湿度场下膨胀岩的粘弹塑性模型研究

湿度场下膨胀岩的粘弹塑性模型研究季明1，2，高峰1，徐小丽3，张宇1，21中国矿业大学理学院工程力学系，江苏徐州（221008）2中国矿业大学徐海学院，江苏徐州（221008） 3南通大学建筑工程学院，江苏南通（226019）Jim1117@摘 要：在西原体模型的基础上，通过引入弹簧的湿度膨胀系数，将湿度效应引入到模型中，推导了单轴应力状态下微分形式的粘塑性本构方程。

通过蠕变曲线和卸载曲线的分析，考虑了湿度效应的西原体模型当应力水平较低时为稳定蠕变，存在瞬时弹性、弹性后效和由湿度引起的粘性流动；当应力水平较高时为不稳定蠕变，存在瞬时弹性、弹性后效和由湿度和应力共同引起的粘性流动，该模型较全面地反映了岩石在湿度作用下的蠕变性质。

关键词：膨胀岩；粘弹塑性；蠕变；卸载1. 引言在地下工程和隧道工程中，常发生突水事故。

特别是煤矿地下开采，随着开采向深部发展,开采过程中受高压水体的威胁越来越严重。

目前我国煤炭行业频繁发生矿井突水事故，不仅给企业带来巨大的经济损失。

而且严重地威胁到工作人员的生命安全[ 1, 2 ] 。

现已有不少学者对岩石在湿度场、力共同作用下的力学特性做了些探讨，如缪协兴等人研究了湿度应力场问题，建立了的湿度应力场理论以及湿度场耦合方程，并据此分析了巷道围岩的变形问题[ 3,4,5 ]；黄伟等人对水、岩化学作用对岩石的力学效应进行了研究[6]；李连崇等进行了岩石水压致裂过程的耦合分析[7]；孔祥言等人进行了热- 流- 固耦合渗流的数学模型的研究[8]；叶源新等进行了岩石渗流应力耦合特性研究[9]；李俊平等研究了水力耦合下岩石的声发射特征试验[10]；张国新等在最近发展起来的离散型数值方法DDA 法的基础上，考虑裂隙网络中地下水的流动，以及渗流压力与岩石变形的耦合作用，从能量最小原理出发，推求了考虑裂隙渗流情况下岩石系统的瞬时平衡方程及对任意裂隙进行安全评价的局部安全系数[11]；杨天鸿等对脆性岩石破裂过程损伤与渗流耦合进行了数值模型研究[12]；学者们大多都围绕着水力共同作用下岩石的破坏情况进行研究。

笔者认为岩土工程发生突水的实质是岩体在水压、湿度场以及外力共同作用下发生蠕变破坏。

蠕变是岩石类材料的重要力学性质之一，蠕变现象广泛存在于各类岩石工程中，大量的失稳都与岩石的蠕变特征密切相关。

国内外许多学者对岩石的蠕变特性进行了大量研究,取得了许多研究成果。

目前已提出的岩石蠕变模型有数百种，如Maxwell 模型、Burgers 模型、Bingham 模型、广义Kelvin 模型以及西原体模型等，这些模型具有各自的特点，适用于不同情况。

然而对于膨胀性软岩在湿度场影响下的本构关系的研究却少有报道。

本文在软岩的西原体模型的基础上，根据湿度场理论，通过引入弹簧的湿度膨胀系数，将湿度效应引入到模型中，推导了岩石类材料在单轴应力状态下微分形式的粘塑性本构方程。

2. 湿度场理论湿度场理论[ 3,4]的基本思想是：（1）膨胀岩石吸水后产生体积膨胀和软化，类似于材料的温度效应。

（2）围岩受到某个水源（或者湿空气）作用时，围岩内也会形成一个受水份扩散方程控制的湿度（含水率）变化场。

σ1ε22图2 考虑湿度效应的广义开尔文体 Fig.2 Generalized Kelvin model considering thehumidity effect根据湿度场理论，水份在膨胀岩体中的扩散、含水率、吸水作用力、体积变形等都是耦合的，如果让岩体吸水后自由膨胀，并且是各向同性膨胀，则会产生应变分量ε，且有：εαθ=式中：α为岩体的湿膨胀系数，θ为单位体积的含水量。

3. 本构方程在西原体模型基础上[13]，引入弹簧的湿膨胀系数，建立如图1所示的热粘弹塑性模型。

图1中，1k 、2k 分别为胡克体（弹性元件）弹簧的刚度系数；1α、2α分别为考虑湿度影响的两个胡克体中弹簧的湿膨胀系数；1η、2η分别为模型中粘壶（粘性元件）的粘度系数。

考虑湿度效应，单位体积的含水湿度变化量C θ为相对于初始的单位体积的含水量0θ的湿度变化量，0C θθθ=−。

设总应力为σ，总应变为ε。

为了研究的方便，将西原体划分为弹性体、开尔文体和理想粘塑性体，分别用下表1、2、3表示。

下面分别讨论s σσ<和s σσ≥两种情况的本构方程。

3.1 s σσ<时的本构方程当s σσ<时，摩擦片为刚体，因此模型与广义开尔文体完全相同，由弹簧和开尔文体两部份组成。

如图2所示。

由于串联：σσσ==21,εεε=+21,εεε=+21 对于弹簧：1111C k k σεαθ=−上式两边求时间的导数得：1111Ck k σεαθ=− 对于开尔文体：222212C k k σεαθηε=−+ 由上述几式消去1212,,,εεεε 可得： ()121121212111C C k T k T k k k ησσηαααηεε⎛⎞+++++=+ ⎜⎟⎝⎠即为s σσ<时的粘弹性本构方程。

σσ1k 1α2k 2α1η2ηV 1ε2ε3ε1σ2σ3εε图1 考虑湿度效应的西原体模型Fig.1 Nishihara model considering the humidity effect3.2 s σσ≥时的本构方程当s σσ≥时，模型由弹性体、开尔文体和理想粘塑性体三部份组成，如图1所示。

由于串联：σσσσ===321,εεεε=++321,εεεε=++321 对于弹簧：11111C k k σεαθ=−对于开尔文体：2222212C k k σεαθηε=−+ 对于理想粘塑性体：23ησσεs−= 由上述几式消去123123,,,,,εεεεεε 可得： ()()121211212121111211211s C C k k k k k k k k k k k αασσσσαθθεεηηηηηηη+⎛⎞++++−++=+ ⎜⎟⎝⎠即为s σσ≥时的粘弹塑性本构方程。

4. 蠕变方程在恒定含水量的情况下，即0Cθ= ，当岩石的单轴压应力小于屈服应力s σσσ<=0，且保持为常量时，0=σ。

此时模型由弹簧和开尔文体两部份组成，其蠕变变形也由这两部份组成。

对于弹簧：()0111C t k σεαθ=+对于开尔文体：()()2022221C d t k t k dtεσεαθη=−+ 解得：()2102222k tCk t Aek ησαθε−+=+，式中A 为积分常数，可由初始条件求出。

当0=t 时，02=ε，因为施加瞬时应力0σ后，由于阻尼器的惰性，阻止弹簧产生瞬时变形，由此可求得022C A k σαθ=−−，所以蠕变方程为：()()()21022121121k tC C k t t t ek k ησσαθεεεαθ−⎛⎞+=+=++−⎜⎟⎜⎟⎝⎠当∞→t 时，蠕变方程有一条水平渐近线，因此，该模型的蠕变为稳定蠕变。

当岩石的单轴压应力达到或超过屈服应力s σ时，此时岩石的塑性变形明显，模型由弹性体、开尔文体和理想粘塑性体组成，其蠕变变形也由这三部份组成。

对于弹簧：()0111C t k σεαθ=+对于开尔文体:()21022221k tC k t e k ησαθε−⎛⎞+=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠对于理想粘塑性体：()t t s203ησσε−=所以蠕变方程为 ：()()()()21022012311221k tC sC k t t t t et k k σσαθσσεεεεαθη−⎛⎞+−=++=++−+⎜⎟⎜⎟⎝⎠, 当0=t 时，只有弹簧有变形，其它元件都无变形，随着时间的增长，应变逐渐增大，属不稳定蠕变。

5. 卸载方程当岩石的单轴压应力小于屈服应力s σ时，在1t t =后卸载，0=σ。

对于弹簧：()11C t εαθ= 对于开尔文体：()()2222211Cd t k t k dt εεαθηη+= 解得：()2122k t C t Be ηεαθ−=+，式中B 为积分常数。

当1t t =时，211022221k t C k e k ησαθε−⎛⎞+=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠， 解得211022(1)k t C B ek ησαθ=−+可得卸载方程为：()()()()211212k t C t t t eηεεεααθ−=+=++当∞→t 时，()()12C t εααθ=+，可见由于湿度的影响，弹簧的变形并不完全消失。

当岩石的单轴压应力达到或超过屈服应力s σ时，对于弹簧： ()11C t εαθ=，对于开尔文体：()2122k t C t Beηεαθ−=+，对于理想粘塑性体，根据塑性元件和粘性元件的特性，卸载后模型停留在当时位置上，即已发生应变值为1203t sησσε−=，全部变形将永久保留，不能恢复。

可得卸载方程为：()()()()()2101231212k t sC t t t t Be t ησσεεεεααθη−−=++=+++当∞→t 时，()()01212sC t t σσεααθη−=++。

绘制s σσ<和s σσ≥时模型的蠕变和卸载曲线。

图3 当s σσ<时模型的蠕变和卸载曲线Fig.3 Creep and unloading curves of model while s σσ<由图3可知，考虑了湿度效应的西原体模型反映了当应力水平较低时（s σσ<），开始变形较快，一段时间后逐渐趋于稳定成为稳定蠕变，由卸载曲线可知，存在瞬时弹性变形、弹性后效和由湿度引起的粘性流动；由图4可知当应力水平较高时（s σσ≥），逐渐转化为不稳定蠕变，由卸载曲线可知，存在瞬时弹性变形、弹性后效和由湿度和应力共同引起的粘性流动，该模型反映了许多岩石在湿度作用下蠕变的两种状态。

6. 结论本文在西原体模型的基础上，通过引入弹簧的湿度膨胀系数，将湿度效应引入到模型中，推导了单轴应力状态下微分形式的粘弹塑性本构方程。

该模型当应力水平较低时为稳定蠕变，存在瞬时弹性、弹性后效和由湿度引起的粘性流动；当应力水平较高时为不稳定蠕变，存在瞬时弹性、弹性后效和由湿度和应力共同引起的粘性流动。

该模型能够比较全面的反映湿度场下岩石的粘弹塑性，这对于地下工程，隧道工程以及煤炭资源开采等有着一定的意义。

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