2010电磁场期中考试

2010~2011 期中考试解答
一、 填空题（共20分）
1． 在时变电磁场，E ⨯∇=t
B
∂∂- ，表明时变电场是有旋场；B ⋅∇=0，
表明时变磁场是无散场
2． 在两种不同媒质的分界面上，电场矢量的切向分量总是连续的，
磁感应强度矢量的法向分量是连续的。

3． 在半径为a ，介电系数02εε=的球形电介质内，已知极化强度矢
量38a r e P r
π
-=，则极化电荷体密度383a π，极化电荷面密度-2
81
a π。

4． 线性、各向同性媒质的本构关系为：E D ε=，H B
μ=，E J σ=。

5． 已知体积V 内的静电荷体密度为ρ，在空间∞V 中形成的电位分
布为ϕ、电场分布为E 和D ，则空间的静电能量密度为D E
⋅2
1，
空间的总静电能量为
⎰V
ρϕ21。

6． 在理想导体表面上，磁场强度矢量总是平行于理想导体表面，
电场强度矢量总是垂直于理想导体表面。

7． 电荷的定向运动形成电流，当电荷密度ρ满足
0=∂∂t
ρ
时，电流密度J 应满足0=⋅∇J
，电流线的形状应为闭合曲线。

8． 在磁导率为μ的均匀磁介质中存在恒定磁场分布，若已知磁感
应强度B ，则介质中的电流体密度为r
B
μ2，磁化电流体密度为0。

9． 在均匀导电媒质中，已知电场强度矢量)102sin(60t E e E x ⨯=π
，则
位移电流密度d J
与传导电流密度J 之间的相位差为2/π。

二、 选择题（每题2分）
1．自由空间的电位函数z y x 522-=ϕ，则点P （-4,3,6）处的电场强度为（ a ）
a.m V e e e z y x /53248
+- b. m V e e e z y x /53248
-- c. m V e e e z y x /53248
++ 2. 空气（介电系数01εε=）与电介质（介电系数014εε=）的分界面
是z=0的平面。

在分界面上，若已知空气侧的电场强度421z x e e E
+=，则电介质侧的电场强度应为（ c ）
a ．1622z x e e E
+=， b. 482z x e e E
+= c. z x e e E
+=22
3. 已知磁感应强度)()23()23(mz y e z y e y x e B z y x +--++=
，则式中m 的
值应为（ c ）
a ． 2 b. 4 c. 6 4. 能激发时变电磁场的源是（ c ）
a ．随时间变化的电荷与电流 b. 随时间变化的电场与磁场 c. 同时选a 和b
5. 平行板电容器两极板面积为S 、板间距为d ，板间外加电压为U 0。

当板间介质为空气时，其电容为C 0、静电能量为W e0。

若将介电系数为0εεεr =的均匀介质充满两极板之间，则电容和静电能量改变为（a ） a ．00,e r e r W W C C εε== b. r
e e r W W C C εε0
0,=
= c. r
e e r
W W C C εε0
,=
=
三、（20分）无限长同轴线的内、外导体半径分别为a 和b ，其间填充介电系数分别为1ε和2ε的两层电介质，介质分界面半径为c ，如图所示。

设内导体单位长度带电荷l ρ，外导体接地，求（1）内外导体
间的电场强度，（2）单位长度的电容（3）单位长度的电场能量。

解：（1）依题意，电场只有径向分量，在分界面上n n D D 21=，故21D D =，
在c r a <<的区域内 l s
s d D ρ=⋅⎰
1 l rD ρπ=12
r l e r D πρ21= r l e r E
1
12επρ= 在b r c <<的区域内l s
s d D ρ=⋅⎰
2 l rD ρπ=22
r l e r D πρ22= r l e r E
2
22επρ= （2）内外导体间的电压为 )ln 1ln 1(22121c
b a
c dr E dr E U l b
c c
a εεπρ+=+=⎰⎰ 单位长度的电容为 )ln 1ln 1
(221c b
a c U C l
εεπρ+=
=
（3）单位长度的电场能量
)ln 1ln 1(421
212
c
b a
c U W l l e εεπρρ+==
四、（15分）在通有均匀电流密度0J
的无限长导体圆柱内，有一平行轴线的圆柱形空腔，其横截面积如图所示。

使计算空腔内的磁感应强度，并证明空腔内的磁场是均匀的
解：将空腔中视为同时存在J 和J -的两种电流密度，这样可将原来的
电流分布分解为两个均匀的电流分布：一个电流密度为J 、均匀分布在半径为b 的圆柱内，另一个电流密度为J -、均匀分布在半径为a 的圆柱内。

由安培环路定律，分别求出两个均匀分布电流的磁场，然后进行叠加即可得到圆柱内外的磁场。

由安培环路定律0d C
I μ⋅=⎰B l ，可得到电流密度为J 、均匀分布在
半径为b 的圆柱内的电流产生的磁场为
2
0222
b b b b b b r b b r b r J r B J r μμ⎧⨯<⎪⎪
=⎨⨯⎪>⎪⎩ 电流密度为J -、均匀分布在半径为a 的圆柱内的电流产生的磁场为
2
0222a a a a a a r a a r a r J r B J r μμ⎧-⨯<⎪⎪
=⎨⨯⎪->⎪⎩
这里a r 和b r 分别是点a o 和b o 到场点P 的位置矢量。

将a B 和b B 叠加，可得到空间各区域的磁场为
圆柱外：220
222b a b
a b a r r B J r r μ⎛⎫
=⨯- ⎪⎝⎭ ()b r b >
圆柱内的空腔外：2022b a a a r B J r r μ⎛⎫
=⨯- ⎪⎝
⎭ (,)
b a r b r a <>
空腔内： ()0
2
2
b a B J r r J d μμ=
⨯-=
⨯ ()a r a <
式中d 是点和b o 到点a o 的位置矢量。

由此可见，空腔内的磁场是均匀的。

五、在一块厚度为d 、电导率为σ的导电板上，由两个半径分别为r 1和r 2的圆弧和夹角为α的两半径割出的一块扇形体，如图所示，求两圆弧面间的电阻
解： 设内外两个圆弧面间的电流为I
电流密度 rd I J α=
电场强度 d
r I J
E οασ
=
= 电压 1
2
ln
2
1
r r d
I
Edr U r r αο=
=⎰ 故两圆弧面间的电阻1
2ln 1
r r d I U R αο==
六、（15分）厚度为l 、介电系数03εε=的无限大介质板，放置于均匀
电场0E 中，板的法线与0E
的夹角为1θ，如图所示。

求（1）使3
/2πθ=的1θ值。

（2）介质板两个表面上的极化面电荷密度。

解：根据边界条件
ε
εθθ0
21tan tan = 6
33arctan tan 3arctan
2001π
θεεθ=== （2）介质内的电场法向分量
n E E 01003cos εθε=
06
3E E n =
介质板左表面的极化面电荷密度为
0003
3
)(E E e P n n p εεεσ-=--=-⋅=
介质板右表面的极化面电荷密度为
0003
3
)(E E e P n n p εεεσ=-=⋅=
七、（10分）在自由空间（0,,00===σμμεε）中，已知磁场强度
)cos(),(kz t H e t z H m x -=ω
，式中k H m ,,ω均为常数。

求空间中的电场强度
、位移电流密度和传导电流密度。

解 d m y m y J kz t kH e kz t H z
e t D H
=-=-∂∂=∂∂=⨯∇)sin())cos((ωω )cos()sin(kz t H k
e dt kz t kH e D m y m y --=-=⎰ωω
ω
)cos(0
0kz t H k e D E m y --==ωωεε
0==E J
σ。