概率难题汇编及答案
概率真题汇编含答案
概率真题汇编含答案一、选择题1．在平面直角坐标系中有三个点的坐标：()()0,2,2,01(),3A B C ---，，从、、A B C 三个点中依次取两个点，求两点都落在抛物线2y x x 2=--上的概率是（ ） A ．13B ．16C ．12D ．23【答案】A 【解析】 【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两点都落在抛物线2y x x 2=--上的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：在()()0,2,2,01(),3A B C ---，三点中，其中AB 两点在2y x x 2=--上， 根据题意画图如下：共有6种等可能的结果数，其中两点都落在抛物线2y x x 2=--上的结果数为2， 所以两点都落在抛物线2y x x 2=--上的概率是2163=； 故选：A ． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法和函数图像上点的特征．通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后根据概率公式求出事件A 或B 的概率．也考查了二次函数图象上点的坐标特征．2．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（ ）A ．12B ．13C．49D．59【答案】C【解析】【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】∵总面积为3×3=9，其中阴影部分面积为4×12×1×2=4，∴飞镖落在阴影部分的概率是4 9 .故答案选：C．【点睛】本题考查了几何概率的求法，解题的关键是根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．3．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是（）A．12B．14C．16D．112【答案】C【解析】【分析】画树状图求出共有12种等可能结果，符合题意得有2种，从而求解.【详解】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次都摸到白球的有2种情况，∴两次都摸到白球的概率是：21 126．故答案为C．【点睛】本题考查画树状图求概率，掌握树状图的画法准确求出所有的等可能结果及符合题意的结果是本题的解题关键．4．某小组做“频率具有稳定性”的试验时，绘出某一结果出现的频率折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（）A．抛一枚硬币，出现正面朝上B．掷一个正六面体的骰子，掷出的点数是5C．任意写一个整数，它能被2整除D．从一个装有2个红球和1个白球的袋子中任取一球（这些球除颜色外完全相同），取到的是白球【答案】D【解析】【分析】根据频率折线图可知频率在0.33附近，进而得出答案.【详解】A、抛一枚硬市、出現正面朝上的概率为0.5、不符合这一结果，故此选项错误；B、掷一个正六面体的骰子、掷出的点数是5的可能性为16，故此选项错误；C、任意写一个能被2整除的整数的可能性为12，故此选项错误；D、从一个装有2个红球1个白球的袋子中任取一球，取到白球的概率是13，符合题意，故选：D.【点睛】此题考查频率的折线图，利用频率估计事件的概率，正确理解频率折线图是解题的关键.5．某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是（）A．19B．16C．13D．23【答案】C【解析】分析：将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有情况即可，看所求的情况占总情况的多少即可．详解：将三个小区分别记为A、B、C，列表如下：A B CA（A，A）（B，A）（C，A）B（A，B）（B，B）（C，B）C（A，C）（B，C）（C，C）由表可知，共有9种等可能结果，其中两个组恰好抽到同一个小区的结果有3种，所以两个组恰好抽到同一个小区的概率为31 = 93.故选：C．点睛：此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O．将菱形沿EF折叠，使点C与点O重合．若在菱形ABCD内任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．23B．35C．34D．58【答案】C【解析】【分析】根据菱形的表示出菱形ABCD的面积，由折叠可知EF是△BCD的中位线，从而可表示出菱形CEOF的面积，然后根据概率公式计算即可.【详解】菱形ABCD的面积=12AC BD,∵将菱形沿EF折叠,使点C与点O重合,∴EF是△BCD的中位线,∴EF=12BD ,∴菱形CEOF的面积=1128OC EF AC BD⋅=⋅，∴阴影部分的面积=113288AC BD AC BD AC BD ⋅-⋅=⋅，∴此点取自阴影部分的概率为: 33 814 2AC BDAC BD⋅=⋅.故选C..【点睛】本题考查了几何概率的计算方法：用整个几何图形的面积n表示所有等可能的结果数，用某个事件所占有的面积m表示这个事件发生的结果数，然后利用概率的概念计算出这个事件的概率为：m Pn =.7．用2、3、4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为( )A．12B．14C．35D．23【答案】D【解析】【分析】首先利用列举法可得：用2，3，4三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：234，243，324，342，423，432；且排出的数是偶数的有：234、324、342、432，然后直接利用概率公式求解即可求得答案【详解】解：∵用2，3，4三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：234，243，324，342，423，432；∵排出的数是偶数的有：234、324、342、432；∴排出的数是偶数的概率为：46=23.【点睛】此题考查了列举法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．8．抛掷一枚质地均匀的硬币，前2次都正面朝上，第3次正面朝上的概率（）A．大于12B．等于12C．小于12D．无法确定【答案】B【解析】【分析】根据概率的意义解答即可．【详解】∵硬币由正面朝上和朝下两种情况，并且是等可能，∴第3次正面朝上的概率是12．故选：B．【点睛】本题考查了概率的意义，正确理解概率的含义并明确硬币只有正反两个面是解决本题的关键．9．将一个小球在如图所示的地砖上自由滚动，最终停在黑色方砖上的概率为( )A．59B．49C．12D．13【答案】A【解析】【分析】根据题意，用黑色方砖的面积除以正方形地砖的面积即可.【详解】停在黑色方砖上的概率为：59，故选：A.【点睛】本题主要考查了简单概率的求取，熟练掌握相关方法是解题关键.10．布袋中装有除颜色外没有其他区别的1个红球和2个白球，搅匀后从中摸出一个球，放回搅匀，再摸出第二个球，两次都摸出白球的概率是（）A．49B．29C．23D．13【答案】A【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得两次都摸到白球的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：画树状图得：则共有9种等可能的结果，两次都摸到白球的有4种情况，∴两次都摸到白球的概率为49．故选A．【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．11．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的概率是0.2，则估计盒子中大约有红球（）A．12个B．16个C．20个D．25个【答案】B【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】解：设盒子中有红球x个，由题意可得：44x+=0.2，解得：x=16，故选：B．．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的概率得到相应的等量关系12．下列事件中，属于随机事件的是（）．A．凸多边形的内角和为500︒B．凸多边形的外角和为360︒C．四边形绕它的对角线交点旋转180︒能与它本身重合D．任何一个三角形的中位线都平行于这个三角形的第三边【答案】C【解析】【分析】随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据随机事件的定义即可解答． 【详解】解：A 、凸n 多边形的内角和180(2)n =︒-，故不可能为500︒，所以凸多边形的内角和为500︒是不可能事件；B 、所有凸多边形外角和为360︒，故凸多边形的外角和为360︒是必然事件；C 、四边形中，平行四边形绕它的对角线交点旋转180︒能与它本身重合，故四边形绕它的对角线交点旋转180︒能与它本身重合是随机事件；D 、任何一个三角形的中位线都平行于这个三角形的第三边，即三角形中位线定理，故是必然事件． 故选：C ． 【点睛】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．解决本题关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．13．在10盒红色的笔芯中混放了若干支黑色的笔芯，每盒20支笔芯，每盒中混放入的黑色笔芯数如下表：下列结论：①黑色笔芯一共有16支；②从中随机取一盒，盒中红色笔芯数不低于14是必然事件； ③从中随机取一盒，盒中黑色笔芯数不超过4的概率为0.7；④将10盒笔芯混在一起，从中随机抽取一支笔芯，恰好是黑色的概率是0.12． 其中正确的结论有（） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C 【解析】 【分析】根据表格的信息分别验证算出黑色笔芯的数量，由每盒黑色笔芯的数量可以算出每盒红色笔芯的数量，即可验证①②的正确性，再算出盒中黑色笔芯数不超过4的概率，即可判断③，用黑色的数量除以总的笔数，可验证④. 【详解】解：① 根据表格的信息，得到黑色笔芯数=021*********⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， 故①错误；② 每盒笔芯的数量为20支， ∵每盒黑色笔芯的数量都≤6， ∴每盒红色笔芯≥14，因此从中任取一盒，盒中红色笔芯数不低于14是必然事件， 故②正确；③ 根据图表信息，得到黑色笔芯不超过4的一共有7盒，因此 从中随机取一盒，盒中黑色笔芯数不超过4的概率为7÷10=0.7 故③正确④ 10盒笔芯一共有10×20=200（支）， 由详解①知黑色笔芯共有24支，将10盒笔芯混在一起，从中随机抽取一支笔芯，恰好是黑色的概率是24÷200=0.12， 故④正确；综上有三个正确结论， 故答案为C. 【点睛】本题主要考查了与概率有关的知识点. 在本题中求出黑色笔芯的数量是关键，求某事件的概率时，主要求该事件的数量与总数量的比值；还需要掌握必然事件的概念，即必然事件是一定会发生的事件.14．小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．记甲立方体朝上一面上的数字为x 、乙立方体朝上一面朝上的数字为y ，这样就确定点P 的一个坐标（x y ，），那么点P 落在双曲线6y=x上的概率为（ ） A ．118B ．112C ．19 D ．16【答案】C 【解析】 画树状图如下：∵一共有36种等可能结果，点P 落在双曲线6y=x上的有（1，6），（2，3），（3，2），（6，1）， ∴点P 落在双曲线6y=x 上的概率为：41=369．故选C ．15．下列问题中是必然事件的有（ ）个（1）太阳从西边落山；（2）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯；（3）221a b +=-（其中a 、b 都是实数）；（4）水往低处流． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】 【分析】先分析（1）（2）（3）（4）中有那个必然事件，再数出必要事件的个数，即可得到答案. 【详解】(1)太阳从西边落山，东边升起，故为必然事件；(2)经过有信号灯的十字路口，遇见红灯绿灯都有可能，故为随机事件；(3)220a b +≥（其中a 、b 都是实数），故221a b +=-为不可能事件；(4)水往低处流是必然事件； 因此，（1）（4）为必然事件， 故答案为A. 【点睛】本题的主要关键是理解必然事件的概念，再根据必然事件的概念进行判断；需要掌握： 必然事件：事先肯定它一定会发生的事件； 不确定事件：无法确定它会不会发生的事件； 不可能事件：一定不会发生的事件.16．下列事件中，属于确定事件的是（ ） A ．抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数是6 B ．抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数大于6 C ．抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数小于6D ．抛掷一枚质地均匀的骰子6次，“正面向上的点数是6”至少出现一次 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】A 、抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数是6是随机事件；B 、抛掷一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数大于6是不可能事件；C 、抛一枚质地均匀的骰子，正面向上的点数小于6是随机事件；D 、抛掷一枚质地均匀的骰子6次，“正面向上的点数是6”至少出现一次是随机事件； 故选：B ． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．17．下列说法：①“明天降雨的概率是50%”表示明天有半天都在降雨； ②无理数是开方开不尽的数；③若a 为实数，则0a <是不可能事件；④16的平方根是4±4=±； 其中正确的个数有（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A 【解析】 【分析】①根据概率的定义即可判断；②根据无理数的概念即可判断；③根据不可能事件的概念即可判断；④根据平方根的表示方法即可判断． 【详解】①“明天降雨的概率是50%”表示明天有50%的可能会降雨，而不是半天都在降雨，故错误；②无理数是无限不循环小数，不只包含开方开不尽的数，故错误； ③若根据绝对值的非负性可知0a ≥，所以0a <是不可能事件，故正确； ④16的平方根是4±，用式子表示是4±，故错误； 综上，正确的只有③， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查概率，无理数的概念，绝对值的非负性，平方根的形式，掌握概率，无理数的概念，绝对值的非负性，平方根的形式是解题的关键．18．如图，ABC ∆是一块绿化带，将阴影部分修建为花圃.已知15AB =，9AC =，12BC =，阴影部分是ABC ∆的内切圆，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为（ ）.A ．16B ．6π C ．8π D ．5π 【答案】B 【解析】 【分析】由AB=5，BC=4，AC=3，得到AB 2=BC 2+AC 2，根据勾股定理的逆定理得到△ABC 为直角三角形，于是得到△ABC 的内切圆半径=4+3-52=1，求得直角三角形的面积和圆的面积，即可得到结论． 【详解】解：∵AB=5，BC=4，AC=3， ∴AB 2=BC 2+AC 2， ∴△ABC 为直角三角形， ∴△ABC 的内切圆半径=4+3-52=1， ∴S △ABC =12AC•BC=12×4×3=6， S 圆=π，∴小鸟落在花圃上的概率=6π ， 故选B ． 【点睛】本题考查几何概率，直角三角形内切圆的半径等于两直角边的和与斜边差的一半及勾股定理的逆定理，解题关键是熟练掌握公式.19．在一个不透明的布袋中装有标着数字2，3，4，5的4个小球，这4个小球的材质、大小和形状完全相同，现从中随机摸出两个小球，这两个小球上的数字之积大于9的概率为( ) A ．23B ．13C ．14D ．16【答案】A 【解析】【分析】列表或树状图得出所有等可能的情况数，找出数字之积大于9的情况数，利用概率公式即可得．【详解】解：根据题意列表得：由表可知所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，其中摸出的两个小球上的数字之积大于9的有8种，所以两个小球上的数字之积大于9的概率为82 123，故选A．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．20．下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果：下面有三个推断：①当n为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955；②随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.95；③若大豆粒数n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒．其中推断合理的是（）A．①②③B．①②C．①③D．②③【答案】D【解析】【分析】利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即为概率可解题.【详解】解：①当n为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955,此推断错误,②随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.95,此结论正确,③若大豆粒数n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒,此结论正确,故选D.【点睛】本题考查了利用频率估计概率, 大量反复试验下频率稳定值即为概率,属于简单题,熟悉概念是解题关键.。
概率(共50题)(解析版)--2023年中考数学真题分项汇编(全国通用)
专题概率(50题)一、单选题1(2023·湖南·统考中考真题)从6名男生和4名女生的注册学号中随机抽取一个学号，则抽到的学号为男生的概率是()A.25B.35C.23D.34【答案】B【分析】根据概率公式求解即可．【详解】解：总人数为10人，随机抽取一个学号共有10种等可能结果，抽到的学号为男生的可能有6种，则抽到的学号为男生的概率为：610=35，故选：B．【点睛】本题考查了概率公式求概率；解题的关键是熟练掌握概率公式．2(2023·湖北十堰·统考中考真题)任意掷一枚均匀的小正方体色子，朝上点数是偶数的概率为()A.16B.13C.12D.23【答案】C【分析】由题意可知掷一枚均匀的小正方体色子有6种等可能的结果，再找出符合题意的结果数，最后利用概率公式计算即可．【详解】∵任意掷一枚均匀的小正方体色子，共有6种等可能的结果，其中朝上点数是偶数的结果有3种，∴朝上点数是偶数的概率为36=12．故选：C．【点睛】本题考查简单的概率计算．掌握概率公式是解题关键．3(2023·湖北武汉·统考中考真题)某校即将举行田径运动会，“体育达人”小明从“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目中，随机选择两项，则他选择“100米”与“400米”两个项目的概率是()A.12B.14C.16D.112【答案】C【分析】设“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目分别为A、B、C、D，画出树状图，找到所有情况数和满足要求的情况数，利用概率公式求解即可．【详解】解：设“跳高”“跳远”“100米”“400米”四个项目分别为A、B、C、D，画树状图如下：由树状图可知共有12种等可能情况，他选择“100米”与“400米”两个项目即选择C 和D 的情况数共有2种，∴选择“100米”与“400米”两个项目的概率为212=16，故选：C .【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率，正确画出树状图或列表，找到所有等可能情况数和满足要求情况数是解题的关键．4(2023·河北·统考中考真题)1有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上．若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是()A. B. C. D.【答案】B【分析】根据概率计算公式分别求出四种花色的概率即可得到答案．【详解】解：∵一共有7张扑克牌，每张牌被抽到的概率相同，其中黑桃牌有1张，红桃牌有3张，梅花牌有1张，方片牌有2张，∴抽到的花色是黑桃的概率为17，抽到的花色是红桃的概率为37，抽到的花色是梅花的概率为17，抽到的花色是方片的概率为27，∴抽到的花色可能性最大的是红桃，故选：B ．【点睛】本题主要考查了简单的概率计算，正确求出每种花色的概率是解题的关键．5(2023·江苏苏州·统考中考真题)如图，转盘中四个扇形的面积都相等，任意转动这个转盘1次，当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是()A.14B.13C.12D.34【答案】C【分析】根据灰色区域与整个面积的比即可求解．【详解】解：∵转盘中四个扇形的面积都相等，设整个圆的面积为1，∴灰色区域的面积为12,∴当转盘停止转动时，指针落在灰色区域的概率是12，故选：C．【点睛】本题考查了几何概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．6(2023·湖南永州·统考中考真题)今年2月，某班准备从《在希望的田野上》《我和我的祖国》《十送红军》三首歌曲中选择两首进行排练，参加永州市即将举办的“唱响新时代，筑梦新征程”合唱选拔赛，那么该班恰好选中前面两首歌曲的概率是()A.12B.13C.23D.1【答案】B【分析】根据概率公式，即可解答．【详解】解：从三首歌曲中选择两首进行排练，有《在希望的田野上》《我和我的祖国》、《在希望的田野上》《十送红军》、《我和我的祖国》《十送红军》共三种选择方式，故选到前两首的概率是1 3，故选：B．【点睛】本题考查了根据概率公式计算概率，排列出总共可能的情况的数量是解题的关键．7(2023·山东临沂·统考中考真题)在项目化学习中，“水是生命之源”项目组为了解本地区人均淡水消耗量，需要从四名同学(两名男生，两名女生)中随机抽取两人，组成调查小组进行社会调查，恰好抽到一名男生和一名女生的概率是()A.16B.13C.12D.23【答案】D【分析】画树状图得出所有等可能的结果数和抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果数，再利用概率公式可得出答案．【详解】解：设两名男生分别记为A，B，两名女生分别记为C，D，画树状图如下：共有12种等可能的结果，其中抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率为812=23，故选：D．【点睛】本题考查列表法或树状图法求概率，解题时要注意是放回试验还是不放回试验；概率等于所求情况数与总情况数之比．用列表法或画树状图法不重复不遗漏的列出所有可能的结果是解题的关键．8(2023·浙江温州·统考中考真题)某校计划组织研学活动，现有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山．若从中随机选择一个地点，则选中“南麂岛”或“百丈漈”的概率为()A.14B.13C.12D.23【答案】C【分析】根据概率公式可直接求解．【详解】解：∵有四个地点可供选择：南麂岛、百丈漈、楠溪江、雁荡山，∴若从中随机选择一个地点，则选中“南麂岛”或“百丈漈”的概率为24=12；故选：C ．【点睛】本题考查了根据概率公式求简单事件的概率，正确理解题意是关键．9(2023·浙江绍兴·统考中考真题)在一个不透明的袋子里装有2个红球和5个白球，它们除颜色外都相同，从中任意摸出1个球，则摸出的球为红球的概率是()A.25B.35C.27D.57【答案】C【分析】根据概率的意义直接计算即可．【详解】解：在一个不透明的袋子中装有2个红球和5个白球，它们除颜色外其他均相同，从中任意摸出1个球，共有7种可能，摸到红球的可能为2种，则摸出红球的概率是27，故选：C ．【点睛】本题考查了概率的计算，解题关键是熟练运用概率公式．10(2023·四川遂宁·统考中考真题)为增强班级凝聚力，吴老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为10cm ，大圆半径为20cm ，每个扇形的圆心角为60度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞镖1次(击中边界或没有击中靶盘，则重投1次)，投中“免一次作业”的概率是()A.16B.18C.110D.112【答案】B【分析】根据扇形面积公式求出免一次作业对应区域的面积，再根据投中“免一次作业”的概率=免一次作业对应区域的面积÷大圆面积进行求解即可.【详解】解：由题意得，大圆面积为π×202=400πcm 2，免一次作业对应区域的面积为60×π×202360-60×π×102360=50πcm 2，∴投中“免一次作业”的概率是50π400π=18，故选B．【点睛】本题主要考查了几何概率，扇形面积，正确求出大圆面积和免一次作业对应区域的面积是解题的关键．11(2023·安徽·统考中考真题)如果一个三位数中任意两个相邻数字之差的绝对值不超过1，则称该三位数为“平稳数”．用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，恰好是“平稳数”的概率为()A.59B.12C.13D.29【答案】C【分析】根据题意列出所有可能，根据新定义，得出2种可能是“平稳数”，根据概率公式即可求解．【详解】解：依题意，用1，2，3这三个数字随机组成一个无重复数字的三位数，可能结果有，123,132,213,231,312,321共六种可能，只有123，321是“平稳数”∴恰好是“平稳数”的概率为26=13故选：C．【点睛】本题考查了新定义，概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．12(2023·浙江·统考中考真题)某校准备组织红色研学活动，需要从梅岐、王村口、住龙、小顺四个红色教育基地中任选一个前往研学，选中梅岐红色教育基地的概率是()A.12B.14C.13D.34【答案】B【分析】直接根据概率公式求解即可．【详解】解：从梅岐、王村口、住龙、小顺四个红色教育基地中任选一个前往研学，总共有4种选择，选中梅岐红色教育基地有1种，则概率为1 4，故选：B【点睛】此题考查了概率的求法，通过所有可能结果得出n，再从中选出符合事件结果的数目m，然后根据概率公式P=mn求出事件概率．13(2023·四川成都·统考中考真题)为贯彻教育部《大中小学劳动教育指导纲要(试行)》文件精神，某学校积极开设种植类劳动教育课．某班决定每位学生随机抽取一张卡片来确定自己的种植项目，老师提供6张背面完全相同的卡片，其中蔬菜类有4张，正面分别印有白菜、辣椒、豇豆、茄子图案；水果类有2张，正面分别印有草莓、西瓜图案，每个图案对应该种植项目．把这6张卡片背面朝上洗匀，小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是()A.12B.13C.14D.16【答案】B【分析】根据概率公式求解即可．【详解】解：由题意，随机抽取一张，共有6种等可能的结果，其中恰好抽中水果类卡片的有2种，∴小明随机抽取一张，他恰好抽中水果类卡片的概率是26=13，故选：B ．【点睛】本题考查求简单事件的概率，关键是熟知求概率公式：所求情况数与总情况数之比．14(2023·四川泸州·统考中考真题)从1，2，3，4，5，5六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为()A.16B.13C.12D.23【答案】B【分析】由众数的概念可知六个数中众数为5，然后根据简单概率计算公式求解即可．【详解】解：1，2，3，4，5，5六个数中，数字5出现了2次，出现的次数最多，故这组数据的众数为5，所以从六个数中随机选取一个数，这个数恰为该组数据的众数的概率为P =26=13．故选：B ．【点睛】本题主要考查了求一组数据的众数以及简单概率计算，正确确定该组数据的众数是解题关键．15(2023·广东·统考中考真题)某学校开设了劳动教育课程.小明从感兴趣的“种植”“烹饪”“陶艺”“木工”4门课程中随机选择一门学习，每门课程被选中的可能性相等，小明恰好选中“烹饪”的概率为()A.18 B.16C.14D.12【答案】C【分析】根据概率公式可直接进行求解．【详解】解：由题意可知小明恰好选中“烹饪”的概率为14；故选C ．【点睛】本题主要考查概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．二、填空题16(2023·山西·统考中考真题)中国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》，它是儒家思想的核心著作，是中国传统文化的重要组成部分，若从这四部著作中随机抽取两本(先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本)，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是．【答案】16【分析】用树状图把所有情况列出来，即可求出．【详解】总共有12种组合，《论语》和《大学》的概率112=16，故答案为：16．【点睛】此题考查了用树状图或列表法求概率，解题的关键是熟悉树状图或列表法，并掌握概率计算公式．17(2023·湖南郴州·统考中考真题)在一个不透明的袋子中装有3个白球和7个红球，它们除颜色外，大小、质地都相同．从袋子中随机取出一个球，是红球的概率是．【答案】710【分析】根据概率公式进行计算即可．【详解】解：由题意，得，随机取出一个球共有10种等可能的结果，其中取出的是红球共有7种等可能的结果，∴P =710；故答案为：710．【点睛】本题考查概率．熟练掌握概率的计算公式，是解题的关键．18(2023·浙江杭州·统考中考真题)一个仅装有球的不透明布袋里只有6个红球和n 个白球(仅有颜色不同)．若从中任意摸出一个球是红球的概率为25，则n =．【答案】9【分析】根据概率公式列分式方程，解方程即可．【详解】解：∵从中任意摸出一个球是红球的概率为25，∴66+n =25，去分母，得6×5=26+n ，解得n =9，经检验n =9是所列分式方程的根，∴n =9，故答案为：9．【点睛】本题考查已知概率求数量、解分式方程，解题的关键是掌握概率公式．19(2023·天津·统考中考真题)不透明袋子中装有10个球，其中有7个绿球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为．【答案】710【分析】直接利用概率公式求解即可．【详解】解：由题意，从装有10个球的不透明袋子中，随机取出1个球，则它是绿球的概率为710，故答案为：710．【点睛】本题考查求简单事件的概率，理解题意是解答的关键．20(2023·山东滨州·统考中考真题)同时掷两枚质地均匀的骰子，则两枚骰子点数之和等于7的概率是．【答案】16【分析】利用表格或树状图列示出所有可能结果，找出满足条件的结果，根据概率公式计算即可．【详解】所有可能结果如下表，所有结果共有36种，其中，点数之和等于7的结果有6种，概率为636=16故答案为：16．【点睛】本题考查概率的计算，运用列表或树状图列示出所有可能结果是解题的关键．21(2023·新疆·统考中考真题)在平面直角坐标系中有五个点，分别是A 1,2 ，B -3,4 ，C -2,-3 ，D 4,3 ，E 2,-3 ，从中任选一个点恰好在第一象限的概率是．【答案】25【分析】根据第一象限的点的特征，可得共有2个点在第一象限，进而根据概率公式即可求解．【详解】解：在平面直角坐标系中有五个点，分别是A 1,2 ，B -3,4 ，C -2,-3 ，D 4,3 ，E 2,-3 ，其中A 1,2 ，D 4,3 ，在第一象限，共2个点，∴从中任选一个点恰好在第一象限的概率是25，故答案为：25．【点睛】本题考查了概率公式求概率，第一象限点的坐标特征，熟练掌握以上知识是解题的关键．22(2023·浙江台州·统考中考真题)一个不透明的口袋中有5个除颜色外完全相同的小球，其中2个红球，3个白球．随机摸出一个小球，摸出红球的概率是．【答案】25【分析】根据概率的公式即可求出答案．【详解】解：由题意得摸出红球的情况有两种，总共有5个球，∴摸出红球的概率：22+3=25．故答案为：25．【点睛】本题考查了概率的求法，解题的关键在于熟练掌握概率的简单计算公式：概率=事件发生的可能情况÷事件总情况．23(2023·上海·统考中考真题)在不透明的盒子中装有一个黑球，两个白球，三个红球，四个绿球，这十个球除颜色外完全相同．那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为．【答案】25【分析】根据简单事件的概率公式计算即可得．【详解】解：因为在不透明的盒子中，总共有10个球，其中有四个绿球，并且这十个球除颜色外，完全相同，所以从中随机摸出一个球是绿球的概率为P =410=25，故答案为：25．【点睛】本题考查了求概率，熟练掌握概率公式是解题关键．24(2023·浙江金华·统考中考真题)下表为某中学统计的七年级500名学生体重达标情况(单位：人)，在该年级随机抽取一名学生，该生体重“标准”的概率是．“偏瘦”“标准”“超重”“肥胖”803504624【答案】710【分析】根据概率公式计算即可得出结果．【详解】解：该生体重“标准”的概率是350500=710，故答案为：710．【点睛】本题考查了概率公式，熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比是本题的关键．25(2023·浙江嘉兴·统考中考真题)现有三张正面印有2023年杭州亚运会吉祥物琮琮、宸宸和莲莲的不透明卡片，卡片除正面图案不同外，其余均相同，将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是．【答案】13【分析】根据概率公式即可求解．【详解】解：将三张卡片正面向下洗匀，从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片图案是琮琮的概率是13故答案为：13．【点睛】本题考查了概率公式求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键．26(2023·四川南充·统考中考真题)不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别．从袋中随机取出一个球是红球的概率为0.6，若袋中有4个白球，则袋中红球有个．【答案】6【分析】设袋中红球有x 个，然后根据概率计算公式列出方程求解即可．【详解】解：设袋中红球有x 个，由题意得：xx +4=0.6，解得x =6，检验，当x =6时，x +4≠0，∴x =6是原方程的解，∴袋中红球有6个，故答案为：6．【点睛】本题主要考查了已知概率求数量，熟知红球的概率=红球数量÷球的总数是解题的关键．27(2023·重庆·统考中考真题)一个口袋中有1个红色球，有1个白色球，有1个蓝色球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回，摇匀后再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率是．【答案】19【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．【详解】解：根据题意列表如下：红球白球蓝球红球(红球，红球)(白球，红球)(蓝球，红球)白球(红球，白球)(白球，白球)(蓝球，白球)蓝球(红球，蓝球)(白球，蓝球)(蓝球，蓝球)由表知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到红球的有1种结果，所以两次摸到球的颜色相同的概率为19，故答案为：19．【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．28(2023·四川自贡·统考中考真题)端午节早上，小颖为全家人蒸了2个蛋黄粽，3个鲜肉粽，她从中随机挑选了两个孝敬爷爷奶奶，请问爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是．【答案】25【分析】画树状图可得，共有20种等可能的结果，其中爷爷奶奶吃到同类粽子有8种等可能的结果，再利用概率公式求解即可．【详解】解：设蛋黄粽为A ，鲜肉粽为B ，画树状图如下：共有20种等可能的结果，其中爷爷奶奶吃到同类粽子有8种等可能的结果，∴爷爷奶奶吃到同类粽子的概率是820=25，故答案为：25．【点睛】本题考查用列表法或树状图求概率、概率公式，熟练掌握相关知识是解题的关键．29(2023·辽宁大连·统考中考真题)一个袋子中装有两个标号为“1”“2”的球．从中任意摸出一个球，记下标号后放回并再次摸出一个球，记下标号后放回．则两次标号之和为3的概率为．【答案】12【分析】先画出树状图，从而可得两次摸球的所有等可能的结果，再找出两次标号之和为3的结果，然后利用概率公式求解即可得．【详解】解：由题意，画出树状图如下：由图可知，两次摸球的所有等可能的结果共有4种，其中，两次标号之和为3的结果有2种，则两次标号之和为3的概率为P =24=12，故答案为：12．【点睛】本题考查了利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．30(2023·山东·统考中考真题)用数字0，1，2，3组成个位数字与十位数字不同的两位数，其中是偶数的概率为．【答案】59【分析】先列表得出所有的情况，再找到符合题意的情况，利用概率公式计算即可．【详解】解：0不能在最高位，而且个位数字与十位数字不同，列表如下：1230102030121312123231323一共有可以组成9个数字，偶数有10、12、20、30、32，∴是偶数的概率为59．故答案为：59．【点睛】本题考查了列表法求概率，注意0不能在最高位．三、解答题31(2023·四川内江·统考中考真题)某校为落实国家“双减”政策，丰富课后服务内容，为学生开设五类社团活动(要求每人必须参加且只参加一类活动)：A．音乐社团；B．体育社团；C．美术社团；D．文学社团；E．电脑编程社团，该校为了解学生对这五类社团活动的喜爱情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据调查结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息，解答下列问题：(1)此次调查一共随机抽取了名学生，补全条形统计图(要求在条形图上方注明人数)；(2)扇形统计图中圆心角α=度；(3)现从“文学社团”里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加演讲比赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率．【答案】(1)200，补全条形统计图见解析(2)54(3)恰好选中甲、乙两名同学的概率为16【分析】(1)用B类型社团的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数；用总人数减去A、B、D、E 四个类型社团的人数得到C类型社团的人数，即可补全条形统计图；(2)用360°乘以C类型社团的人数占比即可求出扇形统计图中α的度数；(3)先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到恰好选中甲和乙两名同学的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．【详解】(1)解：50÷25%=200(人)，C类型社团的人数为200-30-50-70-20=30(人)，补全条形统计图如图，故答案为：200；=54°，(2)解：α=360°×30200故答案为：54；(3)解：画树状图如下：∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种，∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为212=16．【点睛】本题主要考查了条形统计图与扇形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图并画出树状图或列出表格是解题的关键．32(2023·湖北宜昌·统考中考真题)“阅读新时代，书香满宜昌”．在“全民阅读月”活动中，某校提供了四类适合学生阅读的书籍：A 文学类，B 科幻类，C 漫画类，D 数理类．为了解学生阅读兴趣，学校随机抽取了部分学生进行调查(每位学生仅选一类)．根据收集到的数据，整理后得到下列不完整的图表：书籍类别学生人数A 文学类24B 科幻类mC 漫画类16D 数理类8(1)本次抽查的学生人数是，统计表中的m =；(2)在扇形统计图中，“C 漫画类”对应的圆心角的度数是；(3)若该校共有1200名学生，请你估计该校学生选择“D 数理类”书籍的学生人数；(4)学校决定成立“文学”“科幻”“漫画”“数理”四个阅读社团．若小文、小明随机选取四个社团中的一个，请利用列表或画树状图的方法，求他们选择同一社团的概率．【答案】(1)80，32(2)72°(3)120(4)14【分析】(1)利用A 文学类的人数除以对应的百分比即可得到本次抽查的学生人数，用抽查总人数乘以B 科幻类的百分比即可得到m 的值；(2)用360°乘以“C 漫画类”对应的百分比即可得到“C 漫画类”对应的圆心角的度数；(3)用该校共有学生数乘以抽查学生中选择“D 数理类”书籍的学生的百分比即可得到该校学生选择“D 数理类”书籍的学生人数；(4)画出树状图，找到等可能情况总数和小文、小明选择同一社团的情况数，利用概率公式求解即可．【详解】(1)解：由题意得，本次抽查的学生人数是24÷30%=80(人)，统计表中的m =80×40%=32，故答案为：80，32(2)在扇形统计图中，“C 漫画类”对应的圆心角的度数是：360°×1680×100%=72°，故答案为：72°(3)由题意得，1200×880×100%=120(人)，即估计该校学生选择“D 数理类”书籍的学生为120人；(4)树状图如下：从树状图可看出共有16种等可能的情况，小文、小明选择同一社团的情况数共有4种，∴P (小文、小明选择同一社团)=416=14．【点睛】此题考查了树状图或列表法求概率、样本估计总体、扇形统计图等相关知识，读懂题意，熟练掌握树状图或列表法求概率和准确计算是解题的关键．33(2023·湖北黄冈·统考中考真题)打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍(A ：科技类，B ：文学类，C ：政史类，D ：艺术类，E ：其他类)．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图(如图所示)．根据图中信息，请回答下列问题；(1)条形图中的m =，n =，文学类书籍对应扇形圆心角等于度；(2)若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；(3)甲同学从A ，B ，C 三类书籍中随机选择一种，乙同学从B ，C ，D 三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．【答案】(1)18，6，72°(2)480人(3)29【分析】(1)根据选择“E ：其他类”的人数及比例求出总人数，总人数乘以A 占的比例即为m ，总人数减去A ，B ，C ，E 的人数即为n ，360度乘以B 占的比例即为文学类书籍对应扇形圆心角；。
事件的概率试题及答案
事件的概率试题及答案1. 单选题：如果一个骰子被公平地掷出，那么掷出偶数的概率是多少？A. 1/2B. 1/3C. 3/8D. 1/6答案：A2. 多选题：以下哪些事件是互斥的？A. 掷一枚硬币得到正面或反面B. 掷骰子得到1或得到6C. 掷骰子得到奇数或得到偶数D. 掷骰子得到3或得到5答案：B, D3. 判断题：如果一个事件的概率是0，那么这个事件不可能发生。
答案：正确4. 填空题：如果一个事件的概率是0.5，那么它的补事件的概率是______。
答案：0.55. 计算题：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，求抽到红球的概率。
答案：5/86. 简答题：解释什么是条件概率，并给出一个例子。
答案：条件概率是指在某个条件或事件已经发生的条件下，另一个事件发生的概率。
例如，如果已知一个班级里有50%的学生是女生，那么在随机挑选一个学生是女生的条件下，这个学生是左撇子的概率，就是条件概率。
7. 应用题：一个工厂生产两种类型的零件，A型和B型。
A型零件的合格率为90%，B型零件的合格率为80%。
如果从生产线上随机抽取一个零件，发现它是合格的，那么这个零件是A型的概率是多少？答案：设事件A为零件是A型，事件B为零件合格。
根据贝叶斯定理，P(A|B) = P(B|A) * P(A) / P(B)。
已知P(A) = 0.5，P(B|A) = 0.9，P(B) = P(B|A) * P(A) + P(B|A') * P(A') = 0.9 * 0.5 + 0.8 * 0.5 = 0.85。
所以P(A|B) = 0.9 * 0.5 / 0.85 ≈ 0.529。
8. 论述题：描述概率论在现实生活中的应用，并举例说明。
答案：概率论在现实生活中有广泛的应用，例如在风险评估、保险计算、医学研究、天气预报等领域。
例如，在医学研究中，研究人员可能会使用概率论来评估某种治疗方法对特定疾病的效果，通过分析治疗组和对照组的治愈率差异，来确定治疗方法的有效性。
初中数学概率难题汇编含答案
初中数学概率难题汇编含答案一、选择题1．如图，管中放置着三根同样的绳子AA1、BB1、CC1小明和小张两人分别站在管的左右两边，各随机选该边的一根绳子，若每边每根绳子被选中的机会相等，则两人选到同根绳子的概率为（）A．12B．13C．16D．19【答案】B【解析】【分析】画出树状图，得出所有结果和两人选到同根绳子的结果，即可得出答案．【详解】如图所示：共有9种等可能的结果数，两人选到同根绳子的结果有3个，∴两人选到同根绳子的概率为19＝13，故选B．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．2．如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（）A．12B．13C．49D．59【解析】【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】∵总面积为3×3=9，其中阴影部分面积为4×12×1×2=4，∴飞镖落在阴影部分的概率是4 9 .故答案选：C．【点睛】本题考查了几何概率的求法，解题的关键是根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．3．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是( )A．15B．25C．35D．45【答案】C【解析】【分析】【详解】解：根据题意，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况，因此可知使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率为3 355÷=故选C4．袋中有8个红球和若干个黑球，小强从袋中任意摸出一球，记下颜色后又放回袋中，摇匀后又摸出一球，再记下颜色，做了50次，共有16次摸出红球，据此估计袋中有黑球（）个．A．15 B．17 C．16 D．18【答案】B【解析】根据共摸球50次，其中16次摸到红球，则摸到红球与摸到黑球的次数之比为8: 17,由此可估计口袋中红球和黑球个数之比为8: 17;即可计算出黑球数.【详解】∵共摸了50次，其中16次摸到红球，∴有34次摸到黑球，∴摸到红球与摸到黑球的次数之比为8: 17,∴口袋中红球和黑球个数之比为8: 17，∴黑球的个数8÷817＝ 17(个)，故答案选B.【点睛】本题主要考查的是通过样本去估计总体,只需将样本"成比例地放大”为总体是解本题的关键.5．疫情防控，我们一直在坚守．某居委会组织两个检查组，分别对“居民体温”和“居民安全出行”的情况进行抽查．若这两个检查组在辖区内的某三个校区中各自随机抽取一个小区进行检查，则他们恰好抽到同一个小区的概率是（）A．13B．49C．19D．23【答案】A【解析】【分析】将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有等情况数和他们恰好抽到同一个小区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】将三个小区分别记为A、B、C，根据题意列表如下：由表可知，共有9种等可能结果，其中他们恰好抽到同一个小区的有3种情况，所以他们恰好抽到同一个小区的概率为31 = 93.故选：A．【点睛】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6．将一质地均匀的正方体骰子掷一次，观察向上一面的点数，与点数2的差不大于1的概率是（）A．12B．13C．23D．56【答案】A【解析】【分析】根据正方体骰子共有6个面，通过观察向上一面的点数，即可得到与点数2的差不大于1的概率．【详解】∵正方体骰子共6个面，每个面上的点数分别为1、2、3、4、5、6，∴与点数2的差不大于1的有1、2、3．∴与点数2的差不大于1的概率是31 62 =．故选：A．【点睛】此题考查求概率的方法，解题的关键是理解题意．7．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共有50个，除颜色外其他完全相同．乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在27%和43%，则口袋中白色球的个数很可能是（）A．20 B．15 C．10 D．5【答案】B【解析】【分析】由频率得到红色球和黑色球的概率，用总数乘以白色球的概率即可得到个数.【详解】白色球的个数是50(127%43%)15个，故选：B.【点睛】此题考查概率的计算公式，频率与概率的关系，正确理解频率即为概率是解题的关键. 8．从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5这九个数中，随机抽取一个数，记为a，则数a使关于x的不等式组()1242122123x axx⎧--≤⎪⎪⎨-⎪<+⎪⎩至少有四个整数解，且关于x的分式方程233a x x x ++--＝1有非负整数解的概率是（ ） A ．29B ．13C ．49D ．59【答案】C 【解析】 【分析】先解出不等式组，找出满足条件的a 的值，然后解分式方程，找出满足非负整数解的a 的值，然后利用同时满足不等式和分式方程的a 的个数除以总数即可求出概率． 【详解】解不等式组得：7x ax ≤⎧⎨>-⎩， 由不等式组至少有四个整数解，得到a≥﹣3， ∴a 的值可能为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5， 分式方程去分母得：﹣a ﹣x+2＝x ﹣3， 解得：x ＝52a - ， ∵分式方程有非负整数解， ∴a ＝5、3、1、﹣3，则这9个数中所有满足条件的a 的值有4个， ∴P ＝49故选：C ． 【点睛】本题主要考查解一元一次不等式组，分式方程的非负整数解，随机事件的概率，掌握概率公式是解题的关键．9．将一枚质地均匀的骰子掷两次，则两次点数之和等于9的概率为（ ） A ．13B ．16C ．19D ．112【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解：画树状图为：共有36种等可能的结果数，其点数之和是9的结果数为4， 所以其点数之和是9的概率＝436＝19． 故选C ．点睛：本题考查了列表法与树状图法求概率：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n ，再从中选出符合事件A 的结果数目m ，则事件A 的概率P （A ）＝m n．10．下列判断正确的是（ ）A ．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B ．天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨C ．“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D ．“a 是实数，|a|≥0”是不可能事件 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案． 【详解】A 、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上，错误；B 、天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨，错误；C 、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，正确；D 、“a 是实数，|a|≥0”是必然事件，故此选项错误． 故选C ． 【点睛】此题主要考查了概率的意义以及随机事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．11．已知实数0a <，则下列事件是随机事件的是（ ） A ．0a ≥ B ．10a +>C ．10a -<D ．210a +<【答案】B 【解析】 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 【详解】解：A 、∵任何数的绝对值都是非负数，∴0a ≥是必然事件，不符合题意；B 、∵0a <，∴1a +的值可能大于零，可能小于零，可能等于零是随机事件，符合题意；C 、∵0a <，∴a-1＜-1＜0是必然事件，故C 不符合题意；D 、∵21a +>0,∴210a +<是不可能事件，故D 不符合题意； 故选：B ． 【点睛】本题考查随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．12．用2、3、4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为( ) A ．12B ．14C ．35D ．23【答案】D 【解析】 【分析】首先利用列举法可得：用2，3，4三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：234，243，324，342，423，432；且排出的数是偶数的有：234、324、342、432，然后直接利用概率公式求解即可求得答案 【详解】解：∵用2，3，4三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：234，243，324，342，423，432；∵排出的数是偶数的有：234、324、342、432； ∴排出的数是偶数的概率为：46=23. 【点睛】此题考查了列举法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．13．某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人，则选出的恰为一男一女的概率是（ ） A ．45B ．35C ．25D ．15【答案】B 【解析】试题解析：列表如下：∴共有20种等可能的结果，P （一男一女）=123=205． 故选B ．14．小英同时掷甲、乙两枚质地均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．记甲立方体朝上一面上的数字为x 、乙立方体朝上一面朝上的数字为y ，这样就确定点P 的一个坐标（x y ，），那么点P 落在双曲线6y=x上的概率为（ ） A ．118B ．112C ．19 D ．16【答案】C 【解析】 画树状图如下：∵一共有36种等可能结果，点P 落在双曲线6y=x上的有（1，6），（2，3），（3，2），（6，1）， ∴点P 落在双曲线6y=x 上的概率为：41=369．故选C ．15．下列事件中，是必然事件的是（）A．任意画一个三角形，其内角和是180°B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C．掷一次骰子，向上一面的点数是6D．射击运动员射击一次，命中靶心【答案】A【解析】【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对各个选项进行判断即可．【详解】A．任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件；B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件；C．掷一次骰子，向上一面的点数是6是随机事件；D．射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件；故选：A．【点睛】考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．16．数学老师拿出四张卡片，背面完全一样，正面分别画有：矩形、菱形、等边三角形、圆背面朝上洗匀后先让小明抽出一张，记下形状后放回，洗匀后再让小亮抽出一张请你计算出两次都抽到既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是（）A．34B．38C．916D．23【答案】C【解析】【分析】利用列表和画树状图可知所有的情况，在找出两次抽到的是既是中心对称图形又是轴对称图形的情况，利用求简单概率的公式即可求出.【详解】由题意可知：四张卡片正面的四种图形分别为矩形、菱形、等边三角形、圆，除等边三角形外其余三种都既是中心对称图形，又是轴对称图形.设矩形、菱形、圆分别为Al、A2、A3，等边三角形为B，根据题意可画树状图如下图：如图所示，共有16种等可能情况的结果数，其中两次都抽到既是中心对称图形又是轴对称图形的情况为9种，所以两次都抽到既是中心对称图形又是轴对称图形的概率916P ，故选C.【点睛】本题主要考查了利用列表法和画树状图法求概率，熟知中心对称图形、轴对称图形的定义与画树状图的方法及求概率的公式是解题关键.17．在一个不透明的布袋中装有标着数字2，3，4，5的4个小球，这4个小球的材质、大小和形状完全相同，现从中随机摸出两个小球，这两个小球上的数字之积大于9的概率为()A．23B．13C．14D．16【答案】A【解析】【分析】列表或树状图得出所有等可能的情况数，找出数字之积大于9的情况数，利用概率公式即可得．【详解】解：根据题意列表得：23452---（3，2）（4，2）（5，2）3（2，3）---（4，3）（5，3）4（2，4）（3，4）---（5，4）5（2，（3，（4，---由表可知所有可能结果共有12种，且每种结果发生的可能性相同，其中摸出的两个小球上的数字之积大于9的有8种，所以两个小球上的数字之积大于9的概率为82 123=，故选A．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．18．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的概率是0.2，则估计盒子中大约有红球（）A．12个B．16个C．20个D．25个【答案】B【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】解：设盒子中有红球x个，由题意可得：44x+=0.2，解得：x=16，故选：B．．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的概率得到相应的等量关系19．下列说法正确的是( )A．打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天一定下雨C．两组数据平均数相同，则方差大的更稳定D．数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7【答案】D【解析】【分析】根据必然事件的意义、概率的意义、方差的意义、中位数和众数的概念逐一进行判断即可.【详解】A．打开电视机，正在播放“张家界新闻”是随机事件，故A选项错误；B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天可能下雨，故B选项错误；C．两组数据平均数相同，则方差大的更不稳定，故C选项错误；D，数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7，正确，故选D．【点睛】本题考查了概率、方差、众数和中位数等知识，熟练掌握相关知识的概念、意义以及求解方法是解题的关键.20．下列事件中，是必然事件的是( )A．购买一张彩票，中奖B．射击运动员射击一次，命中靶心C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D．任意画一个三角形，其内角和是180°【答案】D【解析】【分析】先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．【详解】A．购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意；B．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意；C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意；D．任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，符合题意；故选D．【点睛】本题主要考查了必然事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件．。
概率难题汇编附答案
概率难题汇编附答案一、选择题1．一个不透明的口袋中装有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球后不放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球标号之和等于6的概率为（）A．16B．15C．14D．13【答案】A【解析】【分析】画树状图得出所有的情况，根据概率的求法计算概率即可.【详解】画树状图得：∵共有12种等可能的结果，两次摸出的小球标号之和等于6的有2种情况，∴两次摸出的小球标号之和等于6的概率21. 126 ==故选A．【点睛】考查概率的计算，明确概率的意义是解题的关键，概率等于所求情况数与总情况数的比.2．在一个不透明的袋中，装有3个红球和1个白球，这些球除颜色外其余都相同. 搅均后从中随机一次模出两个球．．．．．．．，这两个球都是红球的概率是（）A．12B．13C．23D．14【答案】A【解析】【分析】列举出所有情况，看两个球都是红球的情况数占总情况数的多少即可．【详解】画树形图得：一共有12种情况，两个球都是红球的有6种情况，故这两个球都是红球相同的概率是61= 122，故选A．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．3．将一个小球在如图所示的地砖上自由滚动，最终停在黑色方砖上的概率为( )A．59B．49C．12D．13【答案】A【解析】【分析】根据题意，用黑色方砖的面积除以正方形地砖的面积即可.【详解】停在黑色方砖上的概率为：59，故选：A.【点睛】本题主要考查了简单概率的求取，熟练掌握相关方法是解题关键.4．如图，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成轴对称图形的概率是( )A．15B．25C．35D．45【答案】C 【解析】【分析】【详解】解：根据题意，在方格纸中，随机选择标有序号①②③④⑤中的一个小正方形涂黑，共有5种等可能的结果，使与图中阴影部分构成轴对称图形的有②④⑤，3种情况，因此可知使与图中阴影部分构成轴对称图形的概率为3 355÷=故选C5．岐山县各学校开展了第二课堂的活动,在某校国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组三个活动组织中,若小斌和小宇两名同学每人随机选择其中一个活动参加,则小斌和小宇选到同一活动的概率是（）A．12B．13C．16D．19【答案】B【解析】【分析】先画树状图（国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组分别用A、B、C表示）展示所有9种等可能的结果数，再找出小斌和小宇两名同学的结果数，然后根据概率公式计算即可．【详解】画树状图为：(国学诗词组、篮球足球组、陶艺茶艺组分别用A. B. C表示)共有9种等可能的结果数，其中小斌和小宇两名同学选到同一课程的结果数为3，所以小斌和小宇两名同学选到同一课程的概率=31 93 =，故选B.【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适用于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．6．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以构酌油之，自钱孔入，而钱不湿”，可见卖油的技艺之高超.如图，若铜钱半径为，中间有边长为的正方形小孔，随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】用中间正方形小孔的面积除以圆的总面积即可得．【详解】∵铜钱的面积为4π，而中间正方形小孔的面积为1，∴随机向铜钱上滴一滴油（油滴大小忽略不计），则油恰好落入孔中的概率是，故选：D．【点睛】考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．7．将三粒均匀的分别标有：1，2，3，4，5，6的正六面体骰子同时掷出，出现的数字分别为a，b，c，则a，b，c正好是直角三角形三边长的概率是（）A．136B．16C．112D．13【答案】A【解析】【分析】本题是一个由三步才能完成的事件，共有6×6×6=216种结果，每种结果出现的机会相同，a，b，c正好是直角三角形三边长，则它们应该是一组勾股数，在这216组数中，是勾股数的有3，4，5；3，5，4；4，3，5；4，5，3；5，3，4；5，4，3共6种情况，即可求出a，b，c正好是直角三角形三边长的概率.【详解】P（a，b，c正好是直角三角形三边长）=61 21636故选：A【点睛】本题考查概率的求法，概率等于所求情况数与总情况数之比.本题属于基础题，也是常考题型.8．（2018•六安模拟）下列成语所描述的是必然事件的是（）A．揠苗助长 B．瓮中捉鳖 C．水中捞月 D．大海捞针【答案】B【解析】A，是不可能事件，故选项错误；B，是必然事件，选项正确；C，是不可能事件，故选项错误；D，是随机事件，故选项错误．故选B．9．将一枚质地均匀的骰子掷两次，则两次点数之和等于9的概率为（）A．13B．16C．19D．112【答案】C【解析】【分析】【详解】解：画树状图为：共有36种等可能的结果数，其点数之和是9的结果数为4，所以其点数之和是9的概率＝436＝19．故选C．点睛：本题考查了列表法与树状图法求概率：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，则事件A的概率P（A）＝mn．10．从﹣1、2、3、﹣6这四个数中任取两数，分别记为m、n，那么点(),m n在函数6yx=图象的概率是（）A．12B．13C．14D．18【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可得出mn＝6，列表找出所有mn的值，根据表格中mn＝6所占比例即可得出结论．【详解】Q点(),m n在函数6yx=的图象上，6mn∴=．列表如下：mn的值为6的概率是41 123=．故选：B．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及列表法与树状图法，通过列表找出mn＝6的概率是解题的关键．11．一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．5位同学进行摸球游戏，每位同学摸10次（摸出1球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次为8，5，9，7，6，则估计盒中红球和白球的个数是（）A．红球比白球多B．白球比红球多C．红球，白球一样多D．无法估计【答案】A【解析】根据题意可得5位同学摸到红球的频率为85976357505010++++==，由此可得盒子里的红球比白球多．故选A．12．下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果：下面有三个推断：①当n为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955；②随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.95；③若大豆粒数n 为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒． 其中推断合理的是（ ） A ．①②③ B ．①②C ．①③D ．②③【答案】D 【解析】 【分析】利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即为概率可解题. 【详解】解：①当n 为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955,此推断错误,②随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.95,此结论正确,③若大豆粒数n 为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒,此结论正确, 故选D. 【点睛】本题考查了利用频率估计概率, 大量反复试验下频率稳定值即为概率,属于简单题,熟悉概念是解题关键.13．下列事件中是确定事件的为( )A ．两条线段可以组成一个三角形B ．打开电视机正在播放动画片C ．车辆随机经过一个路口，遇到绿灯D ．掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是奇数 【答案】A【解析】A. 两条线段可以组成一个三角形是不可能事件，也是确定事件，故本选项正确； B. 打开电视机正在播放动画片是随机事件，故本选项错误； C. 车辆随机经过一个路口，遇到绿灯是随机事件，故本选项错误； D. 掷一枚均匀的骰子，掷出的点数是奇数是随机事件，故本选项错误。
(易错题精选)初中数学概率全集汇编含解析
（易错题精选）初中数学概率全集汇编含解析一、选择题1．下列事件是必然事件的是（）A．打开电视机正在播放动画片B．投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50C．车辆在下个路口将会遇到红灯D．在平面上任意画一个三角形，其内角和是180︒【答案】D【解析】【分析】直接利用随机事件以及必然事件的定义分别判断得出答案．【详解】A、打开电视机正在插放动画片为随机事件，故此选项错误；B、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50为随机事件，故此选项错误；C、“车辆在下个路口将会遇到红灯”为随机事件，故此选项错误；D、在平面上任意画一个三角形，其内角和是180°为必然事件，故此选项正确．故选：D．【点睛】此题考查随机事件以及必然事件，正确把握相关定义是解题关键．2．学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率是（）A．23B．12C．13D．14【答案】C【解析】【分析】【详解】用数组（X，Y）中的X表示征征选择的社团，Y表示舟舟选择的社团．A，B，C分别表示航模、彩绘、泥塑三个社团，于是可得到（A，A），（A，B），（A，C），（B，A），（B，B），（B，C），（C，A），（C，B），（C，C），共9中不同的选择结果，而征征和舟舟选到同一社团的只有（A，A），（B，B），（C，C）三种，所以，所求概率为3193=，故选C．考点：简单事件的概率．3．袋中装有除颜色外其他完全相同的4个小球，其中3个红色，一个白色，从袋中任意地摸出两个球，这两个球颜色相同的概率是( )A．12B．13C．23D．16【答案】A【解析】【分析】用树形图法确定所有情况和所需情况，然后用概率公式解答即可．【详解】解：画树状图如下：则总共有12种情况，其中有6种情况是两个球颜色相同的，故其概率为61 122．故答案为A．【点睛】本题考查画树形图和概率公式，其中根据题意画出树形图是解答本题的关键．4．随机掷一枚质地均匀的硬币两次,落地后至少有一次正面向上的概率是 ()A．34B．23C．12D．14【答案】A【解析】【分析】根据：随机掷一枚质地均匀的硬币两次，可能出现的情况为：正正，正反，反正，反反；可求落地后至多有一次正面朝下的概率.【详解】∵随机掷一枚质地均匀的硬币两次，可能出现的情况为：正正，正反，反正，反反．∴落地后至多有一次正面朝下的概率为34．故选：A【点睛】本题考核知识点：求概率.解题关键点：用列举法求出所有情况.5．下列说法正确的是（）A．检测某批次灯泡的使用寿命，适宜用全面调查B．可能性是1%的事件在一次试验中一定不会发生C．数据3，5，4，1，-2的中位数是4D．“367人中有2人同月同日出生”为确定事件【解析】【分析】根据可能性的大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数概念、必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．【详解】A、检测某批次灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，应采用抽样调查，此选项错误；B、可能性是1%的事件在一次试验中可能发生，此选项错误；C、数据3，5，4，1，-2的中位数是3，此选项错误；D、“367人中有2人同月同日出生”为必然事件，此选项正确；故选D．【点睛】本题主要考查可能性的大小、全面调查与抽样调查的定义及中位数概念、随机事件，熟练掌握基本定义是解题的关键．6．在2015-2016CBA常规赛季中，易建联罚球投篮的命中率大约是82.3%，下列说法错误的是（）A．易建联罚球投篮2次，一定全部命中B．易建联罚球投篮2次，不一定全部命中C．易建联罚球投篮1次，命中的可能性较大D．易建联罚球投篮1次，不命中的可能性较小【答案】A【解析】【分析】根据概率的意义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A、易建联罚球投篮2次，不一定全部命中，故本选项错误；B、易建联罚球投篮2次，不一定全部命中，故本选项正确；C、∵易建联罚球投篮的命中率大约是82.3%，∴易建联罚球投篮1次，命中的可能性较大，故本选项正确；D、易建联罚球投篮1次，不命中的可能性较小，故本选项正确．故选：A．【点睛】本题考查了概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生．7．用2、3、4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为( )A．12B．14C．35D．23【解析】【分析】首先利用列举法可得：用2，3，4三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：234，243，324，342，423，432；且排出的数是偶数的有：234、324、342、432，然后直接利用概率公式求解即可求得答案【详解】解：∵用2，3，4三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：234，243，324，342，423，432；∵排出的数是偶数的有：234、324、342、432；∴排出的数是偶数的概率为：46=23.【点睛】此题考查了列举法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．8．从一副(54张)扑克牌中任意抽取一张，正好为K的概率为（）A．227B．14C．154D．12【答案】A【解析】【分析】用K的扑克张数除以一副扑克的总张数即可求得概率．【详解】解：∵一副扑克共54张，有4张K，∴正好为K的概率为454=227，故选：A．【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn．9．将一枚质地均匀的骰子掷两次，则两次点数之和等于9的概率为（）A．13B．16C．19D．112【答案】C 【解析】【分析】【详解】解：画树状图为：共有36种等可能的结果数，其点数之和是9的结果数为4，所以其点数之和是9的概率＝436＝19．故选C．点睛：本题考查了列表法与树状图法求概率：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，则事件A的概率P（A）＝mn．10．有三张正面分别写有数字﹣2，1，3的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面数字作为a的值，然后把这张放回去，再从三张卡片中随机抽一张，以其正面的数字作为b的值，则点（a，b）在第一象限的概率为（）A．16B．13C．12D．49【答案】D【解析】【分析】根据题意画出树状图，然后确定出总发生的可能数和符合条件的可能数，再用概率公式求解即可.【详解】根据题意，画出树状图如下：一共有6种情况，在第二象限的点有（-1，1）（-1，2）共2个，以，P=21 = 63.故选：B.【点睛】本题考查了列表法与树状图法，第一象限点的坐标特征，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．11．已知实数0a <，则下列事件是随机事件的是（ ）A ．0a ≥B ．10a +>C ．10a -<D ．210a +< 【答案】B【解析】【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】解：A 、∵任何数的绝对值都是非负数，∴0a ≥是必然事件，不符合题意；B 、∵0a <，∴1a +的值可能大于零，可能小于零，可能等于零是随机事件，符合题意；C 、∵0a <，∴a-1＜-1＜0是必然事件，故C 不符合题意；D 、∵21a +>0,∴210a +<是不可能事件，故D 不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．12．由两个可以自由转动的转盘、每个转盘被分成如图所示的几个扇形、游戏者同时转动两个转盘，如果一个转盘转出了红色，另一转盘转出了蓝色，游戏者就配成了紫色下列说法正确的是（ ）A ．两个转盘转出蓝色的概率一样大B ．如果A 转盘转出了蓝色，那么B 转盘转出蓝色的可能性变小了C ．先转动A 转盘再转动B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率不同D ．游戏者配成紫色的概率为16 【答案】D【解析】A 、A 盘转出蓝色的概率为12、B 盘转出蓝色的概率为13，此选项错误； B 、如果A 转盘转出了蓝色，那么B 转盘转出蓝色的可能性不变，此选项错误；C、由于A、B两个转盘是相互独立的，先转动A 转盘再转动B 转盘和同时转动两个转盘，游戏者配成紫色的概率相同，此选项错误；D、画树状图如下：由于共有6种等可能结果，而出现红色和蓝色的只有1种，所以游戏者配成紫色的概率为16，故选D．13．下列事件中，是必然事件的是（）A．任意画一个三角形，其内角和是180°B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯C．掷一次骰子，向上一面的点数是6D．射击运动员射击一次，命中靶心【答案】A【解析】【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念对各个选项进行判断即可．【详解】A．任意画一个三角形，其内角和是180°是必然事件；B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件；C．掷一次骰子，向上一面的点数是6是随机事件；D．射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件；故选：A．【点睛】考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．14．数学老师拿出四张卡片，背面完全一样，正面分别画有：矩形、菱形、等边三角形、圆背面朝上洗匀后先让小明抽出一张，记下形状后放回，洗匀后再让小亮抽出一张请你计算出两次都抽到既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是（）A．34B．38C．916D．23【答案】C 【解析】【分析】利用列表和画树状图可知所有的情况，在找出两次抽到的是既是中心对称图形又是轴对称图形的情况，利用求简单概率的公式即可求出.【详解】由题意可知：四张卡片正面的四种图形分别为矩形、菱形、等边三角形、圆，除等边三角形外其余三种都既是中心对称图形，又是轴对称图形.设矩形、菱形、圆分别为Al、A2、A3，等边三角形为B，根据题意可画树状图如下图：如图所示，共有16种等可能情况的结果数，其中两次都抽到既是中心对称图形又是轴对称图形的情况为9种，所以两次都抽到既是中心对称图形又是轴对称图形的概率916P ，故选C.【点睛】本题主要考查了利用列表法和画树状图法求概率，熟知中心对称图形、轴对称图形的定义与画树状图的方法及求概率的公式是解题关键.15．如图，由四个直角边分别是6和8的直角三角形拼成的“赵爽弦图”，随机往大正方形ABCD内投针一次，则针扎在小正方形EFGH内的概率是（）A．116B．120C．124D．125【答案】D【解析】【分析】根据几何概率的求法，针头扎在小正方形内的概率为小正方形面积与大正方形面积比，小正方形的面积求算根据直角三角形的边长求算边长再算面积．【详解】根据题意，“赵爽弦图”中，直角三角形的直角边分别为6和8所以小正方形的边长为：862-=，小正方形的面积为4，10=，大正方形的面积为100.所以针扎在小正方形EFGH内的概率是41=10025，答案选D．【点睛】本题借助“赵爽弦图”考查了几何概率，要注意针扎在小正方形EFGH内的概率是小正方形与大正方形的面积比．16．一个盒子里装有若干个红球和白球，每个球除颜色以外都相同．5位同学进行摸球游戏，每位同学摸10次（摸出1球后放回，摇匀后再继续摸），其中摸到红球数依次为8，5，9，7，6，则估计盒中红球和白球的个数是（）A．红球比白球多B．白球比红球多C．红球，白球一样多D．无法估计【答案】A【解析】根据题意可得5位同学摸到红球的频率为85976357505010++++==，由此可得盒子里的红球比白球多．故选A．17．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到黄球的概率是0.2，则估计盒子中大约有红球（）A．12个B．16个C．20个D．25个【答案】B【解析】【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．【详解】解：设盒子中有红球x个，由题意可得：44x+=0.2，解得：x=16，故选：B．．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的概率得到相应的等量关系18．袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是（）A．摸出的三个球中至少有一个球是黑球B．摸出的三个球中至少有一个球是白球C．摸出的三个球中至少有两个球是黑球D．摸出的三个球中至少有两个球是白球【答案】A【解析】【分析】根据必然事件的概念：在一定条件下，必然发生的事件叫做必然事件分析判断即可.【详解】A、是必然事件；B、是随机事件，选项错误；C、是随机事件，选项错误；D、是随机事件，选项错误．故选A．19．下列说法正确的是（）A．对角线相等的四边形一定是矩形B．任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上C．如果有一组数据为5，3，6，4，2，那么它的中位数是6D．“用长分别为5cm、12cm、6cm的三条线段可以围成三角形”这一事件是不可能事件【答案】D【解析】【分析】根据矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义依次判断即可.【详解】A.对角线相等的平行四边形是矩形，故该项错误；B. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，故该项错误；C. 一组数据为5，3，6，4，2，它的中位数是4，故该项错误；D. “用长分别为5cm、12cm、6cm的三条线段可以围成三角形” 这一事件是不可能事件，正确，故选：D.【点睛】此题矩形的判定定理，数据出现的可能性的大小，中位数的计算方法，不可能事件的定义，综合掌握各知识点是解题的关键.20．有大小、形状、颜色完全相同的四个乒兵球，球上分别标有数字2，3，5，6，将这四个球放入不透明的袋中搅匀，不放回地从中随机连续抽取两个，则这两个球上的数字之积为奇数的概率是( )A．16B．13C．23D．14【答案】A【解析】【分析】根据题意先画出树状图，得出所有等可能的情况数和两个球上的数字之积为奇数的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．【详解】根据题意画树状图如下：∵一共有12种等可能的情况数，这两个球上的数字之积为奇数的有2种情况，∴这两个球上的数字之积为奇数的概率是21= 126．故选A．【点睛】此题考查的是树状图法求概率；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．。
高中概率练习题及讲解讲解
高中概率练习题及讲解讲解一、基础题1. 题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，求是红球的概率。
答案：首先计算总球数为8个，红球数为5个。
根据概率公式 P(A) = 事件发生的次数 / 总的可能次数，红球的概率 P(红球) = 5/8。
2. 题目：掷一枚均匀的硬币两次，求至少出现一次正面的概率。
答案：首先列出所有可能的结果：正正、正反、反正、反反。
其中正正和正反、反正是至少出现一次正面的情况。
根据概率公式，P(至少一次正面) = 3/4。
3. 题目：一个班级有30名学生，随机选取5名学生作为代表，求其中至少有一名男生的概率（假设班级男女比例为1:1）。
答案：首先计算总的选取方式，即从30名学生中选取5名的组合数。
然后计算没有男生的选取方式，即从15名女生中选取5名的组合数。
根据对立事件的概率计算，P(至少一名男生) = 1 - P(没有男生)。
二、进阶题1. 题目：一个工厂每天生产100个零件，其中有5%的次品。
今天工厂生产了200个零件，求至少有10个次品的概率。
答案：首先确定次品数为10、11、...、20。
使用二项分布公式P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中 n=200, p=0.05。
计算总概率P(X ≥ 10) = Σ P(X=k) (k=10 to 20)。
2. 题目：一个盒子里有10个球，编号为1到10。
随机抽取3个球，求抽取的球的编号之和大于15的概率。
答案：列出所有可能的抽取组合，计算和大于15的组合数。
然后根据概率公式计算概率。
3. 题目：一个班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。
随机选取5名学生，求选取的学生中恰好有3名男生的概率。
答案：使用组合数计算选取3名男生和2名女生的组合数，然后除以总的选取方式数，即从50名学生中选取5名的组合数。
三、高难题1. 题目：一个连续掷骰子直到出现6点停止，求掷骰子次数的期望值。
概率论经典难题汇编
概率论经典难题汇编概率论是一门重要的数学分支，其理论和应用广泛应用于各个领域。
在研究概率论的过程中，解决一些经典的难题可以帮助加深对概率论知识的理解。
本文将汇编一些概率论中的经典难题，供大家参考。
1. 蒙特霍尔问题问题描述：有三扇关闭的门，其中一扇门后面有一辆汽车，另外两扇门后面是两只山羊。
参赛者选择一扇门。
主持人打开剩下两扇门中的一扇，露出一只山羊。
现在参赛者是否应该更换选择？解答：参赛者应该更换选择。
初始时，参赛者选择正确门的概率为1/3，选择错误门的概率为2/3。
当主持人打开一扇门后，参赛者更换选择后，选择正确门的概率为2/3，而选择错误门的概率为1/3。
因此，更换选择是有利于参赛者的。
2. 生日悖论问题描述：在一个房间中，至少需要多少人才能使得至少两个人生日相同的概率大于50%？解答：当人数为23时，至少有一对人生日相同的概率已经超过50%。
这个悖论的解答涉及到概率计算和组合数学的知识。
3. 孟哥问题问题描述：有两个孩子，其中一个是男孩。
已知男孩顺序无关，即男孩在前女孩在后和女孩在前男孩在后被视为同一情况。
那么，两个孩子都是男孩的概率是多少？解答：设事件A为两个孩子都是男孩，事件B为至少一个孩子是男孩。
则事件A发生的前提是事件B发生，因此概率P(A|B)是事件A发生在事件B发生的条件下的概率。
由于事件A和B是相互独立的，有P(A|B) = P(A) = 1/2。
以上是概率论中的一些经典难题，通过研究和解答这些问题，可以提高对概率论的理解和应用能力。
*注意：以上解答仅供参考，具体问题的解答需要根据具体条件和情况进行分析。
*。
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A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
【详解】
解：画树状图为：
共有36种等可能的结果数，其点数之和是9的结果数为4，
所以其点数之和是9的概率＝ ＝ ．
故选C．
点睛：本题考查了列表法与树状图法求概率：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A的结果数目m，则事件A的概率P（A）＝ ．
6．下列事件中，是必然事件的是( )
A．购买一张彩票，中奖B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D．任意画一个三角形，其内角和是180°
【答案】D
【解析】
【分析】
先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的．
【详解】
解：①当n为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955,此推断错误,
②随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.95,此结论正确,
③若大豆粒数n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒,此结论正确,
12．在平面直角坐标系中有三个点的坐标： ，从 三个点中依次取两个点，求两点都落在抛物线 上的概率是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出两点都落在抛物线 上的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】
解：在 三点中，其中AB两点在 上，
根据题意画图如下：
故选B．
【点睛】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
10．国家医保局相关负责人3月25日表示，2019年底前我国将实现生育保险基金并入职工基本医疗保险基金，统一征缴，就是通常所说的“五险变四险”.传统的五险包括：养老保险、失业保险、医疗保险、工伤保险、生育保险.某单位从这五险中随机抽取两种，为员工提高保险比例，则正好抽中养老保险和医疗保险的概率是( )
概率难题汇编及答案
一、选择题
1．下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果：
每批粒数n
100
300
400
600
1000
2000
3000
发芽的粒数m
96
282
382
570
948
1904
2850
发芽的频率
0.960
0.940
0.955
0.950
0.948
0.952
0.950
下面有三个推断：
①当n为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.955；
5．疫情防控，我们一直在坚守．某居委会组织两个检查组，分别对“居民体温”和“居民安全出行”的情况进行抽查．若这两个检查组在辖区内的某三个校区中各自随机抽取一个小区进行检查，则他们恰好抽到同一个小区的概率是（）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
将三个小区分别记为A、B、C，列举出所有等情况数和他们恰好抽到同一个小区的情况数，然后根据概率公式即可得出答案．
【答案】A
【解析】
【分析】
首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与两次都摸到黄球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．注意此题属于放回实验．
【详解】
画树状图如下：
由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两次都摸到黄球的有4种结果，
∴两次都摸到黄球的概率为 ，
故选A．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率的知识．注意画树状图与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．
【详解】
A．购买一张彩票中奖，属于随机事件，不合题意；
B．射击运动员射击一次，命中靶心，属于随机事件，不合题意；
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，属于随机事件，不合题意；
D．任意画一个三角形，其内角和是180°，属于必然事件，符合题意；
故选D．
【点睛】
本题主要考查了必然事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件．
故这两个球都是红球相同的概率是 ，
故选A．
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4．下列诗句所描述的事件中，是不可能事件的是（ ）
A．黄河入海流B．锄禾日当午C．大漠孤烟直D．手可摘星辰
【答案】D
【解析】
【分析】
不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．
【详解】
A、是必然事件，故选项错误；
B、是随机事件，故
D、是不可能事件，故选项正确．
故选D．
【点睛】
此题主要考查了必然事件，不可能事件，随机事件的概念．理解概念是解决这类基础题的主要方法．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
解得：x＝0，或x＝ ，
∵x≠8，
∴ ≠8，
∴m≠8，
∵分式方程 ＝3x+ 的解为整数，
∴m＝2，5，
∴使得一次函数y＝（﹣m+1）x+11﹣m经过一、二、四象限且关于x的分式方程 ＝3x+ 的解为整数的整数有2，5，
∴使得一次函数y＝（﹣m+1）x+11﹣m经过一、二、四象限且关于x的分式方程 ＝3x+ 的解为整数的概率为 ＝ ；
【详解】
将三个小区分别记为A、B、C，根据题意列表如下：
A
B
C
A
（A，A）
（B，A）
（C，A）
B
（A，B）
（B，B）
（C，B）
C
（A，C）
（B，C）
（C，C）
由表可知，共有9种等可能结果，其中他们恰好抽到同一个小区的有3种情况，
所以他们恰好抽到同一个小区的概率为 .
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
【详解】
A．打开电视机，正在播放“张家界新闻”是随机事件，故A选项错误；
B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天可能下雨，故B选项错误；
C．两组数据平均数相同，则方差大的更不稳定，故C选项错误；
D，数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7，正确，
故选D．
【点睛】
本题考查了概率、方差、众数和中位数等知识，熟练掌握相关知识的概念、意义以及求解方法是解题的关键.
13．已知一个口袋中装有六个完全相同的小球，小球上分别标有1，2，5，7，8，13六个数，搅匀后一次从中摸出一个小球，将小球上的数记为m，则使得一次函数y＝（﹣m+1）x+11﹣m经过一、二、四象限且关于x的分式方程 ＝3x+ 的解为整数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
【详解】
解：∵用2，3，4三个数字排成一个三位数，等可能的结果有：234，243，324，342，423，432；
∵排出的数是偶数的有：234、324、342、432；
∴排出的数是偶数的概率为： = .
【点睛】
此题考查了列举法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
8．动物学家通过大量的调查估计：某种动物活到 岁的概率为 ，活到 岁的概率为 ，活到 岁的概率为 ，现在有一只 岁的动物，它活到 岁的概率是()
所以，正好抽中养老保险和医疗保险的概率P= .
故选B.
【点睛】
此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
11．下列说法正确的是( )
求出使得一次函数y=（-m+1）x+11-m经过一、二、四象限且关于x的分式方程 ＝3x+ 的解为整数的数，然后直接利用概率公式求解即可求得答案．
【详解】
解：∵一次函数y＝（﹣m+1）x+11﹣m经过一、二、四象限，﹣m+1＜0，11﹣m＞0，
∴1＜m＜11，
∴符合条件的有：2，5，7，8，
把分式方程 ＝3x+ 去分母，整理得：3x2﹣16x﹣mx＝0，
A．打开电视机，正在播放“张家界新闻”是必然事件
B．天气预报说“明天的降水概率为65%”，意味着明天一定下雨
C．两组数据平均数相同，则方差大的更稳定
D．数据5，6，7，7，8的中位数与众数均为7
【答案】D
【解析】
【分析】
根据必然事件的意义、概率的意义、方差的意义、中位数和众数的概念逐一进行判断即可.
故选D.
【点睛】
本题考查了利用频率估计概率,大量反复试验下频率稳定值即为概率,属于简单题,熟悉概念是解题关键.