大连理工大学软件学院算法导论第一次大作业源码

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\begin{document}
\pagestyle{fancy}
\title{算法分析与设计第一次作业}
\author{XXXX XXX\XXXXXX}
\date{2013/9/11}
\maketitle
\noindent
3.1-2\ 证明：
证明$(n+a)^b=\Theta(n^b)$等价于证明存在$c_{1},c_{2},n_{0}>0$使得对于任意的
$n>n_{0}$,都有$0\leq c_{1}n^b \leq (n+a)^b \leq c_{2}n^b$成立。

$\because$ $n+a\leq n+|a|$，$\therefore$当$n\geq |a|$时，$n+a\leq 2n$。

又$\because$ $n+a\geq n-|a|$，$\therefore$当$|a|\leq \frac{1}{2}$时，$n+a \geq \frac{1}{2}n$。

综上，当$n\geq 2|a|$时，$0\leq \frac{1}{2}n \leq (n+a) \leq 2n$。

$\therefore$ 对于$b>0$，有$0\leq (\frac{1}{2}n)^b \leq (n+a)^b \leq (2n)^b$
$\therefore$ 存在$c_{1} = (\frac{1}{2}n)^b$，$c_{2} = (2n)^b$，$n_{0}=2|a|$，
使得$0\leq c_{1}n^b \leq (n+a)^b \leq c_{2}n^b$成立。

\ \ \ $\therefore$原命题得证。

\\
\noindent
3.1-3\ 解释：设运行时间为$F(n)$，则$F(n)\geq 0(n^2)$，
$\therefore$ 若$F_{1}(n) = 0(n^2)$，则$F(n)\geq F_{1}(n)$，
又$\because$ $\forall$ n，$T(n)=0$时，$T(n)=0(n^2)$，且运行时间都大于0，
$\therefore$对于所有的运行时间$F(n)$都有$F(n)\geq 0(n^2)$，
$\therefore$这句话是没有意义的。

\\
\noindent
3.1-4\ 证明：
$\because 2^{n+1} = 2\times 2^n \leq 3\times 2^n $，
$\therefore 2^{n+1} = o(2^n)$ 成立。

\\
$2^{2n} = o(2^n)$不成立。

证明如下：
假设$2^{2n} = o(2^n)$，则存在一个常数c使得$2^{2n} = c2^n$，
$n\leq \lg c$ ，不存在一个$n_{0}$，使得$\forall n\geq n_{0}$，$n\leq \lg c$ 。

$\therefore $假设不成立。

\\
\noindent
3.1-8\
$\Omega (g(n,m))= \{f(n,m):$\ 存在正整数$c,n_{0}$和$m_{0}$使得对所有的$n\geq n_{0}$或$m\geq m_{0}$，有$0\leq cg(n,m) \leq f(n,m) $ $\}$。

$\Theta (g(n,m))= \{f(n,m):$ 存在正整数$c_{1},c_{2},n_{0},m_{0}$，使得对所有的$n\geq n_{0}$或$m\geq m_{0}$，有$0\leq c_{1}g(n,m) \leq f(n,m) $ $\} \leq c_{2}g(n,m)$。

\end{document}。