工程力学-静力学部分(第2章)

2.2 平面力对点之矩的概念及计算
力使刚体的运动状态发生改变，一般产生移动 和转动两种效应。
力对刚体的移动效应由力的三要素来决定。 力对刚体的转动效应由力对点之矩（简称力矩） 来度量。
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2.2.1 力对点之矩（力矩）
矩心：转动中心（ O ）。 力臂：矩心至力作用线的垂直距离（d）。
力矩作用面：力作用线与矩心所在平面。
例1：重物质量m=10kg,悬挂在支架铰接点B处，A 、C 为固定铰支座，杆件位置如图示，略去支架杆件重量。 求重物处于平衡时AB、BC杆的力。
解：取铰B为研究对象，其上作用有三个力，重力mg，BC杆 的约束力FCB（设为拉力）及AB杆的约束力FAB（设为压力）， 坐标轴如图(b)所示：
列出平衡方程：
注意：
各分力矢的作图顺序不影响合力的结果
推广至 n 个力：
FR = F1 + F2 + ••• + Fn= ∑ F
总结： 平面汇交力系的合成结果是一个力，合力矢
等于各分力的矢量和，合力的作用线通过各力 的汇交点。
平面汇交力系平衡的几何条件：
平面汇交力系若平衡，则：
∑ FR = Fi = 0
在上面几何法求力系的合力中，合力为 零意味着力多边形自行封闭。所以平面 汇交力系平衡的必要与充分的几何条件 是：
数和等于零。即：
M = ∑Mi = 0
平面力偶系的独立平衡方程只有1个。
例6：在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径 的孔,每个钻头的力偶矩为m1=m2=m3=m4=15N·m，求工件的总切 削力偶矩和A 、B端水平反力?
解: 各力偶的合力偶距为：
M = m1 + m2 + m3 + m4 =4 × ( −15) =−60N ⋅ m
F
B
Ad
xO
F'
平面内任取o点，
MO (= F,F′) MO (F) + MO (F') = − F(x+ d) + F' x = − Fd =M
性质3：平面力偶等效定理：作用在同一平面内的两个力偶，只
要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。
[证] 设物体的某一平面
上作用一力偶(F,F') 现沿力偶臂AB方向 加一对平衡力(Q,Q'), 再将Q,F合成R，
∑ Fx = 0，
FT − P sin 30 = 0
∑ Fy = 0，
FN − P cos 30 = 0
解得：
FT =100 N,FN = 173 N
例5：
AB杆受力方向与假设方向相反。
※ 求解平面汇交力系平衡问题的注意事项
1．要根据实际情况，选择合适的坐标轴，尽量使一个平 衡方程只出现一个未知力。
相平行的力系。
1
2.1 平面汇交力系的合成与平衡 2.1.1 平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则
F1
F2
A1 A2
A4 A3 F3
F4
力的可传性
F1
F2
A
F4
F3
平面汇交力系
共点力系 2
F1
F2
A
F4
F3
c
F2
b
F1
a
F3 d F4
e
FR
合力矢量表达式：
FR = F1 + F2 + F3 + F4
F R =F1+F2+ • • • +F n = ∑ F
两边分别向x轴和y轴投影可得：
∑ FRx = F 1 x+ F 2 x+ •••+ Fnx =
F x
∑ FRy = F 1 y+ F 2 y+ •••+ Fny =
F
y
合力投影定理：
合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数 和。
2．建立平衡方程时，要考虑力系中所有的力，任何一个 力都不能遗漏。
3．要正确确定每一个力在坐标轴上投影的大小和正负号， 特别要注意正负号。
4．当未知约束力的方向不能确定时（一般情形下均如 此），可以先假定方向（一般假定约束力的正方向与坐标 轴正向一致）。
对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说 明物体受压力。
② 受力分析，如图；
③ 选FAxy直角坐标轴； ④ 列平衡方程求解：
∑ Fx = 0 T2⋅cosα −T1=0 ①
∑ Fy = 0 T2 ⋅sinα −Q+ N D =0 ②
由①得
cosα
=
T1 T2
=
P 2P
=
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
由②得
∴α =600
ND = Q −T2 ⋅sinα = Q − 2Psin 600 = Q − 3P
同一刚体
2.3.3 平面力偶系的合成及平衡条件
作用在刚体同一平面内的多个力偶组成的力系，称为平面力偶系。 平面力偶系的合成
因此：
M = M 1+ M 2 +……… + M n = ∑ M i
平面力偶系合成结果还是一个力偶,其合力偶矩为各力偶矩的代数和。
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平面力偶系的平衡 平面力偶系平衡的充要条件是所有各力偶矩的代
例3： 已知CD杆不计自重， P=2kN,求 FCD ,FA
解：①研究AB杆；
②受力分析：P , FCD ,FA ;
③取Axy直角坐标轴； ④列平衡方程求解：
∑ Fx = 0 FA× cosϕ − FCD× cos 45° =0 ∑ Fy = 0 − P− FA sinϕ + FCD sin 45° =0
M = ±F•d
力偶矩单位：N•m或kN•m
式中正负表示力偶的转向， 逆时针转动时为正；顺时 针转动时为负。
力偶的性质
性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力 学量。
F
F'
d
-Fx
Fx
力偶在任意坐标轴上投 影的代数和为零
性质2：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而
与矩心的位置无关，因此力偶对刚体的效应用力偶矩度量。
由力偶只能与力偶平衡的性质，力 NA与力NB组成一力偶。
作用效应。
F F´
F
F F´ F´
并且，只要保持力偶矩大小和方向不变,力偶也可在与其 作用面平行的平面内移动。
M=Fd
②只要保持力偶矩大小和转向不变，可以任意改变力偶中力
的大小和相应力偶臂的长短，而不改变它对刚体的作用效应。
F
F´
F/2
F´/ 2
F F´
F / 2 F´/ 2
F
F´
M=Fd
力偶等效的这些 性质在应用上有 没有限制前提？
图解法解题不足： ①精度不够，误差大； ②作图要求精度高； ③不能表达各个量之间的函数关系。
2.1.3 平面汇交力系合成的解析法
a1b1称为力F在x轴上的 投影，用Fx表示； a2b2称为力F在y轴上的 投影，用Fy表示；
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投影的符号规定
投影为代数量，正负 号规定为：与坐标轴 同向为正，反向为负。
由EB=BC=0.4m，
解得：
tgϕ
=
EB AB
= 0.4 1.2
=
1 3
FCD
=
P
sin 450 − cos 450 ⋅ tgϕ
= 4.24 kN；FA
= FCD ⋅
cos 450
cos ϕ
= 3.16
kN
例4： 重为P=200N的小球放在倾角为30°的光滑斜面 上，用细绳AB系住，绳子AB与斜面平行，如图（a） 所示。试求绳子的拉力和斜面对球的作用力。
力多边形自行封闭
例2 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过 h=8cm的障碍物。求：在中心作用的水平力F的 大小和碾子对障碍物的压力。
F
r
解：①选碾子为研究对象 ②取分离体画受力图
∵当碾子刚离地面时NA=0,拉力F最 大,这时，拉力F和自重及支反力NB 构成一平衡力系。
由平衡的几何条件，力多边形封 闭，故
解：取小球为研究对象，画出受力图如（b）所示，并 建立Oxy坐标系，列平衡方程：
∑ Fx = 0，
FT cos 30 − FN sin 30 = 0
∑ Fy = 0，
FT sin 30 + FN cos 30 - P = 0
解得：
FT =100 N,FN = 173 N
如图（c）所示，若沿斜面建立Oxy坐标系，则列 平衡方程：
F= P⋅ tanα
NB
=
P
cos α
由于： tanα = r2 − (r − h)2 = 0.577
r−h
所以
F=11.5kN , NB=23.1kN
由作用力和反作用力的关系，碾子对障碍物的压 力等于23.1kN。
几何法（图解法）解题步骤： ①选研究对象； ②作出受力图； ③选择适当的比例尺，作力多边形; ④求出未知数。
2.1.4 平面汇交力系平衡的解析条件
合力矢的大小和方向的计算公式：
∑ ∑ FR = F 2Rx+ F 2Ry = ( Fx)2 + ( Fy)2
∑ ta= nα F= Ry
Fy
∑ FRx
Fx
α为合力FR与x轴所夹锐角。
平面汇交力系的平衡方程
平面汇交力系的平衡的充要条件为该力系的合力FR=0，则：
Mo(Q) =−Q⋅l
2.3 平面力偶系
2.3.1 力偶与力偶矩
两个大小相等，方向相反、作用线互相平行但不共线的一对力， 组成的特殊力系称为力偶，记作（F，F′）。