第七章粘弹塑性模型的基本概念
弹性理论与塑性理论
弹性理论与塑性理论，弹性材料与塑性材料浅析经过一学期，弹性与塑性力学这门课程的学习结束了。
学习完弹性与塑性力学以后，我对弹性力学与塑性力学，弹性材料与塑性材料的区别与联系的认识进一步加深了。
首先谈一下有关弹性理论的基本知识。
弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或机械设计中所提出的强度和刚度问题。
在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。
材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。
弹性力学是固体力学的重要分支，它研究弹性物体在外力和其它外界因素作用下产生的变形和内力，也称为弹性理论。
它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。
弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。
绝对弹性体是不存在的。
物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。
弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。
弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。
连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的情况。
这里主要使用数学中的几何方程和位移边界条件等方面的知识。
求解一个弹性力学问题，就是设法确定弹性体中各点的位移、应变和应力共15个函数。
从理论上讲，只有15个函数全部确定后，问题才算解决。
但在各种实际问题中，起主要作用的常常只是其中的几个函数，有时甚至只是物体的某些部位的某几个函数。
所以常常用实验和数学相结合的方法，就可求解。
数学弹性力学的典型问题主要有一般性理论、柱体扭转和弯曲、平面问题、变截面轴扭转，回转体轴对称变形等方面。
塑性力学的基本概念和应用
塑性力学的基本概念和应用塑性力学是力学学科中的一个重要领域，研究物体在超过其弹性限度之后发生的塑性变形和力学行为。
它在工程领域中有着广泛的应用，可以用于设计和分析各种结构和材料。
本文将介绍塑性力学的基本概念和应用。
一、塑性力学的基本概念塑性力学研究材料在受力过程中的变形行为，重点关注材料的塑性变形和它们与应力应变关系之间的联系。
以下是塑性力学中的几个基本概念：1. 弹性和塑性：在外力作用下，材料会产生变形。
当外力移除后，材料能够完全恢复到其初始形状，这种变形称为弹性变形。
而当外力作用超过了材料的弹性限度时，材料会发生不可逆的塑性变形，导致永久性的形变。
2. 屈服点和屈服应力：材料在受力过程中，当应力达到一定数值时会开始产生塑性变形，此时的应力称为屈服应力。
屈服点是应力-应变曲线上的一个特定点，表示材料开始发生塑性变形的阈值。
3. 工程应力应变和真实应力应变：工程应力指材料在不考虑变形前尺寸的情况下受到的力与单位面积的比值，工程应变指材料在变形前尺寸和力的情况下的应变与原始尺寸比值。
真实应力和真实应变则考虑了材料在受力过程中的变形，分别是力和应变与变形的比值。
二、塑性力学的应用塑性力学在工程领域中有着广泛的应用，以下是其中几个典型的应用。
1. 金属成形加工：塑性力学在金属成形加工中扮演着重要的角色。
通过了解材料的塑性特性和应力应变关系，可以优化金属成形加工的工艺参数，提高材料的形变能力，减小残余应力，提高产品质量。
2. 板结构设计：在板结构的设计中，塑性力学可以用于评估结构的稳定性和承载能力。
通过分析材料的屈服点和塑性变形情况，可以确定合适的结构尺寸和加强措施，以满足结构的强度和刚度要求。
3. 地震工程：塑性力学在地震工程中的应用也很重要。
通过研究材料的塑性行为，可以评估结构在地震荷载下的响应和潜在破坏模式。
这有助于设计出抗震性能良好的建筑和结构，并提供灾害防护措施。
4. 仿真和模拟：在产品设计和工艺优化中，塑性力学可以被应用于数值模拟和仿真。
弹塑性_塑性力学基本方程和解法
在加载过程中物体各点处的偏应力分量 sij 保持比例不变。在工程允许精度下，也可推
广应用于稍为偏离简单加载的情况。
以上各种理论中涉及的一些假设，例如：塑性应变偏量的增在单一的函数关系等假设，都得到了常用金属材
料大量试验的验证。
z 强化规律 对于理想弹塑性材料，材料一旦屈服，其应力状态点在主应力空间中就落在屈服
变形， Hα 也不变，于是
∂f ∂σ ij
除等向强化外，有些强化材料表现为随动强化（图 7.7b），即，在强化过程中，屈
服面的大小和形状保持不变，只随塑性变形的发展而在应力空间中平移。还有些材料
在强化过程中随动强化与等向强化同时发生，称为混合强化。
由于在应力和强化参数空间中，表示应力状态的应力点只可能位于后继屈服面
（或加载面）上或其内，不可能位于曲面之外，若加载面是一个正则曲面，则有
⎯2⎯
研究生学位课弹塑性力学电子讲义
姚振汉
⎧ε = 0 ⎨⎩σ = σ s
当 σ <σs 当 ε >0
(2)
图 7.5 理想弹塑性和刚塑性
当考虑材料强化性质时，可在理想弹塑性模型的基础上加以改进，采用线性强化 弹塑性模型来近似：
⎧σ = Eε
⎨⎩σ = σ s +E1 (ε − εs )
当 ε ≤εs 当 ε >εs
(5)
⎯3⎯
第七章 塑性力学的基本方程与解法
其中 k 可由单向拉伸或其它材料试验测得的σ s 确定， k = σ s 2 。当不能确定主应力的 排序时，在以三个主应力为坐标轴的应力空间中，由特雷斯卡条件所包围的弹性状态 的应力空间为
σ1 −σ 2 ≤ 2k, σ 2 −σ 3 ≤ 2k, σ 3 −σ1 ≤ 2k
高分子物理chapter7粘弹性
26
f
F
σ 第7章 聚合物的黏弹性
σ
F
f
σ为拉伸应力 f为内摩擦力 F为回复力
Mechanical loss 力学损耗 Hysteresis loss 滞后损耗，内耗
σ0
1 2 3
第7章 聚合物的黏弹性
2.内耗: 的现象. 由于力学滞后或者力学阻尼而使机械功转变成热
产生的原因: 当应力与形变的变化相一致时,没有滞后现象,每次形变所 作的功等于恢复形变时所作的功,没有功的消耗
图4 线形非晶态聚合物的蠕变及回复曲线
12
第7章 聚合物的黏弹性
蠕变Creep
•加力瞬间，键长、键角立即产生形变，形变直线上升 •通过链段运动，构象变化，使形变增大 •分子链之间发生质心位移
Creep recovery 蠕变回复
•撤力一瞬间，键长、键角等次级运动立即恢复，形变直线下降 •通过构象变化，使熵变造成的形变恢复
②理想交联聚合物，不存在粘流态， 3 =0， =1+2
14
第7章 聚合物的黏弹性
蠕变的影响因素
（1）温度：温度升高，蠕变程度变大 原因：外力作用下，温度高使分子运动速度加快，松弛加快
弹塑性本构模型理论课件
。
材料屈服强度影响规律
屈服强度定义
材料开始发生明显塑性变形的最小应力值，反映了材料抵抗塑性变 形的能力。
屈服强度对弹塑性行为的影响
屈服强度越大，材料抵抗塑性变形的能力越强，进入塑性阶段所需 的应力水平越高，材料的塑性变形能力越差。
屈服强度的影响因素
材料的晶体结构、化学成分、温度、应变速率等都会影响屈服强度 的大小。
材料弹性模量影响规律
弹性模量定义
01
材料在弹性阶段内，应力与应变之比，反映了材料抵抗弹性变
形的能力。
弹性模量对弹塑性行为的影响
02
弹性模量越大，材料的刚度越大，相同应力作用下产生的弹性
变形越小，进入塑性阶段所需的应力水平越高。
弹性模量的影响因素
03
材料的晶体结构、化学成分、温度等都会影响弹性模量的大小
弹性阶段
材料在受力初期表现出弹性行为，应 力与应变呈线性关系，卸载后无残余 变形。
屈服阶段
当应力达到屈服强度时，材料进入塑 性阶段，应力不再增加但应变继续增 加，卸载后有残余变形。
强化阶段
材料在塑性阶段表现出应变硬化特性 ，随着塑性应变的增加，屈服强度逐 渐提高。
理想弹塑性模型
无强化阶段的弹塑性模型，屈服后应 力保持恒定，应变无限增加。
通过实验测定金属材料的弹性模量、屈服强度、硬化模量等参 数，为模拟提供准确数据。
利用有限元软件建立金属材料的弹塑性行为模型，进行加载、 卸载等模拟过程。
将模拟结果与实验结果进行对比，验证弹塑性本构模型在金属 材料行为模拟中的准确性和可靠性。
实例二：混凝土结构弹塑性损伤评估
损伤模型选择
针对混凝土结构的损伤特点，选择合适 的弹塑性损伤本构模型，如塑性损伤模
7 粘弹性
t
18
第7章 聚合物的黏弹性
2、应力松弛 Stress Relaxation
• 在恒定温度和形变下，维持此形变所需的应力随时间增加而逐渐衰减
0e
0
t
松弛时间 交联高分子 应力衰减至某一平衡值
Crosslinked polymer
Linear polymer
0
t
未交联高分子 应力最终衰减至零
4
第7章 聚合物的黏弹性
5. 力学松弛 聚合物的力学性质随时间变化的现象，叫力学松弛。 包括蠕变及其回复，应力松弛和动态力学实验等。 蠕变 静态的黏弹性 力学松弛 动态黏弹性 力学损耗(内耗)
5
应力松弛 滞后现象
第7章 聚合物的黏弹性
二、静态黏弹性 应力或应变恒定，不同时间时，聚合物材料所表现出来 的黏弹现象。
恒值 (t>t2)
＝
t1
t2
t
3-----本体粘度
分子间滑移，不可恢复
11
图3 理想粘性流动蠕变
第7章 聚合物的黏弹性
当聚合物受力时，以上三种形变同时发生，聚合物的总形变 方程:
2+3 1
1 2 3
t
( t ) 1 2 3 -t
(1 e ) t E1 E2 3
32
tanδ由小到大的顺序：
第7章 聚合物的黏弹性
内耗受温度影响较大
Tg以下，高聚物受外力作用后形变很小， 仅键长、键角变化，速度快，几乎跟得上 应力变化，内耗小
Tg Tf
T Tan
温度升高，高分子向高弹态过渡。链段开始运动，而体系粘度还很大， 链段运动时受到摩擦阻力比较大，高弹形变显著落后于应力的变化，内 耗也大 温度进一步升高，链段运动比较自由，内耗变小 因此，在玻璃化转变区域出现内耗峰 温度继续升高，高分子向粘流态过渡。由于分之间互相滑移，内耗急剧 增加
金属材料的力学行为模型
金属材料的力学行为模型引言:金属材料在人类社会中扮演着重要的角色，广泛应用于建筑、交通、电子等领域。
研究金属材料的力学行为模型对于优化设计、材料选择和结构安全具有重要意义。
本文将探讨金属材料的力学行为模型，并介绍常用的弹性、塑性和粘弹性模型。
第一部分：弹性模型弹性模型用于描述金属材料在受力后恢复原状的能力。
最简单的弹性模型是胡克定律，它表明应力与应变成正比。
然而，金属材料的力学行为往往不符合线性弹性假设。
因此，工程领域常采用线性弹性模型、非线性弹性模型和弹塑性模型等。
线性弹性模型假设应力与应变呈线性关系，其中应力是单位面积上的力，应变是单位长度上的形变。
最常用的线性弹性模型是胡克-杨模型，它描述了金属材料的正弹性行为。
然而，在高应力下，金属材料的力学行为不再符合线性弹性假设。
第二部分：塑性模型塑性模型用于描述金属材料在超过弹性极限后的可塑性变形。
金属材料在受力时会出现塑性变形，即无法完全恢复原状。
晶体塑性理论是研究金属材料塑性变形的重要方法。
它基于晶体的滑移理论和晶体微弱滑移的条件。
其中，最常用的塑性模型是von Mises模型，它假设金属材料在达到屈服点后会开始塑性变形。
该模型描述了材料的屈服条件，并引入了流动准则来确定塑性变形发生的条件。
第三部分：粘弹性模型粘弹性是介于弹性和塑性之间的力学特性，用于描述金属材料在应力施加后的时间依赖性。
与弹性相比，粘弹性模型考虑了材料的时间依赖性。
常见的粘弹性模型包括粘弹性弹簧模型和粘弹性体模型。
粘弹性模型的研究包括应力松弛实验和应变迟滞实验。
这些实验揭示了金属材料在受力后的时间依赖性行为，为粘弹性模型的建立提供了实验基础和理论依据。
结论:金属材料的力学行为模型对于优化设计和结构安全具有重要意义。
本文介绍了金属材料的弹性、塑性和粘弹性模型，并讨论了它们的适用范围和应用。
在工程实践中，根据材料的具体情况选择适当的模型进行分析和设计是至关重要的。
希望本文的探讨能够为金属材料力学行为模型的应用提供一定的指导和启示。
弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
用于模拟流体流动和传热问题 ，如流体机械、航空航天和化 工等领域。
电磁场
用于分析电磁场问题和电气设 备性能，如电机、变压器和天 线等。
声学
用于模拟声音传播和噪声控制 问题，如声学器件和声学环境
等。
04 弹塑性有限元法的基本原 理
弹塑性有限元法的离散化方法
有限元离散化
将连续的物理场或结构体离散为有限个小的单元体， 每个单元体之间通过节点相互连接。
结构强度分析的模拟
结构强度评估
通过弹塑性有限元法模拟，可以对结构的强度进行评估，预测结构在不同载荷下的响应， 确保结构的安全性和稳定性。
疲劳寿命预测
利用弹塑性有限元法，可以模拟结构的疲劳载荷历程，预测结构的疲劳寿命，为结构的维 护和更换提供依据。
结构优化设计
通过模拟结构的应力分布和变形，可以优化结构设计，降低结构重量，提高结构效率。
边界条件和初始条件
在平衡方程中考虑边界条件和初始条件，以确保模拟的准确性和收 敛性。
弹塑性有限元法的边界条件和初始条件
边界条件的处理
01
根据实际情况，将边界条件转化为节点约束或单元载荷的形式。
初始条件的设置
02
在非稳态问题中，需要考虑初始条件的设置，以模拟问题的初
始状态。
边界条件和初始条件的实施
03
随着计算机技术的不断发展，弹塑性 有限元法在各个工程领域中得到了广 泛应用，如机械、航空航械设计中，弹塑性有限元法可用于分析各种复杂结构 的应力分布、变形和疲劳寿命等，提高产品的可靠性和安 全性。
航空航天
在航空航天领域，弹塑性有限元法可用于分析飞行器结构 在各种载荷下的响应，优化结构设计，提高飞行器的性能 和安全性。
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第七章粘弹塑性模型的基本概念7 . 1 引言为了描述土体应力一应变关系受时间的影响，需要采用与时间有关的类模型（如粘弹胜模酬、粘塑性模型，粘弹塑隆模型）来描述土的性状。
弹性、塑性和粘性是连续介质的三种基本性质，各在定条件F独自反映材料本构关系的一个方面的特性。
理想弹性模型、理想塑胜模型（或称刚塑性模型）和理想粘性模型是反映这三种性质的理想模型，通常称为简单模型。
实际工程材料的本构关系可以用这些简单模型的各种组合来构成。
理想弹性模型又称虎克弹性模型，通常用理想弹簧表示（图7-1（ a ））。
其本构方程为虎克定律。
一维条件下，如单轴压缩和纯剪清况下，表达式分别为：E（7.1.1）G （7.1.2）式中E——弹性模量、G剪切模量。
剪切模量与弹性模量和泊松比的关系如下式所示：G E—（7.1.3）2 1式中——泊松比。
三维条件下本构方程可表示为下述形式：(7.1.4)m K式中K ——体积弹性模量。
(a) (b)图7-1理想弹性模型体积弹性模量与弹性模量和泊松比的关系如下式所示:(7.1.6)理想粘性模型又称牛顿粘滞体模型。
通常用一粘壶(或称阻尼器)表示(图7-2 ( a ))。
粘壶内充满粘滞液体和一个可移动的活塞。
活塞在粘滞液体中的移动速度与所受阻力成正比关系，反映了粘性介质内一点的应力与该点处应变速率成正比例关系的性质。
一维条件如单轴压缩或纯剪情况下，表达式分别为：&(7.1.7)& (7.1.8)式中、——粘滞系数由上两式可以看出，从数学表达的形式上与理想弹性体单轴压缩和纯剪时的本构方程相类似。
与理想弹性体的方程相对应，类似式7.1.3，存在下述关系：(7.1.9)理想粘性体的体积变化与形状变化速率无关,(7.1.10)这与弹性不可压缩时的E=3G 相对应。
在三维条件下理想粘性体本构方程可表示为:(7.1.11)理想塑性模型又称Saint-Venant 塑性模型，或称刚塑性模型。
通常采用 两块接触的粗糙面表示（图7-3 （a ））。
面上存在有一称晰脚擦阻力，与作用 在面上的法向压力无关，是一常数。
若外作用力心婚此起始摩擦阻力，物体不发 生变形。
一维条件如单轴压缩或此钾扮况，当轴向应力或剪应力小于某一数值时， 物体不发生变形.当软祠应力或剪应力等于某数值时， 物体产生流动，变形无限 制增长.理想塑性模刮的体积应变等于零， 即体积不发生改变。
在三维条件下理 想塑性体的本构方程可表示为：式中 粘性应变速率的横向比值。
(a )即不具有体积粘性。
因此，应等于0.5 于是式7.1.9成为:S j 图7-2理想粘性模型式中H j ——起始摩擦阻力，或称塑性条件;――比例常数。
式7.1.12表明，理想塑性体的塑性应变偏量的变化率与应力偏量成正比由理想弹性模型、理想粘性模型和理想塑性模型等简单模型可以组合成许多 复杂模型。
由理想弹性模型和理想塑性模型可以组合成理想弹塑性模型。
由弹性模(a )(b )图7-3理想塑性体模型当qm 时，列o]当Sj可时,S j 2 & J(7.1.12 )型和粘性模型可以组合成各种粘弹性模型。
由粘性模型和塑性模型可以组合成各种粘塑性模型。
由弹性模型、粘性模型和塑性模型可以组合成各种粘弹塑性模型。
理想弹塑性模型已在第六章作了介绍。
在以下几节将对几种由简单模型组成的粘弹性模型、粘塑性模型和粘弹塑胜模型作简单介绍。
利用简单模型可以组合成各种复杂模型，从而可以建立各种材料的本构方程。
但是进一步的研究发现，许多材料的实际性状并不能满意地用简单的组合模型来描述，而目采用复杂的组合模型又常遇到数学上的困难。
因此，常常在试验的基础上，通过假设一实验一理论的方法建立材料的本构力程。
在本章的最后一节将简要介绍描述材料蠕变现象的蠕变力程。
7 . 2 粘弹性模型既具有弹性又具有粘性的性质称为粘弹性。
蠕变和应力松弛现象是人们熟悉的也是特别受重视的粘弹性胜质粘弹性性质的特点是在本构方程中除了有应力和应变项外，还包括有它们对时间导数的项。
对线性粘弹胜材料，其本构方程的一般表达式为：mna0 a1 &L a m b0 b1&L b n （7.2.1 ）式中a i ,b i ——与材料性质有关的参数。
下面首先介绍几种简单的粘弹性模型，然后再介绍较复杂的情况。
7.2.1Maxwell 模型Maxwell 模型又称松弛模型。
它是由线性弹簧和牛顿枯壶串联组成，如图7 -4 （a ）所示。
在串联条件下，作用在两元件上的应力相同，而总的应变应为两个元件应变的和，即（7.2.2 ）或& & & （7.2.3 ）式中, ——分别为线性弹簧和粘壶的应变；&, & ——分别为线性弹簧和粘壶的应变率。
考虑到线性弹簧有& &E 和牛顿粘壶有& / ，则式723可改写成:图 7-4 Maxwoll 模型写成如式7.2.1的标准形式，上式可改写为:n& & (7.2.5) 式中n ――松驰时间，n 己，量纲为时间。
式7.2.5 称为Maxwell 方程。
若物体获得初始应变 °以后总应变保持不变（图7-4b ），即& 0,式7.2.5成为：n& 0（7.2.6）积分上式，得Ce t/n（ 7.2.7）式中C ——积分常数。
应用初始条件，t 0， 0代人式7.2.7解出C ，再代人式7.2.7 , 得t/n 0e（7.2.8 ）式7.2.8表示，Maxwell 模型在保持总应变不变的条件下，发生应力随时间衰减 的松弛现象，如图7-4c 所示。
若物体获得初始应力°以后，保持应力不变，即 & 0,则式7.2.5成为：（729 ）(7.2.4)[T（a ）(c )E(b )式7.2.9表示材料应变率为常数，即应变随时间成比例地增长，因此变形随时间无限地发展。
下面讨论松弛试验的情况。
在松弛试验中，首先对试件施加应变°，然后保持应变为定值，进而测量作为时间函数的应力值，确定松弛规律。
松弛试验中应变可记为：u t （7.2.10）式中u t ——单位阶梯函数。
单位阶梯函数定义为：0,t t iu t t i （7.2.11）1, t t i在松弛试验中t10 u t t1可表示为u t。
将式7.2.10 代人式7.2.5，得E t（7.2.12）& 一n式中t ――脉冲函数， d t u t 。
dt脉冲函数定义为：7.2.13）t0,t 0（,t 0tt dt 1（7.2.14）脉冲函数具有下述性质，对于任何连续函数ft,当t右时，有tf t1 d f t1 u t t1 （7.2.15）利用式7.2.15，积分式7.2.12，可得t E 0e t/n u t （7.2.16）式7.2.16表示Maxwell模型的应力松弛规律，简记为：t t 0 （7.2.17）式中t ——松弛函数，其表达式为E 0常量 (7.2.22)t/nt Ee u t722 Kelvl n模型Kelvln 模型又称非松弛模型。
这种模型曾由 W . Voigt 和Kelvin 提出，故又称为Voigt — Kelvin 模型。
它是由线性弹簧和牛顿粘壶并联组成，如图7-5(a )所示。
在并联条件下，两个元件的应变相同，而总的应力应为两个元件的应 力之和，即(7220)积分上式，得(7218 )(7219)若在t 0时，瞬时地加上应力，并保持不变，则由式7.2.19可得式中 由式7.2.21可知，当t 若物体获得初始弹性应变之后保持应变不变，即& 0。
由式7.2.19得(a )滞后时间。
rLaaf衰减系数,，应变趋于个稳定值 0/E 。
上式表明在这种情况下应力不衰减。
下面讨论蠕变试验的情况。
在蠕变试验中，首先对试件施加应力 保持应力为定值来量取作为时间函数的应变值。
若取瞬时加载的时刻为t 0 ,则 加载过程可表示为：oU t（7223）式中 u t ——单位阶梯函数。
将式7.2.23 代人式7.2.19，得& —u t注意到单位阶梯函数有如下性质t tf u t | d u 1ft1d（7.2.25）此处 为积分变量。
积分式7.2.24， 得t1 Ee t u t （7.2.26）式中1 E_ n式 7.2.26 表示 Kelvin 模型的蠕变规律， 可简记为：tt（7.2.27）式中t蠕变函数。
蠕变函数的表达式为1 t - 1Ee t u t（7.2.28）7.2.3三元件粘弹性模型图7-6a 表示个三元件粘弹性模型。
它是由线性弹簧和Kelvin 模型串联组成，包括二个线性弹簧和一个牛顿粘壶， 共三个元件，故称三元件粘弹性模型。
用表Kelvin 模型的应变，表示与Kelvin 模型串联的线性弹簧的应变，表示Kelvin 模型中线性弹簧中的应力，表示牛顿粘壶中的应力，和分别表示总应力和总应变。
分析各元件的应力或应变相互间关系，不难得到下列各式：（7.2.29），然后（7224）(7230 )(7231 )E (7.2.32 )(7.2.33 )式中E ――与Kelvin模型串联的线性弹簧的弹性模量；E ―― Kelvin模型中线性弹簧的弹性模量；――牛顿粘壶的粘滞系数。
结合式7.2.29至式7.2.33各式，消去组成元件中的应力和应变，得E E & EE E & (7.2.34)式7.2.34还可改写为：n& nH & E ( 7.2.35)式中n (7.2.36)E ErLiia厂壬图7-6三元件粘弹性模型上式表示的应变随时间的变化规律如图 7-6 (b )所示。
图中应变起始值为 /H , 最终值为/ E ，其应变速率由起始时的最大值逐渐趋于零。
若物体获得初始弹性应变最初的H 0衰减到最终值E 0传函数，它表示在 时刻作用的应力对时刻t 的变形的影响。
H EE E E •E E若物体作用有初始应力，且保持不变，即&于是，由式7.2.35可求得应变的变化规律为：H E 彳-- ----------- 1 e H HE(7237) (7238)0 ,且在t 0时,/H 。
Et/Hn(7239 )后总应变保持不变，即，& o 且在t 0时,H 0。
于是，由式7.2.35可求得应力随时间的变化规律为:E t/nH E °e(7240)上式表示的应力变化规律如图7-6 (b )所示。
由图可以看到，物体中的应力从若物体初始时作用有应力以后随时间变化作用有应力t 。
根据叠加原理，由式7.2.39可以得到在时刻t 时物体的变形, 」H E 1 0 1 H HEe Et/Hn H E 」 E t /Hn HE(7241)对上式右端进行分部积分,则式7.2.42可改写为H 2nH E H 2n/Hn(7242)(7243)(7244)式7.2.44通常称为线性遗传方程。