学年高一数学上学期期末考试试题
2022-2023学年云南省保山市文山州高一上学期期末考试数学试题(解析版)
2022-2023学年云南省保山市文山州高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合{}ln 1A x x =<，{}1,0,1,2,3,4B =-，则A B =（ ） A ．{}1,2 B ．{}0,1,2C ．{}1,2,3D ．{}1,2,3,4【答案】A【分析】解对数不等式化简集合A ，再由交集运算即可求解.【详解】由ln 1x <得0e x <<，所以{}0e A x x =<<，所以{}1,2A B =， 故选：A.2．命题“0x ∃>，sin 1x x =”的否定是（ ）A ．0x ∃>，sin 1x x ≠B ．0x ∀>，sin 1x x =C ．0x ∀>，sin 1x x ≠D ．0x ∀≤，sin 1x x ≠【答案】C【分析】特称命题的否定是全称命题，根据命题“x M ∃∈，()p x ”的否定是“x M ∀∈，()p x ⌝”解决即可.【详解】由题知，命题“0x ∃>，sin 1x x =”是特称命题，于是其否定是“0x ∀>，sin 1x x ≠”， 故选：C3．若0,0a b >>，则“4a b +=”是“4ab ≤”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A【分析】根据充分必要条件的概念验证题中的命题即可得出答案. 【详解】0,0a b >>，4a b +=，根据基本不等式可得，242a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，当且仅当 2a b ==时取等号∴“4a b +=”是“4ab ≤”充分条件；4ab ≤时，显然4a b +=不一定成立，∴“4a b +=”不是“4ab ≤”的必要条件.∴“4a b +=”是“4ab ≤”的充分不必要条件，选项A 正确.故选：A.4．下列函数既是偶函数，又在()0,∞+上单调递增的是（ ） A ．cos y x = B ．2y x =-C ．1y x=D ．y x =【答案】D【分析】根据基本初等函数的单调性与奇偶性判断即可.【详解】对于A ：cos y x =为偶函数，但是在()0,∞+上不具有单调性，故A 错误； 对于B ：2y x =-为偶函数，但是在()0,∞+上单调递减，故B 错误； 对于C ：1y x=为奇函数，故C 错误；对于D ：()y f x x ==，则()()f x x f x -=-=，所以y x =为偶函数， 且当0x >时y x =，则函数在()0,∞+上单调递增，故D 正确； 故选：D5．已知函数()()()1,2log 1,12a a x a x f x x x ⎧-+≥⎪=⎨-<<⎪⎩是()1,+∞上的减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A ．21,52⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．20,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．10,5⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】C【分析】根据分段函数的性质结合一次函数和对数函数的单调性，列出不等式组，即可求得实数a 的取值范围.【详解】由题意10,01,log 122,a a a a a -<⎧⎪<<⎨⎪≥-+⎩解得203a <≤，所以实数a 的取值范围是20,3⎛⎤⎥⎝⎦，故选：C.6．已知lg9x =，0.13y =，1ln 3z =，则x ，y ，z 的大小关系是（ ）A ．y x z <<B ．z x y <<C ．y z x <<D ．x y z <<【答案】B【分析】由对数、指数得运算性质，分别将,,x y z 与0,1比较大小，即可得到结果.【详解】0lg1lg9lg101x =<=<=，即01x <<； 00.1133y =<=，即1y >；1ln ln103z =<=，即0z <.故y x z >>. 故选：B.7．在ABC 中,若tan tan tan B C B C +=且sin 2B =则C =（ ） A ．60° B ．45° C ．30° D ．15°【答案】C【分析】根据tan tan tan B C B C ++=利用两角和的正切公式可得60B C +=,即可得120A =,根据sin 2B =B 的范围可得30B =,进而可求得30C =.【详解】解:因为tan tan tan B C B C +=所以)tan tan 1tan tan B C B C +-,即()tan tan tan 1tan tan B CB C B C++==-因为B ,C 为ABC 的内角,所以60B C +=,即120A =,所以060B <<,02120B <<,因为sin 2B =所以260B =, 即30B =,所以30C =. 故选:C8．重庆有一玻璃加工厂，当太阳通过该厂生产的某型防紫外线玻璃时，紫外线将被过滤为原来的13，而太阳通过一块普通的玻璃时，紫外线只会损失10％，设太阳光原来的紫外线为()0k k >，通过x块这样的普通玻璃后紫外线为y ，则()*0.9x y k x N =⋅∈，那么要达到该厂生产的防紫外线玻璃同样的效果，至少通过这样的普通玻璃块数为（ ）（参考数据：lg30.477≈） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】C【解析】由题意得30.9(0)x k k k ⋅<>，化简得10.93x <，两边同时取常用对数得110.913x g g <，利用对数的运算性质可得选项.【详解】由题意得30.9(0)xk k k ⋅<>，化简得10.93x <，两边同时取常用对数得110.913x g g <，因为lg 0.90<，所以11130.477310.37lg 0.92lg310.046gg x -->=≈≈--，则至少通过11块玻璃. 故选：C.二、多选题9．下列说法正确的是（ ） A ．若,a b ∈R ，则2ab b a +≥B ．若0a b >>，0m n >>，则b b m a a n+<+ C ．若a b >，则22a b >D ．若a b >，c d >，则22a c b d ->- 【答案】BC【分析】当a ，b 异号时即可判断A ；利用作差法得()b m b ma nba n a a n a+--=++，再根据题意判断ma nb -的符号即可判断B ；根据0a b >≥，两边平方后不等式也成立即可判断C ；利用特殊值法即可判断D ． 【详解】对于A ，a ，b 异号时，不等式不成立，故A 错误； 对于B ，由()()()()b m a b a n b m b ma nba n a a n a a n a+-++--==+++， 又0a b >>，0m n >>，所以0ma nb ->，即b b ma a n+<+，故B 正确； 对于C ，由0a b >≥，所以22a b >，故C 正确；对于D ，2a =，1b =，1c =，0d =，则20a c -=，21b d -=，不满足22a c b d ->-，故D 错误． 故选：BC ．10．已知函数()()sin f x A x =+ωϕπ0,0,2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．2A =，2ω=，π3ϕ=B ．函数π6f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象关于坐标原点对称C ．函数()f x 的图象关于直线17π12x =-对称 D ．函数()f x 在ππ,124⎛⎤- ⎥⎝⎦上的值域为(]1,2【答案】ABC【分析】最值求A ，周期求ω，特殊点求ϕ，观察图像找出特征值即可求出函数()f x ，后根据()f x 的性质可作出判断.【详解】A 选项：由图象知2A =； 设()f x 的最小正周期为T ，7ππ3π3T 12644⎛⎫--== ⎪⎝⎭，所以2πT πω==得2ω=， 当7π12x =时，函数()f x 取得最小值，则()7ππ22π122k k ϕ⨯+=-∈Z ， 即()52ππ3k k ϕ=-∈Z ，又π2ϕ<，则当1k =时，π3ϕ=符合题意．所以2A =，2ω=，π3ϕ=，所以A 正确． B 选项：πππ2sin 22sin 2663f x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为奇函数，所以B 正确．C 选项：令()ππ2π32x k k Z +=+∈，解得()ππ212k x k Z =+∈，所以函数()f x 图象的对称轴方程为()ππZ 212k x k =+∈，当3k =-时，17π12x =-，所以C 正确． D 选项：因为ππ,124x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，ππ2,62x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，ππ5π2,366x ⎛⎤+∈ ⎥⎝⎦，所以π1sin 2,132x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()[]1,2f x ∈，所以D 不正确．故选：ABC11．已知函数2,1()2,1x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨+≥⎪⎩，下列说法正确的是（ ） A ．((0))3f f =B ．函数()y f x =的值域为[2,)+∞C ．函数()y f x =的单调递增区间为[0,)+∞D ．设a R ∈，若关于x 的不等式()2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是[2,2]- 【答案】ABD【解析】作出函数()f x 的图象，先计算(0)f ，然后计算((0))f f ，判断A ，根据图象判断BC ，而利用参变分离可判断D ．【详解】画出函数()f x 图象.如图，A 项，(0)2f =，((0))(2)3f f f ==，B 项，由图象易知，值域为[2,)+∞C 项，有图象易知，[0,)+∞区间内函数不单调D 项，当1x ≥时，22xx a x +≥+恒成立， 所以222x x a x x x --≤+≤+即32222x x a x x--≤≤+在[)1,+∞上恒成立， 由基本不等式可得222x x +≥，当且仅当2x =时等号成立，32232x x +≥23x = 所以32a -≤≤. 当1x <时，22x x a +≥+恒成立，所以222xx a x --≤+≤+在(),1∞-上恒成立， 即2222x xx a x ---≤≤+-在(),1∞-上恒成立 令()32,02222,012x x x g x x xx ⎧-+≤⎪⎪=+-=⎨⎪+<<⎪⎩，当0x ≤时，()2g x ≥，当01x <<时，()322g x <<，故()min 2g x =； 令()12,022322,012x x x h x x xx ⎧-≤⎪⎪=---=⎨⎪--<<⎪⎩，当0x ≤时，()2h x ≤-，当01x <<时，()722h x -<<-，故()max 2h x =-；所以22a -≤≤. 故()2xf x a ≥+在R 上恒成立时，有22a -≤≤. 故选：ABD ．【点睛】关键点点睛：本题考查分段函数的性质，解题方法是数形结合思想，作出函数的图象，由图象观察得出函数的性质，绝对值不等式恒成立，可以去掉绝对值符号，再利用参变分离求参数的取值范围．12．设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[]2.83-=-，[]2.52=，已知函数()sin sin f x x x =+，()()x f x ϕ⎡⎤=⎣⎦，下列结论中正确的是（ ）A ．函数()x ϕ是周期函数B ．函数()x ϕ的图象关于直线π2x =对称 C ．函数()x ϕ的值域是{}0,1,2D ．函数()()π2g x x x ϕ=-只有一个零点【答案】CD【分析】首先判断函数()f x 的性质，奇偶性和周期性，对x 的取值范围讨论，进而得出函数()()x f x ϕ⎡⎤=⎣⎦的解析式并且画出()x ϕ的图象，由()x ϕ的图象分别对选项ABC 进行判断，对于D选项，函数()()π2g x x x ϕ=-的零点个数可由2πy x =与函数()y x ϕ=交点个数确定.【详解】∵()sin sin f x x x =+，x ∈R ，∴()()()sin sin sin sin f x x x x x f x -=-+-=+=， ∴函数()sin sin f x x x =+为偶函数，sin y x =不是周期函数，sin y x =是周期函数.对于0x ≥，当2π2ππk x k ≤≤+，k ∈Z 时，()2sin f x x =. 当2ππ2π2πk x k +<<+，k ∈Z 时，()0f x =，∴当0x ≥时，()()π2,2π,Z 2π5π0,2π2π,2π2π2π,Z,66π5ππ1,2π2π,2π,Z 662x k k x f x k x k k x k k k x k x k k ϕ⎧=+∈⎪⎪⎪⎡⎤==≤<++<<+∈⎨⎣⎦⎪⎪+≤≤+≠+∈⎪⎩ 由函数()sin sin f x x x =+为偶函数，可得()x ϕ的图象如图所示， 由图易知函数()x ϕ不是周期函数，所以A 错误；∵ππ222ϕϕ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3π02ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∴函数()x ϕ的图象不关于直线π2x =对称，故B 错误；由上述可知函数()x ϕ的值域是{}0,1,2，故C 正确； 由()()π02g x x x ϕ=-=可得()2πx x ϕ=，当20πx =时，0x =，()00ϕ=； 当21πx =时，π2x =，π22ϕ⎛⎫= ⎪⎝⎭； 当22πx =时，πx =，()π0ϕ=， 故直线2πy x =与()y x ϕ=的图象只有一个交点，即函数()()π2g x x x ϕ=-只有一个零点，故D 正确. 故选：CD.三、填空题13．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边过点()43P ,-，则sin cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______.31225【分析】根据角α终边过点()43P ,-，可求出角α三角函数值，再利用正弦和余弦的和差角公式，以及同角三角函数的平方关系，即可求出结果. 【详解】∵α的终边过点()43P ,-， ∴3sin 5α=，4cos 5=-α（三角函数的概念），∴3131sin cos cos sin 6622ππαααααα⎫⎛⎫⎛⎫+-=++⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭)2212sin cos sin cos 25αααα=++=，1225. 14．已知tan 3α=，则sin cos 2sin cos αααα=-___________.【答案】65-【分析】首先利用二倍角公式化简，再变形为sin ,cos αα的齐次分式形式，用tan α表示，代入即可求解.【详解】()()22sin cos sin sin cos 2sin cos sin sin cos sin cos αααααααααααα-==-+--()222222sin cos sin tan tan 336sin cos tan 1315αααααααα+++=-=-=-=-+++. 故答案为：65-15．已知lg5a =，104b =，则22a ab b ++=______. 【答案】2【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化及对数运算法则计算作答. 【详解】因104b =，则lg42lg2b ==，又lg5a =，所以22(2)lg5(2lg52lg2)2lg22(lg5lg2)lg52lg2a ab b a a b b ++=++=⋅++=+⋅+2lg52lg22=+=. 故答案为：2四、双空题16．已知函数()f x 满足()()226412f x f x x x +-=-+，则()f x =_________；若函数()2816g x x x m =+-，若对任意[]3,3x ∈-，()()f x g x ≥恒成立，则实数m 的取值范围是_________.【答案】 2244x x ++ [)86,+∞【分析】将原式中的x 代换成x -，再消去()f x -即可得到()f x 的解析式；若对任意[]3,3x ∈-，()()f x g x ≥恒成立，利用参变分离，得到26124m x x ≥+-，转化为()2max 6124m x x ≥+-，即可求得实数m 的取值范围.【详解】由()()226412f x f x x x +-=-+知，将原式中的x 代换成x -得()()226412f x f x x x -+=++()()()()222641226412f x f x x x f x f x x x ⎧+-=-+⎪⎨-+=++⎪⎩，消去()f x -得()2244f x x x =++； 由()()f x g x ≥，得22244816x x x x m ++≥+-， 即26124m x x ≥+-对任意[]3,3x ∈-，恒成立，∴()2max6124m x x ≥+-，当3x =时，26124x x +-取得最大值86. ∴实数m 的取值范围为[)86,+∞. 故答案为：2244x x ++；[)86,+∞五、解答题17．已知集合()(){}110A x x a x a =-+--<，{}1139x B x -=≤≤.(1)若1a =，求A B ⋃；(2)若x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，求实数a 的值. 【答案】(1){}03A B x x ⋃=<≤ (2)2【分析】（1）将1a =代入集合A ，解不等式求出集合A 与集合B ，再求并集即可；（2）由x B ∈是x A ∈的必要不充分条件确定集合A 是集合B 的真子集，由此求实数a 的值即可. 【详解】（1）∵不等式1139x -≤≤等价于012333x -≤≤，且函数3x y =在R 上单调递增，∴012x ≤-≤，即13x ≤≤，∴{}{}113913x B x x x -=≤≤=≤≤，若1a =，则(){}{}2002A x x x x x =-<=<<， ∴{}03A B x x ⋃=<≤.（2）不等式()()110x a x a -+--<即()()110x a x a ---+<⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， ∵11a a -<+，∴解得11a x a -<<+，∴()(){}{}11011A x x a x a x a x a =-+--<=-<<+， 由（1）知，{}13B x x =≤≤若x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，即x B ∈x A ∈，x A ∈⇒x B ∈，∴集合A 是集合B 的真子集， ∴1311a a +≤⎧⎨-≥⎩，即22a a ≤⎧⎨≥⎩， ∴2a =.18．已知函数()222sin sin 63f x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (1)求()f x 的单调递增区间；(2)将函数()f x 的图象向右平移3π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，若关于x 的方程()g x m =在7,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有四个根，从小到大依次为1234x x x x <<<，求123422x x x x +++的值. 【答案】(1)()5,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z (2)92π.【分析】（1）根据三角函数的诱导公、二倍角公式以及差角公式，整理函数，利用辅助角公式，化简为单角三角函数，结合整体思想，建立不等式，可得答案；（2）根据函数变换，写出新函数解析式，利用其对称性，可得答案.【详解】（1）()222sin cos 623f x x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ))2sin cos cos 21sin 2cos 21663x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+=-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1sin 22sin 223x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 令()222232k x k k πππππ-+≤+≤+∈Z ，解得51212k x k ππππ-+≤≤+， 所以()f x 的单调递增区间为()5,1212k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）由题意知：()sin 23g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭∴()sin 23y g x x π⎛⎫==- ⎪⎝⎭， 因为512x π=和1112π=x 是sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在7,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上的对称轴， 由对称性可知：1256x x π+=，34116x x π+=，所以12349222x x x x π+++=. 19．已知函数()21log 3f x ax a x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭（0a ≥）. (1)当0a =时，解关于x 的不等式：()2f x >；(2)若()f x 在0x >时都有意义，求实数a 的取值范围.【答案】(1)107x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭ (2){}1a a >.【分析】（1）由0a =时得到()21log 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据()2f x >结合对数函数的单调性得到130134x x⎧->⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，即可求解. （2）根据对数函数的定义域，得到()f x 在0x >时都有意义，转化为()2310ax a x +-+>在0x >时恒成立，分离参数得到22313111x x x a x x x -->=++在0x >时恒成立，构造函数令()23111x x g x x-=+（0x >），则只需()max a g x >即可，利用换元法令10t x =>，得到()()2341511t t h t t t t -==-+-+++，结合基本不等式即可求解.【详解】（1）当0a =时，()21log 3f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 因为2log y x =在()0,∞+上单调递增，且2log 42=，由()2f x >得130134x x⎧->⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，解得：107x <<， 即不等式解集为107x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. （2）()f x 在0x >时都有意义，即130ax a x++->在0x >上恒成立， 即()2310ax a x +-+>在0x >时恒成立，即22313111x x x a x x x-->=++在0x >时恒成立， 令()23111x x g x x-=+，0x >，则只需()max a g x >即可， 令10t x =>，()()2341511t t h t t t t -==-+-+++， ∵0t >，()4141t t ++≥+， 当且仅当，411t t +=+，且0t >，即1t =时等号成立， ∴()()44151545111h t t t t t ⎛⎫=-+-+=-+++≤-+= ⎪++⎝⎭， ∴()1g x ≤，即()g x 最大值为1，∴1a >，∴a 的取值范围为{}1a a >.20．已知函数()124212x x xa a f x +-⋅++=，a ∈R . (1)判断()f x 是否有零点，若有，求出该零点；若没有，请说明理由；(2)若函数()f x 在[]1,3x ∈上为单调递增函数，求实数a 的取值范围.【答案】(1)没有，理由见解析(2){a a【分析】（1）将问题转化为124210x x a a +-⋅++=是否有解，设2x t =，判断22210t at a -++=在0t >时是否有解即可；（2）设1213x x ≤<≤，利用()f x 在[]1,3x ∈上为单调递增函数得12211022x x a +->恒成立，常数分离后得a 的取值范围. 【详解】（1）设()f x 有零点，则方程()0f x =有解，即124210x x a a +-⋅++=有解， 设2x t =，0t >，得22210t at a -++=（*），()224410a a ∆=-+<，（*）方程无正解，所以()f x 没有零点.（2）()12242112222x x x x x a a a f x a +-⋅+++==++， 设1213x x ≤<≤，()()210f x f x ->恒成立，()()()2121211222221111222212222x x x x x x x x a a a f x f x ⎛⎫+++-=+--=-- ⎪⎝⎭， 因为21220x x ->，所以12211022x x a +->恒成立， 所以112221222x x x x a +=+<恒成立，又12121326x x x x ≤<≤⇒<+<，所以214+≤a ，所以a的取值范围为{a a ≤≤.21．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()ln f x x x =+.(1)求()f x 的解析式；(2)若正数m ，n 满足22ln ln m m n n +=+，求n m -的最大值.【答案】(1)()()ln ,0,0,0,ln ,0.x x x f x x x x x ⎧+>⎪==⎨⎪--<⎩ (2)14.【分析】（1）根据函数的奇偶性即可求出函数解析式；（2）根据题意，由（1）得()()2f m f n =，利用函数的单调性得20m n =>，则21124n m n ⎛⎫-=--+ ⎪⎝⎭，结合二次函数的性质即可求解.【详解】（1）当0x <时，则0x ->，()()ln f x x x -=-+-， 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x =--， 所以，当0x <时()()ln f x x x =--，当0x =时()0f x =，()ln ,00,0ln(),0x x x f x x x x x +>⎧⎪==⎨⎪--<⎩. （2）因为22ln ln m m n n +=+，由,m n 都为正数，得()()2f m f n =，设120x x <<，则1111212122()()ln ln ()ln x f x f x x x x x x x x -=-+-=-+， 因为11220,ln ln10x x x x -<<=，所以11()()0f x f x -<， 故()ln f x x x =+为单调递增的函数，所以20m n =>，221124n m n n n ⎛⎫-=-=--+ ⎪⎝⎭， 当且仅当12n =时，n m -求得最大值14. 22．已知定义在()0,∞+上的函数()f x ,满足()()m f f m f n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,且当1x >时,()0f x >. (1)讨论函数()f x 的单调性,并说明理由;(2)若()21f =,解不等式()()333f x f x +->.【答案】(1)()f x 在()0,∞+上单调递增,理由见解析 (2)30,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】(1)取21,m x n x ==,利用单调性的定义,进行取值,作差,变形,定号,结论即可得出结果;(2)先根据()21f =,求得83f ,再利用抽象函数的式子化为()383x f f x +⎛⎫> ⎪⎝⎭,根据(1)中的单调性结论,列出不等式,解出即可.【详解】（1）解:()f x 在()0,∞+上单调递增,理由如下: 因为()f x 定义域为()0,∞+,不妨取任意()12,0,x x ∈+∞,且12x x <,则211x x >, 由题意()()22110x f f x f x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭,即()()21f x f x >, 所以()f x 在()0,∞+上单调递增.（2）因为,0m n ≠,令mn m n =,由()()m f f m f n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭可得: ()()()mn f m f f mn f n n ⎛⎫==- ⎪⎝⎭, 即()()()f mn f m f n =+,由()21f =,可得()()()4222f f f =+=, 令4m =,2n =,则()()()8423f f f =+=,所以不等式()()333f x f x +->,即()()()338f x f x f +->,即()383x f f x +⎛⎫> ⎪⎝⎭, 由(1)可知()f x 在定义域内单调递增, 所以只需3030383x x x x⎧⎪>⎪+>⎨⎪+⎪>⎩,解得0323x <<, 所以不等式()()333f x f x +->的解集为30,23⎛⎫ ⎪⎝⎭.。
2022-2023学年河北省邢台市第一中学高一上学期期末考试数学试题(解析版)
2022-2023学年河北省邢台市第一中学高一上学期期末考试数学试题一、单选题1．()sin 1320︒-=（ ）A ．12B ．12-C D ．【答案】C【分析】利用诱导公式进行化简求值.【详解】()()480480sin120sin 1320sin 1800sin ︒︒︒︒︒+-=-==故选：C.2．已知集合212112x x A x +-⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≥⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，304x B x x ⎧⎫+=≥⎨⎬-⎩⎭，则()RA B =（ ）A ．{}34x x -<<B ．{}33x x -<<C ．{}34x x -<≤D ．{}33x x -<≤【答案】D【分析】分别解不等式求出集合A 和集合B ，然后再求()RAB 即可.【详解】不等式212112x x +-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭等价于2121122x x +-⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ∵12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在R 上单调递减，∴2120x x +-≤，解得43x -≤≤，∴{}21211432x x A x x x +-⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≥=-≤≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭， 不等式304x x +≥-等价于()()34040x x x ⎧+-≥⎨-≠⎩，解得3x ≤-或>4x ， ∴{3034x B xx x x ⎧⎫+=≥=≤-⎨⎬-⎩⎭或}4x >， ∴{}34B x x =-<≤R ， ∴(){}33A B x x ⋂=-<≤R . 故选：D.3．下列函数中，既是奇函数又在定义域上是减函数的是（ ） A ．ln y x =- B ．()tan y x =- C ．3y x =- D ．1y x=【答案】C【分析】根据奇函数和减函数的特征，结合选项进行判定. 【详解】对于选项A ，ln y x =-不是奇函数，排除A ；对于选项B ，()tan y x =-是奇函数，但是在其定义域上不是减函数，排除B ； 对于选项C ，3y x =-是奇函数，在其定义域上也是减函数，符合题意； 对于选项D ，1y x=是奇函数，但是在其定义域上不是减函数，排除D. 故选：C.4．函数()()1ln 23f x x x =---的零点所在区间为（ ）A ．()4,3--B ．()3,e --C ．()e,2--D ．()2,1--【答案】B【分析】根据公共定义域内判断函数的单调性及复合函数的单调性， 得出函数()f x 的单调性，再利用函数零点的存在性定理即可求解. 【详解】由题意可知，()f x 的定义域为(),0-∞， 令u x =-，则ln y u =，由u x =-在(),0-∞上单调递减， ln y u =在定义域内单调递增，所以()ln y x =-在(),0-∞单调递减.所以函数()()1ln 23f x x x =---在(),0-∞上单调递减.所以()()()12214ln 442ln 4ln e 03333f -=---⨯--=->-=>⎡⎤⎣⎦ ()()()13ln 332ln 31ln e 103f -=---⨯--=->-=⎡⎤⎣⎦()()()1e e ln e e 21033f -=---⨯--=-<⎡⎤⎣⎦ ()()()1442ln 222ln 2ln e 0333f -=---⨯--=-<-<⎡⎤⎣⎦ ()()()151ln 112033f -=---⨯--=-<⎡⎤⎣⎦故()3(e)0f f -⋅-<，根据零点的存在性定理，可得 函数()()1ln 23f x x x =---的零点所在区间为()3,e --.故选：B.5．命题0:p x ∃∈R ，使得200680kx kx k -++<成立.若p 是假命题，则实数k 的取值范围是（ ） A ．[]0,1B ．(]0,1C ．()(),01,-∞⋃+∞D ．][(),01,∞∞-⋃+【答案】A【分析】根据p 是假命题，得出p ⌝为真命题，利用恒成立知识求解.【详解】因为p 是假命题，所以p ⌝为真命题，即x ∀∈R ，使得2680kx kx k -++≥成立. 当0k =时，显然符合题意；当0k ≠时，则有0k >，且()236480k k k -+≤，解得01k <≤.故选：A.6．已知幂函数()y f x =的图象过()4,2A 、()cos1,B m 、()sin1,C n 三点，则m 与n 的大小关系为（ ） A ．m n > B ．m n < C ．m n = D ．不能确定【答案】B【分析】设()af x x =，根据点A 在函数()f x 的图象上可求得a 的值，可得出()f x 的解析式，分析函数()f x 的定义域与单调性，比较cos1与sin1，利用函数()f x 的单调性可得出m 、n 的大小关系.【详解】设()af x x =，则()442a f ==，可得12a =，()12f x x ∴= 所以，函数()f x 是定义在[)0,∞+上的增函数， 因为ππ0cos1cos sin sin144<<=<，所以，()()cos1sin1f f <，即m n <. 故选：B.7．已知tan π22α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则π3π1cos sin 22π14ααα⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+ ⎪⎝⎭（ ）A．2B．C ．12D ．1【答案】C【分析】利用诱导公式可求得tan2α，利用三角恒等变换化简所求代数式，可求得结果.【详解】因为tan πtan 222αα⎛⎫-=-=- ⎪⎝⎭，则tan 22α=，若cossin022αα+=，则tan12α=-，矛盾，故cossin022αα+≠.因此，()π3π1cos sin 1sin cos 1cos sin 22π1cos sin 1cos sin 14ααααααααααα⎛⎫⎛⎫+--+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭==---+⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 222coscos sin 12cos 12sincos112222222tan112sin 2sin cos 2sin cos sin 2222222ααααααααααααα⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭====⎛⎫⎛⎫--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.8．“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间y （单位：小时）与储藏温度x （单位：C ）满足函数关系e ax b y +=（,a b 为常数），若该果蔬在5C 的保鲜时间为216小时，在20C 的保鲜时间为8小时，那么在10C 时，该果蔬的保鲜时间为（ ）小时. A ．72 B ．36C ．24D ．16【答案】A【分析】根据题意列出5,20x x ==时,a b 所满足等式，利用指数幂的运算分别可求解出5e ,e a b 的值，然后即可计算出10x =时y 的值，则对应保鲜时间可求. 【详解】当5x =时，5e 216a b +=；当20x时，20e 8a b +=，则520e 21627e 8a b a b ++==，整理可得51e 3a=，于是e 2163648b =⨯=， 当10x =时，10521e(e )e 648729a ba b y +==⋅=⨯=． 故选：A二、多选题9．下到说法错误的是（ ）A ．若α终边上一点的坐标为()()3,40k k k ≠，则3cos 5α= B ．α为第二或第三象限角的充要条件是sin tan 0αα<C ．将函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π3个单位长度，得到函数()cos2g x x =的图象D ．若1sin cos 5αα+=，且0απ<<，则4tan 3α=-【答案】AC【分析】结合选项逐个判定，利用定义可知A 错误，结合象限符号可得B 正确，根据平移规则可得C 错误，利用平方关系和商关系可得D 正确. 【详解】对于A ，3355cos k k α===±，故不正确； 对于B ，α为第二象限时，sin 0,tan 0αα><，所以sin tan 0αα<；α为第三象限角时，sin 0,tan 0αα<>，所以sin tan 0αα<；反之，sin tan 0αα<，则sin ,tan αα异号，所以α为第二或第三象限角，故正确；对于C ，将函数()πcos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π3个单位长度，得到的函数解析式为()πcos 23g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故不正确；对于D ，因为1sin cos 5αα+=，所以12sin cos 25αα=-，所以222sin cos tan 12sin cos tan 125αααααα==-++，解得3tan 4α=-或4tan 3α=-. 因为1sin cos 05αα+=>，12sin cos 025αα=-<，且0πα<<，所以sin >cos αα， 所以4tan 3α=-，故D 正确.故选：AC.10．已知a ，b 为正数，41a b +=，则下列说法正确的是（ ） A ．114a b+的最小值为4 B ．11a b+的最小值为9 C ．()()411a b ++的最大值为94D ．()()11a b ++的最大值为94【答案】ABC【分析】选项A 和选项B 使用基本不等式“1”的妙用求解，选项C 和选项D 构造“和为定值”对“积的最大值”进行求解. 【详解】对于A ，()1111442444a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，∵0a >，0b >，∴40a b >，04b a >，∴由基本不等式424a b b a +≥=， 当且仅当44a b b a =，即18a =，12b =时，等号成立， ∴114222444a b a b b a+=++≥+=，114a b +的最小值为4，故选项A 正确；对于B ，()1111445a b a b a b a b b a ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭， ∵0a >，0b >，∴40a b >，0b a >，∴由基本不等式44a b b a +≥， 当且仅当4a bb a =，即16a =，13b =时，等号成立， ∴1145549a ba b b a +=++≥+=，11a b+的最小值为9，故选项B 正确； 对于C ，∵0a >，0b >，∴410a +>，10+>b ，∴由基本不等式()()()()222411421294112224a b a b a b +++⎡⎤+++⎛⎫⎛⎫++≤===⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 当且仅当411a b +=+，即18a =，12b =时，等号成立，∴()()411a b ++的最大值为94，故选项C 正确；对于D ，∵0a >，0b >，∴440a +>，10+>b ，∴由基本不等式()()()()()()2244111145911441442424a b a b a b a b +++⎡⎤++⎛⎫++=++≤⋅=⋅=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，当且仅当441a b +=+，即14a =-，2b =时，等号成立，这与0a >矛盾，上式无法取等号，故选项D 错误. 故选：ABC.11．已知函数()()4log 1,11,14x x x f x x ⎧->⎪=⎨⎛⎫≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，则下列结论正确的是（ ）A ．若()1f a =，则5a =B ．202320222022f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．若()2f a ≥，则12a ≤-或17a ≥D ．若方程()f x k =有两个不同的实数根，则14k ≥ 【答案】BCD【分析】解方程可()1f a =判断A 选项；求出20232022f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值，可判断B 选项；解不等式()2f a ≥可判断C 选项；数形结合可判断D 选项.【详解】对于A 选项，当1a ≤时，由()114af a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，可得0a =，当1a >时，由()()4log 11f a a =-=，可得5a =. 综上所述，若()1f a =，则5a =或0，A 错； 对于B 选项，41420231log log 2022020222022f ⎛⎫==< ⎪⎝⎭， 所以，14log 20221420231log 2022202220224f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，B 对；对于C 选项，当1a ≤时，由()21224aa f a -⎛⎫==≥ ⎪⎝⎭，可得21a -≥，解得12a ≤-，此时12a ≤-，当1a >时，由()()4log 12f a a =-≥，可得116a -≥，解得17a ≥，此时17a ≥， 综上所述，若()2f a ≥，则12a ≤-或17a ≥，C 对；对于D 选项，作出函数y k =与函数()f x 的图象如下图所示：由图可知，当14k ≥时，直线y k =与函数()f x 的图象有两个交点， 此时方程()f x k =有两个不等的实根，D 对. 故选：BCD.12．设函数()f x 的定义域为D ，如果对任意的1x D ∈，存在2x D ∈，使得12()()2f x f x c +=（c 为常数），则称函数()y f x =在D 上的均值为c ，下列函数中在其定义域上的均值为1的有（ ） A ．3y x = B ．tan y x =C ．2sin y x =D ．24y x -【答案】ABD【分析】根据题意将问题转化为关于2x 的方程是否存在有解问题，然后逐个分析判断即可 【详解】由题意可得1c =，则12()()12f x f x +=，即12()()2f x f x +=，将问题转化为关于2x 的方程是否存在有解问题，对于A ，3y x =的定义域为R ，则对于任意1R x ∈，关于2x 的方程为33122x x +=，则33212x x =-，2x ，方程一定有解，所以A 正确，对于B ，tan y x =的定义域为,2D x x k k Z ππ⎧⎫=≠+∈⎨⎬⎩⎭，值域为R ，则对于任意1x D ∈，总存在2x D ∈，使得12tan tan 2x x +=，所以B 正确，对于C ，2sin y x =的定义域为R ，值域为[2,2]-，当12x π=-时，1()2f x =-，此时不存在2x R ∈，使12()()2f x f x +=，所以C 错误，对于D ，y {}22D x x =-≤≤，值域为[0,2]，则对于任意1x D ∈，关于2x 的方2，整理得(22242x =-，则总存在2x D ∈满足上式，所以D 正确，故选：ABD三、填空题13．已知集合(){}222810A x ax a x =+-+=有且仅有两个子集，则a 的取值集合为___________.【答案】{}0,2,8【分析】根据题意集合A 有一个元素，考虑0a =和0a ≠两种情况，计算得到答案即可.【详解】由题意，集合(){}222810A x ax a x =+-+=有且仅有两个子集，则集合A 只有一个元素，当0a =时，810x -+=，解得18x，符合题意； 当0a ≠时，()2284210a a ∆=--⨯⨯=，解得2a =或8a =， 当2a =时，{}2144102A x x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭，符合题意，当8a =时，{}21168104A x x x ⎧⎫=++==-⎨⎬⎩⎭，符合题意.综上所述，a 的取值集合为{}0,2,8. 故答案为：{}0,2,8.14．已知函数()()212log 2f x x x t =-++的定义域是(),6m m +，则函数()f x 的单调增区间为__________. 【答案】()1,4【分析】先根据定义域求出,m t 的值，再结合复合函数求出单调区间.【详解】因为函数()()212log 2f x x x t =-++的定义域是(),6m m +，所以,6m m +是方程220x x t -++=的两个根，所以()()22206260m m t m m t ⎧-++=⎪⎨-++++=⎪⎩，解得28m t =-⎧⎨=⎩，即()()212log 28f x x x =-++. 令()222819n x x x =-++=--+，0n >，则12log y n=为减函数，函数()219n x =--+是开口向下，对称轴为1x =的二次函数，且()1,4x ∈时，为减函数；所以函数()f x 的单调增区间为()1,4. 故答案为：()1,4.15．如图，在Rt PBO 中，90PBO ∠= ，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A 点．若圆弧AB 等分POB 的面积，且AOB α∠=弧度，则tan αα=________.【答案】12【详解】设扇形的半径为r ，则扇形的面积为212r α，直角三角形POB 中， tan PB r α=， POB ，面积为1tan 2r r α⨯，由题意得211222r rtan r αα⨯=⨯，∴tan 2αα=，∴1tan 2αα=，故答案为12. 点睛：本题考查扇形的面积公式及三角形的面积公式的应用，考查学生的计算能力，属于基础题；设出扇形的半径，求出扇形的面积，再在直角三角形中求出高PB ，计算直角三角形的面积，由条件建立等式，解此等式求出tan α与α的关系，即可得出结论. 16．函数()f x 为定义在()(),00,∞-+∞上的奇函数，且()31f =，对于任意()1212,0,,x x x x ∈+∞≠，都有()()1122120x f x x f x x x ->-成立，则()3f x x≤的解集为__________. 【答案】(](]30,3-∞-⋃，【分析】构造函数，利用函数的单调性和奇偶性进行求解.【详解】设函数()()g x xf x =，因为()f x 为奇函数，所以()g x 为偶函数； 因为()()1122120x f x x f x x x ->-，所以()()12120g x g x x x ->-，即()g x 在()0,∞+为增函数；因为(3)3(3)3g f ==，()g x 为偶函数，所以(3)3g -=，且()g x 在(),0∞-为减函数；当0x >时，()3f x x ≤等价于()3(3)g x g ≤=，所以03x <≤； 当0x <时，()3f x x ≤等价于()3(3)g x g ≥=-，所以3x ≤-；即()3f x x≤的解集为(](]30,3-∞-⋃，. 故答案为：(](]30,3-∞-⋃，.四、解答题17．设a ∈R ，集合(){}(){}22log 2,30A x x a B x x a x =+<=-+<，(1)若2a =，求A B ⋃(2)若()3A B ∈⋂R ，求a 的取值范围. 【答案】(1){}|25A B x x ⋃=-<< (2)30a -<≤【分析】（1）先根据2a =，化简两个集合，再求两个集合的并集； （2）由3在集合A 中，不在集合B 中，可求取值范围.【详解】（1）当2a =时，(){}{}{}{}22|log 22|22|50|05A x x x x B x x x x x =+<=-<<=-<=<<，，所以{}{}{}|22|05|25A B x x x x x x ⋃=-<<⋃<<=-<<.（2）集合(){}2|30B x x a x =-+<，所以(){}2|30.B x x a x =-+≥R因为()3A B ∈⋂R ，所以3A ∈且3B ∈R.则()()22log 323330a a ⎧+<⎪⎨-+≥⎪⎩，即03430a a <+<⎧⎨-≥⎩，解得30a -<≤.18．函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭部分图象如图所示，已知41x x π-=.再从条件①112x π=､条件②26x π=､条件③32x π=这三个条件中选择两个作为已知.(1)求函数()f x 的解析式； (2)求6f x π⎛⎫-⎪⎝⎭的单调增区间. 【答案】(1)()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭(2)5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z【分析】（1）先由41x x π-=求出ω，分三种情况讨论求解，代入点的坐标求出,A ϕ，从而得到解析式； （2）先求6f x π⎛⎫-⎪⎝⎭的解析式，整体代换可求6f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调增区间. 【详解】（1）因为41x x π-=，由图可知T π=，所以22Tπω==.所以()()sin 2f x A x ϕ=+. 若选择条件①②，即112x π=，26x π=.因为()1sin 0126f x f A ππϕ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由图可知26k πϕπ+=，k ∈Z ，即26k πϕπ=-+.因为02πϕ<<，所以6πϕ=-，所以()sin 26f x A x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.又因为()2sin 166f x f A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以2A =，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若选择条件①③，即112x π=，32x π=. 因为()1sin 0126f x f A ππϕ⎛⎫⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.由图可知26k πϕπ+=，k ∈Z ，即26k πϕπ=-+.因为02πϕ<<，所以6πϕ=-，所以()sin 26f x A x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.又因为()3sin 126f x f A ππ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以2A =，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.若选择条件②③，即26x π=，32x π=. 因为()()23f x f x =，由图可知，当2323x x x +π==时，()f x 取得最大值， 即3f A π⎛⎫= ⎪⎝⎭，sin 23A A πϕ⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭，由2sin 13πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，得2232k ϕππ+=+π，k ∈Z ， 因为02πϕ<<，所以6πϕ=-. 又()216f x f π⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以2A =，所以()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.（2）()2sin[2()]2sin(2)2sin(2)66666f x x x x πππππ-=--=-=--，故()6f x π-的单调增区间即为2sin(2)6x π-的单调递减区间.由3222262k x k πππππ+≤-≤+，k ∈Z ，得536k x k ππππ+≤≤+，k ∈Z .所以()6f x π-的单调递增区间为5,36k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z . 19．已知函数()5ππ3πsin 22sin cos 644f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(1)求()f x 的最小正周期及对称轴方程；(2)ππ,46x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()()g x af x b =+的最大值为7，最小值为1，求a ，b 的值.【答案】(1)最小正周期为πT =，对称轴方程为ππ23k x =+，k ∈Z (2)4a =，5b =或4a =-，3b =【分析】（1）使用两角和差的正余弦公式、二倍角公式、辅助角公式进行化简后，即可求得最小正周期和对称轴方程；（2）结合正弦函数的图象和性质，分别对0a >和a<0两种情况进行讨论即可. 【详解】（1）()5ππ3πsin 22sin cos 644f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1cos 2sin 222x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1cos 22sin cos cos sin 2x x x x x x =----()221cos22cos sin 22x x x x =+--1cos 22cos 22x x x =-12cos 22x x =- πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭∴()πsin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，∵sin y x =的对称轴为直线ππ+2=x k ，k ∈Z ， ∴由ππ2π62x k -=+，k ∈Z ，解得ππ23k x =+，k ∈Z ， ∴()f x 的对称轴方程为ππ23k x =+，k ∈Z . （2）πsi 2()(n 6)x b g x af x b a =+=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∵ππ,46x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴ππ2[,]23x ∈-，∴π2ππ2[,]636x -∈-，∴π1sin(2)[1,]62x -∈-，当0a >时，()()g x af x b =+的最大值为12a b +，最小值为a b -+，∴由1721a b a b ⎧+=⎪⎨⎪-+=⎩，解得45a b =⎧⎨=⎩，当a<0时，()()g x af x b =+的最大值为a b -+，最小值为12a b +，∴由7112a b a b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得43a b =-⎧⎨=⎩，综上所述，4a =，5b =或4a =-，3b =.20．比亚迪是我国乃至全世界新能源电动车的排头兵，新能源电动车汽车主要采用电能作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车．有关部门在国道上对比亚迪某型号纯电动汽车进行测试，国道限速60km/h ．经数次测试，得到该纯电动汽车每小时耗电量Q （单位：wh ）与速度x （单位：km/h ）的数据如下表所示：为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量Q 与速度x 的关系，现有以下三种函数模型供选择：①3211()250Q x x x cx =-+；②22()13xQ x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；3()300log a Q x x b =+．(1)当060x ≤≤时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式；(2)现有一辆同型号纯电动汽车从重庆育才中学行驶到成都七中，其中，国道上行驶50km ，高速上行驶300km ．假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量Q 与速度x 的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速x （单位：km/h ）满足[80,120]x ∈，且每小时耗电量N （单位：wh ）与速度x （单位：km/h ）的关系满足2()210200(80120)N x x x x =-+≤≤）．则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？ 【答案】(1)选①3211()250Q x x x cx =-+，321()216050Q x x x x =-+ (2)当这辆车在高速上的行驶速度为80km/h ，在国道上的行驶速度为50km/h 最少，最少为51250wh ．【分析】（1）利用表格中数据进行排除即可得解；（2）在分段函数中分别利用均值不等式和二次函数求出最值即可得解.【详解】（1）解：对于③3()300log a Q x x b =+，当0x =时，它无意义，故不符合题意，对于②22()13xQ x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当10x =时，1022(10)13Q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又100122033<⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭，所以1022(10)113Q ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故不符合题意，故选①3211()250Q x x x cx =-+， 由表中的数据可得，3211021010142050c ⨯-⨯+⨯=，解得160c = ∴321()216050Q x x x x =-+． （2）解：高速上行驶300km ，所用时间为300h x， 则所耗电量为()2300300100()()2102006003000f x N x x x x x x x ⎛⎫=⋅=⋅-+=+- ⎪⎝⎭， 由对勾函数的性质可知，()f x 在[80,120]上单调递增，∴min 100()(80)60080300045750wh 80f x f ⎛⎫==⨯+-= ⎪⎝⎭，国道上行驶50km ，所用时间为50h x，则所耗电量为32250501()()2160100800050g x Q x x x x x x x x ⎛⎫=⋅=⋅-+=-+ ⎪⎝⎭， ∵060x ≤≤，∴当50x =时，min ()(50)5500wh g x g ==，∴当这辆车在高速上的行驶速度为80km/h ，在国道上的行驶速度为50km/h 时，该车从重庆育才中学行驶到成都七中的总耗电量最少，最少为45750550051250wh +=． 21．已知函数()log (0a f x x a =>，且1)a ≠.(1)若函数()f x 的图象与函数()h x 的图象关于直线y x =对称，且点()4,256P 在函数()h x 的图象上，求实数a 的值； (2)已知函数()1,,162322x x g x f f x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=∈ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.若()g x 的最大值为12，求实数a 的值. 【答案】(1)4a = (2)12或2【分析】（1）根据两个函数图象对称的特征求出()xh x a =，代入点的坐标可得实数a 的值；（2）先化简()g x ，利用换元法和二次函数知识，结合最大值求出实数a 的值.【详解】（1）因为函数()log (0=>a f x x a ，且1a ≠）的图象与函数()h x 的图象关于直线y x =对称， 所以()xh x a =（0a >，且1a ≠），因为点(4,256)P 在函数()h x 的图象上，所以4256a =，解得4a =，或4a =-（舍去）. （2）()()()log log log log log 5log 22232aa a a a a x xg x x x =⋅=--()()()2222log 6log log 5log 2log 3log 4log 2(2)2a a a a a a a x x x =-⋅+-=-.令log a t x =. ①当01a <<时，由1162x ≤≤，有4log 2log log 2a a a x ≤≤-， 二次函数()()226log 25log 2a a t t t ϕ=-+的对称轴为3log 2a t =，最大值为()()()()()2222log 2log 26log 25log 212log 212a a a a a ϕ-=++==，解得12a =或2a =（舍去）；②当1a >时，由1162x ≤≤，有log 2log 4log 2a a a x -≤≤， 二次函数()22()6log 25log 2a a t t t ϕ=-+的对称轴为3log 2a t =，可得最大值为()()()()()2222log 2log 26log 25log 212log 212a a a a a ϕ-=++==，解得2a =或12a =（舍去），综上，实数a 的值为12或2. 22．已知函数()14x b f x a =++的定义域为R ，其图像关于点11,22⎛⎫⎪⎝⎭对称．(1)求实数a ，b 的值； (2)求122022202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；(3)若函数()412log 22x g x f x x +⎛⎫=++ ⎪-⎝⎭，判断函数()g x 的单调性（不必写出证明过程），并解关于t的不等式()()2121g t g t -++>． 【答案】(1)2,2a b ==- (2)1011(3)103t -<<【分析】（1）根据对称性列方程解出a 和b ； （2）根据对称性分组计算；（3）构造函数，根据函数的单调性和奇偶性求解不等式.【详解】（1）有条件可知函数()f x 经过点11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，()()112210122f f f ⎧⎛⎫= ⎪⎪⎪⎝⎭∴⎨⎪+=⨯⎪⎩，即12112411114b a b b aa ⎧+=⎪⎪+⎨⎪+++=⎪++⎩ ， 解得：2,2a b ==- ，()2414242xx xf x -=+=++ ； （2）由于120222************1,1,,1202320232023202320232023+=+=+= ， 1202222021101110121,1,,1202320232023202320232023f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 1220221011202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （3）由于42log 2x y x +=- 是奇函数，根据函数平移规则，()()12h x g x =- 也是奇函数， 并且由于()f x 是增函数，42log 2xy x+=- 也是增函数，()h x ∴ 也是增函数，定义域为()2,2- 不等式()()2121g t g t -++> 等价于()()11212022g t g t --++-> ，即()()2120h t h t -++> ，()()()2122h t h t h t ->-+=-- ，由于()h x 是增函数，2122212222t t t t ->--⎧⎪∴-<-<⎨⎪-<+<⎩，解得103t -<< ；综上，（1）2,2a b ==-；（2）1220221011202320232023f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（3）103t -<<.。
苏州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题(含解析)
江苏省苏州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，1．已知集合U＝{x∈N|0＜x＜8}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，则下列结论错误的是（）A．A∩B＝{3}B．A∪B＝{1，2，3，4，5，6}C．∁U A＝{4，5，6，7，8}D．∁U B＝{1，2，7}2．已知a，b∈R，那么“3a≤3b”是“log a＞log b”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在地上不动，也会因为地球自转而每天行八万里路程．已知我国四个南极科考站之一的昆仑站距离地球南极点约1050km，把南极附近的地球表面看作平面，则地球每自转，昆仑站运动的路程约为（）A．2200km B．1650km C．1100km D．550km4．用二分法求函数f（x）＝ln（x+1）+x﹣1在区间[0，1]上的零点，要求精确度为0.01时，所需二分区间的次数最少为（）A．5B．6C．7D．85．若实数a，b满足+＝，则ab的最小值为（）A．B．2C．2D．46．设函数f（x）＝cos（ωx﹣）（ω＞0）．若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为（）A．B．C．D．17．已知幂函数的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上单调递减，则满足的a的取值范围为（）A．（0，+∞）B．C．D．8．定义：正割secα＝，余割cscα＝．已知m为正实数，且m•csc2x+tan2x≥15对任意的实数x均成立，则m的最小值为（）A．1B．4C．8D．9二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
9．下列选项中，与sin（﹣）的值相等的是（）A．2sin15°sin75°B．cos18°cos42°﹣sin18°sin42°C．2cos215°﹣1D．10．下列函数中，既是偶函数又是区间（1，+∞）上的增函数有（）A．y＝3|x|+1B．y＝ln（x+1）+ln（x﹣1）C．y＝x2+2D．11．函数f（x）＝3sin（2x+φ）的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（）A．f（x）的最小正周期为πB．是f（x）的最小值C．f（x）在区间上的值域为D．把函数y＝f（x）的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数y＝3sin2x的图象12．若6b＝3，6a＝2，则（）A．＞1B．ab＜C．a2+b2＜D．b﹣a＞三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
湖北省荆州市荆州中学2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题
(1)设 f1(x) log4 x ， f2 (x) log1 x ， a 2 ， b 1，生成函数 h(x) .若不等式 4
2
2 h x
3h (x ) t
0
在
x 4,16 上有解，求实数 t
的取值范围；
(2)设函数 g1(x) log3 (9 x1 1) ， g2 (x) x 1，是否能够生成一个函数 h(x) .且同时满足：
C． b c a
D． c b a
二多选题
9．下列说法错误的是（ ）
A． 330 与 750 的终边相同
B． 120 化成弧度是 5 π 6
C．经过 4 小时时针转了120
D．若角 与 终边关于 y 轴对称，则 π 2kπ ， k Z
2
10．已知 cos
3 5
，
π 2
, 0
，则（
mf
( x)
1
0
恒成立，则实数 m (,1]
C．函数
y
f
(x)
在[π, a] 内有
5
个零点，则 a
4 3
,11 6
D．若 F(x) f (x) 在[0, nπ] n N* 上恰有 2024 个零点，则 n 2024
12．已知定义在 R 上的函数 f (x) ，对任意的 x, y R ，都有 f (x y) f (x y) 2 f (x) f ( y) ，
．
15．函数 y log8x cosx 的零点个数为
.
16．已知定义在 R 上的函数 f x 满足， f x1 x2 f x1 f x2 ，且当 x 0 时，
f x 0 ， f 1 1，则关于 x 的不等式 21 f x 21 f x 2 f x2 7 的解集为
2022-2023学年陕西省西安市长安区高一上学期期末数学试题【含答案】
2022-2023学年陕西省西安市长安区高一上学期期末数学试题一、单选题1．若集合{2},{1<<1}x M yy N x x ===-∣∣，则M N ⋂=（）A ．(0,)+∞B ．(0,1)C ．∅D ．(1,1)-【答案】B【分析】解出集合M ，根据集合交集的运算即可求解.【详解】{2}{>0}x M y y y y ===∣∣,{}01M N x x ⋂=<<.故选：B2．“sin 0θ<且tan 0θ<”是“θ为第三象限角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D【分析】求出sin 0θ<且tan 0θ<时θ所在象限，再根据充分必要条件的概念判断．【详解】因为sin 0θ<且tan 0θ<，由任意角的三角函数可知，θ为第四象限角，所以“sin 0θ<且tan 0θ<”是“θ为第三象限角”的既不充分也不必要条件，故选：D.3．若tan 2θ=-，则sin 2θ=（）A ．25-B ．45-C ．25D ．45【答案】B【分析】根据二倍角公式和同角三角函数的关系，222sin cos sin 2sin cos θθθθθ⋅=+，再进行“弦化切”即可代值求解.【详解】()()2222222sin cos 2tan 4sin 2sin cos tan 1521θθθθθθθ⨯-⋅====-++-+.故选：B.4．已知命题3:,sin cos 2p x x x ∃∈+=R ；命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥，则下列命题中为真命题的是（）A ．p q ∧B ．p q ⌝∧C ．p q ∧⌝D ．()p q ⌝∨【答案】B【分析】分别判断出命题p 和q 的真假，即可逐个选项进行判断.【详解】命题3:,sin cos 2p x x x ∃∈+=R 是特称命题，因π3sin +cos 2sin 42x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭时，π32sin 144x ⎛⎫+=> ⎪⎝⎭，无解，所以命题p 是假命题；命题:q x ∀∈R ﹐||e 1x ≥是全称命题，因0x ≥，所以||0e e 1x ≥=，所以命题q 是真命题.所以p ⌝是真命题，q ⌝是假命题，所以p q ∧是假命题，p q ⌝∧是真命题，p q ∧⌝是假命题，()p q ⌝∨是假命题.故选：B5．已知0.13121log 2,log 5,()3a b c -===，则（）A ．a b c >>B ．a c b>>C ．c a b>>D ．c b a>>【答案】C【分析】利用中间值0和1进行比较即可.【详解】333log 1log 2log 3<<，所以01a <<，1122log 5log 1<，所以0b <，0.1011()()33->，所以1c >，所以c a b >>.故选：C.6．某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为A ．2p q+B ．(1)(1)12p q ++-C ．pq D ．(1)(1)1p q ++-【答案】D【详解】试题分析：设这两年年平均增长率为x ，因此2(1)(1)(1)p q x ++=+解得(1)(1)1x p q =++-．【解析】函数模型的应用．7．已知正实数,x y 满足2212,xy x y =+-则x y +的最大值是（）A ．24B ．12C ．43D ．23【答案】C【分析】设x y t +=，则y t x =-，代入已知等式，化为关于x 的方程，由判别式非负，解得t 的最大值.【详解】设x y t +=，则y t x =-，因为2212xy x y =+-，所以22()()120x t x x t x +----=，即：2233120x tx t -+-=，所以222912(12)31440t t t ∆=--=-+≥，解得：4343t -≤≤，又因为x ，y 为正实数，所以043t <≤，所以x y +的最大值为43.故选：C.8．幂函数y x α=，当α取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点(1,0),(0,1)A B 连接AB ，线段AB 恰好被其中的两个幂函数,a b y x y x ==的图像三等分，即BM =MN =NA ,那么ab =（）A ．13B ．.2C ．1D ．12【答案】C【分析】求出M 、N 的坐标，分别带入函数解析式即可求得a 、b ，然后根据换底公式可得.【详解】因为M 、N 为线段AB 的三等分点，易得1221(,),,)3333M N （，分别带入,a b y x y x ==得1221(),()3333a b ==，解得123321log ,log 33a b ==，所以123321lglg2133log log 11233lg lg 33ab =⨯=⨯=.故选：C9．已知函数()22,01,04x x f x x x x⎧≤⎪=⎨+>⎪⎩，则关于x 的方程23()7()20f x f x -+=实数解的个数为（）A ．4B ．5C ．3D ．2【答案】A【分析】由23()7()20f x f x -+=解得()13f x =或2，再画出()f x ，2y =，13y =的图象数交点个数即可.【详解】因为23()7()20f x f x -+=，解之得()13f x =或2，当0x ≤时，()0f x ≥；当0x >时，()211111124442x f x x x x x x +⎛⎫==+≥⨯⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当1x =时等号成立，所以()f x ，2y =，13y =的图象如图：由图可知使得()13f x =或()2f x =的点有4个.故选：A.10．定义在R 上的偶函数()f x 满足(1)()0f x f x ++=，当[3,4]x ∈时，()3f x x =-，则（）A ．11(sin )(cos )33f f <B ．33(sin )(cos )22f f >C ．(sin 2)(cos 2)f f >D ．(sin1)(cos1)f f <【答案】D【分析】根据题意，由条件可得()f x 的周期为2，然后结合偶函数的性质可得[]0,1x ∈时的解析式，再由其单调性即可得到结果.【详解】因为函数()f x 满足(1)()0f x f x ++=，则()()()()122f x f x f x f x =-+=--+=+⎡⎤⎣⎦，所以()f x 的周期为2，且()f x 是偶函数，当[3,4]x ∈时，()3f x x =-，设[]0,1x ∈，则[]43,4x -∈，所以()()()44431f x f x f x x x =-=-=--=-，所以()f x 在[]0,1上单调递减，因为[]11sin ,cos 0,133∈，且11sin cos 33<，所以11(sin )(cos )33f f >，故A 错误；因为[]33sin ,cos 0,122∈，且33sin cos 22>，所以3(sin )(cos )322f f <，故B 错误；因为[]sin 20,1∈，πππcos 2cos 2sin 2222⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=-- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，且()f x 为偶函数，则()ππcos 2sin 2sin 222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，且[]πsin 20,12⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，πsin 2sin 22⎛⎫>- ⎪⎝⎭，所以(sin 2)(cos 2)f f <，故C 错误；因为[]sin1,cos10,1∈，且sin1cos1>，所以(sin1)(cos1)f f <，故D 正确；故选:D二、多选题11．下列函数中既是偶函数，又在()0,∞+上单调递减的是（）A ．2log y x =B ．2y x-=C ．1y x=D ．23y x=【答案】BC【分析】根据函数奇偶性的定义以及基本初等函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项.【详解】对于A 选项，函数2log y x =的定义域为()0,∞+，该函数为非奇非偶函数，A 不满足条件；对于B 选项，函数221y x x -==的定义域为{}0x x ≠，设()121f x x=，则()()()112211f x f x x x -===-，该函数为偶函数，且函数2y x -=在()0,∞+上为减函数，B 满足条件；对于C 选项，函数1y x=的定义域为{}0x x ≠，设()21f x x =，则()()2211f x f x x x-===-，该函数为偶函数，当0x >时，1y x=，则函数1y x =在()0,∞+上为减函数，C 满足条件；对于D 选项，函数2323y x x ==的定义域为R ，设()323f x x =，则()()()232333f x x x f x -=-==，该函数为偶函数，函数23y x =在()0,∞+上为增函数，D 不满足条件.故选：BC.12．若x y >，则（）A ．ln(1)0x y -+>B ．11x y<C ．33x y >D ．x y>【答案】AC【分析】利用指对数函数的单调性判断AC ；举例说明判断BD 作答.【详解】由x y >知，11x y -+>，则ln(1)0x y -+>，A 正确；取x 1,y 2==-满足x y >，此时11x y>，x y <，BD 错误；由x y >，得33x y >，C 正确.故选：AC13．函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图象关于π(,0)3中心对称，则（）A ．()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；B ．()y f x =在区间π[0,]2的最小值是32-；C ．直线5π12x =-是()f x 图像的一条对称轴；D ．3(π)62f =【答案】BCD【分析】利用函数的对称中心得到π3ϕ=，然后根据正弦函数的图象和性质逐项判断即可求解.【详解】因为函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图象关于π(,0)3中心对称，所以π2π()sin()033f ϕ=+=，又因为0πϕ<<，所以π3ϕ=，则函数π()sin(2)3f x x =+，对于A ，因为5π(0,)12x ∈，所以ππ7π2(,)336x +∈，所以函数()y f x =在5π0,12⎛⎫⎪⎝⎭先增后减，故选项A 错误；对于B ，因为π[0,]2x ∈，所以ππ4π2[,]323x +∈，当π4π233x +=时，函数取最小值32-，故选项B 正确；对于C ，函数π()sin(2)3f x x =+，因为5πππ()sin[2)]sin()11232f x =⨯+=-=-（-，所以直线5π12x =-是()f x 图像的一条对称轴，故选项C 正确；对于D ，函数π()sin(2)3f x x =+，则函数πππ2π3()sin(2)sin 66332f =⨯+==，故选项D 正确；故选：BCD.14．设函数22,0;()log ,0.xx f x x x -⎧≤⎪=⎨>⎪⎩函数()()=-g x f x k ，若()g x 有三个不同的零点123,,x x x ，且满足123x x x <<，则下列说法正确的有（）A ．321x x =B ．233x x +的取值范围是13[2∞+，）C ．1k >D ．233x x +的取值范围是[23∞+，）【答案】AB【分析】利用函数()f x 与y k =的图象可判断C ；直接解方程2log x k =求出23,x x 可判断A ；表示出233x x +，233x x +，换元后利用对勾函数的单调性求最小值，即可判断BD.【详解】因为()g x 有三个不同的零点，所以函数()f x 与y k =有三个交点，由图可知，1k ≥，故C 错误；令2log x k =2log x k =，即2log x k =±，解得232,2k kx x -==，显然321x x =，故A 正确；因为1k ≥，所以22k ≥，令2k t =，则2311323233()3k ky x x t t t t-=+=+⋅=+=+，由对勾函数性质可知，上述函数在3[,)3+∞上单调递增，所以在[2,)+∞，所以当2x =时，23min113(3)3(2)62x x +=+=，B 正确；令2k t =，则2333322k ky x x t t-=+=⋅+=+，由对勾函数性质可知，上述函数在[3,)+∞上单调递增，所以在[2,)+∞，所以当2x =时，23min 37(3)222x x +=+=，故D 错误.故选：AB三、填空题15．sin 660︒=______．【答案】32-【分析】直接由诱导公式化简为sin 60-︒，即可得出答案．【详解】3sin 660sin(236060)sin(60)sin 602︒=⨯︒-︒=-︒=-︒=-，故答案为：32-．16．已知函数()2f x 的定义域为1[,2]2，则函数()2f x 的定义域为______.【答案】[][]2,11,2-- 【分析】由1[,2]2x ∈，可知124x ≤≤，再解关于x 的不等式214x ≤≤即可.【详解】因为1[,2]2x ∈，即122x ≤≤，所以124x ≤≤，所以214x ≤≤，所以[][]2,11,2x ∈--⋃.故答案为：[][]2,11,2-- .17．已知关于x 的方程2220x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，则实数k 的取值范围为______.【答案】()2,1--【分析】构造函数22()2f x x kx k k =+++-，利用一根大于2，一根小于2，根据二次函数的性质建立不等式(2)0f <，解不等式即可求实数k 的取值范围．【详解】关于x 的方程2220x kx k k +++-=有两个实数根，且一根大于2，一根小于2，构造函数22()2f x x kx k k =+++-，∵一根大于2，一根小于2，∴(2)0f <，∴24220k k k +++-<，解得2<<1x --.则k 的取值范围是()2,1--.故答案为：()2,1--.18．已知函数()y f x =是定义在[1,1]-上的奇函数，且()11f =，若()(),[1,1],00,f m f n m n m n m n+∈-+≠>+时，()222f x t at ≤--不等式对所有的[1,1],[1,1]x a ∈-∈-恒成立，则实数t 的取值范围是______.【答案】(][),33,∞∞--⋃+【分析】可以消元转换的策略，先消去一个变量，易得()f x 在[1,1]-上单调递增，所以()f x 在[-1，1]上最大值是(1)1f =，问题可转化为2221t at --≥对于所有的[]1,1a ∈-恒成立，令2()23g a ta t =-+-，只需()()1010g g ⎧-≥⎪⎨≥⎪⎩，解不等式即可.【详解】因为()f x 为奇函数且m ，[1,1]n ∈-，0m n +≠，所以()()()()0()f m f n f m f n m n m n +--=>+--，所以()f x 在[1,1]-上单调递增，所以max ()(1)1f x f ==，又因为2()22f x t at ≤--对于所有的[][]1,1,1,1x a ∈-∈-恒成立，所以2max ()22f x t at ≤--对于所有的[]1,1a ∈-恒成立，即2221t at --≥对于所有的[]1,1a ∈-恒成立，即2230t at --≥对于所有的[]1,1a ∈-恒成立，令2()23g a ta t =-+-，所以只需满足22(1)0230(1)0230g t t g t t -≥⎧+-≥⎧⇒⎨⎨≥-+-≥⎩⎩，解得3t £-或3t ≥．故答案为：(,3][3,)-∞-+∞ .四、解答题19．（1）已知角α顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点13(,)22P -，求cos tan(π)sin(π)cos(5π)αααα+⋅--的值.（2）计算：()321lg5lg8lg1000(lg 332)lg lg0.++++【答案】（1）2；（2）2【分析】（1）运用诱导公式化简及角α终边经过点(,)P x y ，则22cos x x y α=+公式代入计算即可.（2）运用对数运算公式计算即可.【详解】解析：（1）因为角α终边经过点13(,)22P -，所以221cos 2x x y α==-+，所以原式cos tan sin 12sin cos sin cos cos αααααααα=⋅=-=-=-.（2）()()231lg5lg8lg1000lg2lg lg0.33++++()()2lg53lg233lg2lg3lg31=++-+-()()23lg5lg23lg53lg213lg2lg5lg23lg51=⨯++-=++-()3lg23lg513lg2lg512=+-=+-=.20．已知函数()223f x x bx =-+，R b ∈.(1)若关于x 的不等式()0f x >对一切实数x 都成立，求b 的取值范围；(2)当[]1,2x ∈-时，函数()f x 的最小值为1，求b 值.【答案】(1)33b -<<(2)32b =-或2b =.【分析】（1）将问题转化为()min 0f x >，由二次函数在对称轴处取得最值可得230b ->，解不等式即可.（2）分别讨论1b ≤-、2b ≥、12b -<<时二次函数()f x 在[]1,2-上的单调性进而得其最小值，结合已知条件解方程即可.【详解】（1）因为()2230f x x bx =-+>恒成立，所以()min 0f x >，当且仅当x b =时，()f x 取最小值为()222233f b b b b =-+=-，所以()0f b >，即：230b ->，解得33b -<<.故b 的取值范围为33b -<<.（2）因为()223f x x bx =-+是二次函数，图像抛物线开口向上，对称轴为x b =，①若1b ≤-，则()f x 在[]1,2-上单调递增，∴()()min 1421f x f b =-=+=，解得32b =-；②若2b ≥，则()f x 在[]1,2-上单调递减，∴()()min 2741f x f b ==-=，解得32b =（舍）；③若12b -<<，则()f x 在[]1,b -上单调递减，在(],2b 上单调递增，∴()()2min 31f x f b b ==-=，解得2b =或2b =-（舍）；综上，32b =-或2b =.21．已知函数()2π3cos cos 3cos 64f x x x x ⎛⎫=⋅--+ ⎪⎝⎭，x ∈R .(1)求()f x 的最小正周期；(2)求()f x 在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【答案】(1)πT =(2)最大值为14，最小值为12-.【分析】（1）由三角函数恒等变换的应用可得1π()sin 223f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，利用正弦函数的周期性可求最小正周期T .（2）通过64ππx -<<，求得3622πππx 3-<-<，再利用正弦函数的性质可求最值.【详解】（1）由已知，有()2133cos (sin cos )3cos 224f x x x x x =⋅+-+2133sin cos cos 224x x x =⋅-+()133sin21cos2444x x =-++131πsin2cos2sin(2)4423x x x =-=-.所以，()f x 的最小正周期2ππ2T ==.（2）ππ[,]64x ∈-时，π2ππ2,336x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当ππ236x -=，即π4x =时，()f x 取到最大值14，当ππ232x -=-，即π12x =-时，()f x 取到最小值12-.所以，函数()f x 在闭区间π[0,]2上的最大值为14，最小值为12-.22．已知函数(),0;2,0.x x a x f x x ⎧+≥=⎨<⎩其中R a ∈.(1)若1a =-，解不等式()14f x ≥；(2)设0a >，()21log g x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，若对任意的1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，函数()g x 在区间[],2t t +上的最大值和最小值的差不超过1，求实数a 的取值范围.【答案】(1)352,,44x ⎡⎤⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭(2)65a ≥【分析】（1）分类讨论解分段函数不等式即可.（2）由对数型函数的单调性可得()g x 在[],2t t +单调递减，进而运用对数运算公式及对数型函数单调性将问题转化为求()22t a t t -≥+在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，即求()max22t t t ⎡⎤-⎢⎥+⎣⎦，运用换元法及对勾函数的单调性可求得结果.【详解】（1）1a =-时，()1,02,0x x x f x x ⎧-≥=⎨<⎩当0x ≥时，()114f x x =-≥，解得54x ≥或34x ≤，所以350,,44x ⎡⎤⎡⎫∈+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ ；当0x <时，()124x f x =≥，2x ≥-，所以[)2,0x ∈-.综上，352,,44x ⎡⎤⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.（2）因为0a >，[],2x t t ∈+，所以()2211log log g x f a x x ⎛⎫⎛⎫==+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭在[],2t t +单调递减，所以()()()()22max min 112log log 12g x g x g t g t a a t t ⎛⎫⎛⎫-=-+=+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，即：222111log 1log log 222a a a t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤++=+ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以1122a a t t ⎛⎫+≤+ ⎪+⎝⎭，所以()12222t a t t t t -≥-=++在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，所以()max22t a t t ⎡⎤-≥⎢⎥+⎣⎦，1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令320,2m t ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦，则()()()()2222468t m m h m t t m m m m -===+---+，①当0m =时，()0h m =，②当30,2m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()186h m m m=+-，又因为86y m m =+-在30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上递减，所以8316566236m m +-≥+-=，所以()60,5h m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上，max 6()5h m =.所以65a ≥.23．对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[],m n D ⊆，同时满足：①()f x 在[],m n 内是单调函数；②当定义域是[],m n 时，()f x 的值域也是[],m n ，则称[],m n 是该函数的“优美区间”．(1)写出函数()212f x x =的一个“优美区间”；(2)求证：函数()64g x x=+不存在“优美区间”；(3)已知函数()()()221R,0a a x y h x a a a x +-==∈≠有“优美区间”[],m n ，当a 变化时，求出n m -的最大值．【答案】(1)[0,2](2)答案见解析(3)233【分析】（1）结合“优美区间”的定义，即可写出函数()212f x x =的一个“优美区间”；（2）若函数存在“优美区间”，可得函数()g x 在[,]m n 上单调递减，从而可得()()g m n g n m=⎧⎨=⎩，联立可推出矛盾，即可证明结论；（3）函数()h x 有“优美区间”，结合单调性可得()()h m m h n n=⎧⎨=⎩，说明,m n 是方程222()10a x a a x -++=的两个同号且不等的实数根，结合根与系数的关系可求得,m n 的关系，进而可求得n m -的最大值．【详解】（1）[0,2]是21()2f x x =的一个“优美区间”，证明如下：212y x =在区间[0,2]上单调递增，又(0)0f =，(2)2f =，∴212y x =的值域为[0,2]，∴[0,2]是21()2f x x =的一个“优美区间”．（2）设[,]m n 是函数()g x 的定义域的子集．由0x ≠，可得[,](,0)m n ∞⊆-或[,](0,)m n ∞⊆+，∴函数6()4g x x=+在[,]m n 上单调递减．若[,]m n 是函数()g x 的“优美区间”，则6464n m m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得，66n m m n-=-，则6()n m n m mn -=-，6,6,n m mn n m >∴=∴=，则664m m+=，显然等式不成立，∴函数6()4g x x =+不存在“优美区间”．（3）()h x 的定义域为{|0}x x ≠，[,]m n 是函数()h x 的定义域的子集，则[,](,0)m n ∞⊆-或[,](0,)m n ∞⊆+，而函数()()222111a a x y xh x a a x a a +-==+=-在[,]m n 上单调递增，若[,]m n 是函数()h x 的“优美区间”，则()()h m m h n n=⎧⎨=⎩，∴,m n 是方程211a x a a x +-=，即222()10a x a a x -++=的两个同号且不等的实数根．210mn a=> ，∴,m n 同号，只需2222()4(3)(1)0a a a a a a ∆=+-=+->，解得1a >或3a <-，211,a m n mn a a++== ，n m >，22222142114()413333a n m m n mn a a a a a +⎛⎫⎛⎫∴-=+-=-=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴当3a =时，n m -取得最大值233．。
2023-2024学年广东省深圳市高一上学期期末质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年广东省深圳市高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合{}24xA x =>，{}ln 1B x x =<，则集合A B = （）A ．(,e)-∞B ．(2,e)C ．(,1)-∞D ．(0,2)【正确答案】B【分析】解不等式求得集合A 、B ，由此求得A B ⋂.【详解】()224222,x x A >=⇒>⇒=+∞，()ln 1ln e 0e 0,e x x B <=⇒<<⇒=，所以()2,e A B ⋂=.故选：B2．记0cos(80)k -=，那么0tan100=A ．kB ．k-C D ．【正确答案】B【详解】()cos 80k -= ,cos80k ∴= ,从而sin80==sin 80tan 80cos80∴==，那么tan100tan(18080)tan 80=-=-=故选B ．3．使不等式101x<<成立的一个充分不必要条件是（）.A ．102x <<B ．1x >C ．2x >D ．0x <【正确答案】C解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件．【详解】解：不等式101x<<，∴011x x>⎧⎪⎨<⎪⎩，解得1x >，故不等式的解集为：(1,)+∞，则其一个充分不必要条件可以是2x >，故选：C ．本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．4．下列函数是偶函数且在区间(–),0∞上为减函数的是（）A ．2y x =B ．1y x=C ．y x =D ．2y x =-【正确答案】C根据解析式判断各个选项中函数的奇偶性和单调性可得答案.【详解】2y x =不是偶函数；1y x=不是偶函数；y x =是偶函数，且函数在(),0∞－上是减函数，所以该项正确；2y x =-是二次函数，是偶函数，且在(–),0∞上是增函数，故选：C.5．将函数2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移3π个单位，所得函数图象的一条对称轴是（）A ．3x π=B ．6x π=C ．23x π=D ．x π=【正确答案】D【分析】根据三角形函数图像变换和解析式的关系即可求出变换后函数解析式，从而根据余弦函数图像的性质可求其对称轴.【详解】将函数2cos 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，则函数解析式变为2cos 3y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；向左平移3π个单位得2cos 2cos 33y x x ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，由余弦函数的性质可知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，故对称轴为：x k π=，k ∈Z ，k ＝1时，x π=.故选：D.6．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“>”和“<”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若实数1331,3x y x y ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，则3131x y x y +--的最小值为（）A ．6B ．4C ．3D ．2【正确答案】A 【分析】将3131x y x y +--分离常数为112131x y ++--，由1331,3x y x y ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，可得1311x y -+-=，且10x ->，310y ->，再结合基本不等式求解即可.【详解】由311311112131131131x y x y x y x y x y -+-++=+=++------，又1331,3x y x y ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，所以1311x y -+-=，且10x ->，310y ->，所以()11111311311124131131311x y x y x y x y y x ⎛⎫--+=-+-+=+++≥+= ⎪------⎝⎭，当且仅当131311x y y x --=--，即32x =，12y =时，等号成立，故3131x y x y +--的最小值为6.故选：A.7．已知函数||()2x f x =，记131(())4a f =，37(log 2b f =，13(log 5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．c a b>>【正确答案】A首先判断函数()f x 的性质，再比较133317,log ,log 542⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系，从而利用单调性比较a ，b ，c 的大小关系.【详解】()2xf x =是偶函数，并且当0x >时，2x y =是增函数，()133log 5log 5c f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为1310()14<<，3371log log 52<<，即1333170log log 542⎛⎫<<< ⎪⎝⎭又因为()y f x =在()0,∞+是增函数，所以a b c <<.故选：A.关键点点睛：本题考查利用函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小，本题的关键是判断函数()2x f x =的性质，后面的问题迎刃而解.8．如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在（0，1），此时圆上一点P 的位置在（0，0），圆在x 轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于（2，1）时，点Р的坐标为（）A ．()2cos 2,1sin 2--B ．()1sin 2,2cos 2--C ．()1cos 2,2sin 2--D ．()2sin 2,1cos 2--【正确答案】D【分析】如图，根据题意可得22BAP π∠=-，利用三角函数的定义和诱导公式求出cos 2sin 2DP DA =-=，，进而得出结果.【详解】如图，由题意知， 2BPOB ==，因为圆的半径1R =，所以22DAP π∠=-，所以sin(2)cos 2cos(2)sin 222DP AP DA AP ππ=-=-=-=，，所以2sin 21cos 2OC PC =-=-，，即点(2sin 2,1cos 2)P --.故选：D 二、多选题9．下列函数中，在（0，+∞）上的值域是（0，+∞）的是（）A ．12y x =B ．y ＝x 2﹣2x +1C ．3y x=D ．3y x =【正确答案】ACD【分析】先判断函数的单调性，再求每个函数的值域得解.【详解】解：A.12y x =在（0，+∞）上是增函数，所以函数的值域为（0，+∞），所以该选项正确；B.y ＝x 2﹣2x +1在（0，+∞）上的值域是[0,)+∞，所以该选项错误；C.3y x=在（0，+∞）上是减函数，所以函数的值域为（0，+∞），所以该选项正确；D.3y x =在（0，+∞）上是增函数，所以函数的值域为（0，+∞），所以该选项正确.故选：ACD10．下列各式的值为1的是（）A ．tan20tan25tan20tan251+-B ．13661log 27log 88-⎛⎫+- ⎪⎝⎭C ．sin72cos18cos108sin18-D ．22cos 2251⋅- 【正确答案】BC【分析】根据两角和的正切公式、诱导公式、两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式，结合指数和对数的运算性质逐一判断即可.【详解】()tan20tan25tan20tan25tan 2025tan451,A tan20tan2511tan20tan25++=-=-+=-=---错误；()1366666661log 27log 83log 33log 223log 3log 223log 621,B8-⎛⎫+-=+-=+-=-= ⎪⎝⎭对；()sin72cos18cos108sin18sin72cos18cos72sin18sin 7218sin901,C -=+=+== 对；22cos 22.51cos452-==，D 错误.故选：BC.11．下列说法正确的是（）A ．()f x x =与()ln e xg x =为同一函数B ．已知a ，b 为非零实数，且a b >，则2211ab a b>恒成立C ．若等式的左、右两边都有意义，则442sin cos 2sin 1ααα-=-恒成立D ．关于函数()2311x f x x =+-有两个零点，且其中一个零点在区间()1,2【正确答案】ABCD【分析】根据题意，分别利用函数的概念，不等式的性质，同角三角函数的基本关系和零点存在性定理逐项进行检验即可判断.【详解】对于A ，因为函数()f x x =与()ln e xg x x ==的定义域相同，对应法则相同，所以是同一个函数，故选项A 正确；对于B ，因为a ，b 为非零实数，且a b >，所以2222110a b ab a b a b --=>，故选项B 成立；对于C ，因为442222sin cos (sin cos )(sin cos )αααααα-=+-222sin cos 2sin 1ααα=-=-，故选项C 正确；对于D ，因为函数2()311x f x x =+-的零点个数等价于()3x g x =与2()11h x x =-图象交点的个数，作出图象易知，交点的个数为2，且(1)3(1)10g h =<=，(2)9(2)7g h =>=，所以函数2()311x f x x =+-有两个零点，且其中一个在(1,2)上，故选项D 正确，故选.ABCD12．已知函数2()1f x x mx =+-，则下列说法中正确的是（）A ．若12,x x 为方程()6f x =-的两实数根，且21123x x x x +=，则5m =±B ．若方程()2f x =-的两实数根都在(0,2)，则实数m 的取值范围是5(,2]2--C ．若(0,)∀∈+∞x ，2()2f x x <，则实数m 的取值范围是(2,2)-D ．若[],1x m m ∀∈+，()0f x <，则实数m的取值范围是(2-【正确答案】ABD【分析】对于A ，由已知结合方程的根与系数关系可求；对于B ，结合二次方程的实根分布可求；对于C ，由已知不等式分离参数可得1m x x<+，然后结合基本不等式可求；对于D ，由已知结合二次函数的性质可求.【详解】对于A ，因为12,x x 为方程()6f x =-的两实数根，即12,x x 是方程250x mx ++=的两实数根，所以满足12125x x mx x +=-⎧⎨⋅=⎩，因为222112121212()2()2535x x x x x x m x x x x +---⨯+===，则5m =±，此时2450m ∆=-⨯>，故A 正确；对于B ，因为方程()2f x =-的两实数根都在(0,2)，即方程210x mx ++=的两实数根都在(0,2)，所以需满足2220224000102210m m m m ⎧<-<⎪⎪⎪-⎨⎪+⋅+>⎪+⋅+>⎪⎩，可得522m -<-，故B 正确；对于C ，因为(0,)∀∈+∞x ，2()2f x x <，则210x mx -+>，即1m x x<+，因为12x x +，则2m <，故C 错误；对于D ，因为2()1f x x mx =+-图像开口向上，[x m ∀∈，1]m +，都有()0f x <，所以()0(1)0f m f m <⎧⎨+<⎩，即22210(1)(1)10m m m m ⎧-<⎨+-+-<⎩，解得02m -<<，故D 正确.故选：ABD.三、填空题13．已知函数()21f x x -=，则()2f -=__________.【正确答案】12-##0.5-【分析】令212x -=-求出x 的值，即为结果.【详解】令212x -=-，得12x =-，所以()122f -=-.故12-14．函数()lg sin y x =________.【正确答案】|22,3x k x k k Z πππ⎧⎫<≤+∈⎨⎬⎩⎭由题意得sin 01cos 02x x >⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得即可.【详解】由题意，要使函数有意义，则sin 01cos 02x x >⎧⎪⎨-≥⎪⎩，即sin 01cos 2x x >⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得()()22,22,33k x k k Z k x k k Z πππππππ⎧<<+∈⎪⎨-+≤≤+∈⎪⎩，所以()223k x k k Z πππ<≤+∈所以函数的定义域为|22,3x k x k k Z πππ⎧⎫<≤+∈⎨⎬⎩⎭.故答案为.|22,3x k x k k Z πππ⎧⎫<≤+∈⎨⎬⎩⎭本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题.15．已知()1sin 22f x x =，关于该函数有下列四个说法：①()f x 的最小正周期为2π；②()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增；③当,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()f x 的取值范围为44⎡-⎢⎥⎣⎦；④()f x 的图象可由()1sin 224g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移8π个单位长度得到．以上四个说法中，正确的有为______．【正确答案】②【分析】根据三角函数的图象与性质，以及变换法则即可判断各说法的真假．【详解】解：因为1()sin 22f x x =，所以()f x 的最小正周期为2ππ2T ==，故①不正确；因为ππ,44x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，令ππ2,22t x ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦，而1sin 2y t =在ππ,22⎡⎤-⎢⎣⎦上递增，所以()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，故②正确；因为,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以π2π2,33x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，sin 2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以()12f x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故③不正确；由于1π1πg()sin(2sin 22428x x x ⎡⎤⎛⎫=+=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 的图象可由1πg()sin(2)24x x =+的图象向右平移π8个单位长度得到，故④不正确．故②．16．函数()(||2)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为1-，最大值是3，则n m -的最大值为__________.【正确答案】4【分析】将函数写成分段函数，画出函数图象，分别求出()3f x =和()1f x =-()0x <时自变量的值，结合图象得到n m -的最大值.【详解】解：函数()(2),0()2(2),0x x x f x x x x x x -≥⎧=-=⎨--<⎩的图象如下，当0x ≥时，令(2)3x x -=，得11(x =-舍)，23x =，当0x <时，令(2)1x x --=-，得312x =--，412(x =-舍)，结合图象可得max 23()3(12)4 2.n m x x -=-=--=故42四、解答题17．完成下列计算，保留应有过程.(1)2sin 4cos 34?sin 34--=；(2)已知1sin cos 8αα=，且ππ42α<<，则cos sin ?αα-=；【正确答案】(1)3-(2)32【分析】（1）利用两角和差余弦公式和辅助角公式可化简分子为334- ，由此可得结果；（2）根据cos sin αα<，结合同角三角函数平方关系可求得结果.【详解】（1）33sin 442sin 4cos342sin 4cos30cos 4sin 30sin 422sin 34sin 34sin 34+----+==-()34303343sin 34sin 34+==-=-（2）∵ππ42α<<，则cos sin αα<，即cos sin 0αα-<，∴()213cos sin cos sin 12sin cos 142αααααα-=--=--=--=-.18．设x ∈R ，函数()cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-<< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且42f π⎛⎫= ⎪⎝⎭．(1)求ω和ϕ的值；(2)在给定坐标系中作出函数()f x 在[]0,π上的图像；(3)若()f x >x 的取值范围．【正确答案】(1)2ω=，3πϕ=-(2)作图见解析(3)7{|,Z}2424x k x k k ππππ+<<+∈【分析】（1）利用最小正周期和4f π⎛⎫ ⎪⎝⎭ωφ，即可；（2）利用列表，描点画出()f x 图像即可；（3）由余弦函数的图像和性质解不等式即可.【详解】（1）∵函数()f x 的最小正周期2T ππω==，∴2ω=．∵cos 2cos sin 442f πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且02πϕ-<<，∴3πϕ=-．（2）由（1）知()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，列表如下：x 06π512π23π1112ππ23x π-3π-02ππ32π53π()f x 1210－1012()f x 在[]0,π上的图像如图所示：（3）∵()f x >cos 232x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭，∴222()434k x k k πππππ-<-<+∈Z ，则7222()1212k x k k ππππ+<<+∈Z ，即7()2424k x k k ππππ+<<+∈Z ．∴x 的取值范围是7{|,Z}2424x k x k k ππππ+<<+∈19．已知2(2)f x x bx c =++，不等式()12f x <-的解集是(2,3).(1)求()f x 的解析式；(2)不等式组()0()0f x f x k >⎧⎨+<⎩的正整数解仅有2个，求实数k 取值范围；(3)若对于任意[1x ∈-，1]，不等式()2t f x ⋅恒成立，求t 的取值范围.【正确答案】(1)2()210f x x x=-(2)[3,2)--(3)11[,]46-【分析】（1）结合根与系数关系求得b ，c ；（2）根据不等式组()0()0f x f x k >⎧⎨+<⎩的正整数解仅有2个，可得到758k <-，即可求解；（3）对t 进行分类讨论，结合函数的单调性求得t 的取值范围.【详解】（1）因为2(2)f x x bx c =++，不等式()12f x <-的解集是(2,3)，所以2，3是一元二次方程22120x bx c +++=的两个实数根，可得23212232b c ⎧+=-⎪⎪⎨+⎪⨯=⎪⎩，解得100b c =-⎧⎨=⎩，所以2()210f x x x =-；（2）不等式()0()0f x f x k >⎧⎨+<⎩，即2221002()10()0x x x k x k ⎧->⎨+-+<⎩，解得5,05x x k x k><⎧⎨-<<-⎩，因为正整数解仅有2个，可得该正整数解为6､7，可得到758k <-，解得32k -<-，则实数k 取值范围是[3-，2)-；（3）因为对于任意[1x ∈-，1]，不等式()2t f x ⋅恒成立，所以2510tx tx --≤，当0=t 时，10-<恒成立；当0t >时，函数251y tx tx =--在[1x ∈-，1]上单调递减，所以只需满足()()()2115110f t t -=⋅--⋅--≤，解得106t <；当0t <时，函数251y tx tx =--在[1x ∈-，1]上单调递增，所以只需满足f （1）215110t t =⋅-⋅-≤，解得104t -<，综上，t 的取值范围是11[,]46-.20．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用，现有一个筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，如图，将该筒车抽象为圆O ，筒车上的盛水桶抽象为圆O 上的点P ，已知圆O 的半径为4m ，圆心O 距离水面2m ，且当圆O 上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间．(1)根据如图所示的直角坐标系，将点P 到水面的距离h （单位：m ，在水面下，h 为负数）表示为时间t （单位：s ）的函数，并求13t =时，点P 到水面的距离；(2)在点P 从0P 开始转动的一圈内，点P 到水面的距离不低于4m 的时间有多长？【正确答案】(1)()ππ4sin 266h t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，2m (2)4s【分析】（1）根据题意先求出筒车转动的角速度，从而求出h 关于时间t 的函数，和13t =时的函数值；（2）先确定定义域[]0,12t ∈，再求解不等式，得到26t ≤≤，从而求出答案.【详解】（1）筒车按逆时针方向匀速转动．每分钟转动5圈，故筒车每秒转动的角速度为52ππ606⨯=()rad /s ，故()ππ4sin 266h t t ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当13t =时，()13ππ134sin 2266h ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，故点P 到水面的距离为2m（2）点P 从0P 开始转动的一圈，所用时间012t =，令()ππ4sin 2466h t t ⎛⎫=-+≥ ⎪⎝⎭，其中[]0,12t ∈，解得：26t ≤≤，则624-=，故点P 到水面的距离不低于4m 的时间为4s.21．已知函数4()log (41)x f x kx =++与44()log (2)3x g x a a =⋅-，其中()f x 是偶函数．（Ⅰ）求实数k 的值；（Ⅱ）求函数()g x 的定义域；（Ⅲ）若函数()()()F x f x g x =-只有一个零点，求实数a 的取值范围．【正确答案】（Ⅰ）12k =-；（Ⅱ）分类讨论，答案见解析；（Ⅲ）{}()31,-⋃+∞．（Ⅰ）由偶函数的性质，运算即可得解；（Ⅱ）转化条件为4203x a a ⋅->，按照0a >、a<0分类，即可得解；（Ⅲ）由对数的运算性质转化条件得方程()()22421223x x x a a +=-⋅有且只有一个实根，换元后，结合一元二次方程根的分布即可得解.【详解】（Ⅰ）∵()f x 是偶函数，∴()()f x f x =-，∴44log (41)log (41)x x kx kx -++=+-，∴441log 241x x kx -+=-+，∴44(41)log 241x x x x kx +==-+，即(21)0k x +=对一切x R ∈恒成立，∴12k =-；（Ⅱ）要使函数()g x 有意义，需4203x a a ⋅->，当0a >时，423x >，解得24log 3x >，当a<0时，423x <，解得24log 3x <，综上可知，当0a >时，()g x 的定义域为24log ,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；当a<0时，()g x 的定义域为24,log 3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭；（Ⅲ）∵()()()F x f x g x =-4414log (41)log 223x x x a a ⎛⎫=+--⋅- ⎪⎝⎭只有一个零点，∴方程4414log (41)log 223x x x a a ⎛⎫+=+⋅- ⎪⎝⎭有且只有一个实根，即方程2444444log (41)log 4log 2log 2233xx x x x a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+⋅-=⋅- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦有且只有一个实根，亦即方程()()22421223x x x a a +=-⋅有且只有一个实根，令2x t =（0t >），则方程24(1)103a a t t ---=有且只有一个正根，①当1a =时，34t =-，不合题意；②当1a ≠时，因为0不是方程的根，所以方程的两根异号或有两相等正根，由0∆=可得244(1)03a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，解得34a =或3-若34a =，则2t =-不合题意，舍去；若3a =-，则12t =满足条件；若方程有两根异号，则244(1)03101a a a ⎧⎛⎫∆=+->⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨-⎪<⎪-⎩，∴1a >，综上所述，实数a 的取值范围是{}()31,-⋃+∞.方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.22．截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突破人.疫情严峻，请同学们利用的数学模型解决生活中的实际问题.【主题一】【科学抗疫，新药研发】(1)我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c （t ）（单位：mg/L ）随着时间t （单位：h ）的变化用指数模型()0ktc t c e -=描述，假定某药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射这种新药后的初始血药含量02000mg /L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：ln 20.693≈，ln 3 1.099≈）A ．5.32h B ．6.23h C ．6.93h D ．7.52h【主题二】【及时隔离，避免感染】(2)为了抗击新冠，李沧区需要建造隔离房间．如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为48a 平方米()0a >，侧面长为x 米，且x 不超过8，房高为4米．房屋正面造价400元/平方米，侧面造价150元/平方米．如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低．【正确答案】(1)C(2)当01a <≤时，x =时总价最低；当1a >时，8x =时总价最低【分析】（1）利用已知条件0.10()e 2000e kt t c t c --==，求解指数不等式得答案．（2）根据题意表达出总造价()768001200,08a y x x x =+<≤，再根据基本不等式，结合对勾函数的性质分类讨论分析即可.【详解】（1）解：由题意得，0.10()e 2000e kt t c t c --==，设该药在病人体内的血药含量变为1000mg/L 时需要是时间为1t ，由10.11()2000e 1000t c t -=≥，得10.12e 1t -≥，故0.1ln 2t -≥-，ln 2 6.93h 0.1t ∴≤≈．∴该新药对病人有疗效的时长大约为6.93h ．故选：C ．（2）解：由题意，正面长为48a x 米，故总造价48400421504a y x x =⨯⨯+⨯⨯，即()768001200,08a y x x x=+<≤.由基本不等式有768001200a y x x =+≥，当且仅当768001200a x x =，即x =取等号.故当8≤，即1a ≤，x =当8>，即1a >时，由对勾函数的性质可得，8x =时总价最低；综上，当01a <≤时，x =时总价最低；当1a >时，8x =时总价最低.。
辽宁省沈阳市东北育才学校2022-2023学年高一上学期期末数学试题
2022-2023学年度上学期东北育才高中部高一数学期末考试试卷第I 卷（选择题，共60分）一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．已知集合(){},20A x y x y =+-=，(){},40B x y x y =--=，则A B = （）A ．()3,1-B ．{}3,1-C ．3x =，1y =-D ．(){}3,1-2．若,R a b ∈且0ab ≠.则2211a b >成立的一个充分非必要条件是（）A ．0a b >>B ．b a>C ．0b a <<D ．()0ab a b -<3．某中学举行运动会，有甲､乙､丙､丁四位同学参加100米短跑决赛，现将四位同学随机地安排在1,2,3,4这4个跑道上，每个跑道安排一名同学，则甲不在1跑道且乙不在4跑道的概率为（）A ．12B ．712C ．23D ．344．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知3,,AE EF AB a AD b === ，则AE =（）A ．1292525a b+ B ．16122525a b+C ．4355a b+D ．3455a b+5．命题“*R,N x n ∀∈∃∈，使得n x ≤”的否定形式是（）A ．*R,N x n ∀∈∃∈，使得n x >B ．R,N ,x n *∀∈∀∈都有n x >C ．*R,N x n ∃∈∃∈，使得n x>D ．R,N x n *∃∈∀∈，都有n x>6．我国著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直观，形无数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.函数()22411x x f x x ++=+的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．7．已知实数和b 满足20222023a =，20232022b =．则下列关系式中正确的是（）A ．22log log 1a b +<B ．2a b +<C ．221a b +<D ．224a b +<8．已知O 是ABC ∆内一点，且0OA OB OC ++=，点M 在OBC ∆内（不含边界），若AM AB AC λμ=+ ，则2λμ+的取值范围是A ．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,2C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9．已知a 为实数，0a ≠且1a ≠，函数1()1ax f x x -=-，则下列说法正确的是（）A ．当2a =时，函数()f x 的图像关于(1,2)中心对称B ．当1a >时，函数()f x 为减函数C ．函数1()y f x =图像关于直线y x =成轴对称图形D ．函数()f x 图像上任意不同两点的连线与x 轴有交点10．某次智力竞赛的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得10分，部分选对的得5分，有选错的得0分.”已知某选择题的正确答案是CD ，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会做，下列表述正确的是（）A ．甲同学仅随机选一个选项，能得5分的概率是12B ．乙同学仅随机选两个选项，能得10分的概率是16C ．丙同学随机选择选项，能得分的概率是15D ．丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是11011．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德､牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数．例如：[ 3.2]4-=-，[2.3]2=．已知函数21()122x x f x =-+，则关于函数()[()]g x f x =的叙述中正确的是（）A ．()f x 是奇函数B ．()f x 在R 上是增函数C ．()g x 是偶函数D ．()g x 的值域是{}1,0-12．已知函数()42log 4,0log ,0241,2x x f x x x x x ⎧+≤⎪=<≤⎨⎪-->⎩，若方程()f x a =有六个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 且123456x x x x x x <<<<<则下列说法正确的是（）A ．()0,1a ∈B ．12343x x x x ++⋅=-C ．()4122341624x x x x x ⎡⎤-++∈⎣⎦⋅D ．()63123,04x f x x x ⎛⎫∈- ⎪+⎝⎭第II 卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设命题p ：函数21()lg()16f x ax x a =-+的定义域是R ；命题q ：不等式39x x a -<对一切正实数x 均成立.如果命题p 和q 有且只有一个是真命题，则实数a 的取值范围是______.14．为了解某企业员工对党史的学习情况，对该企业员工进行问卷调查，已知他们的得分都处在A ，B ，C ，D 四个区间内，根据调查结果得到下面的统计图.已知该企业男员工占35，则下列结论中，正确结论的个数是______.①男、女员工得分在A 区间的占比相同；②在各得分区间男员工的人数都多于女员工的人数；③得分在C 区间的员工最多；④得分在D 区间的员工占总人数的20%.15．已知()33f x x x =+，x 为实数且满足8（r1）3−3≥3−6r1，则()f x 的最大值为___________．16．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积正好等于在两直角边上作出的正方形面积之和．现在对直角三角形CDE 按上述操作作图后，得如图所示的图形，若AF AB AD x y =+，则x y -=____________．四、解答题（本大题共70分。
安徽省六安2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题含答案
六安2023年秋学期高一年级期末考试数学试卷（答案在最后）时间：120分钟满分：150分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.1.已知命题P ：0x ∃∈R ，0302xx >，则它的否定形式为（）A.0x ∃∈R ，0302x x ≤ B.x ∀∈R ，32>x x C.0x R ∃∉，0302x x ≤ D.x ∀∈R ，32≤xx 【答案】D 【解析】【分析】根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“0:P x R ∃∈，0302xx >”的否定为：“:P x R ⌝∀∈，32≤x x ”.故选：D.2.π3α=是1cos 2α=的（）条件A.充要B.必要不充分C.充分不必要D.既不充分也不必要【答案】C 【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值判断充分性，通过举反例说明不满足必要性即可.【详解】若π3α=，故可得1cos 2α=，满足充分性；若π3α=-，显然满足1cos 2α=，但无法推出π3α=，故必要性不成立；故π3α=是1cos 2α=的充分不必要条件.故选：C .3.函数2()log f x x x =+的零点所在区间为（）A.10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭B.11,84⎛⎫ ⎪⎝⎭C.1,12⎛⎫⎪⎝⎭D.11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】根据()f x 的单调性，结合零点存在性定理，即可判断和选择.【详解】2,log y x y x ==在()0,+∞上都是单调增函数，故()y f x =在()0,+∞上是单调增函数；又21111log 308888f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，21111log 204444f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，21111log 102222f ⎛⎫=+=-< ⎪⎝⎭，()211log 110f =+=>；故()f x 的零点所在区间为1,12⎛⎫⎪⎝⎭.故选：C.4.设2log 0.3a =，0.3log 0.2b =，sin37c =︒，则a ，b ，c 之间的大小关系是（）A.a b c >>B.b a c>> C.c a b>> D.b c a>>【答案】D 【解析】【分析】通过三个数与0，1的关系即可解出.【详解】由题意，22log 0.3log 10a =<=，0.30.3log 0.2log 0.31b =>=，0sin 37sin 451c <=︒<︒<，∴01a c b <<<<.故选：D.5.函数()sin ln ||f x x x =⋅的大致图象是A. B.C. D.【解析】【详解】函数()=sin ln f x x x ⋅是奇函数，图像关于原点对称，故排除,A B 当2x =时，()2sin 2ln 20f =⨯>，故排除D 故选C点睛：已知函数的解析式判断函数图象的形状时，主要是按照排除法进行求解，可按照以下步骤进行：（1）求出函数的定义域，对图象进行排除；（2）判断函数的奇偶性、单调性，对图象进行排除；（3）根据函数图象的变化趋势判断；（4）当以上方法还不能判断出图象时，再选取一些特殊点，根据特殊点处的函数值进行判断．6.若43m =，则3log 12=（）A.1m m+ B.21m m+ C.2m m+ D.212m m+【答案】A 【解析】【分析】指数式化为对数式，进而利用换底公式及对数运算公式进行求解.【详解】由43m=得：4log 3m =，则334111log 121log 411log 3m m m+=+=+=+=故选：A7.已知ABC 的外接圆圆心为O ，且2AO AB AC =+ ，OA AC = ，则向量BA 在向量BC上的投影向量为（）A.32BC B.34BC uu u r C.32BC-D.34BC - 【答案】B 【解析】【分析】根据题意得出BC 为外接圆的直径，且AOC 是等边三角形，从而求出向量BA 在向量BC上的投影向量.【详解】∵ABC 的外接圆的圆心为O ，且2AO AB AC =+，∴O 为BC 的中点，即BC 为外接圆的直径，∴90BAC ∠=︒．∵OA AC = ，∴AOC 是等边三角形.设D 为OC 的中点，则34BD BC =.∴向量BA 在向量BC上的投影向量为3cos 4BD BC BA ABC BC BC BC BC∠⋅=⋅=.故选:B.8.已知函数()cos ]2f x x π⎛⎫= ⎪⎝⎭，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，下列说法正确的是（）A.()f x 为偶函数B.()f x 的值域为{0,1}C.()f x 为周期函数，且最小正周期2T =D.()f x 与7|1og |l y x =-的图像恰有一个公共点【答案】D 【解析】【分析】利用特殊值排除AC ，根据余弦函数的性质可求出函数的值域进而判断B ，根据函数的值域判断D .【详解】对于A ，由于1cos 012f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，1πcos 022f ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以12f ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭12f ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以()y f x =不是偶函数，故A 错；对于B ，由于[]x 为整数，[]()ππZ 22x k k =⋅∈，而πcos 2k ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的值有0,1,1-三种情况，所以()f x 的值域为{}0,1,1-，故B 错误；对于C ，由于()[]()π1.1cos 1.1cos 12f π⎛⎫-=⨯-=-=-⎪⎝⎭，()[]π0.9cos 0.9cos 012f ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，()()1.10.9f f -≠，故C 错误；对于D ，由B 得(){}0,1,1f x ∈-，令7log 10x -=，得2x =或0x =，而()()2cos π1,0cos01f f ==-==不是公共点的横坐标.令7log 11x -=，得8x =或6x =-，而()()()8cos 4π1,6cos 3πcos π1f f ==-=-==-，所以()8,1是两个函数图像的一个公共点.令7log 11x -=-，得87x =或67x =，而8π6cos 0,cos 01727f f ⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以不是两个函数图像的一个公共点.综上所述，两个函数图像有一个公共点()8,1，故D 正确.故选：D二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.）A.sin15cos15︒+︒B.222cossin 1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭C.1tan151tan15+︒-︒D.2sin15cos15︒︒【答案】BC 【解析】【分析】根据三角恒等变换公式，求解即可.【详解】对于A 选项，原式45)2=︒+︒=，故A 选项错误；对于B 选项，原式2cosπ6==，故B 选项正确；对于C 选项，原式tan 45tan15tan 601tan 45tan15︒+︒==︒=-︒︒C 选项正确；对于D 选项，原式1sin 302=︒=，故D 选项错误.故选：BC.10.若0a b >>，0c <，则下列不等式中正确的是（）A.c c a b< B.ac bc< C.b c ba c a +>+ D.2b a a b+>【答案】BD 【解析】【分析】利用不等式的基本性质看判断B 选项；利用作差法可判断ACD 选项.【详解】因为0a b >>，0c <，对于A 选项，()0c b a c c a b ab--=>，所以，c c a b >，A 错；对于B 选项，由不等式的基本性质可得ac bc <，B 对；对于C 选项，()()()()()a b c b a c c a b b c b a c a a a c a a c +-+-+-==+++，a c +的符号不确定，无法得出b c a c ++与ba的大小关系，C 错；对于D 选项，()222220a b b a a ab b a b ab ab--++-==>，则2b a a b +>，D 对.故选：BD.11.如图，已知点O 为正六边形ABCDEF 的中心，下列结论正确的是（）A.CB OA=B.0OA OB OC ++=C.OF OD OC OB+=-D.OA FA DE BC⋅=⋅ 【答案】AC 【解析】【分析】利用相等向量的定义可判断A 选项；利用平面向量加法的平行四边形法则可判断B 选项；利用平面向量线性运算可判断C 选项；利用平面向量数量积的定义可判断D 选项.【详解】对于A 选项，由正六边形的几何性质可知，60AOB OBC BOC ABO ∠=∠=∠=∠= ，所以，//OA BC ，//AB OC ，则四边形OABC 为平行四边形，故CB OA =，A 对；对于B 选项，因为四边形OABC 为平行四边形，由平面向量加法的平行四边形法则可得20OA OB OC OB ++=≠，B 错；对于C 选项，由正六边形的几何性质可知，OF OD DE EF ===，则四边形ODEF 为菱形，所以，OF OD OE += ，OC OB BC -=，易知ODE 为等边三角形，则OE DE BC == ，故OF OD OC OB +=-，C 对；对于D 选项，设正六边形ABCDEF 的边长为a ，易知CB EF =，则21cos 602OA FA AO AF AO AF a ⋅=⋅=⋅=，21cos1202DE BC DE CB DE EF ED EF ED EF a ⋅=-⋅=-⋅=⋅=⋅=- ，所以，OA FA DE BC ⋅≠⋅，D 错.故选：AC.12.已知函数()()πsin 0,2f x x ϕωϕω⎛⎫=+><⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，下列说法中正确的有（）A.若1ω=，则()f x 在π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B.若()f x 在()0,π上有且仅有4个零点，则232966ω<≤C.若把()f x 的图象向左平移π6个单位后得到的函数为偶函数，则ω的最小值为2D.若2,33x ωωππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭，则()()sin f x x ωϕ=+与()()tan g x x ωϕ=+有3个交点【答案】ABC 【解析】【分析】由已知条件求出π6ϕ=，利用正弦型函数的单调性可判断A 选项；利用函数()f x 在()0,π上的零点个数可得出关于实数ω的不等式，解出ω的取值范围，可判断B 选项；利用三角函数图象变换结合正弦型函数的奇偶性可判断C 选项；当2,33x ωωππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，解方程()()f x g x =，可判断D 选项.【详解】因为函数()()πsin 0,2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象过点10,2⎛⎫⎪⎝⎭，则()1sin 20==f φ，又因为ππ22ϕ-<<，所以，π6ϕ=，对于A 选项，若1ω=，则()πsin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，当π5π,36x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，则πππ26x <+<，所以，函数()f x 在π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，A 对；对于B 选项，因为()()πsin 06f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，当()0,πx ∈时，ππππ666x ωω<+<+，因为()f x 在()0,π上有且仅有4个零点，则π4ππ5π6ω<+≤，解得232966ω<≤，B 对；对于C 选项，把()f x 的图象向左平移π6个单位，可得到函数ππππsin sin 6666y x x ωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦为偶函数，则()ππππ662k k ω+=+∈Z ，可得()62k k ω=+∈Z ，因为0ω>，故当0k =时，ω取最小值2，C 对；对于D 选项，因为2,33x ωωππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭且0ω>，则πππ262x ω-<+<，由πsin ππ6sin tan π66cos 6x x x x ωωωω⎛⎫+ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+=+= ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，可得πsin 06x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则π06x ω+=，故当2,33x ωωππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，则()πsin 6f x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与()πta 6n g x x ω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭只有1个交点，D 错.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.一个扇形的弧长为6π，面积为27π，则此扇形的圆心角为________．（用弧度制表示）【答案】2π3【解析】【分析】利用扇形弧长公式，面积公式列方程求解即可.【详解】设圆心角为α，扇形半径为r ，依题可得6πr α=，2127π2r α=，解得2π3α=，9r =.故答案为：2π314.已知简谐运动ππ()2sin ||32f x x ϕϕ⎛⎫⎛⎫=+<⎪⎪⎝⎭⎝⎭的图象经过点(0,1)，则该简谐运动初相ϕ为________．【答案】π6##1π6【解析】【分析】将点代入函数中，结合所求量范围求解即可.【详解】将(0,1)代入函数中，可得()12sin ϕ=，解得π2πZ 6k k =+∈，ϕ，已知π||2ϕ<，解得ππ22ϕ-<<，故π6ϕ=.故答案为：π615.求值：()cos 40110︒+︒=__________．【答案】1【解析】【分析】利用三角函数切化弦，辅助角公式与诱导公式求解即可.【详解】()sin10cos10cos 40110cos 401cos 40cos10cos10︒︒+︒⎛⎫︒+︒=︒+=⨯︒ ⎪︒︒⎝⎭()2sin 30cos10cos30sin102sin40sin80cos 40cos40cos10cos10cos10︒︒+︒︒︒︒=⨯︒=⨯︒=︒︒︒()sin 9010cos101cos10cos10︒-︒︒===︒︒．故答案为：1．16.已知方程12sin π01x x-=-，则当[2,4]x ∈-时，该方程所有实根的和为________．【答案】8【解析】【分析】作出1()1f x x=-，()2sin πg x x =的图象，通过图象的对称性可得方程所有实根的和.【详解】方程12sin π01x x -=-，即12sin π1x x=-，令1()1f x x =-，()2sin πg x x =，1()1f x x =-的图象可由1y x=-的图象向右平移1个单位得到，故关于点(1,0)对称，同时(1,0)也是()2sin πg x x =的一个对称中心；作图可得()f x ，()g x 的图象，观察它们在[2,4]x ∈-时的图象，可知二者的图象都关于(1,0)点成中心对称且()f x ，()g x 图象在[2,4]-上共有8个交点，这8个交点两两成对关于点(1,0)对称，每一对关于(1,0)对称的交点的横坐标的和为2，故所有8个交点的横坐标的和为248⨯=，即方程12sin π01x x-=-所有实根的和为8.故答案为：8.【点睛】方法点睛：（1）转化法，方程12sin π01x x-=-的根的问题，转化为1()1f x x =-，()2sin πg x x=的图象的交点问题；（2）数形结合：作出函数1()1f x x=-，()2sin πg x x =的图象，判断其对称性，从而求解问题.四、解答题：本小题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知集合{30}A x x =-≤<，集合{}22B x x x =->．（1）求A B ⋂；（2）若集合{}22C x a x a =≤≤+，且()C A B ⊆ ，求实数a 的取值范围．【答案】（1）{}20A B x x ⋂=-<<（2）{}2a a >【解析】【分析】（1）计算{}21B x x =-<<，再计算交集得到答案.（2）考虑C =∅和C ≠∅两种情况，根据集合的包含关系得到答案.【小问1详解】{}{}2221B x x x x x =->=-<<，{}20A B x x ⋂=-<<.【小问2详解】当C =∅时，22a a >+，即2a >，满足条件；当C ≠∅时，22a a ≤+且2220a a >-⎧⎨+<⎩，无解.综上所述：实数a 的取值范围{}2a a >.18.如图，以Ox 为始边作角α与(0π)<<<ββα，它们的终边分别与单位圆相交于点P ，Q ，已知点P 的坐标为34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭．（1）求3sin()5sin 22cos()cos 2ππααπαα⎛⎫-+- ⎪⎝⎭⎛⎫--+ ⎪⎝⎭的值；（2）若5sin 13β=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求sin()αβ+的值．【答案】（1）32（2）3365【解析】【分析】（1）利用诱导公式化简求值即可.（2）利用两角和的正弦公式处理即可.【小问1详解】由题得3cos 5α=-，4sin 5α=，4tan 3α=-，所以433sin()5sin 353sin 5cos 3255342cos sin 22cos()cos 2255ααααααααπ⎛⎫⎛⎫π-+-⨯+⨯- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭===π+⎛⎫⎛⎫--+⨯-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【小问2详解】由题得，5sin 13β=，π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以12cos 13β=，所以4123533sin()sin cos cos sin 51351365αβαβαβ⎛⎫+=+=+-⨯= ⎪⎝⎭19.已知函数π()cos 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭．（1）填写下表，并用“五点法”画出()f x 在[0,]π上的图象；23x π-3π-2ππ32π53πx6π512π23π1112ππ()f x 1211-12（2）将()y f x =的图象横坐标扩大为原来的2倍，再向左平移π2个单位后，得到()g x 的图象，求()g x 的对称中心．【答案】（1）表格及图象见解析（2）ππ,03k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，()k ∈Z 【解析】【分析】（1）直接根据五点作图法补全表格，然后描点画图；（2）先通过图象变换得到()cos 6g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，然后令πππ62x k +=+可得对称中心．【小问1详解】π()cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，列表如下：π23x -π3-π2π3π25π3xπ65π122π311π12π()f x 1211-012图象如图：【小问2详解】()f x 的图象横坐标扩大为原来的2倍得πcos 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再向左平移π2个单位后，得()cos cos 236g x x x πππ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令πππ62x k +=+，()k ∈Z ，得ππ3x k =+，()k ∈Z ，所以函数()g x 的对称中心为ππ,03k ⎛⎫+⎪⎝⎭，()k ∈Z ．20.已知函数2()2sin cos f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间；（2）当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的值域．【答案】（1）π，π7ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎣⎦()k ∈Z ；（2）[1,2].【解析】【分析】（1）将()f x 化简为三角函数的一般式，结合正弦型函数最小正周期以及单调区间的求解方法，即可求得结果；（2）根据x 的取值范围，求得23x π+的范围，结合正弦函数单调性，即可求得结果.【小问1详解】2π()2sin cos sin 222sin 23f x x x x x x x ⎛⎫=+-==+ ⎪⎝⎭，所以()f x 最小正周期为22ππ=；由ππ3π2π22π232k x k +≤+≤+，解得单调递减区间是π7ππ,π1212k k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ；【小问2详解】当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，ππ5π2,336x ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，又sin y x =在,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递增，在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减；则π5π236x +=，即π4x =时，()f x 取得最小值1，ππ232x +=，即π12x =时，()f x 取得最大值2，故当π0,4x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的值域为[1,2]．21.六安一中新校区有一处矩形地块ABCD ，如图所示，50AB =米，BC =米，为了便于校园绿化，计划在矩形地块内铺设三条绿化带OE ，EF 和OF ，考虑到整体规划，要求O 是边AB 的中点，点E 在边BC 上，点F 在边AD 上，且π2EOF ∠=．（1）设BOE α∠=，ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，试将OEF 的周长l 表示成α的函数关系式；（2）在（1）的条件下，为增加夜间照明亮度，决定在两条绿化带OE 和OF 上按装智能照明装置，已知两条绿化带每米增加智能照明装置的费用均为m 元，当新加装的智能照明装置的费用最低时，求α大小（备注：7πsin124+=）【答案】（1）25(1sin cos )sin cos l αααα++=，ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）π4【解析】【分析】（1）分别在Rt BOE 和Rt AOF △中，表示出,OE OF ，即可求出EF ，从而求得OEF 的周长l 表示成α的函数关系式；（2）结合（1）可得出OE OF +的表达式，利用三角代换，令sin cos t αα+=，化简OE OF +的表达式，即为501t tOE OF +=-，再结合函数1y t t =-的单调性，即可确定OE OF +何时取得最小值，即可求得答案.【小问1详解】由题意知50AB =，O 是边AB 的中点，在Rt BOE 中，由BOE α∠=，ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得25cos OE α=，由于π2EOF ∠=，故在Rt AOF △中，π2AOF α∠=-，AFO α∠=，可得25sin OF α=，又在Rt EOF △中，由勾股定理得25sin cos EF αα===，所以25252525(1sin cos )cos sin sin cos sin cos l αααααααα++=++=，ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.【小问2详解】根据题意，要使费用最低，只需OE OF +最小即可，由（1）得25(sin cos )sin cos OE OF αααα++=，ππ,63α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设sin cos t αα+=，则21sin cos 2t αα-⋅=，得2225(sin cos )25505011sin cos 12t t OE OF t t t t αααα++===---=，由于πsin cos )4t ααα=+=+，5ππ7π12412α≤+≤，而5π7πsinsin 12124+==，故312t +≤≤，令1()f t t t=-，则1()f t t t=-在(0,)+∞上为增函数，则max 2()2f t f ==，所以当t =时，501t tOE OF +=-最小，此时π4α=，即当新加装的智能照明装置的费用最低时，π4α=．22.已知函数1()log 1a x f x x -=+（0a >且1a ≠）．（1）求()f x 的定义域；（2）若当12a =时，函数()()g x f x b =-在()1,∞+有且只有一个零点，求实数b 的范围；（3）是否存在实数a ，使得当()f x 的定义域为[,]m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++，若存在，求出实数a 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】22.,1(),)1(-∞-⋃+∞23.()0,+∞24.存在，03a <<-【解析】【分析】（1）根据对数的真数大于0结合分析不等式运算求解；（2）根据题意分析可知()f x b =在(1,)+∞上有且只有一个解，进而结合函数单调性运算求解；（3）根据定义域和值域可得01a <<，且1m n <<，结合单调性分析可知2()(1)10h x ax a x =+-+=有两个大于1相异实数根，结合二次函数零点分布运算求解.【小问1详解】由101x x ->+，得1x >或1x <-．所以()f x 的定义域为,1(),)1(-∞-⋃+∞．【小问2详解】令12()111x t x x x -==-++，可知()t x 在()1,∞+上为增函数，可得()()10t x t >=，且()1t x <，可知()t x 的值域为()0,1，因为12a =，则12log y x =在定义域内为减函数，可得()12log 10f x >=，所以函数()f x 在()1,+∞上的值域为()0,+∞，又因为函数()()g x f x b =-在()3,∞+有且只有一个零点，即()f x b =在()3,∞+上有且只有一个解，所以b 的范围是()0,+∞．【小问3详解】存在，理由如下：假设存在这样的实数a ，使得当()f x 的定义域为[,]m n 时，值域为[]1log ,1log a a n m ++，由m n <且1log 1log +<+a a n m ，可得01a <<，且1m n <<．令12()111x t x x x -==-++，可知()t x 在(1,)+∞上为增函数，因为01a <<，则log a y x =在定义域内为减函数，所以()f x 在(1,)+∞上为减函数，可得()()()()1log log 11log log 1a a aa m f m am m n f n an n -⎧==⎪⎪+⎨-⎪==⎪+⎩，可知11x ax x -=+在(1,)+∞上有两个互异实根，可得2(1)10ax a x +-+=，即2()(1)10h x ax a x =+-+=有两个大于1相异实数根．则()()2Δ14011210a a a a h ⎧=-->⎪-⎪->⎨⎪>⎪⎩，解得03a <<-，所以实数a的取值范围(0,3-.【点睛】方法点睛：应用函数思想确定方程解的个数的两种方法（1）转化为两熟悉的函数图象的交点个数问题、数形结合、构建不等式(方程)求解；。
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北京市东城区2017-2018学年上学期高一年级期末考试数学试卷本试卷共100分，考试时长120分钟。
第一部分（选择题 共39分）一、选择题：本大题共13小题，每小题3分，共39分。
在每个小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的。
1. 设全集x x U |{=是小于9的正整数}，A ＝{1，2，3}，则A C U 等于 A. }8,7,6,5,4{ B. }8,7,6,5,4,0{ C. }9,8,7,6,5,4{D. }9,8,7,6,5,3{2. 函数)42sin(π+=x y 的最小正周期是A. πB. π2C.2π D.4π 3. 已知函数)(x f 是奇函数，它的定义域为}121|{-<<-a x x ，则a 的值为 A. －1B. 0C.21 D. 14. 在同一平面直角坐标系内，xy 2=与)(log 2x y -=的图象可能是5. 函数23)(x x x f +=的零点的个数是A. 0B. 1C. 2D. 36. 如图所示，角α的终边与单位圆交于点P ，已知点P 的坐标为)54,53(-，则α2tan ＝A.2524B. 2524-C.724D. 724-7. 函数],[),2cos(πππ-∈+=x x y 是A. 增函数B. 减函数C. 偶函数D. 奇函数8. 把)4sin()4sin(ππ+--x x 可化简为A. x cos 2B. x sin 2C. x sin 2-D. x cos 2-9. 函数]611,0[),6sin(3ππ∈+=x x y 的单调递减区间是A. ]611,6[ππB. ]6,0[πC. ]65,6[ππD. ]34,3[ππ10. 若),(,cos 3sin 3)sin(32ππϕϕ-∈-=+x x x ，则ϕ等于A. 3π-B.3π C.65πD. 65π-11. 已知3.0log ,3log ,3.0log 2.022===c b a ，则c b a ,,的大小关系为 A. c b a >> B. a c b >>C. b a c >>D. a b c >>12. 已知R x x f x f ∈-=),2()(，当),1(+∞∈x 时，)(x f 为增函数，设)1(),2(),1(-===f c f b f a ，则c b a ,,的大小关系是A. c b a >>B. c a b >>C. b a c >>D. a b c >>13. 渔民出海打鱼，为了保证获得的鱼新鲜，鱼被打上岸后，要在最短的时间内将其分拣、冷藏，若不及时处理，打上来的鱼会很快地失去新鲜度（以鱼肉里含有三甲胺量的多少来确定鱼的新鲜度。
三甲胺是一种挥发性碱性氨，是胺的类似物，它是由细菌分解作用产生的，三甲胺量积聚就表明鱼的新鲜度下降，鱼体开始变质进而腐败）。
已知某种鱼失去的新鲜度h 与其出海后时间t （分）满足的函数关系式为h （t ）＝m ·a t，若出海后10分钟，这种鱼失去的新鲜度为10％，出海后20分钟，这种鱼失去的新鲜度为20％，那么若不及时处理，打上来的这种鱼会在多长时间后开始失去全部新鲜度（已知lg2＝0.3，结果取整数）A. 33分钟B. 43分钟C. 50分钟D. 56分钟第二部分（非选择题 共61分）二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。
14. 函数=)(x f x 2sin 43的最小值是____________。
15. 已知幂函数)(x f ，它的图象过点)4,21(，那么)8(f 的值为___________。
16. 函数)12(log 21-=x y 的定义域用集合形式可表示为_________。
17. 红星学校高一年级开设人文社科、英语听说、数理竞赛三门选修课，要求学生至少选修一门。
某班40名学生均已选课，班主任统计选课情况如下表，由统计结果分析该班三科都选报的学生有__________人。
三、解答题：本大题共5小题，共49分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
18. （本题满分10分）已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=.21,,10,,01,)(2x x x x x x x f（Ⅰ）求)21(),32(f f -的值； （Ⅱ）作出函数)(x f y =的简图； （Ⅲ）由简图指出函数)(x f 的值域。
19. （本题满分10分） 已知函数)4sin()(π-=x x f 。
（Ⅰ）若32)(=αf ，求ααcos sin -的值； （Ⅱ）设函数)62cos()]([2)(2π++=x x f x g ，求函数)(x g 的值域。
20. （本题满分10分） 已知函数320),62sin()(ππ≤≤+=x x x f 。
（Ⅰ）列表，描点画出函数)(x f y =的简图，并由图象写出函数)(x f 的单调区间及最值； （Ⅱ）若))(()(2121x x x f x f ≠=，求)(21x x f +的值。
21. （本题满分10分）珠宝加工匠人贾某受命单独加工某种珠宝首饰若干件，要求每件首饰都按统一规格加工，单件首饰的原材料成本为25（百元），单件首饰设计的越精致，做工要求就越高，耗时也就越多，售价也就越高，单件首饰加工时间t （单位：时，t ∈N ）与其售价间的关系满足图1（由射线AB 上离散的点构成），首饰设计得越精致，就越受到顾客喜爱，理应获得的订单就越多，但同时，价格也是一个不可忽视的制约顾客选择的因素，单件首饰加工时间t （时）与预计订单数的关系满足图2（由线段MN 和射线NP 上离散的点组成）。
原则上，单件首饰的加工时间不能超过55小时，贾某的报酬为这批首饰销售毛利润的5％，其他成本概不计算。
（Ⅰ）如果贾某每件首饰加工12小时，预计会有多少件订单；（Ⅱ）设贾某生产这批珠宝首饰产生的利润为S ，请写出加工时间t （时）与利润S 之间的函数关系式，并求利润S 最大时，预计的订单数。
注：利润S ＝（单件售价－材料成本）×订单件数－贾某工资 毛利润＝总销售额－材料成本 22. （本题满分9分） 已知函数3)()(,1112)(-=++-+--=x f x g x xx x x x x f 。
（Ⅰ）判断并证明函数)(x g 的奇偶性；（Ⅱ）判断并证明函数)(x g 在),1(+∞上的单调性；（Ⅲ）若)442()72(22+-≥+-m m f m m f 成立，求实数m 的取值范围。
【试题答案】一、选择题：本大题共13小题，每小题3分，共39分。
二、填空题：本大题共4小题，每小题3分，共12分。
三、解答题：本大题共5小题，共49分。
18. 解：（Ⅰ）41)21()21(,32)32(2==-=-f f 。
6分（Ⅱ）简图如下图所示：8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）的图象知，函数的值域是[－2，1）。
10分19. 解：（Ⅰ）∵32)(=αf ， ∴32)4sin(=-πα， 即32cos 22sin 22=-αα， 32cos sin =-∴αα。
6分（Ⅱ）)62cos()4(sin 2)(2ππ++-=x x x g)62cos()22cos(1ππ++--=x xx x x 2sin 212cos 232sin 1-+-= 12sin 232cos 23+-=x x 1)2sin 232cos 21(3+-=x x1)32cos(3++=πx ，∵1)32cos(1≤+≤-πx ，311)32cos(331+≤++≤-∴πx ，∴函数)(x g 的值域为]31,31[+-。
10分20. 解：（Ⅰ）列表如下：作出函数)(x f y =的简图如图所示：由图象可知，函数)(x f 的单调递增区间是]6,0[π，单调递减区间是]32,6[ππ； 当=x 6π时，)(x f 取得最大值1；当=x 32π时，)(x f 取得最小值－1。
7分（Ⅱ）若))(()(2121x x x f x f ≠=，由（Ⅰ）中简图知，点))(,(11x f x 与点))(,(22x f x 关于直线6π=x 对称。
321π=+∴x x 。
于是21)632sin()3()(21=+⨯==+πππf x x f 。
10分21. 解：（Ⅰ）预计订单函数))((N t t f ∈为⎩⎨⎧≤<+-≤≤+=.5510,55,100,54)(t t t t t f 435512)12(=+-=∴f 。
6分（Ⅱ）预计订单函数为⎩⎨⎧≤<+-≤≤+=.5510,55,100,54)(t t t t t f 售价函数为5025)(+=t t g 。
∴利润函数为⎩⎨⎧≤<-+--+≤≤-+-+=.5510%),51)(55)(255025(,100%),51)(54)(255025()(t t t t t t t S ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-+-≤≤++=.5510),55)(1(495,100),54)(1(495t t t t t t ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<---≤≤++=.5510),5554(495,100),594(49522t t t t t t故利润最大时，27=t ，此时预计的订单数为28件。
10分22. 解：（Ⅰ）)(x g 为奇函数。
证明如下：函数)(x g 的定义域为}1,1,0|{-≠≠≠x x x x 且且， ∵111113)()(+-+-+--=-=x xx x f x g ， 11111)(,1111111111)(+++-=--+++=+--+--+---=-x x x x g x x x x x x x g ， )()(x g x g -=-∴，故)(x g 为奇函数。
3分（Ⅱ）)(x g 在),1(+∞上单调递增，任取),1(,21+∞∈x x ，且21x x <， 则)11111(11111)()(22211121+-+-+---+-+-+--=-x x x x x x x g x g 1111111111212121+--+-+---+-----=x x x x x x)1)(1()1)(1(212121212121++-+-+---=x x x x x x x x x x x x])1)(1(11)1)(1(1)[(21212121++++---=x x x x x x x x 。
∵2121),,1(,x x x x <+∞∈，0)1)(1(1,01,0)1)(1(1,021212121>++>>--<-∴x x x x x x x x ，0)()(21<-∴x g x g ，即)()(21x g x g <，故)(x g 在),1(+∞上单调递增。