极点极线(2020年10月整理).pdf
极点与极线
极点与极线对于高考而言，在全国卷大一统的形势下，纵观历年全国卷的解析几何试题，以极点极线为背景的题目，不断出现，不过基本上也是基础类型．所以，极点极线，我们还是按照一些题型来进入分类总结．极点极线的定义1．二次曲线的替换法则对于一般式的二次曲线22Ax Bxy Cy Dx ϕ+++：0Ey F ++=，用0xx 代2x ，用0yy 代2y ，用002x y xy +代xy ，用02x x +代x ，用02y y +代y ，常数项不变，可得方程：0000022x y xy x x Axx B Cyy D ++++++ 002y y E F ++= ．2．极点极线的代数定义高中阶段，常见的二次曲线的极点极线的方程如下：（1）圆：①极点00()P x y ，关于圆222x y r +=的极线方程是200xx yy r +=；②极点00()P x y ，关于圆222()()x a y b r -+-=的极线方程是200()()()()x a x a y b y b r --+--=；③极点00()P x y ，关于圆220x y Dx Ey F ++++=的极线方程是：0000022x x y y xx yy D E F ++++++= ．（2）椭圆：极点00(,)P x y 关于椭圆22221x y a b +=的极线方程是：00221xx yy a b +=．（3）双曲线：极点00(,)P x y 关于双曲线22221x y a b -=的极线方程是：00221xx yy a b-=．（4）抛物线极点00(,)P x y 关于抛物线22y px =的极线方程是：00()y y p x x =+．注：①极点极线是成对出现的；②焦点和焦点对应的准线就是最常见的极点极线；③已知定比分点，则其调和分点一定位于其对应极线上！3．极点极线的几何意义（1）若极点P 在二次曲线上，则极线是过点P 的切线方程．（2）若极点P 在二次曲线内部，则极线是过点P 的弦两端端点的切线交点的轨迹．如图所示，过点P 的弦AB 、CD 的两端端点作切线，得到的直线MN 即为点P 对应的极线轨迹．【极线和二次曲线必定相离】（3）若极点P 在二次曲线外部，分成两种情况：①极线在二次曲线内的部分是点P 对二次曲线的切点弦；【极线和二次曲线必定相交】②极线在二次曲线外的部分是过点P 的弦两端端点的切线交点的轨迹．4．极点极线的配极性质①点P 关于二次曲线C 的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于二次曲线C 的极线q 经过点P ．②直线p 关于二次曲线C 的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于二次曲线C 的极点Q 在直线p 上．①②表达点P 和点Q 是二次曲线的一组调和共轭点，也是定比点差常说到的定比分点和调和分点．极点极线的综合模型——自极三角形极点极线的几何意义:（1）若点P 是圆锥曲线上的点，则过点P 的切线即为极点p 对应的极线．（2）如图所示（以椭圆图形为例），若点P 是不在圆锥曲线上的点，且不为原点O ，过点P 作割线P AB 、PCD 依次交圆锥曲线于A 、B 、C 、D 四点，连结直线AD 、BC 交于点M ，连结直线AC 、BD 交于点N ，则直线MN l 为极点P 对应的极线．类似的，也可得到极点N 对应的极线为直线PM l ，极点M 对应的极线为直线PN l ，因此，我们把PMN △称为自极三角形．【即PMN △的任一顶点作为极点，则顶点对应的边即为对应的极线，“补全自极三角形”这个技巧很常用，后面结合例题了解！】如图所示，如果我们连结直线NM 交圆锥曲线于点E 、F ，则直线PE 、PF 恰好为圆锥曲线的两条切线，此时，直线EF l 不仅是极点P 的极线，我们也称直线EF l 为渐切线．下面的共轭点模型，实际都是极点在坐标轴上的特例模型的应用，也是高考题常见．自极三角形的定点定值我们先来尝试一下抛物线的极点极线证明：如图，A 、B 、C 、D 分别为抛物线px y 22=上四点，且AB 与CD 交于)0(，m M ，则AC 与BD 的交点N 一定在定直线m x -=上．令MB AM λ=，MD CM μ=，所以m x A λ=，λpm y A 2=，λmx B =，λpmy B 2-=，m x c μ=，μpm y C 2=，μmx D =，μpmy D 2-=．三点共线:)()(D N D B D B D C N C A C A C N x x x x y y y x x x x y y y y ---+=---+=，)(2)(2D N DB DC N C A C N x x y y p y x x y y p y y -++=-++=所以)(2)(21(2μλμμμ+--=+=-pm m x p pm y y N D C )(2)(2μλλμμ+--+pm m x p N ，所以=+++)1(μλμλμm μλλμμm x x m N N +--，所以=+)1(λμm )1(λμ+-N x ，所以m x N -=．接下来我们来参考2020年的全国1卷，也是一种常见的自极三角形．【例17】（2020•新课标Ⅰ）已知A ，B 分别为椭圆222:1(1)x E y a a +=>的左、右顶点，G 为E 的上顶点，8AG GB = ．P 为直线6x =上的动点，PA 与E 的另一交点为C ，PB 与E 的另一交点为D ．（1）求E 的方程；（2）证明：直线CD 过定点．模型总结已知极点在长（短）轴上，证明极线相对简单，只需要利用定比设点法表达出来再联立，消掉变量即可，但是在已知极线反推极点的时候，就要将引入的比例系数λ消除，构造0+0=0λ⨯模型，此类型题目均可以快速拿满分（曲线系处理最快）；抛物线通常利用对称的定比设点法，证明极点极线非常轻松，大家可以试试手．【训练18】（2021•金华模拟）如图，已知抛物线24y x =，过点(11)P -，的直线l 斜率为k ，与抛物线交于A ，B 两点．（1）求斜率k 的取值范围；（2）直线l 与x 轴交于点M ，过点M 且斜率为2k -的直线与抛物线交于C ，D 两点，设直线AC 与直线BD 的交点N 的横坐标为0x ，是否存在这样的k ，使05x =-，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．【训练19】（2021•湖南模拟）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点3(1)2P ，在C 上，且221PF F F ⊥．（1）求C 的标准方程；（2）设C 的左右顶点分别为A ，B ，O 为坐标原点，直线l 过右焦点2F 且不与坐标轴垂直，l 与C 交于M ，N 两点，直线AM 与直线BN 相交于点Q ，证明点Q 在定直线上．【例18】已知椭圆134:22=+y x C ，斜率为1的直线l 与椭圆交于A 、B 两点，点)04(，M ，直线AM 与椭圆交于点1A ，直线BM 与椭圆交于1B ，求证：直线11B A 过定点．模型总结若过)0(，m P 交椭圆于1AA ，1BB 两条线，若①t k AB=，②11B A 过定点)22(22t m m a m a m -+，，两者互为充要条件．大家可以自行证明．本章节到此告一段落，关于极点极线的其它性质，比如等角定理、比如斜率等差模型、斜率比值模型、焦准距的平方和共圆模型、椭圆的平行弦模型、蝴蝶定理初步，会在《高考数学满分突破》之秒杀压轴题系列2（2022年新版本）中详细阐述，二轮复习在于以题型入手的思维巩固，在于以不变应万变，秒系列在于思维深挖拓展，对一个问题的看法更加立体，也是数学爱好者的江湖情怀！【训练20】（2018•北京文）已知椭圆2222:1x y M a b+=(0)a b >>的离心率为36，焦距为22．斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A 、B ．（1）求椭圆M 的方程；（2）若1=k ，求AB 的最大值；（3）设)0,2(-P ，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ，D 和点41,47(-Q 共线，求k ．【训练21】（2021•广东七校联考）已知椭圆2222:1x yCa b+=(0)a b>>的左顶点为(20)A-，，两个焦点与短轴的一个顶点构成等腰直角三角形，过点(10)P，且与x轴不重合的直线l与椭圆交于M、N不同两点．（1）求椭圆方程；（2）若过点P且平行于AM的直线交直线52x=于点Q，求证：直线NQ过定点．【训练22】（2020•北京）已知椭圆2222:1x yCa b+=过点(21)A--，，且2a b=．（1）求椭圆C的方程；（2）过点(40)B-，的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线4x=-于点P，Q．求|| || PB BQ的值．。
极点极线详解-概述说明以及解释
极点极线详解-概述说明以及解释1.引言1.1 概述极点极线是复数函数理论中重要的概念，它们在解析几何和数学物理等领域均有广泛的应用。
极点是函数在复平面上的奇点，它表现为函数在该点处无穷大或无穷小的特性，而极线则是连接这些极点的曲线。
极点和极线的研究不仅有助于深入理解复函数的性质，还在实际问题的求解中发挥着重要作用。
本文将详细介绍极点和极线的定义、特性、关系以及应用，旨在帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学概念。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以按照以下方式进行编写:文章结构部分本文将按照以下结构来论述极点极线的相关内容:2. 正文2.1 极点的定义和特性2.2 极线的定义和特性2.3 极点极线的关系2.4 极点极线的应用在正文部分，我们将依次介绍和探讨极点和极线在计算机视觉领域中的重要性以及相关概念、定义和特性。
首先，我们将详细讲解极点的定义和其特性，包括极点在图像处理和计算机视觉中的作用以及其在数学中的定义。
然后，我们将介绍极线的定义和特性，重点关注极线在立体视觉和图像对几何关系解决中的重要性。
接下来，我们将讨论极点和极线的关系，包括如何通过极点和极线之间的投影关系来求解立体视觉和图像重建中的几何关系。
最后，我们将探讨极点极线在实际应用中的具体应用场景，包括目标识别、图像配准和三维重建等领域，并介绍一些相关的案例和算法。
通过以上结构，我们希望能够全面而系统地介绍极点极线的相关内容，使读者对其有一个清晰的认识和理解。
在这个过程中，我们将尽可能地提供详细的解释和示例，以帮助读者更好地理解和应用极点极线的概念和方法。
在接下来的章节中，我们将从极点的定义和特性开始，逐步展开对极点极线的讨论。
让我们一起深入了解极点极线的奥秘吧。
1.3 目的本文的目的在于探讨和详解极点极线的概念、定义、特性以及其在实际应用中的重要性。
通过对极点和极线的定义和特性的介绍，我们将深入了解这一数学概念的内涵和本质。
同时，我们还将研究极点和极线之间的关系以及它们在几何学、计算机视觉和图像处理领域的应用。
教你认清极点极线的真面目，虽粗浅，但绝对受益！
教你认清极点极线的真面目，虽粗浅，但绝对受益！
其实，圆锥曲线中的极点与极线，就目前高考而言，务必要熟悉其中的几个性质。
为了方便，下面我都以椭圆为例来进行说明或展示。
至于双曲线和抛物线，处理方法和结论也都是类似的。
一、位置关系：①当点
在椭圆上时，极线
是以点
为切点的切线;
②当点
在椭圆外时，极线
与曲线相交，且为由点
向椭圆所引切线的切点弦所在直线；
③当点
在椭圆内时，极线
与椭圆相离，极线
为经过点
的弦在两端点处切线交点的轨迹。
且极线
与以
为中点的弦所在直线平行.
当然，还要知道的是，如果极点为焦点，则极线为准线。
（极点极线关系的动态演示）
二、比例关系④若过点
的直线与曲线交于A,B两点，与极线
交于点Q，则必有：
如果从定比分点的角度看，即点Q和点P分弦AB之比总是相等。
极点极线10个二级结论
极点极线10个二级结论1. 极点极线的定义极点极线是几何学中的一个概念，用于描述平面上的一种特殊关系。
给定一个圆，圆上的每个点都有一个与之对应的极线。
而对于平面上的任意一条直线，也可以找到一个与之对应的极点。
极点极线满足一定的几何性质，研究它们可以帮助我们理解平面几何的一些重要性质和定理。
2. 极点极线的性质极点极线有许多重要的性质。
首先，对于给定的圆，其上的任意两个点对应的极线相交于一点，这个点称为极点。
同样地，对于给定的直线，其上的任意两个点对应的极点也相交于一点，这个点称为极线。
其次，对于给定的点和直线，它们的极点和极线之间具有一一对应的关系。
最后，极点极线满足交换律，即如果点A是直线l的极点，那么直线l也是点A的极线。
3. 极点极线的应用极点极线在几何学中有广泛的应用。
首先，它可以用来证明一些几何定理。
例如，通过构造极点极线，可以证明圆与直线的切线垂直于半径，以及切线之间的交角相等等定理。
其次，极点极线也可以用来解决一些几何问题。
例如，通过构造极点极线，可以确定一个点关于给定圆的对称点的位置。
此外，极点极线还可以用于构造一些特殊的图形，如圆的切线和割线等。
4. 极点极线的构造方法构造极点极线的方法有多种。
对于给定的圆，可以通过连接圆心和圆上的任意一点来构造极线。
而对于给定的直线，则可以通过找到直线上的两个不同的点，然后连接它们的交点来构造极点。
此外，还可以通过构造垂线、平行线和相似三角形等方法来构造极点极线。
5. 极点极线与其他几何关系的联系极点极线与其他几何关系密切相关。
首先，极点极线与垂直关系有着紧密的联系。
通过构造极点极线，可以证明两条直线垂直的几何定理。
其次，极点极线与相似关系也有一定的关联。
通过构造相似三角形，可以得到一些与极点极线相关的性质。
此外，极点极线还与圆的切线和割线等几何关系有着密切的联系。
6. 极点极线的应用举例极点极线的应用举例包括：证明圆与直线的切线垂直于半径、构造圆的切线和割线、确定一个点关于给定圆的对称点的位置等。
极点极线主题
极点极线主题1. 简介极点极线主题（Poles and polar lines）是一个数学主题，广泛应用于几何学和代数学中。
它涉及到点与线之间的特殊关系，通过点与点之间以及点与线之间的关联，可以推导出一系列重要的结论。
2. 极点与极线在几何学中，极点是指在给定的圆上，半径线与过该点的切线所相交的点。
而极线则是与通过给定点的切线垂直且过该点的直线。
极点和极线之间存在着一一对应的关系，即每个点都对应着一条唯一的极线，而每条极线也都对应着一个唯一的极点。
3. 极点极线的性质极点和极线之间有许多重要的性质和定理：- 定理1：如果两个点在同一极线上，则它们互为极点。
- 定理2：如果两条极线相交于一个点，则该点是它们的共同极点。
- 定理3：如果两个点分别是彼此的极点，则它们所在的极线相交于一个点。
- 定理4：如果极点位于极线上，则该极线被称为自极线。
这些性质和定理的应用广泛，可以用于解决诸如圆的切线、求解交角、检验共圆等问题。
4. 应用举例极点极线主题在几何学和代数学中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用举例：- 圆的切线：通过将一点的极线与圆相交，可以求解出切线的方程，从而确定圆的切线。
- 判断共圆：对于给定的一组点，通过求解它们的共同极线，可以判断它们是否共圆。
- 求解交角：通过求解两个点的极线的交点，可以得到它们之间的交角。
这些应用只是极点极线主题在实际问题中的一部分应用，它的应用领域还远不止于此。
5. 总结极点极线主题是一个重要的数学主题，在几何学和代数学中有着广泛的应用。
通过点与线之间的关联，可以推导出一系列重要的结论和定理。
这些结论和定理在解决实际问题时具有很高的实用性和有效性。
---以上是关于极点极线主题的简要介绍。
希望本文能够帮助您更好地理解和应用这一数学主题。
如有任何问题，请随时向我们提问。
谢谢！。
极点极线10个二级结论
极点极线10个二级结论摘要：1.极点极线的概念2.二级结论的定义3.极点极线的10 个二级结论3.1 极点总是位于极线的中点3.2 极线的斜率等于极点连线斜率的负倒数3.3 极点是曲线上曲率最大的点3.4 极线是曲线上曲率最小的线段3.5 极点是曲线上速度最大的点3.6 极线是曲线上速度最小的线段3.7 极点是曲线上离心力最大的点3.8 极线是曲线上离心力最小的线段3.9 极点是曲线上向心加速度最大的点3.10 极线是曲线上向心加速度最小的线段正文：极点极线是数学和物理学中的一个重要概念，它用于描述曲线或轨道上的特殊点或线。
极点是曲线或轨道上的一个点，该点处的曲率最大。
而极线则是连接极点与曲线或轨道上其他点的线段，该线段的曲率最小。
在这篇文章中，我们将讨论极点极线的10 个二级结论。
首先，我们来看第一个结论：极点总是位于极线的中点。
这是因为，极点是曲线上曲率最大的点，而极线是连接极点与曲线上其他点的线段，所以极点必然位于极线的中点。
第二个结论是：极线的斜率等于极点连线斜率的负倒数。
这是因为，极线是曲线上曲率最小的线段，而斜率是曲率的倒数，所以极线的斜率等于极点连线斜率的负倒数。
第三个结论是：极点是曲线上曲率最大的点。
这是因为，曲率是描述曲线弯曲程度的量，而极点是曲线上弯曲程度最大的点。
第四个结论是：极线是曲线上曲率最小的线段。
这是因为，曲率是描述曲线弯曲程度的量，而极线是连接极点与曲线上其他点的线段，所以极线的曲率最小。
第五个结论是：极点是曲线上速度最大的点。
这是因为，速度是位移对时间的导数，而极点是曲线上位移变化最大的点，所以极点是曲线上速度最大的点。
第六个结论是：极线是曲线上速度最小的线段。
这是因为，速度是位移对时间的导数，而极线是连接极点与曲线上其他点的线段，所以极线的速度最小。
第七个结论是：极点是曲线上离心力最大的点。
这是因为，离心力是物体在曲线运动中受到的力，而极点是曲线上速度最大的点，所以极点是曲线上离心力最大的点。
极点极线在高考圆锥曲线试题中的应用
极点极线在高考圆锥曲线试题中的应用宋雅静㊀冯福存(宁夏师范学院数学与计算机科学学院ꎬ宁夏回族自治区固原７５６０００)摘㊀要:圆锥曲线是解析几何和高等几何的主要研究内容ꎬ近些年以高等几何知识为背景的几何试题频频出现在高考中.本文从高等几何中极点极线的角度ꎬ对近三年高考中的一些圆锥曲线问题的解法进行探究ꎬ为教师和学生提供参考.关键词:极点ꎻ极线ꎻ调和点列ꎻ调和线束ꎻ圆锥曲线中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１０－００３９－０３收稿日期:２０２３－０１－０５作者简介:宋雅静(１９９７－)ꎬ女ꎬ河南省新乡人ꎬ硕士研究生ꎬ从事中学数学教学研究ꎻ冯福存(１９７７－)ꎬ女ꎬ宁夏中卫人ꎬ副教授ꎬ从事几何学㊁矩阵理论及其应用研究.基金项目:宁夏自然科学基金项目资助(项目编号:２０２２ＡＡＣ０３３３４)ꎬ宁夏高等学校一流学科建设(教育学学科)研究项目资助(项目编号:ＮＸＹＬＸＫ２０２１Ｂ１０).㊀㊀许多高考数学试题都有高等数学的背景ꎬ其中ꎬ高等几何中的极点㊁极线与调和点列就是高考数学圆锥曲线试题命制的一个主要来源.因此ꎬ很多学者将高等几何的方法与初等几何联系起来解决问题.文献[１]中阐述了极点与极线的基本性质ꎬ指出极点㊁极线是圆锥曲线的基本特征ꎬ是圆锥曲线试题命制的背景ꎻ文献[２]中对极点与极线的概念进行了解读并且对衍生性质给予证明ꎬ最后将其运用到具体的高考真题中ꎻ文献[３]中对２０２０年北京高考真题的高等解法进行了探究.本文在前人研究的基础上ꎬ阐述极点与极线的基本理论ꎬ并且从极点㊁极线视角对２０２０年高考数学全国Ⅰ卷理科第２０题㊁２０２１年高考数学全国乙卷理科第２１题㊁２０２２年高考数学全国乙卷理科第２１题进行解决.１预备知识在平面上ꎬ由二元二次方程Ｆ(ｘꎬｙ)＝ａ１１ｘ２＋２ａ１２ｘｙ＋ａ２２ｙ２＋２ａ１３ｘ＋２ａ２３ｙ＋ａ３３＝０所表示的曲线叫做二次曲线ꎬ对应的矩阵为Ａ＝ａ１１ａ１２ａ１３ａ１２ａ２２ａ２３ａ１３ａ２３ａ３３æèçççöø÷÷÷.若Ａʂ０ꎬ则方程所表示的曲线为非退化的二次曲线ꎬ即圆锥曲线(椭圆㊁双曲线㊁抛物线).齐次坐标㊀笛卡儿坐标为(ｘꎬｙ)的点的二维齐次坐标(ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３)是指由任意适合ｘ１ｘ３＝ｘꎬｘ２ｘ３＝ｙ的三个数ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３组成的有序三数组(ｘ１ꎬｘ２ꎬｘ３)ꎬ其中ｘ３ʂ０.一点的齐次坐标有无数组.极点与极线的代数定义㊀已知圆锥曲线ａ１１ｘ２＋２ａ１２ｘｙ＋ａ２２ｙ２＋２ａ１３ｘ＋２ａ２３ｙ＋ａ３３＝０ꎬ则称平面内任意一点Ｐ０(ｘ０１ꎬｘ０２ꎬｘ０３)和直线ｌ:(ｘ０１ꎬｘ０２ꎬｘ０３)ａ１１ａ１２ａ１３ａ１２ａ２２ａ２３ａ１３ａ２３ａ３３æèçççöø÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０是圆锥曲线的一对极点与极线.极点与极线的几何定义㊀点Ｐ不是圆锥曲线９３上的点ꎬ过点Ｐ引两条割线依次交圆锥曲线于点ＥꎬＦꎬＧꎬＨꎬ连接ＥＨꎬＦＧ交于点Ｎꎬ连接ＥＧꎬＦＨ交于点Ｍꎬ则直线ＭＮ为点Ｐ对应的极线ꎬ同理直线ＭＰ为点Ｎ对应的极线ꎬ直线ＮＰ为点Ｍ的极线.为方便理解ꎬ本文以椭圆为例作图ꎬ如图１.图１特别地ꎬ若Ｐ是圆锥曲线上的点ꎬ则过点Ｐ的切线即为极线ꎻ圆锥曲线的焦点和准线恰巧是一组极点与极线.调和点列的定义㊀若同一直线上四点ＡꎬＢꎬＣꎬＤ的交比满足(ＡＣꎬＢＤ)＝ＡＢ ＣＤＣＢ ＡＤ＝－１ꎬ即ＡＣＣＢ＝ＡＤＤＢ时ꎬ称点ＣꎬＤ调和分割线段ＡＢꎬＡꎬＢꎬＣꎬＤ为调和点列.定理㊀点Ｐ不在圆锥曲线上ꎬ过点Ｐ的任一直线与该圆锥曲线交于ＡꎬＢ两点ꎬ与点Ｐ关于该圆锥曲线的极线交于点Ｑꎬ则ＡꎬＢꎬＰꎬＱ是调和点列.调和线束的定义㊀若ＡꎬＢꎬＣꎬＤ是调和点列ꎬ直线外一点Ｍ与它们的连线统称为调和线束ꎬ即直线ＭＡꎬＭＢꎬＭＣꎬＭＤ为一簇调和线束.调和线束的性质１㊀平面内若一条直线与调和线束中的一条平行而与其余三条相交ꎬ则相交线段被平分.调和线束的性质２㊀平面内若一条直线与调和线束都相交ꎬ且交于不同的四个点ꎬ则相应的交点也成调和点列.２在高考试题中的应用例１㊀(２０２０年高考数学全国Ⅰ卷理科第２０题)已知ＡꎬＢ分别为椭圆Ｅ:ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)的左㊁右顶点ꎬＧ为Ｅ上的顶点ꎬ其中ＡＧң ＧＢң＝８.Ｐ为直线ｘ＝６上的动点ꎬＰＡ与Ｅ上的另一交点为ＣꎬＰＢ与Ｅ的另一交点为Ｄ.(１)求Ｅ的方程ꎻ(２)证明:直线ＣＤ过定点.解析㊀(１)Ｅ的方程为ｘ２９＋ｙ２＝１.图２(２)如图２ꎬ设ＡＢ与ＣＤ交于点Ｍꎬ延长ＣＢꎬＡＤ交于点Ｑꎬ由极点㊁极线的几何定义可得点Ｍ和ＰＱ所在的直线是一对极点极线.由题意可知Ａ＝１９０００１０００－１æèççççöø÷÷÷÷.设极点Ｍ的坐标为(ｍꎬ０)ꎬ点Ｍ齐次坐标为(ｍꎬ０ꎬ１)ꎬ则ＰＱ所在的直线方程为(ｍꎬ０ꎬ１)１９０００１０００－１æèççççöø÷÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０.即ｘ＝９ｍ.因为Ｐ为直线ｘ＝６上的动点ꎬ则ｍ＝３２ꎬ即直线ＣＤ恒过定点(３２ꎬ０).例２㊀(２０２１年高考数学全国乙卷理科第２１题)已知抛物线Ｃ:ｘ２＝２ｐｙ(ｐ>０)的焦点为Ｆꎬ且Ｆ与圆Ｍ:ｘ２＋(ｙ＋４)２＝１上的点的距离的最小值为４.(１)求ｐꎻ(２)若点Ｐ在Ｍ上ꎬＰＡꎬＰＢ是Ｃ的两条切线ꎬＡꎬＢ是切点ꎬ求әＰＡＢ面积的最大值.解析㊀(１)由题意可得ｐ＝２.(２)如图３ꎬ由(１)可得抛物线Ｃ为ｘ２＝４ｙꎬ若点Ｐ为极点ꎬ则ＡＢ所在的直线为点Ｐ关于抛物线的极线ꎬ若动点Ｐ沿ｙ轴运动ꎬ则ＡＢʅｙ轴运动.设点Ｐ的齐次坐标为(０ꎬｍꎬ１)ꎬ由题意得０４Ａ＝１００００－２０－２０æèçççöø÷÷÷.则Ｐ所对应的极线方程为(０ꎬｍꎬ１)１００００－２０－２０æèçççöø÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０.即ｙ＝－ｍꎬ可得极点与极线在ｘ轴的两侧且到ｘ轴的距离相等.由此极点和极线之间的距离越大ꎬ所求三角形的面积越大ꎬ得ｍ＝－５时ꎬΔＰＡＢ的面积最大ꎬ此时ｘ２＝２０ꎬ解得ｘ＝ʃ５ꎬ即ＡＢ＝４５.所以ＳәＰＡＢ＝１２ˑ１０ˑ４５＝２０５.图３例３㊀(２０２２年高考数学全国乙卷理科第２１题)已知椭圆Ｅ的中心为坐标原点ꎬ对称轴为ｘ轴ꎬｙ轴ꎬ且过Ａ(０ꎬ－２)ꎬＢ(３２ꎬ－１)两点.(１)求Ｅ的方程ꎻ(２)设过点Ｐ(１ꎬ－２)的直线交Ｅ于ＭꎬＮ两点ꎬ过Ｍ且平行于ｘ轴的直线与线段ＡＢ交于点Ｔꎬ点Ｈ满足ＭＴң＝ＴＨңꎬ证明:直线ＨＮ过定点.解析㊀(１)椭圆方程为ｘ２３＋ｙ２４＝１.图４(２)如图４ꎬ若点Ｐ(１ꎬ－２)为极点ꎬ齐次坐标为Ｐ(１ꎬ－２ꎬ１)ꎬ由题意可知Ａ＝１３０００１４０００－１æèçççççöø÷÷÷÷÷.则极点Ｐ对应的极线方程为(１ꎬ－２ꎬ１)１３０００１４０００－１æèçççççöø÷÷÷÷÷ｘ１ｘ２ｘ３æèçççöø÷÷÷＝０.即ｙ＝２３ｘ－２ꎬ经验证点ＡꎬＢ在此极线上ꎬ即ＡＢ所在的直线即为点Ｐ的极线.连接ＡＭꎬ设ＭＰ与ＡＢ相交于点Ｑꎬ则ＰꎬＮꎬＱꎬＭ为调和点列ꎬ所以ＡＰꎬＡＢꎬＡＭꎬＡＮ为调和线束ꎬＭＴ为截线ꎬ因为ＭＴң＝ＴＨңꎬ所以Ｔ为ＭＨ的中点ꎬ由调和线束的性质可得ＭＨʊＡＰꎬ在射影平面内ꎬＭＨ与ＡＰ相交于无穷远点ꎬ连接ＡＮꎬＡＮ的延长线必然交于点Ｈꎬ此时ꎬＡꎬＮꎬＨ三点共线ꎬ即直线ＨＮ过定点Ａ.高考圆锥曲线压轴题普遍是学生思维的难点和计算的痛点ꎬ在解题时容易出错.如果能从更高的角度去认识和分析它ꎬ有助于学生形成对问题的深刻理解并掌握问题的本质ꎬ在解决问题时直入主题ꎬ减少运算ꎬ从而轻松解题ꎬ还为之后的高等几何的学习甚至工作奠定相应的理论和思维基础ꎬ实现真正意义上的素质教育ꎻ有助于教师把握题目的设计意图和本质ꎬ增强学科知识储备ꎬ提高学科专业素质ꎬ更好地服务教学.参考文献:[１]王文彬.极点㊁极线与圆锥曲线试题的命制[Ｊ].数学通讯ꎬ２０１５(０８):６２－６６.[２]于涛.极点与极线视角下的高考圆锥曲线试题[Ｊ].中学数学研究(华南师范大学版)ꎬ２０１９(０１):１３－１６.[３]柏任俊ꎬ贾春花ꎬ毛井.高等几何背景下的解析几何试题探究[Ｊ].中学数学ꎬ２０２２(０９):２０－２２.[责任编辑:李㊀璟]１４。
极点极线10个二级结论
极点极线10个二级结论一、极点极线的定义极点极线，又称极线，是平面几何中的一种曲线。
在平面直角坐标系中，极点极线可以表示为方程ρ=a(θ-φ)cos(α-β)，其中ρ表示极径，θ和φ分别表示极角，α和β表示极线与极轴的夹角。
极点极线是具有特殊对称性和形状的曲线，它在数学领域具有重要的地位。
二、极点极线的十个二级结论1.极点极线的性质：极点极线具有以下性质：（1）极点极线与极轴的夹角为α-β；（2）极点极线上的点到极点的距离相等；（3）极点极线上的点关于极点对称的点也在极点极线上。
2.极点极线与直线的关系：极点极线可以看作是直线的一种特殊形式，即极角为β的直线。
因此，极点极线与直线具有很多相似的性质。
3.极点极线的应用：极点极线在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用，如在导航定位、天文学、雷达技术等方面具有重要意义。
4.极点极线的计算方法：极点极线的计算方法主要包括解析法、参数法和极坐标法等。
通过这些方法，可以求解极点极线的方程、极径和极角等参数。
5.极点极线的几何意义：极点极线在几何中具有重要的意义，它表示了平面上所有到极点距离相等的点。
此外，极点极线还与极径、极角等概念密切相关。
6.极点极线的实例解析：例如，给定极点极线的方程ρ=a(θ-φ)cos(α-β)，可以通过求解该方程得到极点极线的具体形状和位置。
7.极点极线在实际生活中的应用：极点极线在实际生活中的应用包括导航系统、定位技术、雷达探测等，这些应用基于极点极线的特性来确定目标的位置和距离。
8.极点极线与其他数学概念的关联：极点极线与直线、曲线、圆等其他数学概念密切相关。
通过研究极点极线，可以更好地理解这些概念的性质和关系。
9.极点极线的教学策略：在教学过程中，教师可以通过讲解极点极线的定义、性质和应用，引导学生逐步掌握极点极线的相关知识。
同时，注重理论与实践相结合，提高学生的实际应用能力。
10.极点极线的拓展与延伸：极点极线的研究不仅可以拓展到高维空间，如极点极面、极点极曲线等，还可以与其他数学领域相结合，如微积分、代数几何等。
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2.2.2 极点与极线，配极原则
（一）作图原理
定理（配极原则）如果P 点的极线通过Q 点，则Q 点的极线也通过P 点。
证明：这二阶曲线的方程为0=S ，P 点的坐标为)(3,2,1p p p ，Q 点的坐标为),,(321q q q ，于是，P 点关于0=S 的极线为0=p S ，Q 点关于0=S 的极线为0=q S ，因P 点的极线通过Q 点，所以有0=pq S ，但qp pq S S =。
所以有0=qp S ，这表示Q 点的极线0=q S 通过P 点。
推论1 两点连线的极点是此二点极线的交点；两直线交点的极线是此二直线极点的连线。
推论2 共线点的极线必共点；共点线的极点必共线。
推论3 设PB PA ,为二次曲线的切线，若其中B A ,为切点，则AB 为P 点的极线. 定义 3.3 如果一个三点形的三个顶点恰是对边的极点，则此三点形叫做自极三点形。
（二）作图举例
例 1 、一个完全四点形的四哥顶点若在一条二阶曲线上，则这个完全四点形的对边三点形的顶点是其对边的极点。
证明：如下图10，设XYZ 是完全四点形ABCD 的对边三点形，于是1),(,1),(−=−=XF AD XE BC ，所以F E ,均为关于二阶曲线的共轭点，从而直线EF 即直线YZ 是X 的极线。
同理，XY 是Z 的极线，由配极原则知，XZ 是Y 的极线
例2、已知点P 不在二阶曲线)(c 上，求作P 点关于)(c 的极线。
解：过P 点作)(c 的两条割线，与)(c 分别交于B A ，与D C ，，如下图所示，设AC 与BD 交于点Q ，AD 与BC 交于点R ，则直线QR 就是P 点的极线。
事实上，由例
1可知PQR 是自极三点形。