2016-2017北京丰台区高三数学理科一模试题及答案
北京市丰台区2017届高三二模数学理科试卷答案 精品
丰台区2016~2017学年度第二学期二模练习高三数学（理科）参考答案及评分参考2017．05 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．(43)-，10．0 11．2425- 12．4 13．2ln2- 14．12 ；23三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）由正弦定理得2sin sin sin A B B =， ..………………2分 因为0πB <<，所以sin 0B >，从而2sin 1A =， ..………………3分所以1sin 2A =. 因为锐角ABC △， 所以π6A =. ..………………6分（Ⅱ）πcos(cos()6B C B A C -+-+ ..………………7分s i n c o s BB + ..………………9分π=2sin(+)6B ..………………11分当π3B =πcos()6B C -+有最大值2，与锐角ABC △矛盾，πcos()6B C -+无最大值 ..………………13分16.（本小题共13分）解：（Ⅰ）5⨯300⨯30=300015（件）， .………………3分 答：产品A 的月销售量约为3000件. .………………4分（Ⅱ）顾客购买两种（含两种）以上新产品的概率为P 93==155. .………………5分X 可取0，2，4，6 ， .………………6分(=)()P X 3280==5125， 123336(=2)()P X C 2==55125，2233254(=4)()P X C ==55125， 3327(=6)()P X ==5125，8分所以836542745018()02461251251251251255E X =⨯+⨯+⨯+⨯==. ..……………10分 （Ⅲ）产品D . ……………13分 17.（本小题共14分）（Ⅰ）证明：由已知得EF //CD ，且=EF CD .因为ABCD 为等腰梯形，所以有BG //CD . 因为G 是棱AB 的中点，所以=BG CD ． 所以EF //BG ，且=EF BG ， 故四边形EFBG 为平行四边形,所以EG //FB . ………………2分 因为FB ⊂平面BDF ，EG ⊄平面BDF ，所以EG //平面BDF ．………………4分解：（Ⅱ）因为四边形CDEF 为正方形，所以ED DC ⊥.因为平面CDEF ⊥平面ABCD ， 平面CDEF平面ABCD DC =，DE ⊂平面CDEF ，所以ED ⊥平面ABCD .在△ABD 中，因为60DAB ︒∠=，22AB AD ==，所以由余弦定理，得BD所以AD BD ⊥． ………………5分 在等腰梯形ABCD 中，可得1DC CB ==. 如图,以D 为原点，以DA DB DE，，所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间坐标系，………………6分 则(0,0,0)D ，(1,0,0)A ， (0,0,1)E ，B ，1(2F - ， 所以(1,0,1)AE =-，1(2DF =-，DB =. yx设平面BDF 的法向量为(,,)x y z =n ，由00.DB DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n ………………7分所以0102x y z =⎨-+=⎪⎩，取1z =，则2,0x y ==，得(2,0,1)=n ． ………………8分 设直线AE 与平面BDF 所成的角为θ， 则sin cos ,AE AE AE θ⋅=〈〉=⋅n n n，………………9分 所以AE 与平面BDF . ………………10分 （Ⅲ）线段FC 上不存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD ．证明如下： ………………11分假设线段FC 上存在点H ，设1()(01)2H t t -≤≤， 则1()2DH t =-． 设平面HAD 的法向量为(,,)a b c =m ，由0,0.DA DH ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m所以0102a a tc =⎧⎪⎨-++=⎪⎩， 取1c =，则0,a b ==，得(0,,1)=m ． ………………12分 要使平面BDF ⊥平面HAD ，只需0⋅=m n ，………………13分即200110⨯⨯+⨯=， 此方程无解． 所以线段FC 上不存在点H ，使平面BDF ⊥平面HAD ． ………………14分18.（本小题共13分）解：（Ⅰ） ()f x 的定义域为(0,)+∞， …………………1分因为e a =，所以()e e(ln 1)x f x x =-+，所以e()e x f x x '=-. …………………2分因为(1)0f =，(1)0f '=， …………………3分 所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为0y =. …………………4分（Ⅱ） 因为0e a <<,所以()e x a f x x '=-在区间(,1)ea上是单调递增函数. …………………5分因为e ()e e 0eaaf '=-<，(1)e 0f a '=->， …………………6分所以0(,1)eax ∃∈,使得00e =0x a x -. …………………7分所以0(,)eax x ∀∈，()0f x '<；0(,1)x x ∀∈，()0f x '>， …………………8分故()f x 在0(,)eax 上单调递减，在0(,1)x 上单调递增， …………………9分所以()f x 有极小值0()f x . …………………10分因为00e 0x ax -=,所以000001()=e (ln 1)(ln 1)x f x a x a x x -+=--. …………………11分 设1()=(ln 1)g x a x x --，(,1)e ax ∈，则2211(1)()()a x g x a x x x +'=--=-， ………………12分 所以()0g x '<，即()g x 在(,1)ea上单调递减，所以()(1)0g x g >=，即0()0f x >，所以函数()f x 的极小值大于0． ………………13分19.（本小题共14分）解：（Ⅰ） 因为抛物线24y x =的焦点坐标为(1,0),所以1c =,..………………1分所以3242a ==，..………………3分即2a =.因为222413b a c =-=-=，所以椭圆E 的方程为22143x y +=...………………5分 （Ⅱ）设1122(,),(,)A x y B x y ，因为直线P A , PB 与圆222x y r +=(0)r >相切，所以0AP BP k k +=，..………………7分 即1212044y y x x +=++， 通分得122112(4)(4)0(4)(4)y x y x x x +++=++，所以1221(1)(4)(1)(4)0kx x kx x +++++=，整理，得12122(41)()80kx x k x x ++++=. ①..………………9分联立221431x yy kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，得22(34)880k x kx ++-=，所以12122288,3434k x x x x k k +=-=-++，..………………11分 代入①，得 1k =. ..………………14分20.（本小题共13分）解 ：（Ⅰ）因为{}n a 具有性质“(3,2,0)P ”，所以30n n a a +-=，2n ≥.由23a =，得583a a ==，由45a =，得75a =. ..………………2分 因为67818a a a ++=，所以610a =，即310a =. ..………………4分 （Ⅱ）{}n a 不具有性质“(2,1,0)P ”. ..………………5分设等差数列{}n b 的公差为d ，由 12b =，38b =，得2826d =-=，所以3d =，故31n b n =-. ..………………6分 设等比数列{}n c 的公比为q ，由 32c =，18c =， 得214q =，又0q >，所以12q =，故42n n c -=， ..………………7分 所以4312n n a n -=-+.若{}n a 具有性质“(2,1,0)P ”，则20n n a a +-=，1n ≥. 因为29a =，412a =，所以24a a ≠，故{}n a 不具有性质“(2,1,0)P ”. ..………………8分 （Ⅲ）因为{}n a 具有性质“1(,2,)P i d ”，所以1n i n a a d +-=，2n ≥.①因为{}n a 具有性质“2(,2,)P j d ”，所以2n j n a a d +-=，2n ≥.② 因为*N i j ∈,，i j <，i j ,互质，所以由①得1m ji m a a jd +=+；由②，得2m ij m a a id +=+， ..………………9分所以12m m a jd a id +=+，即21jd d i =. ..………………10分②-①，得211n j n i j ia a d d d i++--=-=，2n ≥， ..………………11分 所以1n j i n j ia a d i+---=，2n i ≥+， ..………………12分 所以{}n a 具有性质“1(,2,)j iP j i i d i--+”. ..………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
北京丰台区2016-2017高三期末数学(理)试卷
丰台区 2016~2017 学年度第一学期期末练习高三数学（理科）2017.01（本试卷满分共 150 分，考试时间120分钟）注意事项：1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码． 2．本次考试所有答题均在答题卡上完成．选择题必须使用 2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项．非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚．3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效．4．请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损．第一部分 （选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合 A x Zx 2x 1 0，B 2 1，，那么A B 等于（ ） A ． 2 1 0 1， ，， B ． 2 1 0， ，C ．2 1，D ．12．如果a b0 ，那么下列不等式一定成立的是（ ）abA ． a bB ． 1a b 1C ．1212D ．ln aln b3．如果平面向量a 2 0， ，b 1 1，，那么下列结论中正确的是（ ）A ．a bB ．a b2 2C ．a b bD ．a b ∥4．已知直线m ，n 和平面，如果n，那么“m n ”是“m”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．在等比数列a n 中，a 1 3，a a a 1239，则a 4a a 56等于（ ） A ．9B ．72C ．9 或72D ．9 或726．如果函数 f xsinx 3cosx 的两个相邻零点间的距离为2 ，那么 f1f2f3 f 9的值为（ ） A ．1B ． 1CD ． 37．中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷 （guĭ）影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1 分（ 1 寸=10 分）． 135.0125. 115.1 105.2 95.3 85.4 75.5 66.5 55.6 45.7 35.8 25.9蛰的晷影长应为（ ） A ．72.4 寸B ．81.4 寸C ．82.0 寸D ．91.6 寸8．对于任何集合S ，用S 表示集合S 中的元素个数，用n S 表示集合S 的子集个数．若集合A B ，满足条件：A 2017，且n A n B n AB ，则 A B 等于（ ） A ．2017B ．2016C ．2015D ．2014 第二部分（非选择题 共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 2i9．设i 虚数单位，则复数 __________．1i 10．设椭圆C ：2x2y21a 0的左、右焦点分别为F F 1，2，点P 在椭圆C 上，如果 PF 1PF 2 10， a那么椭圆C 的离心率为___________．6 11．在1x x2的展开式中，常数项是__________（用数字作答）．x y2 0≤ ， 12．若x y ，满足2x y2 0≥ ，即z2x y的最大值为__________．y ≥0，13．如图，边长为 2 的正三角形ABC 放置在平面直角坐标系xOy 中，AC 在x 轴上，顶点 B 与y 轴上的定点 P 重合．将正三角形ABC 沿x 轴正方向滚动，即先以顶点C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点 B 落在x 轴上时，再以顶点 B 为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC 滚动到△ABC 1 1 1 时，顶点 B 运动轨迹的长度为_____________；在滚动过程中，OB OP 的最大值为____________．14．已知 f x 为偶函数，且 x ≥0 时， f xxx（x表示不超过 x 的最大整数）．设g x f xkx k kR，当k 1时，函数g x有___________个零点；若函数g x有三个不同的零点，则k 的取值范围是__________．三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共 13 分） （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求边 AB 的长．16．（本小题共 14 分）如图所示的多面体中，面 ABCD 是边长为 2 的正方形，平面 PDCQ 平面 ABCD ，PD DC E F G，，，分别为棱BC AD P A ， ， 的中点．如图，在 ABC △ 中， D 是 BC 上的点，2 3 CD AC AD， ， sinB ．（Ⅰ）求证：EG∥平面PDCQ；617．（本小题共14 分）数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如下表所示：30 名参加问卷调查．（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2 名，求这2 名学生来自同一所中学的概率；（Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2 名，用X 表示抽得甲中学的学生人数，求X 的分布列．18．（本小题共13 分）已知函数f x xe x 与函数g x 1 x2 ax的图象在点0 0，处有相同的切线．2（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）设h x f x bg x b R，求函数h x在 1 2，上的最小值．19．（本小题共13分）已知抛物线C：y2 2px p0的焦点为F ，且经过点A 1 2，，过点F 的直线与抛物线C交于P Q，两点．（Ⅰ）求抛物线C的方程；p（Ⅱ）O为坐标原点，直线OP OQ，与直线x分别交于S T，两点，试判断FS FT是否为定2 值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．（Ⅱ）已知二面角PBFC P ABCD的体积．20．（本小题共 13 分）已知无穷数列c n满足 c n11 1 2c n ． （Ⅰ）若c，写出数列c n的前 5 项；（Ⅱ）对于任意0≤c 1≤1，是否存在实数M ，使数列c n中的所有项均不大于M ？若存在，求M的最小值；若不存在，请说明理由． （Ⅲ）当c 1为有理数，且c 1≥0时，若数列c n自某项后是周期数列，写出c 1的最大值．（直接写出结果，无需证明）（考生务必交答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）。
2016北京市丰台区高三(一模)数学(理)
2016北京市丰台区高三（一模）数 学（理） 2016.3第一部分 （选择题 共40分）一.选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1.已知全集U =R ，集合{}|23A x x x =≤-≥或，{}|14B x x x =<->或，那么集合()U C A B I 等于（ ）（A ）{}|24x x -<≤ （B ）{}|23x x -<<（C ）{}|21x x -<<-（D ）{}|2134x x x 或-<<-<<2．在下列函数中，是偶函数,且在0+∞（，）内单调递增的是 （A ）||2x y = （B ）21y x =（C ）|lg |y x = （D ）cos y x =3.对高速公路某段上汽车行驶速度进行抽样调查，画出如下频率分布直方图.根据直方图估计在此路段上汽车行驶速度的众数和行驶速度超过80km/h 的概率（A ） 75，0.25 （B ）80,0.35 （C ）77.5,0.25 （D ）77.5,0.354. 若数列{}n a 满足*12(0,)N n n n a a a n +=刮，且2a 与4a 的等差中项是5，则12n a a a +++L 等于 （A ）2n（B ）21n- （C ）12n - （D ）121n --5. 已知直线m ,n 和平面α，若n ⊥α，则“m ⊂α”是“n ⊥m ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件6. 有三对师徒共6个人，站成一排照相，每对师徒相邻的站法共有 （A ） 72 （B ）54 （C ） 48 （D ） 87.如图，已知三棱锥P ABC -的底面是等腰直角三角形，且∠ACB =90O，侧面PAB ⊥底面ABC ，AB =PA =PB =4.则这个三棱锥的三视图中标注的尺寸x ,y ,z 分别是（A）（B ）4,2,侧视图（D）23,2,228. 经济学家在研究供求关系时，一般用纵轴表示产品价格(自变量)，而用横轴来表示产品数量（因变量）.某类产品的市场供求关系在不受外界因素（如政府限制最高价格等）的影响下，市场会自发调解供求关系：当产品价格P1低于均衡价格P0时，需求量大于供应量，价格会上升为P2；当产品价格P2高于均衡价格P0时，供应量大于需求量，价格又会下降，价格如此波动下去，产品价格将会逐渐靠进均衡价格P0.能正确表示上述供求关系的图形是（A）（B）（C）（D）第二部分（非选择题共110分）一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9.已知双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的一条渐近线为3y x=，那么双曲线的离心率为_________.10. 如图，BC为⊙O的直径，且BC=6，延长CB与⊙O在点D处的切线交于点A，若AD=4，则AB=________.11. 在ABC∆中角A，B，C的对边分别是a，b，c，若3sin cos cosb Ac A a C=+，则sin A=________．12. 在梯形ABCD中，//AB CD,2AB CD=，E为BC中点，若AE x AB y ADu u u r u u u r u u u r=+,则x+y=_______.CBA DO 21单价需求曲线供应曲线21单价需求曲线供应曲线13. 已知,x y 满足0,,.x y x x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪+≤⎩（k 为常数），若2z x y =+最大值为8，则k =________.14.已知函数1(1),()1).x x f x x +≤⎧⎪=>若()(1)f x f x >+，则x 的取值范围是______.二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）已知函数(=cos (cos )f x x x x ）+ . (Ⅰ)求()f x 的最小正周期；(Ⅱ)当π[0,]2x ∈ 时，求函数(f x ）的单调递减区间.16.（本小题共13分）从某病毒爆发的疫区返回本市若干人，为了迅速甄别是否有人感染病毒，对这些人抽血，并将血样分成4组，每组血样混合在一起进行化验. （Ⅰ）若这些人中有1人感染了病毒.①求恰好化验2次时,能够查出含有病毒血样组的概率； ②设确定出含有病毒血样组的化验次数为X ，求E （X ）.(Ⅱ)如果这些人中有2人携带病毒，设确定出全部含有病毒血样组的次数Y 的均值E (Y )，请指出（Ⅰ）②中E （X ）与E (Y )的大小关系.（只写结论,不需说明理由）如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 为菱形，且∠BAD =60°，对角线AC 与BD 相交于O ；OF ⊥平面ABCD ，BC =CE =DE =2EF =2.(Ⅰ)求证： EF //BC ；(Ⅱ)求直线DE 与平面BCFE 所成角的正弦值.18.（本小题共14分） 已知函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （Ⅱ）求证：()1f x x ≥-； （Ⅲ）若22()(0)f x ax a a≥+≠在区间(0,)+∞上恒成立，求a 的最小值.已知椭圆G1.（Ⅰ）求椭圆G 的方程；（Ⅱ）设椭圆G 的短轴端点分别为,A B ，点P 是椭圆G 上异于点,A B 的一动点，直线,PA PB 分别与直线4x =于,M N 两点，以线段MN 为直径作圆C . ① 当点P 在y 轴左侧时，求圆C 半径的最小值；② 问：是否存在一个圆心在x 轴上的定圆与圆C 相切？若存在，指出该定圆的圆心和半径，并证明你的结论；若不存在，说明理由.20.（本小题共13分）已知数列{}n a 是无穷数列，12=,a a a b =（,a b 是正整数），11111(1),=(1)n nn n n n n nn a a a a a a aa a --+--⎧>⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩.（Ⅰ）若122,=1a a =，写出45,a a 的值；（Ⅱ）已知数列{}n a 中*1)k a k N （=∈，求证：数列{}n a 中有无穷项为1； （Ⅲ）已知数列{}n a 中任何一项都不等于1，记212=max{,}(1,2,3,;n n n b a a n L -=max{,}m n 为,m n 较大者）.求证：数列{}n b 是单调递减数列.数学试题答案一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．9. 2 10. 2 11.14. (0,1] 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解：(Ⅰ) 2(cos cos f x x x x + 1cos2(=sin 222xf x x ）++ 1cos2(2)2x f x x ）++1(=sin(2)62f x x ）π++22||2T πππω===()f x 的最小正周期为π. ----------------------------------7分(Ⅱ)当3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈ 时，函数(f x ）单调递减, 即()f x 的递减区间为：2[,],63k k k Z ππππ++∈,由2[0,][,]263k k I πππππ++=[,]62ππ+,k Z ∈所以(f x ）的递减区间为：[,]62ππ. ------------------------------------13分16. 解：（Ⅰ）①恰好化验2次时,就能够查出含有病毒血样的组为事件A. 1()4P A =恰好化验2次时,就能够查出含有病毒血样的组的概率为14.-----4分②确定出含有病毒血样组的次数为X,则X 的可能取值为1，2，3.1(1)4P X ==, 1(2)4P X ==，1(3)2P X ==. 则X 的分布列为：所以：E （X ）=11191234424⨯+⨯+⨯=--------------------------------------11分 (Ⅱ) ()()E X E Y < ------------------------------------------------------------------13分 17. 解：(Ⅰ)因为四边形ABCD 为菱形所以AD ∥BC ，且BC ⊄面ADEF ，AD ⊂面ADEF所以BC ∥面ADEF 且面ADEF I 面BCEF EF =所以EF ∥BC . ----------------------------------------------------------6分 (Ⅱ)因为FO ⊥面ABCD 所以FO AO ⊥，FO OB ⊥ 又因为OB AO ⊥以O 为坐标原点，OA ，OB ，OF 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，取CD 的中点M ，连,OM EM . 易证EM ⊥平面ABCD .又因为22BC CE DE EF ====，得出以下各点坐标：1(0,1,0),((0,1,0),(22B C D F E ---向量1(2DE u u u r =，向量(1,0)BC u u u r =-，向量(0,BF u u u r =- 设面BCFE 的法向量为：0000(,,)n x y z u u r=000,0n BC n BF u u u ru u ur ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得到000000y y ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令0y =时0(n u u r=-设DF u u u r 与0n uu r 所成角为ϕ，直线DE 与面BCEF 所成角为θ.sin θ=|cos |ϕ=00||||||n DE n DE u u r u u u r uu r u u u r ⋅⋅1|((1)1|⨯-+=5 直线EF 与平面BCEF所成角的正弦值为5.--------------------------------------13分 18.设函数()ln f x x x =.（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（Ⅲ）若22()(0)f x ax a a≥+≠在区间(0,)+∞上恒成立，求a 的最小值. 解：（Ⅰ）设切线的斜率为k()ln 1f x x '=+ (1)ln111k f '==+=因为(1)1ln10f =⋅=，切点为(1,0).切线方程为01(1)y x -=⋅-，化简得：1y x =-.----------------------4分 （Ⅱ）要证：()1f x x ≥-只需证明：()ln 10g x x x x =-+≥在(0,)+∞恒成立， ()ln 11ln g x x x '=+-=当(0,1)x ∈时()0f x '<，()f x 在(0,1)上单调递减； 当(1,)x ∈+∞时()0f x '>，()f x 在(1,)+∞上单调递增； 当1x =时min ()(1)1ln1110g x g ==⋅-+=()ln 10g x x x x =-+≥在(0,)+∞恒成立所以()1f x x ≥-.----------------------------------------------------------------10分（Ⅲ）要使：22ln x x ax a ≥+在区间在(0,)+∞恒成立， 等价于：2ln x ax ax≥+在(0,)+∞恒成立，等价于：2()ln 0h x x ax ax=--≥在(0,)+∞恒成立 因为212()h x a x ax '=-+=2222a x ax ax-++=2212()()a x x a a ax -+- ①当0a >时，2(1)ln10h a a=--<，0a >不满足题意②当0a <时，令'()0h x =，则1x a =-或2x a=（舍）.所以1(0,)x a ∈-时()0h x '<，()h x 在1(0,)a -上单调递减；1(,)x a ∈-+∞时()0h x '>，()h x 在1(,)a -+∞上单调递增；当1x a =-时min 11()()ln()12h x h a a =-=-++当1ln()30-+≥时，满足题意所以30e a -≤<，得到a 的最小值为 3e ------------------------------------14分19. 解：1.所以2221,2b ca abc =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩得到21,a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩分（Ⅱ）① 设00(,)P x y ，(0,1),(0,1)A B - 所以直线PA 的方程为：0011y y x x --=令4x =，得到004(1)1M y y x -=+同理得到004(1)1N y y x +=-，得到08|||2|MN x =- 所以，圆C 半径004|1|(20)r x x =--≤< 当02x =-时，圆C 半径的最小值为3. -----------------------------------9分② 当P 在左端点时，圆C 的方程为：22(4)9x y -+= 当P 在右端点时，设(2,0)P ，(0,1),(0,1)A B - 所以直线PA 的方程为：112y x --=令4x =，得到1M y =-同理得到1N y =， 圆C 的方程为：22(4)1x y -+=，易知与定圆22(2)1x y -+=相切, 半径1R =由前一问知圆C 的半径0000041,204|1|41,02x x r x x x ⎧--≤<⎪⎪=-=⎨⎪-<≤⎪⎩ 因为004(1)1M y y x -=+，004(1)1N y y x +=-，圆C 的圆心坐标为004(4,)y x圆心距d =000004,2044||,02x x x x x ⎧--≤<⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩ 当020x -?时，C 内切；当002x <?时，C 外切； 存在一个圆心在x 轴上的定圆与圆C 相切，该定圆的圆心为(2,0)和半径1R =.(注: 存在另一个圆心在x 轴上的定圆与圆C 相切，该定圆的圆心为(6,0)和半径1R =.得分相同) --------------------------------------------------------------14分20..解：（Ⅰ）452,1a a ==；-------------------------------------------------2分（Ⅱ）*1)k a k N （=∈，假设1k a m +=①当1m =时，依题意有231k k a a ++==⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ②当1m >时，依题意有2k a m +=，31k a +=③当1m <时，依题意有21k a m +=，321k a m +=，41k a m +=，51k a m+=，61k a += 由以上过程可知：若*1)k a k N （=∈，在无穷数列{}n a 中，第k 项后总存在数值为1 的项，以此类推，数列{}n a 中有无穷项为1. -------------------------------6分（Ⅲ）证明：由条件可知1(1,2,3,)n a n >=L ，因为{}n a 中任何一项不等于1，所以+11,2,3,)n n a a n ≠=L （. ①若212n n a a ->，则21n n b a -=.因为212+12=n n na a a -，所以212+1n n a a ->. 若21221n n a a ->，则212+22122n n n n a a a a --=<，于是2-12+2n n a a >； 若21221n na a -<，则22222+222212121212n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a ----===⋅<<，于是2-12+2n n a a >；若21221n n a a -=，则2+21n a =，于题意不符； 所以212+12+2max{,}n n n a a a ->，即1n n b b +>. ②若212n n a a -<，则2n n b a =. 因为22+1=nn a a ，所以22+1n n a a >；2016北京市丰台区高三(一模)数学(理)11 / 11 11 / 11 因为22+22+1=n n n a a a ，所以22+2n n a a >； 所以22+12+2max{,}n n n a a a >，即1n n b b +>. 综上所述，对于一切正整数n ，总有1n n b b +>，所以数列{}n b 是单调递减数列.。
2017.1北京市丰台区高三期末考试数学(试卷)理
丰台区2016～2017学年度第一学期期末练习高三数学（理科）2017. 01（本试卷满分共150分，考试时间120分钟）注意事项： 1. 答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码。
2.本次考试所有答题均在答题卡上完成。
选择题必须使用2B 铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项。
非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚。
3.请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效。
4. 请保持答题卡卡面清洁，不要装订、不要折叠、不要破损。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合{(2)(1)0}A x x x Z ，{2,B 1}，那么A B U 等于（A ）{2101}，，，（B ）{210}，，（C ）{21}，（D ）{1}2. 如果0a b ，那么下列不等式一定成立的是（A ）ab（B ）11ab（C ）11()()22ab（D ）ln ln a b3. 如果平面向量(20)，a ，(11)，b ，那么下列结论中正确的是（A ）a b（B ）22a b（C ）()ab b（D ）//a b 4. 已知直线m ，n 和平面，如果n，那么“mn ”是“m ”的（A ）充分而不必要条件（B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5. 在等比数列}{n a 中，31a ，123+=a a a 9，则456+a a a 等于（A ）9 （B ）72 （C ）9或72 （D ）9或726. 如果函数()sin 3cos f x xx 的两个相邻零点间的距离为2，那么(1)(2)(3)(9)f f f f L的值为（A ）1（B ）1（C ）3（D ）37. 中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则. 例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(gu ǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的. 下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸416分（1寸=10分）.节气冬至小寒(大雪)大寒(小雪)立春(立冬)雨水(霜降)惊蛰(寒露)春分(秋分)清明(白露) 谷雨(处暑) 立夏(立秋)小满(大暑) 芒种(小暑)夏至晷影长（寸）135.0 5125.64115.163105.26295.36285.4675.5566.56455.66345.76235.86125.9616.0已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为（A）72.4寸（B）81.4寸（C）82.0寸（D）91.6寸n S表示集合S的子集个数.8. 对于任何集合S，用|S|表示集合S中的元素个数，用()I等于U，则|A B|若集合A，B满足条件：|A|2017，且()()()n A n B n A B（A）2017 （B）2016（C）2015 （D）2014第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9. 设i 是虚数单位，则复数2i 1i= .10. 设椭圆C ：222+1(0)16x ya a 的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF ，那么椭圆C 的离心率为.11. 在261()x x的展开式中，常数项是（用数字作答）．12. 若，x y 满足202200，，，x yx y y+则=2z xy 的最大值为.13. 如图，边长为2的正三角形ABC 放置在平面直角坐标系xOy 中，AC 在x 轴上，顶点B 与y 轴上的定点P 重合．将正三角形ABC 沿x 轴正方向滚动，即先以顶点C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为旋转中心顺时针旋转，如此继续. 当△ABC 滚动到△A 1B 1C 1时，顶点B 运动轨迹的长度为；在滚动过程中，OB OP uu u r uu u r的最大值为．14. 已知)(x f 为偶函数，且0x时，][)(x x x f （][x 表示不超过x 的最大整数）.设()()()g x f x kxk kR ，当1k时，函数()g x 有个零点；若函数()g x 有三个不同的零点，则k 的取值范围是.三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，3AC ，2CD ，7AD，7sin 7B. （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）求边AB 的长.16.（本小题共14分）如图所示的多面体中，面ABCD 是边长为2的正方形，平面PDCQ ⊥平面ABCD ，PD DC ^，E F G ，，分别为棱，，BC AD PA 的中点.（Ⅰ）求证：EG ‖平面PDCQ ；（Ⅱ）已知二面角P BF C --的余弦值为66，求四棱锥P ABCD -的体积．C BPGFD EQADCBAP OyxB 1C 1A 1C(B)A17.（本小题共14分）数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如下表所示：中学甲乙丙丁人数30402010为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查．（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一所中学的概率；（Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用X 表示抽得甲中学的学生人数，求X 的分布列．18.（本小题共13分）已知函数()e xf x x 与函数21()2g x x ax 的图象在点(00)，处有相同的切线.（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设()()()()h x f x bg x bR ，求函数()h x 在[12]，上的最小值. 19.（本小题共13分）已知抛物线C ：22(0)ypx p 的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ,Q 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2p x分别交于S ,T 两点，试判断FS FT uu r uu u r是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.20.（本小题共13分）已知无穷数列{}n c 满足1112nn c c .（Ⅰ）若117c ，写出数列{}n c 的前5项；（Ⅱ）对于任意101c ，是否存在实数M ，使数列{}n c 中的所有项均不大于M ？若存在，求M 的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1c 为有理数，且10c 时，若数列{}n c 自某项后是周期数列，写出1c 的最大值.（直接写出结果，无需证明）（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）。
北京市丰台区高三(一模)3月综合练习(一)数学(理)试题 Word版含答案
丰台区2017年高三年级第二学期综合练习（一）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.如果集合{}{}|21,1,0,1A x z x B =∈-≤<=-，那么A B =A ．{}2,1,0,1--B ．{}1,0,1-C ．{}0,1D ．{}1,0-2.已知,a b R ∈，则“0b ≠”是“复数a bi +是纯虚数”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3.定积分3112x dx x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭⎰ A ．10ln 3- B ．8ln 3- C ．223 D ．6494.设E,F 分别是正方形ABCD 的边AB,BC 上的点，且12,23AE AB BF BC ==，如果EF mAB nAC =+ （,m n 为实数），那么m n +的值为 A ．12- B ．0 C ．12D ．1 5.执行如图所示的程序框图，若输出的S 的值为64，则判断框内应填入的条件是A ．3?k ≤B ．3?k <C ．4?k ≤D ．4?k >6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．56B ．23C ．12D ．137.小明跟父母、爷爷、奶奶一同参加《中国诗词大会》的现场录制，5人坐成一排，若小明的父母至少有一人与他相邻，则不同的坐法总数为A ．60B ．72C ．84D ． 968.一次猜奖游戏中，1,2,3,4四扇门里摆放了a,b,c,d 四件奖品（每扇门里仅放一件），甲同学说：1号门里是b,3号门里是c ；乙说：2号门里是b,3号门里是d ；丙说：4号门里是b,2号门里是c ；丁说：4号门里是a,3号门里是c.如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是A ．aB ．bC ．cD ．d第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷的横线上。
2017届北京市丰台区高三上学期期末练习数学(理)答案
丰台区2016~2017学年度第一学期期末练习 高三数学（理科）参考答案及评分参考2017．01 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1i -+ 10．5311． 15 12．4 13．83π； 14．2；1111,,3432⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）在△ADC 中，由余弦定理，得CD AC AD CD AC C ⋅-+=2cos 222 ……………….2分2123272322=⨯⨯-+=……………….4分因为0C <<π，所以3C π=. ……………….6分 （Ⅱ）因为3C π=，所以23sin =C . ……………….8分 在△ABC 中，由正弦定理，得CABB AC sin sin =， ……………….10分 即2213=AB ，所以边AB 的长为2213. ……………….13分16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）取PD 中点H ，连接GH ，HC ，因为ABCD 是正方形，所以AD ‖BC ，AD BC =.因为G,H 分别是PA ,PD 中点，所以GH ‖AD ,12GH AD =. 又因为EC ‖AD 且12EC AD =， 所以GH ‖EC ，GH EC =，所以四边形GHCE 是平行四边形, ………….3分 所以EG ‖HC .又因为EG Ë平面PDCQ ，HC Ì平面PDCQ所以EG ‖平面PDCQ ． ……………….5分 （Ⅱ）因为平面PDCQ ⊥平面ABCD ， 平面PDCQ I 平面ABCD CD =，PD DC ^，PD Ì平面PDCQ ，所以PD ^平面ABCD ． ……………….6分如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ,y ,z 轴正方向，建立空间直角坐标系．设PD a =，则 ()()()00002201 P ,,a F ,,B ,,，，．………………7分因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=m . ……………….8分 设平面PFB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，()10PF ,,a u u u r =- ()120 FB ,,u u r =, 则0,=0.PF FB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩uu u r uur n n即0+2=0x az x y -=⎧⎨⎩令x =1，得11,2z y a ==-，所以11(1,,)2a=-n ． ……………….10分由已知，二面角P BF C --所以得cos <,>||||⋅===m nm n m n ……………….11分 解得a =2,所以2PD =． ……………….13分因为PD 是四棱锥P ABCD -的高，所以其体积为182433P ABCD V -=⨯⨯=．……………….14分17．（本小题共14分）解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名， 抽取的样本容量与总体个数的比值为30310010=， 所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3. ………………3分 （Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件A ，从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有230435C =种， ………………5分 来自同一所中学的取法共有222291263120C C C C +++=． ………………7分所以1208()43529P A ==． 答：从30名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为829． ………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中，来自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6．依题意得，X 的可能取值为0,1,2， ………………9分262151(0)7C P X C === ，119621518(1)35C C P X C === ，2921512(2)35C P X C ===． ……………12分 所以X 的分布列为：……………….14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为()e e x x f x x '=+，所以(0)1f '=. ……………….2分因为()g x x a '=+，所以(0)g a '=. ……………….4分 因为()f x 与()g x 的图象在（0,0）处有相同的切线，所以(0)(0)f g ''=，所以1a =. …….5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知, 21()2g x x x =+, 令21()()()e 2xh x f x bg x x bx bx =-=--，[1,2]x ∈，则()e e (1)(1)(e )xxxh x x b x x b '=+-+=+-． ……………….6分(1)当0b ≤时，[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -； ……………….7分 (2)当0b >时，由()=0h x '得，ln x b =， ……………….8分 ①若ln 1b ≤，即0e b <≤，则[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在上是增函数， 故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -. ……………….9分 ②若1ln 2b <<，即2e e b <<，则(1,ln )x b ∀∈，()0h x '<，(ln 2)x b ∀∈，，()0h x '>，所以()h x 在(1,ln )b 上是减函数，在(ln 2)b ，上是增函数， 故()h x 的最小值为21(ln )=ln 2h b b b -； ……………….11分 ③若ln 2b ≥，即2e b ≥，则[1,2]x ∀∈，()0h x '<，所以()h x 在[1,2]上是减函数，故()h x 的最小值为2(2)=2e 4h b -. ……………….12分综上所述，当e b ≤时，()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -， 当2e e b <<时，()h x 的最小值为21ln 2b b -， 当2e b ≥时，()h x 的最小值为22e 4b -. ……………….13分 19.（本小题共13分）解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. ……………….4分 （Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ， 则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分所以14(2,)FS y =--uu r ，24(2,)FT y =--uu u r ，则12164FS FT y y ⋅=+uu r uu u r ． ……………….9分由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-， ……………….11分则164(4)FS FT ⋅=+-uu r uu u r 440=-=． 所以，FS FT ⋅u u r u u u r的值是定值，且定值为0. ……………….13分20．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）12462,,,,77777……………….4分（Ⅱ）存在满足题意的实数M , 且M 的最小值为1. 解法一：猜想10≤≤n c ，下面用数学归纳法进行证明. （1）当1n =时,101c ≤≤，结论成立.（2）假设当)(*N k k n ∈=时结论成立，即10≤≤k c ， 当1+=k n 时,022k c ≤≤ ,所以1121k c -≤-≤, 即0121k c ≤-≤,所以01121k c ≤--≤, 故01121k c ≤--≤. 又因为+1=112k k c c --, 所以+101k c ≤≤,所以1+=k n 时结论也成立.综上,由（1）,（2）知,10≤≤n c 成立 所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1.解法二：当2≥n 时，若存在2,3,4...,k =满足11k c -<,且1k c >. 显然1,21,01≠-k c ，则1211<<-k c 时，1221<-=-k k c c 与1>k c 矛盾； 2101<<-k c 时，121<=-k k c c 与1>k c 矛盾；所以01(2)n c n ≤≤≥ 所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1. ……………………10分（Ⅲ）2 ………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）。
丰台期末区2017届高三上学期期末考试数学理试题
丰台区2016—2017学年度第一学期期末练习高三数学（理科）2017.01 第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{(2)(1)0}A x x x =∈+-<Z ，{2,B =-1}-，那么A B U 等于（A ）{2101}，，，-- （B ）{210}，，-- （C ）{21}，-- （D ）{1}-2．已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（A ）a b <（B ）11a b> （C ）11()()22ab>（D ）ln ln a b >3．如果平面向量(20)，=a ，(11)，=b ，那么下列结论中正确的是 （A ）=a b （B）⋅=a b （C ）()-⊥a b b（D ）//a b4．已知直线m ，n 和平面α，如果n α⊂，那么“m n ⊥”是“m α⊥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5．在等比数列}{n a 中，31=a ，123+=a a a +9，则456+a a a +等于（A ）9（B ）72（C ）9或72（D ） 9或-726．如果函数()sin f x x x ωω=的两个相邻零点间的距离为2，那么(1)(2)(3)(9)f f f f ++++L 的值为 （A ）1（B ）-1（C（D）7.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸416分（1寸=10分）．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为（A ）72.4寸 （B ）81.4寸 （C ）82.0寸 （D ）91.6寸8.对于任何集合S ，用|S |表示集合S 中的元素个数，用()n S 表示集合S 的子集个数. 若集合A ，B 满足条件：|A|=2017，且()()()n A n B n A B +=U ，则|A B |I 等于（A ）2017（B ）2016（C ）2015（D ）2014第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. i 是虚数单位，复数2i1i-= ． 10. 设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为 ．11．在261()x x-的展开式中，常数项是 （用数字作答）．12．若，x y 满足202200，，，x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩+则=2z x y -的最大值为 ．13．如图，边长为2的正三角形ABC 放置在平面直角坐标系xOy 中，AC 在x 轴上，顶点B 与y 轴上的定点P重合．将正三角形ABC 沿x 轴正方向滚动，即先以顶点C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC 滚动到△111A B C 时，顶点B 运动轨迹的长度为 ；在滚动过程中，OB OP ⋅uu u r uu u r的最大值为 ．14．已知()f x 为偶函数，且0≥x 时，][)(x x x f -=（][x 表示不超过x 的最大整数）．设()()()g x f x kx k k =--∈R ，若1k =，则函数()g x 有____个零点；若函数()g x 三个不同的零点，则k 的取值范围是____．DCBA三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，3AC =，2CD =，AD =sin B . （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求边AB 的长.16.（本小题共14分）如图所示的多面体中，面ABCD 是边长为2的正方形，平面PDCQ ⊥平面ABCD ，PD DC ^，E F G ，，分别为棱，，BC AD PA 的中点.（Ⅰ）求证：EG ‖平面PDCQ ； （Ⅱ）已知二面角P BF C --求四棱锥P ABCD -的体积．17.（本小题共14分）数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如下表所示：为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查．（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一所中学的概率；（Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用X 表示抽得甲中学的学生人数，求X 的分布列．CBPGF DE QA18.（本小题共13分）已知函数()e x f x x =与函数21()2g x x ax =+的图象在点(00)，处有相同的切线. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设()()()()h x f x bg x b =-∈R ，求函数()h x 在[12]，上的最小值.19.（本小题共13分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2px =-分别交于S ，T 两点，试判断FS FT ⋅uu r uu u r 是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.20.（本小题共13分）已知无穷数列{}n c 满足1112n n c c +=--. （Ⅰ）若117c =，写出数列{}n c 的前4项； （Ⅱ）对于任意101c ≤≤，是否存在实数M ，使数列{}n c 中的所有项均不大于M ？若存在，求M 的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1c 为有理数，且10c ≥时，若数列{}n c 自某项后是周期数列，写出1c 的最大值.（直接写出结果，无需证明）丰台区2016~2017学年度第一学期期末练习高三数学（理科）参考答案及评分参考2017．01 一、选择题共二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1i -+ 10．5311． 15 12．4 13．83π； 14．2；1111,,3432⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）在△ADC 中，由余弦定理，得CD AC AD CD AC C ⋅-+=2cos 222 ……………….2分2123272322=⨯⨯-+=……………….4分因为0C <<π，所以3C π=. ……………….6分 （Ⅱ）因为3C π=，所以23sin =C . ……………….8分 在△ABC 中，由正弦定理，得CABB AC sin sin =， ……………….10分 即2213=AB ，所以边AB 的长为2213. ……………….13分 16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）取PD 中点H ，连接GH ，HC ，因为ABCD 是正方形，所以AD ‖BC ，AD BC =. 因为G,H 分别是PA ,PD 中点，所以GH ‖AD ,12GH AD =. 又因为EC ‖AD 且12EC AD =， 所以GH ‖EC ，GH EC =，所以四边形GHCE 是平行四边形, ………….3分 所以EG ‖HC .又因为EG Ë平面PDCQ ，HC Ì平面PDCQ所以EG ‖平面PDCQ ． ……………….5分 （Ⅱ）因为平面PDCQ ⊥平面ABCD ， 平面PDCQ I 平面ABCD CD =， P D D C ^，PD Ì平面PDCQ ，所以PD ^平面ABCD ． ……………….6分 如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ,y ,z 轴正方向，建立空间直角坐标系．设PD a =，则 ()()()00002201 P ,,a F ,,B ,,，，．………………7分因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=m . ……………….8分设平面PFB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，()10 PF ,,a u u u r =- ()120 FB ,,u u r=,则0,=0.PF FB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩uu u ruur n n即0+2=0x az x y -=⎧⎨⎩令x =1，得11,2z y a ==-，所以11(1,,)2a=-n ． ……………….10分由已知，二面角P BF C --所以得cos <,>||||⋅===m nm n m n ……………….11分 解得a =2,所以2PD =． ……………….13分因为PD 是四棱锥P ABCD -的高，所以其体积为182433P ABCD V -=⨯⨯=． ……………….14分17．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名， 抽取的样本容量与总体个数的比值为30310010=， 所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3. ………………3分（Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件A ，从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有230435C =种， ………………5分来自同一所中学的取法共有222291263120C C C C +++=． ………………7分所以1208()43529P A ==． 答：从30名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为829． ………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中，来自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6．依题意得，X 的可能取值为0,1,2， ………………9分262151(0)7C P X C === ，119621518(1)35C C P X C === ，2921512(2)35C P X C ===． ……………12分 所以……………….14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为()e e x x f x x '=+，所以(0)1f '=. ……………….2分因为()g x x a '=+，所以(0)g a '=. ……………….4分 因为()f x 与()g x 的图象在（0,0）处有相同的切线，所以(0)(0)f g ''=，所以1a =. …….5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知, 21()2g x x x =+, 令21()()()e 2xh x f x bg x x bx bx =-=--，[1,2]x ∈，则()e e (1)(1)(e )x x x h x x b x x b '=+-+=+-． ……………….6分(1)当0b ≤时，[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -； ……………….7分 (2)当0b >时，由()=0h x '得，ln x b =， ……………….8分①若ln 1b ≤，即0e b <≤，则[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -. ……………….9分 ②若1ln 2b <<，即2e e b <<，则(1,ln )x b ∀∈，()0h x '<，(ln 2)x b ∀∈，，()0h x '>， 所以()h x 在(1,ln )b 上是减函数，在(ln 2)b ，上是增函数， 故()h x 的最小值为21(ln )=ln 2h b b b -； ……………….11分 ③若ln 2b ≥，即2e b ≥，则[1,2]x ∀∈，()0h x '<，所以()h x 在[1,2]上是减函数，故()h x 的最小值为2(2)=2e 4h b -. ……………….12分 综上所述，当e b ≤时，()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -， 当2e e b <<时，()h x 的最小值为21ln 2b b -， 当2e b ≥时，()h x 的最小值为22e 4b -. ……………….13分19.（本小题共13分）解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. ……………….4分（Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ， 则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分 由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分 所以14(2,)FS y =--uu r ，24(2,)FT y =--uu u r ，则12164FS FT y y ⋅=+uu r uu u r ． ……………….9分由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-， ……………….11分 则164(4)FS FT ⋅=+-uu r uu u r 440=-=． 所以，FS FT ⋅u u r u u u r的值是定值，且定值为0. ……………….13分20．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）12462,,,,77777……………….4分 （Ⅱ）存在满足题意的实数M , 且M 的最小值为1.解法一：猜想10≤≤n c ，下面用数学归纳法进行证明. （1）当1n =时,101c ≤≤，结论成立.（2）假设当)(*N k k n ∈=时结论成立，即10≤≤k c ， 当1+=k n 时,022k c ≤≤ ,所以1121k c -≤-≤, 即0121k c ≤-≤,所以01121k c ≤--≤, 故01121k c ≤--≤. 又因为+1=112k k c c --, 所以+101k c ≤≤,所以1+=k n 时结论也成立.综上,由（1）,（2）知,10≤≤n c 成立 所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1.解法二：当2≥n 时，若存在2,3,4...,k =满足11k c -<,且1k c >. 显然1,21,01≠-k c ，则1211<<-k c 时，1221<-=-k k c c 与1>k c 矛盾； 2101<<-k c 时，121<=-k k c c 与1>k c 矛盾；所以01(2)n c n ≤≤≥ 所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1. ……………………10分（Ⅲ）2 ………………13分。
2016届丰台高三数学(理)试卷
⎩ 2 + = > > 丰台区 2015—2016 学年度第一学期期末练习2016.01高三数学（理科）第一部分 （选择题 共 40 分）一、选择题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。
在每小题列出的四个选项中，选 出符合题目要求的一项。
1. 复数(1+ i)(1+ a i) 是实数，则实数a 等于 （A ）2（B ）1（C ）0（D ）-12.“ x 2 > 0 ”是“ x > 0 ”的 （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件3. 已知数列{a } 中， a = 1, a=1，若利用下 n1n +11+ a n面程序框图计算该数列的第 2016 项，则判断框内的条件是 （A ） n ≤ 2014 （C ） n ≤ 2015（B ） n ≤ 2016 （D ） n ≤ 2017⎧x = 1+ cos θ4. 若点 P 为曲线⎨ y = 1+ sin θ （θ 为参数）上一点，则点 P 与坐标原点的最短距离为 （A ） 2 -1（B ） 2+1 （C ）（D ）25. 函数 f (x )= sin 2x + 3 cos 2x 在区间[0,π ]上的零点之和是（A ）2π （B ）7π （C ）7π （D ） 4π3126 32 2 6. 若a = 2x dx ， b = xdx ， c = log xdx ，则a ,b , c 的大小关系是⎰1⎰1⎰12（A ）c < b < a（B ）b < c < a（C ）c < a < b（D ）a < b < cx 2 y 2 1(a b 0)x + y =7. 若 F （c ,0）为椭圆 C ： a 2 b 2的右焦点，椭圆 C 与直线 1 a b交于 A ,B 两点，线段 AB 的中点在直线 x = c 上，则椭圆的离心率为2 ？ 否输出A 是结束1A =A +1n =n +1 n =1,A =1开始（A ） 3（B ） 1（C ） 2（D ） 3⎨ ⎩22 2 38. 在下列命题中：①存在一个平面与正方体的 12 条棱所成的角都相等； ②存在一个平面与正方体的 6 个面所成较小的二面角都相等； ③存在一条直线与正方体的 12 条棱所成的角都相等； ④存在一条直线与正方体的 6 个面所成的角都相等. 其中真命题的个数为 （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4第二部分（非选择题共 110 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
北京市丰台区2017届高三数学上学期期末考试试题理
丰台区2016—2017学年度第一学期期末练习高三数学（理科）第一部分 （选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．已知集合{(2)(1)0}A x x x =∈+-<Z ，{2,B =-1}-，那么AB 等于（A ）{2101}，，，--（B ）{210}，，--（C ）{21}，--（D ）{1}-2．已知0a b >>，则下列不等式一定成立的是（A ）a b <（B ）11a b> （C ）11()()22ab>（D ）ln ln a b >3．如果平面向量(20)，=a ，(11)，=b ，那么下列结论中正确的是（A ）=a b （B）⋅=a b （C ）()-⊥a b b（D ）//a b4．已知直线m ，n 和平面α，如果n α⊂，那么“m n ⊥”是“m α⊥”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件5．在等比数列}{n a 中，31=a ，123+=a a a +9，则456+a a a +等于（A ）9（B ）72（C ）9或72（D ） 9或-726．如果函数()sin f x x x ωω=的两个相邻零点间的距离为2，那么(1)(2)(3)(9)f f f f ++++的值为 （A ）1（B ）-1（C（D）7.中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(guǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中4115.16寸表示115寸416分（1寸=10分）．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为 （A ）72.4寸（B ）81.4寸（C ）82.0寸（D ）91.6寸8.对于任何集合S ，用|S |表示集合S 中的元素个数，用()n S 表示集合S 的子集个数. 若集合A ，B 满足条件：|A|=2017，且()()()n A n B n A B +=，则|A B |等于（A ）2017（B ）2016（C ）2015（D ）2014第二部分 （非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分． 9. i 是虚数单位，复数2i1i-= ． 10. 设椭圆C ：222+1(0)16x y a a =>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，如果12||+||10PF PF =，那么椭圆C 的离心率为 ．11．在261()x x-的展开式中，常数项是 （用数字作答）．12．若，x y 满足202200，，，x y x y y -≤⎧⎪+-≥⎨⎪≥⎩+则=2z x y -的最大值为 ．13．如图，边长为2的正三角形ABC 放置在平面直角坐标系xOy 中，AC 在x 轴上，顶点B 与y 轴上的定点P 重合．将正三角形ABC 沿x 轴正方向滚动，即先以顶点C 为旋转中心顺时针旋转，当顶点B 落在x 轴上时，再以顶点B 为旋转中心顺时针旋转，如此继续．当△ABC 滚动到△111A B C 时，顶点B 运动轨迹的长度为 ；在滚动过程中，OB OP ⋅的最大值为 ．14．已知()f x 为偶函数，且0≥x 时，][)(x x x f -=（][x 表示不超过x 的最大整数）．设()()()g x f x kx k k =--∈R ，若1k =，则函数()g x 有____个零点；若函数()g x 三个不同的零点，则k 的取值范围是DCBA____．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）如图，在△ABC 中，D 是BC 上的点，3AC =，2CD =，AD =sin B = （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求边AB 的长.16.（本小题共14分）如图所示的多面体中，面ABCD 是边长为2的正方形，平面PDCQ ⊥平面ABCD ，PD DC ，E F G ，，分别为棱，，BC AD PA 的中点.（Ⅰ）求证：EG ‖平面PDCQ ； （Ⅱ）已知二面角P BF C， 求四棱锥PABCD 的体积．17.（本小题共14分）数独游戏越来越受人们喜爱，今年某地区科技馆组织数独比赛，该区甲、乙、丙、丁四所学校的学生积极参赛，参赛学生的人数如下表所示：为了解参赛学生的数独水平，该科技馆采用分层抽样的方法从这四所中学的参赛学生中抽取30名参加问卷调查．CBPGF DE QA（Ⅰ）问甲、乙、丙、丁四所中学各抽取多少名学生？（Ⅱ）从参加问卷调查的30名学生中随机抽取2名，求这2名学生来自同一所中学的概率；（Ⅲ）在参加问卷调查的30名学生中，从来自甲、丙两所中学的学生中随机抽取2名，用X 表示抽得甲中学的学生人数，求X 的分布列．18.（本小题共13分）已知函数()e x f x x =与函数21()2g x x ax =+的图象在点(00)，处有相同的切线. （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）设()()()()h x f x bg x b =-∈R ，求函数()h x 在[12]，上的最小值.19.（本小题共13分）已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点为F ，且经过点(12)，A ，过点F 的直线与抛物线C 交于P ，Q 两点.（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）O 为坐标原点，直线OP ，OQ 与直线2px =-分别交于S ，T 两点，试判断FS FT ⋅是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.20.（本小题共13分）已知无穷数列{}n c 满足1112n n c c +=--. （Ⅰ）若117c =，写出数列{}n c 的前4项； （Ⅱ）对于任意101c ≤≤，是否存在实数M ，使数列{}n c 中的所有项均不大于M ？若存在，求M 的最小值；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）当1c 为有理数，且10c ≥时，若数列{}n c 自某项后是周期数列，写出1c 的最大值.（直接写出结果，无需证明）丰台区2016~2017学年度第一学期期末练习 高三数学（理科）参考答案及评分参考2017．01 一、选择题共二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．1i -+ 10．5311． 15 12．4 13．83π；．2；1111,,3432⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.（本小题共13分）解：（Ⅰ）在△ADC 中，由余弦定理，得CDAC AD CD AC C ⋅-+=2cos 222 ……………….2分2123272322=⨯⨯-+=……………….4分因为0C <<π，所以3C π=. ……………….6分 （Ⅱ）因为3C π=，所以23sin =C . ……………….8分 在△ABC 中，由正弦定理，得CABB AC sin sin =， ……………….10分 即2213=AB ，所以边AB 的长为2213. ……………….13分 16.（本小题共14分）证明：（Ⅰ）取PD 中点H ，连接GH ，HC ， 因为ABCD 是正方形，所以AD ‖BC ，ADBC .因为G,H 分别是PA ,PD 中点，所以GH ‖AD ,12GH AD . 又因为EC ‖AD 且12EC AD ， 所以GH ‖EC ，GHEC ，所以四边形GHCE 是平行四边形, ………….3分 所以EG ‖HC . 又因为EG平面PDCQ ，HC平面PDCQ所以EG ‖平面PDCQ ． ……………….5分 （Ⅱ）因为平面PDCQ ⊥平面ABCD ， 平面PDCQ平面ABCDCD ，PDDC ，PD 平面PDCQ ，所以PD 平面ABCD ． ……………….6分如图，以D 为原点，射线DA ，DC ，DP 分别为x ,y ,z 轴正方向，建立空间直角坐标系．设PDa ，则 00002201P ,,a F ,,B ,,，，．………………7分因为PD ⊥底面ABCD ，所以平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)=m . ……………….8分 设平面PFB 的一个法向量为(,,)x y z =n ，10 PF ,,a 120 FB ,,,则0,=0.PF FB ⎧⋅=⎪⎨⋅⎪⎩n n即0+2=0x az x y -=⎧⎨⎩令x =1，得11,2z y a ==-，所以11(1,,)2a=-n ． ……………….10分由已知，二面角PBF C， 所以得cos <,>||||⋅==m nm n m n (11)分解得a =2,所以2PD ． ……………….13分因为PD 是四棱锥PABCD 的高，所以其体积为182433P ABCD V -=⨯⨯=． ……………….14分17．（本小题共14分） 解：（Ⅰ）由题意知，四所中学报名参加数独比赛的学生总人数为100名， 抽取的样本容量与总体个数的比值为30310010=， 所以甲、乙、丙、丁四所中学各抽取的学生人数分别为9，12，6，3. ………………3分（Ⅱ）设“从30名学生中随机抽取两名学生，这两名学生来自同一所中学”为事件A ，从30名学生中随机抽取两名学生的取法共有230435C =种， ………………5分 来自同一所中学的取法共有222291263120C C C C +++=． ………………7分所以1208()43529P A ==． 答：从30名学生中随机抽取两名学生来自同一所中学的概率为829． ………………8分 （Ⅲ）由（Ⅰ）知，30名学生中，来自甲、丙两所中学的学生人数分别为9，6．依题意得，X 的可能取值为0,1,2， ………………9分262151(0)7C P X C === ，119621518(1)35C C P X C === ，2921512(2)35C P X C ===． ……………12分 所以X 的分布列为：……………….14分18．（本小题共13分）解：（Ⅰ）因为()e e xxf x x '=+，所以(0)1f '=. ……………….2分因为()g x x a '=+，所以(0)g a '=. ……………….4分 因为()f x 与()g x 的图象在（0,0）处有相同的切线，所以(0)(0)f g ''=，所以1a =. …….5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知, 21()2g x x x =+, 令21()()()e 2xh x f x bg x x bx bx =-=--，[1,2]x ∈，则()e e (1)(1)(e )xxxh x x b x x b '=+-+=+-． ……………….6分(1)当0b ≤时，[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -； ……………….7分 (2)当0b >时，由()=0h x '得，ln x b =， ……………….8分①若ln 1b ≤，即0e b <≤，则[1,2]x ∀∈，()0h x '>，所以()h x 在[1,2]上是增函数，故()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -. ……………….9分 ②若1ln 2b <<，即2e e b <<，则(1,ln )x b ∀∈，()0h x '<，(ln 2)x b ∀∈，，()0h x '>，所以()h x 在(1,ln )b 上是减函数，在(ln 2)b ，上是增函数， 故()h x 的最小值为21(ln )=ln 2h b b b -； ……………….11分 ③若ln 2b ≥，即2e b ≥，则[1,2]x ∀∈，()0h x '<，所以()h x 在[1,2]上是减函数，故()h x 的最小值为2(2)=2e 4h b -. ……………….12分 综上所述，当e b ≤时，()h x 的最小值为3(1)=e 2h b -， 当2e e b <<时，()h x 的最小值为21ln 2b b -， 当2e b ≥时，()h x 的最小值为22e 4b -. ……………….13分19.（本小题共13分）解：（Ⅰ）把点(1,2)A 代入抛物线C 的方程22y px =，得42p =，解得2p =，所以抛物线C 的方程为24y x =. ……………….4分（Ⅱ）因为2p =，所以直线2px =-为1x =-，焦点F 的坐标为(1,0) 设直线PQ 的方程为1x ty =+，211(,)4y P y ，222(,)4y Q y ， 则直线OP 的方程为14y x y =,直线OQ 的方程为24y x y =. ……………….5分 由14,1,y x y x ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得14(1,)S y --，同理得24(1,)T y --． ……………….7分所以14(2,)FS y =--，24(2,)FT y =--，则12164FS FT y y ⋅=+． ……………….9分 由21,4,x ty y x =+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，所以124y y =-， ……………….11分 则164(4)FS FT ⋅=+-440=-=． 所以，FS FT ⋅的值是定值，且定值为0. ……………….13分20．（本小题共13分） 解：（Ⅰ）12462,,,,77777……………….4分 （Ⅱ）存在满足题意的实数M , 且M 的最小值为1. 解法一：猜想10≤≤n c ，下面用数学归纳法进行证明. （1）当1n =时,101c ≤≤，结论成立.（2）假设当)(*N k k n ∈=时结论成立，即10≤≤k c ，当1+=k n 时,022k c ≤≤ ,所以1121k c -≤-≤, 即0121k c ≤-≤,所以01121k c ≤--≤, 故01121k c ≤--≤. 又因为+1=112k k c c --, 所以+101k c ≤≤,所以1+=k n 时结论也成立.综上,由（1）,（2）知,10≤≤n c 成立 所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1.解法二：当2≥n 时，若存在2,3,4...,k =满足11k c -<,且1k c >.aa 显然1,21,01≠-k c ，则 1211<<-k c 时，1221<-=-k k c c 与1>k c 矛盾； 2101<<-k c 时，121<=-k k c c 与1>k c 矛盾； 所以01(2)n c n ≤≤≥所以1M ≥,当112c =时,可得当2n ≥时, 1n c =,此时, M 的最小值为1 故M 的最小值为1.……………………10分 （Ⅲ）2 ………………13分（若用其他方法解题，请酌情给分）欢迎您的下载，资料仅供参考！。
2016届北京市丰台区高三上学期期末联考理科数学试卷(带解析)
试卷第1页，共5页绝密★启用前2016届北京市丰台区高三上学期期末联考理科数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：170分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、在下列命题中：①存在一个平面与正方体的12条棱所成的角都相等； ②存在一个平面与正方体的6个面所成较小的二面角都相等； ③存在一条直线与正方体的12条棱所成的角都相等； ④存在一条直线与正方体的6个面所成的角都相等． 其中真命题的个数为（ ）A ．1B ．2 C3 D ．42、若F （c,0）为椭圆C ：的右焦点，椭圆C 与直线交于A,B 两点，线段AB 的中点在直线上，则椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．试卷第2页，共5页3、若，，，则的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D/4、函数在区间上的零点之和是（ ）A ．B ．C ．D ．5、若点为曲线（为参数）上一点，则点与坐标原点的最短距离为（ ） A ．B ．C ．D ．26、已知数列中，，若利用下面程序框图计算该数列的第2016项，则判断框内的条件是（ ）A ．B ．C ．D ．7、“”是“”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8、复数是实数，则实数等于（ ）A ．2B ．1C ．0D ．-1试卷第3页，共5页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、设函数其中．①当时，若，则__________；②若在上是单调递增函数，则的取值范围________．10、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ．11、在中，,点是线段上的动点，则的最大值为_______．12、设等差数列的前项和为，若,则= ．13、若的满足则的最小值为 ．14、在的展开式中，的系数等于_____．（用数字作答）三、解答题（题型注释）试卷第4页，共5页15、已知数列的各项均为正数，满足，．（1）求证：；（2）若是等比数列，求数列的通项公式；（3）设数列的前n 项和为，求证：．16、已知定点和直线上的动点，线段MN 的垂直平分线交直线于点，设点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）直线交轴于点，交曲线于不同的两点，点关于x 轴的对称点为点P ．点关于轴的对称点为，求证：A ，P ，Q 三点共线．17、已知函数．（1）求函数的极值；（2）若存在实数，且，使得，求实数a 的取值范围．18、随着人们社会责任感与公众意识的不断提高，越来越多的人成为了志愿者．某创业园区对其员工是否为志愿者的情况进行了抽样调查，在随机抽取的10位员工中，有3人是志愿者．（1）在这10人中随机抽取4人填写调查问卷，求这4人中恰好有1人是志愿者的概率试卷第5页，共5页；（2）已知该创业园区有1万多名员工，从中随机调查1人是志愿者的概率为，那么在该创业园区随机调查4人，求其中恰有1人是志愿者的概率；（3）该创业园区的团队有100位员工，其中有30人是志愿者．若在团队随机调查4人，则其中恰好有1人是志愿者的概率为．试根据（1）、（2）中的和的值，写出，，的大小关系（只写结果，不用说明理由）．19、如图，在四棱锥P-ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，E 是AB 的中点，AB=AD=PA=PB=2，BC=1， PC=．（1）求证：CF ∥平面PAB ； （2）求证：PE ⊥平面ABCD ； （3）求二面角B-PA-C 的余弦值．20、如图，在中，，，，点在边上，且．（1）求； （2）求线段的长．参考答案1、D．2、B．3、A．4、C．5、A．6、C．7、B．8、D．9、，．10、．11、．12、．13、．14、．15、（1）详见解析；（2）；（3）详见解析．16、（1）；（2）详见解析．17、（1）函数的极大值为；极小值为；（2）．18、（1）；（2）；（3）．19、（1）详见解析；（2）详见解析；（3）．20、（1）；（2）．【解析】1、试题分析：①②都对，平面为：正方体三个相邻平面的面对角线构成的平面；③④都对，直线为：正方体的体对角线．考点：立体几何综合．2、试题分析：∵直线在x,y轴上的截距分别为（a,0）,（0,b）,所以A（a，0），B（0,b）又线段AB的中点在直线上，所以即考点：椭圆的标准方程．3、试题分析：，，∴，排除C ，D ，由图象可知：表示的面积最小，故．考点：定积分的性质．4、试题分析：，，令，得：或，即或，所以零点之和是．考点：三角函数的图象和性质．5、试题分析：，所以的最小值为：，即的最小值为：．考点：曲线参数方程．6、试题分析：该数列的第2016项，即，是，，，否，∴判断框内的条件是．考点：算法与程序框图．7、试题分析：因为由解得：或，∴“或”是“”的必要而不充分条件．考点：充分必要条件．8、试题分析：，若是实数，则，∴．考点：复数乘除和乘方．9、试题分析：①当时，若，则，无实数解；若，则，∴；②若在上是单调递增函数，则，即，，令，，所以在单调递增，且，所以，解为：，故的取值范围是：．考点：导数的综合运用．10、试题分析：该几何体是正方体削去两个三棱锥得到的组合体，所以考点：空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图．11、试题分析：，所以当M,N 重合时，，最大，为，又设所以，显然当时，最大为，故的最大值为3．考点：数量积的应用．12、试题分析：等差数列中，，∴，∴，∴考点：等差数列．13、试题分析：作可行域：A（1，4）,B（1，2）．当目标函数线过点A时，目标函数值最小，为考点：线性规划．14、试题分析：的通项公式为，令，所以，故的系数等于-84．考点：二项式定理．15、试题分析：（1）根据递增数列，再根据条件中的不等式递推即可得证；（2）根据数列是等比数列以及即可得证；（3）证明，累加即可得证．试题解析：（1）因为，所以数列是递增数列，即，又因为，所以；（2）因为，所以；因为是等比数列，所以数列的公比为2，因为，所以当时有，这说明在已知条件下，可以得到唯一的等比数列，所以；（3）因为，，，，…，由上面n个式子相加，得到：，化简得，所以．考点：数列的综合运用．16、试题分析：（1）根据抛物线的定义首先可知动点R的轨迹为抛物线，再根据条件中数据即可求得其轨迹方程；（2）联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理说明．试题解析：（1）由题意可知：，即点到直线和点的距离相等．根据抛物线的定义可知：的轨迹为抛物线，其中为焦点，设的轨迹方程为：，，，所以的轨迹方程为：．；（2）由条件可知，则．联立,消去y得，．设，则，，，．因为，所以,三点共线．考点：抛物线的标准方程及其运用．17、试题分析：（1）求导列表，分析导函数的取值情况即可求解；（2）分析函数图象的大致图形，根据图象列出关于的不等式组，即可求解．试题解析：（1），令得，．∴函数的极大值为；极小值为；（2）若存在，使得，则由（1）可知，需要（如图1）或（如图2）．于是可得．考点：导数的运用．18、试题分析：（1）利用古典概型分析所有基本事件的种数以及符合条件的基本事件的种数，即可求解；（2）利用古典概型分析所有基本事件的种数以及符合条件的基本事件的种数，即可求解；（3）根据所有基本事件的种数大小即可知．试题解析：（1），所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为；（2），所以这4人中恰好有1人是志愿者的概率为；（3）．考点：古典概型．19、试题分析：（1）根据题意可证明四边形是平行四变，再根据线面平行的判定即可得证；（2）证明以，，再根据线面垂直的判定即可得证；（3）建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量后即可求解．试题解析：（1）取的中点，连接，因为是中点，是中点，所以，又因为，所以四边形是平行四边形，面，面，所以面；（2）连接，因为在中，，点是边在的中点，所以且，在中，，，所以，在中，，，，所以又因为面，面，所以面；（3）取中点，以，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，各点坐标为：，，，，，因为：，，所以面，面的法向量为，设面的法向量为，，，，，由图可知二面角为锐二面角，设锐二面角为，二面角余弦值为：．考点：平面法向量的求法空间的角垂直平行．20、试题分析：（1）利用余弦定理的变式；（2）在中利用正弦定理即可求解．试题解析：（1）根据余弦定理：；（2）因为，所以，，根据正弦定理得：，．考点：正余弦定理解三角形．。