粘弹塑性模型的基本概念
粘弹性流体力学Oldroyd模型的数学理论共3篇
粘弹性流体力学Oldroyd模型的数学理论共3篇粘弹性流体力学Oldroyd模型的数学理论1粘弹性流体力学Oldroyd模型的数学理论随着工业生产的不断发展和科学技术的不断进步，粘弹性流体力学在物理、化学、生物医学、石油化工等领域得到了广泛应用。
作为一种特殊的非牛顿流体，粘弹性流体的表现和性质与牛顿流体有很大的区别，因此建立相应的数学模型和理论研究也成为了当今流体力学研究的热点。
粘弹性流体的本质是两种性质不同但相互耦合的物理机制，即粘性和弹性。
其中粘性是指流体呈现由牛顿运动定律描述的黏性阻尼现象，而弹性是指流体分子间的一种内聚力，使其呈现某些固体材料的特征。
在构建粘弹性模型时，需要考虑以上两种机制对流体行为的复杂影响。
Oldroyd模型是一种用于描述粘弹性流体的经典模型，在理论研究和实际应用中具有重要意义。
Oldroyd模型的基本假设是，粘弹性流体的应力张量既包含粘性和弹性的贡献，又与应变率的时间演化有关。
为了解释这一假设，引入了一组中间变量-粘弹性应力张量，并构建了相应的微分方程组。
Oldroyd模型给出了粘弹性流体的基本性质，包括流变特征、时间依赖性、滞后等等。
其中，一个重要的性质是非线性，也就是说，在应变率较高的情况下会出现复杂的非线性效应。
这种非线性效应对于粘弹性流体的流动性质产生了极大的影响，成为目前数学理论研究的一个重要课题。
在数学理论研究中，研究者通过各种数学方法和技巧，对Oldroyd模型进行了深入的探索和研究。
其中，最基本的是方程的解的存在性和唯一性问题。
针对这个问题，Hilbert在20世纪30年代提出了著名的证明方法，后来在流体力学中获得了广泛应用。
除此之外，研究者还针对Oldroyd模型的非线性性质展开了深入的研究。
他们使用了各种数学工具，包括常规分析、代数拓扑学、几何分析、动力系统等等，对方程组的稳定性、动力学行为等问题进行了深入探讨。
随着科学技术的不断发展，现代数学在粘弹性流体力学中的应用也越来越广泛。
材料力学的非线性行为分析
材料力学的非线性行为分析材料力学是研究材料在外力作用下的变形和破坏行为的科学，非线性行为是指材料在受力作用时呈现出的非线性特性，即力与应变不成比例关系。
在许多工程和科学领域中，对材料力学的非线性行为进行准确和全面的分析具有重要意义。
本文将着重讨论非线性行为的基本概念、常见的非线性模型以及分析方法。
一、非线性行为的基本概念在材料力学中，强度、刚度、屈服点等参数通常被用来描述材料的特性。
然而，当外力增大到一定程度时，材料的性质将不再呈现线性关系，这时就出现了非线性行为。
非线性行为主要包括弹性-塑性行为、接触-分离行为以及材料的损伤和断裂等。
二、非线性模型的选择1. 弹塑性模型弹塑性模型是描述材料弹性和塑性变形的常用模型。
其中，最经典的是von Mises屈服准则，常用于金属的塑性变形分析。
2. 黏弹性模型黏弹性模型主要用于描述粘弹性材料的非线性行为，包括粘性和弹性两个部分。
常见的黏弹性模型有Kelvin模型和Maxwell模型。
3. 损伤模型损伤模型用于描述材料在加载过程中的损伤积累和破坏行为。
常用的损伤模型有弹塑性损伤模型、粘弹性损伤模型以及断裂力学模型等。
三、非线性行为的分析方法1. 实验测试实验测试是分析材料非线性行为最直接的方法之一。
通过应力-应变测试、拉伸试验等，可以获得材料在不同应力下的应变，进而建立非线性模型。
2. 数值计算数值计算是通过数学方法对材料力学进行模拟和计算的重要手段。
常用的数值计算方法有有限元法、边界元法、网格法等。
通过设定材料的非线性模型及边界条件，可以得到材料的应力分布和变形情况。
非线性分析的结果可用于工程设计、材料选用以及破坏预测等方面。
但是在进行非线性分析时，需要注意模型的参数选择、模型的适用性以及计算误差等因素。
总之，非线性行为是材料力学中重要的研究内容，对于理解材料的变形和破坏行为具有重要意义。
通过选择合适的非线性模型和分析方法，我们可以准确地描述和预测材料的非线性行为，为工程实践和科学研究提供有力支持。
弹塑性本构模型理论课件
。
材料屈服强度影响规律
屈服强度定义
材料开始发生明显塑性变形的最小应力值，反映了材料抵抗塑性变 形的能力。
屈服强度对弹塑性行为的影响
屈服强度越大，材料抵抗塑性变形的能力越强，进入塑性阶段所需 的应力水平越高，材料的塑性变形能力越差。
屈服强度的影响因素
材料的晶体结构、化学成分、温度、应变速率等都会影响屈服强度 的大小。
材料弹性模量影响规律
弹性模量定义
01
材料在弹性阶段内，应力与应变之比，反映了材料抵抗弹性变
形的能力。
弹性模量对弹塑性行为的影响
02
弹性模量越大，材料的刚度越大，相同应力作用下产生的弹性
变形越小，进入塑性阶段所需的应力水平越高。
弹性模量的影响因素
03
材料的晶体结构、化学成分、温度等都会影响弹性模量的大小
弹性阶段
材料在受力初期表现出弹性行为，应 力与应变呈线性关系，卸载后无残余 变形。
屈服阶段
当应力达到屈服强度时，材料进入塑 性阶段，应力不再增加但应变继续增 加，卸载后有残余变形。
强化阶段
材料在塑性阶段表现出应变硬化特性 ，随着塑性应变的增加，屈服强度逐 渐提高。
理想弹塑性模型
无强化阶段的弹塑性模型，屈服后应 力保持恒定，应变无限增加。
通过实验测定金属材料的弹性模量、屈服强度、硬化模量等参 数，为模拟提供准确数据。
利用有限元软件建立金属材料的弹塑性行为模型，进行加载、 卸载等模拟过程。
将模拟结果与实验结果进行对比，验证弹塑性本构模型在金属 材料行为模拟中的准确性和可靠性。
实例二：混凝土结构弹塑性损伤评估
损伤模型选择
针对混凝土结构的损伤特点，选择合适 的弹塑性损伤本构模型，如塑性损伤模
7 粘弹性
t
18
第7章 聚合物的黏弹性
2、应力松弛 Stress Relaxation
• 在恒定温度和形变下，维持此形变所需的应力随时间增加而逐渐衰减
0e
0
t
松弛时间 交联高分子 应力衰减至某一平衡值
Crosslinked polymer
Linear polymer
0
t
未交联高分子 应力最终衰减至零
4
第7章 聚合物的黏弹性
5. 力学松弛 聚合物的力学性质随时间变化的现象，叫力学松弛。 包括蠕变及其回复，应力松弛和动态力学实验等。 蠕变 静态的黏弹性 力学松弛 动态黏弹性 力学损耗(内耗)
5
应力松弛 滞后现象
第7章 聚合物的黏弹性
二、静态黏弹性 应力或应变恒定，不同时间时，聚合物材料所表现出来 的黏弹现象。
恒值 (t>t2)
＝
t1
t2
t
3-----本体粘度
分子间滑移，不可恢复
11
图3 理想粘性流动蠕变
第7章 聚合物的黏弹性
当聚合物受力时，以上三种形变同时发生，聚合物的总形变 方程:
2+3 1
1 2 3
t
( t ) 1 2 3 -t
(1 e ) t E1 E2 3
32
tanδ由小到大的顺序：
第7章 聚合物的黏弹性
内耗受温度影响较大
Tg以下，高聚物受外力作用后形变很小， 仅键长、键角变化，速度快，几乎跟得上 应力变化，内耗小
Tg Tf
T Tan
温度升高，高分子向高弹态过渡。链段开始运动，而体系粘度还很大， 链段运动时受到摩擦阻力比较大，高弹形变显著落后于应力的变化，内 耗也大 温度进一步升高，链段运动比较自由，内耗变小 因此，在玻璃化转变区域出现内耗峰 温度继续升高，高分子向粘流态过渡。由于分之间互相滑移，内耗急剧 增加
黏塑性力学绪论
粘弹性物质
有些物质，例如塑料(聚合物)，在变形过程中既具有 弹性固体的性质，又具有粘性流体的性质，称为粘弹性物 质。
第一章 绪 论
线性弹性物质本构方程可表示为
第一章 绪 论
弹塑性物质
对于大多数物质，在小变形低应力情 况下，本构方程呈现为线性弹性的。当应 力超过一定值后，物质的本构关系不仅不 再是线性的，而且变形过程不可逆。
第一章 绪 论
第一章 绪 论
第一章 绪 论
物质产生塑性变形后，弹性常数不变，称为弹性和塑性不 耦合。
第三节 路用材料性能
1、路用材料的种类 1.1 土体 1.2 路基材料及其改良材料 1.3 路面材料 2、沥青混合料的力学性能 2.1 温度相关性 2.2 粘弹塑性特征
请同学们总结其在相应条件下的粘弹塑性特征
物质的变形与时间相关的属性称为黏性。实际物质都具 有不同程度的粘性性质。所以，弹性、塑性和粘性只是物质 的三种基本理想性质，在一定条件下能独自反映实际物质的 一个方面的力学性质；因而，它们是物质的三种理想模型， 称为简单模型。实际物质则可由这三种简单模型的某种组合 来近似地描述，称为复杂模型。
第一章 绪 论
第一章 绪 论
第一节 物质的粘弹塑性及荷载下的力学行为
弹性物质
所谓弹性物质是对于过去的经历(变形史和温度史)没 有记忆的物质。
弹性固体还有自然构形，即在外部作用完全移去后， 弹性固体会恢复到施加外部作用前的形状(构形) 线性弹性物质
微观铝合金的力学性能与本构模型研究
微观铝合金的力学性能与本构模型研究铝合金是一种广泛应用的材料，具有优秀的力学性能和成形性。
微观结构是影响材料力学性能的重要因素，因此研究其微观结构和性能的关系对于铝合金的应用具有重要意义。
本文将探讨微观铝合金的力学性能及其本构模型。
一、铝合金的微观结构铝合金是由铝与其他元素（如铜、锌、镁等）共同组成的合金。
铝合金的微观结构主要由晶粒、晶界和析出物组成。
晶粒是由同一种晶体结构组成的晶体颗粒，其尺寸通常在10~100微米之间。
晶界是相邻的晶粒之间的交界面，其厚度通常在几纳米到几十纳米之间。
析出物是在铝合金中由于元素溶解度限制而形成的细小颗粒，其尺寸通常在纳米级别。
铝合金的微观结构对其力学性能有重要影响。
晶粒尺寸影响材料的塑性和韧性，尺寸较小的晶体在受力时具有更好的变形能力和抗拉伸性能。
晶界是材料的弱点之一，易受到力学应力的影响，容易引起断裂和疲劳失效。
析出物可以增加材料的硬度和强度，但也会使材料的韧性降低。
二、铝合金的力学性能铝合金的力学性能包括弹性模量、屈服强度、延展性和韧性等。
其中，弹性模量反映了材料在受力时的弹性变形能力，屈服强度是材料受力到发生塑性变形时所受到的最大应力，延展性反映了材料在受力时的塑性变形能力，韧性反映了材料的抗断裂性能。
铝合金具有优异的力学性能，其弹性模量和屈服强度比铜和钢低，但比钛和镁高。
铝合金的延展性和韧性较好，塑性变形能力强，这使得其成为一种广泛使用的结构材料。
三、铝合金的本构模型研究铝合金的本构模型是研究铝合金力学性能的重要方法。
常见的本构模型包括弹塑性本构模型和粘弹塑性本构模型。
弹塑性本构模型是指材料在受力过程中表现出弹性和塑性的特性，通常采用von Mises屈服准则来描述其塑性变形。
von Mises准则假设材料在塑性变形时表现出各向同性的应变，且材料的屈服体积和应力体积之比为常数，该比值称为材料的动态学屈服参数。
粘弹塑性本构模型则将材料的力学性能描述为弹性、粘滞和塑性三种力学特性的结合。
材料力学中的非线性本构模型
材料力学中的非线性本构模型材料力学是许多工程领域的基础，它研究材料受力后的力学行为，包括力的大小、方向、分布和变形等问题。
不同材料的力学行为需要采用不同的本构模型来描述，常见的材料本构模型有线性弹性模型、非线性本构模型等。
本文将重点介绍材料力学中的非线性本构模型。
一、非线性本构模型的概念在材料力学中，当受力材料的变形与施加的力之间呈非线性关系时，就需要采用非线性本构模型来描述其力学行为。
非线性本构模型可以分为弹塑性模型、粘弹塑性模型、本质非线性模型等不同类型，其中弹塑性模型在实际应用中被广泛采用。
二、弹塑性模型弹塑性模型又称弹塑性本构模型，它是一种介于线性弹性模型和塑性本构模型之间的模型。
弹塑性模型假设材料的力学行为在一定范围内是线性弹性的，但在超出一定应力范围后就会出现不可逆变形，这种不可逆变形称为塑性变形。
弹塑性模型可分为单轴应力状态下的本构模型和多轴应力状态下的本构模型。
其中单轴应力状态下的本构模型包括拉伸本构模型、压缩本构模型等，多轴应力状态下的本构模型包括Mises本构模型、Drucker-Prager本构模型等。
三、拉伸本构模型拉伸本构模型是弹塑性模型中最简单的模型之一，它假设材料的力学行为在拉伸状态下是线性弹性的，且材料的强度随着应力增大而增大。
在达到材料的屈服点后，材料的强度就不再随应力增大而增大了，这时材料开始出现塑性变形。
拉伸本构模型将材料的应力-应变曲线分为弹性阶段和塑性阶段来描述材料的力学行为。
四、Mises本构模型Mises本构模型也称为圆锥形模型，它是多轴应力状态下最常用的弹塑性模型之一。
该模型假设材料的塑性行为是由等效应力和应力状态判据决定的，等效应力可以通过应力张量得到，应力状态判据则基于材料力学的实验性质，通过外部应力来得到。
Mises本构模型能够较为准确地描述材料在多轴应力状态下的力学行为，并在应用中获得广泛的应用。
五、Drucker-Prager本构模型Drucker-Prager本构模型是一种常用的粘塑性模型，它假设材料有两种塑性机制：一种是塑性流动，另一种是摩擦滑移。
黏塑性力学绪论
为耗散不等式，它表示材料损伤、塑性、粘性与耗 散之间的耗散关系。亦称内禀耗散功率。
第三节 路用材料性能
1、路用材料的种类 1.1 土体 1.2 路基材料及其改良材料 1.3 路面材料 2、沥青混合料的力学性能 2.1 温度相关性 2.2 粘弹塑性特征 请同学们总结其在相应条件下的粘弹塑性特征
第一章 绪 论
粘弹性物质
粘弹性物质与弹性物质不同，它的现时应力不只依赖 于现时应变，而与整个变形历史有关，变形过程是不可逆 的；它与塑性物质也不相同，塑性物质中的变形和时间无 关(无时效)，在给定外力作用下，塑性体内的应力场和应 变场不因载荷持续作用而变化；而粘弹性体的变形则和时 间有关，在给定载荷作用下，变形将随时间而变化；载荷 卸去后，变形不立即消失，也不取一定值，而是随时间变 化的。
第一章 绪 论
线性弹性物质本构方程可表示为
第一章 绪 论
弹塑性物质
对于大多数物质，在小变形低应力情 况下，本构方程呈现为线性弹性的。当应 力超过一定值后，物质的本构关系不仅不 再是线性的，而且变形过程不可逆。
第一章 绪 论
第一章 绪 论
第一章 绪 论
物质产生塑性变形后，弹性常数不变，称为弹性和塑性不 耦合。
＝ ( ij , D , ,T )
第二节 弹粘塑材料损伤变形 与能量耗散
上式应满足能量守恒和Clausius-Duhem不等式，即 存在
ij － ( sT) Ts r qi ,j 0 ij
ij － ( sT) q iT ,i 0 ij T 1
参考文献
• • • • 弹塑性力学 李同林编 中国地质大学出版社 粘弹性力学 杨挺青著 华中理工大学出版社 弹塑性力学 殷绥域编 中国地质大学出版社 粘弹性理论与应用 杨挺青等著 科学出版社 2006 1994 1990 2004
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第七章 粘弹塑性模型的基本概念7 . 1 引言为了描述土体应力一应变关系受时间的影响，需要采用与时间有关的类模型（如粘弹胜模酬、粘塑性模型，粘弹塑隆模型）来描述土的性状。
弹性、塑性和粘性是连续介质的三种基本性质，各在定条件F 独自反映材料本构关系的一个方面的特性。
理想弹性模型、理想塑胜模型（或称刚塑性模型）和理想粘性模型是反映这三种性质的理想模型，通常称为简单模型。
实际工程材料的本构关系可以用这些简单模型的各种组合来构成。
理想弹性模型又称虎克弹性模型，通常用理想弹簧表示（图7-1( a )）。
其本构方程为虎克定律。
一维条件下，如单轴压缩和纯剪清况下，表达式分别为：E σε= （7.1.1）G τγ= （7.1.2）式中E —— 弹性模量、G ——剪切模量。
剪切模量与弹性模量和泊松比的关系如下式所示：()21E G ν=+ （7.1.3） 式中 ν ——泊松比。
三维条件下本构方程可表示为下述形式：m K νσε= （7.1.4）式中 K ——体积弹性模量。
（a ） （b ）图7-1 理想弹性模型体积弹性模量与弹性模量和泊松比的关系如下式所示：()312E K ν=- （7.1.6） 理想粘性模型又称牛顿粘滞体模型。
通常用一粘壶（或称阻尼器）表示（图7-2 ( a ) ）。
粘壶内充满粘滞液体和一个可移动的活塞。
活塞在粘滞液体中的移动速度与所受阻力成正比关系，反映了粘性介质内一点的应力与该点处应变速率成正比例关系的性质。
一维条件如单轴压缩或纯剪情况下，表达式分别为：σϕε=&（7.1.7）τηγ=&（7.1.8） 式中 ϕ、η ——粘滞系数。
由上两式可以看出，从数学表达的形式上与理想弹性体单轴压缩和纯剪时的本构方程相类似。
与理想弹性体的方程相对应，类似式7.1.3，存在下述关系：()*21ϕην=+ （7.1.9）式中 *ν ——粘性应变速率的横向比值。
（a ） （b ）图7-2 理想粘性模型理想粘性体的体积变化与形状变化速率无关，即不具有体积粘性。
因此，*ν应等于0.5 。
于是式7.1.9成为：3ϕη= （）这与弹性不可压缩时的E=3G 相对应。
在三维条件下理想粘性体本构方程可表示为：2ij ij S e η=& （）理想塑性模型又称Saint-Venant 塑性模型，或称刚塑性模型。
通常采用两块接触的粗糙面表示（图7-3 （a ））。
面上存在有一称晰脚擦阻力，与作用在面上的法向压力无关，是一常数。
若外作用力心婚此起始摩擦阻力，物体不发生变形。
一维条件如单轴压缩或此钾扮况，当轴向应力或剪应力小于某一数值时，物体不发生变形．当软祠应力或剪应力等于某数值时，物体产生流动，变形无限制增长．理想塑性模刮的体积应变等于零，即体积不发生改变。
在三维条件下理想塑性体的本构方程可表示为：（a ） （b ）图 7-3 理想塑性体模型当 ij ij S H <时，0ij e =当 ij ij S H =时，2ij ij S e λ=& （）式中 ij H ——起始摩擦阻力，或称塑性条件；λ——比例常数。
式表明，理想塑性体的塑性应变偏量的变化率与应力偏量成正比。
由理想弹性模型、理想粘性模型和理想塑性模型等简单模型可以组合成许多复杂模型。
由理想弹性模型和理想塑性模型可以组合成理想弹塑性模型。
由弹性模型和粘性模型可以组合成各种粘弹性模型。
由粘性模型和塑性模型可以组合成各种粘塑性模型。
由弹性模型、粘性模型和塑性模型可以组合成各种粘弹塑性模型。
理想弹塑性模型已在第六章作了介绍。
在以下几节将对几种由简单模型组成的粘弹性模型、粘塑性模型和粘弹塑胜模型作简单介绍。
利用简单模型可以组合成各种复杂模型，从而可以建立各种材料的本构方程。
但是进一步的研究发现，许多材料的实际性状并不能满意地用简单的组合模型来描述，而目采用复杂的组合模型又常遇到数学上的困难。
因此，常常在试验的基础上，通过假设一实验一理论的方法建立材料的本构力程。
在本章的最后一节将简要介绍描述材料蠕变现象的蠕变力程。
7 . 2 粘弹性模型既具有弹性又具有粘性的性质称为粘弹性。
蠕变和应力松弛现象是人们熟悉的也是特别受重视的粘弹性胜质粘弹性性质的特点是在本构方程中除了有应力和应变项外，还包括有它们对时间导数的项。
对线性粘弹胜材料，其本构方程的一般表达式为：()()0101m n m n a a a b b b σσσεεε+++=+++&&L L （7.2.1） 式中 ,i i a b ——与材料性质有关的参数。
下面首先介绍几种简单的粘弹性模型，然后再介绍较复杂的情况。
7.2.1Maxwell 模型Maxwell 模型又称松弛模型。
它是由线性弹簧和牛顿枯壶串联组成，如图7 -4 (a ）所示。
在串联条件下，作用在两元件上的应力相同，而总的应变应为两个元件应变的和，即εεε'''=+ （7.2.2）或εεε'''=+&&& （7.2.3） 式中 ,εε'''——分别为线性弹簧和粘壶的应变；,εε'''&&——分别为线性弹簧和粘壶的应变率。
考虑到线性弹簧有/E εσ'=&&和牛顿粘壶有/εσϕ''=&，则式7.2.3可改写成： E σσεϕ=+&& （7.2.4） （a ） （b ） （c ）图7-4 Maxwoll 模型写成如式7.2.1的标准形式，上式可改写为：n σσϕε+=&&（7.2.5） 式中 n ——松驰时间，n E ϕ=，量纲为时间。
式7.2.5称为Maxwell 方程。
若物体获得初始应变0ε以后总应变保持不变（图7-4b) ，即0ε=&，式7.2.5成为：0n σσ+=& （7.2.6） 积分上式，得/t n Ce σ-= （7.2.7)式中 C ——积分常数。
应用初始条件，0t =，0σσ=代人式7.2.7解出C ，再代人式7.2.7 , 得 /0t n e σσ-= (7.2.8 )式7.2.8表示，Maxwell 模型在保持总应变不变的条件下，发生应力随时间衰减的松弛现象，如图7-4c 所示。
若物体获得初始应力0σ以后，保持应力不变，即0σ=& 0σϕε=& （7.2.9 )式7.2.9表示材料应变率为常数，即应变随时间成比例地增长，因此变形随时间无限地发展。
下面讨论松弛试验的情况。
在松弛试验中，首先对试件施加应变0ε，然后保持应变为定值，进而测量作为时间函数的应力值，确定松弛规律。
松弛试验中应变可记为：()0u t εε= ( 式中 ()u t ——单位阶梯函数。
单位阶梯函数定义为：()1110,1,t t u t t t t <⎧-=⎨>⎩ （） 在松弛试验中10t =()1u t t -可表示为()u t 。
将式代人式7.2.5，得()E t nσσεδ+=& （）式中 ()t δ——脉冲δ函数，()()d t u t dt δ=⎡⎤⎣⎦。
脉冲δ函数定义为：()0,0,0t t t δ≠⎧=⎨+∞=⎩ （） ()1t t dt δ-∞=⎰（） 脉冲δ函数具有下述性质，对于任何连续函数()f t ，当1t t >时，有 ()()()()111t f t d f t u t t τδττ-∞-=-⎰（）利用式 ()()/0t n t E e u t σε-= （）式表示Maxwell 模型的应力松弛规律，简记为：()()0t t σε=Φ （）式中 ()t Φ——松弛函数，其表达式为()()/t n t Ee u t -Φ= （）7.2.2 Kelvln 模型Kelvln 模型又称非松弛模型。
这种模型曾由W . Voigt 和Kelvin 提出，故又称为Voigt —Kelvin 模型。
它是由线性弹簧和牛顿粘壶并联组成，如图7-5 (a ）所示。
在并联条件下，两个元件的应变相同，而总的应力应为两个元件的应力之和，即E σσσεϕε'''=+=+& （）若在0t =时，瞬时地加上应力0σσ=，并保持不变，则由式可得0E ϕεεσ+=&积分上式，得()01t e E λσε-=- （） 式中 λ——衰减系数，1E n λϕ==； n ——滞后时间。
（a ） （b ）图7-5 Kelvln 模型由式可知，当t →∞，应变趋于个稳定值0/E σ。
若物体获得初始弹性应变0ε之后保持应变不变，即0ε=&。
由式得0E σε==常量 （）上式表明在这种情况下应力不衰减。
下面讨论蠕变试验的情况。
在蠕变试验中，首先对试件施加应力0σ，然后保持应力为定值来量取作为时间函数的应变值。
若取瞬时加载的时刻为0t =，则加载过程可表示为：()0u t σσ= （） 式中 ()u t ——单位阶梯函数。
将式()0u t σελεϕ+=& （） 注意到单位阶梯函数有如下性质()()()()111ttt f u t d u t f d ττττττ-∞-=-⎰⎰ 此处τ为积分变量。
积分式，得()()()01tt e u t E λσε-=- （） 式中1E n λϕ== 式表示Kelvin 模型的蠕变规律，可简记为：()()t t εσ=ψ式中 ()t ψ——蠕变函数。
蠕变函数的表达式为()()()11t t e u t Eλ-ψ=- （） 7.2.3 三元件粘弹性模型 图7-6a 表示个三元件粘弹性模型。
它是由线性弹簧和Kelvin 模型串联组成，包括二个线性弹簧和一个牛顿粘壶，共三个元件，故称三元件粘弹性模型。
用ε''表Kelvin 模型的应变，ε'表示与Kelvin 模型串联的线性弹簧的应变，σ'表示Kelvin 模型中线性弹簧中的应力，σ''表示牛顿粘壶中的应力，σ和ε分别表示总应力和总应变。
分析各元件的应力或应变相互间关系，不难得到下列各式：εεε'''=+ （）σσσ'''=+ （）E σε''= （）E σε'''''= （）σϕε''''= （）式中 E '——与Kelvin 模型串联的线性弹簧的弹性模量；E ''——Kelvin 模型中线性弹簧的弹性模量；ϕ——牛顿粘壶的粘滞系数。
结合式()E E E E E σϕσεϕε'''''''++=+&& （） 式还可改写为：n nH E σσεε+=+&& （）式中n E E ϕ='''+ （）图7-6 三元件粘弹性模型H E '= ()E E E E E '''='''+ () 若物体作用有初始应力σ，且保持不变，即0σ=&，且在0t =时，/H εσ=。