解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究

解析几何中极点与极线知识的现状与应用研究王文彬极点与极线是圆锥曲线内在的几何特征，在解析几何中必然有所反映，有所体现.现将具体研究结果报告如下：§1.极点与极线的定义1.1 几何定义如图，P 是不在圆锥曲线上的点，过P 点引 两条割线依次交圆锥曲线于四点,,,E F G H ，连接,EH FG 交于N ，连接,EG FH 交于M ，则直线MN 为点P 对应的极线.若P 为圆锥曲线上的点，则过P 点的切线即为极线.由图1可知，同理PM 为点N 对应的极线，PN 为点M 所对应的极线.MNP 称为自极三点形.若连接MN 交圆锥曲线于 点,A B ，则,PA PB 恰为圆锥曲线的两条切线.事实上，图1也给出了两切线交点P 对应的极线的一种作法. 1.2 代数定义已知圆锥曲线22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=，则称点00(,)P x y 和直线0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=是圆锥曲线Γ的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以0x x 替换2x ，以02x x +替换x (另一变量y 也是如此)即可得到点00(,)P x y 极线方程.特别地：(1)对于椭圆22221x y a b +=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b+=；(2)对于双曲线22221x y a b -=，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00221x x y y a b -=；(3)对于抛物线22y px =，与点00(,)P x y 对应的极线方程为00()y y p x x =+.§2.极点与极线的基本结论定理1 (1)当P 在圆锥曲线Γ上时，则极线l 是曲线Γ在P 点处的切线；(2)当P 在Γ外时，则极线l 是曲线Γ从点P 所引两条切线的切点所确定的直线(即切点弦所在直线)；(3) 当P 在Γ内时，则极线l 是曲线Γ过点P 的割线两端点处的切线交点的轨迹.证明：假设同以上代数定义，对22:220Ax Cy Dx Ey F Γ++++=的方程，两边求导得22220Ax Cyy D Ey ''+++=，解得Ax Dy Cy E+'=-+，于是曲线Γ在P 点处的切线斜率为00Ax D k Cy E+=-+，故切线l 的方程为0000()Ax Dy y x x Cy E +-=--+，化简得220000000Ax x Cy y Ax Cy Dx Ey Dx Ey +--++--=，又点P 在曲线Γ上，故有图1220000220Ax Cy Dx Ey F ++++=，从中解出2200Ax Cy +，然后代和可得曲线Γ在P 点处的切线为0000:()()0l Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=.(2)设过点P 所作的两条切线的切点分别为1122(,),(,)M x y N x y ，则由(1)知，在点,M N 处的切线方程分别为1111()()0Axx Cyy D x x E y y F ++++++=和2222()()0Axx Cyy D x x E y y F ++++++=，又点P 在切线上，所以有01011010()()0Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=和 020220()Ax x Cy y D x x ++++20()0E y y F ++=，观察这两个式子，可发现点 1122(,),(,)M x y N x y 都在直线0000()()0Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=上，又两点确定一条直线，故切点弦MN 所在的直线方程为0000()()0Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=.(3)设曲线Γ过00(,)P x y 的弦的两端点分别为1122(,),(,)S x y T x y ，则由(1)知，曲线在这两点处的切线方程分别为1111()()0Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=和2222()()0Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=， 设两切线的交点为(,)Q m n ，则有1111()()0Ax m Cy n D x m E y n F ++++++=， 2222()()0Ax m Cy n D x m E y n F ++++++=，观察两式可发现1122(,),(,)S x y T x y 在直线()()0Axm Cyn D x m E y n F ++++++=上，又两点确定一条直线，所以直线ST 的方程为()()0Axm Cyn D x m E y n F ++++++=，又直线ST 过点00(,)P x y ，所以0000()()0Ax m Cy n D x m E y n F ++++++=，因而点(,)Q m n 在直线0000()()0Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=上.所以两切线的交点的轨迹方程是0000()()0Ax x Cy y D x x E y y F ++++++=.定理2 若圆锥曲线中有一些极线共点于点P ，则这些极线相应的极点共线于点P 相应的极线，反之亦然.即极点与极线具有对偶性.如图4(1)(2)所示.图2Q (m,n )图3图4(1) 图4(2)§3.极点与极线在教材中的体现极点与极线反映的是圆锥曲线的基本几何性质，所以在解析几何教材中必然有所体现.3.1 圆锥曲线的焦点与准线是一对特殊的极点与极线如果圆锥曲线是椭圆22221x y a b+=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线00221x x y y a b+=变为2a x c =，恰是椭圆的准线；如果圆锥曲线是双曲线22221x y a b -=，当00(,)P x y 为其焦点(,0)F c 时，极线00221x x y y a b-=变为2a x c =，恰是双曲线的准线；如果圆锥曲线是抛物线22y px =，当00(,)P x y 为其焦点(,0)2p F 时，极线00()y y p x x =+变为2px =-，恰是抛物线的准线.3.2 许多习题都有极点与极线的背景，均可借助极点与极线方法求解【例1】过抛物线22y px =的焦点的一条直线和此抛物线相交，两个交点的纵坐标为12,y y ，求证：212y y p =-.证明：由于(,0)2pF ,211(,)2y A y p ，222(,)2y B y p ，故三点对应的极线方程分别是2px =-，211()2y y y p x p =+和222()2y y y p x p =+， 由于,,A F B 三点共线，根据定理2可知，对应的三条极线共点，将2px =-代入后面两式得2211122p y y y =-，2222122p y y y =-，两式相除得22112222y y p y y p-=⇒-212y y p =-. 作为课本一习题，2001年全国高考试卷19题以此为背景命制.利用本例结论可迅速证明这一高考题. 设抛物线22y px =的焦点为F ，过焦点F 的直线交抛物线于两点,A B ，点C 在抛物线的准线上，且BC 平行于x 轴，证明直线AC 必过原点.简证：如图5，设1122(,),(,)A x y B x y ，则2(,)2p C y -，从而1112OA y p k x y ==，22OC yk p =-22y p=-，故22121122()20OA OC y y y p p k k y p py +-=+==，所以OA OC k k =，即直线AC 过原点.3.3 教材中涉及到直线与圆锥曲线位置关系的判定问题，均可化为极点与圆锥曲线的位置关系问题来解决【例2】(1)已知抛物线的方程为24y x =，直线l 过定点(2,1)P -，斜率为k ，问k 为何值时，直线l 与抛物线只有一个公共点，有两个公共点，没有公共点？(2)已知双曲线2212y x -=，过点(1,1)P 能否作直线l ，与双曲线交于,A B 两点，且P 图5是线段AB 的中点？解：(1)直线l 的方程为1(2)y k x -=+，即21y kx k =++.设直线l 对应的极点为00(,)P x y ，则相应的极线应为002()y y x x x =+，即00022x y x y y =+，故0000222ky ky y x =⎧⎨+=⎩，当0k ≠时，00122x ky k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，直线l 与抛物线有两个公共点⇔00(,)P x y 在抛物线外20024144(2)y x k k ⇔>⇔>+，解得112k -<<且0k ≠；同理可求得当1k =-或12k =或0k =时直线与抛物线只有一个公共点；当1k <-或12k >时直线与抛物线没有公共点.(2)设00(,)A x y ，则由P 是线段AB 的中点得00(2,2)B x y --，而,A B 在双曲线上，故2200220012(2)(2)12y x y x ⎧-=⎪⎪⎨-⎪--=⎪⎩，两式相减得00422x y -=，即002212y x -=，而2212y x -=是点(2,2)对应的极线，但点(2,2)在双曲线内，故极线与双曲线相离，这和已知“直线与双曲线相交”矛盾，故这样的直线不存在.§4.极点与极线在各种考试中的深层体现4.1 高考试题中的极点与极线极点与极线作为具体的知识点尽管不是《高中数学课程标准》规定的学习内容，当然也不属于高考考查的范围，但是极点与极线作为圆锥曲线的一种基本特征，在高考试题中必然会有所反映.事实上，极点与极线的知识常常是解析几何高考试题的命题背景.【例3】(2006年全国试卷II21)已知抛物线24x y = 的焦点为F ，,A B 是抛物线上的两动点，且(0)AF FB λλ=>，过,A B 两点分别作抛物线的切线， 并设其交点为P .(1)证明FP AB ⋅为定值；(2)设ABP ∆的面积为S ，写出()S f λ=的表达式， 并求S 的最小值.解：(1)设点01122(,1),(,),(,)P x A x y B x y -，,,F A B 三点对应的极线方程分别为1y =-，112()x x y y =+，222()x x y y =+，由于,,A B F 三点共线，故相应的三极线共点于0(,1)P x -，代入极线方程得1012022(1)2(1)x x y x x y =-⎧⎨=-⎩，两式相减得12012()2()x x x y y -=-.又02121(,2),(,)FP x AB x x y y =-=--，故02121()2()0FP AB x x x y y ⋅=---=. (2)设AB 的方程为1y kx =+，与抛物线的极线方程002()x x y y =+对比可知直线AB对应的极点为(2,1)P k -，把1y kx =+代入24x y =并由弦长公式得24(1)AB k =+，所以图6212(12ABP S AB FP k ∆==+显然，当0k =时，S 取最小值4.【例4】(2005江西卷22)设抛物线2:C y x =的焦点为F ，动点P 在直线:20l x y --=上运动，过P 作抛物线的两条切线,PA PB ，且与抛物线分别相切于,A B两点.(1)求APB ∆的重心G 的轨迹方程； (2)证明PFA PFB ∠=∠.解：(1)设点001122(,),(,),(,)P x y A x y B x y ， 与002y yx x +=对比知直线:20l x y --=对应的极点为1(,2)2，P 为直线l 上的动点，则点P 对应 的极线AB 必恒过点1(,2)2.设1:2()2AB y k x -=-，可化为2222k y k x +-=，故直线AB 对应的极点为(,2)22k k -，将直线AB 的方程代入抛物线方程得2202kx kx -+-=，由此得2121212,(1)44x x k y y k x x k k +=+=+-+=-+，APB ∆的重心G 的轨迹方程为222324222233k k k x k k k k k y ⎧+⎪==⎪⎪⎨⎪-++--+⎪==⎪⎩，消去k 即得21(42)3y x x =-+. (2)由(1)可设点(,2)22k k P -，221122(,),(,)A x x B x x ，且1212,22k x x k x x +==-，所以2111(,)4FA x x =-，12121(,)24x x FP x x +=-，2221(,)4FB x x =-.221211************111111()()()()244444cos 11()()4x x x x x x x x x x x FP FA AFP FP FA FP FP x FP x x ++--+++⋅∠====⋅++-.同理1214cos x x FP FB AFP FP FB FP+⋅∠==⋅. 所以有PFA PFB ∠=∠.评析：上述解法不仅简洁易懂，而且适用范围很广，很多解析几何试题，尤其是共点共线问题，往往都能起到事半功倍的效果.这里不再一一列举.4.2 竞赛试题中的极点与极线作为更高要求的数学竞赛，有关极点与极线的试题更是频频出现，而且越来越受到重视.图7【例5】(2002澳大利亚国家数学竞赛)已知ABC ∆为锐角三角形，以AB 为直径的⊙K 分别交,AC BC 于,P Q ，分别过A 和Q 作⊙K 的两条切线交于点R ，分别过B 和P 作⊙K 的两条切线交于点S ，证明点C 在线段RS 上.下面将圆加强为椭圆，并给出证明.证明：以AB 为x 轴，线段AB 为y 轴建立直角坐标系，设椭圆方程为22221x y a b+=，并设点12(,),(,)S a y R a y -，则R 点对应的极线22:1y yx AQ a b -+=，代入椭圆方程解得点22222222222()2(,)a y b b y Q y b y b-++，直线2:()y BQ y x a a =--，同理我们可以得到直线1:()yAP y x a a=+，将直线BQ 的方程与AP 的方程联立解得211212122(,)y y y y C a y y y y -++，可验证其坐标满足直线121:()2y y RS y y x a a--=-的方程，所以三点共线.评析：原题用纯平面几何方法证明，难度较大【1】，而用极点与极线方法证明不仅显得简洁，而且此结论显然还可推广到其他圆锥曲线上.【例6】(《中等数学》2006年第8期P 42)过椭圆221259x y +=内一点(3,2)M 作直线AB 与椭圆交于点,A B ，作直线CD 与椭圆交于点,C D ，过,A B 分别作椭圆的切线交于点P ，过,C D 分别作椭圆的切线交于点Q ，求,P Q 连线所在的直线方程评析：该题实质上就是求椭圆221259x y +=内一点(3,2)M 对应的极线方程，由定理1立即可得答案为321259x y +=. 【例7】(《中学数学》2006年第7期新题征展77)设椭圆方程为2212x y +=，点11(,)22M ，过点M 的动直线与椭圆相交于点,A B ，点,A B 处的切线相交于点N ，求证点N 的轨迹是一条定直线.评析：显然该定直线为点11(,)22M 对应的极线：142x y+=.从例6、例7可以看到，以极点与极线为背景的试题深受命题者的青睐.x4.3 一些结论中的极点与极线圆锥曲线中有关极点与极线的性质，一直是人们探讨的热点，文【2】与文【3】所述的圆锥曲线性质都源于圆锥曲线中极点与相应的极线的性质.譬如【定理】【2】线段PQ 是过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>长轴上定点(,0)(0,)M m m m a ≠≠±的弦，,S T 是长轴上的两个顶点，直线,SP SQ 与直线2:a l x m=交于(,),(,)A A B B A x y B x y 两点，并且直线PQ 的斜率k 存在且不为零，则有2222222,A B A B b m b a b y y y y mk m -+=-=.这个定理在双曲线与抛物线中也成立.利用该定理还可证明文【5】至【13】中所述的结论.评析：由定理1知，该定理中定点(,0)M m ，直线2:a l x m=即为一对极点与极线，从另一方面来说，该定理是【例1】的推广形式，作者把它称为一个基础性定理，是因为该定理可以证明很多圆锥曲线的性质.事实上，文【2】所述的圆锥曲线性质也都可以用极点与极线的性质证明，文【3】则完全是定理1的一种特例.定理1和定理2反映极点与相应的极线的基本性质，应用非常广泛. 一点一线，阐述着数学的朴素之美，也是极致之美.参考文献【1】 史钞.几道数学竞赛题的简解.中等数学，2005.4 【2】 邱继勇.椭圆的一个基础性定理.数学通报，2005.6【3】 高绍央.圆锥曲线准线的一个有趣性质.中学教研.2005.3 【4】 李凤华.圆锥曲线的极点与极线及其应用.数学通讯，2012.4 【5】 金美琴.二次曲线的定点弦.数学通报，2003.7【6】 熊光汉，谢东根.一道几何题的引申.数学通报，2003.5【7】 陈天雄.一道高考解析几何试题的引申及推广.数学通报，2002.6【8】 李原池.一道高考题引出的圆锥曲线的两个性质及推论.数学通报，2002.6 【9】 钮华柱.圆锥曲线的几个性质.数学通报，2000.8【10】 李康海.圆锥曲线焦点弦的一个有趣性质.数学通报，2001.5 【11】 厉倩.圆锥曲线焦半径的一个性质.数学通报，2002.12 【12】 丁振华. 圆锥曲线焦半径的一个性质.数学通报，2003.10【13】 邱昌银.圆锥曲线的准线切点焦点弦的相关性质.数学通报，2003.11。