用圆锥曲线极点与极线的性质解题
ｆ竿一ｙ，一一，１
Ｐ（Ｔ。，一１），代入极线方程得：＜
Ｉ—＇／７２：广Ｘ（Ｉ—ｙ２一一１．
两式相减得：塑１二竽堕一（ｙ。一ｙ：）． Ｌ
所以讳·蕊一Ｔ。（ｚ：一ｚ。）一２（弘一ｙ１）一ｏ．
（２）设ＡＢ方程：ｙ一１一ｋｘ，则ＡＢ对应的极点为（２ｋ， １）．把ＡＢ代人Ｃ：，一４ｙ．
物线上的两动点，且葡一Ａ商
（Ａ＞Ｏ）．过Ａ、Ｂ两点分别作抛 物线的切线，设其交点为Ｐ．
（１）证明讳·蕊为定值；
（２）设△ＡＢＰ的面积为Ｓ，
写出ｓ—ｆ（２）的表达式，并求Ｓ
ｋ∥ 中学生数理亿．掌饼版
＼Ｖ
１
Ｐ
的最小值．
图１
解析：（１）设点Ｐ（ｘ。，Ｙ（，），Ａ（ｘｌ，Ｙ１），Ｂ（ｘ２，Ｙ２），三点对应
的极线方程分别是：ｙ一一ｌ，ｙ一等一Ｍ（ｉ一１，２），Ａ，Ｆ·Ｂ三
例２已知直线等一帅ｙ一１与双曲线虿０７＂－一Ｙ２—１没有
一２
公共点，则等一Ｓｏ的取值范围是——．
解析：因为极线等一ｙｏｙ一１与双曲线等一Ｙ２—１没有
公共点，所以对应极点（ｚ。，ｙ。）在双曲线内部，所以有等一
，．２
Ｙｊ＞１，故等一ｙ：的取值范围是（１，＋。。）．
例３如图１，已知抛物线
，
ｚ！一４ｙ的焦点为Ｆ，Ａ、Ｂ是抛
万方数据
解析：第一个Ｉ司题，依题意知，点Ｐ在椭圆内部．圊出图
形，由数形结合可得范围为［２，啦）．
第二个问题，是一道涉及点、直线与圆锥曲线的位置关系 的判定的考题．其实是非常容易做错的题目．因为Ｐ（ｚ。，Ｙ。）
一？
在椭圆Ｃ：寻＋ｙ２—１的内部，所以很多学生误以为直线与椭
圆一定有两个交点，但直线下ＸＯＸ＋ＹｏＹ一１并不经过
由弦长公式得：１ＡＢＩ一４（１＋ｋ２），
．。．ｓ＾∞Ｐ一２（１＋女２）√４（１＋ｋ２）． 显然女一０时，Ｓ取最小值为４．
作者单位：江苏省丹阳市珥陵高级中学
簿
用圆锥曲线极点与极线的性质解题
作者： 作者单位： 刊名：
英文刊名： 年，卷(期)：
黄彩红 江苏省丹阳市珥陵高级中学
中学生数理化（学研版） MATH PHYSICS&CHEMISTRY FOR MIDDLE SCHOOL STUDENTS(SENIOR HIGH SCHOOL EDITION) 2013(10)
论．鉴于这个原因，笔者试着对极点与极线的知识作了一些整
理，希望对大家有所帮助．
１．极点与极线的定义
如果曲线切于Ａ，Ｂ两点的切线相交于Ｐ点，那么Ｐ点称
为直线ＡＢ关于该曲线的极点（ｐｏｌｅ）。直线ＡＢ称为Ｐ点的极
线（ｐｏｌａｒ）．极点和极线的思想是曲线上点和过该点切线的思
想的一般化．任何一点关于一般的代数曲线都有一条极线，每
Ｙｏｙ一声（＿ｒ—｝Ｔｏ）． 其他形式的圆锥曲线标准方．圆锥曲线极点和极线的几何性质
性质１：圆锥曲线中极线共点于Ｐ，则这些极线相应的极 点共线于点Ｐ相应的极线，反之亦然．称为极点与相应极线对
偶性．
性质２：已知点和直线是圆锥曲线的一对极点与极线． （１）若极点在曲线上，则极线与曲线的相切于点；（２）若极点在
曲线内，则极线与曲线的相离；（３）若极点在曲线外，则极线与 曲线的相交．
性质３：
Ｉ．圆锥曲线过定点（极点）弦的端点之切线交点的轨迹 为直线（极线）；
Ⅱ．圆锥曲线过定点（极点）的弦ＡＢ的中点向极线作垂
线交点为Ｐ．则ＰＡ，ＰＢ与圆锥曲线相切，反之亦然；
Ⅲ．圆锥曲线极线上的任意一点Ｐ与极点Ｆ连线交圆锥
曲线于Ａ、Ｂ的两点测胤＝甜；
引用本文格式：黄彩红 用圆锥曲线极点与极线的性质解题[期刊论文]-中学生数理化（学研版） 2013(10)
Ｐ（Ｘ０，ｙｏ）．还有学生看到竿＋ｙｏｙ一１这样的结构，认为是 切线，所以判断有一个公共点．事实上，下Ｊ。ｏ ３１＂＋ｙｏＹ一１是
～２
Ｐ（ｚ。，Ｙ。）对应的极线，Ｐ（ｚ。，Ｙ。）在椭圆ｃ：等＋ｙ２—１的内 部，此直线与椭圆相离，故交点数为０个，问题能够快速解决．
而常规方法只能联立方程用判别式判断，计算比较复杂．
用圆锥曲线极点与极线的性质解题
■黄彩红
由于中学数学教材中没有提及极点与极线，因而大多数
老师和学生对此“视而不见”，并未进行深入探讨，但事实上，
极点与极线的身影随处可见，只是没有被点破而已．如果我们 能够了解一些圆锥曲线的极点与极线知识，不仅可以帮助我
们更快地找到解决问题的方向，还可以帮助我们快速得到结
Ⅳ．过圆锥曲线特定直线（极线）上任意一点引圆锥曲线 的切线，则切点弦直线恒过定点（极点）．
上述证明可参考《高等几何》，此处不再展开，这里重在说 明其应用．
例１ 已知椭圆ｃ：每＋ｙ２—１的两焦点为，点Ｐ（如，Ｙｏ）
满足．则１ＰＦ，ｌ＋ｌＰＦ。ｊ的取值范围为——，直线等＋ｙｏｙ＝
１与椭圆Ｃ的公共点个数——．
一条直线都有一个极点．
２．标准方程下圆锥曲线极点与相应极线的方程
，２
．．２
椭圆争＋寺一１，则点ｐ（ｘ。，Ｙ ｃ，）对应的极线方程为：
掣＋掣一１．
Ⅱ。
Ｄ”
双曲线≥一ｙ６２—１，则点ｐ（ｚ。，Ｙ。）对应的极线方程为：
Ｘｏ工 口２
ｙｏＹ一１
ｂ２
１‘
抛物线Ｙ２＝２ｐｘ。则点ｐ（氙，Ｙ。，）对应的极线方程为：
圆锥曲线极点极线定理
圆锥曲线极点极线定理圆锥曲线极点极线定理1. 引言圆锥曲线是平面解析几何中的重要概念之一，它包括椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
在研究圆锥曲线的性质时，极点和极线是不可避免的概念。
本文将介绍圆锥曲线的极点极线定理，该定理是描述圆锥曲线中极点和极线之间关系的重要结论。
2. 极点和极线的定义在平面直角坐标系中，设有一条直线L和一个点P(x0,y0)。
若从P到L上每一点所引的直线与L垂直，则称P为L的极点，L为P的极线。
3. 圆锥曲线的定义设有一个平面内固定点F（称为焦点）和一条固定直线d（称为准线）。
对于任意一点P，分别以PF和PD（D为d上任意一点）为半径作两个圆，并将这两个圆相切于P处。
则所有这样的P所构成的集合称为圆锥曲线。
4. 圆锥曲线中极点与极轴间关系对于任意一条圆锥曲线，设其焦点为F，准线为d，P为任意一点，则有以下结论：（1）若P在焦点F上，则其极线为准线d；（2）若P在准线d上，则其极线为过该点且垂直于准线的直线；（3）若P不在焦点F和准线d上，则其极轴为PF的中垂线。
5. 圆锥曲线中极轴与极径间关系对于任意一条圆锥曲线，设其焦点为F，准线为d，O为坐标系原点，则有以下结论：（1）若O在焦点F上，则其极径是任意一条过O的直线；（2）若O在准线d上，则其极径是与准线垂直且经过O的直线；（3）若O不在焦点F和准线d上，则其极径是从O出发经过圆锥曲线上任意一点P的直线。
6. 圆锥曲线中两个互异的定理对于任意一条圆锥曲线，设其焦点为F，准线为d，P(x,y)为任意一点。
则有以下两个互异的定理：（1）以FP和PD分别为半径的两个圆相交于点P，则P在圆锥曲线上；（2）以FP和PD分别为半径的两个圆相切于点P，则P在圆锥曲线上。
7. 结论综上所述，圆锥曲线极点极线定理是描述圆锥曲线中极点和极线之间关系的重要结论。
在研究圆锥曲线的性质时，该定理具有重要意义。
高中数学圆锥曲线技巧之极点与极线
高中数学圆锥曲线技巧之极点与极线在高中数学的学习中，圆锥曲线是一个比较复杂但又非常重要的内容。
其中，极点与极线是圆锥曲线中一个较为抽象但又极具深度的概念。
在本文中，我们将深入探讨高中数学中关于极点与极线的技巧，并通过具体的例子来帮助大家更好地理解和运用这一知识。
极点与极线是圆锥曲线中的重要概念，它们的理解和运用可以帮助我们更好地解题和应用数学知识。
在接下来的内容中，我们将从简单到复杂，由浅入深地介绍极点与极线的相关知识，让大家能够更直观地理解这一概念。
让我们从极点的定义和性质入手。
极点是在圆锥曲线上的一个特殊点，它具有一定的性质和特点。
在直角坐标系中，对于椭圆、双曲线和抛物线而言，这些曲线上都存在极点。
具体来说，在椭圆和双曲线上，极点是无限远处的点，而在抛物线上，极点是定点。
通过对极点的性质进行深入了解，我们可以更好地应用这一知识解决问题。
让我们了解极线的概念及其性质。
极线是与极点对应的直线，它们之间存在着一定的几何关系。
在椭圆和双曲线的情况下，极线是通过极点并且与曲线相切的直线，而在抛物线的情况下，极线是通过极点并且与对称轴垂直的直线。
通过对极线的性质进行深入研究，我们可以更好地掌握圆锥曲线相关问题的解题技巧。
接下来，让我们通过实例来详细讨论极点与极线的应用技巧。
以椭圆曲线为例，假设我们需要确定椭圆上关于极点和极线的一些特定问题。
在解题过程中，我们可以先确定椭圆的极点，然后求出与极点相关的极线方程，进而利用极线的性质来解决具体的问题。
通过实例的具体讲解，我们可以更好地理解并掌握极点与极线的运用技巧。
总结回顾一下，极点与极线是圆锥曲线中的重要概念，它们的理解和运用可以帮助我们更好地解题和应用数学知识。
通过对极点与极线的深入讨论和实例分析，我们能够更全面、深刻和灵活地理解这一知识，并运用于实际问题中。
对于我个人来说，极点与极线的学习过程不仅仅是对圆锥曲线知识的掌握，更是对数学思维和解题能力的提升。
2023年高考数学圆锥曲线极点极线的运用
2023年高考数学圆锥曲线极点极线的运用圆锥曲线极点极线是数学中的一个重要概念，其在高考数学中也经常出现。
2023年的高考数学考试中，圆锥曲线极点极线的运用将成为一道热点题目。
本文将围绕这一话题展开探讨，详细介绍圆锥曲线极点极线的相关概念和运用，希望能为广大考生提供一些帮助。
首先，我们来了解一下圆锥曲线极点极线的基本概念。
在数学中，圆锥曲线是指由平面上的一点到两条固定直线的距离之比为定值的轨迹。
而圆锥曲线的极点则是指曲线上的一个特殊点，它与两条固定直线的距离之比为无穷大，即该点到两条直线的距离为无穷大。
极线则是指与曲线上所有点的极距之积为定值的直线。
圆锥曲线极点极线的运用涉及到极坐标系、直角坐标系、参数方程等多种数学方法，需要考生熟练掌握这些知识点。
在高考数学中，圆锥曲线极点极线的运用主要包括以下几个方面：一是求圆锥曲线的极点和极线，计算极点的坐标以及确定其对应的极线方程；二是利用极点极线性质解决实际问题，如求解曲线上某一点到两条直线的距离，或者确定曲线上满足某些条件的点的位置等；三是应用极点极线的性质进行曲线的绘制和分析，包括确定曲线的形状、性质以及与其他曲线的关系等。
考生在备战高考数学时，应该针对这些方面进行有针对性的复习和练习，以提高自己对圆锥曲线极点极线的理解和应用能力。
在解题过程中，要特别注意以下几点：首先是要善于观察和分析问题，根据题目给出的条件，合理选择适当的数学方法和工具，尤其是对于涉及到极坐标系和参数方程的问题，要灵活运用相关知识进行分析和求解；其次是要善于化繁为简，将问题进行适当的简化和转化，以便更好地把握问题的本质和核心，从而更加有效地解决问题；最后是要善于总结和归纳，掌握圆锥曲线极点极线的一般性质和规律，以便在解决新问题时能够迅速找到解题思路和方法。
总的来说，圆锥曲线极点极线的运用在高考数学中占据着重要地位。
考生在备考时要加强对这一知识点的理解和掌握，多做相关题目，积累解题经验，以应对考试中的各种可能的考查。
用圆锥曲线极点与极线的性质解题
Ⅳ．过圆锥曲线特定直线（极线）上任意一点引圆锥曲线 的切线，则切点弦直线恒过定点（极点）．
上述证明可参考《高等几何》，此处不再展开，这里重在说 明其应用．
例１ 已知椭圆ｃ：每＋ｙ２—１的两焦点为，点Ｐ（如，Ｙｏ）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
满足．则１ＰＦ，ｌ＋ｌＰＦ。ｊ的取值范围为——，直线等＋ｙｏｙ＝
１与椭圆Ｃ的公共点个数——．
一条直线都有一个极点．
２．标准方程下圆锥曲线极点与相应极线的方程
，２
．．２
椭圆争＋寺一１，则点ｐ（ｘ。，Ｙ ｃ，）对应的极线方程为：
掣＋掣一１．
Ⅱ。
Ｄ”
双曲线≥一ｙ６２—１，则点ｐ（ｚ。，Ｙ。）对应的极线方程为：
Ｘｏ工 口２
ｙｏＹ一１
ｂ２
１‘
抛物线Ｙ２＝２ｐｘ。则点ｐ（氙，Ｙ。，）对应的极线方程为：
Ｐ（Ｘ０，ｙｏ）．还有学生看到竿＋ｙｏｙ一１这样的结构，认为是 切线，所以判断有一个公共点．事实上，下Ｊ。ｏ ３１＂＋ｙｏＹ一１是
～２
Ｐ（ｚ。，Ｙ。）对应的极线，Ｐ（ｚ。，Ｙ。）在椭圆ｃ：等＋ｙ２—１的内 部，此直线与椭圆相离，故交点数为０个，问题能够快速解决．
而常规方法只能联立方程用判别式判断，计算比较复杂．
引用本文格式：黄彩红 用圆锥曲线极点与极线的性质解题[期刊论文]-中学生数理化（学研版） 2013(10)
点共线．由极点与极线性质知相应的三极线共点于Ｐ．
ｆ竿一ｙ，一一，１
Ｐ（Ｔ。，一１），代入极线方程得：＜
Ｉ—＇／７２：广Ｘ（Ｉ—ｙ２一一１．
两式相减得：塑１二竽堕一（ｙ。一ｙ：）． Ｌ
所以讳·蕊一Ｔ。（ｚ：一ｚ。）一２（弘一ｙ１）一ｏ．
（２）设ＡＢ方程：ｙ一１一ｋｘ，则ＡＢ对应的极点为（２ｋ， １）．把ＡＢ代人Ｃ：，一４ｙ．
用圆锥曲线极点与极线的性质解题
用圆锥曲线极点与极线的性质解题
邹生书
【期刊名称】《河北理科教学研究》
【年(卷),期】2011(000)001
【摘要】@@ 本文介绍圆锥曲线极点和极线的几何性质在解题中的应用,以飨读者.1 圆锥曲线极点和极线的定义已知圆锥曲线C:Ax2+Cy2+2Dx+2Ey+F=0,则称点P(x0,y0)和直线l:Ax0x+Cyoy+D(x+x0)+E(y+y0)+F=0是圆锥曲线C的一对极点和极线.
【总页数】2页(P13-14)
【作者】邹生书
【作者单位】湖北省阳新县高级中学,435200
【正文语种】中文
【相关文献】
1.用圆锥曲线极点与极线的性质解题 [J], 黄彩红
2.简述与圆锥曲线的极点和极线有关的性质 [J], 彭世金
3.高观点下再看问题本质——圆锥曲线极点与极线的一个性质应用 [J], 黄嘉欣
4.探解圆锥曲线问题的有效工具:极点与极线的性质 [J], 项燕英
5.用圆锥曲线极点与极线的性质解题 [J], 黄彩红;
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圆锥曲线的极点与极线问题
圆锥曲线的极点与极线问题圆锥曲线的极点与极线问题导言圆锥曲线是数学中的一个重要分支，其所涵盖的概念和性质有着深远的研究价值。
其中，圆锥曲线的极点与极线问题是一个具有特殊意义的主题。
在本文中，我将以深度和广度的方式来探讨圆锥曲线的极点与极线，希望能够使读者对这一问题有全面、深刻和灵活的理解。
一、圆锥曲线的基本定义与性质1.1 什么是圆锥曲线圆锥曲线是由一个平面与一个平行于它的不相交的直线切割圆锥所得到的曲线。
根据切割的方式和角度不同，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三类。
1.2 圆锥曲线的焦点与离心率圆锥曲线的焦点是指在其上的特殊点，其具有特殊的几何性质。
离心率是一个衡量圆锥曲线形状的参数，也是圆锥曲线性质的重要指标。
二、极点与极线的基本概念2.1 极点的定义与性质在平面上给定一个圆锥曲线，其直角坐标系中的原点O被称为该圆锥曲线的极点。
极点在圆锥曲线的研究中具有重要的地位，它与曲线的各种性质密切相关。
2.2 极线的定义与性质对于圆锥曲线上的任意一点P，以极点为中心，作直线OP，称为圆锥曲线的极线。
极线是一个与极点相关的直线，它与曲线的位置和特性有着密切的联系。
三、不同类型曲线的极点与极线问题3.1 椭圆的极点与极线对于椭圆，其极点为原点O，极线为过原点O的直线。
椭圆的极点处于其主轴的中点位置，其极线是关于两个焦点的对称直线。
3.2 双曲线的极点与极线对于双曲线，其极点为原点O，极线为过原点O的渐近线。
双曲线的极点处于离心率之间的位置，其极线是关于两个焦点的渐近线。
3.3 抛物线的极点与极线对于抛物线，其极点为其焦点，极线为过焦点的直线。
抛物线的极点位于抛物线的顶点位置，其极线是关于焦点的直线。
四、个人观点与理解圆锥曲线的极点与极线问题是一个十分有趣且具有挑战性的数学问题。
通过研究圆锥曲线的极点与极线，我们能够更深入地理解曲线的性质和特性。
极点是曲线的重要几何特征，它能够从不同的角度揭示出曲线的各种性质。
圆锥曲线的极点与极线的重要结论_罗碎海
y = ax 与曲线 y = mxα (m > 0) 公共点个数．
分析：当 x > 0 时，曲线 y = ax 与 y = mxα (m > 0) 的公共点
个数等价于方程 ax = mxα 在 (0, +∞) 上的根的个数，等价于为
x
方程 aα = α m x 在 (0, +∞) 上的根的个数．
x
如图 6，在同一坐标系中作出 y = aα 与 y = α m x 的图象，
［Ｊ］．2010. (4)．
40
中学数学研究
2014 年第 10 期（上）
圆锥曲线的极点与极线的重要结论
华南师范大学附属中学 （广州，510630） 罗碎海
文【1】很值得一读，原文作者的探究思想与技巧方法启
迪我们的思维，作者的严格推理与运算毅力震撼我们的心
灵。他由 2012 年北京卷解析几何题探究出 5 个优美的结论，
而且 5 个结论的证明过程使用高中解析几何的初等方法。
图7
M (x1,y1)、N(x2,y2) ，其中
m > 0,y1 > 0,y2 < 0.
（1）设动点 P 满足 PF2 - PB2 = 4 ,求点 P 的轨迹；
（2）设
x1
=
-2,
x2
=
-
1 3
，求点
T
的坐标；
（3）设 t = 9 ,求证：直线 MN 必过 x 轴上的一定点（其坐标
与 m 无关）。
分析（3）：因为点（9，m）关于椭圆的极线为 x+y=1,此极线
锥曲线①相交，过交点作圆锥曲线
①的切线，两切线交点的轨迹方程
图3
为直线②；过直线②上任一点作圆锥曲线①两切线（存在的
漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法
抛物线 ｘ ２ ， ＝ Ｙ 则点 Ｐ 二 ＇ｏ 对应的极线方程 ２ Ｐ （。ｙ ） 为：（ 一ｐｙ ｏ ＝ ０ 二二 （ ＋Ｙ ） ； 若抛物线 犷 二２ｘ 则点 Ｐ 二 ＋０ 对应的极线方 ｐ， （（ｙ） ， 程为：ｏ ＂（ ＋二 ） ０ ＹＹ ｐ二 。 ＝ ． － 命题 ２ 圆锥曲线中极线共点于 尸 则这些极线相 ， 应的极点共线于点 尸相应的极线． 反之亦然． 称为极点 与相应极线对偶性． 如题 １ Ａ 图，Ｂ绕焦点Ｆ转动， Ａ 则 Ｂ相应的极点 Ｐ
中学数学教学
相交， 两个交点的纵坐标为 Ｙ ．２求 ｌ ， Ｙ
２０ 年第 ６ ０６ 期
证Ｙ ２ ． Ｉ＝ Ｙ －厂
作为课本一习题，０１年全 国卷 ２０
ｉ 题以此题为背景命题， ｓ 利用此结论
可迅速证 明该题． （０ １年 全 国 卷 理 科 １ ２０ ９题 ） 设 抛 物 线 Ｙ ２＝
、 Ｙｉ一 Ｙ２）
所以 声＂ 方＝ｘ （ ： １ 一 ２ ｙ 一 Ｙ ）“ ０ Ｆ Ａ ｐｘ 一ｘ ） （ ： １ ．
（） 扫方程为，－１ ｘ 逆用命题 １ Ｂ对 ２ 设Ａ Ｙ ＝ｋ ， 得Ａ
应 的极点为（ｋ 一１ ， ＝ｋ 十１ ２ ， ）把ｙ ｘ 代人 ｘ ＝ 并由 ２ ｙ ４
２ ３ 竞赛中抛头露面， ． 显山露水
２ｘ ｐ ０ 的焦点为 Ｆ 过焦点 Ｆ的直线交抛物线于 ｐ （ ＞ ） ， Ａ， Ｂ两点 ， Ｃ在抛物线的准线上， Ｂ〕 点 且 （平行ｘ轴， 证
明直线 Ａ Ｃ过原点． 下面利用命题 １２ ， 给出例 １ 的证明：
标 （ ２ 为线上点 点 对 的线 为奋 ） ，动， 尸应极 ，直 Ｐ 则 Ａ必（ ２ Ｂ过２卜 １ 设Ｂ 程 一 （ ， 恤１ 方：卜‘ ）用 ， Ａ的 ， 一合 逆 得 Ａ 应极 设 （，一） Ａ 人； Ｂ 的杆可为 夸 ２把Ｂ Ｃ 对 夸 ・ 代
圆锥曲线中的极点极线问题(学生版)-高中数学
圆锥曲线中的极点极线问题考情探究命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等或偏难，分值为5-17分【备考策略】1.理解、掌握圆锥曲线极点极线的定义2.理解、掌握圆锥曲线的极点极线问题及其相关计算【命题预测】本节内容是新高考卷的常考内容，小题和大题都会作为载体命题，同学们要会结合公式运算，需强化训练复习知识讲解1.极点极线的定义如图,设P 是不在圆雉曲线上的一点,过P 点引两条割线依次交圆锥曲线于四点E ,F ,G ,H ,连接EH ,FG 交于N ,连接EG ,FH 交于M ,则直线MN 为点P 对应的极线.若P 为圆雉曲线上的点,则过P 点的切线即为极线.同理,PM 为点N 对应的极线,PN 为点M 所对应的极线.因而将△MNP 称为自极三点形.设直线MN 交圆锥曲线于点A ,B 两点,则P A ,PB 恰为圆锥曲线的两条切线.2.其他定义对于圆锥曲线C :Ax 2+Bxy +Cy 2+Dx +Ey +F =0,已知点P x 0,y 0 (非中心)及直线l :Ax 0x +B ⋅x 0y +y 0x 2+Cy 0y +D ⋅x +x 02+E ⋅y 0+y 2+F =0,则称点P x 0,y 0 是直线l 关于圆锥曲线C 的极点,直线l 称为点P 关于圆锥曲线C 的极线。
配极原则:共线点的极线必共点,共点线的极点必共点。
3.替换原则x0x →x 2,x 0y +y 0x 2→xy ,y 0y →y 2,x +x 02→x ,y +y 02→y .4.极点极线的几何意义(以椭圆为例)已知椭圆方程:x2a2+y2b2=1,设点P x0,y0的极线l:x0xa2+y0yb2=1.(1)当点P x0,y0在椭圆上时,极线l是以点P为切点的切线。
(极点在极线上)(2)当点P在椭圆外时,极线l与椭圆相交,且为由P点向椭圆所引切线的切点弦所在直线。
(3)当点P在椭圆内时,极线l与椭圆相离,极线l为经过点P的弦在两端点处的切线交点的轨迹,且极线l与以点P为中点的弦所在的直线平行。
压轴题型05 圆锥曲线中的极点、极线问题(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练
压轴题05圆锥曲线中的极点、极线问题“极点极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点极线是圆锥曲线的一种基本特征，自然成为命题人命题的背景知识和方向，可以肯定的说“极点极线”为背景的考题是出题人思维中的定势方向，学生掌握了极点极线的相关知识，就可以从“高观点下”看待高中圆锥曲线的相关内容，更容易抓住问题的本质，虽然高考解答题不能用相关结论，但是我们可以将它作为辅助手段，快速的找到正确答案，然后再用初等方法写过程解题。
也就是说只有熟练“二级结论”才能明确运算方向、提高运算效率.○热○点○题○型1椭圆中的极点与极线问题○热○点○题○型2双曲线中的极点与极线问题○热○点○题○型3抛物线中的极点与极线问题极点极线的定义4.极点极线的配极性质①点P关于二次曲线ϕ的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于二次曲线ϕ的极线q 经过点P ．②直线p 关于二次曲线ϕ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于二次曲线ϕ的极点Q 在直线p 上．①②说白了，就是点P 和点Q 是二次曲线的一组调和共轭点．1.若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点11,2⎛⎫⎪⎝⎭作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是．解利用替换法则，易得直线AB 为：112x y +=，故1c =，2b =，椭圆方程是22154x y +=2.如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC 、BD ，设内层椭圆方程为()222210x y ab a b +=>>，若直线AC 与BD 的斜率之积为14-，则椭圆的离心率为()．A ．12B ．22C ．D ．34解(1)法一选C ；不妨特殊化，设切线BD 关于y 轴的对称切线为BE ，令切线AC 和BE 恰好重合为切线AB ，则222114b e a ==-，即32e =．法二设11(,)C x y ，22(,)D x y ，外层椭圆为()22222211x y m m a m b+=>，则(,0)A ma，(0,)B mb ．椭圆在点C 处的切线为：11221xx yy a b +=，代入(,0)A ma ，可得1ax m=，1y =；椭圆在点D 处的切线为：22221xx yy a b +=，代入(0,)B mb ，可得2bym=，2x =-因此，2244221212224421212114ACBD b x b x x x b b b k k e a y a y a y y a a ⎛⎫=--===-=-=-⎪⎝⎭ ，即32e =．法三设直线AC 为：()y k x ma =-，利用等效判别式：222222a k b k m a +=，解得AC k =；同理可得：BDk a=，因此，2214AC BDbk ka=-=-．3.如图，已知A、B分别为椭圆()222210x y a ba b+=>>的右顶点和上顶点，直线l∥AB，l与x轴、y轴分别交于C、D两点，直线CE、DF为椭圆的切线，则CE与DF的斜率之积CE DFk k等于()．A．22ab±B．222a ba-±C．22ba±D．222a bb-±ABCDyxOABCDyEFO xl解选C；不妨在第一象限，令CD与该椭圆相切于点H，则切点F与H关于y轴对称，切点E与H关于x轴对称，此时有22CE DFbk ka=．4.如图，O是坐标原点，过(,0)E p的直线分别交抛物线22(0)y px p=>于A、B两点，直线BO与过点A平行于x轴的直线相交于点M，过点M与此抛物线相切的直线与直线x p=相交于点N．则22ME NE-=()．A．22p B．2p C．4p D．pyxO EN BAM答案选A．法一设211,2yA yp⎛⎫⎪⎝⎭，222,2yB yp⎛⎫⎪⎝⎭，则直线AB的方程为：1212()2y y y px y y+=+，代入点E可得：2122y y p=-．直线OB的方程为：22py xy=，令1y y=，可得x p=-，即点M的坐标为1(,)p y-．设3(,)N p y，则22222134ME NE p y y-=+-，只需要再得到一个关于1y、3y的式子即可．直线MN的两点式方程为：1313()2()0y y x py p y y-+-+=，与抛物线方程联立：2221313()42()0y y y p y p y y-+-+=，令2221313(4)4()2()0p y y p y y ∆=+-+= ，可得222132y y p -=-，故2222ME NE p -=．法二利用到点00(,)M x y 对抛物线22y px =的双切线方程为：[]2220000(2)(2)()y px y px yy p x x --=-+，代入点1(,)M p y -、3(,)N p y ，可得：[]222223131(2)(2)()y p y p y y p p p -+=--，解得222132y y p -=-．5.设a 、b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过2(,)A a a ，2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为()．A ．0B ．1C ．2D ．3解易知直线AB 的方程为cos sin 0y x θθ+=，又双曲线的渐近线为cos sin x y θθ=±，则直线AB 为双曲线的渐近线，故选A ．6.过椭圆22194x y +=上一点M 作圆222x y +=的两条切线，点A 、B 为切点．过A 、B的直线l 与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，则△POQ 的面积的最小值为()．A ．12B ．23C ．1D ．43解(1)选B ；设00(,)M x y ，则直线l 的方程为：002xx yy +=，易得02,0P x ⎛⎫⎪⎝⎭，020,Q y ⎛⎫ ⎪⎝⎭．又2200001943x y x y +=≥，即003x y ≤，故00223POQ S x y =≥△．7.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，圆222C x y a +=：，过双曲线的任意一点000(,)(0)P x y y ≠作圆C 的两条切线，其切点分别为A 、B ．若直线AB 与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，则2222b a OMON-=．A ．22b aB ．22b a-C ．22a b D ．22c a 解选A ；直线AB 为：200xx yy a +=，令0y =，20a x x =，20a OM x =；令0x =，20a y y =，20a ON y =，因此，22222220022442b x a y b a b a a aOMON-=-=．8.圆221x y +=的切线与椭圆22143x y +=交于两点A 、B ，分别以A 、B 为切点的椭圆22143x y +=的切线交于点P ，则点P 的轨迹方程为．解设00(,)P x y ，则极点P 对应的极线（切点弦）AB 的方程为：00143xx yy+=，又直线AB1=，即22001169x y +=，即点P 的轨迹方程为221169x y +=．9.设1A 、2A 、3A 、4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312()A A A A λλ=∈R，1412()A A A A μμ=∈R ，且112λμ+=,则称3A 、4A 调和分割1A 、2A ，已知平面上的点C 、D 调和分割A 、B ，则下面说法正确的是()．A ．C 可能是线段AB 的中点B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上解对调和点列背景熟悉的话，此题是送分题，显然选D ．10.过点(1,1)M -的动直线l 交圆2220C x y x +-=：于点A 、B ，O 为坐标原点，若在线段AB 上的点Q 满足112MA MB MQ+=，则min OQ =．答案55；Q 点的轨迹就是极点M 对应的极线！。