极点与极线背景下的高考试题
极点与极线背景下的高考试题This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020极点与极线背景下的高考试题王文彬(江西省抚州市第一中学 344000)极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律.1.从几何角度看极点与极线 定义1 如图1，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.由图1同理可知， PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 对应的极线.因而将MNP 称为自极三点形.设直线MN 于点,A B 两点，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线.定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则点P 的极线是曲线Γ在P 点处的切线；(2)当P 在Γ外时，过点P 作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B ，则点P 的极线是直线AB (即切点弦所在的直线)；(3) 当P 在Γ内时，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，设Γ在,A B 处的切线交于点Q ，则点P 的极线是动点Q 的轨迹.定理2 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的极线为l ，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，交l 于Q ，则PA PBAQ BQ= ①；反之，若有①成立，则称点,P Q 调和分割线段AB ，或称点P 与Q 关于Γ调和共轭，或称点P (或点Q )Γ的调和共轭点为点Q (或点P ).点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭点是一条直线，这条直线就是点P 的极线.推论1 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭 点为点Q ，则有211PQ PA PB =+ ②；反之，若有②成立， 则点P 与Q 关于Γ调和共轭. 可以证明①与②是等价的.事实上，由①有 211PQ PA PB⇒=+. 特别地，我们还有推论2 如图3，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ，PQ 连线经过圆锥曲线的中心，则有2OR OP OQ =⋅ ，反之若有此式成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭.图1 图2证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则 PR PR OP OR OP OR RQ R Q OR OQ OR OQ '-+=⇒='-+，化简 即可得2OR OP OQ =⋅.反之由此式可推出PR PR RQ R Q'='，即点P 与Q 关于Γ调和共轭. 推论3 如图4，,A B 圆锥曲线Γ的一条对称轴l 上的两点(不在Γ上)，若,A B 关于Γ调 和共轭，过B 任作Γ的一条割线，交Γ于,P Q 两点，则PAB QAB ∠=∠.证明：因Γ关于直线l 对称，故在Γ上存在,P Q 的对称点,P Q ''.若P '与Q 重合，则Q '与P也重合，此时,P Q 关于l 对称，有PAB QAB ∠=∠若P '与Q 不重合，则Q '与P 也不重合，由于,A 关于Γ调和共轭，故,A B 为Γ上完全四点形PQ '的对边交点，即Q '在PA 上，故,AP AQ 关于直线l 对称，也有PAB QAB ∠=∠.定理3 (配极原则)点P 关于圆锥曲线Γ的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于Γ的极线q 经过点P ；直线p 关于Γ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于Γ的极点Q 在直线p 上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.2.从代数角度看极点与极线定义2 已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x+替换x ，以0y y 替换2y ，以02y y+替换y 即可得到点00(,)P x y 的极线方程. 特别地：(1)对于椭圆22221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y ya b +=；(2)对于双曲线22221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y ya b -=；(3)对于抛物线22y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+.(4)如果圆锥曲线是椭圆22221x y a b+=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线22221x y a b-=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为图3R 图4 R双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线22y px =，当00(,)P x y 为其焦点(,0)2pF 时，极线恰为抛物线的准线.3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左右顶点为,A B ，右焦点为F ．设过点(,)T t m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点1122(,),(,)M x y N x y ，其中0m >，1200y y ><，．(1)设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹；(2)设12123x x ==，，求点T 的坐标；(3)设9=t ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）． 分析与解：前面两问比较简单，这里从略. 对于(3)，当9=t 时，T 点坐标为(9,)m ， 连MN ，设直线AB 与MN 的交点为K ，根据 极点与极线的定义可知，点T 对应的极线经过K ，又点T 对应的极线方程为9195x m y ⋅⋅+=，即 15m yx ⋅+=，此直线恒过x 轴上的定点K (1,0)，从而直线MN 也恒过定点K (1,0). 【例2】 (2008安徽卷理22)设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点M ，且左焦点为1(F .(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，证明点Q分析与解：(1)易求得答案22142x y +=. (2)由条件可有PA PBAQ BQ=，说明点,P Q 关于 圆锥曲线C 调和共轭.根据定理2，点Q 的轨迹就是点P 对应的极线，即41142x y⋅⋅+=，化简得220x y +-=. 故点Q 总在定直线220x y +-=上.【例3】( 1995全国卷理26)已知椭圆22:12416x y C +=，直线:1128x yl +=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足2OQ OP OR ⋅=，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.分析与解：由条件知2OR OP OQ =⋅可知点,P Q 关于圆锥曲线C 调和共轭，而点Q 可看作是点P 的极线与直线OP 的交点.图5图6设(12,88)P t t -，则与P 对应的极线方程为12(88)12416t x t y⋅-⋅+=，化简得 (1)2tx t y +-= ③又直线OP 的方程为8812t y x t-=，化简得 223t y x t-= ④解由③④联立方程组得22654244542t x t t t x t t ⎧=⎪⎪-+⎨-⎪=⎪-+⎩，消去t 得222346x y x y +=+，可化为22(1)(1)15523x y --+=(,x y 不同时为0)，故点Q 的轨迹是以(1,1)，且长轴平行于x 轴的椭圆，但需去掉坐标原点.【例4】(2006年全国卷II 理21)已知抛物线2x =的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两动点，且AF FB λ=(0)λ>，过,A B为P . (1)证明FP AB ⋅为定值； (2)设ABP ∆的面积为S，写出()S f λ=并求S 的最小值. 分析与解：(1)显然，点P 的极线为AB ，故可设点0(,1)P x -，再设1122(,),(,)A x y B x y ，,,F A B 三点对应的极线方程分别为1y =-，112()x x y y =+，222()x x y y =+，由于,,A B F 三点共线，故相应的三极线共点于0(,1)P x -，将1y =-代入后面两个极线方程得1012022(1)2(1)x x y x x y =-⎧⎨=-⎩，两式相减得12012()2()x x x y y -=-.又02121(,2),(,)FP x AB x x y y =-=--，故02121()2()0FP AB x x x y y ⋅=---=.(2)设AB 的方程为1y kx =+，与抛物线的极线方程002()x x y y =+对比可知直线AB 对应的极点为(2,1)P k -，把1y kx =+代入24x y =并由弦长公式得24(1)AB k =+，所以212(12ABP S AB FP k ∆==+. 显然，当0k =时，S 取最小值4.【例5】(2005江西卷理22)设抛物线2:C y x = 的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动， 过P 作抛物线的两条切线,PA PB ，且与抛物线分别 相切于,A B 两点.(1)求APB ∆的重心G 的轨迹方程； (2)证明PFA PFB ∠=∠. 图8图9x 图7分析与解：(1)设点001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ， 与002y y x x +=对比可知直线:20l x y --=对应的极点为1(,2)2，P 为直线l 上的动点，则点P 对应的极线AB 必恒过点1(,2)2.设1:2()2AB y k x -=-，可化为2222k y k x +-=，故直线AB 对应的极点为(,2)22k k P -，将直线AB 的方程代入抛物线方程得2202kx kx -+-=，由此得2121212,(1)44x x k y y k x x k k +=+=+-+=-+，APB ∆的重心G 的轨迹方程为122212223322422222333k k x x k k x k k k y y k k k y ⎧+++⎪===⎪⎪⎨⎪++--++--+⎪===⎪⎩，消去k 即得 21(42)3y x x =-+.(2)设221122(,),(,)A x x B x x ，由(1)知1212,22k x x k x x +==-，又1(0,)4F ，由(1)知(,2)22k k P -，即1212(,)2x x P x x +，所以2111(,)4FA x x =-，12121(,)24x x FP x x +=-，2221(,)4FB x x =-.221211************111111()()()()244444cos 11()()4x x x x x x x x x x x FP FA PFA FP FA FP FP x FP x x ++--+++⋅∠====⋅++-.同理1214cos x x FP FB PFB FP FB FP+⋅∠==⋅. 所以有PFA PFB ∠=∠.参考文献【1】 周兴和.高等几何.科学出版社，【2】 李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯［J ］，2012(4)下半月。
高考数学复习----《极点极线问题》典型例题讲解
高考数学复习----《极点极线问题》典型例题讲解【典型例题】例1、（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，短轴长为（1）求椭圆C 的方程；（2）设A ，B 分别为椭圆C 的左、右顶点，若过点且斜率不为0的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，直线AM 与BN 相交于点Q ．证明：点Q在定直线上．【解析】（1）因为椭圆的离心率，，，又因为，所以，，所以椭圆C 的方程为． （2）解法一：设直线，，， ，可得， 所以．直线AM 的方程：① 直线BN 的方程：② 由对称性可知：点Q 在垂直于x 轴的直线上， 联立①②可得．因为， ()2222:10x y C a b a b+=>>12()4,0P 1212c a ∴=2a c ∴=2b =b ∴=222233b a c c =−==1c =2a =22143x y +=:4MN x ty =+()11,M x y ()22,N x y 224143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()223424360t y ty +++=12212224343634t y y t y y t −⎧+=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩()1122y y x x =++()2222y y x x =−−1221212623ty y y y x y y ++=−121223y y t y y +=−所以所以点Q 在直线上．解法二：设，，，两两不等， 因为P ，M ，N 三点共线，所以， 整理得：．又A ，M ，Q 三点共线，有：① 又B ，N ，Q 三点共线，有②将①与②两式相除得：即， 将即 代入得：解得（舍去）或，（因为直线与椭圆相交故） 所以Q 在定直线上．【点晴】求解直线与圆锥曲线定点定值问题：关键在于运用设而不求思想、联立方程和韦达定理，构造坐标点方程从而解决相关问题.例2、（2022·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左，右顶点，直线()122112212121362262133y y y y ty y y y x y y y y −+++++===−−1x =()11,M x y ()22,N x y ()33,Q x y 123,,x x x ()()()()22122212122222121212313144444444x x y y y y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⇒=⇒=−−−−−−()12122580x x x x −++=313122y y x x =++323222y y x x =−−()()()()2222121332231231222222222y x y x x x x y x x y x ++⎛⎫++=⇒= ⎪−−−−⎝⎭()()()()()()222121221212312224223124x x x x x x x x ⎛⎫−+ ⎪++⎝⎭==−−⎛⎫−− ⎪⎝⎭()()()()()()2211212331212122224222224x x x x x x x x x x x x x x +++++⎛⎫+== ⎪−−−−++⎝⎭()12122580x x x x −++=()12125402x x x x =+−=233292x x ⎛⎫+= ⎪−⎝⎭34x =31x =BQ 34x ≠1x =A B 22:14y E x −=l（不与坐标轴垂直）过点，且与双曲线交于，两点. （1）若，求直线的方程；（2）若直线与相交于点，求证：点在定直线上.【解析】设直线的方程为，设，，把直线与双曲线 联立方程组，，可得，则， （1），，由，可得， 即①，②， 把①式代入②式，可得，解得，， 即直线的方程为或． （2）直线的方程为，直线的方程为， 直线与的交点为，故，即，进而得到，又， 故，解得 故点在定直线上． 【点晴】方法点晴：直线与圆锥曲线综合问题，通常采用设而不求，结合韦达定理求解.例3、（2022·全国·高三专题练习）已知椭圆与轴的交点（点A 位于点的上方），为左焦点，原点到直线. ()2,0N E C D 3CN ND =l AC BD P P l 2x my =+()11,C x y ()22,D x y l E 22214x my y x =+⎧⎪⎨−=⎪⎩()224116120m y my −++=1212221612,4141m y y y y m m +=−=−−()112,CN x y =−−()222,ND x y =−3CN ND =123y y =−22841m y m =−22212341y m −=−22281234141m m m ⎛⎫−= ⎪−−⎝⎭2120m =m =l 0y −−=0y +−=AC ()1111y y x x =++BD ()2211yy x x =−−AC BD P ()1111y x x ++()2211yx x =−−()1113y x my ++()2211y x my =−+122121311my y y x x my y y ++=−+()121234m y y y y =−+()()122121212133391433134y y y y y x x y y y y y −++−++===−−−−++12x =P 12x =()2222:10,0x y C a b a b+=>>y ,A B B F O FA（1）求椭圆的离心率；（2）设，直线与椭圆交于不同的两点，求证：直线与直线的交点在定直线上.【解析】（1）设的坐标为，由面积法有，椭圆的离心率. （2）若，由(1) 得椭圆方程为，联立方程组化简得：，由，解得：.由韦达定理得：,, 设，的方程是，的方程是， 联立化简得，即， 所以直线与直线的交点在定直线上.C 2b =4y kx =+C ,M N BM AN G F (),0c −bc =∴C c e a ==2b =a =∴22184x y +=22284x y y kx ⎧+=⎨=+⎩()222116240k x kx +++=()232230k ∆=−>232k >M x +N x 21621k k −=+Mx N x 22421k =+()()44M M N N M x ,kx ,N x ,kx ++MB 62M M kx y x x +=−NA 22N Nkx y x x +=+()2282223211163421N M N M N N MN k x kx x x x k y k x x x k ⎛⎫+ ⎪+++⎝⎭===−++1Gy =BM AN G。
第14讲 极点极线问题(原卷版)2023最新专题：圆锥曲线
第14讲极点极线问题一、解答题1．已知椭圆M ：22221x y a b+=（a ＞b ＞0）过A （－2，0），B （0，1）两点．（1）求椭圆M 的离心率；（2）设椭圆M 的右顶点为C ，点P 在椭圆M 上（P 不与椭圆M 的顶点重合），直线AB 与直线CP 交于点Q ，直线BP 交x 轴于点S ，求证：直线SQ 过定点．2．若双曲线229x y -=与椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>共顶点，且它们的离心率之积为43．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 的左、右顶点分别为1A ，2A ，直线l 与椭圆C 交于P 、Q 两点，设直线1A P 与2A Q 的斜率分别为1k ，2k ，且12105k k -=．试问，直线l 是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．3．如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>>的离心率是2，过点P （0,1）的动直线l 与椭圆相交于A ，B两点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为.（1）求椭圆E 的方程；（2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得QA PA QB PB=恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.4．在平面直角坐标系xOy 中，如图所示，已知椭圆22195x y +=的左、右顶点分别为,A B ，右焦点为F .设过点(),T t m 的直线TA ，TB 与此椭圆分别交于点()11,M x y ，()22,N x y ，其中0m >，10y >，20y <．（Ⅰ）设动点P 满足：224PF PB -=，求点P 的轨迹；（Ⅱ）设1212,3x x ==，求点T 的坐标；（Ⅲ）设9t =，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关），并求出该定点的坐标．5．已知A 、B 分别为椭圆E ：2221x y a+=（a >1）的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB ⋅= ，P 为直线x =6上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.6．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为1(F ，且过点(24P .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知1A ，2A 分别为椭圆C 的左、右顶点，Q 为直线1x =上任意一点，直线1AQ ，2A Q 分别交椭圆C 于不同的两点M ，N .求证：直线MN 恒过定点，并求出定点坐标.7．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>过点M ，且左焦点为()1F ．（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点A ，B 时，在线段AB 上取点Q ，且满足||||||||⋅=⋅ AP QB AQ PB ，证明：点Q 总在某定直线上．8．设0λ>，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2y x =上运动，点Q 满足BQ QA λ=，经过Q 点与M x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足QM MP λ= ,求点P 的轨迹方程．9．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左､右顶点分别为点A ，B ，且AB 4=，椭圆C 离心率为12.（1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点，且斜率不为0的直线l 交椭圆C 于M ，N 两点，直线AM ，BN 的交于点Q ，求证：点Q 在直线4x =上.10．如图，B ，A 是椭圆22:14x C y +=的左、右顶点，P ，Q 是椭圆C 上都不与A ，B 重合的两点，记直线BQ ，AQ ，AP 的斜率分别是BQ k ，AQ k ，AP k .（1）求证：14BQ AQ k k ⋅=-；（2）若直线PQ 过定点6,05⎛⎫ ⎪⎝⎭，求证：4AP BQ k k =.11．已知椭圆()222:103x y C a a +=>的焦距为2,,A B 分别为椭圆C 的左、右顶点，,M N 为椭圆C 上的两点(异于,A B )，连结,,AM BN MN ，且BN 斜率是AM 斜率的3倍.（1）求椭圆C 的方程；（2）证明:直线MN 恒过定点.12．椭圆()2222:103x y C b b b+=>的左、右顶点分别为1A ，2A ，上顶点为B ，点()1,0D ，线BD 的倾斜角为135︒.（1）求椭圆C 的方程；（2）过D 且斜率存在的动直线与椭圆C 交于M 、N 两点，直线1A M 与2A N 交于P ，求证：P 在定直线上.13．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为12，且点31,2⎛⎫- ⎪⎝⎭在椭圆上．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）如图，椭圆C 的左、右顶点分别为A ，B ，点M ，N 是椭圆上异于A ，B 的不同两点，直线BN 的斜率为()0k k ≠，直线AM 的斜率为3k ，求证：直线MN 过定点．14．设12, A A 分别是椭圆222: 1(1)x y a aΓ+=>的左､右顶点，点B 为椭圆的上顶点.（1）若124A B A B →→⋅=-，求椭圆Γ的方程；（2）设a =，2F 是椭圆的右焦点，点Q 是椭圆第二象限部分上一点，若线段2F Q 的中点M 在y 轴上，求2F BQ △的面积.（3）设3a =，点P 是直线6x =上的动点，点C 和D 是椭圆上异于左右顶点的两点，且C ，D 分别在直线1PA 和2PA 上，求证：直线CD 恒过一定点.15．已知曲线()()()22:528C m x m y m R -+-=∈.（1）若曲线C 表示双曲线，求m 的范围；（2）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的范围；（3）设4m =，曲线C 与y 轴交点为A ，B （A 在B 上方），4y kx =+与曲线C 交于不同两点M ，N ，1y =与BM 交于G ，求证：A ，G ，N 三点共线.16．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点3(1,2P -，且椭圆C 的一个顶点D 的坐标为(2,0)-．过椭圆C 的右焦点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B （A ，B 不同于点D ），直线DA 与直线m ：4x =交于点M ．连接MF ，过点F 作MF 的垂线与直线m 交于点N ．（1）求椭圆C 的方程，并求点F 的坐标；（2）求证：D ，B ，N 三点共线．17．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右顶点分别为A 和B ，离心率为12，且点31,2T ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上.（1）求椭圆C 的方程；（2）过点M （1，0）作一条斜率不为0的直线交椭圆于P ，Q 两点，连接AP 、BQ ，直线AP 与BQ 交于点N ，探求点N 是否在一条定直线上，若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.18．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A ，B ，O 为原点.以OB 为对角线的正方形OPBQ 的顶点P ，Q 在C 上.（1）求C 的离心率；（2）当2a =时，过(1,0)作与x 轴不重合的直线l 与C 交于M ，N 两点，直线AM ，BN 的斜率分别为1k ，2k ，试判断12k k 是否为定值？若是，求出定值，并加以证明；若不是，请说明理由.19．已知F 为抛物线2:2(0)C x py p =>的焦点，直线:21l y x =+与C 交于A ，B 两点且||||20AF BF +=.（1）求C 的方程.（2）若直线:2(1)m y x t t =+≠与C 交于M ，N 两点，且AM 与BN 相交于点T ，证明：点T 在定直线上.。
2023全国乙卷理科第20题 极点极线
2023全国乙卷理科第20题极点极线【导读】极点与极线是解析几何中的重要概念，它们在数学领域中有着广泛的应用。
本文将深入探讨极点与极线的定义、性质和应用，并共享对这一主题的个人理解。
【正文】一、极点与极线的定义1. 极点的定义极点是与给定圆的两条切线相交的一个点，这两条切线是从极点到圆上的两个不同点的切线。
在平面直角坐标系中，给定一点 P(x1, y1)，以及一个圆 C：(x - a)² + (y - b)² = r²。
点 P 是圆 C 的极点，当且仅当从 P 到圆 C 上的任意一点 Q 的斜率相等。
即∠OPQ为直角，其中O(a, b) 是圆 C 的圆心。
2. 极线的定义过给定点和给定圆的两条切线所确定的交点的轨迹叫做极线。
根据定义，极线是由圆 C 的所有极点所决定。
在平面直角坐标系中，假设圆的方程是(x - a)² + (y - b)² = r²，圆的极线可以表示为下面形式的方程：xx1 + yy1 = a(x + x1) + b(y + y1) + r²。
这里，(x1, y1) 是圆的极点。
二、极点与极线的性质1. 极点的性质（1）极点坐标的性质通过上述定义，可得到极点P(x1, y1) 的坐标对称形式是P′(-x1, -y1)。
意味着，极点 P 关于圆心 O 对称。
（2）极点的存在性对于给定圆 C，如果有直角坐标系中的点 P（x，y）满足OP⊥OQ，那么点 P 就是圆 C 的极点。
2. 极线的性质（1）极线的对称性已知圆 C 关于 X 轴和 Y 轴的极线方程为 a1x + b1y + c1 = 0 和 a2x + b2y + c2 = 0。
易得，关于 X 轴和 Y 轴的两条极线方程互为对称。
（2）极线的交点性质两条极线的交点坐标为(-ab/a1 - a2, -ab/b1 - b2, 非常重要)。
三、极点与极线的应用1. 应用一：极点极线在密码学中的应用极点极线广泛应用于密码学领域，尤其是在椭圆曲线密码学中。
极点与极线背景下的高考考试
极点与极线背景下的高考考试————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：极点与极线背景下的高考试题王文彬(江西省抚州市第一中学 344000)极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查的范围，但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征，因此在高考试题中必然会有所反映，自然也会成为高考试题的命题背景.作为一名中学数学教师，应当了解极点与极线的概念，掌握有关极点与极线的基本性质，只有这样，才能“识破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律.1.从几何角度看极点与极线定义1 如图1，设P 是不在圆锥曲线上的一点，过P 点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线. 若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.由图1同理可知， PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 所 对应的极线.因而将MNP 称为自极三点形.设直线MN 交圆锥曲线 于点,A B 两点，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线.定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则点P 的极线是曲线 Γ在P 点处的切线；(2)当P 在Γ外时，过点P 作Γ的两条切线，设其切点分别为,A B ，则点P 的极线是直线AB (即切点弦所在的直线)；(3) 当P 在Γ内时，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，设Γ在,A B 处的切线交于点Q ，则点P 的极线是动点Q 的轨迹.定理2 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的极线为l ，过点P 任作一割线交Γ于,A B ，交l 于Q ，则PA PBAQ BQ= ①；反之，若有①成立，则称点,P Q 调和分割线段AB ，或称点P 与Q 关于Γ调和共轭，或称点P (或点Q )关于圆锥曲线 Γ的调和共轭点为点Q (或点P ).点P 关于圆锥曲线Γ的调 和共轭点是一条直线，这条直线就是点P 的极线.推论1 如图2，设点P 关于圆锥曲线Γ的调和共轭点为点Q ，则有211PQ PA PB=+ ②；反之，若有②成立， 则点P 与Q 关于Γ调和共轭.可以证明①与②是等价的.事实上，由①有11AQ BQ PQ PA PB PQ PQ PQPA PB PA PB PA PB --=⇒=⇒-=-11()2PQ PA PB ⇒⋅+=211PQ PA PB⇒=+.特别地，我们还有PEFG H MA NB 图P Q A 图2Bl推论2 如图3，设点P 关于有心圆锥曲线Γ(设其中心为O )的调和共轭点为点Q ，PQ 连线经过圆锥曲线的中心，则有2OR OP OQ =⋅ ，反之若有此式成立，则点P 与Q 关于Γ调和共轭.证明：设直线PQ 与Γ的另一交点为R '，则 PR PR OP OR OP ORRQ R Q OR OQ OR OQ'-+=⇒='-+，化简 即可得2OR OP OQ =⋅.反之由此式可推出 PR PR RQ R Q'='，即点P 与Q 关于Γ调和共轭. 推论3 如图4，,A B 圆锥曲线Γ的一条对称轴l 上的两点(不在Γ上)，若,A B 关于Γ调 和共轭，过B 任作Γ的一条割线，交Γ于,P Q 两点，则PAB QAB ∠=∠.证明：因Γ关于直线l 对称，故在Γ上存在,P Q 的对称点,P Q ''.若P '与Q 重合，则Q '与P也重合，此时,P Q 关于l 对称，有PAB QAB ∠=∠； 若P '与Q 不重合，则Q '与P 也不重合，由于,A B 关于Γ调和共轭，故,A B 为Γ上完全四点形PQ QP ''的对边交点，即Q '在PA 上，故,AP AQ 关于直线l 对称，也有PAB QAB ∠=∠.定理3 (配极原则)点P 关于圆锥曲线Γ的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于Γ的极线q 经过点P ；直线p 关于Γ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于Γ的极点Q 在直线p 上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线.以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【1】，其中定理1的初等证法可参阅文【2】.2.从代数角度看极点与极线定义2 已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x +替换x ，以0y y 替换2y ，以02y y+替换y 即可得到点00(,)P x y 的极线方程. 特别地：(1)对于椭圆22221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y ya b +=；(2)对于双曲线22221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y ya b -=；(3)对于抛物线22y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+. (4)如果圆锥曲线是椭圆22221x y a b+=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为椭圆P Q R 图3R 'ROPlA 图4 P 'R BQQ 'R的准线；如果圆锥曲线是双曲线22221x y a b-=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线22y px =，当00(,)P x y 为其焦点(,0)2p F 时，极线恰为抛物线的准线.3.从极点与极线角度看圆锥曲线试题【例1】(2010江苏卷文理18)在平面直角坐标系xOy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左右顶点为,A B ，右焦点为F ．设过点(,)T t m 的直线,TA TB 与此椭圆分别交于点1122(,),(,)M x y N x y ，其中0m >，1200y y ><，．(1)设动点P 满足422=-PB PF ，求点P 的轨迹；(2)设12123x x ==，，求点T 的坐标；(3)设9=t ，求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）．分析与解：前面两问比较简单，这里从略. 对于(3)，当9=t 时，T 点坐标为(9,)m ，连MN ，设直线AB 与MN 的交点为K ，根据 极点与极线的定义可知，点T 对应的极线经过K ， 又点T 对应的极线方程为9195x m y⋅⋅+=，即 15m yx ⋅+=，此直线恒过x 轴上的定点K (1,0)， 从而直线MN 也恒过定点K (1,0). 【例2】 (2008安徽卷理22)设椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>过点(2,1)M ，且左焦点为1(2,0)F -.(1)求椭圆C 的方程；(2)当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点,A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r，证明点Q 总在某定直线上.分析与解：(1)易求得答案22142x y+=. (2)由条件可有PA PBAQ BQ=u u u r u u u r u u u r u u u r ，说明点,P Q 关于圆锥曲线C 调和共轭.根据定理2，点Q 的轨迹就是点P 对应的极线，即41142x y⋅⋅+=，化简得220x y +-=. 故点Q 总在定直线220x y +-=上.【例3】( 1995全国卷理26)已知椭圆22:12416x y C +=，直线:1128x y l +=，P 是l 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，又点Q 在OP 上且满足2OQ OP OR ⋅=，当点P 在l 上移动时，求点Q 的轨迹方程.,并说明轨迹是什么曲线.yxO B A 图5K (,)T t mMNBQxyO PA.图6分析与解：由条件知2OR OP OQ =⋅可知点,P Q 关于圆锥曲线C 调和共轭，而点Q 可看作是点P 的极线与直线OP 的交点.设(12,88)P t t -，则与P 对应的极线方程为12(88)12416t x t y⋅-⋅+=，化简得 (1)2tx t y +-= ③又直线OP 的方程为8812ty x t-=，化简得223t y x t-= ④解由③④联立方程组得22654244542t x t t t x t t ⎧=⎪⎪-+⎨-⎪=⎪-+⎩，消去t 得222346x y x y +=+，可化为22(1)(1)15523x y --+=(,x y 不同时为0)，故点Q 的轨迹是以(1,1)为中心，长短轴分别为102和153，且长轴平行于x 轴的椭圆，但需去掉坐标原点. 【例4】(2006年全国卷II 理21)已知抛物线24x y =的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两动点，且AF FB λ=u u u r u u u r(0)λ>，过,A B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点 为P .(1)证明FP AB ⋅u u u r u u u r为定值；(2)设ABP ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式， 并求S 的最小值.分析与解：(1)显然，点P 的极线为AB ，故可设点0(,1)P x -，再设1122(,),(,)A x y B x y ，,,F A B 三点对应的极线方程分别为1y =-，112()x x y y =+，222()x x y y =+，由于,,A B F 三点共线，故相应的三极线共点于0(,1)P x -，将1y =-代入后面两个极线方程得1012022(1)2(1)x x y x x y =-⎧⎨=-⎩，两式相减得12012()2()x x x y y -=-.又02121(,2),(,)FP x AB x x y y =-=--u u u r u u u r ，故02121()2()0FP AB x x x y y ⋅=---=u u u r u u u r. (2)设AB 的方程为1y kx =+，与抛物线的极线方程002()x x y y =+对比可知直线AB对应的极点为(2,1)P k -，把1y kx =+代入24x y =并由弦长公式得24(1)AB k =+，所以2212(1)4(1)2ABP S AB FP k k ∆==++. 显然，当0k =时，S 取最小值4.【例5】(2005江西卷理22)设抛物线2:C y x = 的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动， 过P 作抛物线的两条切线,PA PB ，且与抛物线分别A BPOxy图8F B y F l R Q xyOP.图7相切于,A B 两点.(1)求APB ∆的重心G 的轨迹方程； (2)证明PFA PFB ∠=∠.分析与解：(1)设点001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ，与002y y x x +=对比可知直线:20l x y --=对应的极点为1(,2)2，P 为直线l 上的动点，则点P 对应的极线AB 必恒过点1(,2)2.设1:2()2AB y k x -=-，可化为2222k y k x +-=，故直线AB 对应的极点为(,2)22k k P -，将直线AB 的方程代入抛物线方程得2202kx kx -+-=，由此得2121212,(1)44x x k y y k x x k k +=+=+-+=-+，APB ∆的重心G 的轨迹方程为122212223322422222333k k x x k k x k k k y y k k k y ⎧+++⎪===⎪⎪⎨⎪++--++--+⎪===⎪⎩，消去k 即得 21(42)3y x x =-+.(2)设221122(,),(,)A x x B x x ，由(1)知1212,22k x x k x x +==-，又1(0,)4F ，由(1)知(,2)22k k P -，即1212(,)2x x P x x +，所以2111(,)4FA x x =-u u u r ，12121(,)24x x FP x x +=-u u u r ，2221(,)4FB x x =-u u u r .2212112112112222211111111()()()()244444cos 11()()44x x x x x x x x x x x FP FA PFA FP FA FP FP x FP x x ++--+++⋅∠====⋅++-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .同理1214cos x x FP FBPFB FP FB FP+⋅∠==⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r .所以有PFA PFB ∠=∠.参考文献【1】 周兴和.高等几何.科学出版社，2003.9【2】 李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯［J ］，2012(4)下半月。
漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法
抛物线 ｘ ２ ， ＝ Ｙ 则点 Ｐ 二 ＇ｏ 对应的极线方程 ２ Ｐ （。ｙ ） 为：（ 一ｐｙ ｏ ＝ ０ 二二 （ ＋Ｙ ） ； 若抛物线 犷 二２ｘ 则点 Ｐ 二 ＋０ 对应的极线方 ｐ， （（ｙ） ， 程为：ｏ ＂（ ＋二 ） ０ ＹＹ ｐ二 。 ＝ ． － 命题 ２ 圆锥曲线中极线共点于 尸 则这些极线相 ， 应的极点共线于点 尸相应的极线． 反之亦然． 称为极点 与相应极线对偶性． 如题 １ Ａ 图，Ｂ绕焦点Ｆ转动， Ａ 则 Ｂ相应的极点 Ｐ
中学数学教学
相交， 两个交点的纵坐标为 Ｙ ．２求 ｌ ， Ｙ
２０ 年第 ６ ０６ 期
证Ｙ ２ ． Ｉ＝ Ｙ －厂
作为课本一习题，０１年全 国卷 ２０
ｉ 题以此题为背景命题， ｓ 利用此结论
可迅速证 明该题． （０ １年 全 国 卷 理 科 １ ２０ ９题 ） 设 抛 物 线 Ｙ ２＝
、 Ｙｉ一 Ｙ２）
所以 声＂ 方＝ｘ （ ： １ 一 ２ ｙ 一 Ｙ ）“ ０ Ｆ Ａ ｐｘ 一ｘ ） （ ： １ ．
（） 扫方程为，－１ ｘ 逆用命题 １ Ｂ对 ２ 设Ａ Ｙ ＝ｋ ， 得Ａ
应 的极点为（ｋ 一１ ， ＝ｋ 十１ ２ ， ）把ｙ ｘ 代人 ｘ ＝ 并由 ２ ｙ ４
２ ３ 竞赛中抛头露面， ． 显山露水
２ｘ ｐ ０ 的焦点为 Ｆ 过焦点 Ｆ的直线交抛物线于 ｐ （ ＞ ） ， Ａ， Ｂ两点 ， Ｃ在抛物线的准线上， Ｂ〕 点 且 （平行ｘ轴， 证
明直线 Ａ Ｃ过原点． 下面利用命题 １２ ， 给出例 １ 的证明：
标 （ ２ 为线上点 点 对 的线 为奋 ） ，动， 尸应极 ，直 Ｐ 则 Ａ必（ ２ Ｂ过２卜 １ 设Ｂ 程 一 （ ， 恤１ 方：卜‘ ）用 ， Ａ的 ， 一合 逆 得 Ａ 应极 设 （，一） Ａ 人； Ｂ 的杆可为 夸 ２把Ｂ Ｃ 对 夸 ・ 代
极点与极线视角下的高考圆锥曲线试题
a2b2(b2 − y02) y02(b2 + a2k2)
+
b2x0
·
2ky0a2b2 y02(b2 + a2k2)
(b2
+
kx0y0
−
y02)
·
a2b2(b2 − y02) y02(b2 + a2k2)
=
2b2 b2 − y02 .
推论 3 圆 C : x2 + y2 = r2 在点 P (x0, y0) 处的切线与
于 N , O 为原点, −Q−M→ = λ−Q−→O, −Q−→N = µ−Q−→O, 则 1 + 1 为定 λµ
2b2 值 b2 − y02 .
证明 处的切线
x2 y2
椭圆 PQ
+ = 1(a
a2 b2 的方程为 ( b2 )
x0x a2
> +
b> y0y b2
0) 在点 P (x0, y0) = 1, 由 已 知 得
=
y0(x1 − x0)
y0
y0
λ
(b2
b2(x1 − x0) + kx0y0 − y02)x1
.
同理可得
1 µ
=
(b2
b2(x2 − x0) + kx0y0 − y02)x2
.
所以
1 λ
+
1 µ
=
2b2x1x2 − b2x0(x1 + x2) (b2 + kx0y0 − y02)x1x2
=
2b2
·
+
b2
)2
=
a2b2,
y0
整理得 y02(b2 + a2k2)x2 + 2ky0a2b2x + a2b2(b2 − y02) = 0.
完整)极点与极线背景下的高考试题
完整)极点与极线背景下的高考试题通过对极点与极线的研究，我们可以更好地理解圆锥曲线的特征，从而更好地应对高考试题。
5.从代数角度看极点与极线：设圆锥曲线$\Gamma$的方程为$Ax^2+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0$，则称点$P(x,y)$和直线$l:Ax+Cy+D(x_0)+E(y_0)+F=0$是$\Gamma$的一对极点和极线。
实际上，在圆锥曲线方程中，以$x^*$替换$x$，以$x=x_0+x^*$替换$x$，以$y^*$替换$y$，以$y=y_0+y^*$替换$y$即可得到点$P(x,y)$的极线方程。
特别地，对于椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，与点$P(x,y)$对应的极线方程为$\frac{x^*}{a^2}+\frac{y^*}{b^2}=1$；对于双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，与点$P(x,y)$对应的极线方程为$\frac{x^*}{a^2}-\frac{y^*}{b^2}=1$；对于抛物线$y=2px$，与点$P(x,y)$对应的极线方程为$yy^*=p(x_0+x^*)$；如果圆锥曲线是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，当$P(x,y)$为其焦点$F(c,0)$时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，当$P(x,y)$为其焦点$F(c,0)$时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线$y=2px$，则其焦点为$F(0,\frac{p}{2})$，其准线为$x=-\frac{p}{2}$。
y = (3/2)x - 1，代入椭圆方程得到4x^2 + 9y^2 - 48x + 32y + 64 = 0化简得x^2/16 + (y+2)^2/9 = 1所以点Q的轨迹方程为x^2/16) + ((y+2)^2/9) = 1这是一个标准的椭圆方程，所以点Q的轨迹是一个椭圆。
(完整)极点与极线背景下的高考试题
极点与极线背景下的高考试题王文彬（江西省抚州市第一中学 344000） 极点与极线是高等几何中的重要概念，当然不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，也不属于高考考查 的范围， 但由于极点与极线是圆锥曲线的一种基本特征， 因此在高考试题中必然会有所反映， 试题的命题背景 . 作为一名中学数学教师， 应当了解极点与极线的概念， 掌握有关极点与极线的基本性质， 破”试题中蕴含的有关极点与极线的知识背景，进而把握命题规律1. 从几何角度看极点与极线定义 1如图 1，设 P 是不在圆锥曲线上的一点，过 P 点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点 E,F,G,H ，连接 EH ,FG 交于 N ，连接 EG,FH 交于 M ，则直线 MN 为点 P 对应的极线 . 若 P 为圆锥曲线上的点，则过 P 点的切线即为极线 .由图 1 同理可知， PM 为点 N 对应的极线， PN 为点 M 所 对应的极线 .因而将 MNP 称为自极三点形 .设直线 MN 交圆锥曲线 于点 A,B 两点，则 PA,PB 恰为圆锥曲线的两条切线 .定理 1（1） 当 P 在圆锥曲线 上时，则点 P 的极线是曲线在 P 点处的切线；（2） 当 P 在 外时，过点 P 作 的两条切线，设其切点分别为 A, B ，则点 P 的极线是直线 AB （即切点弦所 在的直线 ） ；（3）当P 在 内时，过点 P 任作一割线交 于A,B ，设 在A, B 处的切线交于点 Q ，则点 P 的极线是动点 Q的轨迹 .自然也会成为高考只有这样， 才能“识 定理 2 如图 2，设点 P 关于圆锥曲线 的极线为①；反之，若有①成立，则称点 P,Q 调和分割线段 关于圆锥曲线的调和共轭点为点 Q （或点 P ）. 点 P 关于圆锥曲线 和共轭点是一条直线，这条直线就是点 P 的极线 .推论 1 如图 2，设点 P 关于圆锥曲线 的调和共轭2 1 1点为点 Q ，则有 ②；反之，若有②成立， PQ PA PB 则点 P 与 Q 关于 调和共轭 .可以证明①与②是等价的 . 事实上，由①有 211 PQPA PB .特别地，我们还有 推论 2 如图 3，设点 的中心，则有 OR 2证明：设直线 PR PR PA PB l ，过点 P 任作一割线交 于 A,B ，交l 于Q ，则 AQ BQ P （或点 Q ）的调即可得 PR RQ RQ RQ2OR 2 OPPR ，即点P 关于有心圆锥曲线 （设其中心为 O ）的调和共轭点为点 Q ， PQ 连线经过圆锥曲线OQ ，反之若有此式成立，则点 的另一交点为 R ，则 OR OP OR ，化简 OR OQ OR OQ OP PQ 与 OPP 与 Q 关于 调和共轭 . OQ . 反之由此式可推出P 与 Q 关于 调和共轭 . 推论 3 如图 4， A,B 圆锥曲线 的一条P图2AB ，或称点 R图 3对称轴 l 上的两点 (不在 上)，若 A,B 关于 调 和共轭，过 B 任作 的一条割线，交 于 P,Q 两点，则 PAB QAB .证明：因 关于直线 l 对称，故在 上存在 P,Q 的对称点 P,Q .若 P 与Q 重合，则 Q 与P 也重合，此时P,Q 关于 l 对称，有 PAB QAB ； 若 P 与 Q 不重合，则 Q 与 P 也不重合，由于 A,B 关于 调和共轭，故 A,B为 上完全四点形 PQ QP 的对边交点，即 Q 在 PA 上，故 AP,AQ 关于直线 l 对称，也有 PAB QAB .定理 3(配极原则 )点 P 关于圆锥曲线的极线 p 经过点 Q 点 Q 关于 的极线 q 经过点 P ；直线 p 关于 的极点 P 在直线 q 上 直线 q 关于 的极 点Q 在直线 p 上.由此可知，共线点的极线必共点；共点线的极点必共线 . 以上未加证明的定理，可参阅有关高等几何教材，如【 1】，其中定理 1 的初等证法可参阅文【 2】.2. 从代数角度看极点与极线定 义 2 已 知 圆 锥 曲 线 : Ax 2 Cy 2 2Dx 2Ey F 0 ， 则 称 点 P(x 0, y 0) 和 直 线 l : Ax 0x Cy 0y D(x x 0)E(y y 0) F 0是圆锥曲线 的一对极点和极线 .x x y y 事实上，在圆锥曲线方程中，以 x 0x 替换 x 2，以 x0x替换 x ，以 y 0y 替换 y 2，以 y0 y 替换 y 即可得22到点 P(x 0,y 0)的极线方程 .特别地：22(1) 对于椭圆 x 2 y 2 1，与点 P(x 0, y 0) 对应的极线方程为 x02x y02y 1；ab a b x 2 y 2 x x y y(2) 对于双曲线 x 2 y 2 1，与点 P(x 0,y 0) 对应的极线方程为 x02x y02y 1； a b a b (3) 对于抛物线 y 2 2 px ，与点 P(x 0, y 0 )对应的极线方程为 y 0y p(x 0 x) .x 2 y 2(4) 如果圆锥曲线是椭圆 2 2 1，当P(x 0,y 0)为其焦点 F(c,0) 时，极线恰为椭圆的准线；如果圆锥曲 ab22 线是双曲线x 2 y 21，当 P(x 0, y 0)为其焦点 F(c,0) 时，极线恰为双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线 aby 2 2px ，当 P(x 0, y 0 )为其焦点 F( p ,0) 时，极线恰为抛物线的准线23. 从极点与极线角度看圆锥曲线试题2 x【例 1】(2010 江苏卷文理 18)在平面直角坐标系 xOy 中，如图，已知椭圆 9 右焦点为 F ．设过点 T(t,m) 的直线 TA,TB 与此椭圆分别 交于点 M(x 1,y 1),N(x 2,y 2) ，其中 m 0，y 1 0，y 2 0 ．(1) 设动点 P 满足 PF 2 PB 2 4 ，求点 P 的轨迹； (2) 设 x 1 2， x 2 1 ，求点 T 的坐标；3(3) 设t 9 ，求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点(其坐标与 m 无关)．分析与解：前面两问比较简单，这里从略 . 对于(3) ，当 t 9时， T 点坐标为 (9,m) ， 连 MN ，设直线 AB 与 MN 的交点为 K ，根据 极点与极线的定义可知，点 T 对应的极线经过 K ，2y 1 的左右顶点为 A,B ，5PAO KBN又点 T 对应的极线方程为 951，即myx 5 从而直线 1，此直线恒过 x 轴上的定点 K (1,0) ， MN 也恒过定点 K (1,0) .2 x (2008 安徽卷理 22) 设椭圆 C : 2 a2 2y 2 1(a b 0)过点 M ( 2,1) ，且左焦点为 F 1( 2,0) . b (1) 求椭圆 C 的方程； (2) 当过点P(4,1)的动直线l 与椭圆C 交于两个不同的点A,B 时，在线段AB 上取点Q ，满足 uuuuuu uuur uu AP QB AQ PB，证明点 Q 总在某定直线上 . 2 分析与解： (1) 易求得答案 x 4 uuur PB uuur ，说明点 P,Q 关于 BQ 2，点 Q 的轨迹就是点 (2) 由条件可有 AQ 2 y21. 2 圆锥曲线 C 调和共轭 . 根据定理 1y 2 故点 Q 总在定直线 2x y 2 4x P 对应的极线，即4 1 ，化简得 2x y 0上.x 2 例 3】(1995 全国卷理 26)已知椭圆 C : 24 0. 2 y 16 于点 R ，又点 Q 在OP 上且满足 OQ OP OR 2，当点 是什么曲线 . 分析与解：由条件知 线与直线 OP 的交点 . OR 1， 直线 l : x12 8 P 在l 上移动时，求点 Q 的轨迹方程 . ,并说明轨迹 1，P 是l 上一点，射线 OP 交椭圆 OP OQ 可知点 P,Q 关于圆锥曲线 C 调和共轭，而点 Q 可看作是点 P 的极 设 P(12t,8 8t) ，则与 P 对应的极线方程为12t x (8 8t) y 24 tx (1 t)y 2 ③ 16 1， 化简得 又直线 OP 的方程为 8 8t x ， 12t 化简得2 2t y x ④ 3t 解由③④联立方程组得 6tx 25t 4t 2 ，消去 t 得 2x 24 4tx 25t 2 4t 2x3y 2 4x 6 y ，可化为 (x 51)2(y 1)25 31( x,y 不同时为 0) ，故点 Q10 和 15 ，且长轴平行于 2【例 4】(2006 年全国卷 II 理 21) 已知抛物线 uuur 的焦点为 F ， A,B 是抛物线上的两动点，且 AF ( 0) ，过 A,B 两点分别作抛物线的切线，并设其交点 为 P . uuur uuur (1) 证明 FP AB 为定值； 的轨迹是以 (1,1)为中心，长短轴分别为 4y uuur FBx 轴的椭圆， 但需去掉坐标原点 F y BP 图8(2) 设 ABP 的面积为 S ，写出 S 并求 S 的最小值 .分析与解： (1) 显然，点 P 的极线为 P(x 0, 1)，再设 A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) ， x 2x2(y 2 y)，由于 A,B,F 三点共线， 得 x 1x 0 2(y 11) ，两式相减得 x 2x 0 2(y 2 1) uuur uuur 又 FP (x 0, 2),AB (x 2 设 AB 的方程为 y kx f( ) 的表达式，AB ，故可设点 F,A,B 三 故相应的三极线共点于 P(x 0,点对应的极线方程分 别为 y 1) ，将 y (x 1 x 2)x 0 2(y 1 y 2). (2) 1 ， x 1x 2(y 1 y) ， 1代入后面两个极线方程 uuur uuur x 1,y 2 y 1) ，故 FP AB 1 ，与抛物线的极线方程 2 代 入 x 2 4y 并 1) ， 把 y kx 1 12 AB FP 显然，当 k 0 时， S 取最小值 4. 【例 5】(2005 江西卷理 22)设抛物线 C: y x 2 的焦点为F ，动点 P 在直线 l :x y 2 0上运动， 过 P 作抛物线的两条切线 PA,PB ，且与抛物线分别 相切于 A,B 两点. (1) 求 APB 的重心G 的轨迹方程； (2) 证明 PFA PFB . 分析与解： (1) 设点 P(x 0,y 0),A(x 1, y 1),B(x 2,y 2)， 与 y0 y x 0 x 对比可知直线 l :x y 2 0 对应的极点为 2 1 必恒过点 (1,2). 2 P(2k, S ABP2(1 k 2) 4(1 k 2) . k 1y 设 AB:y 2 k(x ) ，可化为 2x 0(x 2 x 1) x 0x 2(y 0 弦长公 0. 2(y 2 y 1) y) 对比可知直线 AB 对应的极点为 式 得 AB 1 (2,2) 2 4(1 k 2 ) ， 所 以 ，P 为直线 l 上的动点，则点 P 对应的极线 AB k k k k 2 x ，故直线 AB 对应的极点为 P(k 2,k 2 2) ，将直线 AB 的 方程代入抛物线方程得 的重心 G 的轨迹方程为 k x x 1 x 2 k 2 3 k y 1 y 2 2 3y 1(4x 23 x 2). x 2kx 0，由此得 x 1 x 2 k,y 1 y 2 k(x 1 x 2 1)k 2 k 4 ， APBk 2k2 23k 2 k 22 3，消去 k 即得22 (2) 设 A(x 1,x 12),B(x 2,x 22) ，由 (1) 知 x 1 x 2 k,x 1x 2 P(x1 x2 ,x 1x 2)， 2 所以 uuur 2 FA (x 1,x 12 cos PFA uuu uu FP FAuu ur FA uuu r FP x 1 x 2 2 x 1 uuur FPuuur x x FP (x 1 x 2 2 14)(x 12 14) 44 x 12 (x 12 41)2 14)， (x 1x 2 ,x 1x 2 (x 1x 2 1 2，又 F(0, ) ，由 4 1 uuur 2 )， FB (x 2,x 22 4 14)(x 12 41) 2 14 uuur 2 FP (x 12) (1) 14) 4 1 4 FP kk 知 P(2,2 2) ，即同理1参考文献1】周兴和. 高等几何. 科学出版社，2003.92】李凤华. 圆锥曲线的极点与极线及其应用. 数学通讯［J］，2012(4) 下半月cos PFB所以有uuuruuurFP FBuu uuurFP FBx1x2uuur 4FPPFA PFB.。
高中数学圆锥曲线系统讲解第33讲《极点与极线》练习及答案
第33讲 极点与极线知识与方法极点极线是射影几何中的重要内容，在中学教材中并未提及，但纵观历年高考的解析几何大题，可以发现诸多试题都有极点极线的背景，所以了解极点极线，可以让我们站在更高处来看待问题．这一小节我们先介绍极点极线的几何定义、代数定义和一些常用的性质，再辅以若干典型的高考真题的极点极线观点，来加深大家的理解.1．极点极线的几何定义：以椭圆为例，如图1所示，设P 为椭圆外一点，过P 作椭圆的两条割线分别与椭圆相交于A 、B 和C 、D 四点，AC 与BD 交于点M ，AD 与BC 交于点N ，则称点P 为直线MN 关于椭圆的极点，直线MN 为点P 关于椭圆的极线.另一方面，图1也可以这么来看，从椭圆外的点N 作椭圆的两条割线分别交椭圆于A 、D 和B 、C 四点，AC 与BD 交于点M ，AB 与CD 交于点P ，所以点N 和直线PM 也是一对极点极线，事实上，点M 和直线PN 也是一对极点极线，因此在PMN 中，以其中一个顶点作为极点，那么该顶点的对边所在的直线就是对应的极线，从而我们将PMN 称为“自极三角形”，为了加以区分，图中画成了虚线．这个图形有两种特殊情况：（1）如图2所示，当四边形ABCD 有一组对边平行时，如AD BC ∥，此时我们看成AD 和BC 的交点N 在无穷远处，那么以M 为极点，对应的极线是图2中的2PN ，其中2PN BC ∥；以P 为极点，那么极线是1MN ，其中1MN BC ∥；（2）如图3所示，当其中一条割线变成切线时，此时D 、M 、N 几个点就都与切点C 重合，从而点C 和切线PC 是一对极点极线.2．极点极线的代数定义：在平面直角坐标系xOy 中，设有圆锥曲线C （圆、椭圆、双曲线、抛物线均可）和不与C 的对称中心重合的点()00,P x y ，在圆锥曲线C 的方程中，用0x x 替换2x ，0y y 替换2y ，02x x +替换x ，02y y+替换y ，得到的方程即为以P 作为极点的极线l 的方程.例如，设椭圆C 的方程为2212x y +=，极点为()2,4P ，则与P 对应的极线为2412x y +=，即410x y +−=；又如，设抛物线C 的方程为22y x =，极点为()2,4P ，则与P 对应的极线为2422xy +=⋅，即420x y −+=.可以看到，极点与极线是一个成对的概念，且若给定极点，求极线的规则是统一的，与圆锥曲线的类型无关，与极点P 的位置无关，下面以椭圆为例，说明极点P 在不同位置时，极线l 的情形：（1）当点P 在椭圆C 上时，极线l 为椭圆C 在P 处的切线，如图4所示；（2）当点P 在椭圆C 外部时，极线l 为点P 对椭圆C 的切点弦所在直线，如图5所示；（3）当点P 在椭圆C 内部时，过点P 任作椭圆C 的一条割线交C 于A 、B 两点，椭圆C 在A 、B 两点处的切线交于点Q ，则当割线AB 绕着点P 旋转时，点Q 的轨迹就是极线l ，如图6所示.3．极点极线的常用性质：（下面以椭圆为例）（1）如图7所示，O 为椭圆中心，点P 在椭圆内，延长OP 交椭圆于点Q ，交椭圆与点P 对应的极线l 于点M ，则OP 、OQ 、OM 成等比数列；当P 恰好为弦AB 的中点时，直线AB 的方程为2200002222x x y y x y a b a b+=+，且极线l 和椭圆在点Q 处的切线均与AB 平行.（2）调和分割性：如图8所示，设极点P 的极线是直线l ，过P 作椭圆的一条割线交椭圆于A 、B 两点，交极线l 于点Q ，则P 、A 、Q 、B 成调和点列，即PA QA PBQB=（或写成211PQ PA PB=+） （3）配极原理：若点P 关于椭圆的极线过点Q ，则点Q 关于椭圆的极线也过点P .由此出发，我们可以得出共线点的极线必然共点，共点极线的极点必然共线，如图9所示，极点1P 、2P 、3P 的极线分别为1l 、2l 、3l ，则1P 、2P 、3P 共线⇔1l 、2l 、3l 共点.提醒：极点极线的分析方法只能让我们在看到问题时能够迅速“窥得天机”，不能作为正式的作答，我们在学习时，仍然应该以基本方法为主，技巧偏方为辅，不能本末倒置.典型例题【例1】（2021·新高考Ⅱ卷·多选）已知直线2:0l ax by r +−=与圆222:C x y r +=，点(),A a b 则下列说法正确的是（ ）A.若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上，则直线l与圆C相切【解析】解法1：A项，若点A在圆C上，则222a b r+=，圆心C到直线l的距离d r=，所以直线l与圆C相切，故A项正确；B项，若点A在圆C内，则222a b r+<，圆心C到直线l的距离2d r==>，所以直线l与圆C相离，故B项正确；C项，若点A在圆C外，则222a b r+>，圆心C到直线l的距离2d r==<，所以直线l与圆C相交，故C项错误；D项，若点A在直线l上，则2220a b r+−=，即222a b r+=，圆心C到直线l的距离d r==，所以直线l与圆C相切，故D项正确.解法2：显然对于圆C，以(),A a b作为极点，那么极线就是2:0l ax by r+−=A项，若极点A在圆C上，则极线l是圆C的切线，故A项正确；B项，若极点A在圆C内，则极线l与圆C相离，故B项正确；C项，若极点A在圆C外，则极线l是圆C的切点弦，应与圆C相交，故C项错误；D项，若极点A在直线l上，这是极线恰好为切线，极点为切点的情形，故D项正确.【答案】ABD【例2】（2011·四川）椭圆有两个顶点()1,0A−，()1,0B，过其焦点()0,1F的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P，直线AC与BD交于点Q.（1）当CD=时，求直线l的方程；（2）当P点异于A、B两点时，证明：OP OQ⋅为定值.【解析】（1）由题意，椭圆的短半轴长1b=，半焦距1c=，所以长半轴长a =，故椭圆的方程为2212y x +=，当2CD =时，易得直线l 与x 轴垂直，故可设l 的方程为1y kx =+()0,1k k ≠≠±， 设()11,C x y ，()22,D x y ，联立22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()222210k x kx ++−=， 判别式()2810k ∆=+>，由韦达定理，1221222212k x x k x x k ⎧+=−⎪⎪+⎨⎪=−⎪+⎩①②，所以12CD x x =−==k =所以直线l 的方程为1y =+.（2）极点极线看问题：设(),0P m ，以P 为极点，则对应的极线为1mx =，即1x m=， 显然点Q 在极线上，所以1Q x m =，不难发现101Q OP OQ m y m⋅=⋅+⋅=. 注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面两个解法来写.解法1：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，其方程为()1111yy x x =++③，直线BD 的斜率为221BD y k x =−，其方程为()2211yy x x =−−④，用式③除以式④整理得：()()21121111y x x x y x ++=−−，即()()21121111Q Q x y x x y x ++=−−， 而()()()()()()212112211212121211111111y x kx x kx x kx x y x kx x kx x kx x ++++++==−+−−+−，所以122112121111Q Q x kx x kx x x kx x kx x ++++=−−+−，由①知12222kx x k =−−+， 故()()()()()()222222222222122111122212121111222Q Q k k k kkx x k x x k k k k k k k k x k k x x k x k k k −−−+−−++−+−+++===−+−+⎛⎫−−−−+−++ ⎪+++⎝⎭，解得：Q x k =−，易得1,0P k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，故()11P Q OP OQ x x k k ⋅==−⋅−=，即OP OQ ⋅为定值1.解法2：直线AC 的斜率为111AC y k x =+，其方程为()1111yy x x =++③，直线BD 的斜率为221BD y k x =−，其方程为()2211yy x x =−−④，用式③除以式④整理得：()()21121111y x x x y x ++=−−，即()()21121111Q Q x y x x y x ++=−−⑤ 所以()()()()()()()()()()()()222222121211212222212121212122111111111111211Q Q x x x y x x x x x x x x x x x x x x y x x x −+⎛⎫+++++++==== ⎪ ⎪−−−−++−−−⎝⎭ 22222121122121122kk k k k k k k −−+−⎛⎫++= ⎪+⎝⎭−++++， 因为1x ，()21,1x ∈−，所以12101x x +<−，结合⑤可得11Q Q x x +−与21y y 异号， 又()()()()()222212121212222221122211112222k k k k k y y kx kx k x x k x x k k k k +−−=++=+++=−−+==++++()2221121k k k k +−=−⋅++， 所以12y y 与11k k −+异号，即21y y 与11k k −+异号，从而11Q Q x x +−与11k k −+同号，所以1111Q Q x k x k +−=−+，解得：Q x k =−，易得1,0P k ⎛⎫− ⎪⎝⎭，故()11P Q OP OQ x x k k ⋅==−⋅−=，即OP OQ ⋅为定值1.【例3】（2020·新课标Ⅰ卷）已知A 、B 分别为椭圆()222:11x E y a a+=>的左、右顶点，G为E 的上顶点，8AG GB ⋅=，P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D . （1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点.【解析】（1）由题意，(),0A a −，(),0B a ，()0,1G ，故(),1AG a =，(),1GB a =−， 所以218AG GB a ⋅=−=，解得：3a =或3−（舍去），故E 的方程为2219x y +=.（2）极点极线看问题：如图1，设AB 和CD 交于点Q ，AD 和CB 交于点M ，则PQM 为自极三角形，所以点Q 和直线PM 是一对极点极线，设(),0Q m ，则极线PM 的方程为19mx=，即9x m =，又点P 在直线6x =上，所以96m =，从而32m =，故3,02Q ⎛⎫⎪⎝⎭，这样就得到了直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭.注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面两个解法来写. 解法1：由（1）知()3,0A −，()3,0B ，设()6,P t ，()11,C x y ，()22,D x y ，当0t ≠时，直线PA 的方程为93x y t =−，代入2219x y +=消去x 化简得：22815490y y t t ⎛⎫+−= ⎪⎝⎭， 解得：0y =或269t t +，所以269C ty t =+，故22927339C C t x y t t −=−=+，从而2222736,99t t C t t ⎛⎫− ⎪++⎝⎭，直线PB 的方程为33x y t =+，代入2219x y +=消去x 化简得：2291890y y t t ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，解得：0y =或221t t −+，所以221D t y t =−+，从而2233331D D t x y t t −=+=+，故222332,11t t D t t ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭，设3,02T ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()2222796,929t t TC t t ⎛⎫− ⎪= ⎪++⎝⎭，()222392,121t t TD t t ⎛⎫− ⎪=− ⎪++⎝⎭，即()22319t TC TD t +=−+，故TC TD ∥，所以T 、C 、D 三点共线，从而直线CD 过定点3,02T ⎛⎫⎪⎝⎭，当0t =时，易得C 、D 分别与B 、A 重合，所以直线CD 即为x 轴，显然直线CD 也过点T ，综上所述，直线CD 过定点3,02T ⎛⎫⎪⎝⎭解法2：由（1）知()3,0A −，()3,0B ，设()11,C x y ，()22,D x y ，()06,P y当00y ≠时，由图2可知点C 不与点B 重合，因为221119x y +=，所以()2211199y x =−，故CA 、CB 的斜率之积为2111211113399CA CB y y y k k x x x ⋅=⋅==−+−−① 又PA 的斜率09PA CA y k k ==，PB 的斜率03PB BD y k k ==，所以13CA BD k k =， 代入式①化简得：BC 、BD 的斜率之积13BC BD k k ⋅=−，显然CD 不与y 轴垂直，否则AC 与BD 的交点在y 轴上，故可直线CD 的方程为x my t =+，联立2219x ty x my ⎧⎪⎨+==+⎪⎩消去x 整理得：()2229290m y mty t +++−=， 判别式()()222244990m t m t ∆=−+−>，所以2290m t +−>， 由韦达定理，12229mt y y m +=−+，212299t y y m −=+，所以()121221829t x x m y y t m +=++=+，()22221212122999t m x x m y y mt y y t m −=+++=+，()1212121212133393BC BD y y y y k k x x x x x x ⋅=⋅==−−−−++，故()121212339y y x x x x −=−++，即22222299918339999t t m t m m m −−−⋅=−⋅++++，整理得：22990t t −+=，解得：32t =或3，若3t =，则C 、D 中有一个点与B 重合，不合题意，所以32t =，满足0∆>，即直线CD 过定点3,02⎛⎫⎪⎝⎭，当00y =时，易得C 、D 分别与B 、A 重合，所以直线CD 即为x 轴，也过点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭，综上所述，直线CD 过定点3,02⎛⎫ ⎪⎝⎭【例4】（2018·新课标Ⅰ卷）设椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过F 的直线l 与C 交于A 、B 两点，点M 的坐标为()2,0.（1）当l 与x 轴垂直时，求直线AM 的方程； （2）设O 为坐标原点，证明：OMA OMB ∠=∠.【解析】（1）由题意，()1,0F ，当l 与x 轴垂直时，其方程为1x =， 由22112x x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩解得：y =，即点A的坐标为1,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， 当点A的坐标为2⎛ ⎝⎭时，直线AM的方程为2y x =， 当点A的坐标为1,⎛ ⎝⎭时，直线AM的方程为y =−. （2）极点极线看问题：如图，设A '、B '分别为A 、B 关于x 轴的对称点， 则显然四边形AA BB ''构成等腰梯形，其对角线的交点为F ，以()1,0F 为极点， 则对应的极线为1012xy ⋅+⋅=，即2x =，而BA '和B A '的交点应该在极线上， 从而()2,0M 就是BA '和B A '的交点， 由图形的对称性不难发现OMA OMB ∠=∠. 且这一结论还可以推广，若F 不是焦点， 而是椭圆内x 轴正半轴上的一个一般的点， 比如可设为(),0t ，那么它的极线为012txy +⋅=，即2x t =，所以点2,0M t ⎛⎫⎪⎝⎭必定也能使OMA OMB ∠=∠注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面的解法来写. 解：当l y ⊥轴时，易得0OMA OMB ∠=∠=︒当l 不与y 轴垂直时，可设其方程为1x my =+，设()11,A x y ，()22,B x y ， 联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：()222210m y my ++−=，易得判别式0∆>， 由韦达定理，12222m y y m +=−+，12212y y m =−+， ()()()()()()()122112211212121212222222222AM BM y x y x x y x y y y y yk k x x x x x x −+−+−++=+==−−−−−− 而()1221122x y x y y y +−+()()()()12211212121122my y my y y y my y y y =+++−+=−+ 22122022m m m m ⎛⎫⎛⎫=⋅−−−= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以0AM BM k k +=，从而OMA OMB ∠=∠， 综上所述，OMA OMB ∠=∠.【例5】（2008·安徽）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点)M，且左焦点为()1F .（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点()4,1P 的动直线l 与椭圆C 相交于两个不同的点A 、B 时，在线段AB上取点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅，求证：点Q 在某定直线上.【解析】（1）由题意，22222211a b ab ⎧−=⎪⎨+=⎪⎩，解得：24a =，22b =，所以椭圆C 的方程为22142x y +=. （2）极点极线看问题：因为AP QB AQ PB ⋅=⋅，所以AP AQ PBQB=，故P 、A 、Q 、B 是一组调和点列，从而点Q 必定在点P 的极线上，因为点P 的坐标为()4,1，所以它的极线为41142x y⋅+=，化简得：220x y +−=，从而点O 在定直线220x y +−=上. 注意：上面的过程不能作为正式的作答，卷面上可以按下面的定比点差法来写. 解：设(),Q x y ，()11,A x y ，()22,B x y 因为AP QB AQ PB ⋅=⋅，所以AP AQ PBQB=，设AP AQ PBQBλ==()0,1λλ>≠，则PA PB λ=，AQ QB λ=，而()114,1PA x y =−−，()224,1PB x y =−−，()11,AQ x x y y =−−，()22,QB x x y y =−−所以()()12124411x x y y λλ⎧−=−⎪⎨−=−⎪⎩，且()()1212x x x x y y y y λλ⎧−=−⎪⎨−=−⎪⎩，从而12124111x x y y λλλλ−⎧=⎪⎪−⎨−⎪=⎪−⎩①②，且121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩③④，①×③得：22212241x x x λλ−=−，②×④得：2221221y y y λλ−=−，所以22222212122224211x x y y x yλλλλ−−+⋅=+−−，即()222221122222421x y x y x y λλ+−+=+−⑤ 又A 、B 在椭圆C 上，所以22112222142142x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 从而221122222424x y x y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，代入⑤的：2244421x y λλ−=+−， 化简得：220x y +−=，即点Q 始终在直线220x y +−=上.强化训练1.（★★★）对于抛物线2:2C y x =，设点()00,P x y 满足2002y x <，则直线00:l y y x x =+与抛物线C （ ） A.恰有1个交点B.恰有2个交点C.没有交点D.有1个或2个交点【解析】显然直线l 是点P 对应的极线，因为2002y x <，所以点P 在抛物线内部，从而直线l 与抛物线C 没有交点. 【答案】C2.（★★★）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ，过点()2,2A 的直线与椭圆C 在x 轴上方相切于点B ，则直线BF 的方程为______.【解析】由题意，()1,0F ，以F 为极点，则极线为12x=，即2x =，所以点A 在极线上，根据配极原理，以A 为极点的极线过点F ，所以该极线就是BF ，其方程为2212xy +=，即21x y +=【答案】21x y +=3.（★★★）过点()2,1P 的直线l 与椭圆2214x y +=相交于点A 和B ，且AP PB λ=，点Q 满足AQ QB λ=−，若O 为原点，则OQ 的最小值为________.【解析】由题意，PA QA PBQAλ==所以点Q 是对应极点P 的极线与直线l 的交点，如图，易求得极线l 的方程为214xy +=，即220x y +−=，所以点Q在该极线上，从而min 5OQ ==.【答案】54.（★★★★）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右顶点分别为A 、B ，上顶点为D ，点P 是椭圆C 上异于顶点的动点，已知椭圆C的离心率e =，短轴长为2. （1）求椭圆C 的方程； （2）如下图所示，直线AD 与直线BP 交于点M ，直线DP 与x 轴交于点N ，证明：直线MN 过定点，并求出该定点.【解析】（1）由题意，22b =，所以1b =，椭圆C的离心率e =，所以2a =，故椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）极点极线看问题：如图，连接AP 、BD 交于点Q ，显然点Q 的极线是直线MN ， 当P 在椭圆上运动的过程中，点Q 会在直线BD 上运动，根据共线极点的极线必然共点不难发现直线MN 是过定点的直线，易求得直线BD 的方程为22x y +=，所以可设()22,Q t t −，那么极线MN 的方程为()2214t xty −+=，整理得：()220x t x y −−−=，所以直线MN 过的定点是()2,1．下面给出规范的作答过程.解：由（1）可得()0,1D ，()2,0B ，()2,0A −，可设直线BP 的方程为2x my =+()0,2m m ≠≠±， 联立22214x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得：()22440m y my ++=，解得：0y =或244m m −+，所以244p m y m =−+，从而228224p p m x my m −=+=+，故222824,44m m P m m ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭，从而直线DP 的斜率为()222224144248282224DP mm m m m k m m m m −−−−−++===−−−+故直线DP 的方程为()2122m y x m +=+−，联立()02122y m y x m =⎧⎪+⎨=+⎪−⎩解得：()222m x m −=+，所以()22,02m N m −⎛⎫ ⎪+⎝⎭， 直线AD 的方程为121x y +=−，即220x y −+=，联立2202x y x my −+=⎧⎨=+⎩，解得：24242m x m y m +⎧=−⎪⎪−⎨⎪=−⎪−⎩，所以点M 的坐标为244,22m m m +⎛⎫−− ⎪−−⎝⎭，设()2,1G ， 则42,22mm GM m m +⎛⎫=−− ⎪−−⎝⎭，4,12m GN m ⎛⎫=−− ⎪+⎝⎭， 从而22m GM GN m +=−，故G 、M 、N 三点共线， 即直线MN 过定点()2,1G .【反思】求解这道题时，可以先在草稿纸上用极点极线的知识去找到定点()2,1G ，那么在严格求解时，心中就有答案了，可以通过证明GM 与GN 共线，从而得出直线MN 过定点G . 5.（★★★★）如下图所示，椭圆22:143x y E +=的左、右顶点分别为A 、B ，左焦点为F ，过F 的直线与椭圆E 交于不与A 、B 重合的C 、D 两点，记直线AC 和BD 的斜率分别1k ，2k ，证明：12k k 为定值.【解析】极点极线看问题：由题意，()1,0F −，椭圆E 的极点F 对应的极线为10143x y−⋅⋅+=，即4x =−，如图，AC 与BD 的交点P 应在极线上，所以可设()04,P y −，显然()2,0A −，()2,0B ，所以直线AC 的斜率012PA y k k ==−，直线BD 的斜率026PB yk k ==−， 从而123k k =.下面给出严格求解过程. 解：由题意，()1,0F −，直线CD 不与y 轴垂直，可设其方程为1x my =−，设()11,C x y ，()22,D x y ，联立221431x y x my =+=−⎧⎪⎨⎪⎩消去x 整理得：()2234690m y my +−−=， 易得判别式0∆>， 由韦达定理，122634m y y m +=+，122934y y m =−+， 所以()121232my y y y =−+ 显然()2,0A −，()2,0B ，所以直线AC 的斜率1112y k x =+， 直线BD 的斜率2222y k x =−， 从而()()()()()()121121212112121212122122123933233222333121222y y y y y y x y my k my y y k x y my y my y y y y y y y −+−−−−−−======+++−++−−.6.（★★★★）已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的上、下顶点分别为A 和B ，左焦点为F ， 原点O 到直线FA的距离为2. （1）求椭圆C 的离心率； （2）设2b =，直线4:l y kx =+与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，证明：直线BM 与直线AN 的交点G 在定直线上.【解析】（1）由题意，原点O 到直线FA的距离OA OF bc d AFa ⋅===， 所以椭圆C的离心率2c e a ==. （2）极点极线看问题：由题意，直线l 与y 轴交于定点()0,4P ，显然点G 在点P 对应的极线上，当2b =时，易求得椭圆C 的方程为22184x y +=，从而该极线的方程为04184x y ⋅+=，即1y =，所以点G 在定直线1y =上．下面给出严格求解过程.解：由题意，()0,2A ，()0,2B −，设()11,M x y ，()22,N x y ， 联立224184y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 整理得：()221216240k x kx +++=，判别式()()2216412240k k ∆=−+⨯>所以2k <或2k >，由韦达定理，12212216122412k x x k x x k ⎧+=−⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩①②直线BM 的方程为1122y y x x ++=，直线AN 的方程为2222y y x x −−=，联立11222222y y x x y y xx +⎧+=⎪⎪⎨−⎪−=⎪⎩消去x 可得：()()12212222y x y y y x ++=−−，从而()()()()1212122212112126262222G G y x kx x y kx x x y y x kx x kx x x ++++===−−++③， 接下来给出以下两种计算非对称结构12212162kx x x kx x x ++的方法：法1：由①②知()121232kx x x x =−+， 代入式③得：()()122121221211211233966222331322222x x x x x kx x x kx x x x x x x x −++−++===−+−++−， 从而232G G y y +=−，解得：1G y =，所以点G 在定直线1y =上. 法2：由①知1221612kx x k =−−+代入式③得：22221221212222224246661212382416222121212k kx x kx x x k k k k k kx x x x x k k k +++++===−+⎛⎫−−+−− ⎪+++⎝⎭从而232G G y y +=−−，解得：1G y =，所以点G 在定直线1y =上.。
漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法
浙江省绍兴县鲁迅中学
本文源于两道高考压轴题 : 题 1( 2006 年全国Ⅱ卷题 21) 已知抛物线 x 2 = 4 y 的 焦点 为F , A 、 B 是抛物线 上的 两动 点 , B 两 且 AF = KFB ( K> 0 ) . 过 A 、 点分别 作抛 物线 的 切 线 , 设其 交 点为 P. ( 1) 证明 FP # AB 为定值 ; ( 2) 设 v A BP 的面积为 S , 写出 S = f ( K ) 的表达 式 , 并求 S 的最小值 . 题 2( 2005 年江西卷题 22) 设抛物 线 C: y = x 2 的 焦点 为 F, 动点 P 在直线 l: x - y - 2 = 0 上 运动 , 过 P 作 C 的 两 条 切 线 PA 、 PB , 且 与抛物线 C 分别相切于 A 、 B 两点 . ( 1) 求 v AP B 的重心 G 的轨迹方程 . ( 2) 证明 N PFA = N PFB . 这是一类解析几何常见题 , 两题 非常类 似 , 笔者还 发现它们含有相同的高等数学背 景 . 按射影 几何观 点 , 题中点 P 与直线 A B 称为圆锥曲线 相应的极点与极线 , 两者蕴涵了圆锥曲 线的 内在 特征 . 本文 拟以 极点 与极 线的两个命题给出 试题 统一 解法 , 并讨 论该 性质 在中 学数学中的现状及应用 . 1 1. 1 关于极点与极 线 极点与极线的定义与 作图 开. 虽然中学数学中没有提 到极点 与极线 , 但 事实上 , 它的身影随处可见 , 只是没有点破而已 . 下面利 用上 述两 个命题 , 给出 两考题 统一 简解 以 及该命题在教材、 竞赛等方面的应用 . 2 2. 1 中学数学中极点与极线知识的现状与应用 教材内改名换姓 , / 视0 而不/ 见0 双 曲线 程为 :