−∴小球运动2s 时的高度大于运动时的高度，故③错误；2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在等腰Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，12AB =，动点E ，F 同时从点A 出发，分别沿射线AB 和射线AC 的方向匀速运动，且速度大小相同，当点E 停止运动时，点F 也随之停止运动，连接EF ，以EF 为边向下做正方形EFGH ，设点E 运动的路程为()012x x <<，正方形EFGH 和等腰Rt ABC △重合部分的面积为下列图像能反映y 与x 之间函数关系的是（ ）A ．B ．C ．D ．∴2EF x =，12BE x =−，∵45AEF B ∠=∠=︒，A ∠∴FAE EOB ∽V V ， ∴AE EO=，3．（2024·山东烟台·中考真题）如图，水平放置的矩形ABCD 中，6cm AB =，8cm BC =，菱形EFGH 的顶点E ，G 在同一水平线上，点G 与AB 的中点重合，EF =，60E ∠=︒，现将菱形EFGH 以1cm /s 的速度沿BC 方向匀速运动，当点E 运动到CD 上时停止，在这个运动过程中，菱形EFGH 与矩形ABCD 重叠部分的面积()2cm S 与运动时间()s t 之间的函数关系图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．∴HFG是等边三角形，EF=23cm∠=30OEF=EG EO2S=时，重合部分为MNG，依题意，MNG为等边三角形，运动时间为t，则NG⨯⨯NG NG6时，如图所示，12EKJ S =EKJ S S S =菱形 (3333t −−二、填空题4．（2024·广西·中考真题）如图，壮壮同学投掷实心球，出手（点P 处）的高度OP 是7m 4，出手后实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水平距离是5m ，高度是4m ．若实心球落地点为M ，则OM = m ．5．（2024·甘肃·中考真题）如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y （单位：m ）与距离停车棚支柱AO 的水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系20.020.3 1.6y x x =−++的图象，点()62.68B ，在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长4m CD =，高 1.8m DE =的矩形，则可判定货车 完全停到车棚内（填“能”或“不能”）．【答案】能【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当2x =时，y 的值，若此时y 的值大于1.8，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可．【详解】解：∵4m CD =，()62.68B ，， ∴642−=，在20.020.3 1.6y x x =−++中，当2x =时，20.0220.32 1.6 2.12y =−⨯+⨯+=，∵2.12 1.8>，∴可判定货车能完全停到车棚内，故答案为：能．6．（2024·四川自贡·中考真题）九（1）班劳动实践基地内有一块面积足够大的平整空地．地上两段围墙OE=m，6AE=m， 1.4AB CD⊥于点O（如图），其中AB上的EO段围墙空缺．同学们测得 6.6OB=m，OD=m．班长买来可切断的围栏16m，准备利用已有围墙，围出一块封闭的矩形菜地，则该OC=m，35菜地最大面积是2cm．三、解答题7．（2024·陕西·中考真题）一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥．桥梁的缆索1L 与缆索2L 均呈抛物线型，桥塔AO 与桥塔BC 均垂直于桥面，如图所示，以O 为原点，以直线FF '为x 轴，以桥塔AO 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．已知：缆索1L 所在抛物线与缆索2L 所在抛物线关于y 轴对称，桥塔AO 与桥塔BC 之间的距离100m OC =，17m AO BC ==，缆索1L 的最低点P 到FF '的距离2m PD =（桥塔的粗细忽略不计）(1)求缆索1L 所在抛物线的函数表达式；(2)点E 在缆索2L 上，EF FF '⊥，且 2.6m EF =，FO OD <，求FO 的长．8．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m，篱笆长80m．设垂直于墙的边AB长为x米，平行于墙的边BC为y米，围成的矩形面积为2cmS．(1)求y与,x s与x的关系式．(2)围成的矩形花圃面积能否为2750cm，若能，求出x的值．(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x的值．∵1940x ≤<，∴25x =；（3）解：()22280220800s x x x =−+=−−+∵20,-<∴s 有最大值，又1940x ≤<，∴当20x =时，s 取得最大值，此时800s =，即当20x =时，s 的最大值为8009．（2024·河南·中考真题）从地面竖直向上发射的物体离地面的高度()m h 满足关系式205h t v t =−+，其中()s t 是物体运动的时间，()0m /s v 是物体被发射时的速度．社团活动时，科学小组在实验楼前从地面竖直向上发射小球．(1)小球被发射后_________s 时离地面的高度最大（用含0v 的式子表示）．(2)若小球离地面的最大高度为20m ，求小球被发射时的速度．(3)按（2）中的速度发射小球，小球离地面的高度有两次与实验楼的高度相同．小明说：“这两次间隔的时间为3s ．”已知实验楼高15m ，请判断他的说法是否正确，并说明理由．10．（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x 轴，垂直于地面的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线2y ax x =+和直线12y x b =−+．其中，当火箭运行的水平距离为9km 时，自动引发火箭的第二级．(1)若火箭第二级的引发点的高度为3.6km ．①直接写出a ，b 的值；②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低1.35km ，求这两个位置之间的距离．(2)直接写出a 满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过15km ．11．（2024·四川内江·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上猪肉粽的进价比豆沙粽的进价每盒多20元，某商家用5000元购进的猪肉粽盒数与3000元购进的豆沙粽盒数相同．在销售中，该商家发现猪肉粽每盒售价52元时，可售出180盒；每盒售价提高1元时，少售出10盒． (1)求这两种粽子的进价；(2)设猪肉粽每盒售价x 元()5270x ≤≤，y 表示该商家销售猪肉粽的利润（单位：元），求y 关于x 的函数表达式并求出y 的最大值．∴当60x =时，y 取得最大值为1000元．12．（2024·贵州·中考真题）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y （盒）与销售单价x （元）是一次函数关系，下表是y 与x 的几组对应值．(1)求y 与x 的函数表达式；(2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润最大，最大利润是多少？(3)若超市决定每销售一盒糖果向儿童福利院赠送一件价值为m 元的礼品，赠送礼品后，为确保该种糖果日销售获得的最大利润为392元，求m 的值． 【答案】(1)280y x =−+(2)糖果销售单价定为25元时，所获日销售利润最大，最大利润是450元 (3)2【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）利用待定系数法求解即可；（2）设日销售利润为w 元，根据利润=单件利润×销售量求出w 关于x 的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可；（3）设日销售利润为w 元，根据利润=单件利润×销售量-m ×销售量求出w 关于x 的函数表达式，然后利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解∶设y 与x 的函数表达式为y kx b =+， 把12x =，56y =；20x =，40y =代入，得12562040k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得280k b =−⎧⎨=⎩，∴y 与x 的函数表达式为280y x =−+； （2）解：设日销售利润为w 元， 根据题意，得()10w x y =−⋅()()10280x x =−−+22100800x x =−+−13．（2024·广东·中考真题）广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币）14．（2024·四川遂宁·中考真题）某酒店有A B、两种客房、其中A种24间，B种20间．若全部入住，一天、两种客房均有10间入住，一天营业额为3200元．营业额为7200元；若A B(1)求A B、两种客房每间定价分别是多少元？(2)酒店对A种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加10元，就会有一个房间空闲；当A种客房每间定价为多少元时，A种客房一天的营业额W最大，最大营业额为多少元？15．（2024·四川南充·中考真题）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A 类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A 类特产和5件B 类特产需540元．(1)求A 类特产和B 类特产每件的售价各是多少元？(2)A 类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A 类特产降价x 元，每天的销售量为y 件，求y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．(3)在（2）的条件下，由于B 类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w 元，求w 与x 的函数关系式，并求出每件A 类特产降价多少元时总利润w 最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价）【答案】(1)A 类特产的售价为60元/件，B 类特产的售价为72元/件 (2)1060y x =+（010x ≤≤）(3)A 类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质，()1根据题意设每件A 类特产的售价为x 元，则每件B 类特产的售价为()132x −元，进一步得到关于x 的一元一次方程求解即可；()2根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围；()3结合（2）中A 类特产降价x 元与每天的销售量y 件，得到A 类特产的利润，同时求得B 类特产的利润，整理得到关于x 的二次函数，利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设每件A 类特产的售价为x 元，则每件B 类特产的售价为()132x −元． 根据题意得()35132540x x +−=． 解得60x =．则每件B 类特产的售价1326072−=（元）．答：A 类特产的售价为60元/件，B 类特产的售价为72元/件． （2）由题意得1060y x =+∵A 类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴010x ≤≤．答：1060y x =+（010x ≤≤）．（3）(6050)(1060)100(7260)w x x =−−++⨯−22=−++=−−+．x x x1040180010(2)1840Q−<100,∴当2x=时，w有最大值1840．答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元．16．（2024·江苏盐城·中考真题）请根据以下素材，完成探究任务．17．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x元，每天的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？18．（2024·江西·中考真题）如图，一小球从斜坡O 点以一定的方向弹出球的飞行路线可以用二次函数()20y ax bx a =+<刻画，斜坡可以用一次函数14y x =刻画，小球飞行的水平距离x （米）与小球飞行的高度y （米）的变化规律如下表：(1)①m =______，n =______； ②小球的落点是A ，求点A 的坐标．(2)小球飞行高度y （米）与飞行时间t （秒）满足关系25y t vt =−+． ①小球飞行的最大高度为______米； ②求v 的值．19．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，ABC 中，AC BC =，90ACB ∠=︒，()2,0A −，()6,0C ，反比例函数()0,0k y k x x=≠>的图象与AB 交于点(),4D m ，与BC 交于点E ．(1)求m ，k 的值；(2)点P 为反比例函数()0,0k y k x x=≠>图象上一动点（点P 在D ，E 之间运动，不与D ，E 重合），过点P 作PM AB ∥，交y 轴于点M ，过点P 作PN x ∥轴，交BC 于点N ，连接MN ，求PMN 面积的最大值，并求出此时点P 的坐标． PMN S =()2,0A −)6,0，又AC BC =8BC =．ACB ∠=∴点(6,8B 设直线AB 将(2,0A −AC BC=PN x∥轴，BLN∴∠=PM AB∥MPL∴∠=QMP∴∠QM QP∴=设点P的坐标为PMNS=当3t=20．（2024·青海·中考真题）在如图所示的平面直角坐标系中，有一斜坡OA，从点O处抛出一个小球，落到点33,2A⎛⎫⎪⎝⎭处．小球在空中所经过的路线是抛物线2y x bx=−+的一部分．(1)求抛物线的解析式；(2)求抛物线最高点的坐标；(3)斜坡上点B处有一棵树，点B是OA的三等分点，小球恰好越过树的顶端C，求这棵树的高度．∵BOD AOE ∠=∠，BDO ∠∴OBD OAE ∽△△， ∴OD BD OB OE AE OA==， 又∵点B 是OA 的三等分点，∴1OB =，21．（2024·天津·中考真题）将一个平行四边形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()3,0A ，点,B C 在第一象限，且2,60OC AOC ∠==．(1)填空：如图①，点C 的坐标为______，点B 的坐标为______；(2)若P 为x 轴的正半轴上一动点，过点P 作直线l x ⊥轴，沿直线l 折叠该纸片，折叠后点O 的对应点O '落在x 轴的正半轴上，点C 的对应点为C '．设OP t =．①如图②，若直线l 与边CB 相交于点Q ，当折叠后四边形PO C Q ''与OABC 重叠部分为五边形时，O C ''与AB 相交于点E ．试用含有t 的式子表示线段BE 的长，并直接写出t 的取值范围；②设折叠后重叠部分的面积为S ，当21134t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．，再证明EO A'是等边三角形，运用线段的和差关系重合时，和当C'与点，再分别以2 3分别作图，运用数形结合思路列式计算，即可作答．60，(A∴EO A'是等边三角形=AE AO'=−BE AB=−BE AB=−+2BE t∵由①得出EO A '是等边三角形，(122AO t ='3EAO '=，32t ⎛⎫− ⎪⎝⎭3124。
中考数学专题复习6二次函数及其运用(解析版)
二次函数及其运用复习考点攻略考点一 二次函数相关概念1. 二次函数：一般地.形如y =ax 2+bx +c （a .b .c 是常数.a ≠0）的函数.叫做二次函数．2. 二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：y =ax 2+bx +c （a .b .c 为常数.a ≠0）．（2）顶点式：y =a （x –h ）2+k （a .h .k 为常数.a ≠0）.顶点坐标是（h .k ）．（3）交点式：y =a （x –x 1）（x –x 2）.其中x 1.x 2是二次函数与x 轴的交点的横坐标.a ≠0 【例1】若y =（a –1）x 2–ax +6是关于x 的二次函数.那么a 的取值范围是（ ） A ．a ≠0B ．a ≠1C ．a ≠1且a ≠0D ．无法确定【答案】【答案】B【解析】根据二次函数的定义.a –1≠0.即a ≠1．故选B ．考点二 二次函数的图像和性质1．二次函数的图象与性质解析式二次函数y=ax 2+bx +c （a .b .c 是常数.a ≠0）对称轴x =–2b a顶点 （–2b a .244ac b a-） a 的符号a >0a <0图象开口方向 开口向上 开口向下 最值当x =–2ba 时. y 最小值=244ac b a -当x =–2b a时. y 最大值=244ac b a-最点抛物线有最低点 抛物线有最高点增减性当x <–2ba时.y 随x 的增大而减小；当x >–2ba时.y 随x 的增大而增大 当x <–2ba时.y 随x 的增大而增大；当x >–2ba时.y 随x 的增大而减小 字母的符号图象的特征 aa >0 开口向上 a <0 开口向下b b =0对称轴为y 轴ab >0（a 与b 同号） 对称轴在y 轴左侧 ab <0（a 与b 异号）对称轴在y 轴右侧c c =0经过原点 c >0 与y 轴正半轴相交 c <0与y 轴负半轴相交【例2】已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示.则反比例函数y x=与一次函数y cx b =-+在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】解：根据二次函数图象与y 轴的交点可得c ＞0.根据抛物线开口向下可得a ＜0.由对称轴在y 轴右边可得a 、b 异号.故b ＞0.则反比例函数ay x=的图象在第二、四象限. 一次函数y cx b =-+经过第一、二、四象限.故选：C ．【例3】如图.二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象的对称轴为直线x ＝﹣1.下列结论：①abc ＜0；②3a ＜﹣c ；③若m 为任意实数.则有a ﹣bm ≤am 2+b ； ④若图象经过点（﹣3.﹣2）.方程ax 2+bx +c +2＝0的两根为x 1.x 2（|x 1|＜|x 2|）.则2x 1﹣x 2＝5．其中正确的结论的个数是（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个【答案】C【解析】解：由图象可知：a ＜0.c ＞0.12ba-=- .∴b ＝2a ＜0.∴abc ＞0.故①abc ＜0错误； 当x ＝1时.y ＝a +b +c ＝a +2a +c ＝3a +c ＜0.∴3a ＜﹣c .故②3a ＜﹣c 正确； ∵x ＝﹣1时.y 有最大值.∴a ﹣b +c ≥am 2+bm +c （m 为任意实数）. 即a ﹣b ≥am 2+bm .即a ﹣bm ≥am 2+b .故③错误；∵二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）图象经过点（﹣3.﹣2）.方程ax 2+bx +c +2＝0的两根为x 1.x 2（|x 1|＜|x 2|）.∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝﹣2的一个交点为（﹣3.﹣2）.∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1.∴二次函数y ＝ax 2+bx +c 与直线y ＝﹣2的另一个交点为（1.﹣2）.即x 1＝1.x 2＝﹣3.∴2x 1﹣x 2＝2﹣（﹣3）＝5.故④正确．所以正确的是②④；故选：C ．【例4】若二次函数2y a x bx c =++的图象经过A （m .n ）、B （0.y 1）、C （3–m .n ）、D 2.y 2）、E （2.y 3）.则y 1、y 2、y 3的大小关系是 A ．231y y y ＜＜ B ．132y y y ＜＜ C ．321y y y ＜＜ D ．123y y y ＜＜【答案】A【解析】∵经过A （m .n ）、C （3–m .n ）.∴二次函数的对称轴x =32. ∵B （0.y 1）、D 2.y 2）、E （2.y 3）与对称轴的距离B 最远.D 最近. ∵|a |>0.∴y 1>y 3>y 2；故选A ．考点三 二次函数图像的平移1．将抛物线解析式化成顶点式y =a （x –h ） 2+k .顶点坐标为（h .k ）． 2．保持y =ax 2的形状不变.将其顶点平移到（h .k ）处.具体平移方法如下：【注意】二次函数平移遵循“上加下减.左加右减”的原则.据此.可以直接由解析式中常数的加或减求出变化后的解析式；二次函数图象的平移可看作顶点间的平移.可根据顶点之间的平移求出变化后的解析式．【例5】如果将抛物线y=–x2–2向右平移3个单位长度.那么所得到的新抛物线的表达式是A．y=–x2–5 B．y=–x2+1C．y=–（x–3）2–2 D．y=–（x+3）2–2【答案】C【解析】y=–x2–2的顶点坐标为（0.–2）.∵向右平移3个单位长度.∴平移后的抛物线的顶点坐标为（3.–2）.∴所得到的新抛物线的表达式是y=–（x–3）2–2．故选C．考点四二次函数与一元二次方程、一元二次不等式1．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）.当y=0时.就变成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交点的横坐标．3．（1）b2–4ac>0⇔方程有两个不相等的实数根.抛物线与x轴有两个交点；（2）b2–4ac=0⇔方程有两个相等的实数根.抛物线与x轴有且只有一个交点；（3）b2–4ac<0⇔方程没有实数根.抛物线与x轴没有交点．【例6】抛物线y=2x2–4x+m的部分图象如图所示.则关于x的一元二次方程2x2–4x+m=0的解是__________．【例7】如图是二次函数y=a（x+1）2+2图象的一部分.则关于x的不等式a（x+1）2+2>0的解集是A．x<2 B．x>–3C．–3<x<1 D．x<–3或x>1【答案】C【解析】二次函数y=a（x+1）2+2的对称轴为x=–1.∵二次函数y=a（x+1）2+2与x轴的一个交点是（–3.0）.∴二次函数y=a（x+1）2+2与x轴的另一个交点是（1.0）.∴由图象可知关于x的不等式a（x+1）2+2>0的解集是–3<x<1．故选C．考点五二次函数的综合运用1、函数存在性问题解决二次函数存在点问题.一般先假设该点存在.根据该点所在的直线或抛物线的表达式.设出该点的坐标；然后用该点的坐标表示出与该点有关的线段长或其他点的坐标等；最后结合题干中其他条件列出等式.求出该点的坐标.然后判别该点坐标是否符合题意.若符合题意.则该点存在.否则该点不存在．2、函数动点问题（1）函数压轴题主要分为两大类：一是动点函数图象问题；二是与动点、存在点、相似等有关的二次函数综合题．（2）解答动点函数图象问题.要把问题拆分.分清动点在不同位置运动或不同时间段运动时对应的函数表达式.进而确定函数图象；解答二次函数综合题.要把大题拆分.做到大题小做.逐步分析求解.最后汇总成最终答案．（3）解决二次函数动点问题.首先要明确动点在哪条直线或抛物线上运动.运动速度是多少.结合直线或抛物线的表达式设出动点的坐标或表示出与动点有关的线段长度.最后结合题干中与动点有关的条件进行计算．【例8】如图.抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的对称轴为直线x ＝1.与y 轴交于点B （0.﹣2）.点A （﹣1.m ）在抛物线上.则下列结论中错误的是（ ）A ．ab ＜0B ．一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的正实数根在2和3之间C ．a ＝23m + D ．点P 1（t .y 1）.P 2（t +1.y 2）在抛物线上.当实数t ＞13时.y 1＜y 2 【答案】D【解析】解：∵抛物线开口向上.∴a ＞0.∵抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2ba＝1. ∴b ＝﹣2a ＜0.∴ab ＜0.所以A 选项的结论正确；∵抛物线的对称轴为直线x ＝1.抛物线与x 轴的一个交点坐标在（0.0）与（﹣1.0）之间. ∴抛物线与x 轴的另一个交点坐标在（2.0）与（3.0）之间.∴一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的正实数根在2和3之间.所以B 选项的结论正确； 把B （0.﹣2）.A （﹣1.m ）代入抛物线得c ＝﹣2.a ﹣b +c ＝m .而b ＝﹣2a . ∴a +2a ﹣2＝m .∴a ＝23m +.所以C 选项的结论正确； ∵点P 1（t .y 1）.P 2（t +1.y 2）在抛物线上.∴当点P 1、P 2都在直线x ＝1的右侧时.y 1＜y 2.此时t ≥1；当P 1在直线x ＝1的左侧.点P 2在直线x ＝1的右侧时.y 1＜y 2.此时0＜t ＜1且t +1﹣1＞1﹣t .即12＜t ＜1. ∴当12＜t ＜1或t ≥1时.y 1＜y 2.所以D 选项的结论错误；故选：D ． 【例9】如图.抛物线()20y ax bx c a =++≠的顶点坐标为()21，-.并且与y 轴交于点()03，C .与x 轴交于A 、B 两点．（1）求抛物线的表达式．（2）如图1.设抛物线的对称轴与直线BC 交于点D .点E 为直线BC 上一动点.过点E 作y 轴的平行线EF .与抛物线交于点F .问是否存在点E .使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似．若存在.求出点E 的坐标；若不存在.请说明理由．【答案】（1）22(2)143y x x x =--=-+；（2）（222）或（22）或（1.2）或（4.-1）．【解析】（1）该抛物线的顶点坐标为(21)-，.所以该抛物线的解析式为2(2)1y a x =--.又该抛物线过点(03)C ，.代入2(2)1y a x =--得：学=科网 413a -=.解得1a =.故该抛物线的解析式为22(2)143y x x x =--=-+．（2）假设存在点E .使得以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似． 由（1）知.该抛物线的解析式是y =x 2-4x +3.即y =（x -1）（x -3）. ∴该抛物线与x 轴的交点坐标分别是A （1.0）.B （3.0）． ∵C （0.3）.∴易求直线BC 的解析式为：y =-x +3． ∴∠OBC =∠OCB =45°．又∵点D 是对称轴上的一点.∴D （2.1）． 如图.连接DF ．∵EF ∥y 轴.∴只有∠EFD =∠COB =90°．∵以D 、E 、F 为顶点的三角形与△BCO 相似. ∴∠DEF =∠FDE =45°. ∴只有△EFD ∽△COB ．设E （x .-x +3）.则F （x .1）. ∴1=x 2-4x +3. 解得x =2±2.当x 2时.y =-x +3=12 当x =22.y =-x 2∴E 1（222）、E 2（2.12）．∠EDF =90°；易知.直线AD ：y =x -1.联立抛物线的解析式有： x 2-4x +3=x -1.解得 x 1=1.x 2=4； 当x =1时.y =-x +3=2； 当x =4时.y =-x +3=-1； ∴E 3（1.2）.E 4（4.-1）．∴综上.点E 的坐标为（222）或（2.12）或（1.2）或（4.-1）．第一部分 选择题一、选择题（本题有10小题.每题4分.共40分）1. 函数y =21(1)m m x ++是二次函数.则m 的值是（ ） A ．±1 B ．1C ．–1D ．以上都不对【答案】B【解析】∵函数y =21(1)m m x++是二次函数.∴m 2+1=2且m +1≠0.解得m =1．故选B ．2.一次函数y ax b =+与二次函数2y ax bx c =++在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：A 、∵二次函数图象开口向上.对称轴在y 轴右侧.∴a>0.b ＜0.∴一次函数图象应该过第一、三、四象限.A 错误；B 、∵二次函数图象开口向上.对称轴在y 轴左侧.∴a>0.b>0.∴一次函数图象应该过第一、二、三象限.B 正确；C 、∵二次函数图象开口向下.对称轴在y 轴右侧.∴a<0.b>0.∴一次函数图象应该过第一、二、四象限.C 错误；D 、∵二次函数图象开口向下.对称轴在y 轴左侧.∴a ＜0.b ＜0.∴一次函数图象应该过第二、三、四象限.D 错误．故选：B ．3.在函数2(1)3y x =-+中.当y 随x 的增大而减小时.则x 的取值范围是（ ）A ．1x ≥B ．0x >C ．3x <D ．1x ≤【答案】D【解析】二次函数2(1)3y x =-+的对称轴为直线1x =. ∵0a >.∴1x ≤时.y 随x 的增大而减小.故选D.4.把抛物线y =12x 2–1先向右平移1个单位长度.再向下平移2个单位长度.得到的抛物线的解析式为（ ）A ．y =12（x +1）2–3B ．y =12（x –1）2–3C ．y =12（x +1）2+1D ．y =12（x –1）2+1【答案】B【解析】∵把抛物线y =12x 2–1先向右平移1个单位.再向下平移2个单位.∴得到的抛物线的解析式为y =12（x –1）2–3.故选B ．5.如图.一次函数 (a>0)的图象与x 轴交于A.B 两点.与y 轴正半轴交于点C.它的对称轴为直线x=-1.则下列选项中正确的是（ ）A.B.C.D. 当(n 为实数)时.【答案】 D 【解析】解：A 、∵图象开口向上.∵a>0.∵对称轴在y 轴左侧. ∵x=-<0, ∵b>0；∵图象与y 轴的交点在y 轴上方. ∵c>0. ∵abc>0, 不符合题意；B、∵抛物线与x轴有两个交点.∵ .即,不符合题意；C、设图象的顶点为（1.k）,∵k<0.则y=a(x+1)2+k=ax2+2ax+a+k,∵c=a+k,∵c-a=k<0,不符合题意；D、∵当x≥0, y≥c, 又∵n2≥0,.∵x=-n2-2,由对称的性质可知这时的y≥c. 故答案为：D.6.飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）关于滑行时间以（单位：）的函数解析式是y=6t﹣3 2t2．在飞机着陆滑行中.滑行最后的150m所用的时间是（）s．A．10 B．20 C．30 D．10或30 【答案】A【解析】当y取得最大值时.飞机停下来.则y=60t﹣1.5t2=﹣1.5（t﹣20）2+600.此时t=20.飞机着陆后滑行600米才能停下来．因此t的取值范围是0≤t≤20；即当y=600﹣150=450时.即60t﹣32t2=450.解得：t=10.t=30（不合题意舍去）.∴滑行最后的150m所用的时间是20﹣10=10.故选A．7.三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形.两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时.大孔水面宽度为10米.孔顶离水面1.5米；当水位下降.大孔水面宽度为14米时.单个小孔的水面宽度为4米.若大孔水面宽度为20米.则单个小孔的水面宽度为（）A．3B．2米C．13D．7米【答案】B【解析】解：如图.建立如图所示的平面直角坐标系.由题意可得MN=4.EF=14.BC=10.DO=32.设大孔所在抛物线解析式为y =ax 2+32.∵BC =10.∴点B （﹣5.0）.∴0=a ×（﹣5）2+32.∴a =-350. ∴大孔所在抛物线解析式为y =-350x 2+32.设点A （b .0）.则设顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y =m （x ﹣b ）2.∵EF =14.∴点E 的横坐标为-7.∴点E 坐标为（-7.-3625）. ∴-3625=m （x ﹣b ）2.∴x 1615m +b.x 2615m -+b.∴MN =4.∴615m -b -（615m-b ）|=4 ∴m =-925.∴顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y =-925（x ﹣b ）2. ∵大孔水面宽度为20米.∴当x =-10时.y =-92.∴-92=-925（x ﹣b ）2.∴x 1522b .x 2=-522+b . ∴单个小孔的水面宽度=|522b ）-（522b ）|=2（米）.故选：B ．8.已知二次函数()()2221y a x a x =--++.当x 取互为相反数的任意两个实数值时.对应的函数值y 总相等.则关于x 的一元二次方程()()22210a x a x --++=的两根之积为（ ） A ．0 B ．1-C ．12-D ．14-【答案】D【解析】解：∵二次函数2(2)(2)1y a x a x =--++.当x 取互为相反数的任意两个实数值时.对应的函数值y 总相等.可知二次函数图像的对称轴为直线x=0.即y 轴.则()202(2)a a -+-=-.解得：a=-2.则关于x 的一元二次方程2(2)(2)10a x a x --++=为2410x -+=.则两根之积为14-.故选D.9.如图.正方形四个顶点的坐标依次为（1.1）.（3.1）.（3.3）.（1.3）.若抛物线y=ax 2的图象与正方形有公共顶点.则实数a 的取值范围是（ ）A ．139a ≤≤ B ．119a ≤≤ C ．133a ≤≤ D ．113a ≤≤ 【答案】A【解析】解：当抛物线经过（1.3）时.a=3. 当抛物线经过（3.1）时.a=19.观察图象可知19≤a≤3.故选：A ． 10.二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示.下列结论：①b 2﹣4ac ＞0；②abc ＜0；③4a +b ＝0；④4a ﹣2b +c ＞0．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B【解析】解：由图象知.抛物线与x 轴有两个交点.∴方程ax 2+bx +c ＝0有两个不相等的实数根.∴b 2﹣4ac ＞0.故①正确.由图象知.抛物线的对称轴直线为x ＝2.∴﹣2ba＝2.∴4a +b ＝0.故③正确.由图象知.抛物线开口方向向下.∴a ＜0.∵4a +b ＝0.∴b ＞0.而抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上.∴c ＞0.∴abc ＜0.故②正确.由图象知.当x ＝﹣2时.y ＜0.∴4a ﹣2b +c ＜0.故④错误. 即正确的结论有3个.故选：B ．第二部分 填空题二、填空题（本题有6小题.每题4分.共24分）11.已知抛物线22232(0)y ax ax a a =--+≠．设点()1,P m y .()23,Q y 在抛物线上.若12y y <.则m 的取值范围 ．【答案】当a ＞0时.13m -<<；当a ＜0时.1m <-或3m >．【解析】∵抛物线的对称轴为1x =.∴()23,Q y 关于1x =的对称点为2(1,)y -. 当a ＞0时.若12y y <.则-1＜m ＜3； 当a ＜0时.若12y y <.则m ＜-1或m ＞3.12.将抛物线21:23C y x x =-+向左平移1个单位长度.得到抛物线2C .抛物线2C 与抛物线3C 关于x 轴对称.则抛物线3C 的解析式为 【答案】22y x =--【解析】解：抛物线21:23C y x x =-+向左平移1个单位长度.得到抛物线2C ：()()2+12+13=-+y x x .即抛物线2C ：22y x =+;由于抛物线2C 与抛物线3C 关于x 轴对称.则抛物线3C 的解析式为：22y x =--.13.如图是抛物线形拱桥.当拱顶高离水面2 m 时.水面宽4 m.水面下降2.5 m.水面宽度增加【答案】2 m【解析】如图.建立平面直角坐标系.设横轴x 通过AB .纵轴y 通过AB 中点O 且通过C 点.则通过画图可得知O 为原点.抛物线以y 轴为对称轴.且经过A .B 两点.可求出OA 和OB 均为AB 的一半.即OA =OB =2 m.抛物线顶点C 坐标为（0.2）.设顶点式y =ax 2+2.把A 点坐标（–2.0）代入得a =–0.5.∴抛物线解析式为y =–0.5x 2+2.当水面下降2.5 m.通过观察图上的抛物线可得当y =–2.5时.对应的抛物线上两点之间的距离.也就是直线y =–1与抛物线相交时两点之间的距离.把y =–2.5代入抛物线解析式得出：–2.5=–0.5x 2+2.解得：x =±3.2×3–4=2.所以水面下降2.5 m.水面宽度增加2 m ．14. 若A （–3.5.y 1）、B （–1.y 2）、C （1.y 3）为二次函数y =–x 2–4x +5的图象上三点.则y 1.y 2.y 3的大小关系是__________． 【答案】y 2>y 1>y 3【解析】对称轴为直线x =–2b a =–42(1)-⨯-=–2.∵a =–1<0.∴当x <–2时.y 随x 的增大而增大.当x >–2时.y 随x 的增大而减小.∵–2–（–3.5）=–2+3.5=1.5.–1–（–2）=–1+2=1.1–（–2）=1+2=3.∴y 2>y 1>y 3．故答案为：y 2>y 1>y 3．15. 如图.抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于A （-1.P ）.B （3.q ）两点.则不等式2ax mx c n ++>的解集是__________．【答案】3x <-或1x >【解析】∵抛物线2y ax c =+与直线y mx n =+交于()1,A p -.()3,B q 两点.∴m n p -+=.3m n q +=.∴抛物线2y ax c =+与直线y mx n =-+交于()1,P p .()3,Q q -两点.观察函数图象可知：当3x <-或1x >时.直线y mx n =-+在抛物线2y ax bx c=++的下方.∴不等式2ax mx c n ++>的解集为3x <-或1x >．故答案为：3x <-或1x >．16.如图.抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点A 、B .顶点为C .对称轴为直线1x =.给出下列结论：①0abc <；②若点C 的坐标为1,2.则ABC 的面积可以等于2；③()()1122,,,M x y N x y 是抛物线上两点()12x x <.若122x x +>.则12y y <；④若抛物线经过点(3,1)-.则方程210ax bx c +++=的两根为1-.3其中正确结论的序号为_______．【答案】①④ 【解析】解：①开口向下.∴ a<0.对称轴x=1,a<0,∴ b>0.抛物线与y 轴的交点在y 的正半轴上.∴ c>0. abc<0.正确． ②从图像可知.AB>4,12ABC y S AB C ∆=⨯⨯>1422⨯⨯.2ABC S ∆∴> .故错误． ③122x x +>.∴从图像可知 1x 到1的距离小于2x 到1的距离.从图像可知.越靠近对称轴.函数值越大；12y y ∴> .故错误．④把点（3.-1）代入抛物线得931a b c ++=- .即21ax bx c ++=- .∴210ax bx c +++=.即x=3.是方程210ax bx c +++=的解.根据抛物线的对称性.所以另一解为-1.故正确．第三部分 解答题三、解答题（本题有6小题.共56分）17.如图.一名男生推铅球.铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++．求：（1）铅球在行进中的最大高度；（2）该男生将铅球推出的距离是多少m ？【答案】（1）铅球在行进中的最大高度为3m ；（2）该男生把铅球推出的水平距离是10m ． 【解析】（1）221251(4)3123312y x x x =-++=--+. ∵1012-<. ∴y 的最大值为3.∴铅球在行进中的最大高度为3m ． （2）令0y =得：212501233x x -++= 解方程得.110x =.22x =-（负值舍去）． ∴该男生把铅球推出的水平距离是10m ．18. 已知：二次函数223y x x =++与一次函数35y x =+． （1）两个函数图象相交吗？若相交.有几个交点？（2）将直线35y x =+向下平移k 个单位.使直线与抛物线只有一个交点.求k 的值． 【答案】（1）见解析；（2）94k = 【解析】（1）22335y x x y x ⎧=++⎨=+⎩. 解得.12x y =-⎧⎨=⎩或211x y =⎧⎨=⎩. 即两个函数图象相交.有两个交点；（2）将直线35y x =+向下平移k 个单位.得直线35y x k =+-. 令22335x x x k ++=+-. 得220x x k --+=.∵直线与抛物线只有一个交点.∴△22414(2)1840b ac k k =-=-⨯-+=+-=.解得.94k =． 19. 如图.在平面直角坐标系中.二次函数 图象的顶点是A.与x 轴交于B.C两点.与y 轴交于点D.点B 的坐标是(1.0).（1）求A.C两点的坐标.并根据图象直接写出当y>0时x的取值范围.（2）平移该二次函数的图象.使点D恰好落在点A的位置上.求平移后图象所对应的二次函数的表达式.【答案】（1）1<x<3；（2）y=-(x-4)2+5【解析】（1）解：把B(1.0)代入y=ax²+4x-3.得0=a+4-3. 解得a=-1.∴y=-x²+4x-3=-(x-2)2+1.∴点A坐标为(2.1).∵抛物线的对称轴为直线x-2.且点C与点B关于对称轴对称.∴点C(3.0).∴当y>0时.x的取值范围是1<x<3（2）解：D(0.-3).∴点D移到点A时.抛物线向右平移2个单位.向上平移4个单位.所以抛物线的解析式为y=-(x-4)2+520.如图.直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点.抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）已知点M是抛物线上的一个动点.并且点M在第一象限内.连接AM、BM.设点M 的横坐标为m.△ABM的面积为S.求S与m的函数表达式.并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下.当S取得最大值时.动点M相应的位置记为点M′．写出点M′的坐标．【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）（3）（.）【解析】解：（1）直线l：y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别相交于A、B两点.则点A、B的坐标分别为：（1.0）、（0.3）.抛物线y＝ax2﹣2ax+a+4（a＜0）经过点B（0.3）.则a+4＝3.解得：a＝﹣1.故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；（2）过点M作MH⊥x轴于点H.设点M（m.﹣m2+2m+3）.﹣S⊥OAB﹣S⊥AMH＝（﹣m2+2m+3+3）×m﹣[3×1+（m﹣1）（﹣则S＝S梯形BOHMm2+2m+3）]＝﹣m2+m.∵0.故S有最大值.当m＝时.S的最大值为：；（3）当S取得最大值时.此时.m＝.则y＝﹣m2+2m+3＝.故点M′的坐标为：（.）．21.如图.在平面直角坐标系中.已知二次函数图象的顶点为A.与y轴交于点B.异于顶点A的点C(1.n)在该函数图象上.（1）当m=5时.求n的值.（2）当n=2时.若点A在第一象限内.结合图象.求当y 时.自变量x的取值范围.（3）作直线AC与y轴相交于点D.当点B在x轴上方.且在线段OD上时.求m的取值范围. 【答案】（1）（2）1≤x≤5 .（3）0≤m＜1或1＜m＜2 .【解析】（1）解：当m＝5时.y＝.当x＝1时. n＝.（2）解：当n＝2时.将C(1.2)代入函数表达式y＝.得2＝.解得m1＝3. m2＝－1(舍去).∵此时抛物线的对称轴为直线x=3.根据抛物线的轴对称性.当y＝2时.有x1＝1 .x2＝5.∵x的取值范围为1≤x≤5.（3）解：∵点A与点C不重合. ∵m≠1.∵抛物线的顶点A的坐标是(m.4) .∵抛物线的顶点在直线y＝4上.当x＝0时.y＝.∵点B的坐标为(0. ).抛物线从试题图位置向左平移到图2的位置前.m减小.点B沿y轴上向上移动.当点B 与点O 重合时.＝0. 解得 m 1＝ .m 2＝ .当点B 与点D 重合时.如图2.顶点A 也与点B.D 重合.点B 到达最高点.∵点B 的点坐标为（0.4）.∵＝4.解得 m ＝0.当抛物线从图2位置继续向左平移时.如图3点B 不在线段OD 上.∵ B 点在线段OD 上时.m 的取值范围是0≤m ＜1或1＜m ＜2.22.如图.二次函数2y x bx c =++的图象交x 轴于点()30A -,.()10B ,.交y 轴于点C ．点(),0P m 是x 轴上的一动点.PM x ⊥轴.交直线AC 于点M .交抛物线于点N ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）①若点P 仅在线段AO 上运动.如图1．求线段MN 的最大值；②若点P 在x 轴上运动.则在y 轴上是否存在点Q .使以M .N .C .Q 为顶点的四边形为菱形．若存在.请直接写出所有满足条件的点Q 的坐标；若不存在.请说明理由．【答案】（1）223y x x =+-；（2）①94.②存在.123(0,321),(0,1),(0,321)Q Q Q --- 【解析】解：（1）把(3,0),(1,0)A B -代入2y x bx c =++中.得093,01.b c x c =-+⎧⎨=++⎩ 解得2,3.b c =⎧⎨=-⎩∴223y x x =+-． （2）设直线AC 的表达式为y kx b =+.把(3,0),(0,3)A C --代入y kx b =+．得.03,3.k b b =-+⎧⎨-=⎩解这个方程组.得1,3.k b =-⎧⎨=-⎩∴3y x =--． ∵点(),0P m 是x 轴上的一动点.且PM x ⊥轴．∴()2(,3),,23M m m N m m m --+-． ∴()2(3)23MN m m m =---+-23m m =--23924m ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭． ∵10a =-<.∴此函数有最大值．又∵点P 在线段OA 上运动.且3302-<-< ∴当32m =-时.MN 有最大值94． ②∵点(),0P m 是x 轴上的一动点.且PM x ⊥轴．∴()2(,3),,23M m m N m m m --+-． ∴()2(3)23MN m m m =---+-23m m =--（i ）当以M .N .C .Q 为顶点的四边形为菱形.则有MN=MC .如图.∵C （0.-3）∴222(0)(33)2m m m -+--+= ∴223=2m m m --整理得.432670m m m ++=∵20m ≠.∴2670m m ++=.解得.132m =-.232m =-∴当32m =-.CQ=MN=322.∴OQ=-3-(322)=321-∴Q(0.321-)； 当m=32-时.CQ=MN=-322.∴OQ=-3-(-322)=321∴Q(0.321-)； (ii)若2MC MN =.如图.则有223=22m m m --.432650m m m ++= ∵20m ≠.∴2650m m ++=.解得.11m =-.25m =-当m=-1时.MN=CQ=2.∴Q （0.-1）.当m=-5时.MN=-10＜0（不符合实际.舍去）综上所述.点Q 的坐标为123(0,321),(0,1),(0,321)Q Q Q --.。
人教全国中考数学二次函数的综合中考真题分类汇总含详细答案
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．已知抛物线26y x x c =-++.（1）若该抛物线与x 轴有公共点，求c 的取值范围；（Ⅱ）设该抛物线与直线21y x =+交于M ，N 两点，若MN =C 的值； （Ⅲ）点P ，点Q 是抛物线上位于第一象限的不同两点，,PA QB 都垂直于x 轴，垂足分别为A ，B ，若OPA OQB ∆≅∆，求c 的取值范围.【答案】（I ）9c -；（Ⅱ）2c =-；（Ⅲ）c 的取值范围是2174c -<< 【解析】 【分析】(1) 抛物线与x 轴有公共点，则判别式为非负数，列不等式求解即可;(2)求出二次函数与直线的交点，并根据勾股定理求出MN 的长度，列方程即可求解; (3)由OPA OQB ∆≅∆可知，P ,Q 两点的坐标特点，设坐标得到设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，代入二次函数，得到n,m 的关系，则只需保证该方程有正根即可求解. 【详解】解：（I ）∵抛物线26y x x c =-++与x 轴有交点，∴一元二次方程260x x c -++=有实根。
240b ac ∴∆=-，即264(1)0c -⨯-⨯.解得9c -（Ⅱ）根据题意，设()()1122,21,,21M x x N x x ++由2621y x x c y x ⎧=-++⎨=+⎩，消去y ，得2410x x c -+-= ①. 由2(4)4(1)1240c c ∆=---=+>，得3c >-.∴方程①的解为1222x x ==()()()()22221212122121520(3)MN x x x x x x c ∴=-++-+=-=+⎡⎤⎣⎦ 20(3)20c ∴+=，解得2c =-（Ⅲ）设点P 的坐标为(, )m n ，则点Q 的坐标为(,)n m ，且0,0,m n m n >>≠，2266m m c n n n c m⎧-++=∴⎨-++=⎩，两式相减，得227()0n m m n -+-=，即()(7)0m n m n -+-= 7m n ∴+=，即7n m =-2770m m c ∴-+-=，其中07m <<由0∆，即274(1)(7)0c -⨯-⨯-，得214c -.当214c =-时，72m n ==，不合题意。
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(2012年1月最新最细）2011全国中考真题解析120考点汇编☆二次函数的几何应用一、选择题1.（2011•安顺）正方形ABCD边长为1，E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA上的点，且AE=BF=CG=DH．设小正方形EFGH的面积为y，AE=x．则y关于x的函数图象大致是（）A、B、C、D、考点：二次函数综合题。
分析：由已知得BE=CF=DG=AH=1﹣x，根据y=S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BEF﹣S△CFG﹣S△DGH，求函数关系式，判断函数图象．解答：解：依题意，得y=S正方形ABCD﹣S△AEH﹣S△BEF﹣S△CFG﹣S△DGH=1﹣4×（1﹣x）x=2x2﹣2x+1，即y=2x2﹣2x+1（0≤x≤1），抛物线开口向上，对称轴为x=，故选C．点评：本题考查了二次函数的综合运用．关键是根据题意，列出函数关系式，判断图形的自变量取值范围，开口方向及对称轴．二、填空题1.（2011山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM= 2 时，四边形ABCN的面积最大．考点：二次函数的最值；正方形的性质；相似三角形的判定与性质。
专题：应用题。
分析：设BM=x ，则MC=﹣4x ，当AM⊥MN 时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN ，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN 的面积，用二次函数的性质求面积的最大值． 解答：解：设BM=x ，则MC=﹣4x ， ∵∠AMN=90°，∴∠AMB=90°﹣∠NMC=∠MNC， ∴△ABM∽△MCN，则CN BM MC AB =，即CNxx =-44， 解得CN=4)4(x x -， ∴S 四边形ABCN =21×4×[4+4)4(x x -]=﹣21x 2+2x+8，∵﹣21＜0，∴当x=)21(22-⨯-=2时，S 四边形ABCN 最大．故答案为：2．点评：本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式．三、解答题1. （2011江苏淮安，26，10分）如图，已知二次函数y= -x 2+bx +3的图象与x 轴的一个交点为A (4,0)，与y 轴交于点B .(1)求此二次函数关系式和点B 的坐标； (2)在x 轴的正半轴上是否存在点P ，使得△PAB 是以AB 为底的等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.考点：二次函数综合题。
专题：综合题。
分析：（1）把点A的坐标代入二次函数，求出b的值，确定二次函数关系式，把x=0代入二次函数求出点B的坐标．（2）作AB的垂直平分线，交x轴于点P，求出点P的坐标，若点P的横坐标是正数，那么点P就符合题意，这样的点是存在的．解答：解：（1）把点A（4，0）代入二次函数有： 0=﹣16+4b+3,得：b=所以二次函数的关系式为：y=﹣x2+x+3．当x=0时，y=3, ∴点B的坐标为（0，3）．（2）如图：作AB的垂直平分线交x轴于点P，连接BP，则：BP=AP设BP=AP=x，则OP=4﹣x，在直角△OBP中，BP2=OB2+OP2即：x2=32+（4﹣x）2, 解得：x=，∴OP=4﹣=所以点P的坐标为：（，0）点评：本题考查的是二次函数的综合题，（1）根据二次函数的概念求出抛物线的解析式及点B的坐标．（2）根据等腰三角形的性质，利用勾股定理求出点P的坐标．2.（2011江苏淮安，28，12分）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P在AB上，AP=2.点E、F同时从点P出发，分别沿PA、PB以每秒1个单位长度的速度向点A、B匀速运动，点E到达点A后立即以原速度沿AB向点B运动，点F运动到点B时停止，点E也随之停止.在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与△ABC在线段AB的同侧，设E、F运动的时间为t秒（t＞0），正方形EFGH与△ABC重叠部分面积为S.(1)当t=1时，正方形EFGH的边长是；当t=3时，正方形EFGH的边长是；(2)当0＜t≤2时，求S与t的函数关系式；(3)直接答出：在整个运动过程中．．．．．．．，当t为何值时，S最大？最大面积是多少？考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质。
专题：计算题；几何动点问题；分类讨论。
分析：（1）当时t=1时，可得，EP=1，PF=1，EF=2即为正方形EFGH 的边长；当t=3时，PE=1，PF=3，即EF=4；（2）正方形EFGH 与△ABC 重叠部分的形状，依次为正方形、五边形和梯形；可分三段分别解答：①当0＜t ≤时；②当＜t ≤时；③当＜t ≤2时；依次求S与t 的函数关系式； （3）当t=5时，面积最大； 解答：解：（1）当时t=1时，则PE=1，PF=1，∴正方形EFGH 的边长是2；当t=3时，PE=1，PF=3，∴正方形EFGH 的边长是4； （2）：①当0＜t ≤时， S 与t 的函数关系式是y=2t×2t=4t 2；②当＜t ≤时， S 与t 的函数关系式是： y=4t 2﹣[2t ﹣（2﹣t ）]×[2t ﹣（2﹣t ）] =﹣t 2+11t ﹣3；③当＜t ≤2时； S 与t 的函数关系式是y=（t+2）×（t+2）﹣（2﹣t ）（2﹣t ）=3t ； （3）当t=5时，最大面积是： S=16﹣××=；点评：本题考查了动点函数问题，其中应用到了相似形、正方形及勾股定理的性质，锻炼了学生运用综合知识解答题目的能力．3. （2011江苏连云港，25，10分）如图，抛物线212y x x a =-+与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，其顶点在直线y =－2x 上. (1)求a 的值；(2)求A,B两点的坐标;(3)以AC,CB为一组邻边作□ABCD,则点D关于x轴的对称点D´是否在该抛物线上?请说明理由.考点：二次函数综合题。
分析：（1）根据二次函数的顶点坐标的求法得出顶点坐标，再代入一次函数即可求出a的值；（2）根据二次函数解析式求出与x轴的交点坐标即是A，B两点的坐标；（3）根据平行四边形的性质得出D点的坐标，即可得出D′点的坐标，即可得出答案．解答：解：（1）∵抛物线y=x2﹣x+a其顶点在直线y=﹣2x上．∴抛物线y=x2﹣x+a=（x2﹣2x）+a=（x﹣1）2﹣+a，∴顶点坐标为：（1，﹣+a），∴y=﹣2x，﹣+a=﹣2，∴a=﹣；（2）二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣，∵抛物线y=x2﹣x﹣与x轴交于点A，B，∴0=x2﹣x﹣，整理得：x2﹣2x﹣3=0，解得：x=﹣1或3， A（﹣1，0），B（3，0）；（3）作出平行四边形ACBD，作DE⊥AB，∵二次函数解析式为：y=x2﹣x﹣，∴图象与y轴交点坐标为：（0，﹣），∴CO=，∴DE=，∵∠CAO=∠DBE，∠DEB=∠AOC，∴△AOC≌△BDE，∵AO=1，∴BE=1， D点的坐标为：（2，），∴点D关于x轴的对称点D′坐标为：（2，﹣），代入解析式y=x 2﹣x ﹣，左边=﹣，右边=×4﹣2﹣=﹣，∴D′点在函数图象上． 点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得出D 点的坐标是解决问题的关键．4. （2011江苏苏州，29，10分）巳知二次函数y=a （x2-6x+8）（a ＞0）的图象与x 轴分别交于点A 、B ，与y 轴交于点C ．点D 是抛物线的顶点． （1）如图①．连接AC ，将△OAC 沿直线AC 翻折，若点O 的对应点0'恰好落在该抛物线的 对称轴上，求实数a 的值；（2）如图②，在正方形EFGH 中，点E 、F 的坐标分别是（4，4）、（4，3），边HG 位于边EF 的 右侧．小林同学经过探索后发现了一个正确的命题：“若点P 是边EH 或边HG 上的任意一点，则四条线段PA 、PB 、PC 、PD 不能与任何一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段不能构成平行四边形）．“若点P 是边EF 或边FG 上的任意一点，刚才的结论是否也成立？请你积极探索，并写出探索过程；（3）如图②，当点P 在抛物线对称轴上时，设点P 的纵坐标l 是大于3的常数，试问：是否存在一个正数阿a ，使得四条线段PA 、PB 、PC 、PD 与一个平行四边形的四条边对应相等 （即这四条线段能构成平行四边形）？请说明理由．考点：二次函数综合题．分析：（1）本题需先求出抛物线与x 轴交点坐标和对称轴，再根据∠OAC=60°得出AO ，从而求出a ． （2）本题需先分两种情况进行讨论，当P 是EF 上任意一点时，可得PC ＞PB ，从而得出PB≠PA，PB≠PC，PB≠PD，即可求出线段PA 、PB 、PC 、PD 不能构成平行四边形．（3）本题需先得出PA=PB ，再由PC=PD ，列出关于t 与a 的方程，从而得出a 的值，即可求出答案．解答：解：（1）令y ＝0，由2(68)0a x x -+=解得122,4x x ==； 令x ＝0，解得y ＝8a ．∴点A 、B 、C 的坐标分别是(2，0)、(4，0)、(0，8a)， 该抛物线对称轴为直线x ＝3． ∴OA ＝2．如图①，时抛物线与x 轴交点为M ，则AM ＝1． 由题意得：2O A OA '==．∴2O A AM '=，∴∠O ’AM ＝60°．∴323OC AO =⋅=，即823a =．∴34a =．（2）若点P 是边EF 或边FG 上的任意一点，结论同样成立．（Ⅰ）如图②，设点P 是边EF 上的任意一点 (不与点E 重合)，连接PM ． ∵点E(4，4)、F(4，3)与点B(4，0)在一直线上，点C 在y 轴上， ∴PB<4，PC ≥4，∴PC>PB ． 又PD>PM>PB ，PA>PM>PB ， ∴PB ≠PA ，PB ≠PC ，PB ≠PD ．∴此时线段PA 、PB 、PC 、PD 不能构成平行四边形． （Ⅱ）设P 是边FG 上的任意一点(不与点G 重合)， ∵点F 的坐标是(4，3)，点G 的坐标是(5，3)． ∴FB ＝3，10GB =3≤10∵PC ≥4，∴PC>PB ．（3）存在一个正数a ，使得线段PA 、PB 、PC 能构成一个平行四边形． 如图③，∵点A 、B 时抛物线与x 轴交点，点P 在抛物线对称轴上， ∴PA ＝PB ．∴当PC ＝PD 时，线段PA 、PB 、PC 能构成一个平行四边形． ∵点C 的坐标是(0，8a)，点D 的坐标是(3，－a)． 点P 的坐标是(3，t)，∴PC2＝32＋(t －8a) 2，PD2＝ (t ＋a) 2． 整理得7a2－2ta ＋1＝0，∴Δ＝4t2－28． ∵t 是一个常数且t>3，∴Δ＝4t2－28>0∴方程7a2－2ta ＋1＝0有两个不相等的实数根2224287t t t t a ±-±-==． 显然277t t a -=>，满足题意．∵当t 是一个大于3的常数,存在一个正数277t t a +-=，使得线段PA 、PB 、PC 能构成一个平行四边形．点评：本题主要考查了二次函数的综合问题，在解题时要注意运用数形结合和分类讨论，把二次函数的图象与性质和平行四边形的判定相结合是本题的关键．5. （2011•江苏宿迁，27，12）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，P 为AB 的中点，Q 为边CD 上一动点，设DQ=t （0≤t≤2），线段PQ 的垂直平分线分别交边AD 、BC 于点M 、N ，过Q 作QE⊥AB 于点E ，过M 作MF⊥BC 于点F ． （1）当t≠1时，求证：△PEQ≌△NFM；（2）顺次连接P 、M 、Q 、N ，设四边形PMQN 的面积为S ，求出S 与自变量t 之间的函数关系式，并求S 的最小值．BA yO(图②)xDCE F GHMBAyO (图③) xDCE F GHP考点：正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理。