221二次函数的图象和性质(第3课时)
y=-2x2
y=-2(x+1)2
y=-2(x-1)2
形如y=a(x+h)2这样的二次 函数， 顶点坐标为（-h，0） 对称轴为x=-h
❖说出下列二次 函数的开口方 向、对称轴及顶点坐标 (1) y=2(x+3)2 向上, x= - 3, ( - 3, 0) (2) y=-3(x -1)2 向下, x= 1, ( 1, 0) (3) y=5(x+2)2 向上, x= - 2, ( - 2, 0) (4) y= -(x-6)2 向下, x= 6, ( 6, 0) (5) y=7(x-8)2 向上, x= 8, ( 8, 0)
2
是经过点（－1，0）且与x轴垂直的直线，我们把它记住
x=－1，顶点是（－1，0）；抛物线 y 1 x 12
2 的开口向_下________，对称轴是__x__=__1__________，顶点
是_____( _1__, _0__)______．
归纳与小结
二次函数y = a﹙x-h﹚2的性质:
（1）开口方向：当a＞0时，开口向上; 当a＜0时，开口向下；
（2）对称轴： 对称轴直线x=h; （3）顶点坐标：顶点坐标是（h，0） （4）函数的增减性：
当a＞0时， 对称轴左侧y随x增大而减小， 对称轴右侧y随x增大而增大；
当a＜0时， 对称轴左侧y随x增大而增大， 对称轴右侧y随x增大而减小。
9.二次函数y=a(x-h)2的图像是 以 X=h 为对称轴的抛物线 ，
顶点坐标为 （h, 0) .
的方向，大小相同
5 .将抛物线y= -2x2向左平移一 个单位，再向右平移3个单位 得抛物线解析式为 y= - 2(x – 2).2
6.抛物线y=3(x-8)2最小值为 0 .
7.抛物线y= -3(x+2)2与x轴y轴 的交点坐标分别为( - 2, 0) (0, - 12.)
.8已知二次函数y=8(x -2)2 当 x＞2 时,y随x的增大而增大, 当 x﹤2 时，y随x的增大而减 小.
向
Y
（0，0）
对称轴左 侧y随x增
对称轴左 侧y随x增
上下 轴
大而减小，大而增大，
y = ax2+k ﹙a≠0﹚
对称轴右 对称轴右 （0，k） 侧y随x增 侧y随x增
大而增大；大而减小。
❖ 说出下列二次 函数的开口方向、 对称轴及顶点坐标
(1) y=5x2 向上，y轴 （0, 0) (2) y=-3x2 +2 向下，y轴 （0, 2) (3) y=8x2+6 向上，y轴 （0, 6)
···
－2
1 2
0
1 2
－2 －4.5 －8
···
y 1 x 12
2
···
－8 －4.5 －2
1 2
0
1 －2
2
···
－4 －2 －2 －4
y=－ 21﹙x+1﹚2 －6
24
y=－
1 2
﹙x-1﹚2
－4 －2 －2
y=－
1 2
﹙x+1﹚2
－4
－6
24
y=－ 21﹙x-1﹚2
可以看出，抛物线 y 1 x 12 的开口向下，对称轴
y=x2 y=(x-2)2
3 4…
例2.画出函数y=-2x2、y=-2(x+1)2、y=-2(x-1)2的图象：
1.列表： x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
2.描点：y=-2x2
3.连线：y=-2(x+1)2 y=-2(x-1)2
4…
形如y=a(x+h)2这样的二次 函数， 当h＞0时，图象是函数 y=ax2图象向左平移|h|个 单位； 当h＜0时，图象是函数 y=ax2图象向右平移|h|个 单位；
y x2
8 6
4 2
－4 －2
y 2x2
y 1 x2 2
24
复习
1.二次函数y=ax2和y=ax2+k的图象是什么形状？ 二次函数y=ax2和y=ax2+k的图象是一条抛物线。
2.二次函数y=ax2的性质是什么？
开口方向 解析式
a＞0 a＜0
对 称 轴
顶点 坐标
函数的对称性
a＞0
a＜0
y = ax2 ﹙a≠0﹚ 向
2
－2 －2 －4
24
y 1 x 12
2
y 1 x2 －6 2
例1.画出函数y=x2、y=(x+2)2、y=(x-2)2的图象：
1.列表： x
… -4 -3 -2 -1 0 1 2
2.描点：y=x2
3.连线：y=(x+2)2
y=(x-2) ff((xx)) ==xx××xx
2
y=(x+2)2
(4) y= -x2-4 向下，y轴 （0, - 4)
下面，我们探究二次函数 y = a﹙x-h﹚2的图 像和性质,以及与y=ax2的联系与区别.
ห้องสมุดไป่ตู้ 探究
画出二次函数
y
1
x
12
,
y
1
x
12
2
2
并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
的图象，
x
··· －3 －2 －1 0
1
2
3 ···
y 1 x 12
2
抛物线 y 1 x 12 y 1 x 12 与抛物线 y 1 x2
2
2
2
有什么关系？
可以发现，把抛物线 y 1 x2 向左平移1个单位，就得到抛物
线
y 1 x 1；2把抛物线
2
2
y
1
x2
2
向右平移1个单位，就得到抛物
线 y 1 x 12 ．
2
－4
y 1 x 12
1 抛物线y= -3(x+2)2开口向 ，
对称下轴为
顶点X=坐- 2标为
.
2 抛(物-2,线0)y=3(x+0.5)2可以看成由
抛物线 向 平移 个单位
得到的 y=3x2 左
0.5
3写出一个开口向上，对称轴为
x=-2，平且与y轴交于点（0，8）
的抛物线解析式为
.
y=2(x+2)2
4 .对于任何实数h，抛物线 y=(x-h)2与抛物线y=x2
2014年秋新人教版九年级数学上22.1二次函数的图象和性质(第3课时)课件2【倍速课时学练】
探究
的图象
· · · · · · · · ·
－3
－2
－1
0
1
2
3
·
－21 2Fra bibliotek0－8 －4.5 －2
1 2 1 2
－2 －4.5 －8
·
0
1 2
－2
·
倍 速 课 时 学 练
－4
－2 －2 －4 －6
2
4
－4
－2 －2
－4 －6
2
4
1 2 可以看出，抛物线 y x 1 的开口向下，对称轴 2
1 2 y x 1 2
1 2 y x 2
－6
练习 在同一直角坐标系内画出下列二次函数的图象：
1 2 y x 2
1 2 y x 2 2
1 2 y x 2 2
观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向、 对称轴及顶点． 倍 速 课 时 学 练
有什么关系？
1 2 可以发现，把抛物线 y x 向左平移1个单位，就得到抛物 2 1 2 1 2 y x 向右平移1个单位，就得到抛物 线 y x 1 ；把抛物线 2 2
线 y
1 2 x 1 ． 2
倍 速 课 时 学 练
－4
－2 －2 －4
2
4
1 2 y x 1 2
22.1 二次函数的图象和性质
22.1.3 二次函数y=a(x-h) +k的 图象和性质（2）
1 1 2 2 画出二次函数 y x 1 , y x 1 2 2
并考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
x
1 2 y x 1 2 1 2 y x 1 2
2.2 二次函数的图象与性质 第3课时 教案
一、情境导入二次函数y ＝ax 2＋c (a ≠0)的图象可以由y ＝ax 2(a ≠0)的图象平移得到： 当c >0时，向上平移c 个单位长度； 当c <0时，向下平移－c 个单位长度．问题：函数y ＝ (x －2)2的图象，能否也可以由函数y ＝ x 2平移得到？本节课我们就一起讨论． 二、合作探究探究点：二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质 【类型一】 二次函数y ＝a (x －h )2的图象顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y ＝－12x 2的图象相同的抛物线的解析式为( )A ．y ＝12(x －2)2B ．y ＝12(x ＋2)2C ．y ＝－12(x ＋2)2D ．y ＝－12(x －2)2解析：因为抛物线的顶点在x 轴上，所以可设该抛物线的解析式为y ＝a (x －h )2(a ≠0)，而二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)与y ＝－12x 2的图象相同，所以a ＝－12，而抛物线的顶点为(－2，0)，所以h ＝2，把a＝－12，h ＝2代入y ＝a (x －h )2得y ＝－12(x ＋2)2.故选C.方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题 【类型二】 二次函数y ＝a (x －h )2的性质若抛物线y ＝3(x ＋2)2的图象上的三个点，A (－32，y 1)，B (－1，y 2)，C (0，y 3)，则y 1，y 2，y 3的大小关系为________________．解析：∵抛物线y ＝3(x ＋2)2的对称轴为x ＝－2，a ＝3＞0，∴x ＜－2时，y 随x 的增大而减小；x ＞－2时，y 随x 的增大而增大．∵点A 的坐标为(－32，y 1)，∴点A 在抛物线上的对称点A ′的坐标为(2，y 1)．∵－1＜0＜2，∴y 2＜y 3＜y 1.故答案为y 2＜y 3＜y 1.方法总结：函数图象上点的坐标满足解析式，即点在抛物线上．解决本题可采用代入求值方法，也可以利用二次函数的增减性解决．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第4题 【类型三】 二次函数y ＝a (x －h )2的图象与y ＝ax 2的图象的关系将二次函数y ＝－2x 2的图象平移后，可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象，平移的方法是( )A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位解析：抛物线y ＝－2x 2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y ＝－2(x ＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y ＝－2x 2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象．故选C.方法总结：解决本题要熟练掌握二次函数的平移规律．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型四】 二次函数y ＝a (x －h )2与三角形的综合如图，已知抛物线y ＝(x －2)2的顶点为C ，直线y ＝2x ＋4与抛物线交于A 、B 两点，试求S △ABC .解析：根据抛物线的解析式，易求得点C 的坐标；联立两函数的解析式，可求得A 、B 的坐标．画出草图后，发现△ABC 的面积无法直接求出，因此可将其转换为其他规则图形的面积求解．解：抛物线y ＝(x －2)2的顶点C 的坐标为(2，0)，联立两函数的解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋4，y ＝（x －2）2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6，y 2＝16.所以点A 的坐标为(6，16)，点B 的坐标为(0，4)．如图，过A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，则S △ABC ＝S 梯形ABOD －S △ACD －S △BOC ＝12(OB ＋AD )·OD －12OC ·OB－12CD ·AD ＝12(4＋16)×6－12×2×4－12×4×16＝24. 方法总结：解决本题要明确以下两点：(1)函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解；(2)不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题 【类型五】 二次函数y ＝a (x －h )2的探究性问题某抛物线是由抛物线y ＝－2x 2向左平移2个单位得到． (1)求抛物线的解析式，并画出此抛物线的大致图象； (2)设抛物线的顶点为A ，与y 轴的交点为B . ①求线段AB 的长及直线AB 的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△ABC 为等腰三角形？若存在，求出这样的点C 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)抛物线y ＝－2x 2向左平移2个单位所得的抛物线的解析式是y ＝－2(x ＋2)2；(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式，即可得出其顶点A 和B 点的坐标，然后根据A ，B 两点的坐标即可求出直线AB 的解析式；②本题要分三种情况进行讨论解答．解：(1)y ＝－2(x ＋2)2，图略；(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式y ＝－2(x ＋2)2，可得A 点的坐标为(－2，0)，B 点的坐标为(0，－8)．因此在Rt △ABO 中，根据勾股定理可得AB ＝217.设直线AB 的解析式为y ＝kx －8，已知直线AB 过A 点，则有0＝－2k －8，k ＝－4，因此直线AB 的解析式为y ＝－4x －8；②本题要分三种情况进行讨论：当AB ＝AC 时，此时C 点的纵坐标的绝对值即为AB 的长，因此C 点的坐标为C 1(－2，217)，C 2(－2，－217)；当AB ＝BC 时，B 点位于AC 的垂直平分线上，所以C 点的纵坐标为B 点的纵坐标的2倍，因此C 点的坐标为C 3(－2，－16)；当AC ＝BC 时，此时C 为AB 垂直平分线与抛物线对称轴的交点．过B 作BD 垂直于抛物线的对称轴于D ，那么在直角三角形BDC 中，BD ＝2(A 点横坐标的绝对值)，CD ＝8－AC ，而BC ＝AC ，由此可根据勾股定理求出AC ＝174，因此这个C 点的坐标为C 4(－2，174)． 综上所述，存在四个点，C 1(－2，217)，C 2(－2，－217 )，C 3(－2，－16)，C 4(－2，－174)．方法总结：本题主要考查了二次函数图象的平移及等腰三角形的构成情况，主要涉及分类讨论、数形结合的数学思想方法的运用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题 三、板书设计二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质。
22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
＋2 的图象．
解：(1)列表：
x
… －3 －2 －1 0 1 2 3 4 …
y＝－12x2
… －4.5 －2 －0.5 0 －0.5 －2 －4.5 … …
y＝－12(x－1)2＋2 … … －2.5 0 1.5 2 1.5 0 －2.5 …
②抛物线
y
＝
－
1 2
(x
－
1)2
＋
2
的开口 向 ___下_____ ，对 称轴是直 线
___x=_1____，顶点坐标为_（__1_，_2_）__．
③将抛物线 y＝－21x2 向__左_（__上__）_平移___1（__2_）__个单位长度，再向
__上_（__右__）_平移__2_（__1_）__个单位长度得到抛物线 y＝－12(x－1)2＋2.
C．(－3，0)
D．(0，－4)
[解析] ∵二次函数y＝(x－3)2－4图象的对称轴为直线x＝3，∴直线l上所 有点的横坐标都是3.∵点M在直线l上，∴点M的横坐标为3，故选B.
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
5．二次函数y＝(x－2)2＋m2，当x＞m＋1时，y随x的增大而增大， 当x＜m＋1时，y随x的增大而减小，则m的值是____1____．
[解析] 由y＝a(x＋1)2＋2可知图象的对称轴为 直线x＝－1，由图可知图象在对称轴左侧与x轴 的交点坐标为(－3，0)，所以该图在对称轴右侧 与x轴交点的坐标是(1，0)．
图 22－1－21
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
7．指出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标．
22_1_3 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质【人教九上数学学霸听课笔记】
应 用
则抛物线的顶点坐标是(4,3),
故可设抛物线的函数解析式为
y＝a(x－4)2＋3. ∵抛物线经过点(0,53),∴53＝a(0－4)2＋3,解得 a＝－112, ∴抛物线的函数解析式为 y＝－112(x－4)2＋3. 令 y＝0,得－112(x－4)2＋3＝0,
探 究
解得x1＝10,x2＝－2(不合题意,舍去).
探 感悟
究 与
实际问题中建立合适坐标系的重要性
应 用
在用二次函数建模方法解决实际问题时,建立不同的坐标系,
会得到不同的函数模型,比如例3中取水管与地面的交点为
原点,和取喷水头为原点建立坐标系之后,得到的函数解析
式会不同,我们可根据实际情况以计算简便为主选取合适的
坐标系.
探 究
练习 如图 J22－1－1,一名男生站在地面上的点 O 处推铅球,铅
应
用
探 究
练习 函数y＝4(x＋1)2－2的图象是由函数y＝4x2的图象如
与 何平移得到的?
应
用 解：将函数y＝4x2的图象先向左平移1个单位长度,再向下平移2
个单位长度得到函数y＝4(x＋1)2－2的图象.(平移方法不唯一)
探 目标三 能用二次函数y＝a(x－h)2＋k解决简单的实际问题
究 与
应 用
因为点(1,3)是图中这段抛物线的顶点,
所以可设这段抛物线对应的函数解析式
是y＝a(x－1)2＋3(0≤x≤3).
由这段抛物线经过点(3,0),可得 0＝a(3－1)2＋3,解得 a＝－34. 因此 y＝－34(x－1)2＋3(0≤x≤3). 当 x＝0 时,y＝－34×(0－1)2＋3＝2.25,即水管应 2.25 m 长.
1 个单位长度得到抛物线 y＝－12(x
2.2 二次函数的图象与性质 第3课时湘教版九年级下册
1.（成都·中考）把抛物线 y x 2 向右平移1个单位，所得 抛物线的函数表达式为（ A. y x 1
2
）
B.
y ( x 1)
2
C. y x 1
2
D. y
( x 1)
2
【答案】D
2.（哈尔滨·中考）在抛物线y＝x2-4上的一个点 是（ ）． B．（1，一4）
抛物线 2 y=x 2 y=X +1
开口方向
对称轴
顶点坐标
向上 向上 向上
X=0 X=0 X=0
（０,０） (0，1) (0，-1)
y=x2-1
（4)把抛物线y=x2向上平移1个单位，就得到抛物线 y=x2+1；把抛物线y=x2向下平移1个单位，就得到抛物 线y=x2-1.
（5）它们的位置是由+1、-1决定的.
2
的开口方
向、对称轴及顶点吗？它与抛物线 y
2
x
2
有什么关系？
画出二次函数 y x 1 , y x 1 的图象，并
2 2
1
1
2
2
考虑它们的开口方向、对称轴和顶点．
x
y y 1 2 1 2
·· · ·· ·
－3
－2
1 2
－1
0
1 2
1
2
3
·· · ·· · ·· ·
2.2
二次函数的图象与性质
第3课时
1.经历探索二次函数y＝ax2＋k(a≠0)及y＝a(x+m)2(a≠0) 的图象作法和性质的过程. 2.能够理解函数y＝ax2＋k(a≠0)及y＝a(x+m)2(a≠0)与 y＝ax2的图象的关系，理解a,m,k对二次函数图象的影响. 3.能正确说出函数y＝ax2＋k,y＝a(x+m)2的图象的开口方 向，顶点坐标和对称轴.
【精】 《二次函数的图象和性质(第3课时)》精品教案
《二次函数（第3课时）》精品教案
（1）抛物线顶点坐标___________；
（2）对称轴为________；
（3）当x=____时，y有最大值是_____；
（4）当________时，y随着x得增大而增大．（5）当____________时，y＞0．
4.将函数y=3x+1的图象向______平行移动_____个单位，可使它经过点（1，-1）．
5.若将函数y=2x2的图象向右平行移动1个单位，再向上平移5个单位，可得到________________。
课堂小结通过本节课的内容，你有哪些收获？
（2）对称轴是x＝h．
（3）顶点是（h，k）．
（4）平移规律：h值正右移，负左移；k值正上移，负下移. 学会总结学
习收获，巩
固知识点，
理清知识间
的联系。
让学生
来谈本
节课的
收获，培
养学生
自我检
查、自我
小结的
良好习
惯，将知
识进行
整理并
系统化。
《二次函数的图象与性质(第3课时)》优秀课件
小结:
本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对
函数图象的讨论,分析归纳出 y a(x h)2 k
的性质:(1)a的符号决定抛物线的开口方向 (2)对称轴是直线x=h
(3)顶点坐标是(h,k)
抛物线
开口方向 对称轴 顶点坐标
y ax2 (a 0)
y ax 2 k(a 0) y a(x h)2 (a 0)
开口向上 开口向上 开口向上
直线X=0 直线X=0 直线X=h
(0,0) (0,k)
(h,0)
y a(x h)2 k(a 0) 开口向上 直线X=h (h,k)
2
直线x=-1
(- 1, 0)4，y2）（
1 4
，y3）为二次函数
y=(x-2)2图象上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为
___y_3_＜__y_2_＜__y1____.
典例精析
例1 抛物线y＝ax2向右平移3个单位后经过点(－1，4)， 求a的值和平移后的函数关系式．
解：设平移后的函数关系式为y＝a(x－3)2，
把x＝－1，y＝4代入，得4＝a(－1－3)2， ，
∴
1 a=
4
∴平移后二次函数关系式为y＝ 1 (x－3)2.
4
小结
比较y=ax2 ， y=ax²+k ， y=a(x-h)²的图像的不同
y=ax2 y=ax²+k
对称轴 Y轴
Y轴
(直线x=0） (直线x=0）
2) 如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得到 抛物线y=2x2
3) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平移得 到抛物线y=2(x+2)2-1
4) 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x轴方向平移后,经 过(3,5),求平移后的抛物线的解析式_______
二次函数的图像和性质(第3课时)课件-九年级数学下册同步精品课件(苏科版)
-1
1
对称轴左侧y随x增大而减小 －4
(6) 函数的增减性都相同：_________________________
___________________________.
对称轴右侧y随x增大而增大
2
－2
y=2x2-1
2
4
归纳总结
二次函数y=ax2 与y=ax2+k（a ≠ 0）的图像的关系
函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+k (a≠0)的图像形状________，只是位置不同；
y=2x2+1
解：列表：
x
…
–1.5
–1 –0.5
0
0.5
1
1.5
8
…
y=2x2+1
…
5.5
3
1.5
1
1.5
3
5.5
…
y=2x2
…
4.5
2
0.5
0
0.5
2
4.5
…
4
y=2x2-1
…
3.5
1 -0.5
-1 -0.5
1
3.5
…
2
－4
y=2x2
6
－用
根据图像填空:
y=2x2+1
y=x2－2
8
2
-6 -4 -2
o
2
4
6
x
当x=0时，y的值最小，最小值是－2.
函数y＝x2－2的图像可以由函数y=x2
图像向上移还是向下移，移多少个单位
长度，从函数表达式上看有什么规律吗? 的图像向下平移2个单位长度得到.
新知应用
在同一直角坐标系中，画出二次函数 y=2x²， y=2x2+1 ，y=2x2-1的图像.
九年级数学 21.2二次函数的图象和性质(共6课时)教学设计
21.2二次函数的图象和性质第1课时二次函数y=ax2的图象和性质教学目标【知识与技能】使学生会用描点法画出函数y=ax2的图象,理解并掌握抛物线的有关概念及其性质.【过程与方法】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象及性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验,培养学生分析、解决问题的能力.【情感、态度与价值观】使学生经历探索二次函数y=ax2的图象和性质的过程,培养学生观察、思考、归纳的良好思维品质.重点难点【重点】使学生理解抛物线的有关概念及性质,会用描点法画出二次函数y=ax2的图象.【难点】用描点法画出二次函数y=ax2的图象以及探索二次函数的性质.教学过程一、问题引入1.一次函数的图象是什么?反比例函数的图象是什么?(一次函数的图象是一条直线,反比例函数的图象是双曲线.)2.画函数图象的一般步骤是什么?一般步骤:(1)列表(取几组x,y的对应值);(2)描点(根据表中x,y的数值在坐标平面中描点(x,y));(3)连线(用平滑曲线).3.二次函数的图象是什么形状?二次函数有哪些性质?(运用描点法作二次函数的图象,然后观察、分析并归纳得到二次函数的性质.)二、新课教授【例1】画出二次函数y=x2的图象.(2)描点:根据上表中x,y的数值在平面直角坐标系中描点(x,y).(3)连线:用平滑的曲线顺次连接各点,得到函数y=x2的图象,如图所示.思考:观察二次函数y=x2的图象,思考下列问题:(1)二次函数y=x2的图象是什么形状?(2)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?(3)图象有最低点吗?如果有,最低点的坐标是什么?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2的图象,通过数形结合解决上面的3个问题.学生动手画图,观察、讨论并归纳,积极展示探究结果,教师评价.函数y=x2的图象是一条关于y轴(x=0)对称的曲线,这条曲线叫做抛物线.实际上二次函数的图象都是抛物线.二次函数y=x2的图象可以简称为抛物线y=x2.由图象可以看出,抛物线y=x2开口向上;y轴是抛物线y=x2的对称轴:抛物线y=x2与它的对称轴的交点(0,0)叫做抛物线的顶点,它是抛物线y=x2的最低点.实际上每条抛物线都有对称轴,抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点,顶点是抛物线的最低点或最高点.【例2】在同一直角坐标系中,画出函数y=x2及y=2x2的图象.思考:函数y=x2、y=2x2的图象与函数y=x2的图象有什么共同点和不同点?师生活动:教师引导学生在平面直角坐标系中画出二次函数y=x2、y=2x2的图象.学生动手画图,观察、讨论并归纳,回答探究的思路和结果,教师评价.抛物线y=x2、y=2x2与抛物线y=x2的开口均向上,顶点坐标都是(0,0),函数y=2x2的图象的开口较窄,y=x2的图象的开口较大.探究1:画出函数y=-x2、y=-x2、y=-2x2的图象,并考虑这些图象有什么共同点和不同点。
《22.1_课时3_二次函数y=ax^2+bx+c的图象与性质》名校教学设计
《二次函数2y=ax bx c ++的图象与性质》教学设计一、 教学内容分析本节课在讨论了二次函数2y=a x h k +（-）的图象与性质的基础上对二次函数2y=ax bx c ++的图象与性质进行研究.主要的研究方法是通过配方将2y=ax bx c ++向2y=a x h k +（-）转化.在具体探究过程中，从特殊的例子出发，分别研究a>0和a<0的情况，再由从特殊到一般的方法得出2y=ax bx c ++的图象和性质.将二次函数2y=ax bx c ++通过配方化为2y=a x h k +（-）时，学生不理解恒等变形的本质，容易将配方法解一元二次方程与配方为顶点式混淆.二次函数的图象是它性质的直观体现，对了解和掌握二次函数的性质具有形象直观的优势.二次函数作为初中阶段学习的重要函数模型，对学生理解函数的性质掌握研究函数的方法、体会函数的思想是十分重要的.因此本节课的重点是二次函数的图象与性质的理解与掌握，应教会学生画二次函数的图象，并能借助函数图象来研究函数性质并解决相关的问题.本节课的难点是二次函数学习过程中蕴含的数学思想方法、函数图象的特征和变化及二次函数性质的灵活应用. 二、 学情分析学生已经学习了二次函数2y=a x h k +（-）的图象及性质，面对形如2y=ax bx c ++的二次函数，要想到将其转化为2y=a x h k +（-）的形式，如何进行转化是学生思维的难点. 三、 教学目标1.能将二次函数2y=ax bx c ++配方为2y=a x h k +（-）的形式. 2.会求二次函数2y=ax bx c ++的顶点坐标、对称轴.3.能根据图象分析出二次函数2y=ax bx c ++的性质并会利用性质解决问题.4.能将新问题转化为已经解决的问题，体会化归的数学思想. 重点难点二次函数学习过程中蕴含的数学思想方法、函数图象的特征和变化及二次函数性质的灵活应用.四、评价设计学习评价量表五、教学活动设计2y=ax bx c++上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：下列结论：①抛物线2y=ax bx c++的开口向下；②抛物线2y=ax bx c++的对称轴为直线x=1；③方程2y=ax bx c++的根为0和2；④当y>0时，x的取值范围是x<0或x>2.其中正确的是（）A.①④B.②④C.②③D.③④六、板书设计二次函数2y=ax bx c ++的图象与性质1. 二次函数的一般式：2y=ax bx c ++，顶点式：2y=a x h k +（-） . 222222222y=ax bx c=a x c=a x c 2a 2a =a(x+)2a 44a(x+)2a 4ba b b b a b b ca b ac b a++⎡⎤++-+⎢⎥⎣⎦-+-=+（+x ）+ x （）（） 顶点坐标为242a 4b ac b a -（-,）,对称轴为直线x=2ab -. 2.归纳二次函数2y=ax bx c ++的性质. 3.解：（1）方法1 222y=-x 2x 3=-x x =x 2x 11++-+-（+2）+3-（）+322x 2x+1=x 1 4.---+（）+4-（）∴.该抛物线的开口向下，对称轴是直线x=1，顶点是（1，4）. 方法2：∵a=-1，b=2，c=3，∴2224ac b 4(1)32==1 4.2a 24a 4(1)b -⨯-⨯---==⨯⨯-，（-1） ∴该抛物线的开口向下，对称轴是直线x=1，顶点是（1，4）. （2）当y=0时，2x 2x+3=0-+，，解得1x =-1，2x =3， ∴该抛物线与x 轴的交点坐标分别为（-1，0）和（3，0）.当x=0时，y=3，∴该抛物线与y 轴的交点坐标为（0，3）.（4）∵该抛物线的开口向下，且对称轴是直线x=1， ∴在对称轴右侧，即当x>1时，y 随x 的增大而减小. ∵2x ＞1x ＞1，∴1y ＜2y .（5）∵22y=x 23(x 1)4,x -++=--+∴将该抛物线向上平移1个单位长度，并向左平移2个单位长度后，得到的新抛物线对应的函数解析式为222y=x-1+241(x 1)5=x 2 4.x ++=--+--+（）七、达标检测与作业A 级1.将抛物线2y=x 2x -先向上平移3个单位长度，再向右平移4个单位长度得到的抛物线对应的函数的解析式为 .2.若二次函数2y=x b 5x ++配方后为2y=x-2k +（），则b ，k 的值分别为 .3.将下列函数配方成2y=a x h k +（-）的形式，画出图象，求图象的顶点、对称轴、最值、增减性及与坐标轴的交点坐标.（1）2y=x 610x ++；；（2）2y=-2x 57.x -+4.求下列各函数与坐标轴的交点坐标及交点间的距离 （1）2y=x 23x --； （2）2y=x x +.5.已知抛物线2y=ax bx c ++，在下列条件下确定a ，b ，c 的取值范围 （1）抛物线的顶点是原点； （2）抛物线经过原点； （3）抛物线的顶点在y 轴上； （4）抛物线的顶点在x 轴上.6.已知二次函数2y=x -4x+3.（1）用配方法将2y=x -4x+3.化成2y=a x h k +（-）的形式； （2）在如图所示的直角坐标系xOy 中画出该函数的图象； （3）当0≤x≤3时，y 的取值范围是 .7.将函数2y=x b c x ++的图象先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到2y=x 21x -+的图象，求b ，c 的值.8.当x=4时，函数2y=x b c x ++有最小值-8. （1）求函数图象的对称轴和顶点； （2）求函数的解析式；（3）x 取什么值时，y 随x 的增大而增大？x 取什么值时，y 随x 增大而减小？B 级9.已知二次函数2y=2x 4 6.x +-（1）将其化成2y=a x h k +（-）的形式； （2）写出开口方向、对称轴、顶点； （3）求图象与两坐标轴的交点坐标； （4）画出函数图象；（5）说明该函数图象与抛物线2y=2x 的关系； （6）当x 取何值时，y 随x 增大而减小？ （7）当x 分别取何值时，y>0，y=0，y<0？ （8）当x 取何值时，函数y 有最值？其最值是多少？ （9）当-4<x<0时，求y 的取值范围（10）求函数图象与两坐标轴交点所围成的三角形面积.10.若二次函数2y=ax 4.x a ++的最大值是3，求a 的值.11.（1）若A （134-，1y ），B （54-，2y ），C （14，3y ）为二次函数2y=x 43x ++图象上的三个点，判断1y ，2y ，3y 的大小关系.（2）已知二次函数2y=-2x 4x+m+2+，，若1x =-4，2x =-1，3x =2，判断相对应的函数值1y ，2y ，3y 的大小关系.12.对于二次函数y=2（x+1）（x-3），下列说法中正确的是（ ）A.图象的开口向下B.当x>1时，y 随x 的增大而减小C.当x<1时，y 随x 的增大而减小D.图象的对称轴是直线x=-113.已知函数2y=x 2x 3--，，当-1≤x≤a时，函数的最小值是-4，则实数a 的取值范围是 .14.如图，已知抛物线2y=x +bx+3的对称轴为x=2，点A ，B 均在抛物线上，且AB ∥x 轴，求点B 的坐标.C 级15.将抛物线2y=-x 4x 5--上、下平移，使其顶点恰好落在正比例函数y =-x 的图象上，求平移的距离及平移后得到的抛物线对应的二次函数解析式.16.求证：不论m 取任何实数，抛物线22y=x 2mx+m 2m 1-+-的顶点坐标都在一条直线上.求出这条直线对应的函数解析式.17.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间近似满足函数关系2y=x bx+c +（a≠0）.右图记录了某运动员起跳后的x 与y 的三组对应数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（ ）A.10 mB.15 mC.20 mD.22.5 m18.已知函数2y=x 2mx -的顶点为点D.（1）求点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）求函数2y=x 2mx -的图象与x 轴的交点坐标；（3）若函数2y=x 2mx -的图象在直线y=m 的上方，求m 的取值范围.八、教学反思本节课首先通过回顾旧知，使学生体会确定二次函数图象对称轴和顶点坐标对画函数图象的重要性，然后对一般形式的二次函数2++进行配方得y=ax bx c出顶点式，进而得到二次函数2++图象的对称轴和顶点坐标，并总结归y=ax bx c纳出它的性质.在教学过程中，留给学生足够时间去画图象，让学生亲自去探索与发现，培养对知识的迁移能力.在归纳二次函数性质的时候，充分发挥学生的聪明才智，鼓励学生大胆地用自己的语言归纳，加深对所学内容的理解.学习本节课之前学生探究过二次函数2（-）的图象与性质，面对形+y=a x h k如2（-）的形式，这种化+y=ax bx cy=a x h k++的二次函数，要想到将其转化为2归思想是学生学习经验中所欠缺的在将2++通过配方化为y=ax bx c2（-）时，学生由于不理解恒等变形的本质，容易将配方法解一元二次+y=a x h k方程与配方为顶点式混淆.本节课关注研究问题的方法的渗透，如何想到将二次函数一般式化为顶点式这种转化思想是本节课学生需要突破的一个难点.在今后的课堂上要把激发学生学习热情和获得学习能力放在教学首位，运用各种具有启发性、激励性的语言，以及组织小组合作学习，帮助学生形成积极主动的求知态度.。