二次函数的图像(第3课时)教案
《二次函数的图象与性质》(第3课时)示范公开课教学设计【北师大版九年级数学下册】
第二章 二次函数2.2 二次函数的图象与性质第3课时 教学设计一、教学目标1．经历探索二次函数y =a (x -h )2+k 的图象的作法和性质的过程．2．能够作出y =a (x -h )2和y =a (x -h )2+k 的图象，并能够理解它们与y =ax 2的图象的关系，理解a ，h 和k 对二次函数图象的影响．3．能够正确说出y =a (x -h )2+k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．二、教学重点及难点重点：1．经历探索二次函数y =a (x -h )2+k 的图象的作法和性质的过程．2．能够作出y =a (x -h )2和y =a (x -h )2+k 的图象，并能够理解它们与y =ax 2的图象之间的关系，理解a ，h 和k 对二次函数图象的影响．难点：1．能够理解y =a (x -h )2、y =a (x -h )2+k 与y =ax 2的图象之间的关系，理解a ，h 和k 对二次函数图象的影响．2．能够正确说出y =a (x -h )2+k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．三、教学用具多媒体课件、直尺或三角板。
四、相关资源《复习二次函数y =ax 2和y =ax 2+c 的图象与性质》动画，《画二次函数y =2(x -1)2和y =2x 2图象》动画，《画二次函数y =2(x -1)2和y =2x 2图象》图片，《二次函数y =2x 2，2122y x =-，y =2(x +3)2，212(3)2y x =+-图象》图片. 五、教学过程【复习导入】函数y =ax 2+c 的图象可以由函数y =ax 2的图象上下平移得到，那么它们平移的规律是怎样的？师生活动：教师给出问题，学生思考后回答．答：当c＞0时，将二次函数y=ax2的图象向上平移|c|个单位长度可以得到二次函数y=ax2+c的图象；当c＜0时，将二次函数y=ax2的图象向下平移|c|个单位长度可以得到二次函数y=ax2+c的图象．我们这节课要研究的问题——二次函数y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系．设计意图：创设问题情境，让学生通过类比已学过知识的研究方式来猜想、探究新内容，同时激发学生的好奇心和求知欲．【探究新知】做一做在同一直角坐标系中画出二次函数y=2(x-1)2和y=2x2的图象．师生活动：师生一起完成画图，教师先出示表格，由学生说出x对应的y值，再描点、连线．教师强调在连线时，注意要用平滑的曲线连线，不能直接用线段把点与点之间连接．解：（1）列表：在x的取值范围内列出函数的对应值表：（2）在直角坐标系中描点：用表里各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描点．（3）连线：用光滑的曲线顺次连接各点，得到函数y=2(x-1)2和y=2x2的图象，如下图．设计意图：通过学生动手绘制，加深对函数图象的认识．议一议二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而增大？当x取哪些值时，y的值随x值的增大而减小？类似地，你能发现二次函数y=2(x+1)2的图象与二次函数y=2x2的图象有什么关系吗？师生活动：教师出示问题，学生分组讨论，与组内同学交流自己的想法，教师找每组内学生代表回答．答：由右图可以看出，二次函数y=2(x-1)2的图象与二次函数y=2x2的图象形状相同，开口方向也相同，都向上，但对称轴和顶点坐标不同．二次函数y=2(x-1)2的图象的对称轴是直线x=1，顶点坐标是（1，0）．实际上，只要将二次函数y=2x2的图象向右平移1个单位长度，就可以得到二次函数y=2(x－1)2的图象．对于二次函数y=2(x－1)2的图象，当x＞1时，y 的值随x 值的增大而增大；当x ＜1时，y 的值随x 值的增大而减小．（画二次函数y =2(x -1)2和y =2x 2图象）类似地，二次函数y =2(x +1)2的图象与二次函数y =2x 2的图象形状相同，开口方向也相同，都向上，只是位置不同．将二次函数y =2x 2的图象向左平移1个单位长度，就可以得到二次函数y =2(x +1)2的图象，二次函数y =2(x +1)2的图象是轴对称图形，它的对称轴是直线x =-1，顶点坐标是（-1，0）．对于二次函数y =2(x +1)2的图象，当x ＞-1时，y 的值随x 值的增大而增大；当x ＜-1时，y 的值随x 值的增大而减小．归纳 二次函数y =a (x -h )2的图象与二次函数y =ax 2的图象形状相同，位置不同；当h ＞0时，二次函数y =ax 2的图象向右平移|h |个单位长度可以得到二次函数y =a (x -h )2的图象；当h ＜0时，二次函数y =ax 2的图象向左平移|h |个单位长度可以得到二次函数y =a (x -h )2的图象．设计意图：通过在同一直角坐标中比较三个函数的图象，使三个函数的图象特点一目了然，启发学生寻找规律，从而得出结论．想一想 由二次函数y =2x 2的图象，你能得到二次函数2122y x =-，y =2(x +3)2，212(3)2y x =+-的图象吗？你是怎样得到的？与同伴进行交流． 师生活动：教师在同一直角坐标系中画出四个函数的图象，让学生通过观察图象、思考、讨论，最后得出结果．（二次函数y =2x 2，2122y x =-，y =2(x +3)2，212(3)2y x =+-图象） 答：通过观察图象可以得出，由二次函数y =2x 2的图象向下平移12个单位长度，就可以得到二次函数2122y x =-的图象；由二次函数y =2x 2的图象向左平移3个单位长度，就可以得到二次函数y =2(x +3)2的图象；由二次函数y =2x 2的图象先向左平移3个单位长度，再向下平移12个单位长度，就可以得到二次函数212(3)2y x =+-的图象． 设计意图：培养学生分析问题和解决问题的能力．议一议 二次函数y =a (x -h )2+k 与y =ax 2的图象有什么关系？师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，师生共同得出答案．答：二次函数y =a (x -h )2+k 的图象与二次函数y =ax 2的图象都是抛物线，它们的形状相同，但位置不同．把二次函数y =ax 2的图象向上（下）向左（右）平移，可以得到二次函数y =a (x -h )2+k 的图象，平移的方向、距离要根据h ，k 的值来决定．设计意图：将学生探索得出的信息总结出来形成结论．归纳 二次函数y =a (x -h )2+k 的图象的对称轴是直线x =h ，顶点坐标是（h ，k ）．（1）当a ＞0时，二次函数y =a (x -h )2+k 的图象的开口向上，在对称轴的左侧（当x ＜h 时），图象自左向右下降，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧（当x ＞h 时），图象自左向右上升，y 随x 的增大而增大．顶点是二次函数图象的最低点，此时，函数y 取得最小值，即当x =h 时，y 有最小值k ．（2）当a ＜0时，二次函数y =a (x -h )2+k 的图象的开口向下，在对称轴的左侧（当x ＜h 时），图象自左向右上升，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧（当x ＞h 时），图象自左向右下降，y 随x 的增大而减小．顶点是二次函数图象的最高点，此时，函数y 取得最大值，即当x =h 时，y 有最大值k ．二次函数y =a (x -h )2+k 的图象可以由二次函数y =ax 2的图象平移得到．设计意图：对知识进行归纳，加深学生对知识的理解和掌握．【典例精析】例 若将抛物线y =x 2+1先向左平移2个单位，再向下平移3个单位，那么所得抛物线的函数关系式是（ ）．A ．y =(x +2)2+2B ．y =(x +2)2-2C ．y =(x -2)2+2D ．y =(x -2)2-2师生活动：教师出示例题，找学生代表回答．答案：B ．设计意图：巩固所学知识，加深对所学知识的理解．【课堂练习】1．对于抛物线的说法错误的是（ ）． A ．抛物线的开口向下 B ．抛物线的顶点坐标是（1，0）C ．抛物线的对称轴是直线x =1D ．当x ＞1时，y 随x 的增大而增大2．将抛物线向左平移2个单位后，其顶点坐标为（ ）． A ．（-3，-2） B ．（-2，0） C ．（-5，0） D ．（-3，0）3．将抛物线沿x 轴向左平移2个单位，再沿y 轴向下平移3个单位得到抛物线（ ）．A ．B ．C ．D ． 4．由二次函数y =2(x -3)2+1，可知（ ）．A ．其图象的开口向下B ．其图象的对称轴为直线x =-321(1)2y x =--21(3)2y x =+243y x =-24(2)33y x =---24(2)33y x =-+-24(2)33y x =--+24(2)33y x =-++C ．其最小值为1D ．当x ＜3时，y 随x 的增大而增大5．抛物线的对称轴是_________，顶点坐标是___________；当x ＞2时，y 随x 的增大而__________；当x ＜2时，y 随x 的增大而__________；当x =______时，函数有_______值，其值为_________．6．若二次函数的图象的对称轴是直线，且图象经过点A (0，-4)和B (4，0)．求此二次函数的解析式．师生活动：教师先找几名学生代表回答，然后讲解出现的问题．参考答案1．D ．2．C ．3．B ．4．C ．5．直线x =2；（2，7）；减小；增大；2；大；7． 6．解：设此二次函数的解析式为． 将点A ，点B 的坐标代入解析式，得解得 所以此二次函数的解析式为． 设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识． 六、课堂小结1．二次函数y =a (x -h )2的性质二次函数y =a (x -h )2的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x =h ，顶点坐标是（h ，0）．（1）当a ＞0时，抛物线y =a (x -h )2的开口向上，在对称轴的左侧（当x ＜h 时），图象自左向右下降，y 随x 的增大而减小；在对称轴的右侧（当x ＞h 时），图象自左向右上升，y 随x 的增大而增大．顶点是抛物线的最低点，此时，函数y 取得最小值，即当x =h 时，y 有最小值0．（2）当a ＜0时，抛物线y =a (x -h )2的开口向下，在对称轴的左侧（当x ＜h 时），图象自左向右上升，y 随x 的增大而增大；在对称轴的右侧（当x ＞h 时），图象自左向右下降，y 随x 的增大而减小．顶点是抛物线的最高点，此时，函数y 取得最大值，即当x =h 时，y 21(2)73y x =--+32x =23()2y a x k =-+9442504a k a k ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，．1254a k =⎧⎪⎨=-⎪⎩，．232524y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭有最大值0．2．二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象之间的关系二次函数y=a(x-h)2的图象与二次函数y=ax2的图象形状相同，位置不同．二次函数y=a(x-h)2的图象可由二次函数y=ax2的图象经过左右平移得到．当h＞0时，二次函数y=a(x-h)2的图象可看成是将二次函数y=ax2的图象向右平移|h|个单位长度得到的；当h＜0时，二次函数y=a(x-h)2的图象可看成是将二次函数y=ax2的图象向左平移|h|个单位长度得到的．3．二次函数y=a(x-h)2+k的性质二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=h，顶点坐标是(h，k)．（1）当a＞0时，抛物线y=a(x-h)2+k的开口向上，在对称轴的左侧（当x＜h时），图象自左向右下降，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧（当x＞h时），图象自左向右上升，y随x的增大而增大．顶点是抛物线的最低点，此时，函数y取得最小值，即当x=h时，y 有最小值k．（2）当a＜0时，抛物线y=a(x-h)2+k的开口向下，在对称轴的左侧（当x＜h时），图象自左向右上升，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧（当x＞h时），图象自左向右下降，y随x的增大而减小．顶点是抛物线的最高点，此时，函数y取得最大值，即当x=h时，y 有最大值k．4．二次函数y=a(x-h)2+k的图象与二次函数y=ax2的图象之间的关系二次函数y=a(x-h)2+k的图象与二次函数y=ax2的图象形状相同，位置不同．把二次函数y=ax2的图象向上（下）向左（右）平移，可以得到二次函数y=a(x-h)2+k的图象．平移的方向、距离要根据h，k的值来决定．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．七、板书设计2.2二次函数的图象与性质（3）1．二次函数y=a(x-h)2的图象与性质2．二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质。
2第3课时二次函数y=ax2+k的图象PPT课件(人教版)
7
6
y 2x2 1
5
4
3
2
y 2x2
1
你能由函数y＝2x2的性质，得到函数y＝2x2＋1的一些性 质吗?
完成填空：
当x__﹤__0__时，函数值y随x的增大而减小；当x_﹥___0__时， 函数值y随x的增大而增大，当x__=_0___时，函数取得最 ____小__值，最____小__值y＝___1___．
上加下减
6
4 2
－4 －2 －2
－4
24
一般地,抛物线y=ax2+k有如下特点:
(1)当a>0时, 开口向上; 当a<0时,开口向下;
(2)对称轴是y轴; (3)顶点是(0,k).
yy 1 x2 1
1
2
y 10
9
-5 -4 -3 -2 y-1--12o121x2 2 3 4 5 x
8
-3
7
-4
6 5
将抛物线y=-x2+1向___下__平移___1__个单位得到抛物线y=-x2。
总结梳理 内化目标
二次函数y=ax²+k与y=ax²的关系
1.相同点: w (1)图象都是抛物线, 形状相同, 开口方向相 同. w(2)都是轴对称图形, 对称轴都是y轴. w(3)都有最(大或小)值.
2.不同点: (4)(增1)顶减点性不相同同:.分别是(0,k),(0,0). (2)最值不同:分别是k和0.
3.联系: y=ax²+k(a≠0) 的图象可以看成y=ax²的图象沿y轴整体平 移|k|个单位得到的.(当k>0时向上平移;当k<0时,向下平移).
达标检测 反思目标
C D
B 2
2.2 二次函数的图象与性质(第3课时)优秀教学设计
《二次函数的图象与性质（第3课时）》教学设计说明一、教学目标1、学生会画出特殊二次函数2)(h x a y -=的图象，正确地说出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，能理解它们的图象与抛物线2ax y =的图象的关系，理解h a ,对二次函数图象的影响.2、培养学生动手作图的能力，观察、类比、归纳的能力，以及用数形结合的方法思考并解决问题的能力.二、教学重点：二次函数2)(h x a y -=的图象与性质.教学难点：二次函数2)(h x a y -=图象与图象2ax y =之间的关系，h a ,对二次函数图象的影响.三、教学过程分析第一环节: 回顾，引入新课1、问题1 说说二次函数y=ax2+c(a ≠0)的图象的特征.问题2 说一说二次函数 y=ax2+c （a ≠0）与 y=ax2（a ≠ 0） 图象的平移关系？思考 函数的图象与函数 的图象有什么关系呢？（完成书37页的做一做）设计意图：复习前两节课内容，唤醒学生记忆，提出问题，为下面的教学作准备.第二环节: 合作探究,发现和验证探究：2)(h x a y -=的图象和性质学生独立完成课本37页上“做一做”，完成后小组内交流.()212-=x y 22x y =观察上表，比较22x 与2)1(2-x 的值，它们有什么样的关系？2、在同一坐标系中作出22x y =与2)1(2-=x y 的图象.同伴交流：你是怎样作的?3、结合图象，议一议二次函数2)1(2-=x y 的图象与二次函数22x y =的图象有什么关系？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？当x 取哪些值时，y 的值随x 值的增大而增大？当x 取哪些值时，y 的值随x 值的增大而减小？4、结合初二图形变换的知识，能否用移动的观点说明函数2)1(2-=x y 与22x y =的图象之间的关系呢?5、猜一猜：2)1(2+=x y 的图象是怎么样的？它的图象与22x y =的图象之间有什么样的关系？画图验证一下！得出结论：二次函数22x y =、2)1(2-=x y 、2)1(2+=x y 的图象都是抛物线，并且形状相同，位置不同.将22x y =的图象向右平移一个单位,就得到2)1(2-=x y 的图象; 将22x y =的图象向左平移一个单位,就得到2)1(2+=x y 的图象. 设计意图：通过填表、画图等活动，在帮助学生获取感性材料的同时，促使他们积极思考、探索、发现规律，揭示结论.先猜测，培养学生的合情推理能力和分析能力，再画图验证，亲身经历探索函数性质的过程.第三环节：巩固新知：1、将二次函数y ＝－2x 2的图象平移后，可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象，平移的方法是( )A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位2.把抛物线y = -x 2沿着x 轴方向平移3个单位长度，那么平移后抛物线的解析式是 .3.二次函数y =2(x - )2图象的对称轴是直线_______，顶点坐标是________.4.指出下列函数图象的开口方向,对称轴和顶点坐标5. 若（- ，y 1）（- ，y 2）（，y 3）为二次函数y =(x -2)2图象上的三点，则y 1 ，y 2 ，y 3的大小关系为_______________. 第四环节：典例解析：例1 抛物线y ＝ax 2向右平移3个单位后经过点(－1，4)，求a 的值和平移后的函数关系式．第五环节：课堂小结比较y=ax2 ， y=ax ²+k ， y=a(x-h)² 的图像的不同拓展探究二：k h x a y +-=2)(的图象和性质想一想：由二次函数y=2x ²的图象你能得到y=2(x+3)²的图象吗？由y=2(x+3)²的图象你能得到y=2(x+3)²- 的图象吗？设计意图:经过前期的探索,学生完全有能力推测出表达式的变化会引起图象的何种变化.因此,先让学生合情推理，再画图验证，培养学生的合情推理能力和分析能力， 有利于培养学生的数学直觉和感悟能力.利用图象,直观地研究二次函数的性质,可以培养学生用数形结合的方法思考,积累研究函数性质的经验.最后,总结规律, 有效地让学生从感性认识上升到了理性认识, 并形成自己对本节课重点内容的理解.23445421小结：学生交流后得出结论:当k>0时，向上平移|k| 个单位长度当k<0时，向下平移|k| 个单位长度2.练一练： 1）若抛物线y=-x2向左平移2个单位,再向下平移4个单位所得抛物线的解析式是________ 2) 如何将抛物线y=2(x-1) 2+3经过平移得到抛物线y=2x23) 将抛 物线y=2(x -1)2+3经过怎样的平移得到抛物线y=2(x+2)2-14) 若抛物线y=2(x-1)2+3沿x 轴方向平移后,经过(3,5),求平移后的抛物线的解析式_______ 小结:本节课主要运用了数形结合的思想方法,通过对函数图象的讨论,分析归纳出 的性质:(1)a 的符号决定抛物线的开口方向(2)对称轴是直线x=h。
2.2 二次函数的图象与性质 第3课时 教案
一、情境导入二次函数y ＝ax 2＋c (a ≠0)的图象可以由y ＝ax 2(a ≠0)的图象平移得到： 当c >0时，向上平移c 个单位长度； 当c <0时，向下平移－c 个单位长度．问题：函数y ＝ (x －2)2的图象，能否也可以由函数y ＝ x 2平移得到？本节课我们就一起讨论． 二、合作探究探究点：二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质 【类型一】 二次函数y ＝a (x －h )2的图象顶点为(－2，0)，开口方向、形状与函数y ＝－12x 2的图象相同的抛物线的解析式为( )A ．y ＝12(x －2)2B ．y ＝12(x ＋2)2C ．y ＝－12(x ＋2)2D ．y ＝－12(x －2)2解析：因为抛物线的顶点在x 轴上，所以可设该抛物线的解析式为y ＝a (x －h )2(a ≠0)，而二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)与y ＝－12x 2的图象相同，所以a ＝－12，而抛物线的顶点为(－2，0)，所以h ＝2，把a＝－12，h ＝2代入y ＝a (x －h )2得y ＝－12(x ＋2)2.故选C.方法总结：决定抛物线形状的是二次项的系数，二次项系数相同的抛物线的形状完全相同． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练” 第5题 【类型二】 二次函数y ＝a (x －h )2的性质若抛物线y ＝3(x ＋2)2的图象上的三个点，A (－32，y 1)，B (－1，y 2)，C (0，y 3)，则y 1，y 2，y 3的大小关系为________________．解析：∵抛物线y ＝3(x ＋2)2的对称轴为x ＝－2，a ＝3＞0，∴x ＜－2时，y 随x 的增大而减小；x ＞－2时，y 随x 的增大而增大．∵点A 的坐标为(－32，y 1)，∴点A 在抛物线上的对称点A ′的坐标为(2，y 1)．∵－1＜0＜2，∴y 2＜y 3＜y 1.故答案为y 2＜y 3＜y 1.方法总结：函数图象上点的坐标满足解析式，即点在抛物线上．解决本题可采用代入求值方法，也可以利用二次函数的增减性解决．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升” 第4题 【类型三】 二次函数y ＝a (x －h )2的图象与y ＝ax 2的图象的关系将二次函数y ＝－2x 2的图象平移后，可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象，平移的方法是( )A ．向上平移1个单位B ．向下平移1个单位C ．向左平移1个单位D ．向右平移1个单位解析：抛物线y ＝－2x 2的顶点坐标是(0，0)，抛物线y ＝－2(x ＋1)2的顶点坐标是(－1，0)．则由二次函数y ＝－2x 2的图象向左平移1个单位即可得到二次函数y ＝－2(x ＋1)2的图象．故选C.方法总结：解决本题要熟练掌握二次函数的平移规律．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题 【类型四】 二次函数y ＝a (x －h )2与三角形的综合如图，已知抛物线y ＝(x －2)2的顶点为C ，直线y ＝2x ＋4与抛物线交于A 、B 两点，试求S △ABC .解析：根据抛物线的解析式，易求得点C 的坐标；联立两函数的解析式，可求得A 、B 的坐标．画出草图后，发现△ABC 的面积无法直接求出，因此可将其转换为其他规则图形的面积求解．解：抛物线y ＝(x －2)2的顶点C 的坐标为(2，0)，联立两函数的解析式，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ＋4，y ＝（x －2）2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝4，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝6，y 2＝16.所以点A 的坐标为(6，16)，点B 的坐标为(0，4)．如图，过A 作AD ⊥x 轴，垂足为D ，则S △ABC ＝S 梯形ABOD －S △ACD －S △BOC ＝12(OB ＋AD )·OD －12OC ·OB－12CD ·AD ＝12(4＋16)×6－12×2×4－12×4×16＝24. 方法总结：解决本题要明确以下两点：(1)函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解；(2)不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题 【类型五】 二次函数y ＝a (x －h )2的探究性问题某抛物线是由抛物线y ＝－2x 2向左平移2个单位得到． (1)求抛物线的解析式，并画出此抛物线的大致图象； (2)设抛物线的顶点为A ，与y 轴的交点为B . ①求线段AB 的长及直线AB 的解析式；②在此抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△ABC 为等腰三角形？若存在，求出这样的点C 的坐标；若不存在，请说明理由．解析：(1)抛物线y ＝－2x 2向左平移2个单位所得的抛物线的解析式是y ＝－2(x ＋2)2；(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式，即可得出其顶点A 和B 点的坐标，然后根据A ，B 两点的坐标即可求出直线AB 的解析式；②本题要分三种情况进行讨论解答．解：(1)y ＝－2(x ＋2)2，图略；(2)①根据(1)得出的抛物线的解析式y ＝－2(x ＋2)2，可得A 点的坐标为(－2，0)，B 点的坐标为(0，－8)．因此在Rt △ABO 中，根据勾股定理可得AB ＝217.设直线AB 的解析式为y ＝kx －8，已知直线AB 过A 点，则有0＝－2k －8，k ＝－4，因此直线AB 的解析式为y ＝－4x －8；②本题要分三种情况进行讨论：当AB ＝AC 时，此时C 点的纵坐标的绝对值即为AB 的长，因此C 点的坐标为C 1(－2，217)，C 2(－2，－217)；当AB ＝BC 时，B 点位于AC 的垂直平分线上，所以C 点的纵坐标为B 点的纵坐标的2倍，因此C 点的坐标为C 3(－2，－16)；当AC ＝BC 时，此时C 为AB 垂直平分线与抛物线对称轴的交点．过B 作BD 垂直于抛物线的对称轴于D ，那么在直角三角形BDC 中，BD ＝2(A 点横坐标的绝对值)，CD ＝8－AC ，而BC ＝AC ，由此可根据勾股定理求出AC ＝174，因此这个C 点的坐标为C 4(－2，174)． 综上所述，存在四个点，C 1(－2，217)，C 2(－2，－217 )，C 3(－2，－16)，C 4(－2，－174)．方法总结：本题主要考查了二次函数图象的平移及等腰三角形的构成情况，主要涉及分类讨论、数形结合的数学思想方法的运用．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题 三、板书设计二次函数y ＝a (x －h )2的图象与性质。
5.2 二次函数的图像和性质(第3课时)-九年级数学下册教材配套教学课件(苏科版)
-10 y
1
x2
3
抛物线y=ax2+k可以由抛物线y=ax2向上或2向下平移
|k|得到.
(k>0,向上平移;k<0向下平移.)
在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的
图像：
y=
பைடு நூலகம்1 2
x2，y=
1 2
x2+2，y=
1 2
x2-2.
观察三条抛物线的位置关系，并分别指出它
们的开口方向、对称轴和顶点.你能说出抛物
2
y= 1 x2-2的顶点为（0，-2）.
2
y=
1 2
x2+k的开口方向向上，对称轴为直线
x=0，顶点为（0，k）；它是由抛物线
y= 1 x2向上平移k个单位长度得到.
2
二次函数y=ax2+k的性质
y＝ax2+k
a>0
a<0
图像
开口 对称性
顶点
增减性
开口向上
开口向下
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称
想一想，在同一坐标系中作出二次函数 y=3(x+1)2的图像，它的增减性会是什么 样?
真知从实践走来 1.在上面的坐标系中作出二次函数
y=3(x+1)2的图像.它与二次函数y=3x2和
y=3(x-1)2的图像有什么关系？它是轴对
称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是
什么?
?
函数y=a(x-h)2(a≠0)的图像和性质
(1)当a>0时，开口向上;当a<0时，开口向下;
(2)对称轴是y轴；(3)顶点是(0，k).
y y 1 x2 1
1
1.2 第3课时 二次函数的图象与性质-2024-2025学年九年级数学下册课件(湘教版)
（h,k）
当x=h时，y最小值=k
当x＜h时，y随x的 增大而减小；x＞h 时，y随x的增大而 增大.
a＜0
向下 直线x=h
（h,k）
当x=h时，y最大值=k 当x＞h时，y随x的 增大而减小；x＜h 时，y随x的增大而 增大.
练一练
1点．坐标抛是物_线(_0_,-y_6_)_，12它x可2 以 看6 作的是开由口抛__向物__上线__，对y 称 轴12 是x2___y向_轴____下__，平顶
横坐标
a a
纵坐标
1 a-12
2
1 a-12 3
2
观察上表你 发现了什么？
从上表看出： 对于每一个相同的x 值， 函数
y
1 2
(
x
1)2
3的值都要比函数
y
1 2
(
x
1)2
的值大3，
y
8
y
1 2
(
x
1)2
3
76Leabharlann 5 4y1 2
(x
1)2
3
2
1
-4
-3
-2
y
1 2
(
x
1)2
-1
O1
2
3
4
5
6x
向上平移3个单位
y
1 2
(
x
1)2
3
探究三、 将二次函数
y
1 2
(x
1)2
的图象向下平移 7 个单位，
得到的是哪个函数的图象？
y
1 2
(
x
1)2
7
探究四、二次函数 y a( x h)2 与 y a(x h)2 k
人教版九上数学教学课件 第二十二章 二次函数 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
答：这个喷水池的直径 AB 是 20 m。
Thank you!
y
hO k
x
y=ax2
y=a(x-h)2+k
例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管， 在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池 中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m，水柱落地处离 池中心3m，水管应多长.
解：如图,以水管与地面交点为原点，原点
3
与水柱落地处所在直线为x轴，水管所在直
随堂测试
基础巩固 1.抛物线y＝(x＋2)2－1可以由抛物线y＝x2平移得到，下列平 移方法中正确的是( B ) A．先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 B．先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度 C．先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度 D．先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度
3 4 m 处达到最高，高度为 6 m，之后落在水池边缘，求这个喷水池的直径 AB 的值．
解：设 y 轴右侧抛物线的解析式为 y＝a(x－4)2＋6，将(0，10 )代入得 3
16a＋6＝10 ，解得 a＝－1 ，∴抛物线的解析式为 y＝－1 (x－4)2＋6，令 y
3
6
6
＝0 得－1 6
(x－4)2＋6＝0，x1＝10，x2＝－2(舍) ∴AB＝10－(－10)＝20(m).
R·九年级上册
第二十二章 二次函数
22.1 二次函数的图像和性质 22.1.3 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
新课导入
问题：说说抛物线y=ax2的平移规律.
y=ax2
y=ax2+k
22.1.3 第3课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质说课稿
22.1.3 第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质教学设计【典型例题】例1对二次函数y＝－5(x＋2)2－6的说法错误的是(C)A.开口向下B．最大值为－6C.顶点(2，－6) D．x＜－2时，y随x的增大而增大例2如何平移二次函数y＝4(x＋3)2－7的图象，可得到二次函数y＝4x2的图象？解：二次函数y＝4(x＋3)2－7的图象向右平移3个单位长度，向上平移7个单位长度即可得到二次函数y＝4x2的图象.例3要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1 m处达到最高，高度为3 m，水柱落地处离池中心3 m，如图所示，水管应多长？解：水管应长2.25 m.教师为学生理解问题、顺利解答问题，进行分层次设问：(1)分析该题的突破口是什么？(2)如何建立平面直角坐标系？(3)你能求出该抛物线的函数解析式吗？(4)根据解析式你能求出水管的长度吗？学生思考讨论，小组合作探究，教师进行点拨指导，进行板书过程. 【变式训练】1.抛物线y＝a(x＋k)2＋k(k≠0)，当k取不同的值时，抛物线的顶点恒在(B)A.直线y＝x上B．直线y＝－x上C．x轴上 D．y轴上2.对于抛物线y＝－(x＋2)2＋3，下列结论中正确的有(A)【课堂检测】1.二次函数y ＝2(x －2)2－1的图象大致是(A)A B C D2.在平面直角坐标系中，对于二次函数y ＝(x －2)2＋1，下列说法中错误的是(C) A.y 的最小值为1B.图象顶点坐标为(2，1)，对称轴为直线x ＝2C.当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而增大，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而减小D.当x ＜2时，y 的值随x 值的增大而减小，当x ≥2时，y 的值随x 值的增大而增大3.把二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度后，得到二次函数y ＝12(x ＋1)2－1的图象.(1)试确定a ，h ，k 的值.(2)指出二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.解：(1)a ＝12，h ＝1，k ＝－5.(2)开口向上，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－5). 学生进行当堂检测，完成后，教师进行批阅、点评、讲解.。
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教学要点
1．在学生画函数图象时，教师巡视指导；
2．对“比较”两字做出解释，然后让学生进行比较。
问题5：你能说出函数y=－ (x－1)2＋2的图象与函数y=－ x2的图象的关系，由此进一步说出这个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?
五、小结
1．通过本节课的学习，你学到了哪些知识？还存在什么困惑?
2．谈谈你的学习体会。
六、作业：
1．已知函数y＝6x2、y＝6(x－3)2＋3和y＝6(x＋3)2－3。
(1)在同一直角坐标系中画出三个函数的图象；
(2)分别说出这三个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标；
(3)试说明，分别通过怎样的平移，可以由抛物线y＝6x2得到抛物线y＝6(x－3)2＋3和抛物线y＝6(x＋3)2－3；
主备人Βιβλιοθήκη 年级学科九年级数学备课时间
使用人
初三数学组
课型
新授
上课时间
课题
二次函数y=a(x－h)2＋k的图象
教学目标
教学目标：
1．使学生理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系。
2．会确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3．让学生经历函数y=a(x－h)2＋k性质的探索过程，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质。
(函数y=2(x－1)2的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位得到的，见P10图26.2.3)
3．函数y=2(x－1)2＋1图象与函数y=2(x－1)2图象有什么关系?函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?
二、试一试
你能填写下表吗?
y=2x2向右平移
的图象1个单位
y=2(x－1)2
向上平移
函数y＝2(x－1)2＋1的图象可以看成是将函数y=2(x－1)2的图象向上平称1个单位得到的，也可以看成是将函数y=2x2的图象向右平移1个单位再向上平移1个单位得到的。
当x＜1时，函数值y随x的增大而减小，当x＞1时，函数值y随x的增大而增大；当x=1时，函数取得最小值，最小值y=1。
三、做一做
(4)试讨沦函数y＝6(x＋3)2－3的性质；
2．不画图象，直接说出函数y＝－2x2－5x＋7的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。
3．函数y＝2(x－1)2＋k的图象与函数y＝2x2的图象有什么关系?
教学设计
二次备课
板书设计
二次函数y=a(x－h)2＋k的图象
1.画图像2.性质
教学反思
教学设计
二次备课
一、提出问题
1．函数y=2x2＋1的图象与函数y=2x2的图象有什么关系?
(函数y=2x2＋1的图象可以看成是将函数y=2x2的图象向上平移一个单位得到的)
2．函数y=2(x－1)2的图象与函数y=2x2的．图象有什么关系?
教学重难点
重点难点：
重点：确定函数y=a(x－h)2＋k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系，理解函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的重点。
难点：正确理解函数y=a(x－h)2＋k的图象与函数y=ax2的图象之间的关系以及函数y=a(x－h)2＋k的性质是教学的难点。
(函数y＝－ (x－1)2＋2的图象可以看成是将函数y=－ x2的图象向右平移一个单位再向上平移2个单位得到的，其开口向下，对称轴为直线x=1，顶点坐标是(1，2)
四、课堂练习：P13练习1、2、3、4。
对于练习第4题，教师必须提示：将－3x2－6x＋8配方，化为练习第3题中的形式，即
y=－3x2－6x＋8 =－3(x2＋2x)＋8 =－3(x2＋2x＋1－1)＋8 =－3(x＋1)2＋11
1个单位
y=2(x－1)2＋1的图象
开口方向
向上
对称轴
y轴
顶点
(0，0)
问题2：从上表中，你能分别找到函数y=2(x－1)2＋1与函数y=2(x－1)2、y=2x2图象的关系吗?
问题3：你能发现函数y=2(x－1)2＋1有哪些性质?
对于问题2和问题3，教师可组织学生分组讨论，互相交流，让各组代表发言，达成共识；