{高中试卷}人大附中-上学期高一数学必修1测试[仅供参考]
人大附中2019-2020学年上学期高一数学必修一模块试题
高一数学 期中&必修1试题 第1页 共4人大附中2019~2020学年度第一学期期中高一年级数学 必修1模块考核试卷说明：本试卷分Ⅰ卷和Ⅱ卷，Ⅰ卷17道题，共100分，作为模块成绩；Ⅱ卷7道题，共50分；Ⅰ卷、Ⅱ卷共24题，合计150分，作为期中成绩；考试时间120分钟；请在答题卡上填写个人信息，并将条形码贴在答题卡的相应位置上．Ⅰ卷 （共17题，满分100分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 一、选择题（每题5分，共40分）1．设集合{}|32X x x =∈-<<Z ，{}|13Y y y =∈-≤≤Z ，则XY =（ ）A ．{}0,1B ．{}1,0,1-C ．{}0,1,2D ．{}1,0,1,2-2．下列各组函数是同一函数的是（ ）A ．||x y x=与1y =B ．y =1y x =-C ．2x y x=与y x =D ．321x xy x +=+与y x =3．下列函数中，在区间()0,2上是增函数的是（ ）A ．1y x =-+B ．245y x x =-+C ．y =D ．1y x=4．命题“对任意x ∈R ，都有20x ≥”的否定为（ ）A ．对任意x ∈R ，都有20x < B ．不存在x ∈R ，使得20x < C ．存在0x ∈R ，使得200x ≥D ．存在0x ∈R ，使得200x <5．已知函数()f x 的图象是两条线段（如图，不含端点），则高一数学 期中&必修1试题 第2页 共4页1[()]3f f =（ ）A ．13-B ．13 C ．23- D ．236．已知,a b 是实数，则“0a b >>且0c d <<”是“a bd c<”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．如下图，是吴老师散步时所走的离家距离（y ）与行走时间（x ）之间的函数关系的图象，若用黑点表示吴老师家的位置，则吴老师散步行走的路线可能是（ ）8．已知集合523M x x ⎧⎫=∈--⎨⎬⎩⎭R 为正整数，则M 的所有非空真子集的个数是（ ）A ．30B ．31C ．510D ．511二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）9．方程组322327x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集用列举法表示为__________．10．已知函数()2,02,0x x f x x x +≤⎧=⎨-+>⎩，则方程()2f x x =的解集为__________．11．某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 12．若函数()()2212f x x a x =+-+在区间()1,4上不是单调函数，那么实数a的取值范高一数学 期中&必修1试题 第3页 共4页围是__________．13．几位同学在研究函数()1xf x x=+()x ∈R 时给出了下面几个结论： ①函数 的值域为 ；②若 ，则一定有 ； ③ 在 是增函数；④若规定 ，且对任意正整数n 都有： ，则()1n xf x n x=+对任意 恒成立．上述结论中正确结论的序号为__________．14．函数()2241f x x x =-+，()2g x x a =+，若存在121,[,2]2x x ∈，使得()()12f x g x =，则a 的取值范围是__________．三、解答题（本大题共3小题，每题10分，共30分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）15．设全集是实数集R ，{}2|2730A x x x =-+≤，{}2|0B x x a =+<. （1）当4a =-时，求AB 和A B ； （2）若()A B B =R ð，求实数a 的取值范围.16．已知二次函数()()22,f x x bx c b c =++∈R .（1）已知()0f x ≤的解集为{}|11x x -≤≤，求实数,b c 的值； （2）已知223c b b =++，设1x 、2x 是关于x 的方程()0f x =的两根，且()()12118x x ++=，求实数b 的值；（3）若()f x 满足()10f =，且关于x 的方程()0f x x b ++=的两个实数根分别在区间()3,2--，()0,1内，求实数b 的取值范围.高一数学 期中&必修1试题 第4页 共4页17．已知函数4()f x x x=+. （1）判断函数()f x 的奇偶性； （2）指出该函数在区间(0,2]上的单调性，并用函数单调性定义证明；（3）已知函数()()(),05,0,0f x x g x x f x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，当[]1,x t ∈-时()g x 的取值范围是[)5,+∞，求实数t 的取值范围.（只需写出答案）Ⅱ卷 （共7道题，满分50分）四、选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案填涂在答题纸上的相应位置．） 18．已知两个函数()f x 和()g x 的定义域和值域都是集合{}1,2,3，其定义如下表：则方程[()]1g f x x =+的解集为（ ） A ．{}1B ．{}2C ．{}1,2D ．{}1,2,319．已知()f x 是定义在(4,4)-上的偶函数，且在(4,0]-上是增函数，()(3)f a f <，则a的取值范围是（） A ．()3,3-B．()(),33,-∞-+∞ C ．()4,3-- D ．()()4,33,4--20．已知函数2()25f x x ax =-+在[1,3]x ∈上有零点，则正数．．a 的所有可取的值的集合为（ ）A ．7[,3]3B ．)+∞C ．D ．(五、填空题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）高一数学 期中&必修1试题 第5页 共4页21．已知函数()f x =则函数()f x 的最大值为__________，函数()f x 的最小值点为__________．22．关于x 的方程()()g x t t =∈R 的实根个数记为()f t ． （1）若()1g x x =+，则()f t =__________；（2）若2,0,()2,0,x x g x x ax a x ≤⎧=⎨-++>⎩()a ∈R ，存在t 使得(2)()f t f t +>成立，则a 的取值范围是__________．23．对于区间[]()a b a b <，，若函数()y f x =同时满足：① ()f x 在[]a b ，上是单调函数；② 函数()y f x =，[]x a b ∈，的值域是[]a b ，， 则称区间[]a b ，为函数()f x 的“保值”区间.（1）写出函数2y x =的一个“保值”区间为__________；（2）若函数()2(0)f x x m m =+≠存在“保值”区间，则实数m 的取值范围为__________．六、解答题（本大题共1小题，满分14分．解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案写在答题纸上的相应位置．）24．已知x 为实数，用[]x 表示不超过x 的最大整数. （1）若函数()[]f x x =，求()1.2f ，()1.2f -的值；（2）若函数()()122x x f x x +⎡⎤⎡⎤=-∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦R ，求()f x 的值域； （3）若存在m ∈R 且,m ∉Z 使得()([])f m f m =，则称函数()f x 是Ω函数,若函数()af x x x=+是Ω函数，求a 的取值范围.高一数学 期中&必修1试题 第6页 共4页人大附中2019~2020学年度第一学期期中高一年级数学练习& 必修1模块考核试卷答案20191108一卷一、选择题（每题5分，共40分）1．B 2．D 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．C 二、填空题（每题5分，共30分） 9．(){}3,7- 10．{}1,1- 11．30 12．()3,0- 13．①②③④ 14．[5,0]-三、解答题（每题10分，共30分）15． 解：（1）因为1|32A x x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，-------------------1‘ 当4a =-时，{}|22B x x =-<<--------------------2‘所以1|22AB x x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭-------------------------3‘{}|23A B x x =-<≤----------------------------4‘（2）1|32A x x x ⎧⎫=<>⎨⎬⎩⎭或ð----------------------5‘ 因为()AB B =ð，所以B A ⊆ð------------------6‘当B =∅即0a ≥时，满足B A ⊆ð-----------------7‘ 当B ≠∅即0a <时，-----------------------------8‘12≤，解得104a -≤<-----------------------9‘高一数学 期中&必修1试题 第7页 共4页综上，实数a 的取值范围为1,+4⎡⎫-∞⎪⎢⎣⎭---------------10‘ 16． 解：（1）法1：由题可知：-1，1为方程220x bx c ++=的两个根，-------------------1’所以，120,120.b c b c -+=⎧⎨++=⎩- -----------------------2’解之得：0,1b c ==-. ------------------------3‘法2：由题可知：-1，1为方程220x bx c ++=的两个根，-------------------1’由韦达定理，得-112-11bc +=-⎧⎨⨯=⎩，--------------2‘解之得：0,1b c ==-. ------------------------3‘（2）因为223c b b =++，()220f x x bx c =++=，所以222230x bx b b ++++=因为1x 、2x 是关于x 的方程222230x bx b b ++++=的两根， 所以22448120b b b ∆=---≥即32b ≤--------------------4‘ 所以12212223x x b x x b b +=-⎧⎨=++⎩----------------------------------5‘因为()()12118x x ++=，所以12127x x x x ++=，所以22237b b b -+++=----------6‘ 所以24b =，所以2b =或2b =-，因为32b ≤-，所以2b =-----------------------7‘ （3）因为()10f =，所以12c b =----------------------8‘设()()()2211g x f x x b x b x b =++=++--，则有高一数学 期中&必修1试题 第8页 共4页()()()()30200010g g g g ->⎧⎪-<⎪⎨<⎪⎪>⎩-------------------------------------------9‘ 解得1557b <<，所以b 的取值范围为15,57⎛⎫⎪⎝⎭.---------------------------10‘ 17． 解：（1）因为函数4()f x x x=+的定义域为 所以()(),00,x ∈-∞+∞时，()(),00,x -∈-∞+∞，（或写“函数4()f x x x=+的定义域关于原点对称”） 因为4()()f x x f x x-=--=-， 所以()f x 是奇函数.----------------------------------------------3‘（2）函数()f x 在区间(0,2]上是减函数；----------------------------------------------4’证明：任取(]12,0,2x x ∈，且1202x x <<≤-------------------------------------------5’()()()()121212124x x x x f x f x x x ---=-----------------------------------------------------6’ 因为1202x x <<≤所以220x ≥>，120x >>，所以124x x >，所以1240x x -<--------------------7’ 又因120x x -<，120x x >所以()()()()1212121240x x x x f x f x x x ---=>，所以()()12f x f x >----------------------------------------------------------------------------8‘高一数学 期中&必修1试题 第9页 共4页所以函数()f x 在区间(0,2]上是减函数. （3）实数t 的取值范围为[]0,1--------------10‘二卷四、选择题（每题6分，共18分） 18．C 19．D 20．C五、填空题（每题6分，共18分）21．3,1- 22．1，（1，+∞） 23．[01]，，311044⎡⎫⎛⎫--⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，， 六、解答题（本题共14分）24． 解：（Ⅰ）()1.21f = --------------------------2分()1.22f -=- --------------------------4分 （Ⅱ）方法1：因为11222x x +-=， 所以，只可能有两种情况：（1）存在整数t ，使得1122x x t t +≤<<+，此时122x x t +⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()0f x =； （2）存在整数t ，使得122x x t +<≤，此时11,22x x t t +⎡⎤⎡⎤=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()1f x =. 综上，()f x 的值域为{0,1}. --------------------------------------------------------------9分 方法2：高一数学 期中&必修1试题 第10页 共4页------------------9‘（Ⅲ） 当函数()af x x x=+是Ω函数时， 若0a =，则()f x x =显然不是Ω函数，矛盾.若0a <，由于都在(0,)+∞单调递增，故()f x 在(0,)+∞上单调递增， 同理可证：()f x 在(,0)-∞上单调递增， 此时不存在(,0)m ∈-∞，使得 ()([])f m f m =， 同理不存在(0,)m ∈∞，使得 ()([])f m f m =， 又注意到[]0m m ≥，即不会出现[]0m m <<的情形，所以此时()af x x x=+不是Ω函数. 当0a >时，设()([])f m f m =，所以[][]a a m m m m +=+，所以有[]a m m =，其中[]0m ≠， 当0m >时，高一数学 期中&必修1试题 第11页 共4页因为[][]1m m m <<+，所以2[][][]([]1)m m m m m <<+，所以2[][]([]1)m a m m <<+.当0m <时，[]0m <，因为[][]1m m m <<+，所以2[][][]([]1)m m m m m >>+，所以2[][]([]1)m a m m >>+.记[]k m =, 综上，我们可以得到：a 的取值范围为0a >且*2,k a k ∀∈≠N 且(1)a k k ≠+}. -------14分。
人大附中2019-2020上高一数学期中答案(1)(1)
人大附中2019~2020学年度第一学期期中高一年级数学练习& 必修1模块考核试卷答案一卷一、选择题（每题5分，共40分）1．B 2．D 3．C 4．D 5．B 6．A 7．D 8．C 二、填空题（每题5分，共30分）9．{(3,−7)} 10．{−1,1} 11．30 12．(−3,0) 13．①②③④ 14．[−5,0] 三、解答题（每题10分，共30分）15．设全集是实数集R ，A ={x|2x 2−7x +3≤0}，B ={x|x 2+a <0}。
（1）当a =−4时，求A ∩B 和A ∪B ； （2）若(∁R A )∩B =B ，求实数a 的取值范围。
解：（1）因为A ={x|12≤x ≤3}，-------------------1‘当a =−4时，B ={x|−2<x <2}--------------------2‘ 所以A ∩B ={x|12≤x <2}-------------------------3‘ A ∪B ={x|−2<x ≤3}----------------------------4‘ （2）∁ℝA ={x|x <12或x >3}----------------------5‘因为(∁ℝA)∩B =B ，所以B ⊆∁ℝA ------------------6‘ 当B =∅即a ≥0时，满足B ⊆∁ℝA -----------------7‘ 当B ≠∅即a <0时，-----------------------------8‘ √−a ≤12，解得−14≤a <0-----------------------9‘ 综上，实数a 的取值范围为[−14,+∞)---------------10‘16．已知二次函数f (x )=x 2+2bx +c (b,c ∈R )。
（1）若f (x )≤0的解集为{x|−1≤x ≤1}，求实数b,c 的值；（2）若c =b 2+2b +3，设x 1、x 2是关于x 的方程f (x )=0的两根，且(x 1+1)(x 2+1)=8，求b 的值；（3）若f (x )满足f (1)=0，且关于x 的方程f (x )+x +b =0的两个实数根分别在区间(−3,−2)，(0,1)内，求实数b 的取值范围。
2023-2024学年北京人大附中数学高一上期末综合测试试题含解析
故选 B
点睛：本题主要考查的知识点是线性回归方程的应用，即根据所给的或者是做出的线性回归方程，预报 y 的值，这是
一些解答题 7、A
【解析】转化为当
x
0,
1 2
时，函数
y
4x
3 2
的图象不在
y
loga
x
的图象的上方，根据图象列式可解得结果.
【详解】由题意知关于
x
的不等式
4x
3 2
loga
x
在
x
向左平移 个单位长度，得到函数
，即可求出最小正周期，把
看成是整体，分别求 的单
调递减区间、对称轴、对称中心，在分别验证选项即可得到答案.
【详解】由于函数
的图象上所有点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变），故函数的解析式为
，再将所得图象向左平移 个单位长度，
.
，故 A 错误；
的单调减区间为
，故 在区间 内不单调递减；
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60 分）
1．已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数， f (x) f (x 4) ，且 f (1) 1，则 f (2020) f (2021) （ ）
A. 1
Hale Waihona Puke B. 0C.1D. 2
2．若直线 l : x 3y n 0 与圆 x2 y2 2x 4 y 0 交于 A, B 两点，A, B 关于直线 3x y m 0 对称，则实数 m 的
2023-2024 学年北京人大附中数学高一上期末综合测试试题
注意事项： 1． 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2．选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0．5 毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
1人大附中数学必修1测试题及参考答案
人大附中2008-2009学年第一学期高一年级必修1考核试卷2008年11月5日 制卷人 高德莲 审卷人 梁丽平卷一 （共90分）说明：本试卷分卷一共三道大题，17道小题，卷二共二道大题，6道小题；满分120分，考试时间90分钟；请在密封线内填写个人信息。
一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将正确答案填涂在答题卡上.） 1．若{2,1,2,3}A =-，},|{2A t t x x B ∈==，则集合B 中的元素共有（ ）A ．3个B ．4个C ．7个D ．8 个 2.下列函数中,在区间()0,1上是增函数的是（ ） A ．x y = B ．1y x =- C ．xy 1=D ．42+-=x y 3. 若()2x f x =，则()f x 是（ ） A ．奇函数 B ． 偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数 4．二次函数245y x mx =-+的对称轴为2x =-，当1x =时，y 的值为（ ）A ．-7B ．1C ．17D ．255( )A ．lg 41-B ．1lg 4-C ．lg 3D ．1 6. 下列函数与y x =有相同图象的一个是（ ）A.y =B.2x y x=C.log (0,a x y a a =>且1)a ≠D.log (0,x a y a a =>且1)a ≠ 7. 下列计算中，一定正确的是 （ ）A ．2332a a a ⋅= B ． 0(2)1a -= C ．13a-=．=8. 设函数)(x f 是奇函数，且对任意正实数x 满足)2(2)2(x f x f --=+， 已知(1)4f =，那么)3(-f 的值是（ ）A ．2B ．8-C ．8D ．2-9．三个数680.80.8log 6，0.8，的大小关系为（ ）A . 680.80.8log 60.8<< B . 680.80.80.8log 6<< C ．860.8log 60.80.8<< D . 680.8log 60.80.8<<10．已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x ，则1[()]4f f 的值是（ ）A. 19- B. 9 C.－9 D.91二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分. 请把答案填在答题表中） 11. 函数2lg -=x y 的定义域是 . 12. 若2log 3x =，则22x x -+的值为_____________13. 函数2y x -=在区间]2,21[上的最大值是 _14．若函数 3)1()2()(2+-+-=x k x k x f 是偶函数，则)(x f 的递减区间是 三、解答题（本大题共3小题，共34分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.15.（本题满分12分）已知函数2()1f x x =+（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 在区间(1,)-+∞上的单调性，并用单调性的定义证明. 16.（本题满分12分）我们国家是水资源比较贫乏的国家之一，各个地区采用不同的价格调控以达到节约用水的目的。
人大附中高一数学第一学期期中考试和答案
高一年级必修1考核试卷说明：本试卷共三道大题，分18道小题，共6页；总分值100分，考试时刻90分钟；请在密封线内填写个人信息。
一、选择题（共8道小题，每道小题4分，共32分.请将正确答案填涂在答题卡上） 1．已知U 为全集，集合P ⊆Q ，那么以下各式中不成立．．．的是 （ ） A ． P ∩Q =P B. P ∪Q =Q C. P ∩(U Q ) =∅ D. Q ∩(U P )=∅2. 函数()lg(31)f x x =-的概念域为 （ ） A ．R B ．1(,)3-∞ C ．1[,)3+∞ D ．1(,)3+∞3．若是二次函数21y ax bx =++的图象的对称轴是1x =，而且通过点(1,7)A -，那么（ ）A ．a =2，b = 4B ．a =2，b = －4C ．a =－2，b = 4D ．a =－2，b = －4 4．函数||2x y =的大致图象是 （ ）5(01)a b a a =>≠且，那么 （ ）A ．2log 1a b =B ．1log 2ab = C ．12log a b = D ．12log b a = 6．已知概念在R 上的函数f (x )的图象是持续不断的，且有如下对应值表：那么函数f (x )必然存在零点的区间是 （ ） A . (－∞，1) B . (1，2) C . (2，3) D . (3，+∞) 7．以下说法中，正确的选项是 （ ）A ．对任意x ∈R ，都有3x ＞2x ；B ．y =(3)－x是R 上的增函数；C ．假设x ∈R 且0x ≠，那么222log 2log x x =；D ．在同一坐标系中，y =2x 与2log y x =的图象关于直线y x =对称.8．若是函数2(1)2y x a x =+-+在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ）A ．a ≥9B ．a ≤－3C ．a ≥5D ．a ≤－7二、填空题（共6道小题，每道小题4分，共24分。
2020-2021北京中国人民大学附属外国语中学高中必修一数学上期末第一次模拟试卷带答案
2020-2021北京中国人民大学附属外国语中学高中必修一数学上期末第一次模拟试卷带答案一、选择题1．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,∞+上是增函数，若对任意[)x 1,∞∈+，都有()()f x a f 2x 1+≤-恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[]2,0-B ．(],8∞--C ．[)2,∞+D ．(],0∞- 2．已知函数()ln ln(2)f x x x =+-，则 A ．()f x 在（0，2）单调递增 B ．()f x 在（0，2）单调递减C ．()y =f x 的图像关于直线x=1对称D ．()y =f x 的图像关于点（1，0）对称3．设集合{}1|21x A x -=≥，{}3|log ,B y y x x A ==∈，则B A =ð（ ）A ．()0,1B ．[)0,1C ．(]0,1D ．[]0,14．已知函数()()2,211,22x a x x f x x ⎧-≥⎪=⎨⎛⎫-<⎪ ⎪⎝⎭⎩, 满足对任意的实数x 1≠x 2都有()()1212f x f x x x --＜0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B ．13,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(－∞，2]D ．13,28⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．设23a log =，b =23c e =，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ． a c b <<6．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7．偶函数()f x 满足()()2f x f x =-，且当[]1,0x ∈-时，()cos 12xf x π=-，若函数()()()log ,0,1a g x f x x a a =->≠有且仅有三个零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．()3,5B ．()2,4C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,53⎛⎫ ⎪⎝⎭8．已知函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）（x ∈R ），若函数f （x ）是偶函数，记a=m ，若函数f （x ）为奇函数，记a=n ，则m+2n 的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．﹣19．若函数()[)[]1,1,0{44,0,1xxxf xx⎛⎫∈-⎪=⎝⎭∈，则f(log43)＝()A．13B．14C．3D．410．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．B．C．D．11．已知()f x=22x x-+,若()3f a=,则()2f a等于A．5B．7C．9D．1112．对任意实数x，规定()f x取4x-，1x+，()152x-三个值中的最小值，则()f x （）A．无最大值，无最小值B．有最大值2，最小值1C．有最大值1，无最小值D．有最大值2，无最小值二、填空题13．()f x是R上的奇函数且满足(3)(3)f x f x-=+，若(0,3)x∈时，()lgf x x x=+，则()f x在(6,3)--上的解析式是______________．14．己知函数()221f x x ax a=-++-在区间[]01，上的最大值是2,则实数a=______. 15．已知函数()()1123121xa x a xf xx-⎧-+<=⎨≥⎩的值域为R，则实数a的取值范围是_____. 16．函数()f x与()g x的图象拼成如图所示的“Z”字形折线段ABOCD，不含(0,1)A､(1,1)B､(0,0)O､(1,1)C--､(0,1)D-五个点，若()f x的图象关于原点对称的图形即为()g x的图象，则其中一个函数的解析式可以为__________.17．2()2f x x x=+（0x≥）的反函数1()f x-=________18．若函数()242x xf x a a=+-（0a>，1a≠)在区间[]1,1-的最大值为10，则a=______.19．已知sin()(1)xf xf xπ⎧=⎨-⎩(0)(0)xx<>则1111()()66f f-+为_____20．已知二次函数()f x ，对任意的x ∈R ，恒有()()244f x f x x +-=-+成立，且()00f =.设函数()()()g x f x m m =+∈R .若函数()g x 的零点都是函数()()()h x f f x m =+的零点，则()h x 的最大零点为________. 三、解答题21．已知函数f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)， (1)求g (x )的解析式及定义域； (2)求函数g (x )的最大值和最小值．22．已知函数1()21xf x a =-+，()x R ∈. （1）用定义证明：不论a 为何实数()f x 在(,)-∞+∞上为增函数；（2）若()f x 为奇函数，求a 的值；（3）在（2）的条件下，求()f x 在区间[1，5]上的最小值. 23．计算或化简：（1）1123021273log 161664π⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （2）6log 2332log 27log 2log 36lg 2lg 5+⋅-++.24．已知函数21()f x x x =-是定义在(0,)+∞上的函数. （1）用定义法证明函数()f x 的单调性；（2）若关于x 的不等式()220f x x m ++<恒成立，求实数m 的取值范围.25．已知()log a f x x =，()()()2log 2201,1,a g x x a a a =+>+≠∈R ，()1h x x x=+. （1）当[)1,x ∈+∞时，证明：()1h x x x=+为单调递增函数； （2）当[]1,2x ∈，且()()()F x g x f x =-有最小值2时，求a 的值.26．某镇在政府“精准扶贫”的政策指引下，充分利用自身资源，大力发展养殖业，以增加收入.政府计划共投入72万元，全部用于甲、乙两个合作社，每个合作社至少要投入15万元，其中甲合作社养鱼，乙合作社养鸡，在对市场进行调研分析发现养鱼的收益M 、养鸡的收益N 与投入a（单位：万元）满足25,1536,49,3657,a M a ⎧⎪=⎨<⎪⎩剟…1202N a =+.设甲合作社的投入为x （单位：万元），两个合作社的总收益为()f x （单位：万元）. （1）若两个合作社的投入相等，求总收益；（2）试问如何安排甲、乙两个合作社的投入，才能使总收益最大?【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】根据偶函数的性质，可知函数在(],0-∞上是减函数，根据不等式在[)1,x ∈+∞上恒成立，可得：21x a x +≤-在[)1,+∞上恒成立，可得a 的范围. 【详解】()f x Q 为偶函数且在[)0,+∞上是增函数()f x ∴在(],0-∞上是减函数对任意[)1,x ∈+∞都有()()21f x a f x +≤-恒成立等价于21x a x +≤-2121x x a x ∴-+≤+≤- 311x a x ⇒-+≤≤- ()()max min 311x a x ∴-+≤≤-当1x =时，取得两个最值3111a ∴-+≤≤- 20a ⇒-≤≤ 本题正确选项：A 【点睛】本题考查函数奇偶性和单调性解抽象函数不等式的问题，关键在于能够通过单调性确定自变量之间的关系，得到关于自变量的不等式.2．C解析：C 【解析】由题意知，(2)ln(2)ln ()f x x x f x -=-+=，所以()f x 的图象关于直线1x =对称，故C 正确，D 错误；又()ln[(2)]f x x x =-（02x <<），由复合函数的单调性可知()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，所以A ，B 错误，故选C ．【名师点睛】如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x +=-，那么函数的图象有对称轴2a bx +=；如果函数()f x ，x D ∀∈，满足x D ∀∈，恒有()()f a x f b x -=-+，那么函数()f x 的图象有对称中心(,0)2a b+． 3．B解析：B 【解析】【分析】先化简集合A,B,再求B A ð得解. 【详解】由题得{}10|22{|1}x A x x x -=≥=≥，{}|0B y y =≥.所以{|01}B A x x =≤<ð. 故选B 【点睛】本题主要考查集合的化简和补集运算，考查指数函数的单调性和对数函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4．B解析：B 【解析】 【分析】 【详解】试题分析：由题意有,函数()f x 在R 上为减函数,所以有220{1(2)2()12a a -<-⨯≤-,解出138a ≤,选B. 考点：分段函数的单调性. 【易错点晴】本题主要考查分段函数的单调性,属于易错题. 从题目中对任意的实数12x x ≠，都有()()12120f x f x x x -<-成立，得出函数()f x 在R 上为减函数,减函数图象特征:从左向右看,图象逐渐下降,故在分界点2x =处,有21(2)2()12a -⨯≤-,解出138a ≤. 本题容易出错的地方是容易漏掉分界点2x =处的情况.5．A解析：A 【解析】 【分析】根据指数幂与对数式的化简运算,结合函数图像即可比较大小. 【详解】 因为23a log =,b =23c e = 令()2f x log x =,()g x =函数图像如下图所示:则()2442f log ==,()442g == 所以当3x =时23log 3>,即a b <3b =23c e = 则66327b ==,626443 2.753.1c e e ⎛⎫⎪==>≈ ⎪⎝⎭所以66b c <,即b c < 综上可知, a b c << 故选:A 【点睛】本题考查了指数函数、对数函数与幂函数大小的比较,因为函数值都大于1,需借助函数图像及不等式性质比较大小,属于中档题.6．B解析：B 【解析】 【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决． 【详解】(0,1]x ∈Q 时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．7．D解析：D 【解析】试题分析：由()()2f x f x =-，可知函数()f x 图像关于1x =对称，又因为()f x 为偶函数，所以函数()f x 图像关于y 轴对称.所以函数()f x 的周期为2，要使函数()()log a g x f x x =-有且仅有三个零点，即函数()y f x =和函数log a y x =图形有且只有3个交点.由数形结合分析可知，0111{log 31,53log 51a a a a <<>-⇒<<<-，故D 正确. 考点：函数零点【思路点睛】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．8．B解析：B 【解析】试题分析：利用函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，得到g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数，然后利用g （0）=0，可以解得m ．函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数，可得n ，即可得出结论．解：设g （x ）=e x +ae ﹣x ，因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是偶函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为奇函数．又因为函数f （x ）的定义域为R ，所以g （0）=0， 即g （0）=1+a=0，解得a=﹣1，所以m=﹣1．因为函数f （x ）=x （e x +ae ﹣x ）是奇函数，所以g （x ）=e x +ae ﹣x 为偶函数 所以（e ﹣x +ae x ）=e x +ae ﹣x 即（1﹣a ）（e ﹣x ﹣e x ）=0对任意的x 都成立 所以a=1，所以n=1， 所以m+2n=1 故选B ．考点：函数奇偶性的性质．9．C解析：C 【解析】 【分析】根据自变量范围代入对应解析式，化简得结果. 【详解】f (log 43)＝log434=3,选C. 【点睛】本题考查分段函数求值，考查基本求解能力，属基础题.10．A解析：A 【解析】 由选项可知，项均不是偶函数，故排除，项是偶函数，但项与轴没有交点，即项的函数不存在零点，故选A. 考点：1.函数的奇偶性；2.函数零点的概念.11．B解析：B 【解析】因为()f x =22x x -+,所以()f a =223a a -+=,则()2f a =2222a a -+=2(22)2a a -+-=7.选B.12．D解析：D 【解析】 【分析】由题意画出函数图像，利用图像性质求解 【详解】画出()f x 的图像，如图（实线部分），由()1152y x y x =+⎧⎪⎨=-⎪⎩得()1,2A ．故()f x 有最大值2，无最小值 故选：D【点睛】本题主要考查分段函数的图像及性质，考查对最值的理解，属中档题．二、填空题13．【解析】【分析】首先根据题意得到再设代入解析式即可【详解】因为是上的奇函数且满足所以即设所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题同时考查了学生的转化能力属于中档题 解析：()6lg(6)f x x x =---+【解析】 【分析】首先根据题意得到(6)()f x f x +=-，再设(6,3)x ∈--，代入解析式即可. 【详解】因为()f x 是R 上的奇函数且满足(3)(3)f x f x -=+，所以[3(3)][3(3)]f x f x ++=-+，即(6)()()f x f x f x +=-=-. 设(6,3)x ∈--，所以6(0,3)x +∈.(6)6lg(6)()f x x x f x +=+++=-，所以()6lg(6)f x x x =---+. 故答案为：()6lg(6)f x x x =---+ 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和对称性的综合题，同时考查了学生的转化能力，属于中档题.14．或【解析】【分析】由函数对称轴与区间关系分类讨论求出最大值且等于2解关于的方程即可求解【详解】函数对称轴方程为为；当时；当即（舍去）或（舍去）；当时综上或故答案为:或【点睛】本题考查二次函数的图像与解析：1-或2. 【解析】 【分析】由函数对称轴与区间关系，分类讨论求出最大值且等于2，解关于a 的方程，即可求解. 【详解】函数()22221()1f x x ax a x a a a =-++-=--+-+，对称轴方程为为x a =；当0a ≤时，max ()(0)12,1f x f a a ==-==-；当2max 01,()()12a f x f a a a <<==-+=，即210,a a a --==（舍去），或a = 当1a ≥时，max ()(1)2f x f a ===， 综上1a =-或2a =. 故答案为:1-或2. 【点睛】本题考查二次函数的图像与最值，考查分类讨论思想，属于中档题.15．【解析】【分析】根据整个函数值域为R 及分段函数右段的值域可判断出左段的函数为单调性递增且最大值大于等于1即可求得的取值范围【详解】当时此时值域为若值域为则当时为单调递增函数且最大值需大于等于1即解得解析：10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】 【分析】根据整个函数值域为R 及分段函数右段的值域,可判断出左段的函数为单调性递增,且最大值大于等于1,即可求得a 的取值范围. 【详解】当1x ≥时,()12x f x -=,此时值域为[)1,+∞ 若值域为R ,则当1x <时.()()123f x a x a =-+为单调递增函数,且最大值需大于等于1 即1201231a a a ->⎧⎨-+≥⎩,解得102a ≤<故答案为:10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【点睛】本题考查了分段函数值域的关系及判断,指数函数的性质与一次函数性质的应用,属于中档题.16．【解析】【分析】先根据图象可以得出f(x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个再在AB 或OB 中选取一个即可得出函数f(x)的解析式【详解】由图可知线段OC 与线段OB 是关于原点对称的线段CD 与线段BA 也是解析：()1x f x ⎧=⎨⎩1001x x -<<<< 【解析】 【分析】先根据图象可以得出f (x )的图象可以在OC 或CD 中选取一个，再在AB 或OB 中选取一个，即可得出函数f (x ) 的解析式. 【详解】由图可知，线段OC 与线段OB 是关于原点对称的，线段CD 与线段BA 也是关于原点对称的，根据题意，f (x) 与g (x) 的图象关于原点对称，所以f (x)的图象可以在OC 或CD 中选取一个，再在AB 或OB 中选取一个，比如其组合形式为: OC 和AB ， CD 和OB , 不妨取f (x )的图象为OC 和AB ，OC 的方程为: (10)y x x =-<<，AB 的方程为: 1(01)y x =<<，所以,10()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩， 故答案为：,10()1,01x x f x x -<<⎧=⎨<<⎩【点睛】本题主要考查了函数解析式的求法，涉及分段函数的表示和函数图象对称性的应用，属于中档题.17．（）【解析】【分析】设（）求出再求出原函数的值域即得反函数【详解】设（）所以因为x≥0所以所以因为x≥0所以y≥0所以反函数故答案为【点睛】本题主要考查反函数的求法考查函数的值域的求法意在考查学生对1（0x ≥） 【解析】 【分析】设()22f x y x x ==+（0x ≥）,求出x =()1f x -.【详解】设()22f x y x x ==+（0x ≥）,所以2+20,x x y x -=∴=±因为x≥0，所以x =()11f x -=.因为x≥0，所以y≥0，所以反函数()11f x -=，0x （）≥.1，0x （）≥ 【点睛】本题主要考查反函数的求法，考查函数的值域的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.18．2或【解析】【分析】将函数化为分和两种情况讨论在区间上的最大值进而求【详解】时最大值为解得时最大值为解得故答案为:或2【点睛】本题考查已知函数最值求参答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解解析：2或12【解析】 【分析】将函数化为()2()26x f x a =+-,分01a <<和1a >两种情况讨论()f x 在区间[]1,1-上的最大值,进而求a . 【详解】()242x x f x a a =+-()226x a =+-, 11x -≤≤Q ,01a ∴<<时,1x a a a -<<,()f x 最大值为()21(1)2610f a --=+-=,解得12a =1a >时,1x a a a -≤≤,()f x 最大值为()2(1)2610f a =+-=,解得2a =,故答案为:12或2. 【点睛】本题考查已知函数最值求参,答题时需要结合指数函数与二次函数性质求解.19．0【解析】【分析】根据分段函数的解析式代入求值即可求解【详解】因为则所以【点睛】本题主要考查了分段函数求值属于中档题解析：0 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，代入求值即可求解. 【详解】 因为sin ()(1)x f x f x π⎧=⎨-⎩(0)(0)x x <> 则11111()sin()sin 6662f ππ-=-==, 11511()()()sin()66662f f f π==-=-=-, 所以1111()()066f f -+=.【点睛】本题主要考查了分段函数求值，属于中档题.20．4【解析】【分析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得代入求得从而得到解析式进而得到；设为的零点得到由此构造关于的方程求得；分别在和两种情况下求得所有零点从而得到结果【详解】设解得：又设为的零点解析：4 【解析】 【分析】采用待定系数法可根据已知等式构造方程求得,a b ，代入()00f =求得c ，从而得到()f x 解析式，进而得到()(),g x h x ；设0x 为()g x 的零点，得到()()0000g x h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由此构造关于m 的方程，求得m ；分别在0m =和3m =-两种情况下求得()h x 所有零点，从而得到结果. 【详解】设()2f x ax bx c =++()()()()2222244244f x f x a x b x c ax bx c ax a b x ∴+-=++++---=++=-+ 44424a a b =-⎧∴⎨+=⎩，解得：14a b =-⎧⎨=⎩ 又()00f = 0c ∴= ()24f x x x ∴=-+()24g x x x m ∴=-++，()()()222444h x x x x x m =--++-++设0x 为()g x 的零点，则()()0000g x h x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即()()2002220000404440x x m x x x x m ⎧-++=⎪⎨--++-++=⎪⎩ 即240m m m --+=，解得：0m =或3m =- ①当0m =时()()()()()()()22222244444442h x x x x x x x x x x x x =--++-+=-+-+=---()h x ∴的所有零点为0,2,4②当3m =-时()()()()()2222244434341h x x x x x x x x x =--++-+-=--+--+-()h x ∴的所有零点为1,3,2综上所述：()h x 的最大零点为4 故答案为：4 【点睛】本题考查函数零点的求解问题，涉及到待定系数法求解二次函数解析式、函数零点定义的应用等知识；解题关键是能够准确求解二次函数解析式；对于函数类型已知的函数解析式的求解，采用待定系数法，利用已知等量关系构造方程求得未知量.三、解答题21．（1）g (x )＝22x－2x ＋2，{x |0≤x ≤1}．（2）最小值－4；最大值－3.【解析】 【分析】 【详解】（1）f (x )＝2x的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)，因为f(x)的定义域是[0,3]，所以，解之得0≤x≤1．于是 g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}． （2）设．∵x ∈[0,1],即2x ∈[1,2]，∴当2x=2即x=1时，g(x)取得最小值-4；当2x=1即x=0时，g(x)取得最大值-3． 22．(1)见解析；(2)12a =；(3) 16. 【解析】 【分析】 【详解】(1)()f x Q 的定义域为R, 任取12x x <,则121211()()2121xx f x f x a a -=--+++=121222(12)(12)x x x x -++. 12x x <Q ,∴1212220,(12)(12)0xx x x -++.∴12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <. 所以不论a 为何实数()f x 总为增函数. (2)()f x Q 在x ∈R 上为奇函数, ∴(0)0f =,即01021a -=+. 解得12a =. (3)由(2)知，11()221x f x =-+, 由(1) 知，()f x 为增函数,∴()f x 在区间[1,5)上的最小值为(1)f . ∵111(1)236f =-=， ∴()f x 在区间[1,5)上的最小值为16. 23．（1）12-（2）3【解析】 【分析】（1）根据幂的运算法则计算；（2）根据对数运算法则和换底公式计算． 【详解】解：（1）原式1313249314164⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥+⎣⎦ 731444=++- 12=-.（2）原式33log 312lg10=+-+3121=+-+ 3=. 【点睛】本题考查幂和对数的运算法则，掌握幂和对数运算法则是解题关键． 24．（1）证明见解析（2）m 1≥ 【解析】 【分析】（1）12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，计算()()120f x f x ->得到证明.（2）根据单调性得到221x x m ++>，即()221212m x x x >--=-++，得到答案. 【详解】（1）函数单调递减，12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，()()()()2221121212122222121211x x x x x x f x f x x x x x x x -++⎛⎫⎛⎫-=---= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵120x x <<，∴210x x ->，2212120x x x x ++>，22110x x >∴12()()f x f x >，∴()f x 在(0,)+∞单调递减； （2）()()2201f x x m f ++<=，故221x x m ++>，()221212m x x x >--=-++，(0,)x ∈+∞，故m 1≥.【点睛】本题考查了定义法证明函数单调性，利用单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.25．（1）证明见解析（2）4a = 【解析】 【分析】（1）利用定义法证明函数的单调性，按照：设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（2）首先表示出()()()F x g x f x =-，再根据复合函数的单调性分类讨论可得。
2018-2019年【人大附中】高一上学期必修1模块试题(含期中加试)
14. 如图放置的边长为 2 的正三角形 ABC 沿 x 轴滚动，记滚动过程中顶点 A 的横、纵坐标 分别为 x 和 y ，且 y 是 x 在映射 f 作用下的象，则下列说法中： ① 映射 f 的值域是 [0, 3] ； ② 映射 f 不是一个函数； ③ 映射 f 是函数，且是偶函数； ④ 映射 f 是函数，且单增区间为 [6k ,6k + 3](k ∈ Z) ， 其中正确说法的序号是___________. 说明：“正三角形 ABC 沿 x 轴滚动”包括沿 x 轴正方向和沿 x 轴负方向滚动．沿 x 轴正 方向滚动指的是先以顶点 B 为中心顺时针旋转，当顶点 C 落在 x 轴上时，再以顶点 C 为中心顺时针旋转，如此继续．类似地，正三角形 ABC 可以沿 x 轴负方向滚动． 三、解答题（本大题共 3 小题，共 30 分，解答应写出文字说明过程或演算步骤，请将答案 写在答题纸上的相应位置． ） 15.（本小题满分 10 分） 已知集合 A = {x x 2 − x < 0} ， B = {x x 2 − 2 x − m < 0} . （Ⅰ）求 R A ； （Ⅱ）若 A B = ∅ ，求实数 m 的取值范围．
高一数学 期中&必修 1 试题 第 3 页 共 5 页
如需答案 请扫码→
Ⅱ卷 （共 7 道题，满分 50 分）
一、多项选择题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中， 可能有一项或几项是符合题目要求的， 请将所有正确答案填涂在答题纸上的相应位置 18. 已知函数 f ( x) = x 2 − log 1 x ，若 0＜ a ＜ b ＜ c ，且满足 f (a ) f (b) f (c) < 0 ，则下列说
北京海淀区中国人民大学附属中学2023届高一数学第一学期期末复习检测试题含解析
所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为： ，
所以球的半径为： ；则这个球的表面积是：
故选：
10、A
【解析】利用基本不等式即得,
【详解】∵ ，
∴ ，
∴ ，当且仅当 即 时取等号，
∴ 有最小值为3.
故选：A.
由 ，可得 ，
即 ，而 在 上恒成立，
综上，实数λ的取值范围为 .
故答案为： .
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、(1) ;(2) .
【解析】（1）先求出w=π，再根据图像求出 ，再求函数的单调递减区间.(2)先求出 = ，再利用数形结合求a的取值范围.
【详解】（1）由题得 .
所以
所以 .
【试题解析】(Ⅰ)由图可知 ，
图像过点
(Ⅱ) ，且
20、（1）证明见解析；（2） .
【解析】（1）补形得 证明其与 全等，从而得证.
（2）引进参数 ，由已知建立参数变量之间的等量关系，再用方程根的判别式获得变量最值，进一步得到所求面积最值.
【详解】（1）如图：延长 至 ，使 ，连接 ，则 .
故 ， ， .
令
所以函数的单调递减区间为 .
（2）将 的图像向右平移 个单位得到 ,再将横坐标
伸长为原来的 倍,得到函数 = ,若 在 上有两个解,
所以 ，所以 所以
所以a的取值范围为 .
【点睛】本题主要考查三角函数解析式的求法和单调区间的求法，考查三角函数的图像变换和三角方程的有解问题，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.
6:48
5:59
中国人大附中2023年高一上学期数学统练(一)试题(解析版)
人大附中2023级高一年级第一学期数学统练（一）一、选择题（每小题5分，共50分）1. 命题：“20,0x x x ∀>−≥”的否定是（ ） A. 20,0x x x ∀≤−> B. 20,0x x x ∀>−≤ C. 20,0x x x ∃>−< D. 20,0x x x ∃≤−>【答案】C 【解析】【分析】根据全称命题的否定是特称命题，改量词，否结论即得. 【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：“20,0x x x ∀>−≥”的否定是“20,0x x x ∃>−<”. 故选：C.2. 设全集{}0,1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，{}2,4B =，则()()U U A B ∪= （ ） A. {}0,5 B. {}1,2,3,4C. {}0,1,2,3,4,5D. {}0,1,2,5【答案】C 【解析】【分析】根据补集的概念，即可求出,U U A B ，再根据并集运算，即可求出结果.【详解】由题意可知{}{}0,2,4,5,0,1,3,5U U A B ==， 所以()(){}0,1,2,3,4,5U U A B ∪=. 故选：C.3. 荀子曰：“故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自先秦时期的名言阐述了做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标的哲理.由此可得，“积跬步”是“至千里”的（ ） A. 充分条件 B. 必要条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】根据题意，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.【详解】根据“做事情不一点一点积累，就永远无法达成目标”，即要达成目标必须一点一点积累，所以 “积跬步”是“至千里”的必要条件. 故选：B4. 下图中的阴影部分，可用集合符号表示为（ ）A. ()()U U A B ∩ B. ()()U U A B C. ()U A B D. ()U A B ∩【答案】C 【解析】【分析】图中阴影部分是集合A 与集合B 的补集的交集.【详解】图中阴影部分是集合A 与集合B 的补集的交集，所以图中阴影部分，可以用()U A B 表示. 【点睛】本题考查了用韦恩图表示集合间的关系，考查了学生概念理解，数形结合的能力，属于基础题.5. 设集合{}14A x =，，，{}21B x =，，且{}14A B x ∪=，，，则满足条件的实数x 的个数是 A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个.【答案】C 【解析】【分析】根据集合元素的互异性，得x≠±1且x≠4．再由A ∪B={1，4，x}，得x 2=x 或x 2=4，可解出符合题意的x 有0，2，-2共3个．【详解】{}14A x = ，，，{}21B x =，，所以由集合的互异性可得1x =±且4x ≠，{}14A B x ∪= ，，，则2x x =或24x = 解之得0x =或2x =±满足条件的实数x 有022−，，共3个， 故选C.【点睛】本题给出含有未知数x 的集合A 、B ，在已知它们并集的情况下求实数x 值，着重考查了集合元素的基本性质和集合的运算等知识，属于基础题．6. 命题甲：2x ≠或3y ≠；命题乙：5x y +≠，则甲是乙的A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】【详解】试题分析：若2x ≠或3y ≠则5x y +≠的逆否命题为：若5x y +=则2x =且3y =为假命题，则原命题不成立，即充分条件不成立；若5x y +≠则2x ≠或3y ≠的逆否命题为：若2x =且3y =则5x y +=为真命题，则原命题为真命题.即必要条件成立.所以甲成立是乙成立的必要不充分条件.故选B. 考点：四种命题.7. 设:1,:1p a b q ab a b >>+<+，则p 是q 的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由充分条件和必要条件定义结合题意求解即可.【详解】若1a b >>，则10,10a b −>−<，所以()()110a b −−<， 所以1ab a b +<+，所以p 是q 的充分条件；若1ab a b +<+，不妨取1,52a b ==，不满足1a b >>， 所以p 不是q 的必要条件，故p 是q 的充分不必要条件． 故选：A .8. 若命题“[]0,3x ∀∈，220x x a −−>”为假命题，则实数a 可取的最小整数值是（ ） A 1− B. 0C. 1D. 3【答案】A 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，把命题转化为命题“[]0,3x ∃∈，220x x a −−≤”为真命题，分离参数转化为22a x x ≥−在[]0,3x ∈上有解，构造函数求解最小值即可.的.【详解】因为命题“[]0,3x ∀∈，220x x a −−>”为假命题，所以命题“[]0,3x ∃∈，220x x a −−≤”为真命题，即220x x a −−≤在[]0,3x ∈上有解， 即22a x x ≥−在[]0,3x ∈上有解，记2()2f x x x =−，[]0,3x ∈，则min ()a f x ≥， 因为2()2f x x x =−在[]0,1上单调递减，在(]1,3上单调递增，所以min ()(1)1f x f ==−， 所以1a ≥−，所以实数a 可取的最小整数值是1−. 故选：A9. 对于集合A ，B ，我们把集合{}x x A x B ∈∉且且叫做集合A 与集合B 的差集，记作A B −．现已知集合{1,2,3,4,5}A =，{2,3,4,6,7}B =，则下列说法不正确的是（ ）A. {1,5}A B −=B. {6,7}B A −=C. ()A A B B −−=D. ()A A B A B −−=【答案】C 【解析】【分析】由差集的定义对比选项判断即可得出答案. 【详解】因为{1,2,3,4,5}A =，{2,3,4,6,7}B =，则 {1,5}A B −=，故A 正确； {6,7}B A −=，故B 正确；{}()2,3,4A A B B --=≠,故C 不正确；{}2,3,4A B = ，故()A A B A B −−= ，故D 正确.故选：C10. 设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈ =∉，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ∈N 都满足()0i A B ϕ= 且()1i A B ϕ= ；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ= ()i A ϕ ()i B ϕ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ= ()+i A ϕ()i B ϕ；其中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③【解析】【分析】根据题目中给的新定义，对于*,0i i N A ϕ∈=（）或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．【详解】∵对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈ = ∉，∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*A B A B N ∴=∅= ，()()01i i A B A B ϕϕ∴== ;，故①正确；对于②，若()0i A B ϕ= ，则()i A B ∉ ，则i A ∈且i B ∉，或i B ∈且i A ∉，或i A ∉且i B ∉；()()0i i A B ϕϕ∴⋅=； 若()1i A B ϕ= ，则()i A B ∈ ，则i A ∈且i B ∈； ()()1i i A B ϕϕ∴⋅=； ∴任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i i A B A i B ϕϕϕ=⋅ （）（）；正确，故②正确； 对于③，例如：{}{}{}1232341234A B A B === ,,,,,,,,,，当2i =时，1i A B ϕ= （）；()()1,1i i A B ϕϕ==；()()()i i i A B A B ϕϕϕ∴≠+ ； 故③错误； 故选：A ．【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共25分）11. 已知集合{}A x x a =<，{}12B x x =<<，若B A ⊆，则实数a 的取值范围是______．【答案】2a ≥ 【解析】【分析】根据子集的定义求解．【详解】因为{}A x x a =<，{}12B x x =<<，B A ⊆，所以2a ≥．故答案为：2a ≥．【点睛】本题考查集合的包含关系，掌握子集定义是解题基础． 12. 能说明“若a ﹥b ，则11a b<”为假命题的一组a ，b 的值依次为_________. 【答案】1?,1−（答案不唯一）【详解】分析：举出一个反例即可． 详解：当11a b =>=−时，1111a b=<=−不成立， 即可填1,1−．点睛：本题考查不等式的性质等知识，意在考查学生的数学思维能力．13. 若存在性命题:∃x ∈R ，使得210mx +≤是假命题，且全称命题: 2,210x x mx ∀∈−+≥R 是真命题，则实数m 的取值范围是_____. 【答案】01m ≤≤ 【解析】 【分析】由全称、特称命题的真假结合一元二次不等式恒成立即可得解.【详解】若x ∃∈R ，使得210mx +≤是假命题，则210mx +>在R 上恒成立， 当0m =时，10>恒成立，符合题意； 当0m ≠时，则040m m >∆=−<，解得0m >；所以若该命题是假命题，则0m ≥若2,210x x mx ∀∈−+≥R 是真命题，则2440m ∆=−≤，解得11m −≤≤； 所以实数m 的取值范围是01m ≤≤. 故答案为：01m ≤≤.14. 已知[]x 表示不大于x 的最大整数，{}|[]A y y x x ==−，{}|0B y y m =≤≤，若y A 是y B∈的充分不必要条件，则m 的取值范围是______. 【答案】[)1,+∞ 【解析】【分析】先求出集合A ，再由充分不必要的定义以及集合之间的包含关系即可求解. 【详解】对于集合{}|[]A y y x x ==−，不失一般性我们不妨设()1,Z k x k k ≤<+∈，此时由[]x 定义可知，有[]01y x x x k ≤=−=−<，的所以{}{}|[]|01A y y x x y y ==−=≤<， 若y A 是y B ∈的充分不必要条件，则A B ， 所以m 的取值范围是[)1,+∞. 故答案为：[)1,+∞.15. 设非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈，给出如下四个命题：①若1m =，则{}1S =；②若12m =−，则114l ≤≤；③若12l =，则0m ≤；④若1l =，则10m −≤≤或1m =；其中正确命题的序号为____________ 【答案】①②③④ 【解析】【分析】由题分析：1m l −≤≤≤1，若x S ∈则2x x l ≤≤，对每个选项列不等式组分析. 【详解】非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈， 若1l >，则2l l >，2l S ∉，所以1l ≤，若1m <−，则21m m >>，2m ∉，所以1m ≥−， 所以1m l −≤≤≤1，且当x S ∈时，有211x x x l −≤≤≤≤≤1,，非空集合{}S x m x l =≤≤满足：当x S ∈时，有2x S ∈， ①若1m =，根据1m l −≤≤≤1，则1l =，所以{}1S =；②若12m =−，214m S =∈，则114l ≤≤； ③若12l =， 22121{2m m m m≤≤≥，解得：0m ≤；④若1l =，2211m m m m≤ ≤ ≥ ，解得：10m −≤≤或1m =；故答案为：①②③④【点睛】此题考查集合中元素特征的辨析，其中涉及解不等式及相关知识辨析.三、解答题（共35分）16. 设集合U =R ，{}03Ax x =≤≤，{}12B x m x m =−≤≤. （1）3m =，求()U A B ∩ ； （2）若B A ，求m 的取值范围. 【答案】（1）[)0,2 （2）{|1x m <−或312m≤≤【解析】【分析】（1）先利用补集运算求出U B ，再利用集合的交集求解即可； （2）由B A ，分类讨论B =∅和B ≠∅两种情况，列出不等式组，求解即可．【小问1详解】当3m =时，{}26B x x =≤≤，故{|2UB x x =< 或}6x >， 又{}03Ax x =≤≤，故()[)0,2UA B =【小问2详解】当B =∅时，12m m −>，∴1m <−，符合题意；当B ≠∅时，需满足012312m m m m <− ≤ −≤ 或012312m m m m≤−≤ −<，解得312m ≤≤， 综上所述，m 的取值范围为{|1x m <−或312m≤≤17. 设命题p ：关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根，q ：关于x 的方程()244210x m x +−+=无实数根．（1）若q 为真，求实数m 的取值范围；（2）若p 且q 为假，p 或q 为真，求实数m 的取值范围． 【答案】(1) 13,22m∈−；(2) ()()13,2,2,22m ∈−∞−−+∞【解析】【分析】(1)根据题意，若q 为真，即()242160m ∆=−−<即可求解；(2) 因p 且q 为假，p 或q 为真，所以p 、q 一真一假，分别讨论两种情况即可.【详解】(1)对于命题q ，因关于x 的方程()244210x m x +−+=无实数根， 所以()242160m ∆=−−<，即1322m −<<. 因q 为真，故1322m −<<，即13,22m∈−. (2) 对于命题p ，因关于x 的方程210x mx ++=有两个不相等的实数根， 所以240m ∆=−>，即2m <−或m>2.因p 且q 为假，p 或q 为真，所以p 、q 一真一假，当p 真q 假时，221322m m m m −≤−≥或或 ，即2m <−或m>2；当p 假q 真时，221322m m −≤≤−<< ，即1322m −<<.综上所述：()()13,2,2,22m∈−∞−−+∞. 18. 给定整数i ，如果非空集合T 满足： 一：*T ⊆N ，{}1T ≠，二：x ∀，*y ∈N ，若x y T +∈，则xy i T −∈，那么称集合T 为“减i 集”. （1）{}1,2P =是否为“减0集”？是否为“减1集”？（2）是否存在“减2集”？如存在，求出所有“减2集”；如不存在，请证明. （3）是否存在“减1集”？如存在，求出所有“减1集”；如不存在，请证明. 【答案】（1）{}1,2P =是“减0集”，不是“减1集”（2）不存在“减2集”，证明见解析（3）存在“减1集”：{}{}{}{}*1,3,1,3,5,1,3,5,7,,|21,N x x k k =−∈【解析】【分析】（1）已知*P ⊆N ，{}1P ≠，11,110P P +∈×−∈，由此即可判断{}1,2P =是 “减0集”，同理可判断{}1,2P =不是 “减1集”.（2）假设存在“减2集”A ，根据“减2集”的性质可以推出矛盾，从而求解.（3）假设存在“减1集”A ，根据“减1集”的性质可以一个个判断前面几个正整数是否在“减1集”A 中，由此即可发现规律. 【小问1详解】因为*P ⊆N ，{}1P ≠，112,1101P P +=∈×−=∈， 所以{}1,2P =是“减0集”，同理因为*P ⊆N ，{}1P ≠，112,1110P P +=∈×−=∉， 所以{}1,2P =不是“减1集”. 【小问2详解】 假设存在“减2集”A ， 则x y A +∈，那么2xy A −∈， 分以下两种情形来讨论：情形一：当21x y xy +=−>时，有()()113x y −−=， 注意到,*x y ∈N ，所以,x y 中有一个是2，有一个是4， 所以集合A 中除1以外的最小元素为6， 但是336A +=∈，3327A ×−=∉， 而这与集合A 是“减2集”矛盾.情形二：当2x y xy +≠−时，则1x y xy +=−或(),2x y xy m m +=−>， （因为若m 为负整数，则()()110x y m −−−>，即此时1x y xy m +≠−+）， 若11x y xy +=−>，有()()112x y −−=， 注意到,*x y ∈N ，所以,x y 中有一个是2，有一个是3，第11页/共11页所以集合A 中除1以外的最小元素为5，但是235A +=∈，2324A ×−=∉，而这与集合A “减2集”矛盾；若(),2x y xy m m +=−>，有()()111x y m −−=+，不妨设(),2,2x a y b a b ==>>，()()111a b m −−=+，且此时集合A 中除1以外的最小元素为x y a b A +=+∈，但122xy a b a b <−=+−<+，所以2xy A −∉,而这与集合A 是“减2集”矛盾.综上所述：不存在集合A 是“减2集”.【小问3详解】假设存在A 是“减1集”，{}1A ≠.假设1A ∈，则A 中除了元素1以外，必然还含有其他元素.假设2A ∈，则11A +∈，但111A ×−∉，因此2A ∉，假设3A ∈，则12A +∈，且121A ×−∈，因此3A ∈，因此可以有{}1,3A =,假设4A ∈，则13A +∈，但131A ×−∉，因此4A ∉，假设5A ∈，则23A +∈，且321A ×−∈，因此5A ∈，因此可以有{}13,5A =,, 依次类推有：{}{}*1,3,5,7,,|21,N x x k k =−∈ .【点睛】关键点点睛：第一问比较常规，第二问的关键是利用“减2集”的性质分两种情况21x y xy +=−>和2x y xy +≠−证出矛盾（至于为什么结果是矛盾的可以首先举出几个特例然后猜想，最后演绎推理）， 第三问的关键也是一样的，假设存在然后根据“减1集”的性质即可求解.是是。
北京人大附中2009-2010学年度第一学期高一年级数学必修1模块考核试卷
人大附中2009-2010学年度第一学期高一年级数学必修1模块考核试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的请将正确答案填涂在答题卡上。
） 1. 已知集合{}12A =，，{}123B =，，，{}234C =，，，则()AB C ∪＝（ ）A ．{}123，， B. {}124，， C. {}234，， D. {}1234，，， 【解析】D2.）A ．122- B. 122 C. 132 D. 562 【解析】B3.若函数()3x f x =的反函数是1()y f x -=，则1(3)f -的值是（ ）A ．1 B.0 C.13 D.3【解析】 A4.函数111y x =+-的图象是（ ）A B C D【解析】A5.已知集合[]04A =，，集合[]02B =，，按照对应法则f 能建立从A 到B 的一个映射是（ ）A.:f x y →=B. :2f x y x →=-C. 1:2f x y x →=D. 1:f x y x →=【解析】C6.已知2(2)4f x x x -=-，那么()f x =（ ）A ．284x x -- B. 24x x -- C.28x x + D.24x -【解析】 D7.若函数()f x 的定义域为[]04，，则函数2()f x 的定义域为（ ） A ．[]02，B. []016，C. []22-，D. []20-， 【解析】 C8.已知函数()1f x ax =+，存在0(11)x ∈-，，使0()0f x =，则a 的取值范围是（ ） A ．11a -<< B.1a > C.1a <- D.1a <-或1a >【解析】 A9.当函数||()2x f x m -=-的图象与x 轴有交点时，实数m 的取值范围是（ ） A ．01m <≤ B.01m ≤≤ C.10m -<≤ D.1m ≥ 【解析】A10.函数()()y f x y g x ==，的图象如下，(1)(2)0f g ==，不等式()0()f xg x ≥的解集是（ ）A ．{}{}|12|12x x x x x <><<或 B.{}|12x x <≤ C ．{}{}|12|12x x x x x ><<≤或 D. {}|12x x ≤≤【解析】 B二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填在答题表中）11.已知集合{12}A a =，，，集合{17}B =，，若B A ⊆，则实数a 的值是____ . 【解析】 712.设 1.50.80.521482a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，，，则a b c ，，从小到大的顺序是____ . 【解析】 c b a <<13.已知函数()f x 是奇函数，当0x ≤，时，2()2f x x x =-，那么当0x >时，()f x 的解析式是_____________. 【解析】()22f x x x =--14.函数234y x x =--的定义域是[]0m ，，值域是2544⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，，则m 的取值范围是______ .【解析】 3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题（本大题共3小题，共34分，解答应写出文字说明证明过程或演算步骤） 15.设函数()lg(23)f x x =-的定义域为集合M，函数()g x =N . 求：⑴集合M N ，；⑵集合R MN C N ，.【解析】⑴ 3|2M x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭{}|13N x x x <或≤ ⑵ 3|12MN x x x ⎧⎫=<>⎨⎬⎩⎭或 {}|3R N x x x =<≤ð.16.某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
20XX年高中测试高中试题试卷科目：年级：考点：监考老师：日期：人大附中20XX－20XX学年第一学期高一年级测试高一数学必修1说明：本试卷共三道大题，分18道小题，共6页；满分100分，考试时间90分钟；请在密封线内填写个人信息。
一、选择题（共8道小题，每道小题4分，共32分.请将正确答案填涂在答题卡上）1．已知U为全集，集合P⊆Q，则下列各式中不成立．．．的是（）A．P∩Q=P B. P∪Q=QC. P∩(U Q) =∅D. Q∩(U P)=∅2.函数()lg(31)f x x=-的定义域为（）A．R B．1(,)3-∞C．1[,)3+∞D．1(,)3+∞3．如果二次函数21y ax bx=++的图象的对称轴是1x=，并且通过点(1,7)A-，则（）A．a=2，b= 4B．a=2，b= －4C．a=－2，b= 4D．a=－2，b= －44．函数||2xy=的大致图象是（）5(01)a b a a=>≠且，则（）A．2log1ab=B．1log2ab=C．12log a b=D．12log b a=6．已知定义在R上的函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：那么函数f(x)一定存在零点的区间是（）A.(－∞，1)B.(1，2)C.(2，3)D.(3，+∞)7．下列说法中，正确的是（）A．对任意x∈R，都有3x＞2x；B．y=(3)－x是R上的增函数；x 1 2 3f(x) 6.1 2.9 －3.5C ．若x ∈R 且0x ≠，则222log 2log x x =；D ．在同一坐标系中，y =2x 与2log y x =的图象关于直线y x =对称.8．如果函数2(1)2y x a x =+-+在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．a ≥9 B ．a ≤－3 C ．a ≥5 D ．a ≤－7二、填空题（共6道小题，每道小题4分，共24分。
请将正确答案填写在答题表中） 9．已知函数()y f n =，满足(1)2f =，且(1)3()f n f n n ++=∈，N ，则(3)f 的值为_______________.103log 21lg3100-的值为_________________. 11．若奇函数()f x 在(,0)-∞上是增函数，且(1)0f -=，则使得()0f x >的x 取值范围 是__________________.12．函数23()log (210)f x x x =-+的值域为_______________.13．光线通过一块玻璃板时，其强度要损失原来的10%，把几块这样的玻璃板重叠起来，设光线原来的强度为a ，则通过3块玻璃板后的强度变为________________.14．数学老师给出一个函数()f x ，甲、乙、丙、丁四个同学各说出了这个函数的一条性质 甲：在(,0]-∞上函数单调递减； 乙：在[0,)+∞上函数单调递增；丙：在定义域R 上函数的图象关于直线x =1对称； 丁：(0)f 不是函数的最小值.老师说：你们四个同学中恰好有三个人说的正确. 那么，你认为_________说的是错误的.人大附中20XX －20XX 学年第一学期高一年级必修1考核试卷二、填空题（每道小题4分，共24分. 请将正确答案填写在下表中对应题号．．．．的空格内） 三、解答题（分4道小题，共44分） 15．（本题满分12分）已知函数21()1f x x =-. （1）设()f x 的定义域为A ，求集合A ；（2）判断函数()f x 在（1，+∞）上单调性，并用定义加以证明.16．（本题满分12分）有一个自来水厂，蓄水池有水450吨. 水厂每小时可向蓄水池注水80吨，同时蓄水池又向居民小区供水，t 小时内供水量为. 现在开始向池中注水并同时向居民供水.问多少小时后蓄水池中水量最少?并求出最少水量。
17．（本题满分12分）已知函数1()(01)x f x aa a -=>≠且（1）若函数()y f x =的图象经过P （3，4）点，求a 的值； （2）比较1(lg)( 2.1)100f f -与大小，并写出比较过程； （3）若(lg )100f a =，求a 的值.18．（本题满分8分）集合A 是由适合以下性质的函数f (x )构成的：对于定义域内任意两个不相等的实数12,x x ，都有12121[()()]()22x x f x f x f ++>.（1）试判断f (x )=x 2及g (x )=log 2x 是否在集合A 中，并说明理由； （2）设f (x )∈A 且定义域为(0，+∞)，值域为(0，1)，()112f >，试求出一个满足以上条件的函数f (x )的解析式.《必修1测试》参考答案及评分标准二、填空题（每道小题4分，共24分）三、解答题（共44分）15． 解：（1）由210x -≠，得1x ≠±，所以，函数21()1f x x =-的定义域为{|1}x x ∈≠±R ……………………… 4分 （2）函数21()1f x x =-在(1,)+∞上单调递减.………………………………6分证明：任取12,(1,)x x ∈+∞，设12x x <， 则210,x x x ∆=->12122122222112()()1111(1)(1)x x x x y y y x x x x -+∆=-=-=----…………………… 8分 121,1,x x >>22121210,10,0.x x x x ∴->->+>又12x x <，所以120,x x -< 故0.y ∆<因此，函数21()1f x x =-在(1,)+∞上单调递减.………………………12分 说明：分析y ∆的符号不具体者，适当扣1—2分.16．解：设t 小时后蓄水池内水量为y 吨，…………………………………… 1分 根据题意，得45080y t =+-……………………………………… 5分……………………………………… 10分=5t =时，y 取得最小值是50. …………………………… 11分 答：5小时后蓄水池中的水量最少，为50吨. …………………………… 12分x =，从而280450y x =-+.②未写出答，用“所以，5小时后蓄水池中的水量最少，为50吨”也可以. 未答者 扣1分.17．解：⑴∵函数()y f x =的图象经过(3,4)P∴3-14a=，即24a =.……………………………………… 2分又0a >，所以2a =. ……………………………………… 4分 ⑵当1a >时，1(lg)( 2.1)100f f >-; 当01a <<时，1(lg)( 2.1)100f f <-. …………………………………… 6分 因为，31(lg)(2)100f f a -=-=， 3.1( 2.1)f a --= 当1a >时，xy a =在(,)-∞+∞上为增函数，∵3 3.1->-，∴33.1a a -->.即1(lg)( 2.1)100f f >-. 当01a <<时，xy a =在(,)-∞+∞上为减函数，22245045050=-=-+=+∵3 3.1->-，∴33.1a a --<.即1(lg)( 2.1)100f f <-.……………………………………… 8分 ⑶由(lg )100f a =知，lg 1100a a -=.所以，lg 1lg 2a a-=（或lg 1log 100a a -=）.∴(lg 1)lg 2a a -⋅=.∴2lg lg 20a a --=，……………………………………… 10分 ∴lg 1a =- 或 lg 2a =，所以，110a =或100a =.……………………………………… 12分 说明：第⑵问中只有正确结论，无比较过程扣2分.18．解：（1）()f x A ∈，()g x A ∉.……………………………………… 2分 对于()f x A ∈的证明. 任意12,x x R ∈且12x x ≠，22222121212121122212()()2()()222241()04f x f x x x x x x x x x x x f x x ++++-+-=-==-> 即1212()()()22f x f x x xf ++>. ∴()f x A ∈…………………………… 3分对于()g x A ∉，举反例：当11x =，22x =时，1222()()11(log 1log 2)222g x g x +=+=，122221231()log log log 2222x x g ++==>=，不满足1212()()()22g x g x x xg ++>. ∴()g x A ∉.……………………… 4分 ⑵函数2()3xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，当(0,)x ∈+∞时，值域为(0,1)且21(1)32f =>.…… 6分任取12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠，则121211221221212222222222()()1222()2222333122221222023333233x x x x x x x x x x f x f x x x f +⎡⎤++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=+-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⋅⋅+=->⎨⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎩⎭即1212()()()22f x f x x x f ++>. ∴2()3xf x A ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭.………………… 8分说明：本题中()f x 构造类型()xf x a =1(1)2a <<或()kf x x k=+(1)k >为常见.。