第七章 粘弹塑性模型的基本概念
chapter7粘弹性
静态的粘弹性
力学松弛
应力松弛
滞后现象 动态粘弹性 力学损耗(内耗)
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第7章 聚合物的粘弹性
本章的主要内容 内部尺度－－弹性和粘性结合 粘 弹 性
外观表现－－4个力学松弛现象 时温等效原理－－实用意义， 主曲线，WLF方程
为了加深对聚合物粘弹性的理解和掌握 力学模型 描述
5
第7章 聚合物的粘弹性
二、静态粘弹性
塑料的玻璃化温度在动态条件下,比静态来的高,就是 说在动态条件下工作的塑料零件要比静态时更耐热,因此 不能依据静态下的实验数据来估计聚合物制品在动态条件 下的性能.
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第7章 聚合物的粘弹性
60Km/h 0 2
~300Hz t
图10
26
t
第7章 聚合物的粘弹性
t 0 sin t t 0 sin t - 0 某处所受的最大应力 外力变化的角频率 在受到正弦力的作用时应变落后于应力的相位差
第7章 聚合物的粘弹性
一、粘弹性的基本概念
1.理想弹性固体：受到外力作用形变很小，符合胡克定 律 ＝E1=D1,E1普弹模量, D1普弹柔量.
特点:受外力作用平衡瞬时达到,除去外力应变立即恢复. 2.理想的粘性液体：符合牛顿流体的流动定律的流体,＝ 特点:应力与切变速率呈线性关系,受外力时应变随时间线 性发展,除去外力应变不能恢复.
（t）
t
0
E1
0 应力
t1
t2
t
E1 普弹形变模量
图1 理想弹性体（瞬时蠕变）普弹形变
9
第7章 聚合物的粘弹性
（t）
（t）
t (t)=
0 (t<t1)
摩尔库伦弹塑性模型简介
6.3 Mohr －Coulumb 弹塑性模型简介6.3.1 弹性－理想塑性材料的力学行为弹塑性的基本准则是应变和应变增量可分解为弹性和塑性两部分:pe εεε+= •••+=pe εεε（3.1）利用Hook 定律将应力速率和弹性应变速率联系起来。
将式（3.2）带入Hook 定律可得：⎪⎪⎭⎫⎝⎛-==••••p eeeD D εεεσ,(3.2)根据经典塑性理论（Hill ，1950），塑性应变速率与屈服函数对于应力的导数成正比。
因此，塑性应变速率可表示为与屈服面垂直的矢量。
这一理论的经典形式采用了相关联的流动法则。
对于莫尔一库仑模型的屈服函数，相关联的流动法则计算出的土体的剪胀角偏大，因此，除屈服函数之外，引进了塑性势函数g 。
f g ≠的情形被称为不相关联的流动法则。
一般地，塑性应变速率可写作:,σλε∂∂=•g p（3.3）式中：λ是硬化参数，如材料只发生弹性变形，0=λ，然而在塑性变形的情况下λ是一个正值：0=λ 当0<f 或0'≤∂∂•εσeT D f （弹性）0>λ 当0=f 或0'>∂∂•εσeT D f （塑性）有效应力增量和应变速率之间的关系为：••⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=εσσασe T e e D f g D d D '',（3.5a ）''σσ∂∂∂∂=g Df d eT （3.5b ）式中α作为转换参数。
如果是弹性材料，0=α；如果材料表现出塑性，α为一非零常数。
以上所述的塑性理论仅限于光滑屈服面，并且不包含莫尔一库仑模型中所涉及到的多重屈服面。
为了解释这样的屈服面中包含两个或多个塑性势函数的流动法则，Koiter(l 960)和其他学者将塑性理论进行了推广。
+∂∂+∂∂=•'22'11σλσλεg g p（3.6）类似得，几个准独立的屈服函数（ 21,f f ）用来确定硬化参数（ 21,λλ）的大小。
路基路面结构的粘弹塑性分析
流 变模 型
弹性 、塑性和粘性是物质材料 的三种基 本 的理想 力学性质 ，它们分别在一定 的条件下独 自反映各 自的 力学特性 。因此代表这三种力学性质 的理 想模 型 ，在
路基路面结构是一个多层结构体 系，路基 是在天 然地表面按 照道 路 的设计 线形 （ 置 ） 和设 计横 断 位 面 （ 几何尺寸 ） 的要求 ，开挖 或 堆 填 而成 的 土石 结
维普资讯
韦
璐 ：路基路 面结构 的粘弹塑性 分析
・１ ７・
路 基 路 面 结 构 的粘 弹塑 性 分 析 木
韦 璐
（ 安徽 建筑工业学院土木工程系 安徽合肥 ２ ００ ） ３ ６ １
摘
要
阐述 了路基路 面结构粘 弹塑性 的力学模 型与力学方程。通过 粘弹塑性理论分析 ，与传 统
ｓ ｔ ＝ ｓ ＋ｓ ＋ｓ （） ｌ ， ＋ｓ ４ （） １
图 １ 流 变 曲线 图
在理论分析 中 ，用 虎克体 （ ｏｋ 体 ）来模 拟 瞬 Ｈ ｏｅ
韦
时 弹性 应 变 时 的路 基 路 面 结 构 材 料 ，用 凯 尔 文 体 （ ｅ ｉ 体 ）来模 拟初始 蠕变 阶段 的路 基路 面结 构材 Ｋ ｌｎ ｖ 料 ，用宾汉姆体 （ ｉｇａ Ｂｎｈｍ体 ）来模 拟定常蠕 变阶段 时的路基路 面结 构材料 。至于加速蠕变 阶段 的路基路 面结构材料 的变形可通过分析塑性应变软化 的变形特 征得到 。因此路基 路 面结构应 变全过 程 可用虎 克体 、 凯 尔文 体 和 宾汉 姆 体 相 串联 的 “ 一粘 弹 一粘 塑” 弹 性流变模 型来模拟 ，见助项 目。 Ｉ ： 璐 ，女 ，硕 ＿ 究 生 。 卜 研
固体力学 中称为简单模型 。而在 自然界和工程 界是实 际材料 ，则可用这些模型 的某种组合来构成 ，称其为 复杂模型 。对于简单模型 ，它可 以通过反映这 三种 力 学性质 的基 本 元 件来 表 示 ，即反 映弹性 的弹性 固体 （ 又称 Ｈ ｏ ｅ ） ｏｋ 体 、反 映粘性 的粘滞 液 体 （ 又称 Ｎ ｗ ｅ— ｔ ｏ ｎ流体 ）和 反映 塑性 的塑性 固体 （ 又称 Ｓ．Ｖ ｎｎ ｔ ｅ ａｔ 塑性体 ） 。复杂模 型便是 用这些基 本的元件 ，如弹簧 、 粘 壶 、摩 阻件等来 反映材料 的性质 ，通过这些基本元 件的相互并联或串联形成复杂的模 型。复杂 的粘 弹塑 性 力学性 质 也可 以通 过线 性粘 弹塑性 模 型 理论 来体 现 ，对于模 型理论 ，它是采用一些基 本元件来代表材 料 的某些 性质 ，具 体 几种 典 型 的流变 模 型有 如 Ｍ ｘ ａ— ｗ ｌ体 、Ｋ ｌ ｎ体 、标 准线性 体和广义的 Ｂｎ ｈｍ体 。 ｅ ｌ ｅｉ ｖ ｉ ａ ｇ ２ １ 粘 弹塑性力学模 型 ． 大量室 内试验 和现场测试都表 明，路基路 面结构 在恒定应 力状 态下 ，其 应变 ｓ ｔ 时间 的发展 过程 （）依 分为 四个 阶段 ，即 瞬时 弹性 应 变 阶段 ，初 始蠕 变 阶 段 ，定常蠕变阶段和加速蠕变 阶段 。相应 的应变可表 示成 ｓ ，ｓ ，ｓ ，ｓ ，见 图 １ ３ ４ 。即有
粘弹性材料的力学行为分析
粘弹性材料的力学行为分析粘弹性材料是一类常见的材料，它们表现出粘性和弹性的特性。
力学行为分析是研究这种材料在受力下的变形和响应的科学方法。
本文将介绍粘弹性材料的力学行为分析及其应用。
一、粘弹性材料的定义和本质特征粘弹性材料是指同时具有粘性和弹性的材料。
粘性即材料在受力时会变形并保持变形一段时间，而弹性则指材料在受力后能够恢复其原始形状。
这两种特性在粘弹性材料中同时存在，且相互耦合。
粘弹性材料的本质特征可以通过应力-应变关系来描述。
一般来说，粘弹性材料的应力与应变并非线性关系，并且会随时间发生变化。
最常用的描述粘弹性材料力学行为的方法是弛豫模量和黏滞阻尼。
二、粘弹性材料的力学模型为了更好地研究和分析粘弹性材料的力学行为，学者们提出了许多不同的力学模型。
以下是其中几种常见的模型。
1. 早期模型 - 弹性体和粘性体并联模型：该模型将粘弹性材料视为由弹性体和粘性体在并联时构成。
其基本假设是材料的应变由弹性体和粘性体的应变之和构成。
这种模型简单且易于理解，但在较长时间尺度下的行为无法解释。
2. 麦西斯模型：麦西斯模型是由Maxwell于1867年提出的，该模型认为粘弹性材料可以视为一系列弹性体与粘性体的串联组合。
这种模型可以较好地描述粘弹性材料的短时间行为，但对长时间行为的描述不佳。
3. 都马模型：都马模型是由Voigt和Kelvin于19世纪末提出的，该模型的基本思想是将麦西斯模型的并联和串联结合在一起。
都马模型能够同时描述材料的短时间和长时间行为，但其计算复杂度较高。
三、粘弹性材料的应用由于粘弹性材料独特的力学行为，在许多领域都有广泛的应用。
1. 粘弹性体的缓冲性能：粘弹性材料的粘性特性使其具有优异的缓冲性能。
例如，在汽车领域，粘弹性材料被广泛应用于减震器的制造，能够减少车辆在行驶过程中的震动并提高乘坐舒适度。
2. 粘弹性体的消能性能：粘弹性材料还具有良好的消能特性，能够吸收能量并减少冲击力。
这一特性使得粘弹性材料在结构工程中应用广泛，如地震减震装置的设计等。
弹塑性本构模型理论课件
。
材料屈服强度影响规律
屈服强度定义
材料开始发生明显塑性变形的最小应力值，反映了材料抵抗塑性变 形的能力。
屈服强度对弹塑性行为的影响
屈服强度越大，材料抵抗塑性变形的能力越强，进入塑性阶段所需 的应力水平越高，材料的塑性变形能力越差。
屈服强度的影响因素
材料的晶体结构、化学成分、温度、应变速率等都会影响屈服强度 的大小。
材料弹性模量影响规律
弹性模量定义
01
材料在弹性阶段内，应力与应变之比，反映了材料抵抗弹性变
形的能力。
弹性模量对弹塑性行为的影响
02
弹性模量越大，材料的刚度越大，相同应力作用下产生的弹性
变形越小，进入塑性阶段所需的应力水平越高。
弹性模量的影响因素
03
材料的晶体结构、化学成分、温度等都会影响弹性模量的大小
弹性阶段
材料在受力初期表现出弹性行为，应 力与应变呈线性关系，卸载后无残余 变形。
屈服阶段
当应力达到屈服强度时，材料进入塑 性阶段，应力不再增加但应变继续增 加，卸载后有残余变形。
强化阶段
材料在塑性阶段表现出应变硬化特性 ，随着塑性应变的增加，屈服强度逐 渐提高。
理想弹塑性模型
无强化阶段的弹塑性模型，屈服后应 力保持恒定，应变无限增加。
通过实验测定金属材料的弹性模量、屈服强度、硬化模量等参 数，为模拟提供准确数据。
利用有限元软件建立金属材料的弹塑性行为模型，进行加载、 卸载等模拟过程。
将模拟结果与实验结果进行对比，验证弹塑性本构模型在金属 材料行为模拟中的准确性和可靠性。
实例二：混凝土结构弹塑性损伤评估
损伤模型选择
针对混凝土结构的损伤特点，选择合适 的弹塑性损伤本构模型，如塑性损伤模
粘弹性基本力学模型
粘弹性基本力学模型粘性:在外力作用下，分子与分子之间发生位移，材料的变形和应力随时间变化的变种特性称为粘性。
理想的粘性流体其流动形变可用牛顿定律来描述:应力与应变速率成正比。
因此，材料的本构关系的数学表达式应是反映应力-应变-时间-温度关系的方程。
粘弹性:塑料对应力的响应兼有弹性固体和粘性流体的双重特性称粘弹性。
材料既有弹性，又有粘性。
粘弹性依赖于温度和外力作用的时间。
其力学性能随时间的变化，称为力学松弛，包括应力松弛、蠕变等。
其力学行为介于理想弹性体和理想粘性体之间。
理想弹性体的形变与时间无关，形变瞬时达到，瞬时恢复。
理想粘性体的形变随时间线性发展。
粘弹性体介于这两者之间，其形变的发展具有时间依赖性，也就是说不仅具有弹性而且有粘性。
这种力学性质随时间变化的现象称为力学松弛现象或粘弹性现象。
橡胶对形变同时具有粘性响应和弹性响应。
粘性响应与形变速率成正比，而弹性响应与形变程度成正比。
粘性响应通常以阻尼延迟器为模型，而弹性响应则以金属弹簧为模型。
采用如下两种基本力学元件，即理想弹簧和理想粘壶。
理想弹簧用于模拟普弹形变，其力学性质符合虎克(Hooke)定律，应变达到平衡的时间很短，可以认为应力与应变和时间无关:σ=Eε其中σ为应力;E为弹簧的模量。
理想粘壶用于模拟粘性形变，其应变对应于充满粘度为η的液体的圆筒同活塞的相对运动，可用牛顿流动定律描述其应力应变关系:将弹簧和粘壶串联或并联起来可以表征粘弹体的应力松弛或蠕变过程。
应力松弛:就是在固定的温度和形变下，聚合物内部的应力随时间增加而逐渐衰减的现象。
这种现象也在日常生活中能观察到，例如橡胶松紧带开始使用时感觉比较紧，用过一段时间后越来越松。
也就是说，实现同样的形变量，所需的力越来越少。
未交联的橡胶应力松弛较快，而且应力能完全松弛到零，但交联的橡胶，不能完全松弛到零。
应力松弛同样也有重要的实际意义。
成型过程中总离不开应力，在固化成制品的过程中应力来不及完全松弛，或多或少会被冻结在制品内。
弹塑性详解
弹塑性的未来发展
智能材料
未来弹塑性材料将与智能传感器和控制系统集成,实现自主监测和自适应调节,提高结构系统的稳定性和可靠性。
高性能应用
在航空航天、汽车制造、能源等领域,弹塑性材料将发挥更大作用,提高关键部件的抗冲击和耐疲劳能力。
仿生设计
从生物体的运动机理中吸取灵感,开发出更高效、协调的弹塑性机构,应用于机器人、生化假肢等领域。
制造工艺控制
弹塑性理论在冲压、挤压、锻造等成形加工中发挥重要作用,可预测工件变形、确定最佳工艺参数,提高产品质量。
生物医学应用
医疗器械和义肢设计需要利用弹塑性分析,确保其能适应人体组织的变形特性,提高舒适度和功能性。
弹塑性的重要性
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提高结构安全性
弹塑性能够增强材料和结构在外力作用下的变形能力,有效降低意外事故发生的风险,提高结构的安全可靠性。
弹塑性的影响因素
应力-应变关系
材料的弹塑性行为主要取决于其应力-应变曲线的形状,包括弹性模量、屈服强度和最大强度等关键参数。
材料成分与微观结构
材料的化学成分、晶粒大小、相组成等微观结构特征直接影响其宏观力学性能和弹塑性行为。
应力状态与几何形状
零件或结构的受力状态和几何形状会导致局部应力集中,从而影响弹塑性响应和失效模式。
工程应用
20世纪中后期,弹塑性理论和方法广泛应用于工程实践,在航空、汽车、建筑等领域发挥了重要作用。
现代进展
当前,随着计算机技术的发展,弹塑性分析方法不断创新,在复杂结构设计、材料选择和工艺优化中展现强大的潜力。
弹塑性的基本原理
数学描述
弹塑性通过应变-应力关系的数学模型来描述材料在力学作用下的变形行为。这些模型结合了材料的弹性特性和塑性特性。
金属材料的力学行为模型
金属材料的力学行为模型引言:金属材料在人类社会中扮演着重要的角色，广泛应用于建筑、交通、电子等领域。
研究金属材料的力学行为模型对于优化设计、材料选择和结构安全具有重要意义。
本文将探讨金属材料的力学行为模型，并介绍常用的弹性、塑性和粘弹性模型。
第一部分：弹性模型弹性模型用于描述金属材料在受力后恢复原状的能力。
最简单的弹性模型是胡克定律，它表明应力与应变成正比。
然而，金属材料的力学行为往往不符合线性弹性假设。
因此，工程领域常采用线性弹性模型、非线性弹性模型和弹塑性模型等。
线性弹性模型假设应力与应变呈线性关系，其中应力是单位面积上的力，应变是单位长度上的形变。
最常用的线性弹性模型是胡克-杨模型，它描述了金属材料的正弹性行为。
然而，在高应力下，金属材料的力学行为不再符合线性弹性假设。
第二部分：塑性模型塑性模型用于描述金属材料在超过弹性极限后的可塑性变形。
金属材料在受力时会出现塑性变形，即无法完全恢复原状。
晶体塑性理论是研究金属材料塑性变形的重要方法。
它基于晶体的滑移理论和晶体微弱滑移的条件。
其中，最常用的塑性模型是von Mises模型，它假设金属材料在达到屈服点后会开始塑性变形。
该模型描述了材料的屈服条件，并引入了流动准则来确定塑性变形发生的条件。
第三部分：粘弹性模型粘弹性是介于弹性和塑性之间的力学特性，用于描述金属材料在应力施加后的时间依赖性。
与弹性相比，粘弹性模型考虑了材料的时间依赖性。
常见的粘弹性模型包括粘弹性弹簧模型和粘弹性体模型。
粘弹性模型的研究包括应力松弛实验和应变迟滞实验。
这些实验揭示了金属材料在受力后的时间依赖性行为，为粘弹性模型的建立提供了实验基础和理论依据。
结论:金属材料的力学行为模型对于优化设计和结构安全具有重要意义。
本文介绍了金属材料的弹性、塑性和粘弹性模型，并讨论了它们的适用范围和应用。
在工程实践中，根据材料的具体情况选择适当的模型进行分析和设计是至关重要的。
希望本文的探讨能够为金属材料力学行为模型的应用提供一定的指导和启示。
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第七章 粘弹塑性模型的基本概念7 . 1 引言为了描述土体应力一应变关系受时间的影响，需要采用与时间有关的类模型（如粘弹胜模酬、粘塑性模型，粘弹塑隆模型）来描述土的性状。
弹性、塑性和粘性是连续介质的三种基本性质，各在定条件F 独自反映材料本构关系的一个方面的特性。
理想弹性模型、理想塑胜模型（或称刚塑性模型）和理想粘性模型是反映这三种性质的理想模型，通常称为简单模型。
实际工程材料的本构关系可以用这些简单模型的各种组合来构成。
理想弹性模型又称虎克弹性模型，通常用理想弹簧表示（图7-1( a )）。
其本构方程为虎克定律。
一维条件下，如单轴压缩和纯剪清况下，表达式分别为：（7.1.1）（7.1.2）式中E —— 弹性模量、G——剪切模量。
剪切模量与弹性模量和泊松比的关系如下式所示：（7.1.3）式中 ——泊松比。
三维条件下本构方程可表示为下述形式：（7.1.4）式中 K——体积弹性模量。
（a） （b）图7-1 理想弹性模型体积弹性模量与弹性模量和泊松比的关系如下式所示：（7.1.6）理想粘性模型又称牛顿粘滞体模型。
通常用一粘壶（或称阻尼器）表示（图7-2 ( a ) ）。
粘壶内充满粘滞液体和一个可移动的活塞。
活塞在粘滞液体中的移动速度与所受阻力成正比关系，反映了粘性介质内一点的应力与该点处应变速率成正比例关系的性质。
一维条件如单轴压缩或纯剪情况下，表达式分别为：（7.1.7）（7.1.8）式中 、 ——粘滞系数。
由上两式可以看出，从数学表达的形式上与理想弹性体单轴压缩和纯剪时的本构方程相类似。
与理想弹性体的方程相对应，类似式7.1.3，存在下述关系：（7.1.9）式中 ——粘性应变速率的横向比值。
（a） （b）图7-2 理想粘性模型理想粘性体的体积变化与形状变化速率无关，即不具有体积粘性。
因此，应等于0.5 。
于是式7.1.9成为：（7.1.10）这与弹性不可压缩时的E=3G相对应。
在三维条件下理想粘性体本构方程可表示为：（7.1.11）理想塑性模型又称Saint-Venant 塑性模型，或称刚塑性模型。
通常采用两块接触的粗糙面表示（图7-3 （a））。
面上存在有一称晰脚擦阻力，与作用在面上的法向压力无关，是一常数。
若外作用力心婚此起始摩擦阻力，物体不发生变形。
一维条件如单轴压缩或此钾扮况，当轴向应力或剪应力小于某一数值时，物体不发生变形．当软祠应力或剪应力等于某数值时，物体产生流动，变形无限制增长．理想塑性模刮的体积应变等于零，即体积不发生改变。
在三维条件下理想塑性体的本构方程可表示为：（a） （b）图 7-3 理想塑性体模型当 时，当时，（7.1.12）式中 ——起始摩擦阻力，或称塑性条件；——比例常数。
式7.1.12表明，理想塑性体的塑性应变偏量的变化率与应力偏量成正比。
由理想弹性模型、理想粘性模型和理想塑性模型等简单模型可以组合成许多复杂模型。
由理想弹性模型和理想塑性模型可以组合成理想弹塑性模型。
由弹性模型和粘性模型可以组合成各种粘弹性模型。
由粘性模型和塑性模型可以组合成各种粘塑性模型。
由弹性模型、粘性模型和塑性模型可以组合成各种粘弹塑性模型。
理想弹塑性模型已在第六章作了介绍。
在以下几节将对几种由简单模型组成的粘弹性模型、粘塑性模型和粘弹塑胜模型作简单介绍。
利用简单模型可以组合成各种复杂模型，从而可以建立各种材料的本构方程。
但是进一步的研究发现，许多材料的实际性状并不能满意地用简单的组合模型来描述，而目采用复杂的组合模型又常遇到数学上的困难。
因此，常常在试验的基础上，通过假设一实验一理论的方法建立材料的本构力程。
在本章的最后一节将简要介绍描述材料蠕变现象的蠕变力程。
7 . 2 粘弹性模型既具有弹性又具有粘性的性质称为粘弹性。
蠕变和应力松弛现象是人们熟悉的也是特别受重视的粘弹性胜质粘弹性性质的特点是在本构方程中除了有应力和应变项外，还包括有它们对时间导数的项。
对线性粘弹胜材料，其本构方程的一般表达式为：（7.2.1）式中 ——与材料性质有关的参数。
下面首先介绍几种简单的粘弹性模型，然后再介绍较复杂的情况。
7.2.1Maxwell 模型Maxwell 模型又称松弛模型。
它是由线性弹簧和牛顿枯壶串联组成，如图7 -4 (a）所示。
在串联条件下，作用在两元件上的应力相同，而总的应变应为两个元件应变的和，即（7.2.2）或（7.2.3）式中 ——分别为线性弹簧和粘壶的应变；——分别为线性弹簧和粘壶的应变率。
考虑到线性弹簧有和牛顿粘壶有，则式7.2.3可改写成：（7.2.4）（a） （b） （c）图7-4 Maxwoll 模型写成如式7.2.1的标准形式，上式可改写为：（7.2.5）式中 ——松驰时间，，量纲为时间。
式7.2.5称为Maxwell方程。
若物体获得初始应变以后总应变保持不变（图7-4b) ，即，式7.2.5成为：（7.2.6）积分上式，得（7.2.7)式中 ——积分常数。
应用初始条件，，代人式7.2.7解出，再代人式7.2.7 , 得(7.2.8 )式7.2.8表示，Maxwell模型在保持总应变不变的条件下，发生应力随时间衰减的松弛现象，如图7-4c所示。
若物体获得初始应力以后，保持应力不变，即，则式7.2.5成为：（7.2.9 )式7.2.9表示材料应变率为常数，即应变随时间成比例地增长，因此变形随时间无限地发展。
下面讨论松弛试验的情况。
在松弛试验中，首先对试件施加应变，然后保持应变为定值，进而测量作为时间函数的应力值，确定松弛规律。
松弛试验中应变可记为：(7.2.10)式中 ——单位阶梯函数。
单位阶梯函数定义为：（7.2.11）在松弛试验中可表示为。
将式7.2.10代人式7.2.5，得（7.2.12）式中 ——脉冲函数，。
脉冲函数定义为：（7.2.13）（7.2.14）脉冲函数具有下述性质，对于任何连续函数，当时，有（7.2.15）利用式7.2.15，积分式7.2.12，可得（7.2.16）式7.2.16表示Maxwell模型的应力松弛规律，简记为：（7.2.17）式中 ——松弛函数，其表达式为（7.2.18）7.2.2 Kelvln 模型Kelvln模型又称非松弛模型。
这种模型曾由W . Voigt 和Kelvin 提出，故又称为Voigt—Kelvin模型。
它是由线性弹簧和牛顿粘壶并联组成，如图7-5 (a）所示。
在并联条件下，两个元件的应变相同，而总的应力应为两个元件的应力之和，即（7.2.19），并保持不变，则由式7.2.19可得（7.2.20）积分上式，得（7.2.21）式中 ——衰减系数，；——滞后时间。
（a） （b）图7-5 Kelvln模型由式7.2.21可知，当，应变趋于个稳定值。
若物体获得初始弹性应变之后保持应变不变，即。
由式7.2.19得常量（7.2.22）上式表明在这种情况下应力不衰减。
下面讨论蠕变试验的情况。
在蠕变试验中，首先对试件施加应力，然后保持应力为定值来量取作为时间函数的应变值。
若取瞬时加载的时刻为，则加载过程可表示为：（7.2.23）式中 ——单位阶梯函数。
将式7.2.23代人式7.2.19，得（7.2.24）注意到单位阶梯函数有如下性质（7.2.25）此处为积分变量。
积分式7.2.24，得（7.2.26）式中Kelvin 模型的蠕变规律，可简记为：（7.2.27）式中 ——蠕变函数。
蠕变函数的表达式为（7.2.28）7.2.3 三元件粘弹性模型图7-6a 表示个三元件粘弹性模型。
它是由线性弹簧和Kelvin模型串联组成，包括二个线性弹簧和一个牛顿粘壶，共三个元件，故称三元件粘弹性模型。
用表Kelvin模型的应变，表示与Kelvin模型串联的线性弹簧的应变，表示Kelvin模型中线性弹簧中的应力，表示牛顿粘壶中的应力，和分别表示总应力和总应变。
分析各元件的应力或应变相互间关系，不难得到下列各式：（7.2.29）（7.2.30）（7.2.31）（7.2.32）（7.2.33）式中 ——与Kelvin模型串联的线性弹簧的弹性模量；——Kelvin模型中线性弹簧的弹性模量；——牛顿粘壶的粘滞系数。
结合式7.2.29至式7.2.33各式，消去组成元件中的应力和应变，得（7.2.34）式7.2.34还可改写为：（7.2.35）式中（7.2.36）图7-6 三元件粘弹性模型(7.2.37)(7.2.38)若物体作用有初始应力，且保持不变，即，且在时，。
于是，由式7.2.35可求得应变的变化规律为：（7.2.39）上式表示的应变随时间的变化规律如图7-6 (b）所示。
图中应变起始值为，最终值为，其应变速率由起始时的最大值逐渐趋于零。
若物体获得初始弹性应变后总应变保持不变，即，且在时，。
于是，由式7.2.35可求得应力随时间的变化规律为：（7.2.40）上式表示的应力变化规律如图7-6（b）所示。
由图可以看到，物体中的应力从最初的衰减到最终值。
若物体初始时作用有应力，以后随时间变化作用有应力。
根据叠加原理，由式7.2.39可以得到在时刻时物体的变形，（7.2.41）对上式右端进行分部积分，得（7.2.42）记（7.2.43）则式7.2.42可改写为（7.2.44）式7.2.44通常称为线性遗传方程。
式中H 称为瞬时弹性模量，称为遗传函数，它表示在时刻作用的应力对时刻的变形的影响。
三元件粘弹性模型除了上述介绍的基本形式外，还有其它组成方式的三元件粘弹性模型。
如由Maxwell模型与一个粘壶并联组成，或由一个粘壶与Kelvin 模型串联组成。
这些形式的本构方程读者自己不妨加以推导。
7.2.4广义Maxwell 模型和广义Kelvin 模型增加组成模型的元件数，可以得到更为复杂的模型应用得较多的是广义Maxwell模型和广义Kelvin模型。
图7-7 广义Maxwell模型广义Maxwell模型是由一个线性弹簧和一系列Maxwell模型并联而成，如图7-7 所示。
若时模型获得单位弹性应变后，保持总应变不变，模型中的应力随时间的变化应等于各简单模型之和，即（7.2.45）式中 ——松弛弹性模量，等于单位总应变所对应的应力；——松弛时间，。
若模型的应变可用表示．其本构力程可由叠加原理得到，（7.2.46）利用分部积分法，上式可改写为：（7.2.47）上式又可简写为：（7.2.48）式中 ；图7-8 广义Kelvln 模型广义Kelvin 模型是由一个Maxwell模型和一系列Kelvin 模型串联而成，如图7-8所示。
若时模型受到单位应力后保持不变，它的总应变等于各个简单模型的应变之和，即（7.2.49）式中 ——蠕变柔度，等于单位应力引起的应变；——衰减系数，，其倒数为延迟时间。
若模型的应力用表示，其本构力程可由叠加原理得到，（7.2.50）利用分部积分法，上式可改写为：（7.2.51）记，这样就得到了与式7.2.44相同的线性遗传力程，（7.2.52）7.3 粘塑性模型既具有粘性又具有塑性性质称为粘塑性。